江西省莲塘一中高三数学11月月考 理 北师大版【会员独享】
【配套K12】高三数学11月月考 文 北师大版【会员独享】
江西省莲塘一中2010—2011学年度高三年级11月月考数学试题（文科）一、选择题（每小题5分，共50分，每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．集合}1|{2+==x y y A ，集合}1|{+==x y y B ，则=⋂B A （ ）A ．(){}1,0),2,1(B ．{}1,0C ．{}2,1D ．[)ω+,1 2．下列函数是幂函数的是（ ）A ．x y 2=B ．12-=x yC ．2)2(+=x yD ．32x y = 3．关于x 的方程)0(,0lg 2≥=-+a x a x 的实根的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．随a 的取值不同而不确定4．已知实数b a ,均不为零，6,tan sin cos cos sin παββαααα=-=-+且b a b a ，则=a b（ ）A ．3B ．33C ．-3D ．-33 5．O 是平面上一定点，A ．B ．C 是平面上不共线的三点，动点P 满足：[),,0ωλλ+∈++=则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ． 外心B ．内心C ．重心D ．垂心 6．在ABC ∆中，若abB A =cos cos ，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形7．数列{}n a 的通项公式是)23)(13(1+-=n n a n ，则数列{}n a 的前n 项和n s 为 （ ）A ．23+n nB ．26+n nC ．463+n nD ．21++n n 8．若关于x 的方程043)4(9=+++xxa 有解，则实数a 的取值范围是 （ ）A ． (][)ωω+⋃--,08,B ．(]4,--ωC ．[)4,8-D ．(]8,--ω9．曲线)2(412≤-+=x x y 与直线4)2(+-=x k y 有两个交点时，实数k 的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎝⎛43,125 B ．⎪⎭⎫⎝⎛+ω,125 C ．⎪⎭⎫⎝⎛43,31 D ．⎪⎭⎫⎝⎛125,0 10．已知两点)0,1(),0,1(N M -，若直线043=+-m y x 上存在点P 满足0=∙，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(][)ωω+⋃--,55,B ．(][)ωω+⋃-,2525,C ．[]25,25-D ．[]5,5-二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
江西莲塘一中2011届高三数学上学期第一次月考 文 北师大版
江西省莲塘一中10-11学年高三上学期第一次月考文科数学一. 选择题.(每小题5分,12小题,共60分.)1. 方程lg 30x +=的解所在区间为( ) A.(0,1) B. (1,2) C. (3,)+∞ D. (2,3)2.定义域为R 的函数y=f(x)的值域为[,]a b ,则()f x a +的值域为（ ） A ．[2,]a a b + B ．[0,]b a - C ．[,]a a b -+ D ． [,]a b3．函数f(x )、f(x+2)均为偶函数,且当[0,2]x ∈时, ()f x 是减函数,设81(log ),(7.5),(5)2a fb fc f ===-,则,,a b c 的大小是（ ）A a c b >>B a b c >>C b a c >>D c a b >>4. 己知4323x x y =-+,当其值域是[1,7]时,则x 取值范围是（ ）A ．[2,4]B ．(,0)[1,2]-∞ C ．(0,1)[2,4] D. (,0]-∞5.若方程2lg (lg7lg5)lg lg7lg50x x +++=两根分别为,αβ则αβ的值是 ( )A ．lg7lg5B ．lg35C ．135D ． 356. 如图，函数的图象是（ ）7.设2log 13a <,则实数a 的取值范围是( ) A ．203a <<B ．213a <<C ．203a <<或a >1 D ．不能确定 8. 在0x x =处可导,且000(3)()lim 1x f x x f x x→+-=,则0()f x '=（ ）A ． 13B ．0C ．3D ． 19. 若函数32()1f x x ax =-+ 在(0,2) 内单调递减,则a 的取值范围为( )A ．3a ≥B ．3a =C ．3a ≤D ．03a << 10设010()sin ,()()f x x f x f x '==,21()()f x f x '=1()(),,n n f x f x n N +'=∈2009()f x =A .sinxB . sin x -C .cosxD . cos x -11. 单调增函数y=f(x)对任意x,y ∈R, 满足()()()f x y f x f y +=+,若(3)(392)0x x x f k f +--<恒成立,则k 的取值范围是 ( )A B C DA ．(1)-B ．1]C ．(1)-∞D ．1,)+∞ 12. 若第一个函数()y f x =,它的反函数是第二个函数,又第三个函数图象与第二个函数的图象关于直线0x y +=对称,那么第三个函数的图象是( ) A. 1()y fx -=- B. 1()y fx -=-- C. ()y f x =-- D. ()y f x =-二. (每题4分,共4题,总分16分)13. 某工厂生产某种产品固定成本为2000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元,又知总收入K 是单位产品数Q 的函数,K(Q)= 214020Q Q -,则总利润L(Q)的最大值是 万元.14.从盛满纯酒精的容器里倒出1升,然后用水填满,再倒出1升混合溶液又用水填满,这样继续下去,如果到第n(1n ≥)次时共倒出纯酒精x 升,倒第n+1次时共倒出纯酒精f(x)升,则f(x)的表达式为15．函数lg(2sin y x =+的定义域是__________.16. 设角356πα=-,则222sin()cos()cos()1sin sin ()cos ()a παπαπααπαπα+--+++--+的值等于 三.解答题.（17－21每题12，22题14分，共76分）17.(1)求函数4y =+的最小值 (2)定义在[－2,2]上的偶函数()g x ,当0x ≥时()g x 单调递减,若(1)()g m g m -<求m 的取值范围.18.设f(x)是定义在R 上的偶函数,在区间(,0)-∞上单调递增,且满足22(25)(21)f a a f a a -+-<++,求a 的取值范围.19.己知函数22()log ()f x x ax a =--在区间(,13]-∞-上单调递减函数,求实数a 的取值范围.20. 已知函数1sin sin ,3x y +=求2sin cos y x -的最大值21. 设函数()(1)ln(1)(1)f x ax a x a =-++≥-, 求()f x 的单调区间.22.某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B ，及CD 的中点P 处，已知20AB =km,10CD km =,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A ，B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为ykm 。
江西省部分学校2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题(含解析)
江西省2024—2025学年上学期第一次模拟选科联考高一数学试卷共4页，19小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.考查范围：必修第一册第一章至第三章第二节。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则A.{2,3,4,5}B.{1,3,4}C.{3,4}D.{3}2.已知命题，，则为A.， B.，C.， D.，3.已知为定义在R 上的奇函数，当时，，则A. B.C. D.4.已知是幂函数，若，则a =A.B.2C.4D.65.若A. B. C. D.6.已知定义在R 上的函数满足，且，且，，则A. B.C. D.7.若关于x 的不等式的解集为，且，则实数m 的值为}{1,2,3,4,5U =2}{1,M =}2,{3,4N =()U M N = ð:1p x ∃>320x ->p ⌝1x ∀…320x ->1x ∀…320x -…1x ∀>320x -<1x ∀>320x -…()f x 0x >31()1f x x x =-+(1)f -=12-1232-3292()(4)m f x m x -=-()2f a =121a <-=5(1)a -+5(1)a +6(1)a -+6(1)a +()f x (5)(5)f x f x +=-12,(5,)x x ∀∈+∞12x x ≠121[(()()x x x f --2]()0f x >(5.5)(4.5)f f >(2.7)(3.2)f f <(7.3)(7.9)f f >(2.7)(5.2)f f >220()21x m x m m +-+-<12(,)x x 12112x x +=A.-4B.-1C.1D.48.已知函数若存在实数x ，使，则实数a 的取值围为A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列计算中正确的是A.C. D.10.使成立的一个充分条件可以是A.且 B.且C.且 D.且11.已知函数的定义域为R ，且的图象关于原点对称，的图象关于y 轴对称，则A. B.C.函数是增函数D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则________.13.已知幂函数的图象过点，则________.14.对于任意实数x ，表示不小于x 的最小整数，例如(1.2)=2，，表示不大于x 的最大整数，例如[1.2]=1，.已知定义在R 上的函数，若集合，则集合A 中所有元素的和为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数在上单调递减，其中，且.（1）求的解析式；（2）求函数，的值域.16.（15分）已知集合，，且.23,2,(),2,x ax a x f x a x ⎧-++>⎪=…()0f x <(,1)-∞-(,2)(6,)-∞-+∞(,6)(1,)-∞--+∞(,1)(6,)-∞-+∞ 1144-=2=±23(8)4-=23184-=3a b c ->a c >2b c >-2a c >b c >-2a c >b c>-3a c >2b c>()f x (2)4y f x =+-(4)4y f x x =++(2)4f =(6)12f =-()f x (8)(4)824f x f x x -+-=-30,()()1,0,x f x g x x x x ==-<⎪⎩…((1))g f -=()m f x x =3(3,33[(2)]f =()x (0.2)0-=[]x 0.21[]-=-()(2)[3]f x x x =⋅4|(),23A y y f x x ⎧⎫==-<-⎨⎬⎩⎭…()af x b x=+(0,)+∞24a =(1)1f =()f x 2()2()[()]g x f x f x =+[1,4]x ∈(4,29]A m =+{|2233}B x m x m =-+……12B ∈（1）当时，求实数m 的取值范围；（2）设；，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.17.（15分）已知定义在R 上的奇函数与偶函数满足，若.（1）求的解析式；（2）求关于x 的不等式的解集.18.（17分）某糕点连锁店现有五家分店，出售A ，B 两款糕点，A 为特价糕点，为吸引顾客，按进价销售.已知用16000元购进A 糕点与用22000元购进B 糕点的重量相同，且B 糕点每斤的进价比A 糕点每斤的进价多6元.（1）求A ，B 两种糕点每斤的进价；（2）经市场调查发现，B 糕点每斤售价30元时，每月可售出3120斤，售价每提高1元，则每月少售出120斤，售价每降低1元，则每月多售出120斤，糕点店不会低于进价销售.则B 糕点每斤定价为多少元时，糕点店通过卖B 糕点获得的月利润最大？最大是多少？（3）因为使用进价销售的A 糕点物美价廉，所以深受顾客青睐，五个分店每月的总销量为10000斤.今年年初该连锁店用50万购进一批设备，用于生产A 糕点.已知每斤糕点的原材料价格为8元，若生产A 糕点n 个月（）所用的原材料之外的各种费用总计为万元，若只考虑A 糕点，记该连锁店前n 个月的月平均利润为z 万元，求z 的最大值.19.（17分）对非空数集A 及实数k ，定义，，已知.（1）当时，若集合A 为单元素集，求A ；（2）当时，若集合，求ab 的所有取值构成的集合；（3）若A 中有3个元素，求实数k 的取值范围.16A ∉:p t A ∈:q t B ∈()f x ()g x ()()2||2f x g x x x +=++()()()h x f x g x =⋅()h x 2(3)(3)0h x tx h x t -+-<*n ∈N 211324n n +2{|,}A k x x a k a A ==-∈ {|,}A k x x k a a A ⊗==-∈A k A k =⊗ 1k =3k ={,}A a b =江西省2024—2025学年上学期第一次模拟选科联考高一数学参考答案及评分细则1.【答案】A【解析】，故选A.2.【答案】D【解析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，得，.故选D.3.【答案】B【解析】因为为定义在R 上的奇函数，所以.故选B.4.【答案】C【解析】因为是幂函数，所以，得，故时，.故选C.5.【答案】C【解析】当时，.故选C.6.【答案】D【解析】由题意得函数在上单调递减，在上单调递增.对选项A ，，A 错误；对选项B ，因为函数在上单调递减，所以，B 错误；对选项C ，因为函数在上单调递增，所以，C 错误；对选项D ，因为，函数在上单调递减，故，D 正确.故选D.7.【答案】B【解析】因为关于x 的不等式的解集为，所以关于x 的方程有两个不相等的实数根，所以，解得，且，，所以，解得.故选B.8.【答案】D【解析】当时，，即，因为，所以，故有解，{3,4,5}{2,3,4}{2,3,4,5}()U M N == ð:1p x ⌝∀>320x -…()f x 311(1)(1)1112f f ⎛⎫-=-=--= ⎪+⎝⎭92()(4)m f x m x-=-41m -=5m =12()f x x ==2=4a =1a <-10a +<3(1)a =--3(1)a =+=336(1)(1)(1)a a a --+=-+()f x (,5)-∞(5,)+∞(5.5)(50.5)f f =+=(50.5)(4.5)f f -=()f x (,5)-∞(2.7)(3.2)f f <()f x (5,)+∞(7.3)(7.9)f f >(5.2)(5f f =+0.2)(50.2)(4.8)f f =-=()f x (,5)-∞(2.7)(4.8)(5.2)f f f >=220()21x m x m m +-+-<12(,)x x 220()21x m x m m +-+-=12,x x 22[2(1)]41()440m m m m ∆=--⨯⋅-=-+>1m <122(1)x x m +=--212x x m m =-1221212112(1)2x x m x x x x m m+--+===-1m =-2x >230x ax a -++<23(1)x a x +<-2x >11x ->231x a x +>-即，因为，当且仅当，即时等号成立，故；当时，有解，即有解，也即，因为单调递增，故时，取最大值-1，故.综上，实数a的取值范围为.故选D.9.【答案】ACD （每选对1个得2分）【解析】对于A ，，A 正确；对于B，B 错误；对于C ，，C 正确；对于D ，，D 正确.故选ACD.10.【答案】AC （每选对1个得3分）【解析】充分性成立，即选项能推出，对于A ，，又，同向不等式相加得，A 成立；对于B ，令，，，满足且，但，B 不成立；对于C ，，又，同向不等式相加得，，C 成立；对于D ，令，，，满足且，但，D 不成立.故选AC.11.【答案】ABD （每选对1个得2分）【解析】A 选项，的定义域为R ，因为的图象关于原点对称，所以为奇函数，所以，故，令，得，A 正确；B 选项，由的图象关于y 轴对称，得为偶函数，所以，即，令，得，得，B 正确；C 选项，因为，C 错误；D 选项，因为，所以，因为，令，得，即，故，，D 正确.故选ABD.12.【答案】-8【解析】，.13.【答案】64【解析】由，所以.14.【答案】67【解析】当时，；当时，，，2min31x ax ⎛⎫+>⎪-⎝⎭223(11)341226111x x x x x x +-++==-+++=--- (4)11x x -=-3x =6a >2x …0a +<a <max (a <y =2x =y =1a <-(,1)(6,)-∞-+∞ 1144-=2=23(8)4-==232311848-===3a b c ->22b c b c <-⇒->a c >3a b c ->3a =7b =1c =-2a c >b c >-433a b c -=-<-=b c b c <-⇒->2a c >3a b c ->5a =8b =1c =-3a c >2b c >33a b c -=-=()f x (2)4y f x =+-(2)4y f x =+-(2)4(2)40f x f x --++-=(2)(2)8f x f x -++=0x =(2)4f =(4)4y f x x =++(4)4y f x x =++(4)4(4)4f x x f x x --=++(4)(4)8f x f x x -=++2x =4(2)(6)16f f ==+(6)12f =-(2)(6)f f >(2)(2)8f x f x -++=()8(4)f x f x =--(4)(4)8f x f x x -=++4x t -=()(8)328f t f t t =-+-()(8)328f x f x x =-+-8(4)(8)328f x f x x --=-+-(8)(4)824f x f x x -+-=-(1)112f -=--=-3((1))(2)(2)8g f g -=-=-=-333m =3m =-3()f x x =333(3(36[(2)](22264f ⨯====2x =-()(4)[6](4)(6)24f x =-⋅-=-⨯-=523x -<<-10423x -<<-(2)3x =-，，；当时，，，，，；当时，，，，，.综上，，集合A 中所有元素的和为67.15.解：（1）由得，（2分）因为函数在上单调递减，所以，故.（5分）由得，所以.（7分）（2），（10分）当时，，，，所以函数，的值域为.（13分）【评分细则】值域写成集合或区间形式均给分.16.解：（1）因为，所以，得，（2分）又因为，所以，即，（5分）故当时，m 的取值范围是.（7分）（2）因为，所以，，若p 是q 的必要不充分条件，则B 是A 的真子集，（10分）故（12分）解得.故实数m 的取值范围是.（15分）【评分细则】结果写成集合或区间或不等式形式均给分.17.解：（1）因为，即，又，得，，（4分）635x -<<-[3]6x =-()(2)[3](3)(6)18f x x x =⋅=-⨯-=5332x -- (10)233x --……(2)3x =-9532x --……[3]5x =-()(2)[3](3)(5)15f x x x =⋅=-⨯-=3423x -<<-8323x -<<-(2)2x =-9342x -<<-[3]5x =-()(2)[3](2)(5)10f x x x =⋅=-⨯-={24,18,15,10}A =24a =2a =±()af x b x=+(0,)+∞0a >2a =(1)21f b =+=1b =-2()1f x x=-222424()2()[()]211g x f x f x x x x ⎛⎫=+=-+-=- ⎪⎝⎭[1,4]x ∈2[1,16]x ∈241,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2131,34x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦2()2()[()]g x f x f x =+[1,4]x ∈3,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12B ∈221233m m -+……37m ……16A ∉2916m +<72m <16A ∉73,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭37m ……A O ≠B O ≠224,3329,m m m ->⎧⎨++⎩…36m <…(3,6]()()2||2f x g x x x -+-=-+-+()()2||2f x g x x x -+=-++()()2||2f x g x x x +=++()2f x x =()||2g x x =+所以.（5分）（2）因为，所以为奇函数，（7分）又当时，单调递增，故函数在R 上单调递增.（9分）则不等式，可化为，即，即，（11分）①若，即时，；②若，即时，不等式无解；③若，即时，，综上，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为.（15分）【评分细则】1.第一问求出和的解析式分别给2分；2.第一问结果写成分段函数形式不扣分；3.第二间结果不写成集合或区间形式扣1分，未总结，但结果正确均给满分，三种情况每少一种情况扣1分.18.解：（1）设A 糕点每斤的进价为a 元，B 糕点每斤的进价为元，所以，解得，所以A 糕点每斤的进价为16元，B 糕点每斤的进价为22元.（4分）（2）设B 糕点每斤涨价元，蛋糕店通过B 糕点获得的月利润为y 元.由题意，（6分）当时，y 有最大值.（8分）所以B 糕点每斤定价为39元时，月利润最大，最大为34680元.（9分）（3）设前n 个月的总利润为w ，因为A 糕点每斤售价为16元，每月可售出10000斤，故每月可收入16万元，其中原材料为8万元，则，（12分）月平均利润万元，（15分）()()()2(||2)h x f x g x x x =⋅=+()2()(||2)2(||2)()h x x x x x h x -=--+=-+=-()h x 0x …2()24h x x x =+()h x 2(3)(3)0h x tx h x t -+-<2(3)(3)(3)h x tx h x t h t x -<--=-23(3)0x t x t +--<(3)(1)0x t x -+<13t <-3t <-13tx <<-13t=-3t =-13t >-3t >-13t x -<<3t <-|13t x x ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭3t =-∅3t >-|13t x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭()f x ()g x (6)a +16000220006a a =+16a =(8)x x -…22(3022)(3120120)120216024960120(9)34680y x x x x x =+--=-++=--+9x =22*111311685050()324324w n n n n n n n ⎛⎫=--+-=-+-∈ ⎪⎝⎭N 503131215.2532444w n z n n ==--+-+==…当且仅当，即时等号成立，（16分）所以z 的最大值为5.25.（17分）【评分细则】1.第二问未配方，只要结果正确，就给分；2.第三问未说明等号成立条件扣1分.19.解：（1）时，设，由，得，所以，即，得或1，故或.（4分）（2）时，，由，得，得或即或（5分）当时，是方程的两根，故，（6分）当时，两式相减得，由集合中元素的互异性得，所以，故，即，同理，故是方程的两根，所以，（7分）故ab 的所有取值构成的集合为.（8分）（3）设，由，得，①若故是方程的三个不等的实数根，而此方程最多有两个实数根，不可能有三个实数根，故不成立；（11分）②若，当时，，令，得，（12分）对，，两式相减得，因为，所以，代入，得，同理，5032n n=40n =1k ={}A a =11A A =⊗ 2{1}{1}a a -=-211a a -=-220a a +-=2a =-{2}A =-1}{A =3k ={,}A a b =33A A =⊗ 22{3,3}{3,3}a b a b --=--2233,33a a b b ⎧-=-⎨-=-⎩2233,33,a b b a ⎧-=-⎨-=-⎩2260,60a a b b ⎧+-=⎨+-=⎩226,6,a b b a ⎧=-⎨=-⎩2260,60a ab b ⎧+-=⎨+-=⎩,a b 260x x +-=6ab =-226,6a b b a⎧=-⎨=-⎩22a b a b -=-a b ≠1a b +=266(1)5a b a a =-=--=+250a a --=250b b --=,a b 250x x --=5ab =-{6,5}--{,,}A a b c =A k A k =⊗ 222{,,}{,,}a k b k c k k a k b k c ---=---222,,,a k k a b k k b c k k c ⎧-=-⎪-=-⎨⎪-=-⎩,,a b c 220x x k +-=222,,,a k kb b k k ac k k c ⎧-=-⎪-=-⎨⎪-=-⎩2c k k c -=-220c c k +-=180k ∆=+ (1)8k -…2a k k b -=-2b k k a -=-22a b a b -=-a b ≠1a b +=2a k k b -=-2120a a k -+-=2120b b k -+-=故为方程的两个不相等的实根，令，得，（13分）当时，与均有两个不相等的实根，且这两个方程的根不完全相同，故符合题意；（14分）③若则，根据集合中元素的互异性，两两不相等，不妨设，（ⅰ）当时，，又，所以，这与矛盾，故不成立；（ⅱ）当时，，又，所以，这与矛盾，故不成立；（ⅲ）当时，，又，所以，这与矛盾，故不成立；（ⅳ）当时，，又，所以，这与矛盾，故不成立.（16分）综上，实数k 的取值范围是.（17分）【评分细则】1.第一问只得出一种情况，扣2分；结果不写成集合形式，扣1分；2.第二问求出ab 的一个值，给2分，最后结果不写成集合形式，扣1分；3.第三问结果写成不等式、集合或区间形式，结果正确即给满分.,a b 2120x x k -+-=14(12)0k '∆=-->38k >38k >2120x x k -+-=220x x k +-=222,,,a k k b b k k c c k k a ⎧-=-⎪-=-⎨⎪-=-⎩2222a b b c c a k +=+=+=,,a b c a b c >>0a b c >>>22a b >b c >22c a b b ++>22c a b b ++=0a b c >>>22a b >b c >22c a b b ++>22c a b b ++=0a b c >>>22b c <c a <22b c a c ++<22b c a c ++=0a b c >>>22b c <c a <22b c a c ++<22b c a c ++=3,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭。
江西省南昌市莲塘一中2021届高三上学期11月月考数学(理)试题 Word版含答案
莲塘一中2020－2021上学期高三11月质量检测理科数学试卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1．sin75cos45sin15sin 45︒︒-︒︒=（ ）A ．0B ．12C D ．12．已知函数()f x =()11f x x -+的定义城为（ ）A ．(),1-∞B ．(),1-∞-C ．()(),11,0-∞-- D ．()(),11,1-∞--3．我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第n 天后剩余木棍的长度为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使得不等式20202021n S >成立的正整数n 的最小值为（ ）． A ．12B ．11C ．10D ．94．已知函数()24cos f x x =，则下列说法中正确的是（ ） A ．()f x 为奇函数B ．()f x 的最小正周期为2π C ．()f x 的图象关于直线4x π=对称D ．()f x 的值域为[]0,45．曲线sin y x =，[0,2]π∈x 与x 轴所围成的面积是（ ） A ．0B ．2C ．4D ．π6．已知集合3{|2}1=≤+xA x x ，{221}=-<<+B x a x a ，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,1)2B ．1(,1]2C ．1[,1]2D ．1[,1)27．已知a b c d ,,,都是常数，,a b c d <<.若()()()2020f x x a x b 的零点为,c d ，则下列不等式正确的是（ ）A ．a c d b <<<B ．c a b d <<<C ．a c b d <<<D ．c d a b <<<8．在ABC ∆中，向量AB 与AC 满足()0AB AC BC ABAC+=，且22BA BC BA BC=，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形D ．等腰直角三角形9．已知函数3()242()x x f x x x e e -=-+-，若2(52)(3)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1[2,]3-B ．1[,2]3-C ．2[1,]3--D ．2[,1]310．已知函数()()210xf x x e x =+-<（e 是自然对数的底数）与()()2g =ln x x x a ++图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞B ．(,)-∞eC ．(),1-∞D ．(1,)e11．已知()y f x =定义域为R 的偶函数，当0x ≥时2020sin(),0120192()1()1,12019x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩,若关于x 的方程22020[()](20202021)()20210f x a f x a -++=有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．01a <<或20202019a = B ．01a ≤≤或20202019a = C ．01a <≤或20202019a =D ．202012019a <≤或0a = 12．已知函数221,1()|(1)|,1⎧-≤=⎨->⎩x x f x log x x ，若1234()()()()===f x f x f x f x （12,34,,x x x x 互不相等），则1234+++x x x x 的取值范围是（ ） A ．11(5,]2B ．11(0,]2C ．(0,5)D ．11[5,]2二.填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13．已知函数()3213f x x bx cx bc =-+++在1x =处取得极值43-,则b =__________. 14．函数()cos =+f x x x 的单调递增区间为________．15．在ABC ∆中，60A ∠=︒，3=AB ，2AC =. 若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为________.16．由数列{}n a 和{}n b 的公共项组成的数列记为{}n c ，已知32n a n =-，2nn b =，若{}n c 为递增数列，且4==m t c b a ，则m t +=________.三. 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．在①1n n a a +-=+；②184n n a a n --=-（2n ≥）两个条件中,任选一个，补充在下面问题中，并求解． 【问题】:已知数列{}n a 中，13a =，__________． （1）求n a ；（2）若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<．18．已知函数2()21x x af x +=-是奇函数.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设()[()2][()1]g x f x f x =+-，求函数()g x 的值域.19．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，它的外心在三角形内部（不包括边），同时满足()()()222sin cos --+=+a b cA CBC ．（1）求内角B ；（2）若边长1c =，求ABC ∆面积的取值范围．20．给出如下两个命题：命题:[0,1]p x ∃∈，1426(5)0x x a a a +⋅-⋅+-=；命题:q 已知函数8()|ln |1-=++a g x x x ，且对任意1x ，2(0,1]∈x ，12x x ≠，都有2121()()1g x g x x x -<--. （1）若命题⌝p 为假，求实数a 的取值范围.（2）若命题p q ∧为假，p q ∨为真，求实数a 的取值范围.21．已知函数()ln f x mx nx x =+的图象在点(),()e f e 处的切线方程为4y x e =-. (本题可能用的数据:ln 20.69≈, 2.71828e =是自然对数的底数）（1）求函数()f x 的解析式；（2）若对任意(1,)x ∈+∞，不等式2[()1](1)f x t x ->-恒成立，求整数t 的最大值.22．已知R a ∈，函数()1=--x f x e ax ，()ln(1)=-+g x x x （e 是自然对数的底数）. （1）讨论函数()f x 极值点的个数；（2）若()10=--≥xf x e ax 对任意的R ∈x 恒成立,求实数a 的值；（3）在第（2）小题的条件下，[)0,∃∈+∞x ，()()<f x kg x ，求实数k 的取值范围.莲塘一中2020－2021上学期高三11月质量检测理科数学答案1．B 2．D 3．B 4．D 5．C 6．B 7．B 8．D 9．A 10．C 11．C 12．A 11．【解析】画出函数()y f x=的图象如图，由22020[()](20202021)()20210f x a f x a-++=，可得()()202120,20==f x f x a，有图象知当()20212020=f x时，由于12020202120192020<<，所以有四个根，关于x的方程22020[()](20202021)()20210f x a f x a-++=仅有个6不同实数根，所以()f x a=有两个根，由图象知，当01a<≤或20202019a=时，()f x a=有两个根，故选C.12．【解析】作出函数函数()()221,1|1|,1⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩x xf xlog x x的图象，如图，1x=时，()11f=，令()()()()1234====t f x f x f x f x，设1234<<<x x x x，则有121x x=+，34(1)(1)1x x--=,1234344413(1)(1)3(1)(1)+++=+-+-=++--x x x x x x xx,因为4112x<-≤,所以1234+++x x x x的取值范围是11(5,]2，故选A.13．【答案】1-14．【答案】4[2,2],33--∈Zk k kππππ15．【答案】31116．【答案】92 16．【解析】由已知1224c b a===，设n m tc b a==，即232mnc t==-，1122(32)3'2mmb t t++==-=-，62'3tt-=不是正整数，所以1mb+不是公共项.2224(32)3'2mmb t t++==-=-，'42t t=-故1242n m tc b a++-==，因为1224c b a===，所以246c b a==，3622c b a==，4886c b a==，故当4=n时，8=m，86=t，故94m t+=.17．【解析】（1）选①：由1n n a a +-=，13a =2=，2=，2=，所以是首项为2，公差为2的等差数列，2n =，所以241=-n a n ； 选②：由184n n a a n --=-（2n ≥）可得： 当2n ≥时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+(84)(812)123n n =-+-+++[(84)12](1)32n n -+-=+241n =-，当1n =时，13a =，符合241=-n a n ，所以当*n N ∈时，241=-n a n ； （2）证明：由（1）得2111114122121n a n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭， 所以1111111213352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭11242n =-+， 因为1042n >+，所以12n T <， 又因为11242n T n =-+随着n 的增大而增大，所以113n T T ≥=， 综上1132n T ≤<．18．【解析】（1）由于()f x 为奇函数且0≠x ，所以()()f x f x -=-，()()0f x f x -+=，即2202121x x x x a a --+++=--，12201221x x x x a a +⋅++=--，()()1212120212121xx x x x x a a a a -+-++⋅-==---， ()()1210xa a -+-=，得：1a =.所以()()21021x x f x x +=≠-.（2）由（1）得()2121221212121x x x x xf x +-+===+---，所以()[()2][()1]g x f x f x =+-()22302121x x x ⎛⎫=+⋅≠ ⎪--⎝⎭，令()2021xt x =≠-，由于211x ->-且210x -≠，所以2221x t =<--或2021x t =>-.则()g x 的表达式变为 ()22393324y t t t t t ⎛⎫=+⋅=+=+- ⎪⎝⎭，其中2t <-或0t >，二次函数的对称轴为32t =-，开口向上，()()22322-+⨯-=-，所以232y t t =+>-，也即()g x 的值域为()2,-+∞.19．【解析】(1)3B π=.(2) 因为ABC ∆的外心在三角形内部（不包括边）,所以ABC ∆是锐角三角形， 由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=， 故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=⋅22sin cos cos sin 2123133(sin cos )sin 3tan 38tan C C C C C ππππ-==-=.又因,tan 623C C ππ<<>,故3188tan 82C <+<， 故ABCS的取值范围是(8220.【解析】（1）若命题⌝p 为假,则命题:[0,1]p x ∃∈，1426(5)0x x a a a +⋅-⋅+-=为真令1()426(5)x x f x a a a +=⋅-⋅+-则1()426(5)xx f x a a a +=⋅-⋅+-在区间[0,1]有零点令[]2,1,2xt t =∈，可得22()26(5)(1)530g t at at a a t a =-+-=-+-，其对称轴为1t =要使得1()426(5)x x f x a a a +=⋅-⋅+-在区间[0,1]有零点(1)(2)0g g ∴⨯≤ 解得：[5,6]a ∈，则当命题p 为真时，[5,6]a ∈（2）若命题q 为真时： 因为()()21211g x g x x x -<--，所以()()212110g x g x x x -+<-，()()2211210g x x g x x x x ⎡⎤+-+⎣⎦<-。
高三数学上学期11月月考试题 理含解析 2
即异面直线PA与MN成30°的角．
考点：线面平行的断定，异面直线所成的角.
，函数 ，且当 时， 的最小值为2
〔Ⅰ〕求 的单调递增区间；
〔Ⅱ〕先将函数 的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 ，再把所得的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，求方程 在区间 上所有根之和．
15.将奇数按如下列图的规律排列下去，且用 表示位于从上到下第 行，从左到右第 列的数，比方 ，假设 ，那么 _____________．
【答案】71
【解析】
【分析】
探究数列规律求出符合题意的结果
【详解】奇数数列 ,那么
即 为第 个奇数，每行的项数记为 ，那么
其前 项和为 个奇数
那么第1行到第44行末一共有990个奇数
的前 项和为 ， ，且 ，假设 ， ，那么 的最大值为〔〕
A.10B.15C.18D.26
【答案】C
【解析】
【分析】
由条件求出数列的通项公式，根据数列特征求出最值
【详解】 ,
，
，
，
，
数列 为等差数列，首项为 ，
,
,
, ,
在数列 中只有 , , 为正数
的最大值为
应选
【点睛】此题主要考察了求数列的通项公式，并结合数列特征求和的最值问题，在解答时注意对条件的转化和运用，得到新数列为等差数列，继而求出通项公式
【答案】D
【解析】
试题分析：因为 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 ，应用根本不等式可得：
，故应选 ．
考点：1、根本不等式的应用．
分别是正方体 的棱 的中点，点 分别是线段 与 上的点，那么满足与平面 平行的直线 有〔〕
江西省南昌县莲塘第一中学2021届高三11月质量检测数学(理)试题
江西省南昌县莲塘第一中学2021届高三11月质量检测数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．sin75cos45sin15sin 45︒︒-︒︒=（ ）A ．0B ．12C D ．12．已知函数()f x =()11f x x -+的定义域为（ ）A ．(),1-∞B ．(),1-∞-C ．()(),11,0-∞-- D ．()(),11,1-∞--3．我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第n 天后剩余木棍的长度为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使得不等式20202021n S >成立的正整数n 的最小值为（ ）． A ．9B ．10C ．11D ．124．已知函数()24cos f x x =，则下列说法中正确的是（ ） A ．()f x 为奇函数B ．()f x 的最小正周期为2π C ．()f x 的图象关于直线4x π=对称D ．()f x 的值域为[]0,45．曲线sin y x =，[0,2]x π与x 轴所围成的面积是（ ） A ．0B ．2C ．4D ．π6．已知集合321xA xx ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，{}221B x a x a =-<<+，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．已知a b c d ,,,都是常数，,a b c d <<.若()()()2020f x x a x b 的零点为,c d ，则下列不等式正确的是（ ）A ．a c d b <<<B ．c a b d <<<C ．a c b d <<<D ．c d a b <<<8．在ABC 中，向量AB 与AC 满足·0AB AC BC AB AC⎛⎫ ⎪+= ⎪⎝⎭，且2·2BA BC BA BC =，则ABC 为（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形D ．等腰直角三角形9．已知函数3()242()x x f x x x e e -=-+-，若2(52)(3)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1[,2]3-B ．2[1,]3--C ．2[,1]3D ．1[2,]3-10．已知函数()()210xf x x e x =+-<与()()2g =ln x x x a ++图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞B．(-∞C ．(),1-∞D ．11．已知()y f x =定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，2020sin ,0120192()11,12019xx x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程22020[()](20202021)()20210-++=f x a f x a 有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（ ）A ．01a <<或20202019=a B ．01a ≤≤或20202019=a C ．01a <≤或20202019=aD ．202012019<≤a 或0a = 12．已知函数221,1()|(1),1x x f x log x x ⎧-≤⎪=⎨-⎪⎩，若1234()()()()f x f x f x f x ===(12,34,,x x x x 互不相等)，则1234x x x x +++的取值范围是（ ） A ．11(5,]2B ．11(0,2] C ．(0,5) D ．11[5,]2二、填空题13．已知函数()3213f x x bx cx bc =-+++在x=1处取得极值43-,则b =__________.14．函数()cos f x x x =+的单调递增区间为________.15．在ABC 中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =. 若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为______________.16．由数列{}n a 和{}n b 的公共项组成的数列记为{}n c ，已知32n a n =-，2nn b =，若{}n c 为递增数列，且4m t c b a ==，则m t +=________.三、解答题17．在①1n n a a +-=；② 184n n a a n --=-(2n ≥)两个条件中，任选一个，补充在下面问题中，并求解.问题：已知数列{}n a 中，13a =，__________. （1）求n a ；（2）若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<.18．已知函数2()21x x af x +=-是奇函数.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设()[()2][()1]g x f x f x =+-，求函数()g x 的值域.19．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，它的外心在三角形内部(不包括边)，同时满足()()()222sin cos a b c A C B C --+=+.（1）求内角B ；（2）若边长1c =，求ABC ∆面积的取值范围.20．给出如下两个命题：命题:[0,1]p x ∃∈，1426(5)0x x a a a +⋅-⋅+-=；命题:q 已知函数8()|ln |1a g x x x -=++，且对任意1x ，2(0,1]x ∈，12x x ≠，都有2121()()1g x g x x x -<--.（1）若命题p ⌝为假，求实数a 的取值范围.（2）若命题p q ∧为假，p q ∨为真，求实数a 的取值范围.21．已知函数()ln f x mx nx x =+的图象在点(),()e f e 处的切线方程为4y x e =-.(本题可能用的数据：ln 20.69≈， 2.71828e =是自然对数的底数)（1）求函数()f x 的解析式；（2）若对任意(1,)x ∈+∞，不等式2[()1](1)f x t x ->-恒成立，求整数t 的最大值. 22．已知R a ∈，函数()1x f x e ax =--，()ln(1)g x x x =-+(e 是自然对数的底数). （1）讨论函数()f x 极值点的个数；（2）若()10xf x e ax =--≥对任意的R x ∈恒成立，求实数a 的值；（3）在第（2）小题的条件下，[0,)x ∃∈+∞，()()f x kg x <，求实数k 的取值范围.参考答案1．B 【解析】 【分析】先根据诱导公式得sin 75cos15=，再根据余弦的和角公式计算即可得答案. 【详解】解：根据诱导公式()sin 75sin 9015cos15=-=，∴()1sin15cos 45sin15sin 45cos 1545cos602-=+==. 故选：B. 【点睛】本题考查余弦的和角公式，诱导公式化简，是基础题. 2．D 【解析】 【分析】先求得函数()f x 的定义域，再运用复合函数的定义域求解方法可得选项. 【详解】 因为()f x =24>0x x -解得0x <，所以函数()f x 的定义域为()0-∞，，所以函数()11f x x -+需满足10x -<且+10x ≠，解得1x <且1x ≠-，故选：D. 【点睛】本题考查函数的定义域，以及复合函数的定义域的求解方法，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】记第n 天后剩余木棍的长度为n a ，则{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列，利用等比数列的求和公式计算，解不等式可得整数n 的最小值．记第n 天后剩余木棍的长度为n a ，则{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列， 所以12n n a =，11112211212nn nS ⎛⎫- ⎪⎝⎭==--，nS 是关于n 的增函数，而10101102320201210242021S =-=<，11111204720201220482021S =-=>， 所以使得不等式20202021n S >成立的正整数n 的最小值为11． 故选：C ． 【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，考查数列的单调性，属于基础题． 4．D 【解析】 【分析】化简函数()y f x =的解析式为()2cos22f x x =+，利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；利用余弦型函数的周期公式可判断B 选项的正误；利用余弦型函数的对称性可判断C 选项的正误；利用余弦型函数的值域可判断D 选项的正误. 【详解】()24cos 2cos22f x x x ==+，该函数的定义域为R .对于A 选项，()()()2cos 222cos22f x x x f x -=-+=+=，函数()y f x =为偶函数，A 选项错误；对于B 选项，函数()y f x =的最小正周期为22T ππ==，B 选项错误； 对于C 选项，2cos 22244f ππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，4f π⎛⎫⎪⎝⎭既不是函数()y f x =的最大值，也不是该函数的最小值，C 选项错误； 对于D 选项，1cos21x -≤≤，()[]2cos220,4f x x ∴=+∈，D 选项正确.故选：D.本题考查余弦型函数基本性质的判断，化简函数解析式是解答的关键，属于基础题. 5．C 【解析】 【分析】根据积分的几何意义化为求20sin (sin )S xdx x dx πππ=+-⎰⎰可得结果.【详解】曲线sin y x =，[0,2]x π与x 轴所围成的面积20sin (sin )S xdx x dx πππ=+-⎰⎰20cos cos x xπππ=-+(cos cos0)cos 2cos πππ=--+- (11)1(1)=---+-- 4=.故选：C 【点睛】结论点睛：由上下两条连续曲线2()y f x 与1()y f x =及两条直线x a =与x b =()b a >所围成的平面图形的面积为[]21()()baS fx f x dx =-⎰.6．B 【解析】 【分析】先解分式不等式，化简集合A ，再由A B ⊆，即可列出不等式求出结果. 【详解】因为{}3322220012111x x x x A x x x x x x x x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫---=≤=≤=≤=-<≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬+++⎩⎭⎩⎭⎩⎭，又{}221B x a x a =-<<+，A B ⊆，所以21212a a -≤-⎧⎨+>⎩，解得112a <≤.故选：B.本题主要考查由集合的包含关系求参数，涉及分式不等式的解法，属于基础题型. 7．B 【解析】 【分析】 此题可转化为()()y x a x b 与2020y =的交点的横坐标为,c d ，利用二次函数的图像即可得到. 【详解】 若()()()2020f x x a x b 的零点为,c d ，则()()y x a x b 与2020y =的交点的横坐标为,c d ， 令()()0yx a x b ，则()()y x a x b 与x 轴的交点的横坐标为,a b ，如图所示，其中c a b d <<<， 故选：B. 【点睛】此题考零点的概念即利用图像比较大小，属于简单题. 8．D 【解析】 【分析】先由题意，得到BAC ∠的平分线垂直于BC ，推出AB AC =，再由向量夹角公式，得到4BAC π∠=，进而可得出结果.因为非零向量AB 与AC 满足·0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+= ⎪⎝⎭， 所以BAC ∠的平分线垂直于BC ，所以AB AC =. 又2cos BA BC BAC BA BC⋅∠==所以4BAC π∠=，所以ABC 为等腰直角三角形. 故选：D. 【点睛】本题主要考查三角形形状的判定，熟记平面向量的数量积运算即可，属于常考题型. 9．D 【解析】 【分析】利用奇函数的定义可证明()f x 是奇函数，可得2(52)(3)f a f a -≤-，利用导数可得()f x 在R 上单调递增，即可得2523a a -≤-，解不等式即可.【详解】因为()3()242()()x x f x x x e e f x --=-++-=-， 所以()f x 是奇函数，由2(52)(3)0f a f a -+≤得：22(52)(3)(3)fa f a f a -≤-=-， 又因为222()642()64260x x f x x e e x x -'=-++≥+⨯=≥-， 所以()f x 在R 上单调递增，所以2523a a -≤-，即23520a a +-≤，解得：123a -≤≤， 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题. 10．C【分析】()()210x f x x e x =+-<关于y 轴对称的函数为：2()1(0)x f x x e x --=+->，函数()()210x f x x e x =+-<与()()2ln g x x x a =++图像上存在关于y 轴对称的点，即()()f x g x -=有解，通过数形结合即可得解.【详解】()()210x f x x e x =+-<关于y 轴对称的函数为：2()1(0)x f x x e x --=+->，函数()()210xf x x e x =+-<与()()2ln g x x x a =++图像上存在关于y 轴对称的点，即()()f x g x -=有解，即221=ln()x x e x x a -+-++有解，整理得：1ln()xex a --=+，转化为1x y e -=-和ln()y x a =+的图像存在交点，如图：临界值在0x =处取到（虚取），此时1a =，故当1a <时1x y e -=-和ln()y x a =+的图像存在交点， 故选：C . 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解11．C 【解析】 【分析】画出函数()y f x =的图象，由22020[()](20202021)()20210-++=f x a f x a ，得()()202120,20f x f x a ==，然后转化为202120,20y y a ==与函数()f x 图象的交点个数求解. 【详解】画出函数()y f x =的图象如图，由22020[()](20202021)()20210-++=f x a f x a ，解得()()202120,20f x f x a ==， 由图象知：当()20212020f x =时，由于12020202120192020<<，所以有四个根， 因为关于x 的方程22020[()](20202021)()20210-++=f x a f x a 有且仅有个6不同实数根，所以()f x a =有两个根， 由图知，当01a <≤或20202019=a 时，()f x a =有两个根． 故选：C 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 12．A 【解析】 【分析】依题意画出函数图象，令()()()()1234t f x f x f x f x ====，设1234x x x x <<<， 可得121x x =+，34(1)(1)1x x --=，则12344413(1)(1)x x x x x x +++=++--，再利用对勾函数的性质计算可得； 【详解】解：作出函数函数()()221,1|1,1x x f x log x x ⎧-≤⎪=⎨-⎪⎩的图象，如图，1x =时，()11f =，令()()()()1234t f x f x f x f x ====，设1234x x x x <<<，则有121x x =+，()()232411log x log x --=-，所以34(1)(1)1x x --=， 所以1234344413(1)(1)3(1)(1)x x x x x x x x +++=+-+-=++--，因为4112x <-≤，因为1y x x =+在(]1,2上单调递增，所以4415(1)2,(1)2x x ⎛⎤+-∈ ⎥-⎝⎦所以1234x x x x +++的取值范围是115,2⎛⎤⎥⎝⎦， 故选：A . 【点睛】本题考查分段函数的性质的应用，解答的关键是数形结合分析出几个变量之间的关系，再利用函数的性质计算可得； 13．1- 【解析】由题可得2'()2f x x bx c =-++，因为函数()f x 在1x =处取得极值43-， 所以'(1)120f b c =-++=且14(1)33f b c bc =-+++=-，解得13b c =-⎧⎨=⎩或11b c =⎧⎨=-⎩． 当11b c =⎧⎨=-⎩时，22'()21(1)0f x x x x =-+-=--≤，不符合题意； 当13b c =-⎧⎨=⎩时，2'()23(3)(1)f x x x x x =--+=-+-，满足题意． 综上，实数1b =-． 14．()42,233k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数()f x 的解析式为()2sin 6f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，然后解不等式()322262k x k k Z πππππ-≤-≤-∈可得出函数()f x 的单调递增区间.【详解】())cos cos 2sin 6f x x x x x x π⎛⎫=+=--=-- ⎪⎝⎭，由()322262k x k k Z πππππ-≤-≤-∈，解得()42233k Z k x k ππππ-≤≤∈-. 所以，函数()f x 的单调递增区间为()42,233k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z . 故答案为：()42,233k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z . 【点睛】三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．对复合函数单调区间的确定，应明确是对复合过程中的每一个函数而言，同增同减则为增，一增一减则为减． 15．311【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ ,则 122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=.【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的,AB AC 已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.16．94 【解析】 【分析】由已知1224c b a ===，设n m t c b a ==，逐一推导下一项有等量关系的m 和t 的值，得到1242n m t c b a ++-==，从而求出4n =时m 和t 的值.【详解】由已知1224c b a ===，设n m t c b a ==，即232mn c t ==-，1122(32)3'2m m b t t ++==-=-，62'3t t -=不是正整数， 所以1m b +不是公共项.2224(32)3'2m m b t t ++==-=-，'42t t =-故1242n m t c b a ++-==， 因为1224c b a ===，所以246c b a ==，3622c b a ==，4886c b a ==， 故当4n =时，8m =，86t =， 故94m t +=. 【点睛】关键点睛：设n m t c b a ==，根据通项公式，寻求数列{}n a 和{}n b 的公共项，根据所设，探求出2224(32)3'2m m b t t ++==-=-，'42t t =-，即1242n m t c b a ++-==，这是解决本题的关健，列举第4项4c ，即可得到问题的解，考查了推理分析问题的能力，属于较难题目. 17．条件选择见解析；（1）241=-n a n ；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】若选① ：（1）由1n n a a +-=，2=，根据是首项为2，公差为2的等差数列，可得结果；（2）由2111114122121n a n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭利用裂项求和方法求和得n T ，进一步可证1132n T ≤<. 若选② ：（1）由184n n a a n --=-(2n ≥)利用累加法可求得n a ；（2）由2111114122121n a n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭利用裂项求和方法求和得n T ，进一步可证1132n T ≤<. 【详解】 若选① ：（1）由1n n a a +-=，13a =2=，2=，2=，所以是首项为2，公差为2的等差数列，2n =，所以241=-n a n ； （2）证明：由（1）得2111114122121n a n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭， 所以1111111213352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭11242n =-+， 因为1042n >+，所以12n T <， 又因为11242n T n =-+随着n 的增大而增大，所以113n T T ≥=， 综上1132n T ≤<.若选② ：（1）由184n n a a n --=-(2n ≥)可得： 当2n ≥时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+(84)(812)123n n =-+-+++[(84)12](1)32n n -+-=+241n =-，当1n =时，13a =，符合241=-n a n ，所以当*n N ∈时，241=-n a n ；（2）证明：由（1）得2111114122121n a n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭， 所以1111111213352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭11242n =-+， 因为1042n >+，所以12n T <， 又因为11242n T n =-+随着n 的增大而增大，所以113n T T ≥=， 综上1132n T ≤<.【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：一、公式法：根据等差或等比数列的通项公式1(1)n a a n d =+-或11n n a a q -=进行求解；二、前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；三、n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项；四、累加法：当数列中有1()n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数时，就可以用这种方法； 五、累乘法：当数列{}n a 中有1()nn a f n a -=，即第n 项与第1n -项的积是个有规律的数时，就可以用这种方法；六、构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数，且0k ≠），一般化方法：设1()n n a m k a m -+=+，得到(1)b k m =-，1b m k =-，根据数列1{}1n ba k -+-是以k 为公比的等比数列，可求出n a ； ②取倒数法：这种方法适用于11n n n ka a ma p--=+（*2,n n N ≥∈）（,,k m p 均为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b -=+的式子；③取对数法：一般情况下适用于1k ln n a a -=（,k l 为非零常数）七、“1nn n a ba c +=+（,b c 为常数且不为0，*n N ∈）”型的数列求通项n a ，方法是等式的两边同除以1n c +，得到一个“1n n a ka b -=+”型的数列，再用上面的六种方法里的“一次函数法”便可求出nn a c的通项，从而求出n a . 18．（1）()()21021x x f x x +=≠-；（2）()2,-+∞. 【解析】 【分析】（1）利用()()0f x f x -+=对任意0x ≠的实数恒成立，可得1a =，()()21021x x f x x +=≠-；（2）令()2021xt x =≠-，2t <-或0t >，将()g x 的表达式变为()22393324y t t t t t ⎛⎫=+⋅=+=+- ⎪⎝⎭，其中2t <-或0t >，根据二次函数的图象可求得结果. 【详解】（1）由于()f x 为奇函数且0x ≠，所以()()f x f x -=-，即()()0f x f x -+=，所以2202121x x x x a a--+++=--，即12201221x x x x a a +⋅++=--，所以()()1212120212121xx x x x x a a a a -+-++⋅-==---， 所以()()1210xa a -+-=对任意0x ≠的实数恒成立，所以1a =.所以()()21021x x f x x +=≠-.（2）由（1）得()2121221212121x x x x xf x +-+===+---，所以()[()2][()1]g x f x f x =+-()22302121x xx ⎛⎫=+⋅≠ ⎪--⎝⎭， 令()2021x t x =≠-，由于211x ->-且210x -≠，所以2221x t =<--或2021x t =>-. 则()g x 的表达式变为()22393324y t t t t t ⎛⎫=+⋅=+=+- ⎪⎝⎭，其中2t <-或0t >，二次函数的对称轴为32t =-，开口向上，()()22322-+⨯-=-， 所以232y t t =+>-，也即()g x 的值域为()2,-+∞. 【点睛】方法点睛：求函数值域（或最值）的常用方法：一、直接观察法：适用类型：根据函数的图象、性质能较易得出函数值域（或最值）的简单函数；二、配方法：适合类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型.对于形如2y ax bx c =++(0)a ≠或2()[()]()(0)F x a f x bf x c a =++≠类的函数的值域问题，均可用配方法求解；三、判别式法：适用类型：分子、分母中含有二次项的函数类型.此函数经过变形后可化为()A y 2()()0x B y x C y ++=的形式，再利用判别式加以判断.四、反函数法：适用类型：分子、分母中只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于其它易反解出自变量的函数类型.五、函数有界性法：直接求函数的值域困难时，可以利用已经学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域.六、函数单调性法：适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值.(原理：同增异减). 七、换元法：适用类型：无理函数、三角函数.通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征都是函数解析式有根或三角函数公式模型.八、数形结合法：适用类型：函数本身可和其几何意义相联系的函数类型. 九、不等式法：适用类型：能用几个重要不等式及推论来求得最值.十、导数法|：适用类型：三次及三次以上的函数的最值，以及利用其它方法很难求的函数的最值，通常都用该方法.19．（1）3π；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理以及三角形的内角和性质即可求解. （2）由（1）可得62C ππ<<，根据正弦定理可得1c =，再利用三角形的面积公式可得ABCS=318tan 8C =+，利用三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）由()()()222sin cos a b cA CBC --+=+，则2cos sin cos bc A B A -=，即sin B =因为ABC ∆的外心在三角形内部(不包括边)，所以ABC ∆是锐角三角形， 所以3B π=.（2）由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=， 故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：211sin sin 22ABCa Sac B c B c=⋅=⋅22sin()1sin 3sin 2sin 4sin C A c B C Cπ-=⋅=22sin cos cos sin 334sin C C C ππ-=21231(sin cos )3tan 38tan C C ππ=-=+又因,tan 623C C ππ<<>，故3188tan 82C <+<， 故ABCS的取值范围是. 【点睛】 易错点点睛：（1）利用正弦值求角度，注意三角形的形状，否则出现增解. （2）利用三角函数的性质求范围，注意角的取值范围. 20．（1）[5,6]；（2）[5,6][8,)+∞.【解析】【分析】（1）利用命题p ⌝为假，则命题p 为真，利用换元法得到2()(1)530g t a t a =-+-，求出对称轴，利用零点存在性定理即可求出结果；（2）若命题q 为真时，利用已知条件得到()()2211210g x x g x x x x +-+⎡⎤⎣⎦<-，构造函数()()h x g x x =+，得()0h x '≤在(0,1]恒成立，分离参数得到2181a x x x -≥+--，求导求出211x x x+--的最大值即可得出结果. 【详解】（1）若命题p ⌝为假， 则命题:[0,1]p x ∃∈，1426(5)0x x a a a +⋅-⋅+-=为真，令1()426(5)x x f x a a a +=⋅-⋅+-， 则1()426(5)x x f x a a a +=⋅-⋅+-在区间[0,1]有零点， 令[]2,1,2x t t =∈， 可得22()26(5)(1)530g t at at a a t a =-+-=-+-，其对称轴为1t =，要使得1()426(5)x x f x a a a +=⋅-⋅+-在区间[0,1]有零点，(1)(2)0g g ∴⨯≤解得：[5,6]a ∈，则当命题p 为真时，[5,6]a ∈.（2）若命题q 为真时：因为()()21211g x g x x x -<--， 所以()()212110g x g x x x -+<-，()()2211210g x x g x x x x +-+⎡⎤⎣⎦<-. 设()()h x g x x =+，依题意，()h x 在(0,1]上是减函数，()0h x '≤.8()ln 1a h x x x x -=-+++， 218()1(1)a h x x x '-=--++. 令()0h x '≤，得：222(1)18(1)1x a x x x x x +-≥-++=+--. 设21()1t x x x x=+--， 则21()210t x x x '=++>， 所以()t x 在(0,1]上是增函数.所以()(1)0t x t ≤=，所以8a ≥.故若q 为真，则8a ≥，若命题p q ∧为假，p q ∨为真，则p ，q 中必有一真一假；则p 真q 假为[5,6]a ∈；则q 真p 假8a ≥，综上：[5,6][8,)a ∈+∞.【点睛】思路点睛：利用复合命题的真假求参数的取值范围问题；常见的类型：（1）若命题p ⌝为假，则p 为真；（2）若命题p q ∧为假，p q ∨为真，则p ，q 中必有一真一假；（3）若命题p q ∧为真，p q ∨为真，则p ，q 都为真；（4）若命题p q ∧为假，p q ∨为假，则p ，q 都为假；21．（1）()2ln f x x x x =+；（2）最大值为8.【解析】【分析】（1）求出导函数，然后求在x e =处的切线方程与已知作比较可得答案；（2）令2ln 1()1x x x g x x +-=-(1x >，转化为()2min t g x <，然后求()min g x 可得答案.（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()ln f x n x m n '=++，所以有()24()4f e m n f e me ne e e =+=⎧⎨=+=-'⎩，解之得21m n =⎧⎨=⎩， 故函数的解析式为：()2ln f x x x x =+；（2）当(1,)x ∈+∞时，则2ln 121t x x x x +-<-， 令2ln 1()1x x x g x x +-=-(1x >)，则由题意知对任意的(1,)x ∈+∞，()2min t g x <， 而22ln ()(1)x x g x x --'=-，(1,)x ∈+∞， 再令()2ln h x x x =--(1x >)，则11()10x h x x x '-=-=>， 所以()h x 在(1,)+∞上为增函数，又(3)1ln30h =-<，3(3.5)ln 2ln 702h =+->， 所以存在唯一的0(3,3.5)x ∈，使得0()0h x =，即002ln x x -=，当0(1,)x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，所以()g x 在0(1,)x 上单调递减，当0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，()0g x '>，所以()g x 在0(,)x +∞上单调递增， 所以00000000002ln 12(2)1()()111min x x x x x x g x g x x x x +-+--====+--， 所以02(1)t x <+，又0(3,3.5)x ∈，所以02(1)(8,9)x +∈，因为t 为整数，所以t 的最大值为8.【点睛】关键点睛：本题考查的是常量分离求参数的最大值问题，解决本题的关键是构造函数，利用该函数的单调性求得最值.22．（1）当0a ≤时，()f x 没有极值点，当0a >时，()f x 有一个极小值点；（2）1a =；（3）()1,+∞.【分析】（1）求出导函数()'f x ，分类讨论确定()'f x 正负，得()f x 的单调性，得极值点；（2）求出()f x 的最小值，由最小值大于或等于0可得；（3）设()()()F x f x kg x =-=ln(1)x e k x ++(1)1k x -+-，且()00F =求得()1x k F x e x =++'()1k -+，且()'00F =，设()1x k h x e x =++()1k -+，且()00h =，()21()x ke h x x '-+=，(0)1h k '=-，分类讨论，1k ≤时，说明不合题意，1k >时，可证明()F x 在0(0,)x 上递减，从而()0<F x 有解．【详解】（1）因为()1x f x e ax =--，所以'()x f x e a =-，当0a ≤时，对R x ∀∈，'()0x f x e a =-<，所以()f x 在(),-∞+∞是减函数，此时函数不存在极值，所以函数()f x 没有极值点；当0a >时，'()x f x e a =-，令'()0f x =，解得x lna =，若(,ln )x a ∈-∞，则()0g x '<，所以()f x 在(,ln )a -∞上是减函数，若(ln ,)x a ∈+∞，则()0g x '>，所以()f x 在(ln ,)a +∞上是增函数，当ln x a =时，()f x 取得极小值；函数()f x 有且仅有一个极小值点ln x a =，所以当0a ≤时，()f x 没有极值点，当0a >时，()f x 有一个极小值点.（2）因为()10x f x e ax =--≥对任意的R x ∈恒成立.当0a ≤时，1(1)10f e a --=+-<，不合题意舍去.当0a >时，由（1）可知当ln x a =时，()f x 取得极小值(ln )ln 1=--f a a a a ；因为()10x f x e ax =--≥对任意的R x ∈恒成立，所以(ln )ln 10f a a a a =--≥又因为0(ln )(0)f a f ≤≤且(0)0f =，则ln 0a =，可得：1a =（3）因为：[)0,x ∃∈+∞，()()f x kg x <，即不等式()()f x kg x <在区间[)0,+∞内有解.设()()()F x f x kg x =-=ln(1)x e k x ++(1)1k x -+-，且()00F =所以()1x k F x e x =++'()1k -+，且()'00F = 设()1xk h x e x =++()1k -+，且()00h = 则()()21x kh x e x '=-+，且()h x '在[)0,x ∈+∞上是增函数，所以()()0h x h '≥'1k =-当1k ≤时，()0h x '≥，所以()h x 在[)0,+∞上是增函数，()()00h x h ≥=，即()0F x '≥，所以()F x 在[)0,+∞上是增函数，所以()()00F x F ≥=，即()()f x kg x ≥在[)0,x ∈+∞上恒成立.当1k >时，因为()()21x kh x e x '=-+在[)0,+∞是增函数，因为()010h k '=-<，()1h k '-=110k e k-->， 所以()h x '在()0,1k -上存在唯一零点0x ，当[)00,x x ∈时，()()00h x h x ''<=，()h x 在[)00,x 上单调递减，从而()()00h x h ≤=，即()0F x '≤，所以()F x 在[)00,x 上单调递减，所以当()00,x x ∈时，()()00F x F <=，即()()f x kg x <.所以不等式()()f x kg x <在区间[)0,+∞内有解综上所述，实数k 的取值范围为()1,+∞.【点睛】方法点睛：本题考查用导数确定函数的极值点，不等式恒成立，不等式有解问题，解题关键是问题的转化．不等式恒成立问题通常转化为求函数的最值，这里有两种转化，一是分离参数法，求出新函数的最值后，利用参数与最值的关系得结论，另一是不分离参数，由函数最值满足不等式再求得得参数的范围．不等式()0x ϕ<在某个区间上有解，转化为研究函数的单调性，这里通常有一个临界点m ，()0m ϕ=，然后利用导数说明()ϕx 在0(,)m x 上递减，或在0(,)x m 上递增，区间0(,)m x （或0(,)x m ）是要证区间有子区间，这样就可完成证明．这里难点在于可能要多次求导，即对()x ϕ'再次求导，以确定()x ϕ'的正负，本题属于难题．。
江西莲塘一中2011届高三上学期第一次月考(数学理)
江西莲塘一中10-11学年高三上学期第一次月考数学试卷(理)一、选择题 （本小题共12小题，每小题5分，共60分）1．函数1()4x f x a -=+（0a >，且1a ≠）的图像过一个定点，则这个定点坐标是 A ．（5，1） B ．（1，5） C ．（1，4） D ．（4，1）2．若函数()f x =A ，函数()lg(1)g x x =-，[2,11]x ∈的值域为B ，则A B 为A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．[0,1]D ．[0,1)3．由直线12x =，x =2，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积为A ．154B ．174C ．1ln 22D ．2ln 24．已知函数1()lg ()2xf x x =-有两个零点21,x x ，则有 A ．021<x xB ．121=x xC ．121>x xD ．1021<<x x5．点),(b a M 在函数x y 1=的图象上，点N 与点M 关于y 轴对称且在直线03=+-y x上，则函数1)()(2-++=x b a abx x f 在区间)2,2[-上A ．既没有最大值也没有最小值B ．最小值为3-，无最大值C ．最小值为3-，最大值为9D ．最小值为413-，无最大值6．已知,a b R ∈，若关于x 的方程20x ax b -+=的实根1x 和2x 满足111x -≤≤,212x ≤≤， 则在直角坐标系aOb 中，点(,)a b 所表示的区域内的点P 到曲线22(3)(2)1a b ++-= 上的点Q 的距离|PQ |的最小值为A．1 B．1 C．1 D．17．有三个函数，第一个函数是()y f x =，第二个函数是第一个函数的反函数1()y f x -=， 第三个函数与第二个函数的图象关于点（1，0）对称。
第三个函数是A ．函数(2)y f x =-的反函数B ．函数()2y f x =+的反函数C ．函数2()y f x =--的反函数D ．函数()2y f x =-的反函数8．函数()y f x =是定义在[,]a b 上的增函数，其中,a b R ∈，且0b a <<-，已知()y f x =无零点，设函数22()()()F x f x f x =+-，对于()F x 有如下四个说法：①定义域是[,]b b -；②是偶函数；③最小值是0；④在定义域内单调递增；其中正确 说法的个数有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1， 顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成， 该八边形的面积为（A ）2sin 2cos 2αα-+ （B）sin 3αα+ （C）3sin 1αα+ （D ）2sin cos 1αα-+10． 设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,(),()(),().g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧=⎨-≥⎩则f(x)的值域是 （A ）9,0(1,)4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦ （B ）[)0,+∞ （C ）9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ （D ）9,0(2,)4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦11．将函数()sin()f x x ωϕ=+的图像向左平移2π个单位.若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于A.4B.6C.8D.12 12.设非空集合{}|S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈.给出如下三个命题：①若1m =，则{}1S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则02m -≤≤.其中正确命题的个数是二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．设函数, (0)()(). (0)x x f x g x x >⎧=⎨<⎩3log 若()f x 是奇函数，则1()9g -的值为 ．14．设()f x 是定义在R 上的奇函数，在(,0)-∞上有2'(2)(2)0xf x f x +<且(2)0f -=，则不等式(2)0xf x <的解集为____________15．如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P （点P 不在C 上）且半径相等. 设第i 段弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=，则232311coscossinsin3333αααααα++-=____________ .16．设定义在R 上的函数()f x 存在反函数，且对于任意R x ∈恒有(1)f x ++(4)f x --2=，则11(201109))(20f x x f ---+-= 三、解答题（本大题共6小题，共74分）17.（12分）已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a +-+=+是奇函数．（1）求,a b 的值；（2）若对任意的t ∈R ，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．18. （12分）在△ABC 中，cos cos AC BAB C =. (Ⅰ)证明B C =； (Ⅱ)若1cos 3A =-，求sin 43B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.19. （12分）已知a 是实数，函数()a x ax x f --+=3222，如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围.20. （12分）已知函数2()()xf x ax bx c e -=++的图象过点(0,2)a ,且在该点处切线的倾斜角为45°（1）用a 表示,b c ；（2）若()f x 在[2,)+∞上为单调递增函数，求a 的取值范围；21. （12分）已知函数()()2,1f x x g x x ==-．(1)若存在x ∈R 使()()f x bg x <⋅，求实数b 的取值范围;(2)设()()()21F x f x mg x m m =-+--，且()|F x |在[]01,上单调递增，求实数m 的取值范围．22. （14分）设函数2()ln()f x x a x =++（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性；（II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln2．莲塘一中2010—2011学年度高三年级第一次月考13. 2 14. (1,1)-15.12-16.－317．解：（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，即102ba -+=+，解得1b =， 从而有121()2xx f x a +-+=+．又由(1)(1)f f =--知1121241a a -+-+=-++， 解得2a =．（2）由（1）知12111()2221x x xf x a +-+==-+++，由上式易知()f x 在(,)-∞+∞上为减函数．由()f x 为奇函数，得：不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f t k -<--=-+， 又()f x 为减函数，由上式推得：2222t t t k ->-+，即对一切t R ∈有2320t t k -->，从而判别式4120k ∆=+<，解得13k <-18.又02B π<<，于是sin 2B =．从而227sin 42sin 2cos 24cos 2sin 29B B B B B B ===-=-．所以sin(4)sin 4cos cos 4sin 33318B B B πππ+=+=．19. 解：若0a = , ()23f x x =- ,显然在[]1,1-上没有零点, 所以 0a ≠.令()248382440a a a a ∆=++=++=, 解得32a -±=①当a =时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上; ②当()()()()05111<--=⋅-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点.③当()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩ 或()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩解得5a ≥或a <综上所求实数a 的取值范围是 1a > 或a ≤20．解：（1）2'()(2)()x x f x ax b e ax x c e b --=+-++2[(2)],x ax b a x c b e -=-+-+- 由已知得：'(0)1(0)2f b c f a =-=⎧⎨=⎩ 212c ab a =⎧⎨=+⎩（2）由（1）得2'()(1)xf x ax x e -=-+-()f x 在[2,)+∞上为单调增函数，则'()0[2,)f x x ≥∈+∞对恒成立，即210ax x +-≤对[2,)x ∈+∞恒成立。
2024-2025学年江西省南昌县莲塘第一中学高二上学期11月期中考试数学试卷(含答案)
2024-2025学年江西省南昌县莲塘第一中学高二上学期11月期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z =1−i ，则z (1−z )=( )A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i2.已知椭圆方程为x 236+y 264=1，则该椭圆的长轴长为( )A. 6B. 12C. 8D. 163.已知椭圆C:x 23+y 22=1的左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，则△AF 1B 的周长为( )A. 2B. 4C. 23 D. 434.已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2，则渐近线方程是( )A. y =±12xB. y =±2xC. y =±3xD. y =±33x 5.已知抛物线的焦点在直线x−2y−4=0上，则此抛物线的标准方程是( )A. y 2=16xB. x 2=−8yC. y 2=16x 或x 2=−8yD. y 2=16x 或x 2=8y6.“a =3”是“直线l 1:ax−2y +3=0与直线l 2:(a−1)x +3y−5=0垂直”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知动圆C 与圆C 1:(x−3)2+y 2=4外切，与圆C 2:(x +3)2+y 2=4内切，则动圆圆心C 的轨迹方程为( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 双曲线一支8.一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是x 2=4y,y ∈[0,10]，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( )A. 12B. 1C. 2D. 52二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
江西莲塘一中2010—2011学年度高三年级第一次月考数学试卷(理)
江西莲塘一中2010—2011学年度高三年级第一次月考数学试卷(理)命题人 李鸿斌一、选择题 （本小题共12小题，每小题5分，共60分）1．函数1()4x f x a -=+（0a >，且1a ≠）的图像过一个定点，则这个定点坐标是A ．（5，1）B ．（1，5）C ．（1，4）D ．（4，1）2．若函数()f x =A ，函数()lg(1)g x x =-，[2,11]x ∈的值域为B ，则AB 为A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．[0,1]D ．[0,1)3．由直线12x =，x =2，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积为A ．154B ．174C ．1ln 22D ．2ln 24．已知函数1()lg ()2xf x x =-有两个零点21,x x ，则有 A ．021<x xB ．121=x xC ．121>x xD ．1021<<x x5．点),(b a M 在函数x y 1=的图象上，点N 与点M 关于y 轴对称且在直线03=+-y x上，则函数1)()(2-++=x b a abx x f 在区间)2,2[-上A ．既没有最大值也没有最小值B ．最小值为3-，无最大值C ．最小值为3-，最大值为9D ．最小值为413-，无最大值6．已知,a b R ∈，若关于x 的方程20x ax b -+=的实根1x 和2x满足111x -≤≤,212x ≤≤，则在直角坐标系aOb 中，点(,)a b 所表示的区域内的点P 到曲线22(3)(2)1a b ++-= 上的点Q 的距离|PQ |的最小值为A．1 B．1 C．1 D．17．有三个函数，第一个函数是()y f x =，第二个函数是第一个函数的反函数1()y f x -=，第三个函数与第二个函数的图象关于点（1，0）对称。
第三个函数是A ．函数(2)y f x =-的反函数B ．函数()2y f x =+的反函数C ．函数2()y f x =--的反函数D ．函数()2y f x =-的反函数8．函数()y f x =是定义在[,]a b 上的增函数，其中,a b R ∈，且0b a <<-，已知()y f x =无零点，设函数22()()()F x f x f x =+-，对于()F x 有如下四个说法：①定义域是[,]b b -；②是偶函数；③最小值是0；④在定义域内单调递增；其中正确 说法的个数有 A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1， 顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成， 该八边形的面积为（A ）2sin 2cos 2αα-+ （B）sin 3αα+ （C）3sin 1αα+ （D ）2sin cos 1αα-+10． 设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,(),()(),().g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧=⎨-≥⎩则f(x)的值域是（A ）9,0(1,)4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦ （B ）[)0,+∞ （C ）9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ （D ）9,0(2,)4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦11．将函数()sin()f x x ωϕ=+的图像向左平移2π个单位.若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于A.4B.6C.8D.12 12.设非空集合{}|S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈.给出如下三个命题：①若1m =，则{}1S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则02m -≤≤.其中正确命题的个数是二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．设函数, (0)()(). (0)x x f x g x x >⎧=⎨<⎩3log 若()f x 是奇函数，则1()9g -的值为 ．14．设()f x 是定义在R 上的奇函数，在(,0)-∞上有2'(2)(2)0xf x f x +<且(2)0f -=，则不等式(2)0xf x <的解集为____________15．如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P （点P 不在C 上）且半径相等. 设第i 段弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=，则232311coscossinsin3333αααααα++-=____________ .16．设定义在R 上的函数()f x 存在反函数，且对于任意R x ∈恒有(1)f x ++(4)f x --2=，则11(201109))(20f x x f ---+-=三、解答题（本大题共6小题，共74分）17.（12分）已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a +-+=+是奇函数．（1）求,a b 的值；（2）若对任意的t ∈R ，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．18. （12分）在△ABC 中，cos cos AC BAB C =. (Ⅰ)证明B C =； (Ⅱ)若1cos 3A =-，求sin 43B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.19. （12分）已知a 是实数，函数()a x ax x f --+=3222，如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围.20. （12分）已知函数2()()xf x ax bx c e -=++的图象过点(0,2)a ,且在该点处切线的倾斜角为45°（1）用a 表示,b c ；（2）若()f x 在[2,)+∞上为单调递增函数，求a 的取值范围；21. （12分）已知函数()()2,1f x x g x x ==-．(1)若存在x ∈R 使()()f x bg x <⋅，求实数b 的取值范围;(2)设()()()21F x f x mg x m m =-+--，且()|F x |在[]01,上单调递增，求实数m 的取值范围．22. （14分）设函数2()ln()f x x a x =++（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性；（II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln2．莲塘一中2010—2011学年度高三年级第一次月考13. 2 14. (1,1)-15.12-16.－317．解：（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，即102ba -+=+，解得1b =， 从而有121()2xx f x a +-+=+．又由(1)(1)f f =--知1121241a a -+-+=-++， 解得2a =．（2）由（1）知12111()2221x x xf x a +-+==-+++， 由上式易知()f x 在(,)-∞+∞上为减函数．由()f x 为奇函数，得：不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f t k -<--=-+， 又()f x 为减函数，由上式推得：2222t t t k ->-+，即对一切t R ∈有2320t t k -->，从而判别式4120k ∆=+<，解得13k <-18.又02B π<<，于是sin 23B ==．从而227sin 42sin 2cos 2,cos 4cos 2sin 299B B B B B B ===-=-．所以sin(4)sin 4cos cos 4sin 333B B B πππ+=+=．19. 解：若0a = , ()23f x x =- ,显然在[]1,1-上没有零点, 所以 0a ≠.令()248382440a a a a ∆=++=++=, 解得a =①当a =时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上; ②当()()()()05111<--=⋅-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点.③当()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩或()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩解得5a ≥或a <综上所求实数a 的取值范围是 1a > 或32a -≤20．解：（1）2'()(2)()x xf x ax b e ax x c e b --=+-++2[(2)],x ax b a x c b e -=-+-+- 由已知得：'(0)1(0)2f b c f a =-=⎧⎨=⎩ 212c ab a =⎧⎨=+⎩（2）由（1）得2'()(1)xf x ax x e -=-+-()f x 在[2,)+∞上为单调增函数，则'()0[2,)f x x ≥∈+∞对恒成立，即210ax x +-≤对[2,)x ∈+∞恒成立。
江西省南昌市2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题(无答案)
2024-2025学年第一学期高三年级11月月考数学试题命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，，则集合的子集的个数为（ ）A.3B.7C.8D.152.已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（ ）A.1 B.-1 C.i D.3.已知向量，不共线，，，其中，，若，，三点共线，则的最小值为（ ）A.5B.4C.3D.24.已知，，则（ ）A. B. C. D.5.，则圆锥内切球半径为（ ）A.B. C. D.6.定义在上的函数满足：对，，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D.7.已知，则下列选项中正确的是（ ）A. B.是奇函数C.关于直线对称D.的值域为8.已知函数的定义域为R ，且对任意，满足，{}0,1A ={},,B z z x y x A y A ==+∈∈B a ()()211i z a a =-++2024i 1i a ++i-a b AB a b λ=+ AC a b μ=+ 0λ>0μ>A B C 4λμ+()1cos 4αβ+=tan tan 2αβ=()cos αβ-=112112-3434-32-6-4-()0,+∞()f x 1x ∀()20,x ∈+∞12x x ≠()()2112120x f x x f x x x ->-()36f =()2f x x >()3,+∞()0,3()0,2()2,+∞()()cos sin f x x =()2f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x ()f x x π=()f x []1,1-()f x x ∈R ()()11f x f x x +-≥-，且，则（ ）A.651B.676C.1226D.1275二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A.已知随机变量服从正态分布，越小，表示随机变量分布越集中B.数据1，9，4，5，16，7，11，3的第75百分位数为9C.线性回归分析中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越弱D.已知随机变量，则10.用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，也即圆锥曲线.探究发现：当圆锥轴截面的顶角为时，若截面与轴所成的角为，则截口曲线的离心率.例如，当时，，由此知截口曲线是抛物线.如图，圆锥SO 中，M 、N 分别为SD 、SO 的中点，AB 、CD 为底面的两条直径，且、，.现用平面（不过圆锥顶点）截该圆锥，则（ ）A.若，则截口曲线为圆B.若与SO 所成的角为，则截口曲线为椭圆或椭圆的一部分C.若、、，则截口曲线为抛物线的一部分D.的双曲线的一部分，则11.已知实数，满足（e 为自然对数的底数，，则（ ）A.当时， B.当时，C.当时， D.当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.()()33f x f x x +-≤()10f =()52f =X ()2,N μσσX r 1~7,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()72E X =2αβcos cos e βα=αβ=1e =AB CD ⊥4AB =2SO =γMN γ⊂γ60︒M A B γ∈O γ∉x y e0x y y x ++=e 2.71828= 0y <0x y +=0x <0x y +=0x y +≠2y x ->0x y +≠10xy -<<12.已知的展开式中各项系数的和为4，则______13.“白日依山尽，黄河入海流”是唐代诗人王之涣形容美景的一首诗词.某数学爱好者用两个函数图象描绘了这两句诗词：，的图象犹如两座高低不一的大山，太阳从两山之间落下（如图1），，的图象如滚滚波涛，奔腾入海流（如图2）.若存在一点，使在处的切线与在处的切线平行，则的值为______.图1 图214.用表示不超过的最大整数，例如，，.已知数列满足，，则______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）在中，角，，的对边分别为，，c ，的面积为S ，且（1）求角A ；（2）若V ABC 为锐角三角形，且，求的取值范围.16.（本小题15分）如图，在六面体中，，且底面ABCD 为菱形.（1）证明：四边形为平行四边形.（2）若平面ABCD ，，，，，求平面与平面ABCD 所成二面角的正弦值.()622a x x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭a =()3sin sin f x x x =+[]0,2x π∈()1sin 22g x x =[]0,2x π∈0x π≠()f x ()()00,x f x ()g x ()()0,n x g x 0cos x []x x []33=[]1.21=[]1.32-=-{}n a 11a =2117n n n a a a +=+202412122024222a a a a a a ⎡⎤++⋯+=⎢⎥+++⎣⎦V ABC A B C a b VABC ()22a b c +=+4b c +=a 1111ABCD A B C D -1111AA BB CC DD ∥∥∥1111A B C D 1AA ⊥11AA CC =60BAD ∠=︒15DD =12AB BB ==1111A B C D17.（本小题15分）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为，.过右焦点的直线交椭圆于点、，且的周长为16.（1）求椭圆的标准方程；（2）记直线AM 、BN 的斜率分别为，，证明：为定值.18.（本小题17分）已知函数.（其中，）.（1）当，时，证明：是增函数；（2）证明：曲线是中心对称图形；（3）已知，设函数，若对任意的恒成立，求的最小值.19.（本小题17分）如图：一张的棋盘，横行编号1，2，3：紧排编号，，.一颗棋子目前位于棋盘的处，它的移动规则是：每次移动到与自身所在格不相邻的异色格中.例如该棋子第一次移动可以从移动到或.棋子每次移动到不同目的地间的概率均为.（1）①列举两次移动后，该棋子所有可能的位置.②假设棋子两次移动后，最终停留到第1，2，3行时，分别能获得1，2，3分，设得分为，求的分布列和数学期望.（2）现在于棋盘左下角处加入一颗棋子，他们运动规则相同，并且每次移动同时行动.移动次()2222:10x y C a b a b+=>>12A B 1F 2F 2F l M N 1F MN △C 1k 2k 12k k ()()312121x x f x ax b x -=++-+a b ∈R 0a >0b =()f x ()y f x =0a ≠()()()()312e 1121x x x g x f x b x b -=+-+-+-+()0g x ≥x ∈R b a a-33⨯a b c (),1c (),1c (),2a (),3b 12X X (),3a n后，两棋子位于同一格的概率为，求的通项公式.n P n P。
2020届江西省南昌县莲塘第一中学高三上学期月考数学(理)试题(解析版)
2020届江西省南昌县莲塘第一中学高三上学期月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|A y y y N ==∈，()(){}2|log 12B x y x x ==+-，则A B =I （ ）A ．{}|02x x ≤<B ．{}2|0x x ≤≤C ．{}0,1D ．{}0,1,2【答案】C【解析】对于集合A ，先求出定义域，再求出y =y N ∈，得到集合A ；对于集合B ，令真数大于0，求出x 得范围，然后求集合A 和集合B 的交集即可. 【详解】对于集合A ，令240x -≥，解得22x -≤≤，所以2044x ≤-≤，所以02y ≤=≤， 又因为y N ∈，所以{}0,1,2A =；对于集合B ，()()120x x +->，解得12x -<<， 所以{}|12B x x =-<<， 故{}0,1A B =I . 故选：C 【点睛】本题主要考查求解函数的定义域和值域，以及集合的基本运算，注意求解值域时要优先求解函数的定义域，属于基础题.2．“23k παπ=+”是“sin α=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由23k παπ=+可得sin α=；反之，sin α=，不一定得23k παπ=+，再结合充分必要条件的判定可得答案. 【详解】当23k παπ=+，k Z ∈时，sin α=成立，当sin α=时，23k παπ=+或223k παπ=+，k Z ∈，所以sin 2α=时，不一定有23k παπ=+，k Z ∈，所以“23k παπ=+”是“sin α=”的充分而不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值和充分必要条件的判定，属于基础题. 3．设23342,log 5,log 5a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】A【解析】先根据1来分段，然后根据指数函数性质，比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】 由于203221-<=，而344log 5log 5log 41>>=，故a c b <<，所以选A.【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于基础题.4．已知平面向量a r ，b r 的夹角为3π，且22a b ==r r ，则a b +=r r （ ）A ．3BC ．7D【答案】D【解析】由()22a b a b +=+r r r r 展开计算得到2a b +r r 的值，从而得到答案.【详解】由题意，平面向量a r ，b r 的夹角为3π，且2a =r ，1b =r ， 所以()22222a b a ba ab b +=+=+⋅+r r r r r r r r222221cos173π=+⨯⨯⨯+=，所以a b +=r r.故选：D 【点睛】本题主要考查求向量的模长和向量的数量积运算，属于基础题.5．在ABC ∆中，若4a =，3c =，ABC S ∆=cos2B =（ ）A ．3B ．3C ．13D ．23【答案】C【解析】由三角形面积公式求得sin B ，再由二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】由三角形面积公式，1sin 2ABC S ac B ∆==sin B =， 由二倍角的余弦公式，2cos 212sin B B =-，解得1cos 23B =. 故选：C 【点睛】本题主要考查三角形面积公式和二倍角的余弦公式，属于基础题.6．已知函数()()xf x x m e =+，m R ∈，若函数()f x 的极值点为1x =，则关于x 的不等式()24f x x <-的解集为（ ） A ．{}|ln 22x x << B ．{}2|0x x ≤≤ C ．{}|02x x <<D ．{}|0ln 2x x <<【答案】A【解析】由函数()f x 的极值点为1x =，求导解出2m =-，再将()24f x x <-变形整理得()()220xx e --<，解不等式即可.【详解】由题意，求导得()()()1xxxf x e x m e x m e '=++=++，当1x =时，()f x 取极值，所以()()11110f m e '=++=，解得2m =-，所以()()2xf x x e =-，所以()24f x x <-即()()222xx e x -<-，移项整理得，()()220xx e --<，解得ln 22x <<.故选：A 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值，以及不等式求解，考查学生的转化和分析能力，属于中档题.7．已知正实数x ，y 满足2x y xy +=，则2x y m +≥恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．8 B ．9C ．6D ．7【答案】B【解析】利用已知条件得到211y x +=，再化简()212x y y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求得2x y +的最小值，然后再利用恒成立，得到m 的最大值. 【详解】由2x y xy +=可得211y x+=，()21222255549x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当22x yy x=时，等号成立， 所以2x y +的最小值为9，又因为2x y m +≥恒成立，所以9m ≤， 即m 的最大值为9. 故选：B 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值问题和不等式的恒成立问题，考查学生的转化和分析能力，属于中档题.利用基本不等式求最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③等号取得的条件.8．如图，函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象上一个周期内的A ，B 两点，满足()()()01A B f x f x m m =-=<<.若2A B x x π-=，要得到函数()f x 的图象，则需将函数sin y x ω=的图象（ ）A ．向左移动3π个单位 B ．向右移动3π个单位 C ．向左移动6π个单位 D ．向右移动6π个单位 【答案】C【解析】利用()()A B f x f x =-和诱导公式构建等式关系，得到A x 和B x 的关系，再利用2A B x x π-=，解出ω，最后由三角函数图象的变换规律得到结果.【详解】由()()A B f x f x =-和()sin sin παα+=-， 得sin sin sin 333AA B x x x πππωωπω⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以33A B x x ππωπω++=+，得()B A x x ωπ-=，由图象B A x x >，所以2B A x x π-=，解得2ω=，所以()sin 2sin 236f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故需要将sin 2y x =向左移动6π个单位得到得到函数()f x 的图象.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用和三角函数的平移变换，注意平移不包括平移x 的系数，考查学生的转化和分析能力，属于中档题.9．已知函数12log (1),0()21,0x x x f x x +<⎧⎪=⎨⎪-≥⎩，若3()02f a f a ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11,2骣琪-琪桫 B ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,+?【答案】C【解析】根据函数()f x 的单调性，当0a ≥时，不等式恒成立；当10a -<<时，构造函数3()()2g a f a f a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】由题意，函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，在()1,0-上单调递减，302a +>恒成立，323212a f a +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，若[)0,a ∈+∞，显然3()02f a f a ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭恒成立；若()1,0a ∈-，由函数()f x 的单调性，可知函数32123()()21log (1)2a g a f a f a a +⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭在()1,0-上单调递增，又12111()(1)()21log 0222g f f -=--=--=，即1,02a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，3()()02g a f a f a ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭.综上，实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查函数单调性的应用，考查不等式的解法，考查学生的推理能力与计算能力，属10．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若函数()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则ω的取值为（ ） A ．14 B ．74C ．14或74D ．1或74【答案】C【解析】由函数()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，解出3124k ω=+，再结合()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，求得ω的范围，对选项检验即可.【详解】由题意，函数()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 所以sin 062233f πππω⎛⎫⎛⎫=⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即236k πππω⋅-=，k Z ∈， 解得，3124k ω=+，k Z ∈， 又因为()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调函数，所以4422Tπππ⎛⎫--=≤ ⎪⎝⎭,2T πω=， 解得，02ω<≤， 所以k 可以取0或1，即14ω=或74ω=.故选：C 【点睛】本题主要考查正弦函数的图像和性质，利用好正弦函数的对称中心、单调区间和周期的关系式解题的关键，考查学生的分析转化能力，属于中档题. 11．已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，记集合(){}|sin ,121,i M x x a i n i N +==≤≤+∈，且()0,n a π∈，若集合M 中有1n +个元素，则21n S +=（ ）A ．n πB ．2n πC ．12n π+ D ．212n π+ 【答案】D【解析】由题意，()sin i x a =，集合M 中有1n +个元素，可以得到()sin i x a =有n 项重复，数列{}n a 关于2x π=对称，所以()1sin 1n a +=，解出1n a +，再由等差数列前n 项和公式求解21n S +即可. 【详解】由题意，121i n ≤≤+，i N +∈，所以()sin i x a =共有21n +项， 因为集合M 中有1n +个元素，所以()sin i x a =有n 项重复，{}n a 关于2x π=对称，由()0,n a π∈和()sin sin απα=-，所以()()121sin sin n a a +=，()()22sin sin n a a =，⋅⋅⋅ ，()()2sin sin n n a a +=， 所以()1sin 1n a +=，即12n a π+=，所以()()()1211212122121222n n n a a n a n n S π+++++++===.故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质、等差数列的性质和前n 项和公式，考查学生的分析转化能力，属于中档题.12．已知函数()()()()2100xx x e ax x f x e x -⎧--≥⎪=⎨<⎪⎩，若不等式()()f x f x +-≤立，则a 的取值范围为（ ） A ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦B．⎛ ⎝ C．⎫+∞⎪⎭D ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】令()()()g x f x f x =+-，则()g x 是偶函数，所以考虑0x >的情况即可，由()()f x f x +-≤0x >时()g x 的解析式并分离参数，构造新的函数()h x ，利用导数求得()h x 的最大值即可. 【详解】令()()()g x f x f x =+-，()()()()g x f x f x g x -=-+=， 所以()g x 是偶函数，()()002(0)20102g f e a -⎡⎤==--⋅=-<⎣⎦成立，所以考虑0x >的情况即可，当0x >时，()()()()212xx x g x f x f x x eax e xe ax ---=+-=--+=-，()()f x f x +-≤2xxeax --≤恒成立，分离参数，即2xea -≤恒成立， 令()2xh x e-=0x >， 则()2xh x e-'=-，0x >，()0h x '=，即20x e --=，解得12x =， ()0h x '<，解得12x >，所以()h x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， ()0h x '>，解得102x <<，所以()h x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()h x 在12x =处取得极大值即最大值，12112122h e -⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 又因为()2xh x e a -=≤恒成立，所以a ≥故选：C 【点睛】本题主要考查分段函数的应用，利用导数求最值，考查学生构造函数和分离参数的应用，同时还考查学生分析转化能力和计算能力，属于难题.二、填空题13．等比数列{}n a 中，3S 21=，232a a =则数列{}n a 的通项公式n a =______．【答案】n 132-⨯【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，用首项和公比q 表示出已知条件，计算即可求解． 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，3S 21=Q ，232a a =，()21a 1q q 21∴++=，2q =，解得1a 3=．数列{}n a 的通项公式n 1n a 32-=⨯．故答案为：n 132-⨯． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，考查推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()20f x f x -+=，()0f ()'0f =，且则曲线()y f x =在点()()2,2f --处的切线方程为______.【答案】y =+【解析】由()()20f x f x -+=得到()f x 的对称中心，再根据()f x 是偶函数，求出()2f -，对()()20f x f x -+=两边求导，得到()f x ¢的对称轴，再根据()f x ¢是奇函数，得到()'2f -，最后求出切线方程即可. 【详解】因为()()20f x f x -+=，所以()f x 关于()1,0中心对称， 又()f x 是偶函数，所以()f x 关于()1,0-中心对称，所以()2f -=，对()()20f x f x -+=两边求导，得()()20f x f x ''--+=， 所以()f x ¢关于1x =对称，又()f x 是偶函数，所以()f x ¢是奇函数，所以()f x ¢关于1x =-对称，因为()0f '=，所以()2f '-=所以()y f x =在点()()2,2f --处的切线方程为：()(2)(2)2y f f x '--=-+，即()332y x +=+，所以切线方程为：33y x =+.故答案为：33y x =+【点睛】本题主要考查函数和导函数的奇偶性和对称性以及利用导数求函数的切线方程，考查学生的转化分析能力，属于中档题.15．在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90C ∠=︒，2BC CD ==，则四边形ABCD的对角线AC 的最大值为______. 【答案】31+【解析】求解出BD 为定长，又60A ∠=︒，所以点A 在以BD 为弦的圆上运动，建立直角坐标系，利用数形结合找到对角线AC 最大值时点A 的位置，再求解即可. 【详解】根据题意，90C ∠=︒，2BC CD ==，所以2BD =，由于60A ∠=︒，2BD =为定长，所以A 在以BD 为弦的圆上运动， 以点D 为原点，DB 为x 轴，建立直角坐标系，画出图象如图所示， 则()2,0B ，()1,1C ，BD 中点()1,0E在ABD △中，由正弦定理232sin sin 602BD R A ===o，得33R =， 圆心O 在BD 的垂直平分线上，2222OE EB OB R +==，所以3OE =，即1,O ⎛ ⎝⎭， 延长CO 交圆O 于点A '，所以对角线AC 的最大值即A C '的长度，因为1CE =,OE =,OA '=所以11A C CE OE OA ''=++=+=，即四边形ABCD 的对角线AC 1.1 【点睛】本题主要考查正弦定理求外接圆半径，直线与圆的应用，考查学生分析转化能力和数形结合的思想，属于难题.16．已知ABC ∆中，2BC =，AC =45ACB ∠=︒，2PB PC +=u u u r u u u r，AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，那么2λμ+的取值范围为______.【答案】3322⎡⎢⎣⎦【解析】利用余弦定理解出ABC ∆是等腰直角三角形，由向量的坐标形式表示出2PB PC +=u u u r u u u r ，得到点P 的轨迹，再由向量的坐标形式表示出AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，最后由线性规划求解2λμ+的范围即可. 【详解】根据题意，在ABC ∆中，2BC =，AC =45ACB ∠=︒，由余弦定理，222222cos 2224AB BC AC BC AC ACB π=+-⋅∠=+-⨯以点A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系，如图所示，所以()0,0A ，)B，(C ，设点(),P x y ，),PB x y =--u u u r ，()PC x y =-u u u r ，(),AP x y =u u u r，(AC =u u u r ，)AB =u u u r，所以)22PB PC x y +=u u u r u u u r ，)AB AC λμ+=u u u r u u u r ，由2PB PC +=u u u r u u u r，得()()2222222x y-+-=，整理得，2222122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以点P 的轨迹在以点22,22O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，半径1R =的圆上， 由AP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，得()(),2,2x y λμ=，所以22x λ=，22y μ=，所以2222x y λμ+=+， 在点M 时，2λμ+取得最大值，在点N 时，2λμ+取得最小值， 此时圆心O 到2222x y λμ+=+的距离为半径R ， 由点到直线的距离公式，()()22222222221222λμ⨯+⨯-+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得31022λμ+=±，所以3103102,2222λμ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦.故答案为：31031022⎡-⎢⎣⎦【点睛】本题考查了余弦定理、向量的表示、向量模长的计算、点到直线的距离公式和线性规划的应用，考查学生的分析转化能力、数形结合能力和计算能力，是一道综合性很强的题目，属于难题.三、解答题17．已知m R ∈，设命题p ：(]1,7x ∈-，方程()22log 12x m m +=-存在实数解；命题q ：不等式4210x x m -⋅+≥对任意[]1,2x ∈恒成立. （1）若p 为真命题，则m 的取值范围；（2）若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求m 取值范围. 【答案】（1）13m -≤≤（2）532m <≤或1m <- 【解析】（1）在命题p 中，由x 的范围求解出()2log 1x +的范围，根据命题p 是真命题，求解关于m 的一元二次不等式即可；（2）利用恒成立分离参数得到411222x xx xm +≤=+，构造函数()1g t t t =+，[]2,4t ∈，利用单调性求得()g t 的最小值，从而得到m 的范围，再由p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，得p 、q 中必有一真一假，分情况讨论，得到最后的答案. 【详解】（1）因为17x -<≤，所以018x <+≤，则()2log 13x +≤， 由已知条件可得223m m -≤，解得13m -≤≤， 故p 为真命题时，13m -≤≤.（2）因为不等式4210x x m -⋅+≥对任意[]1,2x ∈，则411222x x x xm +≤=+，令2xt =，[]2,4t ∈， 则1m t t≤+，[]2,4t ∈，令()1g t t t=+，可知()g t 在[]2,4上为增函数，()()min 152222g t g ==+=. 因为p q ∧为假命题，p q ∨为真命题， 则p 、q 中必有一真一假， 若p 为真命题，q 为假命题时，则532m <≤； 若p 为假命题，q 为真命题时，则1m <-，综上所述532m <≤或1m <-. 【点睛】本题主要考查对数不等式求解、一元二次不等式求解、恒成立问题和命题的概念，注意分离参数和构造函数的应用，是考试中常出现的问题，还考查学生的分析转化能力，属于中档题.18．在平面直角坐标系xOy ，O 为坐标原点，()1,0A -，()()()cos ,sin 0,B θθθπ∈，(Q ，C 为平面内一点，且满足OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，设四边形OACB 的面积为S .（1）若OQ OC ⊥，求θ的值；（2）记()f OA OC S θ=⋅+u u u r u u u r，求()f q 的取值范围.【答案】（1）23πθ=（2）()(1f θ⎤∈⎦【解析】（1）由已知条件求出OC u u u r，再由OQ OC ⊥，得到cos 10θθ-=，利用辅助角公式化简，求出θ即可；（2）根据向量关系得到四边形OACB 是平行四边形，并根据三角形面积公式求出S 的表达式，再求出OA OC ⋅u u u r u u u r，化简()f q ，根据角θ的范围求出()f q 的取值范围即可. 【详解】（1）由题，()1,0OA =-u u u r ，()cos ,sin OB θθ=u u u r，(OQ =u u u r ，由已知条件()cos 1,sin OC OA OB θθ=+=-u u u r u u u r u u u r，因为OQ OC ⊥，所以0OQ OC ⋅=u u u r u u u r，即cos 10θθ-=，由辅助角公式得，2sin 16πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 62πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又因为∵0θπ<<，∴7666πππθ<+<，所以566ππθ+=， 得23πθ=. （2）由（1）知，1cos OA OC θ⋅=-u u u r u u u r，由OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可知四边形OACB 为平行四边形，向量OA u u u r 和向量OB uuu r的夹角为πθ-，所以()()12sin sin sin 2S OA OB πθπθθ=⨯-=-⋅=u u ur u u u r .所以()1cos sin OA OC S f θθθ=⋅+=-+u u u r u u u r 14πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∵0θπ<<，∴3444πππθ-<-<， 当44ππθ-=-时，()0fθ=，当42ππθ-=时，()max 1fθ=即()(1f θ⎤∈⎦. 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，辅助角公式和三角函数求值域，考查学生的分析转化能力，属于基础题.19．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，22cos a b c B +=. （1）求角C 的值；（2）若c =D 为线段AB 的中点，且满足cos 7ACD ∠=，求a ，b . 【答案】（1）23C π=（2）2a =，3b = 【解析】（1）22cos a b c B +=由正弦定理边化角得到2sin sin 2sin cos A B C B +=，在三角形中，利用()sin sin A B C =+，展开后化简求值即可；（2）在ACD ∆中利用用正弦定理表示出sin b AD ADC =∠，同理在BCD ∆中利用正弦定理表示出sin a BDC =∠，根据sin sin ADC BDC ∠=∠，AD BD =，求出求a 和b 的关系，在ABC ∆中，根据余弦定理求解即可.【详解】（1）因为22cos a b c B +=，在三角形ABC ∆中由正弦定理得：2sin sin 2sin cos A B C B +=， 又因为∵A B C π++=，∴()A B C π=-+， 得()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，即2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=， ∴2sin cos sin 0B C B +=，∴1cos 2C =-.又因为()0,C π∈，∴23C π=. （2）∵cos 7ACD ∠=，∴sin ACD ∠==7=， 在ACD ∆中由正弦定理得：sin sin AD b ACD ADC =∠∠即sin b ADC =∠，∵23BCD ACD π∠=-∠， ∴2cos cos 3BCD ACD π⎛⎫∠=-∠⎪⎝⎭1cos 2ACD ACD =-∠+∠，∴1cos 2BCD ∠=-=， 在BCD ∆中由正弦定理得：sin sin BD aBCD BDC=∠∠，即sin a BDC =∠， 又因为AD BD =，ADC BDC π∠+∠=，sin sin ADC BDC ∠=∠， 即32a b =.在ABC ∆中由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，即22223322a a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，解得2a =，3b =.【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查学生的分析转化能力和计算能力，属于中档题.20．已知数列{}n a 为等比数列，且1123n n n a a -+-=.（1）求公比q 和1a 的值；（2）设数列()31log n n n b a a +=⋅，设121321n n n n n T b a b a b a b a --=++++L ，求n T .【答案】（1）11a =，3q =.（2）31nn T n =--【解析】（1）由等比数列通项公式展开1n a +和n a 并化简，求出公比q 和1a ；（2）先求出n b 的通项公式，利用错位相减求和求出n T 即可. 【详解】（1）设等比数列的首项为1a ，公比为q ， 则()111111112223nn n n n n a a a q a q a q a q ---+-=-=-=，所以11213q a q a ==-⎧⎨⎩ ，解得11a =，3q =.（2）由（1）得，13-=n n a ，所以1211333n n n n n a a --+⋅==，所以()()21313log log 321n n n n b a a n -+===-，()()123133353233211n n n n T n n ---=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，()()234111333532312133n n n n T n n ---=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯， 两式相减得()()12342132333312133n n n n n T n ----=++++⋅⋅⋅++--⨯，()111132213231333n n n n T --⨯-=+⋅-+-，所以31nn T n =--.【点睛】本题主要考查等比数列通项公式的应用和错位相减求和，考查学生的计算能力，属于中档题.21．已知函数()()()121102x x a e a f x x ax -=---+≥. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在1x x =取得极小值，若()12f x e ≥-，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）[)(]0,11,2a ∈U【解析】（1）对()f x 求导，求出()f x ¢的零点，对a 进行分类讨论，讨论每种情况下()f x 的单调性即可；（2）讨论a 三种情况下()f x 的极小值，1a =时，()f x 无极小值；01a ≤<时，()f x 的极小值122e ->-，所以成立；1a >时，()f x 的极小值1212a e a --+，构造函数()()12112x e x x x ϕ-=-+>，判断()x ϕ的单调性求出a 的范围即可.【详解】（1）由题意，()()()11x f x x a e-'=--.令()0f x ¢=解得1x a =，21x =，①当01a ≤<时，(),x a ∈-∞时，()0f x ¢>，则()f x 在(),a -∞为增函数；(),1x a ∈时，()0f x ¢<，则()f x 在(),1a 为减函数； ()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，则()f x 在()1,+?为增函数；②当1a =，x ∈R 时，()0f x ¢³，则()f x 在R 为增函数；③当1a >时，(),1x ∈-∞时，()0f x ¢>，则()f x 在(),1-∞为增函数；()1,x a ∈时，()0f x ¢<，则()f x 在()1,a 为减函数；(),x a ∈+∞时，()0f x ¢>，则()f x 在(),a +∞为增函数；综上所述：当01a ≤<时，()f x 在(),1a 为减函数，在(),a -∞和()1,+?为增函数；当1a =时，()f x 在R 为增函数；当1a >时，()f x 在()1,a 为减函数，在(),1-∞和(),a +∞为增函数； （2）由（1）可当1a =函数()f x 不存在极值点， 当01a ≤<时，可知函数()()1122f x f e ==->-极小值， 所以01a ≤<成立；当1a >时，可知函数()()12212a f x f a e a a -==--+极小值1212a e a -=-+， 令()()12112x ex x x ϕ-=-+>， 则()1x x ex ϕ-'=-+，()11x x e ϕ-''=-+，当1x >时，()0x ϕ''<，即()x ϕ'在()1,+?为减函数， 所以()()10x ϕϕ''<=，所以()x ϕ在()1,+?上为减函数，又因为()22e ϕ=-，所以()()22a e ϕϕ≥=-， 由()x ϕ在()1,+?上为减函数，得12a <≤.综上所述，当[)(]0,11,2a ∈U ，()12f x e ≥-. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性和极值，还考查学生分类讨论的思想和分析转化能力，属于中档题. 22．设函数()22xx xef x e -=-.（1）求函数()f x 的极值点； （2）设函数()()12xg x f x e k =++有两个零点，求整数k 的最小值. 【答案】（1）()f x 的极大值点为0（2）2 【解析】（1）对()f x 求导，()()2212xxf x ex e -'=--，因为xe -恒大于0，所以()f x¢的正负等价于212x x e --的正负，构造新的函数，求导判断212x x e --的正负，从而求出()f x 的极值点；（2）将()g x 的零点问题转化为函数1y k =-与函数2322xxy xe e -=-图像的交点问题，判断2322x x y xe e -=-的极大值的范围，构造关于2322xx y xe e -=-的极大值的函数，利用导数求得其范围，从而得到k 的范围，求出整数k 的最小值. 【详解】因为()()()2212212xx x x f x x ee e x e --'=--=--，令()21xh x x e =--，()2120xh x e '=--<，因为当x ∈R ，()2120xh x e'=--<，所以()h x 在R 上为减函数，因为()00h =，又因为()h x 在R 上为减函数.当(),0x ∈-∞，()0h x >，即()0f x ¢>，所以()f x 在(),0-?为增函数，当()0,x ∈+∞，()0h x <，即()0f x ¢<，所以()f x 在(),0-?为减函数，所以()f x 的极大值点为0. （2）()322xx g x xee k -=-+， 由题意函数()g x 有两个零点，可转化为函数1y k =-与函数2322xxy xe e -=-的图像有两个交点， 令()322xx xex e ϕ-=-，则()()233212222x x x x x e e e x e x ϕ--⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭'，第 21 页 共 21 页 令()23222x x m x e =--，则()2230x x e m =--<'， 即()m x 在R 上为减函数，因为()1002m =>，()23102m e =-<， ()00,1x ∃∈，使得()00m x =，即02032202x x e --=，当()0,x x ∈-∞，()0m x >，即()0x ϕ'>，所以()x ϕ在()0,x -∞为增函数， 当()0,x x ∈+∞，()0m x <，即()0x ϕ'<，所以()x ϕ在()0,x +∞为减函数， ()()00002000332222x x x x x x e e e x e x ϕϕ--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=极大值， 由02032202x x e --=得0203222x x e -=，所以0x e =， 代入得()()00042x x e x ϕ-=-= 事实上131022m e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，13042m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即010,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令t =2t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，201x t =-， 带入()()00042x x e x ϕ-=-=()12n t t t ⎫==-⎪⎭， 又因为()n t在区间,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为减函数，所以()()1n t ∈-，即()()01x ϕ∈-，所以k -<，即k >所以整数k 的最小值为2.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数性质的综合应用、构造函数法判断函数的单调性和极值，函数的零点问题，考查学生的分析转化能力，属于难题.。
2025届江西省南昌县莲塘第一中学高三第一次调研测试数学试卷含解析
2025届江西省南昌县莲塘第一中学高三第一次调研测试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足13AD DC =，E 为BD 的中点，则CE =（ ）. A ．7388BA BC - B ．3788BA BC - C ．3788BA BC + D ．7388BA BC +2．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．若函数()2ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,2D ．()2,e4．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是( )A ．16163π+B ．8163π+ C ．32833π+ D ．321633π+ 5．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心6．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）A ．49B ．94C ．23D ．327．在等腰直角三角形ABC 中，,222C CA π∠==，D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B 间的距离为23，此时四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ）.A ．5πB ．2053π C ．12π D ．20π8．如图，ABC 中260A B ∠=∠=︒，点D 在BC 上，30BAD ∠=︒，将ABD △沿AD 旋转得到三棱锥B ADC '-，分别记B A '，B D '与平面ADC 所成角为α，β，则α，β的大小关系是（ ）A ．2αβα<≤B ．23αβα≤≤C ．2βα≤，23αβα<≤两种情况都存在D ．存在某一位置使得3a β> 9．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）． A ．0B ．1C ．2D ．310．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( ) A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④11．如图，ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，,//,,,DC BE DC BE DC CB DC CA =⊥⊥22AB EB ==，则三棱锥E ABC -体积的最大值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．2312．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i -B ．2i +C ．12i +D ．12i -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省莲塘一中—高三年级11月月考理科数学.doc
江西省莲塘一中201X —201X 学年度高三年级11月月考数学试题（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设全集U =R ，集合}02|{2<-=x x x A ,{|1}B x x =>，则集合A U C B =（ ）A ．}10|{<<x xB ．}10|{≤<x xC ．}20|{<<x xD ．}1|{≤x x2．下列命题中是真．命题的为 （ ）A ．x R ∀∈，21x x <+ B ．x R ∀∈，21x x ≥+C ．x R ∃∈，y R ∀∈，22xy y =D ．x R ∀∈，y R ∃∈，2x y >3．已知向量)52,(),2,(1+==n n a b a a 且11=a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且a ∥b ，则n S =（ ）A ．51(1)45n⎛⎫- ⎪⎝⎭B ． 11(1)45n⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ． 111(1)45n -⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ． 151(1)45n -⎛⎫- ⎪⎝⎭4．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数，其中与()sin cos f x x x =+构成“互为生成”函数的为 （ ）A ．1()2sin 2f x x =+B ．2()sin f x x =C ．3()2(sin cos )f x x x =+D ．4()2cos (sin cos )222x x xf x =+5．已知1F 、2F 为椭圆C:221259x y +=的左、右焦点，点P 在C 上，01290F PF ∠=，则P 到x 轴的距离为（ ）A ．94 B ．98C ．254D ．2586．已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是 （ ）A ． ），（2222-B ． ），（22-C ． ），（4242-D ． ），（8181- 7．已知函数(1)y f x =-的图像关于点(1,0)对称，且当(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成ABC231l2l立（其中()f x '是()f x 的导函数）。
江西莲塘一中2011届高三上学期第一次月考数学试题(理科)
江西莲塘一中10-11学年高三上学期第一次月考数学试卷(理)一、选择题 （本小题共12小题，每小题5分，共60分）1．函数1()4x f x a -=+（0a >，且1a ≠）的图像过一个定点，则这个定点坐标是 A ．（5，1） B ．（1，5） C ．（1，4） D ．（4，1）2．若函数()f x =A ，函数()lg(1)g x x =-，[2,11]x ∈的值域为B ，则A B 为A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．[0,1]D ．[0,1)3．由直线12x =，x =2，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积为A ．154B ．174C ．1ln 22D ．2ln 24．已知函数1()lg ()2xf x x =-有两个零点21,x x ，则有 A ．021<x xB ．121=x xC ．121>x xD ．1021<<x x5．点),(b a M 在函数x y 1=的图象上，点N 与点M 关于y 轴对称且在直线03=+-y x上，则函数1)()(2-++=x b a abx x f 在区间)2,2[-上A ．既没有最大值也没有最小值B ．最小值为3-，无最大值C ．最小值为3-，最大值为9D ．最小值为413-，无最大值6．已知,a b R ∈，若关于x 的方程20x ax b -+=的实根1x 和2x 满足111x -≤≤,212x ≤≤，则在直角坐标系aOb 中，点(,)a b 所表示的区域内的点P 到曲线22(3)(2)1a b ++-= 上的点Q 的距离|PQ |的最小值为A．1 B．1 C．1 D．17．有三个函数，第一个函数是()y f x =，第二个函数是第一个函数的反函数1()y f x -=，第三个函数与第二个函数的图象关于点（1，0）对称。
第三个函数是A ．函数(2)y f x =-的反函数B ．函数()2y f x =+的反函数C ．函数2()y f x =--的反函数D ．函数()2y f x =-的反函数8．函数()y f x =是定义在[,]a b 上的增函数，其中,a b R ∈，且0b a <<-，已知()y f x =无零点，设函数22()()()F x f x f x =+-，对于()F x 有如下四个说法：①定义域是[,]b b -；②是偶函数；③最小值是0；④在定义域内单调递增；其中正确 说法的个数有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1， 顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成， 该八边形的面积为（A ）2sin 2cos 2αα-+ （B）sin 3αα+ （C）3sin 1αα+ （D ）2sin cos 1αα-+10． 设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,(),()(),().g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧=⎨-≥⎩则f(x)的值域是 （A ）9,0(1,)4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦ （B ）[)0,+∞ （C ）9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ （D ）9,0(2,)4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦11．将函数()sin()f x x ωϕ=+的图像向左平移2π个单位.若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于A.4B.6C.8D.12 12.设非空集合{}|S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈.给出如下三个命题：①若1m =，则{}1S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则02m -≤≤.其中正确命题的个数是二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．设函数, (0)()(). (0)x x f x g x x >⎧=⎨<⎩3log 若()f x 是奇函数，则1()9g -的值为 ．14．设()f x 是定义在R 上的奇函数，在(,0)-∞上有2'(2)(2)0xf x f x +<且(2)0f -=，则不等式(2)0xf x <的解集为____________15．如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P （点P 不在C 上）且半径相等. 设第i 段弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=，则232311coscossinsin3333αααααα++-=____________ .16．设定义在R 上的函数()f x 存在反函数，且对于任意R x ∈恒有(1)f x ++(4)f x --2=，则11(201109))(20f x x f ---+-=三、解答题（本大题共6小题，共74分）17.（12分）已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a +-+=+是奇函数．（1）求,a b 的值；（2）若对任意的t ∈R ，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．18. （12分）在△ABC 中，cos cos AC BAB C =. (Ⅰ)证明B C =； (Ⅱ)若1cos 3A =-，求sin 43B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.19. （12分）已知a 是实数，函数()a x ax x f --+=3222，如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围.20. （12分）已知函数2()()xf x ax bx c e -=++的图象过点(0,2)a ,且在该点处切线的倾斜角为45°（1）用a 表示,b c ；（2）若()f x 在[2,)+∞上为单调递增函数，求a 的取值范围；21. （12分）已知函数()()2,1f x x g x x ==-．(1)若存在x ∈R 使()()f x bg x <⋅，求实数b 的取值范围;(2)设()()()21F x f x mg x m m =-+--，且()|F x |在[]01,上单调递增，求实数m 的取值范围．22. （14分）设函数2()ln()f x x a x =++（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性；（II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln2．莲塘一中2010—2011学年度高三年级第一次月考13. 2 14. (1,1)-15.12-16.－317．解：（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，即102ba -+=+，解得1b =， 从而有121()2xx f x a +-+=+．又由(1)(1)f f =--知1121241a a -+-+=-++， 解得2a =．（2）由（1）知12111()2221x x xf x a +-+==-+++， 由上式易知()f x 在(,)-∞+∞上为减函数．由()f x 为奇函数，得：不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f t k -<--=-+， 又()f x 为减函数，由上式推得：2222t t t k ->-+，即对一切t R ∈有2320t t k -->，从而判别式4120k ∆=+<，解得13k <-18.又02B π<<，于是sin 23B ==．从而227sin 42sin 2cos 24cos 2sin 29B B B B B B ===-=-．所以sin(4)sin 4cos cos 4sin 33318B B B πππ+=+=．19. 解：若0a = , ()23f x x =- ,显然在[]1,1-上没有零点, 所以 0a ≠.令()248382440a a a a ∆=++=++=, 解得32a -=①当a =时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上; ②当()()()()05111<--=⋅-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点.③当()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩ 或()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩解得5a ≥或a <综上所求实数a 的取值范围是 1a > 或a ≤20．解：（1）2'()(2)()x x f x ax b e ax x c e b --=+-++2[(2)],x ax b a x c b e -=-+-+- 由已知得：'(0)1(0)2f b c f a =-=⎧⎨=⎩ 212c ab a =⎧⎨=+⎩（2）由（1）得2'()(1)xf x ax x e -=-+-()f x 在[2,)+∞上为单调增函数，则'()0[2,)f x x ≥∈+∞对恒成立，即210ax x +-≤对[2,)x ∈+∞恒成立。
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江西省莲塘一中2010—2011学年度高三年级11月月考数学试题（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设全集U =R ，集合}02|{2<-=x x x A ,{|1}B x x =>，则集合A U C B =（ ） A ．}10|{<<x x B ．}10|{≤<x xC ．}20|{<<x xD ．}1|{≤x x2．下列命题中是真．命题的为 （ ）A ．x R ∀∈，21x x <+ B ．x R ∀∈，21x x ≥+C ．x R ∃∈，y R ∀∈，22xy y =D ．x R ∀∈，y R ∃∈，2x y >3．已知向量)52,(),2,(1+==n n a b a a 且11=a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且a ∥b ，则n S =（ ）A ．51(1)45n⎛⎫- ⎪⎝⎭B ． 11(1)45n⎛⎫- ⎪⎝⎭C ． 111(1)45n -⎛⎫- ⎪⎝⎭D ． 151(1)45n -⎛⎫- ⎪⎝⎭4．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数，其中与()sin cos f x x x =+构成“互为生成”函数的为 （ ）A．1()f x x = B ．2()sin f x x =C．3()cos )f x x x =+D．4()(sin cos )222x x xf x =+5．已知1F 、2F 为椭圆C:221259x y +=的左、右焦点，点P 在C 上，01290F PF ∠=，则P 到x 轴的距离为（ ）A ．94 B ．98C ．254D ．2586．已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是 （ ）A ． ），（2222-B ． ），（22-C ． ），（4242-D ． ），（8181- 7．已知函数(1)y f x =-的图像关于点(1,0)对称，且当(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成立（其中()f x '是()f x 的导函数）。
若0.30.3(3)(3)a f =, (log 3)(log 3)b f ππ=，3311(log )(log )99c f =,则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．a c b >>8．已知△ABC 所在平面上的动点M 满足222AM BC AC AB ⋅=-，则M 点的轨迹过△ABC 的（ ）A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心9．已知点P 是双曲线)0,0(,12222>>=-b a by a x 右支上一点，12,F F ，分别是双曲线的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若 212121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+= 成立，则双曲线的离心率为（ ）A ．4B ．52C ．2D ．5310．设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数．如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是 （ ）A ．]1,1[-B ．)1,1(-C ．]2,2[-D ．)2,2(-二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．在等差数列{}n a 中，若1781212a a a a +++=，则此数列的前13项的和为 12．设直线0132=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 ．13．若函数nx l x x f -=22)(在其定义域内的一个子区间)1,1(+-m m 内不是单调．．．．函数，则实数m 的取值范围是 ； 14．如图，已知直线1212//,,l l A l l 是之间的一定点，并且A 到21,l l 之间的距离分别为3和2，B 是直线2l 上一动点，作AB AC ⊥且使AC 与直线1l 交于点C C ， 则ABC ∆的面积的最小值是15．用[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][][]00,44.3,31.3=-=-=，设函数[])()(R x x x x f ∈-=，关于函数)(x f 有如下四个命题：①)(x f 的值域为[)1,0②)(x f 是偶函数 ③)(x f 是周期函数，最小正周期为1 ④)(x f 是增函数。
其中正．确．命题的序号是．．．： 。
三、解答题（本大题共6小题，共75分） 16．（本大题满分12分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边，已知tan tan 1tan tan A BA B+=-⋅c =2． （I ）求C ∠的大小； （Ⅱ）求a b +的值． 17．（本大题满分12分）已知函数)0,0,0()(1)(>>≠+=c a x xcx a x f ，当),0(+∞∈x 时，函数)(x f 在2x =处取得最小值1。
（1）求函数)(x f 的解析式；（2）设0k >，解关于x 的不等式xk k x f k 4)1(2)(4)13(-+>-+。
18．（本大题满分12分）如图，F 1、F 2分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 为椭圆上一点，MF 2垂直于x 轴，椭圆下顶点和右顶点分别为A ，B ，且//.OM AB（1）求椭圆的离心率；（2）过F 2作OM 垂直的直线交椭圆于点P ，Q，若1PF Q S ∆= 19．（本大题满分12分）已知函数2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-． （Ⅰ） 求()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；（Ⅱ） 若存在．．．1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（e 是常数，e ＝2．71828⋅⋅⋅）使不等式2()()f x g x ≥成立．．，求实数a 的取值范围；20．（本大题满分13分）已知椭圆的离心率2e =，左、右焦点分别为12,F F ，定点P (，点2F 在线段1PF 的中垂线上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于M 、N 两点，直线22,F M F N 的倾斜角分别为,,αβαβπ+=且，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标．21．（本大题满分14分）已知数列{}n a 中，11a =，且21231n n n na a n n --=+⋅-*(2,)n n N ≥∈． （Ⅰ） 求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ） 令13n n nb a -=*()n N ∈，求数列{}1n n b b +的前n 项和为n S ； （Ⅲ） 令11n n a c n +=+*()n N ∈，数列22{}(1)n n c c -的前n 项和为n T ．求证：对任意*n N ∈， 都有 2n T <．参考答案一、选择题（每小题5分，共５０分，）二、填空题（每小题5，共25分）11．39 12．0323=--y x 13．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭14．6 15．③三、解答题（6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．解:（I ）tan tan tan()1tan tan A BA B A B++==-又tan tan[()]tan()C A B A B π=-+=-+ ∴tanC = 又0C π<<，∴.3C π∠=（Ⅱ）由题意可知：11sin sin 22342ABC S ab C ab ab π∆====， ∴ 6.ab =由余弦定理可得：22222cos ()3c a b ab C a b ab =+-=+-∴222()33625a b ab c +=+=⨯+=，又0,0a b >>，∴ 5.a b +=17．解：（1）0,0>>c a ，时当0>∴x ，c ax c x a x f 21)(1)(⋅≥+=当xcx =即c x =时，函数)(x f 取得最小值a c 2，由题意⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==44122c a a c c)0(44)(2≠+=∴x xx x f （2）xk k x x k x k k x f k 4)1(2444)13(4)1(2)(4)13(2-+>+⋅-+⇔-+>-+0)]1()[(2(0)1(2)13(2<+--⇔<+++-⇔xk x k x x k k x k x010>>+∴>k k k①当10<<k 时，120+<<k k ，原不等式解集为)1,2()0,(+-∞k k②当1>k 时，k k 210<+<，原不等式解集为)2,1()0,(k k +-∞ ③当1=k 时，120+=<k k ，原不等式解集为)0,(-∞ 18．解：（1）设12(,0)(,0)F c F c - 则(,)M c y ，(0,),(,0)A b B a ∴- 且//,OM AB OM AB k k ∴=即y b c a =，即bc y a=又M在椭圆上，22222211,22c y c e a b a∴+=∴==即 （2） 由（1）的.,a b c ==∴椭圆方程为2222 1.2x y c c+=,2AB k =∴PQ的直线方程为)y x c =-， 则点F 1的直线PQ的距离d =22122222212815582022)5c x y x x x cx c c c c x x y x c ⎧⎧+=⎪+=⎪⎪⇒-+=⇒⎨⎨⎪⎪⋅==-⎩⎪⎩12||||5PQ x x c ∴=-==122255PQF S c c ∆∴==∴=2250,25,a b ∴==∴椭圆方程为2215025x y +=１９．解：（Ⅰ）()()()()()()()[]()()min min 11,0,0,1,,0,102111102,0,112,,,2f x Inx x f x f x e x f x f x e t t e t t t f x f e e e e t t t f x t t f x f t tInt e e⎛⎫''=+∈< ⎪⎝⎭⎛⎫'∈+∞> ⎪⎝⎭<<+<⎛⎫<≤<+<≤==-⎪⎝⎭<<+>+==当时，单调递减，当时单调递增，当时t 无解当时即时当时即时在上单调递增 ()min11 01 t e e f x tInt t e ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩所以 （Ⅱ）由题意知()()()()()()()[]()()()()()()222max max 323,2,313232011,10,1,0,11max ,(),,,2,xInx x ax a Inx x xx x h x Inx x x h x x x x x x h x h x e x e h x h x h x h h e x e f x g x e e a h x ≥-+-≤+++-'=++>=+-=⎡⎤'∈<⎢⎥⎣⎦'∈>⎧⎫⎛⎫⎡⎤=∈≥⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭≤则设则当时，单调递减；当时，单调递增；所以因为存在使成立，所以11()23h e e e =-++，3()2h e e e =++ 而1()()h h e e >，故132a e e≤+-２０．解：⑴由椭圆C 的离心率22=e 得22=a c ，其中22b a c -=，椭圆C 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -又点2F 在线段1PF 的中垂线上 ∴221PF F F =，∴222)2()3()2(c c -+=解得c ＝1，a2＝2，b2＝1， ∴椭圆的方程为 1222=+y x ．⑵由题意，知直线MN 存在斜率，设其方程为y ＝kx ＋m 由⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x ,1222消去y ，得（221k +）2x ＋4kmx ＋222m -＝0．设M （11,x y ），N （22,x y ），则124221+-=+k kmx x ，12222221+-=k m x x 且1112-+=x m kx k M F ，1222-+=x mkx k N F由已知α＋β＝π，得022=+NF M F k k ，即0112211=-++-+x mkx x m kx化简，得12122()()20kx x m k x x m +-+-=∴222224()2202121m km m k km k k ----=++。