几个经典数学模型的再认识

TT 2
于是所求模型为
min C(T ) c1 c2rT
模型求解
T2
dC 0 dT
T 2c1 rc2
Q rT 2c1r c2
模型求解结果在经济学中称为经济批量订货公式 （EOQ公式），应用于订货、供应、存贮情形
二、问题：每天总费用的平均值最小为什么要 周期地等产量生产？
思考问题1——生产的周期性
移动椅子有三种方法：旋转；平 移；平移加旋转。其中旋转要设1
B´ B A´
个变量；平移要2个；平移加旋转 要3个。为了方便起见一般采用旋
C
转法。
A
O
x
由于“假设1”设椅子的四脚连 C ´ 线为正方形，所以我们可以利用正
D´ D
方形的对称性建立平面直角坐标系.
正方形ABCD
用表示旋转,此时A、C 两脚与地
x*
i 1 n
mi
i 1 n
(4)
y
*
mi yi
i 1 n
mi
i 1
这一结果可以解释为
平面n个具有质量mi的质点（xi,yi),i=1,2, …,n的质心
坐标就为（x*,y*)。
由此可以如下建立模型：
把n个分别拥有粮食mi吨的商品粮生产基地类比为
n个具有质量mi的质点（xi,yi),i=1,2, …,n，则总运费最小 的仓库位置就是这n个质点的质心（x*,y*)。
换，只要把A、 B 两脚与地面距离之和记为f()， C 、D 两脚与地面距离之和记为g()就可以了,因为把证明过程中
的π/2 改为π就可以了.显然改进的模型适用四脚成正方形 情形, 由于一般四边形无对称性，从证明的角度看四脚成 长方形包括正方形情形的模型似乎不适用于四脚共圆！
四脚与地面距离有4个函数，两对角线分别组合解决 四脚成正方形；对边分别组合解决四脚成长方形。有没有
模型建立
建立平面直角坐标系xOy，各商品粮生产基地的坐标
分别为（xi,yi),i=1,2, …,n;仓库的坐标为（x,y),则各商品粮
生产基地到仓库的总运费为
n
f ( x, y) cmi ( x xi )2 ( y yi )2 i 1
于是模型为
n
min x,y
f (x, y)
cmi
i 1
先9天生产一次，这次生产1000件，贮存费 900+800+…+100 =4500元，准备费5000元，小 计9500元。 再11天生产一次，这次生产1000件，贮 存费1000+900+…+100 =5500元，准备费5000元 ，小计10500元。总计20000元。
平均每天费用1000元
周期性地生产会使平均每天费用减少。
性质, 必存在0<0 <π/2, 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) 。 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0。
问题：四脚成长方形或四脚共圆时，模型还适用吗？
因为四脚成长方形或四脚共圆时，将椅子旋转900， 对角线AC和BD不能互换。但不能说不适用！注意到正方 形是中心对称图形，长方形是轴对称图形，因此对于四脚 成长方形情形，注意到椅子旋转1800时对边AB和CD能互
( x xi )2 ( y yi )2
(1)
模型求解
由
f ( x, y) 0, f ( x, y) 0
x
y
有
n
i1 n
i1
mi (x xi )
0
( x xi )2 ( y yi )2
mi ( y yi )
0
( x xi )2 ( y yi )2
(2)
对一般n求解方程组（2）有一定困难！但n=2时比 较容易求得仓库坐标
c2
n i 1
Ti
1 2
rTi
i j1
Q j rTj
rT Q,
n
Tj nT,
j 1
s.t .
n
Qj nQ,
j 1
i
(Q j rTj ) 0, i 1,2, , n 1,
j1 Ti 0,Qi 0, i 1,2, , n
求解结果为
Ti T ,Qi Q, i 1,2, , n
这是一种建立数学模型的方法：类比法。
再认识三：分析模型结果，寻找更为简单的模
型或其它建模方法。
4.蛛网模型
供大于求
现 象
增加产量
价格下降 数量与价格在振荡
价格上涨
减少产量 供不应求
描述商品数量与价格的变化规律
问 题 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定
模型
xk~第k时段商品数量；yk~wk.baidu.comk时段商品价格
等量地生产会使平均每天费用减少。由此可见，必须 周期地等量生产！因此有模型
在一段时间nT天内需分n次生产数量为nQ的产品,时间 间隔依次为T1、T2、…、Tn，相应的各次生产数量依次为 Q1、Q2、…、Qn.若每天需求量 r，每次订货费 c1,每天每 件贮存费 c2，则
min C
1 nT
nc1
yy30 y1
P2
g P4
P0
y
曲线斜率
K f K g y0
P1
0 x2 x0 x3 x1 x
0
P3 f
g P4
P2
P0
P1
x0
K f Kg
x
应用 核军备竞赛
冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“ 核威慑战略”，核军备竞赛不断升级。
随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一 系列的核裁军协议。
分变量,[0,T]为积分区间,在积分区间取微分区间[t,t+dt],则 贮存费微分为
dc=c2 q(t)dt
q
一个周期的贮存费为
Q
T
c2 0 q(t)dt c2 A
r
一个周期的总费用为
A=QT/2
0
T
t
C~
c1
c2
Q 2
T
rT 2 c1 c2 2
每天总费用平均值（目标函数）为
~ C(T ) C c1 c2rT
2008江苏省工业与应用数学学会学术年会分组报告 2008年11月15日 南通
几个经典数学模型的再认识
南通大学理学院 林道荣
报告提纲
1.椅子放稳模型 2.存贮模型 3.仓库选址模型 4.蛛网模型
1. 椅子放稳模型
这个问题来自日常生活中一件普通的事实：把椅子往 不平的地面一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只 要稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。用 数学模型证明为什么能放稳。先假设
绕O点旋转
面距离之和记为f()，B、D 两脚与地
面距离之和记为g().如果开始旋转时A
两脚不着地，则f(0) > 0 ，g(0)=0。
此时问题已 经转化为这 么一个数学 模型：
已知： f() , g()是连续函数（由假 设2） ; 对任意， f() • g()=0 ; 且
g(0)=0， f(0) > 0。
2. 存贮模型
存贮模型是存贮论的基本内容,而存贮论是运筹学 的一个重要分支,在生产领域有广泛应用.
初等存贮模型分不允许缺货的存贮模型、允许缺货 的存贮模型。这里先介绍不允许缺货的存贮模型。
一、不允许缺货的存贮模型
问题
配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因 更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存 费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间 内产，不允许缺货。
x*
y*
m1 x1
m1 m1 y1
m2 x2
m2 m2 y2
(3)
m1 m2
自然推测对一般的n，方程组（2）的求解结果为
n
mi xi
x*
i 1 n
mi
i 1 n
(4)
y*
mi yi
i 1 n
mi
i 1
容易验证（4）满足方程组（2）。下面考察（4）式
n
mi xi
消费者的需求关系 需求函数 yk f (xk ) 减函数 生产者的供应关系 供应函数 xk 1 h( yk ) 增函数
y
f
g
y0
P0
0
x0
yk g (xk 1)
f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0,
xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0
平均每天费用995元
先11天生产一次，这次生产1100件，贮存费 1000+900+…+200+100 =5500元，准备费5000 元，小计10500元。 再9天生产一次，这次生产900 件，贮存费800+700+…+100 =3600元，准备费 5000元，小计9500元。总计19100元。
平均每天费用955元
求证：存在0，使f(0) = g(0) = 0。
证明：将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由 g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0。
令h()= f()–g(), 由 f, g的连续性知 h为[0, π/2]上
的连续函数, 而且h(0)>0和h(/2)<0。 据连续函数的基本
其它组合？可以A脚与地面距离为f(）， B、C、D 三脚 与地面距离之和为g() 。把证明过程中的π/2 或π改为α （ 0<α <2 π ）就可以了!这时模型适用四脚共圆！当然适
用四脚成长方形包括正方形情形。
进一步地，四脚共圆的模型就是通用模型？分析证 明过程可知这样的证明也适用于四脚成正方形或长方形， 即不需将椅子旋转900或将椅子旋转1800证明！
1、四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈 正方形(椅子的四脚连线也可能为矩形，梯形等。为了从 最简单的研究起，我们就设其为正方形。);
2、地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面(椅 子是不能在台阶上放稳的。);
3、地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时 着地(如果地面在小地方中凹凸太厉害，以至于比椅腿的 长度更大时，椅子也不能放稳。)。
思考问题2——生产的等量性
日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元 。考虑20天的生产。
10天生产一次，每次1000件，贮存费900 + 800
+…+100 =4500元，准备费5000元。总计19000
元。
每天费用950元
先10天生产一次，这次生产1100件，贮存费1000 +900+…+200 =5400元，准备费5000元，小计 10400元。 再10天生产一次，这次生产900件，贮存费 900 + 800 +…+100 =4500元，准备费5000元，小 计9500元。总计19900元。
模型假设
1. 产品每天的需求量为常数 r； 2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2； 3. T 天生产一次（周期）, 每次生产Q 件，当贮存量
为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）； 4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。
离散问题连续化处理!
建模目的
设 r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。
认识二：对问题仔细分析，找出模型缺陷而完善模型。
3.仓库选址
某地区有n（n≥2）个商品粮生产基地,各基地的
问 粮食数量分别为m1、m2、…、mn (单位：吨），每吨 题 粮食一距离单位运费为c,为使各基地到仓库的总运费
最小,问仓库如何选址?
模型假设
1.各商品粮生产基地的粮食集中于一处； 2.各商品粮生产基地及仓库看作点； 3.各商品粮生产基地与仓库之间道路按直线段考虑。
因此一般模型这样建立：对于四脚与地面距离有4个
函数，A脚或另外最多两个脚与地面距离之和为f(）， 其 它脚与地面距离之和为g() 。椅子旋转α，在区间[0， α] 上应用介值定理不难证明。这表明我们对四脚成正方形或
长方形的模型适用于其它情形。
再认识一：对建立模型过程或模型求解过程分析，
找出建模关键而形成通用模型。
日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元 。考虑20天的生产。
10天生产一次，每次1000件，贮存费 900+800+…+100 =4500元，准备费5000元。总计 19000元。 每天费用950元
先9天生产一次，这次生产900件，贮存费 800+700+…+100 =3600元，准备费5000元，小计 8600元。 再11天生产一次，这次生产1100件，贮存费 1000+900+…+100 =5500元，准备费5000元，小计 10500元。总计191平0均0元每。天费用955元
模型建立
贮存量表示为时间的函数 q(t),显然是以T为周期的函数.
q
t=0生产Q件，q(0)=Q, q(t)以 需求速率r递减，q(T)=0. Q
r
Q rT
0
T
t
由周期性可知要计算总费用只要计算一个周期的总费用 .由于准备费为常数,下面的重点是要计算贮存费.注意到
q(t)是变化的,故计算贮存费需用元素法(定积分).以t为积
x
蛛 网 模 型 yk f (xk ) xk1 h( yk ) yk g(xk1)
设x1偏离x0
x1 y1 x2 y2 x3
xk x0 , yk y0
xk x0 , yk y0
P1 P2
P3
P0
P P P
1
2
3
P 0
P0是稳定平衡点
P0是不稳定平衡点
y
f
y2 P3