信号与系统(第三版)陈生潭第三章课后答案

此时， 此时
c12V2 = V 1 cos θ
c12 = V 1 cos θ V2 = V 1 V 2 cos θ V2V2 V 1 ⋅V 2 = V 2 ⋅V 2
所以最佳系数为
随着θ角的增加，直至V1 ⊥ V2时，θ＝ °，cosθ＝ ，c12 = 0 90 0
结论：给定两矢量V 若用与V 成比例的矢量C 结论：给定两矢量V1和V2,若用与V2成比例的矢量C12 V2近 似V1，要求误差矢量 V e ≈ V 1 − c 12 V 2 的模
n=0 n=1
∞
∞
该函数系数
an
∫ =
t0 +T
t0
f T ( t ) cos * n Ω tdt cos n Ω t dt
2
∫
t0 +T
t0
∫t0 f T ( t ) dt n=0 = t0 + T ∫t0 f T ( t ) cos n Ω tdt n = 1, 2 ..
1 T 2 T
1.正交矢量 1.正交矢量 两矢量正交， 数学定义 两矢量正交，在几何意义 上是指两矢量相互垂直（如右图所示）。 上是指两矢量相互垂直（如右图所示）。 两矢量相互垂直时的夹角为90 90度 两矢量相互垂直时的夹角为90度，即： 该式可为两矢量正交的定义式。 V 1 ⋅V 2 = V 1 ⋅ V 2 cos 90° = 0 该式可为两矢量正交的定义式。 不正交，现在要求寻求一个与V 另外一种理解 V1与V2不正交，现在要求寻求一个与V2 成比例的矢量C 使得当用C 成比例的矢量C12 V2，使得当用C12V2近 似表示V 其误差矢量V 的模最小。 似表示V1时，其误差矢量Ve 的模最小。 V e = V 1 − c 12 V 2 这个问题的实质 就是找一个最佳系数C 就是找一个最佳系数C12，使Ve的模最 如左上图所示， 垂直于V 的模才能最小。 小。如左上图所示，知V1垂直于V2时，Ve的模才能最小。
t1
f 1 ( t ) f 2 ( t ) dt = 0
2 信号的正交分解 正交函数集： *正交函数集：设一函数集
t2 t1
≠ t ∈ ( t 1 , t 2 ) 若 g i (t )g j * (t )dt ={0 ii= jj i, j = 1,2,3K N ki ∫
{g ( t )} = {g 1 ( t ), g 2 ( t ),...,
f e ( t ) ≅ f 1 ( t ) − c12 f 2 ( t )
Ee ≅
∫
∫
t2
2
t1
f e ( t ) dt
的大小， 改变c12的大小，如果使Ee 为最小时相应的c12＝0，称 f 1(t) (t)在区间 在区间（ 上正交。 和 f 2(t)在区间（t1 ,t2)上正交。 判定两信号正交的条件： 判定两信号正交的条件： t2 *
a0 A0 = → 直流分量 cos Ω t , sin Ω t → 基波分量 2 2 cos nΩt , sin nΩt → n次谐波分量
该周期函数可以视为由直流、基波和无穷多谐波分量组成。 该周期函数可以视为由直流、基波和无穷多谐波分量组成。 的偶函数， 的奇函数。 3。a n , An为 n 的偶函数， bn , ϕ n为 n 的奇函数。
∑
∫ F =
n
t0 +T
t0
fT (t)g (t)dt gi (t) dt
2
* i
∫
t0 +T
∫ =
t0 +T
t0
t0
1 t0 +T − jnΩt = ∫ fT (t)e dt t0 +T 2 jnΩt T t0 ∫ e dt
t0
fT (t)e
− jnΩt
n=−∞
∑
dt
∴ fT (t ) =
n=−∞
c1V 1 = V cos θ 1, c1 =
V cos θ 1 V1
V ⋅V 1 = V 1 ⋅V 1
V ⋅V 2 c2V 2 = V cos θ 2, c2 = = V2 V 2 ⋅V 2 同样，对于一个三维的空间矢量， 三维的空间矢量 同样，对于一个三维的空间矢量，要精 确地表示它，就必须用一个三维 三维的正交 确地表示它，就必须用一个三维的正交 矢量集。如左图，三维矢量空间可精确 矢量集。如左图，三维矢量空间可精确 地表示为： = 地表示为：V=c1V1+c2V2+c3V3
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(2)指数函数集： 指数函数集： 指数函数集
{e
jn Ω t
n = 0 , ± 1, ± 2 ....
jnΩt
}
基本周期：T=2 基本周期：T=2л/Ω, , 正交区间（ t +T） 正交区间（t0 ，t0+T）。 是完备的正交函数集。 是完备的正交函数集。
t0 +T j ( n − m )Ωt
正交性 ∫
E 这种近似所产生的平方误差为： = 这种近似所产生的平方误差为： e ∆
∑
N
N
i =1
ci g i (t )
2
∫
t2 t1
f (t ) −
∑
i=1
ci g i (t )
dt
可以求出，欲使E 达到最小，其第r个函数的加权系数 个函数的加权系数C 可以求出，欲使Ee达到最小，其第 个函数的加权系数 r为 t2 * 此时的平方误差为下式所示： 此时的平方误差为下式所示： f ( t ) g r ( t ) dt ∫t1 2 N 2 t2 t2 cr = t2 2 E e = ∫ f ( t ) dt − ∑ ∫ c i g i ( t ) dt g r ( t ) dt t1 t1 ∫
a n = a − n , An = A− n ; bn = − b− n , ϕ n = −ϕ − n .
4.当该周期函数为偶函数时， 4.当该周期函数为偶函数时，bn＝0，展开式只含直 当该周期函数为偶函数时 流及 cos nΩ t 分量 当该周期函数为奇函数时，a0＝an＝0，展开式只 当该周期函数为奇函数时， 会含 sin nΩ t分量
∑F e
n
∞
jnΩt
1 t0 +T − jnΩt Fn = ∫ fT (t )e dt T t0
称为周期信号的指数型傅立叶级数展开式或复系数傅叶级数
3.2.3 傅立叶系数关系
比较两种展开式， 比较两种展开式，得：
An = 2 Fn ϕ n =ϕ n
jϕ & 令 A n＝ An e n
A0 = a 0 = 2 F0
t0 +T
t0
e
⋅e
(
jmΩt *
) dt = ∫
t0
e
dt =
{
m≠n 0 T m=n
完备性： 完备性：无穷函数集
3.2 周期信号的傅立叶级数分解
3.2.1 三角形式傅立叶级数分解
1.三角函数集 1.三角函数集
fT (t ) = cos nΩt , sin nΩt
{
n =0,1, 2...
}
2π ,T = Ω
t1 i =1
如果对于某一类f(t),所选择的正交函数集满足Ee等于零 如果对于某一类 (t),所选择的正交函数集满足 等于零， (t),所选择的正交函数集满足 等于零， 则称正交函数集对于f(t)这一类函数是完备的正交函数集。 则称正交函数集对于 (t)这一类函数是完备的正交函数集。 (t)这一类函数是完备的正交函数集 一个完备的正交函数集通常是一个无穷函数集。 一个完备的正交函数集通常是一个无穷函数集。 关于完备的正交函数集，有两个重要定理。见课本P91。 关于完备的正交函数集，有两个重要定理。见课本 。 3 两个完备的正交函数集 基本周期：T=2л/Ω,正交 基本周期：T=2 , （1）三角函数集 区间（ ）。是完备的 区间（t0 ，t0+T）。是完备的 t +T）。 cos nΩt , sin nΩt n =0,1, 2... 正交函数集。 正交函数集。
2 t0 +T 其中 n = ∫ fT (t) cosnΩtdt a T t0 n = 0,1,2...
2 t0 +T bn = ∫ fT (t ) sin nΩtdt T t0
A0 = a0 An = an + bn
2 2
n = 1,2...
bn ϕ n = −arctg an
说明：1.周期信号可分解表示为三角函数的线性组合。 说明：1.周期信号可分解表示为三角函数的线性组合。 周期信号可分解表示为三角函数的线性组合 2.物理意义 物理意义： 2.物理意义：周期信号可分解为众多频率成整数倍关系的 弦函数或分量的线性组合。具体有： 正（余）弦函数或分量的线性组合。具体有：
最小，（此时的C12称为最佳），当C12＝0时，Ve的 ），当 最小，（此时的 称为最佳）， ，（此时的C 模最小，此时V1和V2正交。 模最小，此时V 正交。
2.矢量分解 2.矢量分解 在平面空间里，相互正交的矢量 在平面空间里， V1和V2构成一个正交矢量集 构成一个正交矢量集， V1和V2构成一个正交矢量集，而且为 完备的正交矢量集。 完备的正交矢量集。平面空间中的任 一矢量V都可表示为V 如上图）。 ）。即 一矢量V都可表示为V1和V2的线性组合 （如上图）。即： 式中V 为单位矢量， 其中： V=C1V1+C2 V2。式中V1、V2为单位矢量，且V1·V2＝0。其中： V
g N ( t )},
则称 {g(t) } 为正交函数集， t ∈ ( t1 , t 2 ) 称为归一化正交函数集 归一化正交函数集。 当Ki=1时，称为归一化正交函数集。 1 信号的分解：用上述正交函数集近似地表示信号f *信号的分解：用上述正交函数集近似地表示信号 (t)，即：
f ( t ) ≈ c 1 g 1 ( t ) + c 2 g 2 ( t ) + ... + c N g N ( t ) =
V cos θ 2
推广到n维空间， 推广到n维空间，则有 V = c1V 1 + c 2V 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + cnVn = 其中， 其中，Ci = V·Vi/Vi ·Vi V V
∑c V
i i =1
n
i
3.1.2 信号的正交分解
1.正交信号（函数） 1.正交信号（函数） 正交信号 定义: 为定义在（ *定义:设 f 1(t)和 f 2(t)为定义在（t1 ,t2 )区间上的两个函 成比例的一个函数C 数，现在要用与 f 2(t)成比例的一个函数C12f 2(t)近似地代表 f 1(t)，其误差信号为 平方误差定义为： 平方误差定义为：
t0 + T
∫ b =
n
t0 +T
t0
∫
t0
fT (t) sin* nΩtdt 2 t0 +T = ∫ fT (t) sinnΩtdt t0 +T 2 T t0 sinnΩt dt
∞ ∞
n =1,2...
包含在a 中则有： 将a0包含在an中则有：
a0 A0 fT (t) = +∑(an cosnΩt +bn sinnΩt) = +∑An cos( Ωt +ϕn ) n 2 n=1 2 n=1
{
}
正交性： ∫
t0 +T
t0
cos n Ω t ⋅ cos m Ω tdt =
{
m≠n 0 T / 2 m=n
∫
∫
t0 + T
t0
t0 + T
sin n Ω t ⋅ sin m Ω tdt =
cos n Ω t ⋅ sin n Ω tdt =
{
0 T /2
0 0
m≠n m=n
t0
{
m≠n m=n
完备性：无穷函数集。 完备性：无穷函数集。
3.2.2 指数形式傅立叶级数分解
1.复指数函数集 1.复指数函数集
f T (t ) = e
{
jn Ω t
n = ± 0 , ± 1 , ± 2 ...
}
2π T = Ω
该函数集在（ +T）上为周期信号的完备正交函数集。 该函数集在（t0，t0+T）上为周期信号的完备正交函数集。 2.正交展开 正交展开： 2.正交展开： ∞ 将任一周期信号展开为 fT (t) = ci gi (t) = Fne jnΩt
对周期信号，该函数在（t0，t0+T）上为完备的正交函数集。 对周期信号，该函数在（ +T）上为完备的正交函数集。 2.正交展开 将任一周期函数信号展开为： 2.正交展开 将任一周期函数信号展开为：
fT (t) =∑ci gi (t) =∑(an cos Ω +bn sinnΩ ) = a0 +∑(an cos Ω +bn sinnΩ ) n t t n t t
第三章 连续信号与系统的频域分析
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 信号的正交分解 周期信号的连续时间的傅立叶级数 周期信号的频谱 非周期信号的连续时间傅立叶变换 傅立叶变换的性质 周期信号的傅立叶变换 连续信号的抽样定理 连续系统的频域分析
3.1 信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分析
jϕ n