数字信号处理复习大纲

数字信号处理复习大纲
绪 论
一、信号、系统和信号处理
要求掌握信号、系统和信号处理的概念。

二、数字信号处理的基本组成
图0-1 数字信号处理系统的简单方框图 要求掌握框图中各部分的作用。

第一章 离散时间信号与系统
1.1 离散时间信号——序列
一个离散时间信号是一个整数值变量n 的函数，表示为)(n x 或{)(n x }。

线段的长短代表各序列值的大小，其中n 为整数时才有意义。

图1-1 离散时间信号)(n x 的图形表示
一、序列的运算
在数字信号处理中常常遇到序列的移位、翻褶、相加、相乘、累加、差分等运算。

1．序列的移位
)()(m n x n w -=
当m 为正时，则)(m n x -是指序列)(n x 逐项依次延时（右移）m 位而给出的一个新序列，当m 为负时，)(m n x -是指依次超前（左移）m 位。

2．序列的翻褶
)
如果序列为)(n x ,则)(n x -是以0=n 的纵轴为对称轴将序列)(n x 加以翻褶。

3．序列的和
两序列的和是指同序号n 的序列值逐项对应相加而构成的一个新序列，表示为
)()()(n y n x n z +=
4．序列的乘积
两序列相乘是指同序号n 的序列值逐项对应相乘。

表示为
)()()(n y n x n f =
5．序列的标乘
序列)(n x 的标乘是指)(n x 的每个序列值乘以常数c 。

表示为
)()(n cx n f = 6．累加
设某序列为)(n x ，则)(n x 的累加序列)(n y 定义为
∑-∞
==
n
k k x n y )()(
它表示)(n y 在某一个0n 上的值等于这一个0n 上 )(0n x 的值以及0n 以前所有n 值上的
)(n x 之和。

7．差分运算
前向差分 )()1()(n x n x n x -+=∆ 后向差分 )1()()(--=∇n x n x n x
由此得出
)1()(-∆=∇n x n x
二、几种常用序列 1．单位脉冲序列)(n δ )(n δ=⎩⎨⎧
=,
00,1n n (1-1)
图1-4 )(n δ序列 图1-5 )(n u 序列
2．单位阶跃序列)(n u
⎩⎨
⎧<≥=0
,
00,1)(n n n u (1-2)
如图1-5所示。

它很类似于连续时间信号与系统中的单位阶跃函数)(t u 。

)(n δ和)(n u 间的关系为
)1()()(--=n u n u n δ (1-3) 这就是)(n u 的后向差分。

而
∑∞
=+-+-+=-=
0...)2()1()()()(m n n n m n n u δδδδ (1-4)
∑-∞
==n
k k n u )()(δ (1-5)
3．矩形序列
⎩⎨
⎧-≤≤=n
N n n R N 其他
,
010,1)( (1-6)
)(n R N 和)(n δ、)(n u 的关系为
)()()(N n u n u n R N --= （1-7）
)(n R N =∑-==-1
)(N m m n δ)(n δ+)1(-n δ+…+)]1([--N n δ (1-8)
4．实指数序列
=)(n x n
a )(n u (1-9) 其中a 为实数。

当1<a 时，序列是收敛的，而当1>a 时，序列是发散的。

a 为负数时序列是摆动的。

5．正弦型序列
)sin()(0φω+=n A n x (1-10) 式中，A 为幅度，φ为起始相位，0ω为数字域的频率，它反映了序列变化的速率。

6．复指数序列
序列值为复数的序列称为复数列，复序列的每个值具有实部和虚部两部分。

复指数序列是最常用的一种复序列：
n
j e n x )(0
)(ωσ+= (1-11a)
或
n j e n x 0
)(ω= (1-11b)
三、序列的周期性
如果对所有n 存在一个最小的正整数N ，满足
)()(N n x n x += (1-12) 则称序列)(n x 是周期性序列，周期为N 。

现在讨论上述正弦序列的周期性。

=)(n x )sin(0φω+n A 若 =)(n x )(N n x +
这时正弦序列就是周期性序列，其周期满足0
2ωπk
N =（N ，k 必须为整数）。

可分几种情况
讨论如下。

（1）当0/2ωπ为正整数时，周期为0/2ωπ。

（2）当0/2ωπ不是整数，而是一个有理数时（有理数可表示成分数），则
2ωπ
=
k
N
其中，k ，N 为互素的整数，则
N k k
N k ==
2ωπ
为最小正整数，序列的周期为N 。

（3）当0/2ωπ是无理数时，则任何k 皆不能使N 取正整数，这时，正弦序列不是周期性的。

这和连续信号是不一样的。

如果对连续周期信号)(t x α进行采样，其采样时间间隔为T ，采样后信号以)(n x 表示，则有
)sin()()(0φ+Ω===nT A t x n x nT t
如果令ω为数字域频率，满足 s
s
f f f T 00
0021π
ω=Ω=Ω=
其中s f 是采样频率。

可以看出，0ω是一个相对频率，它是连续正弦信号的频率0f 对采样频率s f 的相对频率乘以π2，或说是连续正弦信号的角频率0Ω 对采样频率s f 的相对频率。

用 0ω代替T 0Ω，可得
=)(n x )s i n (0φω+n A 这就是我们上面讨论的正弦型序列。

四、用单位采样序列来表示任意序列
)()()(m n m x n x m -=
∑∞
-∞
=δ (1-14)
五、序列的能量
序列)(n x 的能量E 定义为序列各采样样本的平方和，即
2
)(∑
∞
-∞
==
n n x E (1-15)
1.2 连续时间信号的采样
在某些合理条件限制下，一个连续时间信号能用其样本来完全给予表示，连续时间信号的处理往往是通过对其采样得到的离散时间序列的处理来完成的。

本节将详细讨论采样过程，包括信号采样后，信号的频谱将发生怎样的变换，信号内容会不会丢失，以及由离散信号恢复成连续信号应该具备哪些条件等。

采样的这些性质对离散信号和系统的分析都是十分重要的，要了解这些性质，让我们首先从采样过程的分析开始。

一、理想采样
理想采样就是假设采样开关闭合时间无限短，即τ0→的极限情况。

此时采样脉冲序列)(t p 变成冲激函数序列)(t s ，这些冲激函数准确地出现在采样瞬间，面积为1，采样后输出理想采样信号的面积（即积分幅度）则准确地等于输入信号)(t x α在采样瞬间的幅度。

理想采样过程如图1-9（f ）所示。

冲激函数序列)(t s 为
∑∞
-∞
=-=
n nT t t s )()(δ (1-16)
以)(t x α表示模拟信号，)(ˆt x
α表示理想采样的输出， )()()(ˆt s t x t x α= （1-17）
∑∞
-∞=-=n nT t t x t x
)()()(ˆδαα （1-18）
∑∞
-∞
=-=n nT t nT x t x
)()()(ˆδαα （1-19）
二、频谱的周期延拓
我们首先看看通过理想采样后信号频谱发生什么变化。

由于在连续时间信号与系统中已学过，（1-17）式表示时域相乘，则频域（傅里叶变换域）为卷积运算。

所以由（1-17）式可知，若各个信号的傅里叶变换分别表示为 ⎰
∞
∞
-Ω-=Ωdt e
t x j X t
j )()(αα （1-20）
⎰
∞
∞
-Ω-=
Ωdt e
t s j S t
j )()( （1-21）
⎰
∞
∞
-Ω-=Ωdt e t x
j X t j )(ˆ)(ˆαα
（1-22） 则
∑∞
-∞
=Ω-
Ω=Ωk s jk j X T j X )(1)(ˆαα
(1-27)
或者 ∑
∞
-∞
=-Ω=Ωk T
jk
j X T
j X )2(1)(ˆπαα
(1-28)
由此看出，一个连续时间信号经过理想采样后，其频谱将延着频率轴以采样频率
s Ω=
T
π2为间隔而重复，这就是频谱产生周期性延拓，如图1-10所示。

也就是说，理想采
样信号的频谱，是频率的周期函数，其周期为s Ω，而频谱的幅度则受T /1加权，由于T 是常数，所以除了一个常数因子外，每一个延拓的谱分量都和原频谱分量相同。

因此只要各延拓分量与原频谱分量不发生频率混叠，则有可能恢复出原信号。

也就是说，如果)(t x α是限带信号，其频谱如图1-10（a ）所示，且最高频谱分量h Ω不超过s Ω/2，即
Ωj X (α)⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
Ω≥
ΩΩ<ΩΩ=2
,02
),(s s j X α
(1-29)
那么原信号的频谱和各次延拓分量的谱彼此不重叠，如图1-10（c ）所示，这时采用一个截止频率为s Ω/2的理想低通滤波器，就可得到不失真的原信号频谱，也就是说，可以不失真地还原出原来的连续信号。

如果信号的最高频谱h Ω超过s Ω/2，则各周期延拓分量产生频谱的交叠，称为混叠现象，如图1-10（d ）所示。

由于Ωj X (α)一般是复数，所以混叠也是复数相加。

为了简明起见，在图1-10中我们将)(Ωj X α作为标量来处理。

图1-10 时域采样后，频谱的周期延拓 （a ）原始限带信号频谱 （b ）采样函数频谱
（c ）已采样信号频谱（h s Ω>Ω2）（d ）已采样信号频谱（h s Ω<Ω2）
我们将采样频率之半（s Ω/2）称为折叠频率，即
T
s π
=
Ω2
(1-30)
它如同一面镜子，当信号频谱超过它时，就会被折叠回来，造成频谱的混叠。

由此得出结论：要想采样后能够不失真的还原出原信号，则采样频率必须大于两倍信号谱的最高频率（s Ω>2h Ω），这就是奈奎斯特采样定理。

即 s f >2h f
频率h Ω一般称为奈奎斯特频率，而频率2h Ω称为奈奎斯特率。

采样频率必须大于奈奎斯特率。

同样方法，可以证明（亦可代s j =Ω到（1-27）式），理想采样后，使信号的拉普拉斯
变换在s 平面上沿虚轴周期延拓，也就是说)(ˆs X α在s 平面虚轴上是周期函数。

即有 )(ˆs X α
∑∞
-∞
=Ω-
=k s jk s X T
)(1α (1-34)
其中
⎰
∞
∞
--=
dt e
t x s X st
)()(αα
)(ˆs X α
=dt e t x
st -∞
∞
-⎰
)(ˆα
s
s
s
－Ω
s
Ω
s
2Ω
s
(a )
(b )
(c )(d )s
s
s
…
即)(s X α、)(ˆs X α
分别是)(t x α、)(ˆt x α的双边拉普拉斯变换。

三、采样的恢复
如果理想采样满足奈奎斯特定理，即信号谱的最高频率小于折叠频率
Ωj X (α)⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
Ω≥
ΩΩ<ΩΩ=2
,02
),(s s j X α
则采样后不会产生频谱混叠，由（1-27）式知
)(1)(ˆΩ=Ωj X T j X α
α ， 2
s Ω<Ω 故将)(ˆΩj X α
通过一个理想低通滤波器， ⎪⎩
⎪⎨
⎧Ω≥
ΩΩ<Ω=Ω2,02,)(s
s T j H 采样信号通过这个滤波器后，就可滤出原信号频谱来
)()()(ˆ)(Ω=ΩΩ=Ωj X j H j X j Y α
αα 因此，在输出端可以得到原模拟信号：
)()(t x t y αα==∑
∞
-∞
=--=
n nT t T
nT t T
nT x t x )
()]
(sin[
)
()(ππαα (1-36)
式（1-36）称为采样内插公式，即信号的采样值)(nT x α经此公式而得到连续信号)(t x α，也就是说，)(t x α等于各)(nT x α乘上对应的内插函数的总和。

1.3 离散时间系统时域分析
一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。

若以][∙T 来表示这种运算，则一个离散时间系统可由图1-15来表示，即
)]([)(n x T n y = （1-37） 离散时间系统中最重要、最常用的是“线性时不变系统”。

)
图1-15 离散时间系统
一、线性系统
满足叠加原理的系统称为线性系统，即，若某一输入是由N 个信号的加权和组成，则输出就是系统对这几个信号中每一个的响应的同样加权和组成。

)()()]([)]([)]()([221122112211n y a n y a n x T a n x T a n x a n x a T +=+=+ (1-39) 式(1-39)对任意常数1a 和2a 都成立。

二、时不变系统
系统的运算关系][∙T 在整个运算过程中不随时间（也即不随序列的先后）而变化，这种系统称为时不变系统（或称移不变系统）。

这个性质可用以下关系表达：若输入)(n x 的输出为)(n y ，则将输入序列移动任意位后，其输出序列除了跟着移位外，数值应该保持不变，即
)()]([n y n x T =
则 )()]([m n y m n x T -=- （ m 为任意整数） (1-41) 满足以上关系的系统就称为时不变系统。

三、单位脉冲响应与卷积
线性移不变系统可用它的单位脉冲响应来表征。

单位脉冲响应是指输入为单位脉冲序列时系统的输出。

一般用)(n h 表示单位脉冲响应，即
)]([)(n T n h δ=
有了)(n h 我们就可以得到此线性移不变系统对任意输入的输出。

∑∞
-∞
=*=-=
m n h n x m n h m x n y )()()()()( （1-42）
如图1-16所示。

上式称为线性移不变系统的离散卷积，为了同以后的圆周卷积相区别，离散卷积也称为“线性卷积”或“直接卷积”或简称“卷积”。

以后都用“*”表示之。

)()()n h n x *=
图1-16 线性时不变系统
卷积的运算过程在图形表示上可分为四步：翻褶、移位、相乘、相加，如图1-17所示。

（1）翻褶：先在哑变量坐标m 上做出)(m x 和)(m h ，将)(m h 以0=m 的垂直轴为对称轴翻褶成)(m h -。

（2）移位：将)(m h -移位n ，即得)(m n h -。

当n 为正整数时，右移n 位。

当n 为负整数时，左移n 位。

（3）相乘：再将)(m n h -和)(m x 的相同m 值的对应点值相乘。

（4）相加：把以上所有对应点的乘积叠加起来，即得)(n y 值。

依上法，取=n …,-2,-1,0,1,2,…各值，即可得全部)(n y 值。

y(n)=
)()()()(n x n h m n x m h m *=-∑∞
-∞
= （1-43）
)(*)()(*)()(n x n h n h n x n y ==
四、线性时不变系统的性质
1． 交换律
由于卷积与两卷积序列的次序无关，即卷积服从交换律，故
)(*)()(*)()(n x n h n h n x n y == (1-44) 这就是说，如果把单位脉冲响应)(n h 改作为输入，而把输入)(n x 改作为系统单位脉冲响应，则输出)(n y 不变。

2． 结合律
可以证明卷积运算服从结合律，即
)(*)](*)([)(*)](*)([)(*)(*)(122121n h n h n x n h n h n x n h n h n x ==
)](*)([*)(21n h n h n x =
(1-45)
这就是说，两个线性移不变系统级联后仍构成一个线性移不变系统，其单位脉冲响应为两系统单位脉冲响应的卷积，且线性移不变系统的单位脉冲响应与它们的级联次序无关。

3． 分配律
卷积也服从加法分配律：
)(*)()(*)()]()([*)(2121n h n x n h n x n h n h n x +=+ (1-46)
也就是说，两个线性移不变系统的并联等于两系统各自单位脉冲响应之和。

五、因果系统
所谓因果系统，就是系统的输出)(n y 只取决于此时，以及此时以前的输入，即)(n x 、)1(-n x 、)2(-n x 、…。

如果系统的输出)(n y 还取决于)1(+n x 、)2(+n x 、…，也即系统的输出还取决于未来的输入，这样在时间上就违背了因果关系，因而是非因果系统，也即不现实的系统。

从式（1-43）卷积公式我们可以看到线性时不变系统是因果系统的充分必要条件是
0,0)(<=n n h (1-47) 依照此定义，我们将0<n ，0)(=n x 的序列称为因果序列，表示这个因果序列可以作为一个因果系统的单位脉冲响应。

六、稳定系统
稳定系统是指有界输入产生有界输出（BIBO ）的系统。

如果对于输入序列)(n x ，存在一个不变的正有限值x B ，对于所有n 值满足
∞<≤x B n x )( （1-48）
则称这输入序列是有界的。

稳定性要求对于每个有界输入存在一个不变的正有限值y B ，对
于所有n 值，输出序列)(n y 满足
∞<≤y B n y )( （1-49）
一个线性时不变系统是稳定系统的充分必要条件是单位脉冲响应绝对可和，即
∞<=
∑
∞
-∞
=n n h S )( (1-50)
显然，既满足稳定条件又满足因果条件的系统，即稳定的因果系统是最主要的系统。

这种线性时不变系统的单位脉冲响应应该既是因果的（单边的）又是绝对可和的，即
⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫
∞
<⎩⎨
⎧<≥=∑
∞
-∞
=n n h n n n h n h )(0,00,
)()( (1-51) 这种稳定因果系统既是可实现的又是稳定工作的，因而这种系统正是一切数字系统设计的目标。

七、常系数线性差分方程
连续时间线性时不变系统的输入输出关系常用常系数线性微分方程表示，而离散时间线性时不变系统的输入输出关系常用以下形式的常系数线性差分方程表示，即
∑∑==-=
-N
k M
k k
k
k n x b
k n y a
)()( (1-52)
离散系统的差分方程表示法有两个主要的用途，一是从差分方程表达式比较容易直接得到系统的结构，二是便于求解系统的瞬态响应。

求解常系数差分方程可以用离散时域求解法，也可以用变换域求解法。

离散时域求解法有两种：（1）迭代法，此法较简单，但是只能得到数值解，不易直接得到闭合形式（公式）解答；（2）卷积计算法，这用于系统起始状态为零时的求解。

变换域求解法与连续时间系统的拉普拉斯变换法相类似，它采用z 变换方法来求解差分方程 ，这在实际使用上是简单而有效的。

卷积方法，前面已经讨论过了，只要知道系统脉冲响应就能得知任意输入时的输出响应。

z 变换方法将在后面几节中讨论。

这里仅简单讨论离散时域的迭代解法。

差分方程在给定的输入和给定的初始条件下，可用递推迭代的办法求系统的响应。

如果输入是)(n δ这一特定情况，输出响应就是单位脉冲响应)(n h 。

例如，利用)(n δ只在0=n 取值为1的特点，可用迭代法求出其单位脉冲响应)0(h 、)1(h 、…、)(n h 值，下面举例说明。

例1-3 常系数线性差分方程 )1(2
1)()(-+=n y n x n y （1-53）
输入为 )()(n n x δ= 初始条件为 0,
0)(<=n n y
试给出系统的实现结构并求其单位脉冲响应。

解 系统的实现结构如图1-20所示。

图中⊕代表加法器，⊗代表乘法器。

图1-20 系统的实现结构
由于初始条件已给定了0=n 以前的输出，所以系统的输出响应只要从0=n 开始求起。

又因为输入)()(n n x δ=，所以系统的输出)(n y 即为系统的单位脉冲响应)(n h 。

先由初始条件及输入求)0(h 值：
1101)1(21)0(=+=+-=
h h
再由)0(h 值及输入推导)1(h ，并依次推导得 ,)3(,)2(h h 2
10210)0(21)1(=
+=
+=
h h
2
2
210210)1(21
)2(⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=h h
n
n
n h n h ⎪⎭
⎫
⎝⎛=+⎪
⎭
⎫
⎝⎛=+-=210210)1(21
)(
故系统的单位脉冲响应为
⎪⎩⎪⎨⎧<≥⎪⎭⎫ ⎝⎛=0
,00,21)(n n n h n
即 )(21)(n u n h n
⎪⎭
⎫
⎝⎛=
这样的系统相当于因果系统，而且系统是稳定的。

一个常系数线性差分方程并不一定代表因果系统，初始条件不同，则可能得到非因果系统 。

利用同一例子，分析如下。

设)()(n n x δ=，但初始条件假设0,0)(>=n n y ，可得0>n 时0)()(==n y n h ，将
（1-53）式改写为另一种递推关系
)]()([2)1(n x n y n y -=- 或 )]1()1([2)(+-+=n x n y n y 又利用已得出的结果
0,0)(>=n n h 则
0)]1()1([2)0(=-=x h h
图1-20
1
212)]0()0([2)1(-⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=-=-=-x h h
2
2212)]1()1([2)2(-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=-=---=-x h h
n
n h n h ⎪⎭
⎫
⎝⎛-=+=21)1(2)(
所以
⎪⎩
⎪
⎨
⎧<⎪⎭
⎫ ⎝⎛-≥=0
,210,0)(n n n h n
也可表示为
)1(21)(--⎪⎭
⎫
⎝⎛-=n u n h n
这样的系统是非因果系统，而且是非稳定的。

在以下的讨论中，都假设常系数线性差分方程就代表线性时不变系统，且多数代表可实现的因果系统。

从上面的例子可以看到，差分方程可以用来求离散系统的瞬态解。

但是，为了更便于分析系统的另外一些特性，如系统的稳定性，频率响应等，就需要用到离散时间系统的z 变换方法。

1.4 z 变换
z 变换是分析离散时间信号与系统的一种有用工具，
它在离散时间信号与系统中的作用就如同拉普拉斯变换在连续时间信号与系统中的作用。

z 变换可用于求解常系数差分方程，
以及设计滤波器等。

这里我们直接给出序列的z 变换表示，并研究一个序列的性质是如何与它的z 变换性质联系起来的。

1.4.1 z 变换的定义及收敛域
一、z 变换的定义
一个离散序列)(n x 的z 变换定义为
∑∞
-∞
=-=
n n
z
n x z X )()( (1-54)
式中z 是一个复变量，它所在的复平面称为z 平面。

二、 z 变换的收敛域
显然，只有当（1-54）式的幂级数收敛时，z 变换才有意义。

对任意给定序列)(n x ，使其z 变换收敛的所有z 值的集合称为)(z X 的收敛域。

按照级数理论，（1-54）式的级数收敛的充分必要条件是满足绝对可和的条件，即要求
∞<∑
∞
-∞
=-n n
z
n x )( (1-57)
要满足此不等式，z 值必须在一定范围之内才行，这个范围就是收敛域。

一般收敛域用环状域表示，即
+-<<x x R z R
常用的z 变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示： )
()()(z Q z P z X =
分子多项式)(z P 的根是)(z X 的零点，分母多项式)(z Q 的根是)(z X 的极点。

在极点处z 变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域总是用极点限定其边界。

z 平面上收敛域的位置，或者说-x R 及+x R 的大小和序列有着密切的关系，分别讨论如
下。

（1）有限长序列
序列)(n x 只在有限区间21n n n ≤≤之内才具有非零的有限值，在此区间外，序列值皆为零。

也即
⎩⎨⎧≤≤=n
n n n n x n x 其它,
0,)()(2
1
其z 变换为
∑=-=
2
1
)()(n n n n
z
n x z X
具体有限长序列的收敛域表示如下：
01<n ，02≤n 时，∞<≤z 0 (1-58a)
01<n ，02>n 时，∞<<z 0 (1-58b)
1≥n ，02>n 时，∞≤<z 0 (1-58c)
有时将开域),0(∞称为“有限z 平面”。

（2）右边序列
右边序列是指)(n x 只在1n n ≥时有值，在1n n <时0)(=n x ，其z 变换为X(z)，如果
-x R 是收敛域的最小半径，则右边序列z 变换的收敛域为
-x R ∞<<z
因果序列是最重要的一种右边序列，其z 变换收敛域包括∞=z 。

右边序列的z 变换如果有N 个有限极点},,,{21N z z z 存在，那么收敛域一定在模值为最大的这一个极点所在圆以外，也即
],,,m a x [21N x z z z R =-
对于因果序列，∞处也不能有极点。

（3）左边序列
左边序列是指在2n n ≤时)(n x 有值，而在2n n >时0)(=n x ，左边序列z 变换的收敛域为 <<z 0+x R
如果02≤n ，收敛域应包括0=z ，即<z +x R 。

对于左边序列，如果序列z 变换有N 个有限极点},,,{21N z z z 存在，那么收敛域一定在模值为最小的这一个极点所在圆以内，这样才能在整个圆内)(z X 解析，也即 ],,,m i n [21N x z z z R =+
（4）双边序列
双边序列其z 变换)(z X 有收敛域 +-<<x x R z R
这是一个环状区域。

如果+->x x R R ，则无公共收敛区域，)(z X 无收敛域，也即在z 平面的任何地方都没有有界)(z X 值，因此就不存在的解析式，这种z 变换就没有什么意义。

表1-1 几种序列的z 变换
序 列 z 变 换 收 敛 域 1． )(n δ
1 所有z
2． )(n u 1
11--z 1>z 3． )1(---n u
1
11--z
1<z
4． )(m n -δ m z - 全部z 除去0（若0>m ）或∞（若0<m ） 5．)(n u a n 1
11--az
a z > 6．)1(---n u a n
1
11--az
a z <
7．)(n u na n
2
1
1)
1(---az az
a z >
8．)1(---n u na n
2
1
1)
1(---az
az
a z <
9． )(0
n u e
jn ω-
1
11---z
e
j ω 1>z
10．)(][sin 0n u n ω
2
01
1
c o s 21s i n ---+-z
z
z ωω 1>z
11．)(][cos 0n u n ω
2
01
1
cos 21cos 1---+--z
z
z ωω 1>z
12．)(]sin [0n u n e
an
ω-
a
a
a
e
z
e
z e
z 22
01
1
c o s 21s i n ------+-ωω a
e
z ->
13．)(]cos [0n u n e
an
ω-
a
a
a
e
z
e
z e z 22
01
1
c o s 21c o s 1------+--ωω a
e
z ->
14．)(n R a N n
1
11----az
z a N
N
0>z
1.4.2 z 反变换
已知函数)(z X 及其收敛域，反过来求序列的变换称为z 反变换，表示为
=)(n x Ƶ)]([1
z X -
z 反变换的一般公式为
若 ∑∞
-∞
=-=
n n
z
n x z X )()( ， +-<<x x R z R (1-63)
则 ⎰
+--∈=
c
x x n R R c dz z
z X j
n x ),(,
)(21)(1
π (1-64)
式(1-64)反变换是一个对1)(-n z z X 进行的围线积分，积分路径c 是在)(z X 的环状解析域（即收敛域）内环绕原点的一条反时针方向的闭合单围线，如图1-28所示。

图1-28 围线积分路径
直接计算围线积分是比较麻烦的，实际上求z 反变换时，往往可以不必直接计算围线积分，一般求z 反变换的常用方法有三种：围线积分法（留数法）、部分分式展开法和幂级数展开法。

一、 围线积分法（留数法）
这是求z 反变换的一种有用的分析方法。

根据留数定理，若函数1)()(-=n z z X z F 在围线c 以内有K 个极点k z ，而在c 以外有M 个极点m z （M 、K 为有限值），则有 ⎰∑--=
=
c
k
k n n z z
z X s dz z z X j
n x ],)([Re )(21
)(1
1
π (1-69a)
⎰
∑---
==
c
m
m n n z z
z X s dz z
z X j
n x ],)([Re )(21)(1
1
π (1-69b)
根据具体情况，既可以采用（1-69a ）式，也可以采用（1-69b ）式。

例如，如果当n 大于某一值时，函数1
)(-n z
z X 在围线的外部可能有多重极点，这时选c 的外部极点计算留数
就比较麻烦，而通常选c 的内部极点求留数则较简单。

如果当n 小于某一值时，函数
1
)(-n z
z X 在围线的内部可能有多重极点，这时选用c 外部的极点求留数就方便得多。

现在来讨论如何求1
)(-n z
z X 在任一极点r z 处的留数。

设r z 是1
)(-n z
z X 的单一（一阶）极点，则有
r z z n r r n z
z X z z z z
z X s =---=])()[(],)([Re 1
1
(1-70)
如果r z 是1)(-n z z X 的多重极点，如l 阶极点，则有 r z z n l r l l r n z
z X z z dz
d
l z z
z X s =------=
])()[()!1(1],)([Re 1
1
11
(1-71)
例1-9 已知 1
11)(--=az
z X a z >
求z 反变换。

解 ⎰
⎰
-=
-=
--c
n
c
n dz a
z z
j
dz z
az
j
n x ππ211121)(1
1
围线c 以内包含极点a ，如图1-29粗线所示，当0<n 时，在0=z 处有一个n -阶极点。

因此
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≥⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=0
,0,Re ,Re 0
,,Re )(n a z z s a a z z s n a a z z s n x n n
n
a 是单阶极点，应用公式(1-70)，则
n
a
z n
n a z a a z z s ==⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡-=,Re
在0=z 处有一个n -阶极点（0<n ），应用公式(1-71)，则
1
1)!1(10,Re =-----⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-z n n n n n a z z z dz
d n a z z s
n
z n
n a a z -=--==--0
1
)
()
1(
因此 ⎩⎨⎧<=-≥=0
,
00,
)(n a a n a n x n
n
n
也即 )()(n u a n x n
=
图1-29 收敛域a z >
二、部分分式展开法
在实际应用中，一般)(z X 是z 的有理分式，可表示成)(/)()(z Q z P z X =，)(z P 及
)(z Q 都是实系数多项式，且没有公因式。

可将)(z X 展开成部分分式的形式，然后利用表
1-1的基本z 变换对的公式求各简单分式的z 反变换（注意收敛域），再将各个反变换相加起来，就得到所求的)(n x 。

为了看出如何求得部分分式展开，假设)(z X 可以表示成1-z 的多项式之比，即
∑∑=-=-+
=
N
i i
i
M
i i
i
z
a
z
b z X 1
1)( (1-72)
∏∏=-=---=
N
k k
M
k k z
d
z
c b z X 1
1
11
0)
1()
1()( (1-73)
式中，k c 是)(z X 的非零零点，k d 是)(z X 的非零极点。

如果N M <，且所有极点都是一阶的，则)(z X 可展开成
∑=--=
N
k k
k z d
A z X 1
1
1)( (1-74)
其中k A 是常数，N k ,,2,1 =。

若)(z X 的收敛域为]max[k d z >，因此上式部分分式展开式中每一项都是一个因果序列的z 函数，可以直接利用例1-9的结果，得
∑==
N
k n
k k
n u d A
n x 1
)()( (1-75)
其中系数k A 可利用留数定理求得
],)([
Re )()
(|)()1(1
k k d z k k d z
z X s z
z X d z z X z
d A k =-=-==- (1-76)
例1-11 设 ,)
5.01)(21(1
)(1
1
----=
z
z
z X 2>z
试利用部分分式法求z 反变换。

解 )(z X 有两个极点，21=d 和5.02=d ，收敛域为2>z ，则)(z X 的零极点如图1-31所示。

由收敛域可知)(n x 是一个右边序列。

因为极点全部是一阶的，因此)(z X 能表示为
图1-31 例1-11 z 变换的零极点图
1
2
1
15.0121)(---+
-=
z
A z
A z X 用（1-76）式求得系数为
3
45.011
)]()21[(2
1
2
1
1=
-=-==-=-z z z
z X z
A
3
1211)]()5.01[(5
.01
5.01
2-=-=-==-=-z z z
z X z A
因此)(z X 为 1
1
5.011
31
21134)(---⨯
-
-⨯
=z
z
z X
根据表1-1可得
⎪⎩⎪⎨⎧<≥-⨯=0
,
00,
)5.0(3
1234
)(n n n x n n
或表示为
)(])5.0(3
1234[
)(n u n x n
n
-
⨯=
三、幂级数展开法（长除法）
因为)(n x 的z 变换定义为1-z 的幂级数，即
++++-+==
--∞
-∞
=-∑2
1
0)2()1()0()1()()(z
x z
x z x z x z
n x z X n n
所以只要在给定的收敛域内，把)(z X 展成幂级数，则级数的系数就是序列)(n x 。

把)(z X 展成幂级数的方法很多。

例如，直接将)(z X 展开成幂级数形式；当)(z X 是
图1-31
sinh cos,sin,log,等函数时，可利用已知的幂级数展开式将其展成幂级数形式；当)(z X 是
一个有理分式，分子分母都是z 的多项式时，可利用长除法，即用分子多项式除以分母多项式得到幂级数展开式。

下面分别举例说明。

例1-13 若)(z X 为
)1)(1()(112---+=z z z z X 求z 反变换。

解 直接将)(z X 展开成
1)1)(1()(2112-=-+=--z z z z z X 凭观察，)(n x 就是
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=-=其它02,0,1,1)(n n n x
或者写成
)()2()(n n n x δδ-+= 例1-15 若)(z X 为
a z az
z X >+=
-,11)(1
求z 反变换。

解 )(z X 在a z -=处有一极点，收敛域在极点所在圆以外，序列应该是因果序列，
)(z X 应展成z 的降幂次级数，所以可按降幂顺次长除
+-+++--++------n
n z
a z
a az
•az
az
az
)(11112
21
1
11
2
2
221
-----z
a z a az
3
3
33
2
2----+z
a z a z
a
所以 ∑∞
=--=
)
()(n n
n
z
a z X
)()()(n u a n x n
-=
例1-16 若)(z X 为
a z az
z X <-=
-,11)(1
求z 反变换。

解 )(z X 在a z =处有一极点，收敛域在极点所在圆以内，序列应该是左边序列，
)(z X 应展成z 的升幂次级数，因此应按升幂顺次长除
-----+-------3
3
22
1
1
1
1
11
1z a
z a
z a
z
a
z
a az
2
2
221
z
a
z a
z a
----
3
3
3
3
22
z
a
z
a
z a
----
故 ∑∞
=-----=
----=1
3
3
22
1)(n n
n
z
a
z a
z a
z a z X
∑--∞
=--=
1
n n
n
z
a
则 )1()(---=n u a n x n
从上面两例可以看出，长除法既可展成升幂级数也可展成降幂级数，这完全取决于收敛域。

所以在进行长除以前，一定要先根据收敛域确定是左边序列还是右边序列，然后才能正确地决定是按升幂长除，还是按降幂长除。

如果收敛域是+<x R z ，则)(n x 必然是左边序列，此时应将)(z X 展开z 的正幂级数，为此，)(z X 的分子分母应按z 的升幂（或1-z 的降幂）排列。

1.4.3 z 变换的性质
一、线性
那么对于任意常数a 、b ，z 变换都能满足以下等式：
Ƶ),()()]()([z bY z aX n by n ax +=+ +-<<R z R (1-79)
通常两序列和的z 变换的收敛域为两个相加序列的收敛域的公共区域： ),,max(---=y x R R R ),,min(+++=y x R R R
如果线性组合中某些零点与极点互相抵消，则收敛域可能扩大。

二、序列的移位
Ƶ),()]([z X z m n x m -=- +-<<x x R z R (1-80)
位移m 可以为正（右移）也可以为负（左移）。

三、乘以指数序列（z 域尺度变换）
Ƶ),()]([1z a X n x a n -= +-<<x x R a z R a (1-81)
四、)(z X 的微分 Ƶdz
z dX z
n nx )()]([-= +-<<x x R z R (1-82)
五、复序列的共轭
Ƶ),()]([***z X n x = +-<<x x R z R (1-83) 符号“*”表示取共轭复数。

六、翻褶序列
Ƶ),/1()]([z X n x =-
-
+
<
<x x R z R 11 (1-84)
七、初值定理
对于因果序列)(n x ，即0,0)(<=n n x ,有
)0()(l i m x z X z =∞
→ (1-85)
八、终值定理
设)(n x 为因果序列，且=)(z X Ƶ)]([n x 的全部极点，除有一个一阶极点可以在1=z 处外，其余都在单位圆内，则
)]()1[(lim )(lim 1
z X z n x z n -=→∞
→ (1-86)
]1),([Re )()1(lim 1
z X s z X z z =-→
]1,)([Re )(z X s x =∞ (1-87)
九、序列卷积（卷积定理）
若 ∑∞
-∞
=-=
=m m n h m x n h n x n y )()()(*)()(
则 =)(z Y Ƶ],min[],max[),
()()]([++--<<=h x h x R R z R R z H z X n y (1-88)
)(z Y 的收敛域为)(z X 、)(z H 收敛域的公共部分。

若有极点被抵消，收敛域可扩大。

在线性时不变系统中，如果输入为)(n x ，系统的单位脉冲响应为)(n h ，则输出)
(n y 是)(n x 与)(n h 的卷积，利用卷积定理，通过求出)(z X 和)(z H ，然后求出乘积)()(z H z X 的z 反变换，从而可得)(n y 。

这个定理得到广泛应用。

十、序列乘积（复卷积定理） 若 )()()(n y n x n w = 则
=)(z W Ƶ=)]([n w Ƶ)]()([n y n x ∑∞
-∞
=-=
n n
z
n y n x )()(
⎰
++---<<=c
y x y x R R z R R dv
v v
z Y v X j
1
)()(21π (1-89)
十一、帕塞伐（Parseval ）定理
利用复卷积定理可以得到重要的帕塞伐定理。

若有两序列)(n x 、)(n y
=)(z X Ƶ[)(n x ]， +-<<x x R z R =)(z Y Ƶ[)(n y ]， +-<<y y R z R
它们的收敛域满足以下条件：
++--⋅<<⋅y x y x R R R R 1 那么
∑
∞
-∞
=n n y n x )()(*
⎰
-=
c
dv v v
Y v X j
1
*
*
)1(
)(21π （1-94） ]1,
m i n []1,m a x [
-
++
-<<y x y x R R v R R
∑
∞
-∞
==
n n y n x π
21)()(*
⎰-
π
π
ω
ω
ωd e
Y e
X j j )()(* (1-95)
帕塞伐定理的一个很重要的应用是计算序列的能量，一个序列值的平方总和
∑
∞
-∞
=n n x 2
)
(称为
“序列能量”，利用公式（1-95），如果有)()(n x n y =，则
∑
⎰∞
-∞
=-
=
n j d e
X n x ωπ
π
π
ω
2
2
)(21)( (1-96)
这表明时域中求能量与频域中求能量是一致的。

1.5 拉氏变换、傅氏变换与z 变换
在1.2节里，已经讨论了连续信号的理想采样。

现在，我们将通过理想采样把连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换与离散信号的z 变换沟通起来。

1.5.1 拉氏变换与z 变换
首先讨论序列的z 变换与理想采样信号的拉普拉斯变换的关系。

设连续信号为)(t x α，理想采样后的采样信号为)(ˆt x
α，它们的拉普拉斯变换分别为 ⎰
∞
∞
--=
dt e
t x s X st
)()(αα
)(ˆs X α
=dt e t x
st -∞
∞
-⎰
)(ˆα )(ˆs X α
= ∑∞
-∞
=-=n nsT
e
nT x )(α (1-97)
∑∑∞
-∞
=-∞-∞
=-=
=
n n
n n
z
n x z
nT x z X )()()(α
当sT
e
z =时，采样序列的z 变换就等于其理想采样信号的拉普拉斯变换：
)(ˆ)()(s X e
X z X sT
e
z sT
α
=== (1-98) 这说明，从理想采样信号的拉普拉斯变换到采样序列的z 变换，就是由复变量s 平面到复变量z 平面的映射，其映射关系为
sT
e
z = ， z T
s ln 1=
(1-99)
这个变换称为标准变换。

下面来讨论这一映射关系。

将s 平面用直角坐标表示为
Ω+=j s σ 而z 平面用极坐标表示。