《中学几何研究》第1讲--几何学的公理化思想方法讲解
中学几何公理体系公理化方法与中学几何
中学几何公理体系_公理化方法与中学几何公理化方法与中学几何一、公理化方法的意义和作用所谓数学公理化方法，就是从尽可能少的无定义的原始概念(基本概念)和一组不证自明的命题(基本公理)出发，利用纯逻辑推理法则，把一r一J数学建立成为演绎系统的一种方法。
这里所说的基本概念，是不加定义的，是真正基本的，它不能用比其更简单、更原始的概念来确定它的含义，只能用描述的方法来确定其范围，如点、线、面等等。
公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所做的一种I }}述和规定，不是随意可以选定的。
一个良好的公理系统，设置公理应当满足三个条件:相容性、独立性和完备性。
一般认为，公理化的历史发展，大致可分为三个阶段:公理化方法的产生、公理化方法的完善和公理化方法的形式化。
从其发展史去考察，公理化方法的作用，至少概括出如下三点:①这种方法具有分析、总结数学知识的作用。
②公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各门数学的实质性异同，并能促使和推动新理论的创立。
③数学公理化方法在科学方法论上有示范作用。
二、中学几何中的公理化方法中学几何教材大体上是按照下面的逻辑结构、采用演绎方式展开的基于学生的认识规律和接受能力等方面的考虑，各章节教材在具体展开时增添了便于理解教材的实例。
从总体上看，教材体现出公理化方法的基本思想，其结构框图如下:(见下页) 甚本元案和甚本圈形中学几何课本中提到:y,线、面或丁古干个点、线、面组合在一起，就成为几何图中学数学教材中的公理系统中学数学知识有一定的系统，原则上应按公理化思想方法展开.特别是平面几何、立体几何内容，应明确地列出公理组.在一般的中学数学教材中，大体_n是按照下面的逻辑结构，采用演绎方法展开的: 原始概念的描述) 定义的叙述公理的叙述命题定理--一推论公式各章节教材在具体展开时，为便于学生接受，一般都增添了便于理解教材内容的实例，采用如下的块状结构: 感性材料实例、背景设置公理、定义、概念引进并证明定理、公式从逻辑结构和具体内容看，总体上体现了公理化的基本思想，但就其公理系统而论，由于考虑到中学生接受能力和教材的精简，因而对公理独立性的要求不是那么严格，而且公理系统也不完备，有时还要借助于直观.例如，平面几何教材，从它的逻辑结构和具体内容看，基本上沿用了欧氏的不完善的公理系统.首先选定一批基本元素和一批关系(包括基本关系)作为基本概念，采用扩大公理体系，然后以此为出发点，用形式逻辑方法定.义有关概念，推导一系列定理，把有关的几何知识贯穿起来.其中公理之间是相容(不矛盾)的，但所选取的公理既过剩又不足，是不独立和不完备的.20世纪末我国的平面几何教材中共引进几何公理16条，等量公理5条，不等量公理6条。
初中几何讲义
1 感性、实践的局限性，缺乏普遍性和必然性 „.不宽、不紧，手心相应,制作出质量最好的车轮。这里面有规律，但我只可意会，不可言传。 我不能明白地告诉我的儿子，我儿子也不能从我这里得到（做轮子的经验和方法），所以我已 七十岁了，还在（独自）做车轮。古代人和他们所不能言传的东西都（一起）死去了„.” 2、感性本身存在谬误。（眼见为实）
P
●
一、放
A 二、贴
推平行线法
B
三、推
四、画
C A
〃
B
B 平行公理： （存在且唯一）
平面内经过直线外一点，有且只有一条 直线与这条直线平行。
苏格兰数学家John Playfair
(垂直)
若平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于 180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
6、平面内三条直线关系（三线八角）
三条直线互相平行
相交
两条直线 （平面） 平行 重合
三条直线两两相交 一个交点
三条直线
（不考虑重合）
两直线平行，与第三条 相交（所截）
两个交点
2条被 截线
1条截 线
2个交 点
不同的顶点
•内错角 •同位角 •同旁内角
2 3 6 5 7 8 4
l3
1
l1
l2
6、同位角
如图：三条直线AB、CD、EF。如果AB//EF ，CD//EF， 那么直线AB与CD可能相交吗？
B P
假设AB与CD相交， 设AB与CD相交于P
A C E
D F
因为AB//EF，CD//EF 于是过点P就有两条直线AB CD都与EF平行。 根据平行公理，这是不可能的 也就是说，AB与CD不能相交， 只能平行。
简述欧几里德《几何原本》与公理化思想
简述欧几里德《几何原本》与公理化思想摘要：古希腊大数学家欧几里得是与他的巨著——《几何原本》一起名垂千古的。
该巨著产生的历史背景、主要内容以及所包含的公理化思想促进了几何学的发展，对数学的发展也有着重大的影响。
关键词：欧几里得；几何原本；公理化思想一、欧几里得“几何无王者之道”，说出这句话的人正是古希腊数学家欧几里得(公元前330~公元前275)，他是古希腊最负盛名、最有影响的数学家之一，他也是亚历山大里亚学派的成员。
他是论证几何的集大成者，关于他的生平我们了解的甚少，根据有限的记载推断，欧几里得早年就学于雅典，在公元前300年左右，应托勒密王的邀请到亚历山大城教学。
他写过不少数学、天文、光学和音乐方面的著作，现存的有《原本》(Elements)、《数据》(Data)、《论剖分》(On Divisions)、《现象》(Phenomena)、《光学》(Optic)和《镜面反射》(Catoptrical)等，在这些著作当中，最著名的莫过于《原本》了，根据早期的翻译, 我们也称之为《几何原本》。
当时雅典就是古希腊文明的中心。
浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得，当他还是个十几岁的少年时，就迫不及待地想进入“柏拉图学园”学习。
“柏拉图学园”是柏拉图40岁时创办的一所以讲授数学为主要内容的学校。
在学园里，师生之间的教学完全通过对话的形式进行，因此要求学生具有高度的抽象思维能力。
数学，尤其是几何学，所涉及对象就是普遍而抽象的东西。
它们同生活中的实物有关，但是又不来自于这些具体的事物，因此学习几何被认为是寻求真理的最有效的途径.柏拉图甚至声称：“上帝就是几何学家。
”遂一观点不仅成为学园的主导思想，而且也为越来越多的希腊民众所接受。
人们都逐渐地喜欢上了数学，欧几里德也不例外。
他在有幸进入学园之后，便全身心地沉潜在数学王国里。
他潜心求索，以继承柏拉图的学术为奋斗目标，除此之外，他哪儿也不去，什么也不干，熬夜翻阅和研究了柏拉图的所有著作和手稿，可以说，连柏拉图的亲传弟子也没有谁能像他那样熟悉柏拉图的学术思想、数学理论。
中学几何公理定理推导过程
中学几何公理定理推导过程一、定义与基本概念几何学是研究空间形状、大小和位置关系的数学分支。
在中学阶段，我们主要学习了几何学中的一些基本概念，如点、线、面、角等。
这些基本概念是几何学的基础，对于后续定理的证明和应用至关重要。
二、图形性质在几何学中，图形的性质是描述图形特征的重要依据。
例如，三角形有三条边和三个角，平行四边形对边平行且相等，圆的半径处处相等等等。
了解这些图形的性质是理解和证明几何定理的基础。
三、定理证明几何定理的证明是几何学中的重要内容。
在中学阶段，我们学习了一些基本的几何定理，如勾股定理、三角形的内角和定理等。
这些定理的证明过程需要我们运用前面的基本概念和图形性质，通过逻辑推理和演绎推理的方式进行。
在证明过程中，需要注意定理的条件和结论，并运用合适的证明方法。
四、推论应用几何定理的推论是指从定理的证明过程中推导出的新结论或应用。
例如，勾股定理的推论包括直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，以及直角三角形的斜边中线等于斜边的一半等。
这些推论可以应用于实际问题的解决中，例如测量高度、计算距离等。
因此，理解和掌握几何定理的推论对于实际应用具有重要意义。
五、习题训练习题训练是巩固和加深几何知识理解的重要手段。
通过大量的习题训练，我们可以更好地掌握几何定理的证明和应用，提高自己的逻辑思维和解决问题的能力。
在解题过程中，需要注意审题和分析，选择合适的证明方法和推论应用。
六、知识拓展除了中学教材中介绍的几何知识外，还有许多其他有趣的几何定理和性质。
例如，欧拉公式、麦比乌斯带等。
通过学习这些知识，我们可以拓宽自己的数学视野，培养数学思维和创造力。
七、归纳总结归纳总结是学习几何知识的最后一步。
通过归纳总结，我们可以将所学知识进行梳理和整合，形成完整的知识体系。
同时，归纳总结也可以帮助我们发现自己的不足和问题，从而针对性地进行巩固和提高。
公理化方法和中学几何公理体系
公理化方法和中学几何公理体系12数学陈婷12220620摘要：数学公理化方法是研究数学的重要思想方法，它对于近代数学和其他自然科学的发展有过巨大作用和深远影响，它很大程度上推动了数学的发展。
而数学的教育更多的是方法和思想的教育，公理化方法在教学教育上有着举足轻重的地位。
本文将从几何发展简史、公理化方法的意义与作用等方面探究公理化方法对中学几何公理体系的影响。
关键词：公理化方法；几何学；发展史；中学几何；教学启示正文：一、几何学发展简史几何学是一门研究『空间』与『移动』的学问.这里的『空间』指的是正统的『几何空间』, 包括各种具体或抽象的几何图形,甚至是整个宇宙空间的几何构造;而『移动』则是这些几何空间的表现,例如:平移,旋转, 对称,波动等等.因此,几何学可说是真实世界与抽象世界的舞台与演员的演出.而数学家Descartes (笛卡儿, 1596 1650)曾说:『人类心智与生俱来有完美,空间,时间和运动等观念.』不论是实际生活上为了丈量与计算的需要,或是对於宇宙空间的好奇与探索,亦或是对於『美』的追求,自从人类开始生活在地球上,几何概念的演进便未曾停歇.而几何学的发展,也使人类开始真正认识我们所生存的宇宙空间。
在史学中，几何学的确立和统一经历了二千多年，数百位数学家做出了不懈的努力。
一）欧氏几何的创始公认的几何学的确立源自公元300 多年前，希腊数学家欧几里得著作《原本》。
欧几里得在《原本》中创造性地用公理法对当时所了解的数学知识作了总结。
全书共有13 卷，包括5 条公理，5 条公设，119 个定义和465 条命题。
这些公设和公理及基本定义成为《原本》的推理的基础。
欧几里得的《原本》是数学史上的一座里程碑，在数学中确立了推理的范式。
他的思想被称作“公理化思想”。
欧几里德几何自诞生两千多年来，因其论证的严密性而被誉为完美无瑕。
但到了19世纪，由于非欧几何的创立，大大提高了公理化方法，数学的严格性标准大为提高，从而欧几里德几何的逻辑缺陷逐渐暴漏出来了，具体将有以下几点：1、在欧式几何中用了重合法来证明全等：在重合法中，首先使用了运动的概念，这样就定性了欧氏几何属于经验综合知识，他与人的经验有关，不属于纯粹知识。
几何的发展及公理化体系PPT
笛卡尔在17世纪初提出了坐标系的概念，将几何图形与代数方程联系起来。通过 坐标系，几何图形可以用代数方程来表示，反之亦然。这一创新使得几何学的研 究更加深入和广泛，为微积分和现代数学的发展奠定了基础。
坐标系与几何图形的表示
总结词
坐标系是解析几何的核心工具，它使得几何图形能够用代数 方程来表示，从而使得几何问题可以通过代数方法来解决。
详细描述
微积分的研究需要用到大量的几何概念和工具，如极限、导数、积分等都与几何图形有关。同时，解析几何的应 用也深化了微积分的研究，如曲线面积、曲面体积等问题的解决需要用到解析几何的知识。因此，微积分与几何 是相互促进、共同发展的。
03
非欧几何的发现
非欧几何的背景与起源
欧几里得几何的局限性
非欧几何的诞生
几何拓扑的研究领域
几何拓扑是研究几何对象在拓扑变换下的性质和不变量的学科，是现代几何学的 重要组成部分。
几何拓扑的研究领域包括拓扑空间、流形、几何群论等，这些领域的研究对于数 学其他分支的发展以及物理学、工程学等领域的应用都有着重要的意义。
几何机器学习的新兴领域
几何机器学习是近年来新兴的一个领域，主要是利用机器学 习的方法对几何对象进行分析和建模，以实现自动化和智能 化的处理和应用。
物理学
相对论中的广义相对论使用非欧几何来描述时空 的弯曲。
数学与其他领域
非欧几何的发展对数学和其他领域产生了深远的 影响，推动了数学和科学的发展。
04
几何公理化体系的建立
欧几里得几何公理化体系
01
欧几里得几何公理化体系是几何学的基础，它以五个基本公理为基础，推导出 了一系列几何定理和性质。
02
这五个基本公理包括：两点确定一条直线、直线可以无限延长、通过直线外一 点有且只有一条直线与已知直线平行、所有直角都相等、以及所有相似图形都 可以通过连续变换相互重合。
几何原本公理化方法
几何原本公理化方法
几何是数学的一个重要分支，其由于其特殊的抽象性，最初大部分是以图形记叙的。
然而，20世纪早期，几何被开发出了一套证明性论证方法——公理化几何。
公理化几何指的是采用一组特定的、完全一致的公理以及定义从而陈述几何命题。
这套公
理通常被认为的坚实的，无需证明的事实，它们定义了空间的基本属性及欧几里得几何的
基本概念，如点，线段等。
它们有助于建立对几何形状的概念，把一组基本概念扩展成一
组相关的复杂定理，从而建立几何的结构。
一个完全公理化的几何系统具有许多特点。
首先，基于这些公理，一组相关的定理可以完
全从演绎，这将确保每个定理都是正确的。
其次，这些公理可以帮助我们正确地理解几何
形状，而不用猜想和图形实践。
最后，公理化几何系统也有一个良好的结构，即它可以被
逐级推导出定理，这有助于更好地理解和记忆定理。
此外，公理化几何对数学的发展也有很大的影响，例如建立了欧几里得几何的基础，并激
发了泛几何的发展；其原理也给出一种新的逻辑论证方法，从而推动了数学方法的重大发展。
总而言之，公理化几何是一门独特而有益的数学课程，它提供了一种更为精确、坚实的几
何描述，对数学教育有着重要的指导意义。
几何的发展及公理化体系_PPT幻灯片
牛顿的故事
▪ 少年时代的牛顿在剑桥大学附近的夜店里买了一 本《几何原本》，开始他认为这本书的内容没有 超出常识范围，因而并没有认真地去读它，而对 笛卡儿的“坐标几何”很感兴趣而专心攻读。后 来，牛顿于1664年4月在参加特列台奖学金考试 的时候遭到落选，当时的考官巴罗博士对他说： “因为你的几何基础知识太贫乏，无论怎样用功 也是不行的。”这席谈话对牛顿的震动很大。于 是，牛顿又重新把《几何原本》从头到尾地反复 进行了深入钻研，为以后的科学工作打下了坚实 的数学基础。
▪ 作业：
▪
▪ 初中平面几何所包含的内容（知识点、问 题、解题方法）
第一章绪论：几何学——时间与空间 的数学
▪ 一、几何学的进步概说
▪ 二、欧氏几何与非欧几何
▪ 三、欧氏空间和坐标几何
▪ 四、微分几何与黎曼几—点、线、面 ▪ 2、解析几何——坐标、有序数对 ▪ 3、非欧几何——第五公设 ▪ 4、射影几何——形状是否改变 ▪ 5、微分几何——度量曲线的长短 ▪ 6、分形几何——现实空间的为数
黎曼几何
▪ 黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在1851年 所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中 明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学 的一片新的广阔领域。
▪ 黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任 何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中 不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线 可以无限演唱，但总的长度是有限的。黎曼几何 的模型是一个经过适当“改进”的球面。
1、微分几何的产生
▪ 微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连 的。在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧 拉。1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这 一概念，即以曲线弧长这以几何量作为曲线上点 的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。
初中几何证明的所有公理和定理
初中几何证明的所有公理和定理几何是研究空间形状和大小关系的一门学科，它依赖于一系列公理和定理来构建其理论体系。
下面是初中几何中一些常用的公理和定理，涵盖了线段、角、三角形、四边形和圆等几何概念。
公理1：通过任意两点，可以画一条唯一的直线。
公理2：一条由两点确定的线段可以延长成一条无限长的直线。
公理3：给定一条线段和一点，可以画出与这条线段等长的线段。
公理4：所有直角都相等。
公理5：如果两直线与第三条直线各自交于一个相同的角，则这两条直线是平行的。
公理6：如果两直线分别与第三条直线各自交于两个同位角相等的角，则这两条直线是平行的。
定理1：三角形内两角之和等于180度。
定理2：等腰三角形的两底角相等。
定理3：等边三角形的三个内角均为60度。
定理4：全等三角形的对应的边和对应角均相等。
定理5：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方和。
定理6：三角形的任一边大于另外两边之差，小于另一两边之和。
定理7：三角形两边之和大于第三边。
定理8：平行线上的对应角相等。
定理9：同位角互补。
定理10：同位角相等。
定理11：平行线截断同位线段成比例线段。
定理12：平行线截断角成等角。
定理13：如果两条直线被一条平行线截断，那么所得的内错角相等，同时所得的外错角也相等。
定理14：在一个给定圆上，取一点和另一点之间的每一对弦都是有相同长度的。
定理15：在一个给定圆上，两端在圆上，而与圆上一点相交的弦不等长。
定理16：在一个给定圆上，通过圆心的每一条弦都是直径。
定理17：在一个给定圆上，圆心角的度数是所对的弧所经过的圆心角的度数的两倍。
定理18：四边形的内角和等于360度。
定理19：矩形的两对边相等且两对角为直角。
定理20：平行四边形的对边相等且两对角分别相等。
定理21：菱形的四条边相等，且对角线相互平分。
定理22：四边形两对相对边的和相等。
这仅仅是初中几何中的一小部分公理和定理，通过这些公理和定理，我们可以建立起几何学中的基础知识和理论体系。
中学数学教材教法：初等几何研究
中学数学教材教法：初等几何研究数学是一门基础学科，提供了学习其它学科的基础知识，是全体学生的核心学科之一。
初等几何学是中学数学的一个重要组成部分，它涉及几何图形的基本概念及其关系。
在中学数学课程中，掌握初等几何的基本知识对学生的学习有很大的帮助。
本文从几何概念的基本概念，几何图形的几何性质，几何图形的关系，几何图形的应用，有趣问题等几个方面，阐述几何学在中学数学课程中的教学方法和实践活动。
首先，掌握几何概念的基本概念是初等几何学的基础，包括直线与直线的关系，如直线的概念、斜率、距离等；平面与平面的关系，如平面的概念、平面的面积、角度大小等；曲面与曲面的关系，如曲面的概念、曲线的长度、圆特殊曲线等。
学生在学习中必须掌握几何概念的基本概念，并能够正确使用。
其次，了解几何图形的几何性质是学习几何学的重要内容，其中包括直线性质、圆形性质、三角形性质、曲线性质等。
学生在学习中，要掌握直线、圆、三角形等几何图形的各种几何性质，学会正确使用。
第三，了解几何图形的关系是几何学的重要内容，包括几何图形与其他图形之间的相互关系，如两条直线之间的关系，两个平面之间的关系，两个曲面之间的关系等等。
学生在学习中，应该学会正确运用这些关系，学会分析和推理。
第四，了解几何图形的应用是几何学的重要内容，包括几何图形在实际应用中的作用，如地图测量、空间定位、图形绘制等。
学生在学习中，要了解几何图形在实际应用中的作用，学会利用几何图形解决实际问题。
最后，培养学生学习几何学的兴趣，使学生在学习几何学的过程中实现自主学习和乐趣。
为此，教师可从回答有趣问题、解决应用问题等方面激发学生学习几何学的兴趣，培养学生的探究精神和良好的学习习惯。
综上所述，教学目标是培养学生掌握几何学的基本概念，掌握几何图形的几何性质，正确运用几何关系，掌握几何图形在实际生活中的应用，激发学生学习几何学的兴趣，培养学生的探究精神和良好的学习习惯。
基于以上目标，可以采取如下教学策略：采用以学生为中心的教学理念，创设良好的学习氛围，引导学生利用书本、课堂活动、实验活动等方式自主学习；针对不同类型的学生，安排不同的学习任务，让学生在学习中感受到乐趣；采用启发式、讨论式、研究式等多种教学方法，激发学生的学习兴趣，培养学生的探究精神。
欧氏几何的公理化方法 PPT
一、公理化思想方法的内涵与价值 什么是“公理”？ 公理 ：在一个系统中已为反复的实
践所证实而被 认为不需要证明的真理， 是可以作为证明中的理论依据。
什么是“公理化方法”？
公理化方法：从某些基本概念和基 本命题出发，依据特定的演绎规则，推 导是系列定理，从而构成一个演绎系统 的方法。
《几何原本》的主要内容
共13卷 第一卷：提出23个定义、5条公设、 5条公理、 48个命题 第一卷从定义、公设、公理开始，接 着用 48个命题讨论了关于直线和由直 线构成的平面图形。
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安 静
1）点是无大小的； 2）线是有长度而无宽度的； 3）线的界线是点； 4）直线是这样的线，它对于它的任何点来说都是同样
线段内部有点，共线三点是必存在 一点在其余两点之间的都要途径到巴士 公理Ⅱ4 。
顺序公理及重要结论
定理1 对于任意两点A、C ，直线AC 上至少有一点F在 A、C之间。
定理2 在一直线上的三点中，必有且只有 一点在其余两点之间。
定理3 直线a与△ABC共面而不过其顶点， 若a交其一边，则必交其另一边，但不得再交第 三边。
和结构和谐性确实符合数学美的要求。
公理化方法的发展经历了以下几个时期
1、直观公理化时期 2、思辨性的公理化时期 3、形式主义的公理化时期 4、结构主义的公理化时期
二、直观公理化时期——几何原本
《几何原本》 公元前3世纪， 1607年 前6卷译成中文 “ 此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试， 不必改。有四不得：欲脱之不可得，欲驳之 不可得，欲减之不可得，欲前后更之不可得。 有三至三能：似至晦实至明，故能以其明明 他人之至晦；似至繁实至简，故能以其简简 他人之繁；似至难实至易，故能以其易易他 人之难。易生于简，简生于明，综其妙在明 而已”——徐光启
初中几何定义、公理和定理
初中几何定义、公理和定理公理（不需证明）1、线段公理：两点之间，线段最短。
2、直线公理：过两点有且只有一条直线。
3、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行4、垂直性质：经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直5、两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;6、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;7、两边和夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS）8、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA）9、三边对应相等的两个三角形全等; （SSS）10、全等三角形的对应边相等,对应角相等.以下对初中阶段所学的公理、定理进行分类：一、直线与角1、两点之间，线段最短。
2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线。
3、中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点。
4、角的定义：①由两条有公共端点的射线组成的图形。
②由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。
5、互余：两个角的和等于90º，互补：两个角的和等于180 º。
6、同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。
7、对顶角相等二、平行与垂直1、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。
2、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
3、平行线的定义：在同一平面内永不相交的两条直线。
3、经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
4、平行线的判定：（1）同位角相等，两直线平行；（2）内错角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行；（4）垂直于同一条直线的两条的直线互相平行.（5）（推论）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行5、平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。
（3）两直线平行，同旁内角互补。
（4）平行线间的距离处处相等三、角平分线、垂直平分线、图形的变化（轴对称、平称、旋转）1、角平分线的定义：①从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫这个角的平分线。
中学几何教学中数学思想方法的渗透与运用
中学几何教学中数学思想方法的渗透与运用1 引言数学在众多学科中具有至关重要的地位，能够培养学生思维能力和创新能力，灵活大脑，开拓思路，贯穿于学生整个学习生涯，对学生的发展有着重要作用。
中学数学学习较为基础，但是相对于小学数学又有一定难度，教师在教学中渗透、运用数学思想，能够帮助学生更好地学习数学，使学生形成数学思维，提高思维能力，为以后的学习奠定坚实的基础。
2 中学数学思想方法概述数学素质的核心是数学思维，而数学思想方法是培养数学思维的重要手段。
数学思想方法主要包括代换、类比、分析、综合等[1]。
在几何教学中运用，能够起到指导学生解决问题的作用，并能够引导学生对数学知识进行深入理解，促进学生思维发展，建立良好的数学观念，是现代数学教学中广泛运用的教学手段。
3 中学数学思想方法在几何教学中的渗透方式3.1化隐为显中学数学思想方法具有抽象性的特征，因此，在几何教学中，教师要以几何中的相关知识为载体，将隐藏在几何知识中的数学思想方法化隐为显，使学生能够对数学思想方法进行具体理解，实现几何教学中数学思想方法的渗透。
3.2循序渐进数学思想方法的形成难，主要是因为数学知识相对于其他学科难度较高，难以理解。
学生学习数学思想的方法的过程一般要经过三个阶段，分别是模仿形成、初步应用和自觉应用。
因此，数学思想的渗透需要有一个循序渐进的过程，使学生更加容易掌握和理解。
3.3建立知识结构体系数学思想方法的学习跟其他知识学习一样，需要通过构建一定的知识结构，将与数学思想相关联的数学知识系统的联系在一起，形成具体结构体系。
清晰明了的知识结构体系能够帮助学生更好地理解数学思想方法，提升教师教学质量。
3.4发挥学生主观能动性数学思想的渗透不仅是为了提高学生的学习效果，更重要的是使学生在潜移默化中形成数学思维，得到综合素质的提高。
数学思想方法以几何教学活动为载体，离开教学活动，数学思想方法也就无从谈起。
因此，教师要鼓励学生积极参与到教学活动中，充分发挥学生的主观能动性，激发学生兴趣，引导学生学习数学思想方法，养成独立思考问题、解决问题的习惯，提高学习质量，形成数学思维。
例谈初一《几何》第一章中的数学思想方法
例谈初一《几何》第一章中的数学思想方法
数学是一门多面性的学科，它由记号、定义、定理、公理、演绎等构成，而且还有一种传统的数学方法和思想，这正是初一《几何》这门课程中最值得学习，也是最实用的东西。
在几何课程中，学生将学习几何中的观念、原理与定理，也将接触到数学的基本思想方法，以及在解决实际问题时它的应用。
比如在第一章的数学思想方法，首先学生要学习的就是
几何定理，几何定理是数学的基础，学习它们有助于推导出一些其他的定理，并有助于解
决其他一些实际的问题。
另外，学习《几何》的第一章数学思想方法还有图形绘制，它是围绕着几何定理而发展起
来的，可以有助于理解几何数学和深入了解数学思想方法，从而掌握理论知识，并熟悉数
学中的技巧和方法，从而更好地掌握知识。
最后，在学习这一章的时候，学生还要学习推理的思想方法，包括思维抽象能力的培养，
解决问题的步骤分析，以及得出正确答案的原则等。
这些思想方法在解决数学问题中，尤
其是几何问题中都是十分重要的，能够使学生更加完善地运用数学思维去解决学习和生活
中的一些实际问题。
总之，数学思想方法是初一《几何》课程中最具价值，最实用的部分，其中包含着传统思想与精妙方法，它们对于几何和其他数学学科都有着重要的作用，是掌握数学的第一步。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三章 欧氏几何的公理化方法
形式主义的公理化时期 ——希尔伯特的《几何基础》
希尔伯特在《几何基础》中先取定三个基本对象：点、 直线和平面； 五个基本关系：两个结合关系，叙述为“点与直线结 合”，“点与平面结合”；一个顺序关系，叙述为 “一点在另两点之间”；两个合同关系，叙述为“线 段与线段合同”、“角与角合同”。 同时逐步地提出五组公理共二十条，它们是：结合公理 （8条）、顺序公理（4条）、合同公理（5条）、连 续公理（2条）、平行公理（1条）。
26
第三章 欧氏几何的公理化方法
思辨性的公理化时期——非欧几何
但是，只有俄罗斯的罗巴切夫斯 基在1826年发表“虚几何学” 的演讲，但是没有得到承认。 1829年，他把自己的创建发表在 《喀山通报》上。这是世界上 最早的非欧几何文献。
27
第三章 欧氏几何的公理化方法
思辨性的公理化时期——非欧几何
亚里士多德在历史上提出了第一个成文的公理系统。 欧几里得最重要的科学工作是系统整理了古希腊的几何 学知识，写成《几何原本》，成为人类历史上第一部 完整的公理化的著作。
16
第三章 欧氏几何的公理化方法
直观性公理化时期——《几何原本》
《几何原本》的主要内容： 全书共分十三卷，主要内容如下： 第一卷给出全书最初的23个定义、5个公设和5个公理：
3
第三章 欧氏几何的公理化方法
公理化思想方法的内涵和价值 公理化思想方法的内涵和作用
《辞海》： 公理是“在一个系统中已为反复的实践所证实而被认为 不需要证明的真理，可以作为证明中的论据”。 公理化方法是“从某些基本概念和基本命题出发，依据 特定的演绎规则，推导一系列的定理，从而构成一个 演绎系统的方法。”
18
公理： ⑴等于同量的量是相等的； ⑵等量加等量还是等量； ⑶等量减等量还是等量； ⑷能重合的量是全等的； ⑸整体大于部分。
第三章 欧氏几何的公理化方法
直观性公理化时期——《几何原本》
第二卷讨论线段计算，包括黄金分割定理，共14个命 题。 第三卷主要讨论有关圆的一些理论和有关命题，共有 37个命题。 第四卷讨论圆内接、外切多边形，包括正五边形、正 六边形、正十五边形的作法，共16个命题。 第五卷是《几何原本》中比较精彩的一卷，讲比例理 论。 第六卷讨论相似多边形及比例，共33个命题。
中学数学研究 （几何）
第一讲 几何学的公理化思想方法
1
公理化思想方法的内涵和价值 公理法的思想产生的背景
约在公元前7世纪，埃及人的几何知识传入希腊，那 时希腊的经济文化比其它民族要繁荣昌盛得多，几何 学也跟着发展成为一门科学。 古希腊几何学的发展与哲学的发展有着密切的联系。
2
第三章 欧氏几何的公理化方法
23
第三章 欧氏几何的公理化方法
思辨性的公理化时期——非欧几何
综上所述，欧几里得的《几何原本》中的公理系统作 为几何学的逻辑推理的基础是不够严密的。应该怎样 修改、补充《几何原本》中的定义、公理才能使几何 学成为逻辑上完美无缺的科学呢？这个问题是两千年 以来的几何学家研究的重要课题，几乎从《几何原本》 写成之日就开始了。 数学家从两方面进行研究，一方面是增加或改换公理， 另一方面是试证第五公设，前者促进了几何基础的严 密化，后者导致了非欧几何的诞生。
19
第三章 欧氏几何的公理化方法
直观性公理化时期——《几何原本》
第七、八、九三卷是数论。 第十卷讨论不可公度量的分类，包括与整数的开方有 关的几何运算，共117个命题。 第十一、十二、十三卷讨论立体几何。
20
第三章 欧氏几何的公理化方法
直观性公理化时期——《几何原本》
欧几里得是第一个试图建立几何学基础（即提出一些定 义和少数公设、公理作为后面逻辑推理的依据和出发 点）的数学家。 不过，由于历史的局限性，《几何原本》并没有彻底解 决建立几何基础的问题，《几何原本》的逻辑体系不 是严密的。
17
第三章 欧氏几何的公理化方法
直观性公理化时期——《几何原本》
公设： ⑴从每个点到每个其他的点必定可以 引直线； ⑵每条直线都可以无限延长； ⑶以任意点作中心，通过任何给定的 另一点，可以作一圆； ⑷所有直角都相等； ⑸同平面内如有一条直线与另两条直 线相交，且在前一条直线的某一 侧所交的两内角之和小于两直角， 则后两条直线无限延长后必在这 一侧相交。
公理化思想方法的内涵和价值 公理法的思想产生的背景
逻辑学的创始人亚里士多德曾经指 出： 任何一种严密的科学体系的形成， 都是从一些不能证明的原理开始的， 不然所需要的证明将要无止境地继 续下去，形成无穷尽的步骤。至于 不能证明的原理，可分成两类：一 类是一切科学共有的原理；另一类 是某一门科学特有的原理。
第五 公设问 题
非欧 几何的 产生
公理化思想方法的内涵和价值 公理化方法的发展历程
欧氏几何公理化思想方法对推动数学发展有着重要意 义。 公理化思想方法在数学教学和学习中也有着重要的意 义。 公理化方法丰富了科学方法论的内容。
14
第三章 欧氏几何的公理化方法
公理化思想方法的内涵和价值 公理化方法的发展历程
31
第三章 欧氏几何的公理化方法
形式主义的公理化时期 ——希尔伯特的《几何基础》
所以，尽管希尔伯特几何公理系统从字面上看没有离开 几何实体，但从本质上讲，却为现代形式化公理系统 奠定了基础，这也正是它被称为公理化方法发展史上 一个里程碑的根本原因所在，这种思想方法也称之为 形式化公理思想方法（近代公理法）。
24
第三章 欧氏几何的公理化方法
思辨性的公理化时期——非欧几何
19世纪中叶，非欧几何诞生的时 机终于成熟了。首先是大数学 家高斯发现了第五公设的否定 命题和其它公理是协调的，即 无矛盾的。
25
第三章 欧氏几何的公理化方法
思辨性的公理化时期——非欧几何
匈牙利的大学生J· 波尔约也独立地在1832年发现了非欧 几何。
后来欧多克斯还用穷竭法处理具有无限性的推理过程， 把比值为有理数的结论都推广到无理数。 近代则采取更加严密的数理逻辑方法。因此，演绎推 理的规则在不断发展，与时俱进。
7
第三章 欧氏几何的公理化方法
公理化思想方法的内涵和价值 公理化思想方法的内涵和作用
近代的公理化方法，要求公理的选取必须符合以下的三 条要求： ⑴相容性（或称为协调性，无矛盾性）； ⑵独立性； ⑶完备性。
32
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第三章 欧氏几何的公理化方法
结构主义的公理化时期 ——布尔巴基的《数学原本》
当然，公理化方法也是有其局限性的。 例如，它主要用于“回顾”性的“总结”，对“探索” 性的“展望”作用较少；对每一个数学分支都要按照 公理化三条标准去实现公理化也是不可能的；只能运 用到一个发展成熟的数学分支，对不成熟的分支的发 展可能有束缚作用等等。
15
第三章 欧氏几何的公理化方法
直观性公理化时期——《几何原本》
把17-19世纪人们对公理化方法的研究称为“思辨性” 的时期，这是因为这是的公理化虽然仍旧保持了一定 的直观成分，还使用点、线、面这样的几何形象，但 是已经进入到理性思辨的领域，罗氏几何中的点、线， 以及它们之间的关系，需要通过思辨才能理解。
28
第三章 欧氏几何的公理化方法
形式主义的公理化时期 ——希尔伯特的《几何基础》
古希腊时代的推理，就是依据亚里士多德创立的形式 逻辑规则（三段论等）进行演绎。 三段论是由两个含有一个共同项的性质判断作前提得 出一个新的性质判断为结论的演绎推理。
中项M
大学生都是应该认真学习的
小项S
13数本班同学都是大学生
大项P
13数本班同学都是应该认真学习的
6
第三章 欧氏几何的公理化方法
公理化思想方法的内涵和价值 公理化思想方法的内涵和作用
22
第三章 欧氏几何的公理化方法
证明：任何三角形都是等腰三角形
When you have eliminated the impossible, whatever remains, however improbable, must be the truth.
角A平分线与BC垂直平分线交于O点，过O做两边的 垂线OM,ON. AMO全等于ANO(角角边)->OM=ON,AM=AN OB=OC,OM=ON,两个直角相等->BMO全等于ONC( 边边角在直角三角形是成立的)->BM=NC>AM+MB=AN+NC 故AB=AC
10
第三章 欧氏几何的公理化方法
公理化思想方法的内涵和价值 公理法的思想及其结构
公理法的结构由下列四部分构成： ⑴原始概念的列举； ⑵定义的叙述； ⑶公理的叙述； 核 心 ⑷定理的叙述和证明。
11
第三章 欧氏几何的公理化方法
公理化思想方法的内涵和价值 公理化方法的发展历程
公理化方法的发展，经历了以下四个时期： 1.直观性公理化时期，以欧几里得的几何《原本》为代 表； 2.思辨性公理化时期，以非欧几何的发现为代表； 3.形式主义公理化时期，以希尔伯特的《几何基础》为 代表； 4.结构主义公理化时期，以布尔巴基的《数学原本》为 代表。
12
第三章 欧氏几何的公理化方法
公理化思想方法的内涵和价值 公理化方法的发展历程
几何 起源 加工 整理中 希腊 人的工 作 （公理 法萌芽 ）
欧几 里得几 何《原本 》 （古典 公理法 ）
对几 何《原本 》的 公理 进行改 造和 补充 希尔 伯特的 《几何 基础》 （近代 公理法 ）
13
第三章 欧氏几何的公理化方法
29