北京大学力学习题

力 学 习 题
第一章
1. 站台上一观察者，在火车开动时站在第一节车厢的最前端，第一节车厢在∆t 1=4.0s 内从他身边驶过，设火车做匀加速直线运动。

问第n 节车厢从他身边驶过所需的时间的时间间隔∆t n 为多少？令n =7，求∆t =?
2. 路灯距地面的高度为h 1, 一人身高为h 2的人在路灯下以匀速v 1沿直线行走。

试证明人影的顶端做匀速运动，并求其速度v 2。

3. 设α为跑位所在处观看靶子的仰角，β为炮弹的发射角。

试证明：若炮弹命中靶点恰为弹道的最高点，则有tan β=2tan α.
4. 一弹性球直落在一斜面上，下落高度h =20cm , 斜面对水平的倾角θ=30°，问它第二次碰到斜面的位置距离原来的下落点多远？（假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时入射角等于反射角）。

5. 飞机以v 0=100m/s 的速度沿水平直线飞行，在离地面高h =98m 时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度？此时目标距飞机在下方地点多远？
6. 质点沿x 轴正向运动，加速度a =−kv , k 为常数。

设从原点出发是速度为v 0，求运动方程x =x(t)。

7. 跳水运动员自10m 跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速。

设加速度a =−kv 2，k =0.4m −1。

求运动员减为入水速度的1/10时的入水深度。

第二章
1. 均质杆AB 放在光滑桌面上，两端分别受到力f 1与f 2作用。

求C 处截面两方的相互作用力，设AC =1n AB 。

2. 用定滑轮将质量为m 的重物拉往高处，人的质量为M。

求在下述两种情况下人对地
第1题
面的压力：(1)物体匀速上升；(2)物体以加速度a 上升。

设绳与滑轮的质量以及两者间的摩擦力均可忽略不计。

3. 质点在空气中无初速自由下落时，在速度不大的情况下，阻力F 的大小和速度成正
比，即F =−kv ,k 为常数。

试用积分法求质点速度随时间的变化关系，设质点质量为m 。

4. 如图所示，一根长l 的细棒，可绕其端点在竖直平面内运动，棒的一端有质量为m
的质点固定于其上。

(1) 试分析，在顶点A 处质点速率取何值，才能使棒对它的作用力为0？
(2) 假定m =500g , l =50.0cm ,质点以均匀速度v =40cm/s 运动。

求它在B 点时棒
对它的切向和法向的作用力。

5. 地球中心与月球中心相距s =3.84×105km ，地球质量M 与月球质量m 之比为81:1.
有一星际飞船从地球飞向月球，在通过地球引力区和月球引力区的分界线时，宇航员没有测到重力，试求该处距地球多远。

6. 升降机中水平桌上有一质量为m 的物体A ，它被细线所系，细线跨过滑轮与质量也
为m 的物体B 相连。

当升降机以加速度a =g/2上升时，机内的人和地面上的人将观察到A ，B 两物体的加速度分别是多少？(略去各种摩擦，线轻且不可伸长。

)
第2题
第4题
7. 列车在北纬30°自南向北沿直线行驶，速率为90km/h 。

其中一车厢质量为50t 。

问
哪一条铁轨将受到车轮的旁压力。

该车厢作用于铁轨的旁压力等于多少？
第三章
1. 棒球质量为0.14kg ，棒球沿水平方向以速率50m/s 投来，经棒击球后，球沿水平成
30°飞出（见图），速率为80m/s.球与棒接触时间为0.02s.求棒击球的平均力.
2. 如图，已知绳的最大强度T 0=9.8N,m =500g,l =30.0cm .开始时m 静止，水平冲
量等于多大才能把绳子打断？
3. 三只质量均为M
的小船，一只跟着一只鱼贯而行，速率均为v 0,由于中间那只船上同
时以水平速率u (相对于船))把两个质量均为m(设m 不包括在M 内)的物体抛到前后两只船上，当投入物体后三只船的速度如何？
4. 一宇宙飞船以恒速v 在空间飞行，飞行过程中遇到一股微尘粒子流，后者以dm/dt 的
第6题 第1题 第2题
速率沉积在飞船上.尘粒在落到飞船之前的速度为u,在时刻t飞船的总质量为M(t),试问：要保持飞船匀速飞行，需要多大的力？
第四章
1.有一列火车，总质量为M，最后一节车厢质量为m。

若m从匀速前进的列车中脱离出
来，并走了长度为s的路程之后停下来。

若机车的牵引力不变，且每车厢所受的摩擦力正比于其重量而与速度无关。

问脱开的那节车厢停止时，它距列车后端多远。

2.质量为M=980g的木块静止在光滑水平面上，一质量为m=20g的子弹以v=
800m/s的速率水平地射入木块后与木块一起运动，求：
(1)子弹克服阻力所做的功；
(2)子弹施于木块的力对木块所做的功；
(3)耗散的机械能。

3.如图，劲度系数为k的弹簧悬挂质量为m1(上)和m2(下)的两个物体，开始时处于静
止。

若突然把m1与m2间的连线割断，求m1的最大速度。

第3题
4.如图，把弹簧的一端固定在墙上，另一端系一物体A。

当把弹簧压缩x0后，在他的
右边再放一物体B，求除去外力后，(1)A，B分离时，B以多大速度运动？(2)A最大能移动多少距离？设A，B放在光滑水平面上，质量分别为m A和m B，弹簧的劲度系数为k。

第4题
5.如图，在一铅直面内有一光滑的轨道，轨道左边是光滑弧线，右边是足够长的水平
直线。

现有质量分别为m A和m B的两个质点，B在水平轨道上静止，A在高h处自静止滑下，与B发生完全弹性碰撞。

碰后A 仍可返回到弧线的某一高度上，并再度滑
下。

求A 和B 至少发生两次碰撞的条件。

6. 在一半径为R 0的无空气的小行星表面上，若以速率v 0水平地抛出一物体，则该物体
恰好环绕该行星的表面做匀速圆周运动。

问：
(1) 这小行星的逃逸速度是多少？
(2) 在这星体表面竖直上抛一物体，要使它达到R 0的最大高度，上抛速率是多少？
第五章
1. 电子的质量为9.1×10−31kg ，在半径为5.3×10−11m 的圆周上绕氢核作匀速率运动.
已知电子的角动量为ℎ/2π(h 为普朗克常量，ℎ=6.63×10−34J ∙s ),求其角速度.
2. 在光滑的水平面上，用一根长为l 的绳子把一质量为m 的质点联结到一固定点O. 起
初，绳子是松弛的，质点以恒定速率v 0沿一直线运动.质点与O 最接近的距离为b ，当此质点与O 的距离达到l 时，绳子就绷紧了，进入一个以O 为中心的圆形轨道.
(1) 求此质点的最终动能与初始动能之比.能量到哪里去了？
(2) 当质点作匀速圆周运动以后的某个时刻,绳子突然断了，它将如何运动？绳断后
质点对O 的角动量如何变化？
3. 一质量为m 的物体，绕一穿过光滑桌面上极小的圆孔的缰绳旋转(见题图).开始时物
体到中心的距离为r 0,旋转角速度为ω0，若在t=0时，开始以固定的速度 v 拉绳子.于是物体到中心的距离不断减小.求(1)ω(t);(2)拉绳子的力F.
4. 两个滑冰运动员，体重都是60kg ，在两条相距10m 的平直跑道上以6.5m/s 的速度
相向地匀速滑行.当他们之间的距离恰好等于10m 时，他们分别抓住一根10m
长的
第5题
第3题
绳子的两端.若将每个运动员看成一个质点，绳子质量略去不计.
(1) 求他们抓住绳子前后相对于绳子中点的角动量.
(2) 他们每人都用力往自己一边拉绳子，当他们之间距离为5.0m 时，各自的速率是
多少？
(3) 计算每个运动员在减小他们之间距离时所做的功，并证明这个功恰好等于他们
动能的变化.
(4) 求两人相距为5.0m 时，绳中之张力T.
第六章
1. 一长为l 的细杆，其密度ρ依关系ρ=ρ0x/l 随x 而变化，x 是杆的一端算起的距离，ρ0
为常量.求其质心的位置.
2. 如图，在光滑水平面上，用劲度系数为k 的弹性连接物体m 1和m 2. m 1紧靠墙.在m 2上
施力将弹簧压缩x 0, 以m 1，m 2和弹簧为系统，当外力撤去后，求系统质心加速度的最大值和系统质心速度的最大值.
3. 证明两质点组成的系统的总角动量等于r c ×Mv c +r 12×μv 12,其中r c 和v c 是质心位矢
和速度，r 12和v 12是质点2相对质点1的位矢和速度，M 是总质量, μ是两质点的约化质量.
第七章
1. 有一圆盘绕定轴O 转动，试证圆盘上任意二点A ，B 的速度v A , v B 与加速度a A , a B 有
下列关系：v A 与a A 间的夹角α等于v B 与a B 间夹角β.
2. 有三根长l ,质量为m 的均匀细杆组成一个三角架，求它对通过其中一个顶点且与架
平面垂直的轴的转动惯量.
3. 在质量为M ，半径为R 的匀质圆盘上挖出半径为r 的两个圆孔，孔心在半径的中心.
求剩余部分对大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量.
第2题
第3题 4. 图示为固定在一起的两个同轴圆柱刚体，可绕OO ’轴转动，设大柱体与小柱体的半
径分别为R 1和R 2，长分别为l 1和l 2，整个刚体的质量为M ，两柱体上的绳子分别与m 1,m 2相连，求转动时刚体的角加速度.
5. 图中AB 为一静止的细长棒，长为l ，质量为M ，可绕O 轴在水平面内转动.若以质量
为m,速度为v 的子弹在水平面内沿棒垂直的方向射入棒的一端，设击穿后，子弹的速度减为v/2. 求棒的角速度.
6. 一质量为M 半径为R 的水平圆盘，可绕通过其中心且与盘面垂直的光滑铅直轴转动.
圆盘原来是静止的，盘上站着一质量为m 的人，当这个人沿着距圆盘中心为r(r<R)的圆周匀速走动，相对于圆盘的速率为v 时，圆盘将以多大的角速度旋转？
7. 圆柱体重6kg ，用两条轻软的绳子对称地绕在这圆柱体两端附近，两端的另一端分
别拴在天花板上.现将圆柱体水平地托着，且使两绳铅直地拉紧，然后将它释放.试求此圆柱体向下运动的加速度及向下加速运动时绳中的张力.
第八章
1. 一物体沿x 轴做简谐振动，振幅为1
2.0㎝，周期为2.0s ，在t=0时物体位于6.0㎝
处且向正x 方向运动，求：
(1) 初相位；
(2) t=0.50s 时，物体的位置，速度和加速度；
(3) 在x=-6.0㎝处且向负x 方向运动时，物体的速度和加速度
第4题 第5题
2. 三个频率和振幅都相同的简谐振动x 1（t ）,x 2（t ），x 3（t ），设x 1的图形如图所示，
已知x 2与x 1的相位差φ2-φ1=2π/3，x 3与x 1的相位差φ3-φ1=-2π/3。

试在图中作出x 2（t ）与x 3（t ）的图形。

3. 求半径为5.00㎝的金属球与长为25.0
量为m ，细棒质量可忽略。

4. 如图，一细棒两端装有质量为m 的小球A,B,可绕水平轴O 自由转动，且OA=l 1，OB=l 2，
若细棒的质量可忽略不计，求细棒做角度很小的摆动时的周期.
5. 图示两个弹簧系统，劲度系数为k 1和k 2， 分别求出两种情形的振动频率.
第2题 第4题
6. 如图，一单摆的摆长l=100㎝，摆球质量m=10.0g ，开始时处在平衡位置.
(1) 若给小球一个向右的水平冲量F ∆t=10.0g ∙㎝/s ，以刚打击后为t=0时刻，求振动的初
相位及振幅；
(2) 若F ∆t 是向左的，则初相位为多少？
7. 一竖直弹簧下挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长出托住，然后撒手，此系统便
上下振动起来，已知物体最低位置在初始位置下方10.0㎝处，求：
(1) 振动频率；
(2) 物体在初始位置下方8.0㎝处的速率大小；
(3) 若将一个300g 的砝码系在该物体上，系统振动频率就变为原来频率的一半，则原
物体的质量为多少？
(4) 原物体与砝码系在一起时，其新的平衡位置在何处？
8. 图中的弹簧振子水平放置，弹簧的劲度系数为k ，振子的质量为m ，从弹簧原长处
开始，对振子施加恒力f ，经一段距离s 0后撤去外力，试讨论外力撤去后振子的运
第5题
第6题
动情况。

求
(1) 振子将作何种运动？
(2) 确定振子运动的特征量
(3) 写出振子位移函数的表达式（设s 0处开始计时）
(4) 求出系统的总能量 9. 光滑水平的桌面上放置一个劲度系数为k 的弹簧，
弹簧一端系着一质量为M 的木块，
这个系统的运动为x=A 0cos （M
k t+φ）.一团质量为m 的油灰落在木块上与木块完全粘合在一起，在下列两种情况下
(1) 油灰在M 速度为零的瞬时落在木块上；
(2) 油灰在M 速度最大的瞬时落在木块上；
求系统新的周期和新的振幅.
第九章
1. 人眼所能见到的光的波长范围是4000A （紫光）至7600 (红光)，1A=10-10m ，求可见
光的频率范围，人眼最敏感的光是黄绿色光，波长是5500A ，求黄绿光波的频率（光速c=3⨯108m/s ）
2. 设有一维简谐波u （x ，t ）=2.0⨯cos2π（010.0t -30
x ）.式中x 和u 的单位为㎝，t 的单位为s ，求振幅，波长，频率，波速，以及x=10㎝处振动的初相位.
3. 本题图为t=0时刻平面简谐波的波形，波朝负x 方向传播，波速为v=330m/s.试写出
波函数u （x ，t ）的表达式.
第8题
4. 在正常生活环境中，声强（声波的波强）应该在10-8J/(m 2s)以下，试按频率f=1000Hz
估计一下，这个声强所对应的声振动的振幅多大（空气的密度约为1.29⨯10-3g/cm 2，空气声速v 约为340m/s ）
5. 入射简谐波的表达式为u （x ，t ）=Acos2π（
T t -λ
x ），在x=0处的自由端反射，该振幅无损失，求反射波的表达式.
6. 两支C 调音叉，其一是标准的256Hz ，另一是待校正的。

同时轻敲这两支音叉，在
20s 内听到10拍，问待校音叉的频率可能是多少？
7. (1)沿一平面简谐波传播的方向看去，相距2㎝的A 和B 两点，其中B 点相位落后π/6.
已知振幅的频率为10Hz ，求波长与波速.
(2) 若波源以40㎝/s 的速度向着A 运动，B 点的相位将比A 点落后多少？
8. 一音叉以2.5m/s 的速率接近墙壁，观察者在音叉后面听到拍音的频率为3Hz ，求音
叉振动的频率。

已知声速为340m/s.
9. 装于海底的超声波探测器发出一束频率为30000Hz 的超声波，被迎面驶来的潜水艇
反射回来.反射波与原来的波合成后，得到频率为241Hz 的拍。

求潜水艇的速率。

设超声波在海水中的传播速度为1500m/s.
第十章
1. 匀速地将水注入大水盆内，注入的流量Q =150cm 3/g 。

盆底有一个小孔，其面积为
0.50cm 2，问稳定时水面将在盆中保持多高？
2. 在一高度为H 的量筒侧壁上开一系列高度h 不同的小孔。

试证明：当h =H/2时水的
射程最大。

3. 一截面为5.0cm 2的均匀虹吸管从容积很大的容器中把水吸出。

虹吸管最高点高于水
面1.0m ，出口在水下0.6m 处，求水在虹吸管内作定常流动时管内最高点的压强和虹吸管的体积流量。

第3题
4.在重力作用下，某液体在半径为R的竖直圆筒中向下做定常层流，已知液体密度为ρ，
测得从管口流出的体积流量为Q，求：
(1)液体的粘度系数η；(2)管轴处的流速v。

5.试分别计算半径为1.0×10−8mm和5.0×10−2mm的雨滴的终极速度。

已知空气的粘
度系数为1.81×10−5Pa∙s，密度为1.3×10−3g/cm3。

第5题
6.在一半径为R0的无空气的小行星表面上，若以速率v0水平地抛出一物体，则该物体
恰好环绕该行星的表面做匀速圆周运动。

问：
(1)这小行星的逃逸速度是多少？
(2)在这星体表面竖直上抛一物体，要使它达到R0的最大高度，上抛速率是多少？。