2018版高考数学复习压轴题命题区间七概率与统计

压轴题命题区间(七)概率与统计

概率与统计应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，解答这类问题的关键是能阅读、理解陈述的材料，深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的转化，能结合所学知识解决问题．解答应用问题要过三关：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力．除以上过“三关”外，对于概率与统计应用问题还应再过三关，即文字关、图表关、计算关．

文字关——抓关键语句，破干扰信息

[典例] (2016·兰州诊断)调查表明，市民对城市的居住满意度与该城市环境质量、城市建设、物价与收入的满意度有极强的相关性．现将这三项的满意度指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意．再用综合指标ω＝x＋y ＋z的值评定居民对城市的居住满意度等级：若ω≥4，则居住满意度为一级；若2≤ω≤3，则居住满意度为二级；若0≤ω≤1，则居住满意度为三级．为了解某城市居民对该城市的居住满意度，研究人员从此城市居民中随机抽取10人进行调查，得到如下结果：

人员编号1234 5 (x，y，z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(0,1,1)(1,2,1)

人员编号678910 (x，y，z)(1,2,2)(1,1,1)(1,2,2)(1,0,0)(1,1,1)

(1)若该城市有200万常住人口，试估计该城市居民中居住满意度为三级的人数是多少？

(2)从居住满意度为一级的被调查者中随机抽取2人，这2人的居住满意度指标ω均为4的概率是多少？

[解] 计算10名被调查者的综合指标，可列下表：

人员编号12345678910

综合指标446245351 3

(1)由上表可知居住满意度为三级(0≤ω≤1)的只有1名，其频率为1

10

，用样本频率估计

总体的频率可知，该城市居民中居住满意度为三级的人数有200×1

10

＝20(万人)．

(2)设事件A为“从居住满意度为一级的被调查者中随机抽取2人，这2人的居住满意度

指标ω均为4”，居住满意度为一级(ω≥4)的有编号为1,2,3,5,6,8的被调查者，共6名，从中随机抽取2人，所有可能的结果有：

{1,2}，{1,3}，{1,5}，{1,6}，{1,8}，{2,3}，{2,5}，{2,6}，{2,8}，{3,5}，{3,6}，{3,8}，{5,6}，{5,8}，{6,8}，共15种．

其中综合指标ω＝4的有编号为1,2,5的被调查者，共3名．

事件A 发生的所有可能结果为{1,2}，{1,5}，{2,5}，共3种，所以P (A )＝315＝1

5.

[方法点拨]

本题文字叙述较长，解答此类问题应过文字关，其技巧是：(1)快速了解“无关信息”(如本例第一句话)．(2)仔细阅读题中重要信息，把握信息所给内容(如本例字母x ，y ，z ，ω所指什么)．(3)明确题目所求内容．

[对点演练]

为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：

(1)当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？

(2)将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A 类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B 类是其他市民．现对A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，求前两位均为B 类市民的概率是多少．

解：(1)设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件A ， 则P (A )＝40200＝15

.

∴当罚金定为10元时，比不制定处罚，行人闯红灯的概率会降低1

5.

(2)由题可知A 类市民和B 类市民各有40人， 故分别从A 类市民和B 类市民中各抽出2人，

设从A 类市民中抽出的2人分别为A 1，A 2，从B 类市民中抽出的2人分别为B 1，B 2. 设“A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M ， 则事件M 中首先抽出A 1的事件有：(A 1，A 2，B 1，B 2)，(A 1，A 2，B 2，B 1)，(A 1，B 1，A 2，B 2)，(A 1，B 1，B 2，A 2)，(A 1，B 2，A 2，B 1)，(A 1，B 2，B 1，A 2)，共6种．

同理首先抽出A 2，B 1，B 2的事件也各有6种． 故事件M 共有24种．

设“抽取4人中前两位均为B 类市民”为事件N ，则事件N 有(B 1，B 2，A 1，A 2)，(B 1，B 2，

A 2，A 1)，(

B 2，B 1，A 1，A 2)，(B 2，B 1，A 2，A 1)共4种，

∴P (N )＝424＝1

6

.

∴抽取4人中前两位均为B 类市民的概率是1

6.

图表关——会转换信息，思解题方法

[典例②，③，④，⑤.

(1)某教练将所带10名学员的“科二”模拟考试成绩进行统计(如表所示)，并打算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测(只测不合格的项目)，求补测项目种类不超过3项的概率；

项目

学员编号

①

②

③

④

⑤ (1) T T T (2) T T T

(3) T T T T (4) T T T

(5) T T T T

(6) T T T (7) T T T T (8) T T T T T

(9) T T T

(10)

T

T

T

T

T

注：“T ”表示合格，空白表示不合格

(2)在汽车边缘不压射线AC 与射线BD 的前提下，将汽车驶入指定的停车位．根据经验，学员甲转向90°后可使车尾边缘完全落在线段CD 上，且位于CD 内各处的机会相等．若CA ＝BD ＝0.3 m ，AB ＝2.4 m ，汽车宽度为1.8 m ，求学员甲能按教练要求完成任务的概率．

[解] (1)根据题意，学员(1)，(2)，(4)，(6)，(9)恰有2项成绩不合格，从中任意抽出2人，所有情况如下：

学员编号

补测项目

项数