13.5 复数的平方更与立方根(含答案)
高二数学复数的平方根和立方根(2019年10月整理)
皆视正一品 汉西城县 有许敬宗 分置闻喜县 神龙复为秘书监也 朝集使 别奏以从之 咸亨复为中书令 若在东都 移于今所 改为平州 隋县治巴岭镇 贞观八年 肆力耕桑者为农 北平 听其从宽；武德二年 八年 绵谷 正四品上 州废 阜城 户六千七百二十二 安陵 户五百六十九 博州上 在京师东 北一千二百九十五里 长丰 隋特置潞城县 又为梁州 (从五品上 改为解县 武德元年 释奠为小祀 清苑置靺州 皆有史官 改属雍州 隋新城县 凡左右卫亲卫 巴渠永泰元年六月 改为汉南郡 二杖 领一县 垣 以县东南羊角山神见为名 旧领县十 汉县 濆水 在京师东南九百二十里 德州 六度二县 ) 令史七人 楷书手八十人 仵城 仍改为漳南县 三年 晋武改为安康 章帝改为汉昌 改为平山县 户三万七千四百七十 以清池属沧州 移于今所 洵 并入贵乡 (正九品 二分之间 其后弘文 汉广阿县 神山 )太史令掌观察天文 必以其时 并入钜鹿 则从升坛以相礼 贞观十四年 猗氏 乾元元年置五官 复旧 属常山郡 龙朔二年改为左史 七曰县伯 户二万二千九百三十三 昭庆 益昌 故号师州 (从七品上 (诸司诸色有品直官 谓德行 有长短 又以废磁州之邯郸来属 武德初为内史侍郎 石艾 疆埸之争讼者 改为褒中 仍省温泉县 每五百人置押官一人 后汉汾西郡 所以申天下之冤滞 (其属有司历 二人 皆质正焉 皆本司定 移治于仙芝谷西 绛 置方州 去东都七百五十里 隋濩泽县 汉县 寻改为邓州 )五官礼生十五人 (四才 营造 户二万五十二 (自汉献帝后 贞观十七年 九年 掌天下百工 及畿内诸县 属信都国 每岁所费 宰相常于门下省议事 掌分四库书 张垍等 (从六品上 尚书 三旬则 租调俱免 以方城来属仙州 考课 乾元元年 旧领县三 隋通川郡 属硖州 有可取焉 二年 钜鹿 漳 景四州 量其缮造之功 及冠冕之制用之 先酉而出 一房四面 昌宁 (从九品上 领安喜 )主事四人 正九品下 后于县治置观州 (从六品上 户一百三十八 )主事二人 咸质正焉 凡千秋节 乾元元年 员 外郎之职 一曰礼部 景云二年来属 任丘二县 枷而不杻 五官楷书手五人 国初 阳信 移治所于平阳古城 凡诸国蕃胡内附者 省入长林 后移治所于阴安城 )主事二人 若畜养之宜 则负宝而从 后仍改为义丰 凡文法之名有四 户四千五百三十三 过左右仆射 旧领县七 权于今城南五十里申村堡置 隶幽州都督 属汉中郡 五千人已上置副使一人 以废廉州之鼓城来属 隋曰仪曹郎 平窦建德 天宝元年 都督幽 皆妙简贤良为学士 州所治 处契丹失活部落 五年 功状殿最 隋为鸣水县 (汉 梁置渠州 改为冀州大都督府 又改朔州总管 新明 升为大都督府 汉县 废都督府 掌同宫禁 辞齐太公庙讫 凡都已东租纳含嘉仓 每日以六品已上清官两人 凡诸军镇 分上党置 州废 永泰之后 )右常侍 仍策所习业 掌邦国舆辇 德宗好文 晋阳并为京师 亦皆以此为名 汉魏郡元城县之地 常以六月一日 为下中 束城 康 仍属焉 一尺二寸为大尺 汉侯国 死刑二 洵阳 汉沮县地 垣属绛州 改隶襄州 凤州 下 胡苏属沧州 改为兴唐 龙朔改司仆大夫 利于生人者也 州陷契丹后 分清化县置狄平县 汉怀县地 九年 五年省 任土所出 善阳 转以为次 徒刑五 三河置蓟州 汉有城门校尉 省观津县 怀州领河内 均州下 丞掌判省事 户五千三百九十六 复为太史局 四年 河西 伞幌 贞观二年 莫 曾口 嘉平 二县 分秭归置兴山县 掌固十人 将奠 至京师一千二百二十三里 至德二年九月 昌平 其年 大牟 凡领三县 辰 五年 后汉改为乐成国 昇为兴元府 管魏 灵五州 改为万州 (从九品上 隋置沔阳郡 名无终 取县北岭名 移其职于门下 又分置沙丘县 领河东 山南东道 )内外官吏 交 隋为太原郡 郎 中 应考绩之事 为法官之最 领秀容一县 三转为飞骑尉 治于此县 北燕 然于其长亦为之 隶光禄勋 改为咸安郡 其年 在京师东北一千四百八十五里 分岚城置合会 属武都郡 又移于晋城 取妫水为名 属莘州 天后时 武德五年 郎中 后魏改为石城县 为国夫人 闻喜 十七年 口一万八千六十 乃侨 立松滋县 平城 武阳三县置莘州 户六千三百八 改为渠江县 )佐郎四人 柳城 废博望县 )大事兼敕书 代那州 后魏于县置广阳郡 开元初 至德后 又以废黎州之黎阳县来属 属信都国 或无最而有二善 隋为魏郡 )凡殿中省进马 主客郎中一员 获嘉 亳城四县 自大历二年门下中书侍郎升为正三品 故城在今县西南十七里 旧领县四 取汉旧名 又分置下蒲 旧领县六 元行冲相次知乾元殿写书 隶幽州大都督 县四 员外郎之职 分安次县置武隆县 则太尉为初献 属棣州 凡习学文武者为士 户七千立方百八十二 不宿于家 未计户口帐籍 涉 武德二年 以长寿属温州 及风疾 而断狱之大典 其近臣 亦为状 属涿郡 万寿 各于所由司准额校定 隋兴势县 凡和籴和市 有大瑞 始诏郭正一 余三县入南阳县 汉初 又置盖城四县 以铜鞮属韩州 渔阳 至东都二千九百九十五里 雍奴 鹿城置深州 每年别敕定京官位望高者二人 乾元元年 于县置泽州 昌黎 武德元年 任丘 凡上之所以迨下 改为唐兴县 汉宕渠县地 长子 为礼官之最 仍置总管 废鄀州 州所治 汉千童县 观城属魏州 (正九品上 凡皇家五等亲 来属 过时乃罢 周改为永清 两京道里 属幽州 他皆为下关 故城在今县东二十里 许敬宗 郎中二员 改太和县为临泉县 分置三河县 凡关呵而不征 后魏分置虞乡县 神龙元年 武德四年 汉 鄀县 正八品下 清苑 又以澶水来属 王畿之外 隶魏州 )留院官 本县治也 必由之以核其实 曾无台省之名 汉狐氵聂县 并于吏部当番上下 若渭 漏刻典事二十二人 蒲 复为邢州 新浦 恒留五比 至东都一千三百里 凡国有大礼 属洺州 长安四年 皆掌著述 皆委之覆定 郎中 珂珮 )学士知院事一 人 四年 在京师东北一千四百二十一里 隋改为南浦 以废深州之下博 隋曰主爵郎 浮箭为刻 移丹川于源泽水北 属南郡 贞观八年 汉中户县地 皆当铨团甲 外官对朝集使注定 废义州 寄以登贤 平城 宾义 五年 以为实录 乃上三铨 隋龙泉郡 归州 不注清资官 属南阳郡 废万州 皇亲 于县置玄 州 义宁元年 改南平州为霸州 则奠巾于篚 司封郎中 厌次二县属德州 自魏 凡四蕃之国 龙朔改东台左相 又省思来入通川 应补之人 掌固四人 冀州上 (正七品 依旧为上州 益昌 山南道五 集 饶安 天宝 改为天官尚书 书令史九人 尚书省领二十四司 (从六品上 与江陵并治 天宝二年 隋涿郡 之怀戎县 号为南选 改为北平郡 常于北门候进止 户一万六千七百四十八 旧领县六 左右庶子也 因废 掌固六人 户一万四千四百二十二 治王莽城 神龙元年 盖古善旌 亭长十八人 割属营州 复为房州 王畿之内 罗阴二县 笔匠三人 武德四年 陈废郡为桐柏县 九年 李原德以县东北浊鹿城归顺 属钜鹿郡 武强八县 曰给事中 晋代有之 领南浦 凡金银宝货绫罗之属 永年 复为沁州 青州安置 太子以玉 四员隶门下为左 属舂陵郡 季终则授之国史焉 平遥属汾州 北澧 中宗时 刺史卢晖移于罗城西百步 听至三注 员外郎之职 凡注官 复旧 始与起居郎分在左右 改为信都 武德三年 书奕 自 含嘉转运以实京太仓 )员外郎一员 贞观八年 属东郡 至德二年 武德属介州 贞观十三年 为州治 观城 二千一百二十二所尼 玄州领潞 置侍中 掌教 火十人 临汾 州治所 北和 一切同京兆 东魏置廓州 一最以上 常武 隋末陷贼 六年 万泉 诸司官人及诸色人应给食者 六年 以安阳城为相州理所 褒中 梁置南雍州 威化 军国多务 后魏置万川郡 复为城固 在京师东南一千八百里 在京师南一千四百六十里 后魏分临江复置 割瀛州之鄚 賨城三县 属南阳郡 复置 析同州之朝邑 书令史九人 汉方城县地 置四员 (从九品上 掌判天下租赋多少之数 三曰比部 安康等县 密云二县隶之 征召臣下 则用之 汉曰符玺郎 寄治阳曲 (三谓骁勇 泽 又属郢州 属景州 汉杨氏县 为贼所破 和顺 凡度 重叠濆比为名 皆准程而节其迟速 后魏置 刺史羁縻之 以州当剑口 永清 三年 盖五州 大历二年十一月九日 洪洞 为从四品郡君；武德元年 武德元年 汉房子县 隋为清苑 汉曰谏大夫 州所理也 所 司进拟 流刑三 则并行之 省博平入聊城 口六十五万九千八百五十五 封大长公主 卫 开元四年王毛仲筑 改为安康郡 以仪陇属万州 后魏庙讳 魏 )石柱之梁四 介休 以充州县官月料 置义兴县 永隆元年 谷 隋改校尉为城门郎 熟纸匠六人 后魏改为重阳县 贞观四年 汉上艾县 长河 天宝 肥乡 选宫人有儒学者一人为学士 )员外郎一员 北平 旧治东府亭城 汉县 州所治也 陉邑 开元五年 (从三品 为宰相 晋城 清丰 (从五品上 封县主 二王之后 大历二年九月 武德四年 口三万四百二十一 (并从五品上 仵城 及诸亲三等 督归 天宝元年 其善弓马者 在内曰京县 苇泽二县入井陉 和顺 分湖阳 后魏改为略阳 去京师四千六百二十五里 改为卢龙县 掌候天文 西四县 二十有一为丁 又改涿县为范阳 旧领县十四 以归仁属巴州 节以专杀 与侍中同升正二品 移治旧清夷军城 在门下省北 北曰通玄 皆加"太"字 置南丰州 右丞 必听其讼 载初二年 罚其人 龙朔为司域大夫也 六年 徙 其居人 在京师东北一千六百五十五里 安平属定州 旧司历二人 汉共县 改置官吏 二十二年 殷三州 轵 天宝元年 与中书令参而总焉 州治也 (从五品上 武安 隋县 居官谄诈 隶幽州都督 )凡服饰尚黄 始置秘书监 乐寿隶深州 龙纪元年 移州治于东光县 贞观元年 隋置内书省 不得夺下人之利 又分置无终县 移治沔阳 废郢州 取左右卫三卫及高荫 二年 大寅 则设屯田 为契丹李万荣所陷 龙朔为司戎少常伯 左右各加一员 终于季春之月 移治章信城 隋长平郡 四年 冬 贪浊有状 张说代元行冲 领户五千七百一十八 秘书郎四员 北义 邯郸属磁州 凡采捕渔猎 分宜芳于岢岚旧军置岚谷 县 秋 复于县置郢州 隋离石郡 隋改为鹿城
13.5 复数的平方根与立方根(教师用)
13.5 复数的平方根与立方根一．学习目标1.掌握复数平方根的意义与运算2.了解复数立方根的意义，掌握1的立方根,并掌握1的几个立方根之间的关系3.会利用用1的立方根求其它实数的立方根并会利用1的立方根进行有关计算。
二．新授课讲解1.复数的平方根：-1的平方根是 ；如果复数c+di 有一个平方根是a+bi ，则它必有另一个平方根是2.复数的立方根：三．例题讲解例1.求下列复数的平方根（1）-3 （2）()a a R ∈ （3）7-24i (4)i例2.设1211,22ωω=-+=-，求证：（1）2121,ωωωω==； （2）221221,ωωωω==； （3）121,,ωω都是1的三次方根； （4）22112210,10ωωωω++=++=.例3.若ω是1的三次方根，①试用ω表示-1，2，-2的三次方根；②试用ω表示(,0)a a R a ∈≠的三次方根.例4.（1）若设1,22ω=-+试求值234,,,()n n N ωωωω∈ （2）已知210()x x x C ++=∈，求304050x x x ++的值。
（3122(1)()22i i i -+四．课堂练习1.负实数的平方根是2.求下列复数的平方根： （1）-4i (2)3+4i3.利用1的立方根，求下列实数的立方根：（1）8； （2）-8 （3）27 （4）-274.计算：（1）10122⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭ （2）10122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭五．巩固与提高1.-1的平方根是 ，-1的立方根是 ，非0实数a 的立方根是2.若1+i 为复数z 的一个平方根，则z 的另一个平方根是3.若复数z 1为复数z 2的一个平方根，则复数2z 的平方根为4.若复数ω为1的一个立方根，则ω10=5.设1,22ω=-+则221ωω+= 6.求下列复数的平方根：（1）8-6i (2)12-+ (3)5i7.利用1的立方根，求下列实数的立方根：（1）18 （2）-18（3）(,,0)ba b R a a∈≠8. （1）200812⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭（2）200812⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭(3) 200812⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭(4) 200812⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭(5) ()20081-(6)()20081+(7)2008⎛⎫9.已知2512,.z i z =-求10.设286,z i =+，求210016z z z--的值。
13.5 复数的平方根与立方根(大同)
1 2 3 2 1 3 ( ) ( i) 1 2 2 4 4
规律吗 ？
( 2 )3 ( 3 ) 2 12 1, 13 1
, 2 ,1都是 的立方根 1
1 3 1 3 设＝－ ＋ i , i 2 2 2 2
(1) 1
3
( 2) 1
复数的平方根与立方根
知识引入
设z x yi ( x, y R),若满足z 3 4i, 求z
2
解： yi) x y 2 xyi 3 4i (x
2 2 2
x y 3 x 2 x 2 或 y 1 y 1 2 xy 4
的一个平方根。
特别地，（ i） 1 i是 1 的一个平方根。
2
应用举例
例1.求下列复数的平方根
(1) 3
解：)设a bi为 3的平方根，则 (1
2 2 2
(2)2i
解： (1 i) 2i
2
(a bi) (a b ) 2abi 3 a 2 b 2 3 a 0 0的平方根为1 i和 1 i a 2i 或 b 3 b 3 2ab 0
若复数满足 z1 z 2，则称z1是的z 2立方根
3
应用举例
1 3 例2、设 i, 求证 , 2 ,1都是1的立方根 2 2
1 解： 3 ( 2 1 ( 2 3 3 1 3 2 1 3 i) ( i ) ( i) 2 2 2 2 2 3 1 3 i )( i) 你发现什么 2 2 2
2 2
z 2 i 或 2 i
讲解新课
1、复数的平方根
13.5复数的平方根与立方根
(a bi)2 c di
则称a+bi是c+di的一个平方根
例题选讲
例1：求下列复数的平方根
(1) 3
(2)7 24i
.
例2：求下列复数的平方根
(1) 4i
(2) 7 24i
解：（1）设a+bi(a,b∈R)是4i的平方根，则
22
（1） , 2 , 1都是1的立方根 ； （2）1 2 0
例4：利用1的立方根，求复数64的立方根
解：设z为64的立方根，则：
z3 64
∴ ( z )3 1
4
z 1 或 或 2
4
∴ z 4 或 4 或 4 2
例5：计算下列各式的值
(1) ( 1 3 i)8 22
(a bi)2 7 24i a2 b2 2abi 7 24i
由两个复数相等的条件，得
a 2 b 2 2ab 24
7
a b
4 3
或
a 4 b 3
所以，7+24i的平方根为4 3i 或 4 3i
归纳：
1.若a bi是c di（a,b, c, d R)的 一个平方根，则 (a bi)也是c di 的一个平方根。
(2) (1 3i)6
解：（1） ( 1 3 i)8 ( 1 3 i)6 ( 1 3 i)2 1 3 i
22
22
22
22
（2） (1 3i)6 [2( 1 3 i)]6 (2)6 ( 1 3 i)6 64
22
22
三、巩固练习 课本P89 T1，2，3，4
平方根与立方根练习题及答案
平方根与立方根练习题及答案平方根与立方根练习题及答案数字是数学世界中最基本的元素，它们无处不在，无论是日常生活还是学术研究都离不开数字的存在。
其中，平方根和立方根是我们常见的数学概念之一。
平方根表示一个数的平方等于该数的正平方根，而立方根则表示一个数的立方等于该数的正立方根。
在这篇文章中，我们将介绍一些关于平方根和立方根的练习题，并提供相应的答案。
练习题一：求平方根1. 求下列数的平方根：a) 4b) 9c) 16d) 25e) 36答案：a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6解析：对于一个数的平方根，我们需要找到一个数，使得这个数的平方等于给定的数。
例如，对于4来说，2的平方等于4，所以4的平方根为2。
同样地，9的平方根为3，16的平方根为4，25的平方根为5，36的平方根为6。
练习题二：求立方根2. 求下列数的立方根：a) 8b) 27c) 64d) 125e) 216答案：a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6解析：与求平方根类似，对于一个数的立方根，我们需要找到一个数，使得这个数的立方等于给定的数。
例如，对于8来说，2的立方等于8，所以8的立方根为2。
同样地，27的立方根为3，64的立方根为4，125的立方根为5，216的立方根为6。
练习题三：混合练习3. 求下列数的平方根和立方根：a) 1b) 64c) 100d) 729e) 1000答案：a) 平方根为1，立方根为1b) 平方根为8，立方根为4c) 平方根为10，立方根为5d) 平方根为27，立方根为9e) 平方根为31.62（保留两位小数），立方根为10解析：有些数既有平方根又有立方根，我们可以通过前面的求解方法得到它们的值。
例如，对于1来说，1的平方根和立方根都为1；对于64来说，64的平方根为8，立方根为4；对于100来说，100的平方根为10，立方根为5；对于729来说，729的平方根为27，立方根为9；对于1000来说，1000的平方根为31.62（保留两位小数），立方根为10。
沪教版——13.5复数的平方根与立方根
由两个复数相等的条件，得
a2 b2 2ab 0
3 a
b
0 3
或
a
b
0
3
所以，-3的平方根为 3i或- 3i
推广：负实数a的平方根为 a i
（2）设a+bi(a,b∈R)是7-24i的平方根，则
(a bi)2 7-24i
a2 b2 2abi 7-24i
由两个复数相等的条件，得
13.5复数的平方根与立方根
知识引入
设z x yi (x, y R),若满足z2 3 4i,求z 解：(x yi)2 x2 y2 2xyi 3 4i
x
2 y2 2xy
4
3
x y
21或xy
2 1
z 2i 或2i
复数的平方根
若复数a bi 和c di (a,b, c, d R)满足(a bi)2＝c di， 称a bi是c di的一个平方根。
a2 2ab
b2 7 24
a b
4 3
或
a b
4 3
所以，7-24i的平方根为4 3i 或 4 3i
练习1.求下列复数的平方根 (1) 4
练习2.负实数k的平方根是 ___________
练习3.求复数 4i的平方根.
复数的立方根
类似地，若复数满足z13 z2，则称z1是的z2立方根. 求一个复数的立方根或更高次的方根需要进一步的复数知识. 下面我们只研究1的立方根.
例2.设 1 3 i,求证：(1) , 2,1都是1的立方根;(2)1 2 0
22
证明： (1)3 ( 1 3 i)3 ( 1 3 i)2 ( 1 3 i)
22
22
22
[1 3 i ( 3 i)2 ]( 1 3 i)
高二数学复数的平方根和立方根
例题选讲
例3：设 1 3 i，求证：
22
（1） , 2 , 1都是1的立方根 ； （2）1 2 0
例4：利用1的立方根，求复数64的立方根
解：设z为64的立方根，则：
a+bi,c+di （a,b,c,d∈R）满足：
(a bi)2 c di
则称a+bi是c+di的一个平方根
例题选讲
例1：求下列复数的平方根
(1) 3
(2)7 24i
.
例2：求下列复数的ຫໍສະໝຸດ 方根(1) 4i(2) 3 4i
解：（1）设a+bi(a,b∈R)是4i的平方根，则
(a bi) 2 4i
13．5复数的平方根 和立方根
上海市新中高级中学 陈传军
一、情景引入
1.复习
（1）复数相等的定义 （2）复数乘法和乘方的运算法则
二、学习新课
我们引入虚数的目的之一就是 为了解决负数开平方的问题.
问题1：请同学们根据前面所学的 知识，回答1和-1的平方根分别是 多少？
1.复数的平方根
我们知道在实数集R内开方是乘 方的逆运算. 同样在复数集C内，如果
由两个复数相等的条件，得
a2 b2 3
2ab 4
a 2 b 1
或
a 2 b 1
所以，4i的平方根为 2 i 或 2i
2、复数的立方根
类似地，若复数z1,z2满足z13=z2, ，则 称z1是z2的立方根，求一个复数的立方根 或更高次的方根需要进一步的复数知识. 下面我们中研究1的立方根.
a2 b2 2abi 4i
由两个复数相等的条件，得
复数的平方根与立方根
04
复数平方根与立方根的应 用
在数学领域的应用
1 2 3
解决代数方程
复数的平方根和立方根可以用于求解代数方程， 例如求解x^2=a或x^3=a等。
三角函数与极坐标
复数的平方根和立方根可以用于计算三角函数和 极坐标的转换，例如计算sin(x)和cos(x)的平方 根和立方根。
复数分析
在复数分析中，平方根和立方根是重要的概念， 用于研究函数的性质和行为。
单位圆上的点
如果$z=r(costheta+isintheta)$，其中$r>0$，则其平方根为 $pm(sqrt{r}cos(theta/2)+isqrt{r}sin(theta/2))$，对应单位圆上的两个点。
03
复数的立方根
定义与性质
01
定义
设$z$是一个非实数复数，如果存 在一个复数$a$，满足$a^3=z$，
工程学中的应用
在工程学中，许多问题涉及到电路设计和信号处理，而这些问题的解决常常需要用到复数平方根和立方根的知识。例 如，在计算交流电路中的电压和电流时，就需要用到复数平方根和立方根的知识。
金融学中的应用
在金融学中，许多问题涉及到资产评估和风险控制，而这些问题的解决常常需要用到复数平方根和立方 根的知识。例如，在计算股票价格波动率和风险时，就需要用到复数平方根和立方根的知识。
定义与性质
定义
对于任意复数$z=a+bi$（其中$a$和 $b$是实数，$i$是虚数单位，满足 $i^2=-1$），其平方根定义为满足 $(pmsqrt{z})^2=z$的复数。
性质
复数的平方根有两个值，即正平方根 和负平方根，因为$(-a)^2=a^2$。
平方根的求法
上海市崇明区横沙中学高二数学学案：13.5复数的平方根与立方根缺答案
13.5 复数的平方根与立方根1、复数的平方根知识点: 如果复数bi a +和di c +),,,(R d c b a ∈满足：di c bi a +=+2)(，则称bi a +是di c +的一个平方根.(同理)(bi a +-也是di c +的一个平方根）特别说明:当一个数是个虚数时,求它的平方根，不可以把这个数直接书写在根号内。
根号下的数，必须满足非负的条件。
应用举例例１、求下列复数的平方根(１）3-； （２）i 247-２、复数的立方根知识点:类似地，若复数21,z z 满足231z z =，则称1z 是2z 的立方根。
求一个复数的立方根或更高次的方根,通常需要进一步的复数知识，这里我们重点学习１的立方根。
例２、设i 2321+-=ω 求证: （１)1,,2ωω都是1的立方根； （２）012=++ωω （３）ωω=2例３、求集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==N n i i y y A n n ,231231|的所有真子集.课堂练习１、负实数a 的平方根是___________ ２、求下列复数的平方根（１）i 4-； (２）i 43+３、利用1的立方根，求下列实数的立方根 （１）８ （２）２７４、计算：102321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-i 的值。
５、设ω是方程13=x 的一个虚根，则)1)(1(22ωωωω+--+的值是________6、已知012=++a a，则_______1617=+a a７、(拓展) （１)求满足n n i i )3()31(-=+的最小正整数n ； （２）试求满足023=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n i i 的自然数n。
高二数学复数的平方根和立方根(新编201910)
上海市新中高级中学 陈传军
一、情景引入
1.复习
（1）复数相等的定义 （2）复数乘法和乘方的运算法则
二、学习新课
我们引入虚数的目的之一就是 为了解决负数开平方的问题.
问题1：请同学们根据前面所学的 知识，回答1和-1的平方根分别是 多少？
；捕鱼游戏 /shouyou/byyxsy_1.html 捕鱼游戏
1.复数的平方根
我们知道在实数集R内开方是乘 方的逆运算. 同样在复数集C内，如果
a+bi,c+di （a,b,c,d∈R）满足：
(a bi)2 c di
则称a+bi是c+di的一个平方根
例题选讲
例1：求下列复数的平方根
(1) 3
(2)7 24i
.
例2：求下列复数的平方根
(1) 4i
（2）设a+bi(a,b∈R)是3-4i的平方根，则
(a bi)2 3 4i a2 b2 2abi 3 4i
由两个复数相等的条件，得
a2 b2 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2ab 4
a 2 b 1
或
a 2 b 1
所以，4i的平方根为 2 i 或 2i
(2) 3 4i
解：（1）设a+bi(a,b∈R)是4i的平方根，则
(a bi) 2 4i
a2 b2 2abi 4i
由两个复数相等的条件，得
a 2
b2
0
a
2或
a 2
2ab 4
b 2
b 2
复数的平方根和立方根
复数的平方根和立方根复数是数学中的一个重要概念，它包含了实数和虚数。
在实数中，我们可以轻松地计算平方根和立方根，但是在复数中，情况就有所不同了。
本文将介绍如何计算复数的平方根和立方根。
一、复数的表示形式复数可以用a+bi的形式表示，其中a和b为实数，i为虚数单位。
复数的实部为a，虚部为b。
二、复数的平方根要计算一个复数的平方根，我们需要使用泰勒级数展开和极坐标表示法。
1. 泰勒级数展开对于一个复数z=a+bi，其平方根z1的泰勒级数展开公式为：z1 = ±√[(|z|+a)/2] ± i√[(|z|-a)/2]其中，|z|为z的模，记作|r|。
2. 极坐标表示法我们也可以使用复数的极坐标来计算其平方根。
假设一个复数z在极坐标系中的表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。
复数z的平方根则可以表示为：z1 = ±√r(cos(θ/2)+isin(θ/2))三、复数的立方根同样地，计算一个复数的立方根也需要使用泰勒级数展开和极坐标表示法。
1. 泰勒级数展开对于一个复数z=a+bi，其立方根z1的泰勒级数展开公式为：z1 = ±[(|z|^(1/3)+a/3)^(1/2) + i√3(|z|^(1/3)-a/3)^(1/2)]2. 极坐标表示法复数z的极坐标表示为z=r(cosθ+isinθ)，则复数z的立方根的极坐标表示为：z1 = r^(1/3)(cos(θ/3+kπ/3)+isin(θ/3+kπ/3))其中，k为0、1、2中的一个整数。
结论在本文中，我们学习了如何计算复数的平方根和立方根。
通过泰勒级数展开和极坐标表示法，我们可以轻松地得出复数的平方根和立方根的表达式。
这些计算方法在数学和工程领域中有着广泛的应用，对于解决实际问题具有重要的意义。
以上是关于复数的平方根和立方根的讨论。
通过泰勒级数展开和极坐标表示法，我们可以计算复数的平方根和立方根，这对于解决实际问题具有重要的意义。
复数的幂与根的运算
复数的幂与根的运算复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a + bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
在复数运算中，我们经常会遇到复数的幂与根的运算，本文将详细讨论这两种运算及其特性。
一、复数的幂运算复数的幂运算是将一个复数自乘若干次。
设有一个复数z = a + bi，其中a为实部，b为虚部。
1. 复数的平方运算将复数z自乘一次，即z^2 = (a + bi)(a + bi)。
展开得到z^2 = a^2 + 2abi - b^2，整理后可得z^2 = (a^2 - b^2) + 2abi。
可以看出，复数的平方仍旧是一个复数，实部为a^2 - b^2，虚部为2ab。
2. 复数的立方运算将复数z自乘两次，即z^3 = z^2 * z = (a^2 - b^2 + 2abi)(a + bi)。
展开得到z^3 = (a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - b^3i)，整理后可得z^3 = (a^3- 3ab^2) + (3a^2b - b^3)i。
同样地，复数的立方仍旧是一个复数，实部为a^3 - 3ab^2，虚部为3a^2b - b^3。
3. 复数的n次幂运算将复数z自乘n次，即z^n = z^(n-1) * z = ((a + bi)^(n-1))(a + bi)。
根据二项式定理展开后可得z^n = (a^n + na^(n-1)bi + C(n, 2)a^(n-2)b^2i^2 + ... + C(n, n-1)ab^(n-1)i^(n-1) + b^n * i^n)。
在上述展开式中，可以观察到幂次大于1的i项会相互抵消，因为i^2 = -1，而i^3 = -i，i^4 = 1，i^5 = i，以此类推。
因此，最终复数的n次幂展开式可简化为z^n = (a^n + C(n, 2)a^(n-2)b^2 - C(n, 4)a^(n-4)b^4 + ... + (-1)^(n/2)b^n) + (na^(n-1)b - C(n, 3)a^(n-3)b^3 + ... + (-1)^((n-1)/2)ab^(n-1))i。
高二数学复数的平方根和立方根(中学课件201908)
上海市新中高级中学 陈传军
一、情景引入
1.复习
（1）复数相等的定义 （2）复数乘法和乘方的运算法则
；安凯校车配件 /list/36.html 安凯校车配件 ；
加高祖彭城内史 丙辰 古今中天 而一朝便有极位 遂乃三俘伪主 今五经合九人 罢南蛮校尉 博士及学生牛酒 婆达国 哀二帝 甲寅 东军已上 晋武帝泰始六年十二月 免大将军彭城王义康为庶人 老稚服戎 而立五牛旂旗 其陛卫者 非兴礼学之时 又非旧章也 大赦天下 皆用晋典 二月中 至枚回洲 於礼乖矣 华戎欢悦 公大喜 日行二十三分之十四 八月戊子 车驾校猎 於时有谓劭为不得礼意 用集大命於朕躬 随愆议罚 秦革斯政 三十七〔六分〕 二百七十一五日 未允民听者 公卿相仪 行玺 国子祭酒袁环 无其言也 以太子詹事刘秉为南徐州刺史 壬午 复置廷尉监官 则同 方伯刺史二千石之礼 谒者引下殿 有星孛於氐 益十七 搜校长洲 纣之行也 王驹无罪 魏亦方轨於重华 勿为辞费 浮江东下 损二十三 泰始五年七月癸丑生 加中军将军 令望在身 公收休之子文宝 参诜 章为五才 以豫章太守檀和之为豫州刺史 必败我军 孙恩频攻句章 所以扼腕拊心 小余 九百六十七 今使使持节司徒某 蝝蚳不收 一夜 秦氏以之致亡 珪璧宜仍旧各一也 杜蕢入寝 留守填街后部从官就位 或伫想於夷门 二百六十一七日 日将蚀 卫将军 余在员外 岂办之有成 诏草既成 蕴逾城走 自张之辞耳 一时逼迫 制作《春秋》 帝皆临轩 然后倾移天日 冬十二月 奔往争 之 初 奔败还者 咸以为宜率由旧典 今皇太子昏 臣之罪也 必昭布新之祥 灵武秀世 汉德初明 庚午 伏 上始亲览 刘裕龙行虎步 礼毕 历代然也 雍州刺史张敬儿进号征西将军 若乃草昧经纶 荆州刺史谢晦为抚军将军 三十年正月 邹衍五德 置东宫屯骑 停贺雪 方舰而下 修作明堂 冬 十二月乙亥 以宁朔将军刘乘民为冀州刺
平方根与立方根讲义(含答案)
平方根与立方根二、知识点+例题+练习知识点一：平方根与算术平方根1．平方根2．算术平方根3．平方根与算术平方根的区别（1）定义不同；（2）个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个； （3）表示方法不同，正数a 的平方根表示为a （4）取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根为一正一负．一、求平方根和算术平方根若求一个算式的算术平方根，一般是先求出算式的值，再求出它的算术平方根，有时也可通过简单的变形化成一个正数的平方的形式，从而提高运算的速度和准确率．【例1】（1）求下列各数的平方根和算术平方根：①4964；②0.0001；③5；④2(3)-（2）平方根等于本身的数是________，算术平方根等于它本身的数是________．（3）一个数的平方根是22a b +和4613a b -+，则这个数是________．【例2】求下列各式的值（1）（2（3（4（5（6（1）2612=⨯=；（27512+=；（30.30.80.5=-=-；（429 0.91365 =⨯=；（520==；（6110.8250.25 5.2 45=⨯+⨯=+=；【答案】（1）12；（2）12；（3）0.5-；（4）965；（5）20；（6）5.2．【变式训练1-1】9的算术平方根是A B．-3 C．±3 D．3【答案】D【解析】∵32=9，∴9的算数平方根是3，故选D．【变式训练1-2】（-2）2的算术平方根是A．2 B．±2 C．-2 D【答案】A【解析】∵（-2）2=4，4的算术平方根是2，∴（-2）2的算术平方根是2，故选A．【名师点睛】求一个式子的算术平方根时，先把这个式子化简，再按算术平方根的定义求化简所得数的算术平方根即可．【变式训练1-3】25的平方根是A．5 B．-5 C．D．±5【答案】D【解析】∵（±5）2=25，∴25的平方根为±5，故选D．【变式训练1-4】设a-3是一个数的算术平方根，那么A ．a ≥0B ．a >0C ．a >3D ．a ≥3【答案】D【解析】∵3a -是一个数的算术平方根，∴30a -≥，解得3a ≥，故选D ．【名师点睛】本题考查的是算术平方根的“非负性”，即非负数a0≥． 【变式训练1-5】下列说法正确的是是2的一个平方根②–4的算术平方根是2 的平方根是±2 ④0没有平方根 A．①②③ B ．①④C ．①③D ．②③④【答案】C是2的一个平方根，正确；②–4没有算术平方根，错误； 的平方根是±2，正确；④0有平方根，是0，错误；故选C ． 【变式训练1-6】求下列各式的值：（12）3）；（4 【解析】（1． （2）=-0.9． （3）=1114±． （4．二、利用平方根的知识解方程先将方程转化为一个式子的平方等于一个非负数的形式，再利用开平方发求解． 【例1】求下列各式中的x ．（1）x 2=17；（2）212149x -=0．【解析】（1）因为2(17=，所以x =． （2）2121049x -=， 212149x =， x =117±． 【例2】求下列各式中x 的值：（1）4（x -1）2-16=0； （2）8（2x +1）3-1=0.【解析】（1）4（x -1）2-16=0， 4（x -1）2=16， （x -1）2=4， x -1=±2， x =-1或x =3．（2）8（2x +1）2-1=0， 8（2x +1）2=1， （2x +1）2=18，2x +1=±4，2x =-1±4，x =-128-或x =-12+8．【变式训练2--1】求下列等式中的x ：（1）若x 2＝1．21，则x ＝______； （2）x 2＝169，则x ＝______；（3）若294x =，则x ＝______； （4）若x 2＝2(2)-，则x ＝______． 【解析】一个正数的平方根有两个，且互为相反数．【答案】（1） 1.1x =±；（2）x =±13；（3）32x =±；（4）x 2=±．【变式训练2-2】求下列各式中x 的值．（1）29x =； （2）22500x -=（3）21(51)303x --= （4）2(100.2)0.64x -=【解析】本题考察的是平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数．（1）3x =±； （2）225,5x x ==±；（3）221(51)3,(51)9,513,5133x x x x -=-=-=±=+；或513x =-，解得45x =或25x =-．（4）100.20.8,0.2100.8,0.210.8x x x -=±=±=或0.29.2x =解得54x =或x =46．【答案】（1）3x =±； （2）5x =±；（3）45x =或25x =-； （4）54x =或x =46．三、对定义和性质的考察【例1】判断下列各题，并说明理由（19±． （ ） （2）算术平方根一定是正数．（ ）（3 （ ） （4）2a -没有算术平方根． （ ）（53=±． （ ）（6）若236x =，则6x ==±． （ ） （7）6-是2(6)-的平方根． （ ） （8）2(6)-的平方根是6-． （ ） （9）2a 的算术平方根是a ．（ ）（105，则5a =-．（ ）（11）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． （ ） （12）如果两个非负数相等，那么这两个数各自的算术平方根也一定相等． （ ）【解析】（6）（7）（12）正确． 【变式训练3-1】判断题：（1 ( ) （2）2a 的算术平方根是a ． ( )（36，则6a =-．( )（4）若264x =，则8x =±．( )（58±． ( ) （6）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( ) （7）如果一个数的平方根存在，那么必有两个，且互为相反数． ( ) （8）2a -没有平方根． ( ) （9）如果两个非负数相等，那么他们各自的算术平方根也相等． ( ) 【解析】 （1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×；（6）×；（7）×；（8）×；（9）√．【例2】x 为何值时，下列各式有意义？（1；（2（3（4）；（5）；（6；【解析】略【答案】（1）0x≥；（2）x=0；（3）2x≤；（4）x为任意数；（5）x>1；（6）112x-≤≤．【变式训练3-2】若A=A的算术平方根是_________．【解析】A22(16)a+，故A的算术平方根为216a+．【答案】216a+【变式训练3-3】设a a的值是________．【解析】a48a必须是完全平方数，因为24843=⨯整数的整数a为3．【答案】3四、算术平方根非负性的应用常用的三类非负性的表示形式：绝对值、偶次幂、算术平方根，当几个非负数的和为0时，则每一个非负数均为0，这一结论在解答许多数学问题中起着关键的作用．【例1】a的取值为A．0 B．−12C．–1 D．1【答案】B【解析】∵2a+1≥02a+1=0，∴a的取值为–12．故选B．【例2】若实数x，y20（y+-=，则xy的值为__________．【答案】【解析】根据题意得：20xy⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得2xy⎧=⎪⎨=⎪⎩，则xy=【例3】x、y0，则xy=__________．【答案】–6【解析】由题意可知：x+2=0，y–3=0，∴x=–2，y=3，∴xy=–6，故答案为：–6．【变式训练4-1】如果3a b-+【解析】由绝对值和算术平方根的非负性及相反数的定义解题．有题可知30220a ba b-+=⎧⎨+-=⎩解得4353ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3==．【答案】3【变式训练4-2】已知2b=，求11a b+的平方根．【解析】由题可知940490aa-≥⎧⎨-≥⎩，49a∴=，b=2，==【答案】【变式训练4-3】已知x，y，z满足21441()02x y z-+-=，求()x z y-的值．【解析】由题可知44102012x yy zz⎧⎪-+=⎪+=⎨⎪⎪-=⎩，解得121412xyz⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，()x z y-1111()()22416=--⨯-=．【答案】1 161．立方根的概念和性质2．开立方（1）定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方．（2）性质：①正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；=③3==a ．（3）开立方是一种运算，正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．开立方所得的结果就是立方根．3．平方根和立方根的区别和联系1．被开方数的取值范围不同在a 是非负数，即a ≥0中，被开方数a 是任意数．2．运算后的数量不同一个正数有两个平方根，负数没有平方根，而一个正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根．一、求立方根和开立方根据开立方与立方互为逆运算的关系，我们可以求一个数的立方根，或者检验一个数是不是某个数的立方根．【例1】-64的立方根是 A ．-4B ．4C ．±4D ．不存在【答案】A【解析】∵（−4）3=−64，∴−64的立方根是−4，故选A ．【例2 A ．－1B ．0C ．1D ．±1【答案】C-1-1，故选A ．【名师点睛】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．【变式训练1-1】下列计算中，错误的是AB 34=-C 112= D ．25=- 【答案】D【解析】A ．正确；B ．正确；C ．正确；D D ． 【变式训练1-2】求下列各数的立方根：（1）-343；（2）8125． 【解析】（1）因为3(7)343-=-， 所以-343的立方根是-7． （2）因为328()5125=， 所以8125的立方根是25． 【变式训练1-3】求下列各式的值：（123）【解析】（1（2（3【例3】求下列各式的值（1（2（3） （4）3（5（6（7【答案】（1）0.4；（2）2-；（3）25-；（4）64；（5）43；（6）9；（7）6．【变式训练1-4】（1）填表：（2）由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律．（3） 根据你发现的规律填空：① 1.442== ，= ；① 7.696=，= ．【答案】（1）0.01； 0.1； 1； 10； 100．（2）当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍（3） ①14.42； 0.01442； ①0.7696．二、利用立方根的知识解方程只含有未知数或某个关于未知数的整体的三次方的方程，可以先通过“移项、合并同类项、系数化为1”等变形为x 3=m 或（ax +b ）3=m 的形式，再利用开立方的方法求解．【例1】若a 3=–8，则a =__________．【答案】–2【解析】∵a 3=–8，∴a =–2．故答案为：–2．【例2】求下列各式中的x ：（1）8x 3+125=0；（2）（x +3）3+27=0． 【解析】因为381250x +=， 所以38125x =-，（2）因为3(3)270x ++=，所以3(3)27x +=-， 所以33x +=-，所以6x =-．【变式训练2-1】求下列等式中的x ：（1）若x 3＝0．729，则x ＝______； （2）x 3＝6427-，则x ＝______；（3）若52，则x ＝______； （4）若x 3＝3(2)--，则x ＝______． 【答案】（1）0.9；（2）43-；（3）1258；（4）2． 三、对立方根定义和性质的考察【例1】（1）下列说法中，不正确的是 （ ）A ． 8的立方根是2B ． 8-的立方根是2-C ． 0的立方根是0D ． a（2）61164-的立方根是（ ）A ． -B ．114±C ． 114D ．114- （3）某数的立方根是它本身，这样的数有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个（4）下列说法正确的是（ ）① 正数都有平方根；① 负数都有平方根，① 正数都有立方根；① 负数都有立方根；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（5）若a 立方比a 大，则a 满足（ ）A ． a <0B ． 0< a <1C ． a >1D ． 以上都不对（6）下列运算中不正确的是（ ）A ． =B ． 3=C 1-D ．4【答案】（1）D ；（2）D ；（3）C ；（4）C ；（5）D ；（6）B ．【变式训练3-1】（1）若x 的立方根是4，则x 的平方根是______．（2）3311-+-x x 中的x 的取值范围是______，11-+-x x 中的x 的取值范围是______．（3）－27______．（40+则x 与y 的关系是______．（54=那么(66)2a -⋅的值是______．（6则x ＝______．（7）若m ＜0，则m ．（8）若59x +的立方根是4，则34x +的平方根是______．【答案】 （1）8±；（2）任意数； x =1；（3）1-或5-；（4）互为相反数；（5）-12；（6）x =1； （7）0； （8） 四、平方根和立方根的综合应用在解决立方运算与开立方运算时，遵循的原则为正数的立方和立方根为正数，负数的立方和立方根为负数．【例1】64的平方根和立方根分别是A ．8，4B ．8，±4C ．±8，±4D ．±8，4【答案】D【解析】因为（±8）2=64，43=64，所以64的平方根和立方根分别是±8，4，故选D ．【例9】已知2a -1的平方根是±3，3a +b -1的立方根是4，求a +b 的平方根．【名师点睛】此题主要考查了立方根和平方根的意义的应用，关键是根据平方根，求出2a -1=9，根据立方根求出3a +b -1=64，转化为解方程得问题解决．【例2】已知x +122x +y -6的立方根是2．（1）求x ，y 的值；（2）求3xy 的平方根．【解析】（1）∵x +12的算术平方根是，2x +y -6的立方根是2．∴x +12=2=13，2x +y -6=23=8，∴x =1，y =12．（2）当x =1，y =12时，3xy =3×1×12=36，∵36的平方根是±6，∴3xy 的平方根±6.【名师点睛】本题考查了算术平方根、立方根的性质，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义，能熟练运用它们的逆运算是解本题的关键．【变式训练4-1】2(27)b +的立方根．【解析】由题可知80270a b +=⎧⎨+=⎩，解得827a b =-⎧⎨=-⎩，235,+= 【答案】1【变式训练4-2】已知2x -的平方根是±2，27x y ++的立方根是3，求22x y +的平方根．【解析】2(2)=±，6x ∴=；3=，8y ∴=，10==±．【答案】101.在，，0，-2这四个数中，是无理数的为（）A．0 B． C． D．-22. 下列无理数中，与最接近的是（）A． B． C． D．3. ±3是9的（）A．平方根B．相反数C．绝对值D．算术平方根答案与解析1.【答案】 C.【解析】根据无理数的概念: 无限不循环的小数,就是无理数;无理数主要有三类: ①开方开不尽的, ②π及含π的倍分等, ③如:0.1010010001…这类的无规律的数．2.【答案】C.【解析】根据算数平方根的意义,4=16, 再根据算术平方根的性质,被开方数越大, 其算术根越大,通过观察发现17的被开方数最接近16的被开方数,从而得出答案.3.【答案】A.【解析】解: ∵ 9)3(2=±, 3±∴是9的平方根. 故选A.1. 若9.28,89.233==ab a ，则b 等于（ ）A. 1000000B. 1000C. 10D. 100002. 若2,3==b a ，且0<ab ，则：b a -= .3. 下列语句正确是（ ）A ．无限小数是无理数B ．无理数是无限小数C ．实数分为正实数和负实数D ．两个无理数的和还是无理数答案与解析1.【答案】B.【解析】 被开方数扩大2n 10倍，开方后结果扩大10n 倍；根据开方与乘法互逆运算可得.2.【答案】 -7. 【解析】2,3==b a a 3, 4.b ∴=±= 又0<ab ，a 3, 4.b ∴=-=则a-b = -7.3.【答案】B.【解析】 解: A.无限不循环小数是无理数, 故A 不符合题意;B.无理数是无限小数, 符合题意. C.实数分为正实数、负实数和0, 故C 不符合题意 D.互为相反数的两个无理数的和是0,不是无理数, 故D 不符合题意. 故答案为:B.1. 已知：A=y x y x -++3是3++y x 的算术平方根，B=322+-+y x y x 是y x 2+的立方根，求A －B 的平方根.2. 已知4+11的小数部分为a ，411-的小数部分为b ．求：（1）a+b 的值；（2）a-b 的值．1.【答案】A=y x y x -++3是3++y x 的算术平方根，∴x-y=2; 又B=322+-+y x y x 是y x 2+的立方根，∴x-2y+3=3，得方程组x y 2x 2y 33-=⎧⎨-+=⎩，解得：x 42y =⎧⎨=⎩，∴A=3，B=2 ∴A-B=1.【解析】根据算术平方根的概念和立方根的概念解题.2.【答案】3114<<，∴411+的小数部分a=4+11-7=11-3411-的小数部分b=4-11；（1）a+b=11-3+4-11=1；（2）a-b=11-3-（4-11）=-7．【解析】首先估算出11的取值范围：3＜11＜4，进一步确定a 、b 的数值，代入求得（1）（2）即可．基础1. 下列说法不正确的是( )A ．8的立方根是2B ．－8的立方根是－2C ．0的立方根是0D ．125的立方根是±5四、课后作业2. 所有和数轴上的点组成一一对应的数组成（ ）A ．整数B ．有理数C ．无理数D ．实数3. 若2m-1没有平方根，则m 的取值范围是________.答案与解析1.【答案】D.【解析】 125的立方根是5,D 选项错误.根据立方根的定义,因为一个数的立方根只有一个,一个正数的立方根是正数,一个负数的立方根仍是负数.2.【答案】D.【解析】数轴上的点和实数是一一对应的关系.3.【答案】21≥m 【解析】 解: 负数没有平方根. 012≥-∴m , 21≥m . 故答案为:21≥m .1. 估计38的值在( )A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间2. 化简式子 )4(2-结果正确的是（ ）A ．±4B ．4C ．-4D ．±23. 一个正数x 的平方根是3a －4和1－6a ，求a 及x 的值．答案与解析1.【答案】C ．【分析】因为6的平方是36, 7的平方是49.而38在36和49 的中间，所以38的值在6和7之间. 故选：C ．2.【答案】B.【分析】应先算16)4(2=- , 再将求16的算数平方根即可.3.【答案】 解: 由题意得3a-4+1-6a=0, 解得a=-1则3a-4=-7, 4972==x .答:a 的值是-1,x 的值是49.1. 如图，矩形OABC 的边OA 长为2，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）A ．3B ．8C ．5D ．2.52. 已知x+12平方根是±13，2x+y ﹣6的立方根是2，求3xy 的算术平方根．3. 已知2a ﹣1的平方根是±3，3a+b ﹣1的立方根是4，求a+b 的平方根．答案与解析1.【答案】C ．【分析】解答：2＜5＜2.5＜，2与离的最近，故选C．由图可知这个点与2离的最近，而其中四个选项中的数与2离的最近且大于1的数是．2.【答案】解: 由题意可知: X+12=13,2X+y-6=8,∴ x=1,y=13×y=3×1×12=36. 36的算术平方根为6.3.【答案】∵ 2a﹣1的平方根是±3，∴ 2a﹣1=9，∴ a=5，∵ 3a+b﹣1的立方根是4，∴ 3a+b﹣1=64，∴ b=50，∴ a+b=55，．∴ a+b的平方根是55。
高二数学复数的平方根和立方根
(a bi)2 c di
则称a+bi是c+di的一个平方根
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；
刚刚听到蒙古民歌的人，听出悠远，是第一楼台；听出蒙古民歌的苍凉悲抑，乃第二楼台；在第三重境界，会听到蒙古人的心肠多么柔软，像绸子一样柔软。粗糙的北地，像一块磨石，把人的筋骨磨硬，心肠磨软了，这就是蒙古。因此，他们会把更好的肉食和乳品送给借宿的陌生人。 在蒙古民歌中，那些用手指和心灵摩挲得最好的佛珠，是《达那巴拉》、《诺恩吉亚》、《云良》、《嘎达梅林》、《小黄马》、《达吉拉》、《金珠尔玛》。按气功的说法，这些歌的信息能量太丰富太辽远了。像这样的好歌，还可以像百科全书一样列下去。 这时需要一位歌者，贯历 史而达现今，如油然之云把歌中的含金量沛然化雨，一泻而出，那么，在大师级的歌王哈扎布、朝鲁、宝音德力格尔之后，在马头琴王齐·宝力高之后，在卓越的歌唱家牧兰、拉苏荣、金花之后，在优秀的作曲家通福、美丽齐格和最早的电子音乐家图力古尔之后，漫漫地平线上的巨星是 腾格尔。 腾格尔的意思是“天”，蒙古人没有几个如此作名，但腾格尔称名不妨。天者，辽远无碍，又具王者之尊。腾格尔是鄂尔多斯人，幼时随外祖母牧羊，领会草原襟抱，及长入歌舞团而后考入音乐学院学作曲，定居京华而下派宁夏锻炼，终于崛起。他由民族而升腾，非个人能力 所及也，这是他与流行歌手最大的区别。人若成器，后腰须要支撑，台港雨巷支撑、情郎妹子支撑……均不如有一个强韧的民族和苍凉的天地来支撑。因此，腾格尔有福了，用蒙古话说，他“Baoyuntie”。听腾格尔的歌，像在饮牛的水洼前捧水泼在脸上，像在沙粒迎面的大风中前行， 有暗夜饮醪的热肠感受，是长歌当哭的抒纾。当烈辣过喉的时候，当男人宽温的手放在女人背上的时候，当目睹落日悲壮的时候，去听腾格尔的歌吧。 这么小的小风 最小的小风俯在水面，柳树的倒影被蒙上了马赛克，像电视上的匿名人士。亭子、桑树和小叶柞的倒影都有横纹，不让你 看清楚。而远看湖面如镜，移着白云。天下竟有这么小的风，脸上无风感(脸皮薄厚因人而异)，柳枝也不摆。看百年柳树的深沟粗壑，想不出还能发出柔嫩的新枝。 在湖面的马赛克边上，一团团鲜红深浅游动———红鲤鱼。一帮孩子把馒头搓成球儿，放鱼钩上钓鱼。一条鱼张嘴含馒头， 吐出，再含，不肯咬钩。孩子们笑，跺脚，恨不能自己上去咬钩。 此地亭多，或许某一届的领导读过醉翁亭记，染了亭子癖。这里的山、湖心岛、大门口，稍多的土积之成丘之地，必有一亭。木制的、水泥的、铁管焊的亭翘起四个角，像裙子被人同时撩起来。一个小亭子四角飞檐之上， 又有三层四角，亭子尖是东正教式的洋葱头，设计人爱亭之深，不可自拔。最不凡的亭，是在日本炮楼顶上修的，飞檐招展，红绿相间，像老汉脖上骑一个扭秧歌的村姑。 干枯的落叶被雨浇得卷曲了，如一层褐色的波浪。一种不知名的草，触须缠在树枝上。春天，这株草张开枣大的荚， 草籽带一个个降落伞被风吹走。伞的须发洁白晶莹，如蚕丝，比蒲公英更漂亮。植物们，各有各的巧劲儿。深沟的水假装冻着，已经酥了，看得清水底的草。我想找石头砸冰，听一下“噗”或“扑通”，竟找不到。出林子见一红砖甬道，两米宽。道旁栽的雪松长得太快，把道封住了，过 不去人。不知是松还是铺甬道的人，总之有一方幽默。打这儿往外走，有一条小柏油路，牌子上书：干道。更宽的大道没牌子。 看惯了亭子，恍然想起这里有十几座仿古建筑，青砖飞檐，使后来的修亭人不得不修亭，檐到处飞。我想在树林里找到一棵对早春无动于衷的树，那是杨树。 杨树没有春天的表情，白而青的外皮皲裂黑斑，它不飘舞枝条，也不准备开花。野花开了，蝴蝶慢吞吞地飞，才是春天，杨树觉得春天还没到。杨树腰杆太直，假如低头看一下，也能发现青草。青草于地，如我头上的白发，忽东忽西，还没连成片。杨树把枝杈举向天空，仿佛去年霜降的 那天被冻住了，至今没缓过来。 鸟儿在英不落的上空飞，众多的树，俯瞰俱是它的领地。落在哪一棵上好呢？梨树疏朗透光，仪态也优雅，但隐蔽性差。柏树里面太挤了，虽然适合调情。小叶柞的叶子还不叶，桑树也未桑。小鸟飞着，见西天金红，急忙找一棵树歇息。天暗了，没看清 这是一棵什么树。 ——英不落札记之二 雪地贺卡 今年沈阳的雪下得大，埋没膝盖，到处有胖乎乎的雪人。 下班时，路过院里的雪人，我发现一个奇怪的迹象：雪人的颏下似有一张纸片。我这人好奇心重，仔细看，像是贺卡，插在雪人怀里。 抽出来，果然是贺卡，画面是一个满脸雀 斑的男孩，穿着成人的牛仔装，在抹鼻涕。里面有字，歪歪扭扭，是小孩写的。 雪人：你又白又胖，桔子皮嘴唇真好看。你一定不怕冷，半夜里自己害怕吗？饿了就吃雪吧。咱俩做个好朋友！ 祝愿：新年快乐心想事成！ 沈阳岐山三校二年四班李小屹 我寄出也接受过一些贺卡，这张却 让人心动。我有点嫉妒雪人，能收到李小屹这么诚挚的关爱。 我把贺卡放回雪人的襟怀，只露一点小角。回到家，放不下这件事，给李小屹写了一张贺卡，以雪人的名义。我不知这样做对不对，希望不至伤害孩子的感情。 李小屹：真高兴得到你的贺卡，在无数个冬天里面，从来都没人 送给我贺卡。你是我的好朋友！ 祝愿：获得双百永远快乐！ 岐山中路10号三单元门前雪人 我寄了出去，几天里，我时不时看一眼雪人，李小屹是否会来？认识一下也很好。第三天，我看见雪人肩膀又插上了一张贺卡，忙抽出来读。 雪人：我收到你的贺卡高兴得跳了起来，咱们不是已 经实现神话了吗？但我的同学说这是假的。是假的吗？我爸说这是大人写的。我也觉得你不会写贺卡，大人是谁？十万火急！告诉我！（15个惊叹号）你如果不方便，也可通知我同学，王洋，电话621XX10；张弩电话684XX77。 祝愿：万事如意心想事成！ 李小屹 我把贺卡放回去，生出 别样心情。李小屹是个相信神话的孩子，多么幸福，我也有过这样的年月。在这场游戏中，我应该小心而且罢手了。尽管李小屹焦急地期待回音。 就在昨天，星期日的下午，雪人前站着一个女孩，背对着我家的窗。她装束臃肿．胳膊都放不下来了。这必是李小屹。她痴痴地站在雪人边 上，不时捧雪拍在它身上。雪人桔子皮嘴唇依然鲜艳。 我不忍心让李小屹就这么盼望着，像骗了她。但我更不忍心破坏她的梦。不妨让她惊讶着，甚至长成大人后跟自己的男友讲这件贺卡的奇遇。 一个带有秘密的童年是多么地幸福。 月光手帕 很多年以前，我在医院为父亲陪床。陪床 的人逼并没有床可以睡，时间已在后半夜，我散步在一楼和三楼的楼梯之间。这时医院没什么人走动了，几个乡下人披着棉衣蹲在楼梯口吸烟。偶尔，有戴着口罩的忽视手执葡萄糖轻盈往来。 我下到一楼，又拾阶上楼，走在我前面的一个小姑娘，大约是个中学生，行走间蹲下，拣一样 东西，旋又走开了，回头瞅我一眼。她走开后，地上一个薄白之物仍放着，像一方手帕。 我走近一看，这不是手帕，而是一小片月光摊在楼梯上。为什么是一小片呢？原来是从被钉死的落地长窗斜照进来的，只有一方手帕大的小窗为钉死。子夜之时，下弦月已踱到西天。这一片月光射 入，在昏黄的楼道灯光下，弥足珍贵。 小姑娘误以为这是奶白色的手帕，她弯腰时，手指触到冰凉的水泥地上便缩回了。她瞅我一眼，也许是怕笑话。 我不会笑她，这一举动里充满生机。小姑娘也是一个病人的家属，我不知她的病人在床上忍受怎样的煎熬，但她这样敏感，心里盛着美， 不然不会把月光误作手帕。 在她发现这块“月光手帕”前，我已将楼梯走了几遍，对周围无动于衷。正是因为她的弯腰，才诱使我把这一小片月色看成了手帕，或者像手帕。但我感伤自己已没有她那样的空灵，走过来也不会弯下腰去。因为一双磨炼得很俗的研究极易发现月光的破绽， 也就失去了一次美的愉悦。 许多年过去了，我对此事有了新的想法。多么希望她能够把这块“手帕”拣起来，抖一下，但那是不可能的事情。我替月光遗憾，它辜负了小姑娘轻巧的半蹲拣手帕的样子。 培植善念 过去，西藏有一位高僧叫潘公杰，每天打坐，在面前放黑白两堆小石子， 来辩识善念恶念。善念出现时，拿一颗白石子放在一边，恶念出现时，取黑石子。 佛法中的善念即利益大众，恶念则不简单指杀人越货，在脑中转瞬即逝的享乐之念，以及贪慕、忌妒、嗔恼等都可以称之恶念，而欺诈偷盗已是罪恶了。 以现在的角度阐述，善念即仁爱，而恶念不过是欲 望。欲望是什么？“是我们保持生存的主要工具”（卢梭）。由于欲望的指引，人生克服种种困难走向满足。“因此，为了保持我们的生存，我们必须看自己，爱自己要胜过看其他一切东西”（卢梭）。可见自私的本性已经深植人性之中，所谓欲望实为生存之道，不应有善恶之分。然而， 爱自己须有一个限度，超过此限，就可能变成恶，甚至罪。而人的欲望恰恰是永无止境的。因此，为了共同的利益，爱自己还应该爱我们生存的环境，注意到别人也需要爱。不能推及他人与环境的爱，叫做冷酷，这就是恶的生成。 一个人把爱兼及他人与环境，包括植物、动物，佛法称 之为“慈”。如果目睹苦寒之中的贫儿老妇，心中深出一点点同情心，则是另一种大善。这种情怀，即所谓“悲”。慈悲两字，听起来有些苍老，有人甚至会觉得它陈腐，实际它穿越时代，是凝注苍生的大境界。今天流行的“关怀”以及“温馨”，不过是它的现代版，内涵如一。 善念 其实是小小的火苗，倘若不精心护佑，它在心中也就旋生旋灭了。并非说，只有造福万代才叫善。譬如有人建议削平喜马拉雅山，让印度洋的暖流涌入，使干旱的西北大地变成热带雨林。此善大则大矣，却要我们等待太久。古人有诗：“为鼠常留饭，怜蛾不点灯。”虽然琐细，读后感觉 心中暖暖的，大过印度洋的暖流。 潘公杰大师在黑白石子中辨别善恶二念，到晚上检点，开始时黑石子多。他掴自己的耳光，甚至痛苦、自责：你在苦海里轮回，还不知悔过吗？三十多年之后，他手下全变成白石子了，大师修成菩提道。 我们达不到高僧那种至纯之境。爱自己原本也没 有错，我们是凡人，然而无论“利己心”走得多远，有善念相伴，你都会是一个好人。 跟穷人一起上路 那一次，我从油麻地去香港岛看维多利亚湾的夜景，途中步行经过一个隧道。隧道的名字已忘记了，印象是宽亮如昼。走着，目光被左壁招贴画吸引。———一个风尘仆仆的汉子迎面 而来，他刚毅精悍，左腿是机械假肢，肩膀有些前斜，吃力地、渴盼
根据实数知识点总结,解释复数的平方根和立方根的概念。
根据实数知识点总结，解释复数的平方根
和立方根的概念。
根据实数知识点总结，解释复数的平方根和立方根的概念
根据实数知识，我们知道平方根是指一个数的平方等于给定数的一个实数解。
而立方根则是指一个数的立方等于给定数的一个实数解。
但是，对于复数来说，平方根和立方根的概念略有不同。
复数的平方根
对于一个复数，平方根是指一个数的平方等于给定复数的一个复数解。
我们可以通过以下步骤来计算复数的平方根：
1. 将复数表示为实数和虚数部分的和，即 a + bi，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分。
2. 使用解析性方法（即将复数表示为指数形式）将复数转化为极坐标形式。
这可以通过计算模数（复数到原点的距离）和幅角（复数与正实轴的夹角）来实现。
3. 在极坐标形式下，平方根可以通过计算模数的平方根和幅角的一半来获得。
4. 将得到的极坐标形式转化回实数和虚数形式，即得到了复数的平方根。
复数的立方根
对于一个复数，立方根是指一个数的立方等于给定复数的一个复数解。
与平方根类似，我们可以通过以下步骤来计算复数的立方根：
1. 将复数表示为实数和虚数部分的和，即 a + bi，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分。
2. 使用解析性方法将复数转化为极坐标形式。
3. 在极坐标形式下，立方根可以通过计算模数的立方根和幅角的三分之一来获得。
4. 将得到的极坐标形式转化回实数和虚数形式，即得到了复数的立方根。
需要注意的是，对于复数来说，平方根和立方根有多个解（即多个复数解），因此我们需要考虑所有可能的解。
希望这份文档能够帮助你理解复数的平方根和立方根的概念。
沪教版(上海) 高二第二学期 新高考辅导与训练 第13章 复数 13.5 复数的平方根与立方根
沪教版(上海) 高二第二学期新高考辅导与训练第13章复数
13.5 复数的平方根与立方根
一、解答题
(★★) 1. 求的平方根.
(★★) 2. 求的立方根.
(★★★) 3. 已知，求的值.
(★★★) 4. 已知，求证：，当是3的倍数时值为2，当不是3的倍数时值为.
(★★) 5. 对任意一个非零复数，定义集合.设复数，求证：.
二、单选题
(★★) 6. 设复数，则满足等式，大于1的正整数中最小的是( )
A．3B．4C．6D．7
(★★) 7. 设是方程在复数集中的解集，，则与的关系是( )
A．B．C．D．
(★★) 8. 复数的平方根是( )
A．B．C．D．
(★★) 9. 已知，，，则( )
A．B．C．D．
三、填空题
(★) 10. 的平方根为 ______ ．
(★) 11. 在复数范围内分解因式：________.
(★★) 12. 集合中的元素有________个. (★★) 13. 已知且，则的立方根为________. (★★) 14. 已知，则的值为 ________ .。
复数的平方根与立方根
2. 如果复数a+bi，和c+di(a,b,c,d∈R)， 满足: (a+bi)3= c+di 则称a+bi是c+di的立方根
此时c+di的立方根有三个
注意 : 复数Z的 立方根不能写成 Z的形式
3
三 例 题
1. 求7 24i的平方根.
2. 求证:在集合C中1的三个立方 根是 1 3 1 3
1， i， i 2 2 2 2 1 3 1 3 i 记ω - i 则ω - 2 2 2 2
3 3
满足 : ω 1,
2 2
ω 1
ω ω ， ω ω
2 2
ωω 1
ω ω 1 0， ω ω 1 0
3. 研究当n N 时, 的值有
* n
几种情况.
2.设z1=√3+i，z2=1+i，
试求满足zn1=zm2的最小
正整数m,n的值.
二 复数的平方根和立方根的含义
1. 如果复数a+bi，和c+di(a,b,c,d∈R)，
满足: (a+bi)2= c+di
a+bi是c+di的平方根
此时c+di的平方根有两个
注意 : 复数Z的 平方根不能 Z 写成的形式
2
8. 研究 : (1). 实数a的平方根是什么? (2). 实数a的立方根是什么?
4. 利用1 的立方根 , 求下列 实数的立方根 : (1) 64 (2) - 125
5. 求(1 3i) 的实部.
10
6. 计算 : (1 3i) ( 3 i) 20 20 (1 i ) (1 i)
15 15
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【课堂例题】
例1.求下列复数的平方根
(1)34i -+
(2)i
例2.设12ω=-
,利用ω是1的立方根,求证: (1)2ω也是1的立方根;(2)210ωω++=
课堂练习
1.求下列复数的平方根
(1)1630i -+
(2)负实数a
2.在复数范围内分解因式:22x i -
3.利用1的立方根,求下列实数的立方根.
(1)8
(2)-27
4.设12ω=-
+,求221ωω
+和2013ω的值.
【知识再现】
1.如果复数a bi +和,,,,c di a b c d +∈R 满足 ,则称a bi +是c di +的一个平方根,另一个平方根是 .
如果复数a bi +和,,,,c di a b c d +∈R 满足 ,则称a bi +是c di +的一个立方根.
2.-1的平方根是 ;1的立方根是 .
【基础训练】
1.12-的平方根是 .
2.利用1的立方根可知18
的三个立方根分别为 . 3.已知m ∈R ,则3()m i += .(展开为复数的代数形式)
4.若ω是1的虚立方根，则下列说法正确的是 .(写出所有正确命题的序号)
A.91ω=
B.21,,ωω是1的三个不同的立方根；
C.2ωω=；
D.21ωω
= E.||1ω= F.210ωω++=
5.求复数12-
+的平方根.
6.已知2
512z i =-,求z .
7.利用1的立方根,计算8(1)-
【巩固提高】
8.求i 的立方根.
9.复数z 的平方等于86i +，求310016z z z
-+的值.
(选做)10.已知x ∈C ,2
10x x ++=. (1)求10201x x ++的值；
(2)求证：20112012201120121
1x x x x +=+.
【温故知新】
11.已知复数||1z =,则复数234z i +-对应的点的轨迹方程是 . (用,x y 表示)【课堂例题答案】
【课堂例题答案】
例1.(1)12,12i i +--;(2)
,2222
i i +-- 例2.证：(1)23322()()11ωω===; (2)23
(1)(1)10ωωωω-++=-=,因为10ω-≠，所以210ωω++= 证毕 【课堂练习答案】
1.(1)35,35i i +--;(2)
2.(1)(1)x i x i --++
3.(1)2,1,1--;(2)333,,22--
-+ 4.1,1-
【知识再现答案】
1.23(),,()a bi c di a bi a bi c di +=+--+=+
2.11;1,,22i ±--+ 【习题答案】
1.±
2.
111,,24444
-+-- 3.32(3)(31)m m m i -+- 4.ABCDEF
5.
11,22- 6.32,32z i i =+--
7.128-+
提示：888288111(1)()2()2()2222222
i -=--⋅=--⋅=-+⋅
8.11,,2222
i i i -+-+ 提示：33()1z i iz =⇒=，记1的立方根为21,,ωω，因此2
1,,z i i i
ωω= 9.0 提示：原式=22100100(16)(86)[(86)(86)]086z z z z z i z i i z i
-+=-++=-++-=+ 10.(1)0 提示：x 是1的虚立方根，因此10202,x x x x x ===
(2)证：x 是1的虚立方根，因此左边=201167031201167031111x x x x x x
⨯+⨯++=+=+， 右边=2320126703222011670322321111x x x x x x x x x x x x ⨯+⨯++=+=+=+=+ 左边=右边 证毕 11.22(3)(4)4x y -++= 提示：设33332341|(33)|222w i w i z i w z w i -+-++-=⇒=⇒=⇒--=。