专题十-与几何图形有关的探究题

专题十与几何图形有关的探究题

图形变化问题

【例1】(2016·沈阳)在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α(0°＜α＜180°)，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE.

(1)如图，当α＝60°时，延长BE交AD于点F.

①求证：△ABD是等边三角形；

②求证：BF⊥AD，AF＝DF；

③请直接写出BE的长；

(2)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE＋CE的值．

分析：(1)①由旋转性质知AB ＝AD ，∠BAD ＝60°即可得证；②由BA ＝BD ，EA ＝ED 根据垂直平分线的性质即可得证；③分别求出BF ，EF 的长即可得答案；(2)由等量代换可证∠BAE ＝∠BAC ，根据三线合一可得CE ⊥AB ，从而可得CE ＝2CH ＝8，BE ＝5，即可得答案．

解：(1)①∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE ，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∴△ABD 是等边三角形

②由①得△ABD 是等边三角形，∴AB ＝BD ，∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE ，∴AC ＝AE ，BC ＝DE ，又∵AC ＝BC ，∴EA ＝ED ，∴点B ，E 在AD 的垂直平分线上，∴BE 是AD 的垂直平分线，∵点F 在BE 的延长线上，∴BF ⊥AD ，AF ＝DF

③由②知BF ⊥AD ，AF ＝DF ，∴AF ＝DF ＝3，∵AE ＝AC ＝5，∴EF ＝4，∵在等边三

角形ABD 中，BF ＝AB ·sin ∠BAF ＝6×32＝33，∴BE ＝BF －EF ＝33－4 (2)如图，∵∠DAG ＝∠ACB ，∠DAE ＝∠BAC ，∴∠ACB ＋∠BAC ＋∠ABC ＝∠DAG

＋∠DAE ＋∠ABC ＝180°，又∵∠DAG ＋∠DAE ＋∠BAE ＝180°，∴∠BAE ＝∠ABC ，

∵AC ＝BC ＝AE ，∴∠BAC ＝∠ABC ，∴∠BAE ＝∠BAC ，∴AB ⊥CE ，且CH ＝HE ＝12

CE ，∵AC ＝BC ，∴AH ＝BH ＝12

AB ＝3，则CE ＝2CH ＝8，BE ＝AE ＝5，∴BE ＋CE ＝13

几何图形中的动点问题

【例2】(2016·达州)△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ，C 重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF.

(1)观察猜想

如图1，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为__垂直__；②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为__BC ＝CD ＋CF__；

(2)数学思考

如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

(3)拓展延伸

如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE.若已知AB

＝22，CD ＝14

BC ，请求出GE 的长．

分析：(2)根据正方形的性质得到∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论；(3)过A 作AH ⊥BC 于点H ，过E 作EM ⊥BD 于点M ，EN ⊥CF 于点N ，先求出AH ，DH ，证△ADH ≌△DEM(AAS )得到EM ＝DH ，DM ＝AH ，由等量代换得到CN ＝EM ，EN ＝CM ，根据等腰直角三角形的性

质得到CG ＝BC ＝4，根据勾股定理即可得到结论．

解：(2)CF ⊥BC 成立；BC ＝CD ＋CF 不成立，CD ＝CF ＋BC.证明：∵正方形ADEF ，∴AD ＝AF ，∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF ，可证△DAB ≌△FAC(SAS )，∴∠ABD ＝∠ACF ，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°.∴∠ABD ＝180°－45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝135°－45°＝90°，∴CF ⊥BC.∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF ＋BC

(3)过A 作AH ⊥BC 于点H ，过E 作EM ⊥BD 于点M ，EN ⊥CF 于点N ，∵∠BAC ＝

90°，AB ＝AC ，∴BC ＝2AB ＝4，AH ＝12BC ＝2，∴CD ＝14BC ＝1，CH ＝12

BC ＝2，∴DH ＝3，由(2)证得BC ⊥CF ，CF ＝BD ＝5，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD ＝DE ，∠ADE ＝90°，∵BC ⊥CF ，EM ⊥BD ，EN ⊥CF ，∴四边形CMEN 是矩形，∴NE ＝CM ，EM ＝CN ，∵∠AHD ＝∠ADC ＝∠EMD ＝90°，∴∠ADH ＋∠EDM ＝∠EDM ＋∠DEM ＝90°，∴∠ADH ＝∠DEM ，可证△ADH ≌△DEM(AAS )，∴EM ＝DH ＝3，DM ＝AH ＝2，∴CN ＝EM ＝3，EN ＝CM ＝3，∵∠ABC ＝45°，∴∠BGC ＝45°，∴△BCG 是等腰直角三角形，∴CG ＝BC ＝4，∴GN ＝1，∴EG ＝GN 2＋EN 2＝10

几何图形中的动线问题

【例3】 (2016·广东)如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，BC ＝2，边BC 在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ ，连接PA ，QD ，并过点Q 作QO ⊥BD ，垂足为O ，连接OA ，OP.

(1)请直接写出线段BC 在平移过程中，四边形APQD 是什么四边形？

(2)请判断OA ，OP 之间的数量关系和位置关系，并加以证明；

(3)在平移变换过程中，设y ＝S △OPB ，BP ＝x(0≤x ≤2)，求y 与x 之间的函数关系式，并求出y 的最大值．