2003年山东省初中数学竞赛试题

99-04年山东省初中数学竞赛试题(含答案).(数学试题竞赛模拟)

1999年山东省初中数学竞赛试题 (1)2000年山东省初中数学竞赛试题 (5)2001年山东省初中数学竞赛试题 (7)2002年山东省初中数学竞赛试题 (11)2003年山东数学竞赛试题 (14)2004年山东省初中数学竞赛试题 (17)1999年山东省初中数学竞赛试题一、选择题(每小题6分，共48分．下面各题给出的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在题后的括号内．)1．已知命题“有一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形”，则( )．(A)这个命题和它的否命题都是真命题(B)这个命题和它的否命题都是假命题(C)这个命题是真命题，而它的否命题是假命题(D)这个命题是假命题，而它的否命题是真命题2．一项工程，甲建筑队单独承包需要a 天完成，乙建筑队单独承包需要b 天完成．现两队联合承包，那么完成这项工程需要( )． (A)b a 1+ 天 (B) )b 1a 1(+天 (c) b a ab +天 (D) ab1天 3．如图，∠CGE ＝α，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F ＝( )．(A)360°-α (B)270°-α (C)180°+α (D)2α4．如果｜x|+||x|-1｜＝l ，那么( )．(A)(x+1)(x-1)>0 (B)(x+1)(x-1)<0(C)(x+1)(x-1)≥0 (D)(x+1)(x-1)≤05．与212-171最接近的整数是( )．(A)5 (B)6 (C)7 (D)86．已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且d c b a < ，且A ＝dc d -b a b ++与0的大小关系是( )． (A)A>0 (B)A ≥0 (C)A<O (D)A ≤07．若方程p -x ＝x 有两个不相等的实数根，则实数P 的取值范围是( )．(A)p ≤0 (B)p<41 (C)O ≤P<41 (D)P ≥41 8．如图，S △AFG ＝5a ，S △ACG ＝4a ，S △BFG =7a ，则S △AEG ＝( )．(A)1127a (B) 1128a (c) 1129a (D) 1130a 二、填空题(每小题8分，共32分)1．已知，|x+y-5|+4-y 2x +＝0，则yx ＝2．已知a 、b 、c 为不等于零的实数，且a+b+c ＝0，则a(c 1b 1+)+ b(a 1c 1+)+c(b 1a 1+)的值为 ·3.如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝AD ，若这个四边形的面积为12，则BC+CD ＝4．如图，在矩形ABCD 的边AB 上有一点E ，且23EB AE =,DA 边上有一点F ，且EF ＝18，将矩形沿EF 对折，A 落在边BC 上的点G ，则AB=三、(本题满分20分)如图，AD 是Rt △ ABC 的斜边BC 上的高，P 是AD 的中点，连结BP 并延长交AC 于E.已知AC:AB ＝k ，求AE:EC ．四、(本题满分20分)已知方程x 2+a 1x+a 2a 3＝0与方程x 2+a 2x+a l a 3＝0有且只有一个公共根．求证：这两个方程的另两个根(除公共根外)是方程x 2+a 3x+a 1a 2＝0的根．五、(本题满分30分)现有质量分别为9克和13克的砝码若干只，在天平上要称出质量为3克的物体，问至少要用多少只这样的砝码才能称出?并证明你的结论．1 999年山东省初中数学竞赛试题参考答案、一、1．D ．2.C. 3．D ．4．D ．5．B ．6．A ．7 .C 8．D ．二、1．x=-1y=6．y x =1/62．a+b+c=0， b+c=-a ，c+a=-b ，a+b=-c ．原式=-33．解法l ：延长CB 到E ，使BE=DC ，连结AE ，AC2000年山东省初中数学竞赛试题1．已知关于x 的方程mx+2=2(m —x)的解满足|x-21 |-1=0，则m 的值是 ( ) A.10或52 B.10或-52 c.-10或52 D.-10或52- 2．设直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，若c-b=b-a>O ，则 ( )A.1/2B.1/3C.1/4D.1/53．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x ％，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x ％，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了 ( )A.2x ％B. 1+2x ％ C(1+x ％)x ％ D.(2+x ％)x ％4．甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a 元，又从另—个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b 元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是 ( )A .a>b b ．a<b C. a=b D.与a 和b 的大小无关5．若D 是△ABC 的边AB 上的一点，么ADC=么BCA,AC=6，DB=5，△ABC 的面积是S ，则△BCD 的面积是 ( ) A.S 53 B. S 74 C ．S 95 D ．S 116 6．如图，AE ⊥AB 且AE=AB ，BC ⊥CD 且BC=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S 是( )A ．50 B.62 C ．65 D ．687．如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数字为a ，右图轮子上方的箭头指着的数字为b ，数对(a ，b)所有可能的个数为n ，其中a+b 恰为偶数的不同数对的参数为m ，则m/n 等于 ( )A ．21B ．61C ．125D ．43 8．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD 的顶点，A 、C 同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2000次相遇在边 ( )A ．AB 上 B.BC 上 C ．CD 上D ．DA 上9．已知2+x a 与2-x b 和等于442-x x ，则a= ，b= 10．如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 上的一点，且AE=31AD ，CE 交AB 于点F ．若AF=1．2cm ，则AB= cm11．在梯形ABCD 中，AB ∥CD,AC ．BD 相交于点O ，若AC=5，BD=12，中位线长为213，△AOB 的面积为S 1，△COD 的面积为S 2，则21S S += 12．已知矩形A 的边长分别为a 和b ，如果总有另一矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长之比与面积之比都等于k ，则k 的最小值为．13．如图，AB ∥EF ∥CD ，已知 AC+BD=240，BC=100，EC+ED=192，求CF ．14．已知x 、y 均为实数，且满足xy+x+y=17，x 2y+xy 2=66，求x 4+x 3y+x 2y 2+xy 3+y 4的值．15．将数字1，2，3，4，5，6，7，8分别填写到八边形ABCDEFGH 的8个顶点上，并且以S 1，S 2，…，S 8分别表示(A ，B ，C)，(B ，C ，D)，…，(H ，A ，B)8组相邻的三个顶点上的数字之和．(1)试给出一个填法，使得S 1，S 2，…，S 8都大于或等于12；(2)请证明任何填法均不可能使得S 1，S 2，…，S 8都大于或等于13．2000年山东省初中数学竞赛答案1．A 2．C 3．D 4．A 5．C 6．A 7．C 8．A9．2；2 10．6 11．30 12．2)(4b a ab +15．(1)不难验证，如图所示填法满足．s1，s2，…s8都大于或等于12．(2)显然，每个顶点出现在全部8组3个相邻顶点组的3个组中，所以有s1+S2+…+S8= (1+2+3+…+8)·3=108．如果每组三数之和都大于或等于13，因13·8=104，所以至多有108-104＝4个组的三数之和大于13．由此我们可得如下结论：(1)相邻两组三数之和一定不相等．设前一组为(i，j，k)，后一组为(j，k，l)．若有i+j+k=j+k+l，则l=i，这不符合填写要求；(2)每组三数之和都小于或等于14．因若有一组三数之和大于或等于15，则至多还有另外两个组，其三数之和大于13，余下5个组三数之和等于13，必有相邻的两组相等，这和上述结论(1)不符．因此，相邻两组三数之和必然为13或14．不妨假定1填在B点上，A点所填为i，C点所填为j．(1)若S1=i+1+J=13，则．s2=1+j+l=14，S3=j+l+k=13，因J>1，这是不可能的．(2)若sl=i+1+j=14，则S2=1+j+(i-1)=13，S=j+(i-1)+2：14，s4=(i-1)+2+(j-1)=13，这时S5=14，只能是S=2+(j-1)+i，i重复出现：所以不可能有使得每组三数之和均大于或等于13的填法．2001年山东省初中数学竞赛试题一、选择题(每小题6分，共48分)下面各题给出的选项中，只有一项是正确的1．某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比进价高a％，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b％出售，那么，调价后每件衬衣的零售价是 ( )A．m(1+a％)(1—b％)元 B．m·a％(1—b％)元C．m(1+a％)b％元 D．m(1+a％·b%)元2．如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD．则CD长度的最小值是 ( )A．4 B．5 C 6 D．5(5—1)3．在凸n边形中，小于108°的角最多可以有( )A ．3个B 4个C ．5个D ．6个4．方程(x 2+x-1)x+3=1的所有整数解的个数是 ( )A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，分别以AC 、AB 为边，在△ABC 外作正方形ACEF 和正方形AGHB ．作CK⊥AB，分别交AB 和GH 于D 和K ．则正方形ACEF 的面积S 1与矩形AGKD 的面积S 2的大小关系是 ( )A S 1=S 2B S 1>S 2 C. S l <S 2 D ．不能确定，与AC/AB 的大小有关6．甲、乙两人同时从同一地点出发，相背而行，1小时后他们分别到达各自的终点A 与B ．若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A 之后35分钟到达B ．那么，甲的速度与乙的速度之比为 ( )A 3：5 B. 4：3 C. 4：5 D ．3：47．在全体实数中引进一种新的运算*，其规定如下：(1)对任意实数a 、b ，有a*b=(a+1)·(b -1)；(2)对任意实数a ，有a *2==a*a当x=2时，[3*(x *2)]-2*x+1的值为( )A 34 B. 16 C. 12 D ．68．若不等式|x+l|+|x-3|≤a 有解，则n 的取值范围是 ( )A 0<a≤4B a≥4C O<a≤2 D．a≥2二、填空题(每小题8分，共32分)9．如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，在AB 的延长线上任取一点E ，连结OE 交BC 于点F ．若AB=a ，AD=c ，BE=b ，则BF= ．10．若S=，则S 的整数部分是11．若四边形的一组对边中点的连线的长为d ，另一组对边的长分别为a 、b ，则d 与2ba 的大小关系是．12．如图，O 为某公园大门，园内共有9处景点A 1、A 2、……An．景点间的道路如图所示，游客只能按图上所示的箭头方向从一个景点到达另一个景点．游客进入公园大门之后，可按上述行进要求游览其中部分或全部景点．一旦返回大门O 处，游览即告结束(每个景点只能游览一次)．那么，游客所能选择的不同的游览路线共有条．三、解答题(每小题20分，共60分)13．关于x 的方程kx 2-(k-1)x+l=0有有理根，求整数k 的值．14．如图，在□ABCD 中，P 1、P 2、…、P n-1是BD 的n 等分点，连结AP 2并延长交BC 于点E ，连结AP n-2并延长交．CD 于点F ．(1)求证：EF∥BD；(2)设□ABCD 的面积是S ．若S △AEF =3s/8，求n 的值．15．有12位同学围成一圈，其中有些同学手中持有鲜花，鲜花总数为13束，他们进行分花游戏，每次分花按如下规则进行：其中一位手中至少持有两束鲜花的同学拿出两束鲜花分给与其相邻的左右两位同学，每人一束．试证：在持续进行这种分花游戏的过程中，一定会出现至少有7位同学手中持有鲜花的情况．2001年山东省初中数学竞赛一、1．C 2．B 3．B 4．C 5．A 6．D 7．D 8．B15．不妨假设开始时手中持有鲜花的同学不足7位．我们以A、A2、A、…、A2按逆时针方向依次分别标记这12位同学．(1)在分花游戏过程中，任何相邻的两位同学一旦其中一位手中持有鲜花，那么，在此后的每次分花之后，他们两人中始终至少有一人手中持有鲜花．事实上，每次分花，如果分花的同学不是这两位同学中的一位，那么，他们俩手中的鲜花只会增加，不会减少．如果他们俩中的一位是分花者，那么，分花后另一位同学一定持有鲜花． (2)任何一位同学不可能手中始终无花，可用反证法证明这一点．不妨假设A1手中始终无花，这意味着A2始终没作为分花者，A2手中鲜花只能增加，不会减少．因总共只有13束鲜花，所以经过有限次分花之后， A2不再接受鲜花．这又意味着经过有限次分花之后，A3不再为分花者．同理可知，再经过有限次分花后，A4不再为分花者．依此类推，经有限次分花之后，全部12位同学无一人为分花者，活动终止．这就与13束鲜花分置于12位同学手中，无论何种情况总能找到与可能分花的同学的事实相矛盾．由(1)、(2)可知，经若干次分花之后，可使任何相邻的两位同学中至少有一位同学手中有花，因此至少有6位同学手中有花．若仅有6位同学手中有花，则手中有花的同学不可能相邻，否则就会有两位手中无花的同学相邻．因此，只要再进行一次分花，至少增加一位手中持花的同学，即至少有7位同学手中持有鲜花．2002年山东省初中数学竞赛试题一、选择题1．磁悬浮列车是一种科技含量很高的新型交通工具．它有速度快、爬坡能力强、能耗低的优点．它每个座位的平均能耗仅为飞机每个座位的平均能耗的三分之一、汽车每个座位的平均能耗的70%．那么汽车每个座位的平均能耗是飞机每个座位平均能耗的( ) (A)73 (B)37 (C) 2110 (D)1021 2．已知a ，b ，c ，d 都是正实数，且d c b a <·给出下列四个不等式：①dc c b a a +>+②d c c b a a +<+ ；③d c d b a b +>+④d c d b a b +<+其怔确的是( ) (A)①③(B)①④(C)②④(D)②③3．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CBD ＝30°，则AD ：DC ＝( ) (A)33 (B)22 (C)2 -l (D)3 -l 4．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还要按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积( )(A)5分 (B)6分 (C)7分 (D)8分5．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，AD ＝8，AB＝7，则BC+CD 等于( ) (A)63 (B)53 (C)43 (D)336．如图，在梯形ABCD 中，AD ∠∠BC ，AD ＝3，BC ＝9，AB ＝6，CD ＝4．若EF ∥BC ，且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，则EF 的长为( ) (A)745 (B)533 (C)539 (D)2157．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝b ，AB ＝c ，若D 、E 分别是AB 和AB 延长线上的两点，BD ＝BC ，CE ⊥CD ，则以AD 和AE 的长为根的一元二次方程是( )(A)x 2-2cx+b 2＝0 (B)x 2-cx+b 2＝0 (C)x 2-2cx+b＝0 (D)x 2一cx+b ＝08．已知实数a ，b ，c 满足a<a<c ，ab+bc+ca ＝0，abc ＝1，则( )(A)|a+b|>|c|， (B)|a+b|<|c|， (C)|a+b|=|c| (D)|a+b|与|c|的大小关系不能确定二、填空题9．M是个位数字不为零的两位数，将M的个位数字与十位数字互换后得另一个两位数N．若M-N恰是某正整数的立方，则这样的M共有个．10．设x1，x2是方程x2-2(k+1)x+k2+2＝0的两个实数根，且(x1+1)(x2+1)＝8，则k的值是．11．已知实数x，y，z满足x+y＝5及z2＝xy+y一9，则x+2y+3z＝12．如图5，P是矩形ABCD内一点，若PA＝3，PB＝4，PC＝5，则PD＝三、解答题13．如图，甲楼楼高16米，乙楼座落在甲楼的正北面，已知当冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°，此时，求：(1)如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?(2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少米?14．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，O是△ABC内一点，点O到△ABC各边的距离都等于l，将△ABC绕点O顺时针旋转45°得△A1B1C1，两三角形公共部分为多边形KLMNPQ．(1)证明：△AKL，△BMN，△CPQ都是等腰直角三角形；(2)求△ABC与△A1B1C1公共部分的面积．15．某乡镇小学到县城参观，规定汽车从县城出发于上午7时到达学校，接参观的师生立即出发去县城．由于汽车在赴校的途中发生了故障，不得不停车修理．学校师生等到7时10分，仍未见汽车来接，就步行走向县城．在行进途中遇到了已经修理好的汽车，立即上车赶赴县城，结果比原定到达县城的时间晚了半小时．如果汽车的速度是步行速度的6倍，问汽车在途中排除故障花了多少时间．参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D D B B C A A 6 l 832 13．(1)设冬天太阳最低时，甲楼最高处A点的影子落在乙楼的C处，那么图中CD的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度．设CE⊥AB于点E，那么在△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝30°，EC＝20米，所以 AE＝ECtan∠ACE＝20tan30°≈11．6(米)．CD＝EB＝AB-AE＝4．4(米)．(2)设点A的影子落到地面上某一点C，则在△ABC中，∠ACB＝30°，AB＝16米，所以 BC＝ABcot∠ACB＝16cot30°≈27．7(米)，所以，要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至少要27．7米．14．(1)连结OC，DC1，分别交PQ，NP于点D，E，根据题意得∠COC1＝45°．因为点O 到AC 和BC 的距离都等于1-，所以OC 是∠ACB 的平分线．因为 ∠ACB ＝90°，所以 ∠OCE ＝∠OCQ ＝45°．同理 ∠OC l D ＝∠OC 1N ＝45°，所以 ∠OEC ＝∠ODC l ＝90°，∠CQP ＝∠CPQ ＝∠C 1PN ＝∠C 1NP ＝45°，所以 △CPQ 和△C 1NP 都是等腰直角三角形，所以∠BNM ＝∠C 1NP ＝∠A 1QK ＝∠CQP ＝45°．因为 ∠B ＝∠A 1＝45°，所以 △BMN 和△A 1KQ 都是等腰直角三角形，∠B l ML ＝∠BMN ＝∠AKL ＝∠A 1KQ ＝90°，所以 ∠B 1＝∠A ＝45°，所以 △B 1Am l 和△AKL 也都是等腰直角三角形．(2)在Rt △ODC l 和Rt △OEC 中，因为OD ＝OE ＝1，∠COC1＝45°，所以 OC ＝CC 1＝2 ，CD ＝C 1E ＝2-1，所以 PQ ＝NP ＝2(2-1)＝22-2， CQ=CP-C 1P=C 1N=2(2-1)=2一2，所以 S △CPQ =21 ×(2-2)2=3-22延长CO 交AB 于H ．因为①平分∠ACB ，且AC ＝BC ，所以CH ⊥AB ，所以 CH=CO+OH=2+1，所以AC ＝BC ＝A l C l ＝B 1C 1＝2(2+1)＝2+2，所以 S=21×(2+2)2＝3+22 因为A l Q=BN=(2+2)-(22-2)-(2一2)=2，所以KQ ＝MN ＝22＝2，所以 S △BMN ＝21 ×(2)2＝1．因为 AK=(2+2)-(2-2)-2=2．所以 S △AKL =21 ×2)2=1，所以S 多边形KLMNPO -S △ABC +S △CPQ -S △BMN-S △AKL =(3+22)-(3-22)-1-1=42-2．15．假定排除故障花时x 分钟．如图9，设点A 为县城所在地，点C 为学校所在地，点B 为师生途中与汽车相遇之处．在师生们晚到县城的30分钟中，有10分钟是因晚出发造成的，还有20分钟是由于从C 到B 由步行代替乘车而耽误的．汽车所晚的30分钟，一方面是由于排除故障耽误了x 分钟，但另一方面由于少跑了B 到C 之间的一个来回而省下了一些时间．已知汽车速度是步行速度的6倍，而步行比汽车从C 到B 这段距离要多花20分钟．由此知汽车由C 到B 应花1-520＝4(分钟) 一个来回省下8分钟，所以有x 一8＝30，x ＝38，即汽车在途中排除故障花了38分钟．2003年山东数学竞赛试题一、选择题(本题共8小题．每小题6分，满分48分)：下面各题给出的选项中，只有一项是正确的．请将正确选项的代号填在题后的括号内．1．如果a ，b ，c 是非零实数，且a+b+c=O ，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为( )．A ．0B ．1或-1C ．2或-2D ．0或-22．如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是( )．A ．a+lB ．a 2+lC ．a 2+2 a+1 D ．a+22+l 3．甲、乙、丙三人比赛象棋，每局比赛后，若是和棋，则这两人继续比赛，直到分出胜负，负者退下，由另一人与胜者比赛．比赛若干局后，甲胜4局、负2局；乙胜3局、负3局．如果丙负3局，那么丙胜( )．A ．O 局B ．1局C ．2局D ．3局4．关于x 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+->+a x x x x 235332只有5个整数解．则a 的取值范围是( )． A ．-6<a<-211 B ．-6≤a<-211 c ．-6<a≤-211 D ．-6≤a ≤-211 5．如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a=l ，则这个正方形的面积为( )．A ．2537+B ．253+C ．215+ D ．(1+2 )2 6．某种产品按质量分为l 0个档次．生产最低档次产品，每件获利润8元．每提高一个档次，每件产品利润增加2元．用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件．如果获利润最大的产品是第k 档次(最低档次为第一档次，档次依次随质量增加)，那么k 等于( )．A ．5B ．7C ．9D ．107．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A=30°，∠C 的平分线与∠B 的外角的平分线交于E 点，连结AE ，则∠AEB 是( )．A ．50° B．45° C．40° D．35°8．已知四边形ABCD ，从下列条件中：(1)AB∥CD； (2)BC∥AD； (3)AB=CD ； (4)BC=AD ；(5)∠A =∠C；(6)∠B =∠D．任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况有( )．A ．4种B ．9种C ．1 3种D ．1 5种二、填空题(本题共4小题，每小题8分，满分32分)：将答案直接填写在对应题目的横线上．9．已知-l<a<0，化简4)1(4)1(22+-+-+aa a a 得． 10．如图，已知AD=DB=BC ．如果∠C=α，那么∠ABC=11．甲、乙两厂生产同一种产品，都计划把全年的产品销往济南，这样两厂的产品就能占有济南市场同类产品的43．然而实际情况并不理想．甲厂仅有21的产品、乙厂仅有31 的产品销到了济南，两厂的产品仅占了济南市场同类产品的31 ．则甲厂该产品的年产量与乙厂该产品的年产量的比为12．假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择：甲种客车每辆车有40个座位，租金400元；乙种客车每辆有50个座位，租金480元．则租用该公司客车最少需要租金．三、解答题(本题共3小题，每小题20分，满分60分)：13．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°CD 是角平分线，DE∥BC 交A C 于点E ，DF∥AC 交BC 于点F ．求证：(1)四边形CEDF 是正方形；(2)CD 2=2AE·BF．14．设方程20022x 2-2003·2001 x -l=0的较大根是r ，方程2001 x 2-2002 x+1=0的较小根是s ，求r-s 的值．15．在1 8×18的方格纸上的每个方格中均填入一个彼此不相等的正整数．求证：无论哪种填法，至少有两对相邻小方格(有一条公共边的两个小方格称为一对相邻小方格)，每对相邻的两小方格中所填之数的差均不小于1 0．2003年山东省‘KLT 快灵通杯’初中数学竞赛一、选择题1．A 2．D 3．B 4．C 5．A 6．C 7．B 8．B二、填空题9．一a 2 10．180°一23a 11．2：l 12．3520(1)当a 和b 所在的方格既不同行又不同列时，从 a 所在的方格出发，可以通过一系列向相邻格(上下或左右)的移动而达到6所在的格．如图(1)所示．由于a 和b 既不同行又不同列，总存在两条完全不同的路线(两路线途径的方格无一相同)，由a 所在的方格到达b 所在的方格．显然，无论是线路甲，还是线路乙，其相邻移动的次数均不超过17+17=34次．若在线路甲上任何相邻两方格所填之数的差均小于或等于9，则323≤b -a≤34×9=306．这与事实不符．路线乙的情况完全相同，所以，在路线甲和路线乙中各存在一对相邻小方格，其中所填之数的差均不小于10．(2)当a 和b 所在的方格同行或同列时．与情况1类似，如图(2)所示，同样可以找到两条完全不同的，移动次数不大于34次的路线甲和路线乙，其中各存在一对相邻小方格，其中所填之数的差均不小于10．A D CB E MC B B ’ A 1 AD A B C2004年山东省初中数学竞赛试题一、选择题(8×6=48分)1．已知n 是奇数，m 是偶数，方程组⎩⎨⎧=+=+m y x n y 28112004有整数解x o ,y o ,则( ) A 、x o ,y o 均为偶数 B 、x o ,y o 均为奇数 C 、x o ,是偶数，x o ,是奇数 D 、x o ,是奇数，x o ,是偶数2.若ab ≠0，则aba b a 135-=--成立的条件是( ) A 、a>0,b>0 B 、a<0,b>0 C 、a>0,b<0 D 、a<0,b<03.设a,b,c,d 都是非零实数，则四个数：-ab,ac,bd,cd ( )A 、都是正数B 、都是负数C 、是两正两负D 、是一正三负或一负三正4.如图，矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，M 是BC 的中点，DE ⊥AM ，E 为垂足，则DE=( )A 、2242ba ab+ B 、224b a ab + C 、2242b a ab+ D 、224b a ab + 5.某商店出售某种商品每件可获利m 元，利润率为20%。

山东省2003年中考数学试题评价报告

2003年中考数学试题评价报告本评价组收到济南、青岛、淄博、烟台、潍坊、济宁、泰安、威海、临沂、滨州、菏泽11份数学学科初中毕业、升学考试试卷以及部分地市报送的相关材料。

各单位报送的材料如下表：一、背景描述上述11份试卷均采用闭卷、笔试的形式，这是由数学学科的特点所决定的。

从各市的试卷可知，总题数在24～30道，客观题一般在16～22道；主观题一般在8道左右，最多的有10道题。

总题量及客观题的数量与2002年相当。

主观题数量与2002年基本保持一致，分值有所增加。

各市的试卷中，客观题主要有选择题、填空题两种题型，主观题除了传统的题型外，还有近几年出现的阅读理解题、推理判断题、画图设计题、开放题、实验探究题和动手操作题以及评价性问题等。

各题型分值、比例见下表：二、评价标准本项评价依据教育部《关于初中毕业、升学考试改革的指导意见》和《关于积极推进中小学评价与考试制度改革的通知》的精神，遵循《九年义务教育全日制中学数学教学大纲（试用修订版）》的内容范围与要求，体现《全日制义务教育数学课程标准（试验稿）》的理念。

中考数学试卷的评价标准是：试卷要有利于全面推进素质教育，有利于推进国家基础教育课程改革；有利于体现义务教育的性质，突出初中数学课程的基础性、普及性和发展性，升学试卷要有利于高中（中专）选拔优秀学生；并对初中数学教学给予正确的导向，有利于促进学生生动、活泼、主动的学习，有助于学生创新意识和实践能力的培养。

数学试题应关注学生的发展和数学素养的养成，注重考查数学核心内容与基本能力；应突出考查对数学思想方法的理解与简单应用；应重视考查获取数学信息、认识数学对象的基本过程与方法；应有利于渗透考查学生用数学、做数学的意识；应突出试题的教育价值，体现全面提高学生素质的导向，促进教师教学方式的改革，促进学生学习方式的变更；应合理设计各种试题，为学生探索、创新和发挥自己的水平提供机会与空间。

命题要科学、严谨，不出人为编造的偏题、怪题。

2003年全国初中数学联赛预赛暨2002年山东省初中数学竞赛试题（有答案）

2003年全国初中数学联赛预赛暨2002年⼭东省初中数学竞赛试题（有答案）2003年全国初中数学联赛预赛暨 2002年⼭东省初中数学竞赛试题⼀、选择题(本题共8⼩题,每⼩题6分,满分48分)1.磁悬浮列车是⼀种科技含量很⾼的新型交通⼯具.它有速度快、爬坡能⼒强、能耗低的优点.它每个座位的平均能耗仅为飞机每个座位的平均能耗的三分之⼀、汽车每个座位的平均能耗的70%.那么汽车每个座位的平均能耗是飞机每个座位平均能耗的( )(Ａ)37 (Ｂ)73 (Ｃ)1021 (Ｄ)21102.已知ａ,ｂ,ｃ,ｄ都是正实数,且ａｂ <ｃｄ .给出下列四个不等式: ①ａａ+ｂ >ｃｃ+ｄ②ａａ+ｂ <ｃｃ+ｄ③ｂａ+ｂ >ｄｃ+ｄ④ｂａ+ｂ <ｄｃ+ｄ其中正确的是( )(Ａ)①③ (Ｂ)①④ (Ｃ)②④ (Ｄ)②③3.如图,在等腰直⾓三⾓形ＡＢＣ中,∠Ｃ=90°,∠ＣＢＤ=30°,则ＡＤＤＣ的值是( ) (Ａ)3 3 (Ｂ) 2 2(Ｃ) 2 －1 (Ｄ) 3 －1 4.世界杯⾜球赛⼩组赛,每个⼩组4个队进⾏单循环⽐赛,每场⽐赛胜队得3分,败队得0分,平局时两队各得1分.⼩组赛完以后,总积分最⾼的两个队出线进⼊下轮⽐赛.如果总积分相同,还要按净胜球数排序.⼀个队要保证出线,这个队⾄少要积( )(Ａ)5分 (Ｂ)6分 (Ｃ)7分 (Ｄ)8分5.如图,四边形ＡＢＣＤ中,∠Ａ=60°,∠Ｂ=∠Ｄ=90°,ＡＤ=8,ＡＢ=7,则ＢＣ+ＣＤ等于( )(Ａ)6 3 (Ｂ)5 3 (Ｃ)4 3 (Ｄ)3 36.如图,在梯形ＡＢＣＤ中,ＡＤ∥ＢＣ,ＡＤ=3,ＢＣ=9,ＡＢ=6,ＣＤ=4.若ＥＦ∥ＢＣ,且梯形ＡＥＦＤ与梯形ＥＢＣＦ的周长相等,则ＥＦ的长为( )(Ａ)45 7 (Ｂ) 33 5 (Ｃ) 39 5 (Ｄ) 1527.如图,在ＲｔＡＢＣ中,∠ＡＣＢ=90°,ＡＣ=ｂ,ＡＢ=ｃ,若Ｄ、Ｅ分别是ＡＢ和ＡＢ延长线上的两点,ＢＤ=ＢＣ,ＣＥ⊥ＣＤ,则以ＡＤ和ＡＥ的长为根的⼀元⼆次⽅程是()(Ａ)ｘ2－2ｃｘ+ｂ2=0(Ｂ)ｘ2－ｃｘ+ｂ2=0(Ｃ)ｘ2－2ｃｘ+ｂ=0(Ｄ)ｘ2－ｃｘ+ｂ=08.已知实数ａ、ｂ、ｃ满⾜ａ<ｂ<ｃ,ａｂ+ｂｃ+ｃａ=0,ａｂｃ=1,则()(Ａ)｜ａ+ｂ｜>｜ｃ｜(Ｂ)｜ａ+ｂ｜<｜ｃ｜(Ｃ)｜ａ+ｂ｜=｜ｃ｜(Ｄ)｜ａ+ｂ｜与｜ｃ｜的⼤⼩关系不能确定⼆、填空题(本题共4⼩题,每⼩题8分,满分32分)9.Ｍ是个位数字不为零的两位数,将Ｍ的个位数字与⼗位数字互换后得另⼀个两位数Ｎ,若Ｍ－Ｎ恰是某正整数的⽴⽅,则这样的Ｍ共有＿＿＿＿个.10.设ｘ1、ｘ2是⽅程ｘ2-2 (ｋ+1)ｘ+ｋ2+2=0的两个实数根,且(ｘ1+1) (ｘ2+1)=8, 则ｋ的值是＿＿＿＿.11.已知实数ｘ、ｙ、ｚ满⾜ｘ+ｙ=5及ｚ2=ｘｙ+ｙ－9,则ｘ+2ｙ+3ｚ=＿＿＿＿.12.如图,Ｐ是矩形ＡＢＣＤ内⼀点,若ＰＡ=3,ＰＢ=4,ＰＣ=5,则ＰＤ=＿＿＿＿.三、解答题(本题共3⼩题,每⼩题20分,满分60分)13.如图,甲楼楼⾼16⽶,⼄楼坐落在甲楼的正北⾯,已知当地冬⾄中午12时太阳光线与⽔平⾯的夹⾓为30°,此时,求:(1)如果两楼相距20⽶,那么甲楼的影⼦落在⼄楼上有多⾼?(2)如果甲楼的影⼦刚好不落在⼄楼上,那么两楼的距离应当是多少⽶?14.如图, △ＡＢＣ是等腰直⾓三⾓形,∠Ｃ=90°,Ｏ是△ＡＢＣ内⼀点,点Ｏ到△ＡＢＣ各边的距离都等于1,将△ＡＢＣ绕点Ｏ顺时针旋转45°得△Ａ1Ｂ1Ｃ1,两三⾓形公共部分为多边形ＫＬＭＮＰＱ.(1)证明: △ＡＫＬ、△ＢＭＮ、△ＣＰＱ都是等腰直⾓三⾓形;(2)求△ＡＢＣ与△Ａ1Ｂ1Ｃ1公共部分的⾯积.15.某乡镇⼩学到县城参观,规定汽车从县城出发于上午7时到达学校,接参观的师⽣⽴即出发去县城.由于汽车在赴校的途中发⽣了故障,不得不停车修理. 学校师⽣等到7时10分,仍未见汽车来接,就步⾏⾛向县城. 在⾏进途中遇到了已经修理好的汽车,⽴即上车赶赴县城, 结果⽐原定到达县城的时间晚了半⼩时. 如果汽车的速度是步⾏速度的6倍,问汽车在途中排除故障花了多少时间.参考解答⼀、选择题1 Ｃ2 Ｄ3 Ｄ4 Ｂ5 Ｂ6 Ｃ7 Ａ8 Ａ⼆、填空题9 6 10 1 11 8 12 3 2 三、解答题13 (1)设冬天太阳最低时,甲楼最⾼处Ａ点的影⼦落在⼄楼的Ｃ处, 那么图(1)中ＣＤ的长度就是甲楼的影⼦在⼄楼上的⾼度.设ＣＥ⊥ＡＢ于点Ｅ,那么在△ＡＥＣ中,∠ＡＥＣ=90°,∠ＡＣＥ=30°,ＥＣ=20⽶.∴ＡＥ=ＥＣ·ｔａｎ∠ＡＣＥ=20·ｔａｎ30°=20×33≈11.6(⽶). ＣＤ=ＥＢ=ＡＢ－ＡＥ=16－11.6=4.4(⽶).(2)设点Ａ的影⼦落到地⾯上⼀点Ｃ(如图(2)),则在△ＡＢＣ中,∠ＡＣＢ=30°,ＡＢ=16⽶,∴ＢＣ=ＡＢ·ｃｏｔ∠ＡＣＢ=16×ｃｏｔ30°=16×3≈27.7(⽶).所以，要使甲楼的影⼦不影响⼄楼，那么⼄楼距离甲楼⾄少要27.7⽶.14 (1)连结ＯＣ,ＯＣ1,分别交ＰＱ、ＮＰ于点Ｄ,Ｅ,根据题意得∠ＣＯＣ1=45°. ∵点Ｏ到ＡＣ和ＢＣ的距离都等于1, ∴ＯＣ是∠ＡＣＢ的平分线. ∵∠ＡＣＢ=90°,∴∠ＯＣＥ=∠ＯＣＱ=45°. 同理∠ＯＣ1Ｄ=∠ＯＣ1Ｎ=45°, ∴∠ＯＥＣ=∠ＯＤＣ1=90°.∴∠ＣＱＰ=∠ＣＰＱ=∠Ｃ1ＰＮ=∠Ｃ1ＮＰ=45°. ∴△ＣＰＱ和△Ｃ1ＮＰ都是等腰直⾓三⾓形.∴∠ＢＮＭ=∠Ｃ1ＮＰ=45°, ∠Ａ1ＱＫ=∠ＣＱＰ=45°. ∵∠Ｂ=45°,∠Ａ1=45°,∴△ＢＭＮ和△Ａ1ＫＱ都是等腰直⾓三⾓形.∴∠Ｂ1ＭＬ=∠ＢＭＮ=90°, ∠ＡＫＬ=∠Ａ1ＫＱ=90°. ∴∠Ｂ1=45°,∠Ａ=45°,∴△Ｂ1ＭＬ和△ＡＫＬ也都是等腰直⾓三⾓形.(2)在Ｒｔ△ＯＤＣ1和Ｒｔ△ＯＥＣ中, ∵ＯＤ=ＯＥ=1,∠ＣＯＣ1=45°,∴ＯＣ=ＯＣ1= 2 . ∴ＣＤ=Ｃ1Ｅ= 2 －1.∴ＰＱ=ＮＰ=2( 2 －1)=2 2 －2,ＣＱ=ＣＰ=Ｃ1Ｐ=Ｃ1Ｎ=2－ 2 . ∴Ｓ△ＣＰＱ=12 ×(2－ 2 )2=3－2 2 .延长ＣＯ交ＡＢ于Ｈ.∵ＣＯ平分∠ＡＣＢ,且ＡＣ=ＢＣ, ∴ＣＨ⊥ＡＢ.∴ＣＨ=ＣＯ+ＯＨ= 2 +1.∴ＡＣ=ＢＣ=Ａ1Ｃ1=Ｂ1Ｃ1= 2 ( 2 +1)=2+ 2 . ∴Ｓ△ＡＢＣ= 12×(2+ 2 )2=3+2 2 .∵Ａ1Ｑ=ＢＮ=(2+ 2 )－(2 2 －2)－(2－ 2 )=2,∴ＫＱ=ＭＮ= 22 = 2 ,∴Ｓ△ＢＭＮ=12×( 2 )2=1.∵ＡＫ=(2+ 2 )－(2－ 2 )－ 2 = 2 , ∴Ｓ△ＡＫＬ=12×( 2 )2=1.∴Ｓ多四边形ＫＬＭＮＰＱ=Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ△ＣＰＱ－Ｓ△ＢＭＮ－Ｓ△ＡＫＬ= (3+2 2 )－(3－2 2 )－1－1 = 4 2 －2.15 假定排除故障花时ｘ分钟.如图,设点Ａ为县城所在地,点Ｃ为学校所在地,点Ｂ为师⽣途中与汽车相遇之处.在师⽣们晚到县城的30分钟中,有10分钟是因晚出发造成的,还有20分钟是由于从Ｃ到Ｂ由步⾏代替乘车⽽耽误的.汽车所晚的30分钟,⼀⽅⾯是由于排除故耽误了ｘ分钟,但另⼀⽅⾯由于少跑了Ｂ到Ｃ之间的⼀个来回⽽省下了⼀些时间.已知汽车速度是步⾏速度的6倍,⽽步⾏⽐汽车从Ｃ到Ｂ这段距离要多花20分钟.由此知汽车由Ｃ到Ｂ应花206－1=4(分钟).⼀个来回省下8分钟,所以有ｘ－8=30,ｘ=38,即汽车在途中排除故障花了38分钟.。

2003年山东数学中考试题

＊考试时间120分钟，试卷满分120分。

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，将正确答案的序号填入题后的括号内．每小题2分，共20分）1．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）A．B．C D2．在平面直角坐标系中，点P（－1，1）关于x轴的对称点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为1和5，圆心距为3，则两圆的位置关系是（）A．相交B．内含C．内切D．外切4．在下面四种正多边形中，用同一种图形不能平面镶嵌的是（）A．B．C．D．5．已知2是关于x的方程23202x a-=的一个根，则21a-的值是（）A．3 B．4 C．5 D．66．关于x的方程210x+=＋有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞-1 B．k≥-1 C．k＞1 D．k≥7．如图，在同心圆中，两圆半径分别为2、1，∠AOB＝120°，）则阴影部分的面积为A．4πB．2πC．43πD．π8．已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数kbyx=的图象在A．第一、二象限B．第三、四象限（）C．第一、三象限D．第二、四象限第7题图9．已知圆锥的侧面展开图的面积是15πcm 2，母线长是5cm ，则圆锥的底面半径为（）A ．32cm B ．3cm C ．4cm D ． 6cm10．如图，射线l 甲、l 乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与时间的函数关系，则他们行进的速度关系是（）A ．甲比乙快B ．乙比甲快C ．甲、乙同速D ．不一定二、填空题（每小题2分，共20分）11．在函数2y x =-中，自变量x 的取值范围是．12．若方程210x x +-=的两根分别为12x x 、，则2212x x += ． 13．一组数据9，5，7，8，6，8的众数和中位数依次是．14．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，若AB=9， BE=1，则CD ＝．15．如果一个正多边形的内角和是900°，则这个多边形是正边形． 16．已知圆的直径为13cm ，圆心到直线l 的距离为6cm ，那么直线l 和这个圆的公共点的个数是． 17．用换元法解方程2220383x x x x+-=+，若设23x x y +=，则原方程可化成关于y 的整式方程为．18．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为． 19．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管，两两相切地堆放在一起，则其最高点到地面的距离是．20．在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 分别是则∠BAC 的度数为．第10题图19题图ABE DC O 第14题图． ABPCO第18题图．三、（第21题6分,第22题6分,第23题10分,共22分）21．当x =2，y =3-的值．22．如图，已知：AB．求作：（1）确定AB的圆心O ．（2）过点A 且与⊙O 相切的直线．（注：作图要求利用直尺和圆规，不写作法，但要求保留作图痕迹）23．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请你根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：（1）填充频率分布表中的空格；（2）补全频率分布直方图；（3）在该问题中的样本容量是多少？答：．（4）全体参赛学生中，竞赛成绩落在哪组范围内的人数最多？（不要求说明理由）答：．（5）若成绩在90分以上（不含90分）为优秀，则该校成绩优秀的约为多少人？答：．频率分布表⌒ ⌒ 成绩（分）A B第22题图四、（10分）24．如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使用的测量工具有皮尺、测倾器．（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案．具体要求如下：①测量数据尽可能少．．．．；②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ表示）．（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示，测倾器高度忽略不计）．第24题图五、（10分）25．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？)第25题图六、（12分）26．某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观．如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响．但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入．因此，博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数．在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系．在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数是多少？门票价格应是多少元？第26题图人数（人）七、（12分）27．（1）如图（a ），已知直线AB 过圆心O ，交⊙O 于A 、B ，直线AF 交⊙O 于F （不与B 重合），直线l 交⊙O 于C 、D ，交AB 于E ，且与AF 垂直，垂足为G ，连结AC 、AD ．求证：①∠BAD ＝∠CAG ；②AC ·AD ＝AE ·AF ．（2）在问题（1）中，当直线l 向上平行移动，与⊙O 相切时，其他条件不变．①请你在图（b ）中画出变化后的图形，并对照图（a ），标记字母；②问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．图(a)BO AFDC G E l· BO A图(b)第27题图·八、（14分）28．已知：如图，⊙D 交y 轴于A 、B ，交x 轴于C ，过点C的直线：8y =--与y 轴交于P ．（1）求证：PC 是⊙D 的切线；（2）判断在直线PC 上是否存在点E ，使得S △EOP ＝4S △CDO ，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当直线PC 绕点P 转动时，与劣弧AC交于点F （不与A 、C 重合），连结OF ，设PF ＝m ，OF ＝n ，求m 、n 之间满足的函数关系式，并写出自变量n 的取值范围．⌒ 第28题图。

2003年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题解答

2003年“TRULY ®信利杯”全国初中数学竞赛试题参考答案与评分标准一、选择题（每小题6分，满分30分）1．D由⎩⎨⎧=-+=--,072,0634z y x z y x 解得⎩⎨⎧==.2,3z y z x 代入即得.2．D因为20×3<72.5<20×4，所以根据题意，可知需付邮费0.8×4=3.2（元）.3．C如图所示，∠B +∠BMN +∠E +∠G =360°，∠FNM +∠F +∠A +∠C =360°，而∠BMN +∠FNM =∠D ＋180°，所以∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G =540°.4．D显然AB 是四条线段中最长的，故AB =9或AB =x 。

（1）若AB =9，当CD =x 时，222)51(9++=x ，53=x ；当CD =5时，222)1(59++=x ，1142-=x ；当CD =1时，222)5(19++=x ，554-=x .（2）若AB =x ，当CD =9时，222)51(9++=x ，133=x ；当CD =5时，222)91(5++=x ，55=x ；当CD =1时，222)95(1++=x ，197=x .故x 可取值的个数为6个.5．B设最后一排有k 个人，共有n 排，那么从后往前各排的人数分别为k ，k +1，k +2，…，k +（n －1），由题意可知1002)1(=-+n n kn ，即()[]20012=-+n k n .N MAB CEFG O C DAB因为k ，n 都是正整数，且n ≥3，所以n <2k +（n －1），且n 与2k +（n －1）的奇偶性不同. 将200分解质因数，可知n =5或n =8. 当n =5时，k =18；当n =8时，k =9. 共有两种不同方案.6．23-. 4341442141212222--=-+--=---++x x x x x x ＝234)31(32-=-+-。

历年初中数学竞赛真题库含答案

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223y xy x y xy x +--+的值是（A ）3 ；（B ）31；（C ）2；（D ）35．答（）２．如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10；（B ）12；（C ） 16；（D ）18．答（）３．方程012=--x x 的解是（A ）251±；（B ）251±-；（C ）251±或251±-；（D ）251±-±．答（）４．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-；（Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -；（Ｄ）11991)1(--n ．答（）５．若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（）６．若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（）７．如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（）８．在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则（Ａ）21< c < 2 ；（Ｂ）0< c ≤21；答（）11=S 3S =132=S（C ）c > 2；（D ）c = 2．答（）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是．２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+acb 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第二试x + y ， x － y ， x y ，yx四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC 中，AB ＜AC ＜BC ，D 点在BC 上，E 点在BA 的延长线上，且BD ＝BE ＝AC ，ΔBDE 的外接圆与ΔABC 的外接圆交于F 点（如图）．求证：BF ＝AF ＋CF三、将正方形ABCD 分割为 2n 个相等的小方格（n 是自然数），把相对的顶点A ，C 染成红色，把B ，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定. 3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7. 答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4. 答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是(A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD ,AB=2CD , ︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10 答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11. 答( ) 二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(baa b . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N. 1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论: Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值. 其中正确的是(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ 4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B)53124x x x x x >>>>; (C)52413x x x x x >>>>; (D)24135x x x x x >>>>. 5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于5 6.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角, 则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22-(B)22(C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n , p ,那么m :n :p 等于(A)cb a1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin . 答( ) 8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+ 答( ) 二.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB ,AC 分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A ，B 、C ，D ，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0 B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0 〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4 B．等于5C．等于6 D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。

山东省数学竞赛试题七年级

山东省数学竞赛试题七年级一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果a和b是两个不同的质数，那么a+b的奇偶性是？A. 总是奇数B. 总是偶数C. 可能是奇数也可能是偶数D. 无法确定3. 一个数的平方根是它自己，这个数是？A. 0B. 1C. -1D. 1或-14. 一个圆的直径是14cm，那么它的半径是？A. 7cmB. 14cmC. 28cmD. 无法确定5. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，它的体积是？A. abcB. ab+bc+caC. a+b+cD. 无法确定6. 一个数的绝对值是它自己，这个数是？A. 0B. 正数C. 负数D. 0或正数7. 一个等腰三角形的两边长分别是5cm和10cm，那么第三边的长度是？A. 5cmB. 10cmC. 不能构成三角形D. 无法确定8. 一个数的立方根是它自己，这个数是？A. 0B. 1C. -1D. 0, 1, -19. 如果一个数的相反数是-3，那么这个数是？A. 3B. -3C. 0D. 无法确定10. 一个数的倒数是1/2，那么这个数是？A. 2B. 1/2C. -2D. 无法确定二、填空题（每题3分，共15分）11. 一个数的平方是16，这个数是______。

12. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可以是______。

13. 一个三角形的内角和是______度。

14. 一个数的立方是-8，那么这个数是______。

15. 如果一个分数的分子是5，分母是10，那么它的倒数是______。

三、解答题（每题5分，共55分）16. 一个长方体的长、宽、高分别是5cm、3cm和2cm，求它的表面积和体积。

17. 一个直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，求斜边的长度。

18. 一个数列的前三项是1, 1, 2，从第四项开始，每一项都是前三项的和。

求这个数列的前10项。

2003年全国初中数学联赛试题及解答

2003 年全国初中数学联合竞赛试卷
第一试（4 月 13 日上午 8:30—9:30）一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）
1. 2 3 − 2 2 + 17 −12 2 等于（）
A. 5 − 4 2 B. 4 2 −1 C.5 D.1 2.在凸 10 边形的所有内角中，锐角的个数最多是（）
而 x + y + 2003 > 0 ，所以， xy − 2003 = 0 。故 xy = 2003
又因为
2003
为质数，必有
⎧ ⎨ ⎩
x y
=1 = 2003
或
⎧ ⎨ ⎩
x y
= =
2003 1
5、(B)；
如图，连结
BE ，
SΔADE
=1− 3 = 1 44
，设
CE AC
=x
，则
A D
E
SΔABE
2、4；
由题设可知，
⎧ ⎪3 ⎪ ⎨ ⎪⎪⎩3
× ×
⎛ ⎜⎝ ⎛ ⎜⎝
−
3 79 ⎞2 5 ⎠⎟源自⎞2 ⎟⎠+
+m m×
× ⎛ ⎜⎝
⎛ ⎝⎜ 3 7
− ⎞ ⎟⎠
9 5
−
⎞ ⎠⎟ 2
− >
2 0
>
0
,
解得 3 8 < m < 4 13 。故 m = 4
21
45
3、12º；
设∠BAC 的度数为 x ,因 AB = BB ' ，故∠ B ' BD = 2x, ∠CBD = 4x 又 AB = AA' ，
=
SΔABC
+
SΔADC

2003年全国初中数学联合竞赛试题及解答

2
为使方程有正整数根要求 4 y 50 4 y 2 y 4 2500 99 y 是完全平方数．
2
经试验得到 y 25 时是完全平方数，解出 x 20 或 30，即 2025 或者 3025 满足题意. 方法二：设这两个两位数分别为 x ， y ，则 x y 100 x y
2
由于 △ABC 是直角三角形，所以抛物线与 x 轴的交点必然在 y 轴两边，所以
c 再由射影定理得到 c 2 ，所以 ac 1 . a
c 0. a
9 3 2．设 m 是整数，且方程 3x2＋mx－2＝0 的两根都大于而小于，则 m＝_________. 5 7
【答】 4. 考虑二次函数 f ( x) 3x2 mx 2 与二次函数的两个交点，由于 3 大于 0，图像开口向上．
所以故：
S△ ADE AD AE 1 AE 3 1 ， S△ ABC AB AC 3 AC 4
AE 3 CE 1 ，所以 AC 4 EA 3
B
C
6．如图，在平行□ABCD 中，过 A，B，C 三点的圆交 AD 于 E，且与 CD 相切．若 AB＝4， BE＝5，则 DE 的长为（ A．3. 【答】D. 连接 CE，由于 ABCE 四点共圆，所以：∠DEC＝∠CBA，在平行四边形 ABCD 中，∠D＝∠ABC，所以有∠DEC＝∠D＝∠ABC，同时，CD 平行于 AB，且 DC 与圆相切，可知：C 为弧 AB 中点，所以∠CEB＝∠CBA，且∠DCE＝∠CBE，故由∠DEC＝∠D 可知△DEC 为等腰三角形，CD＝CE＝AB＝4，由∠DEC＝∠CBE 和∠D＝∠ABC＝∠CEB 可知△CDE∽△BCE，所以：

历年初中数学竞赛真题库含答案

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是（A ）3 ；（B ）31；（C ）2；（D ）35．答（）２．如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10；（B ）12；（C ） 16；（D ）18．答（）３．方程012=--x x 的解是（A ）251±；（B ）251±-；（C ）251±或251±-；（D ）251±-±．答（）４．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-；（Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -；（Ｄ）11991)1(--n ．答（）５．若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（）６．若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（）７．如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（）８．在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则（Ａ）21< c < 2 ；（Ｂ）0< c ≤21；答（）（C ）c > 2；（D ）c = 2．答（）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是．２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+ac b 32 ．3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第二试x + y ， x － y ， x y ， yx 四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定.3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是 (A)21S S > (B)21S S =(C)21S S < (D)不确定答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3(C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则x x x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是(A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错.3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论:Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值;Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++.;;;;52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>;(C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>.5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A )等于4 (B )小于4 (C )大于5 (D )等于56.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角,则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22- (B)22 (C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n ,p ,那么m :n :p 等于 (A)c b a 1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin .答( )8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+答( )二.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________. 2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________. 第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4B．等于5C．等于6D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。

【数学竞赛】2003年全国初中数学联赛试卷及答案

【数学竞赛】2003年全国初中数学联赛试卷第一试（4月13日上午8:30—9:30）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.A .5-B .1C .5D .1[答]（）2.在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是A .0B .1C .3D .5[答]（）3.若函数()0y kx k =>与函数1y x=的图象相交于A ，C 两点，AB 垂直x 轴于B ，则△ABC 的面积为 A .1 B .2 C .k D .2k[答]（）4.满足等式2003的正整数对()x y ，的个数是A .1B .2C .3D .4[答]（）5.设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且13AD AB =．若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为34，则CE EA的值为 A .12 B .13 C .14 D .15[答]（）6.如图，在□ABCD 中，过A ，B ，C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切．若AB =4，BE =5，则DE 的长为A .3B .4C .154D .165[答]（） D CA B E二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．若△ABC 是直角三角形，则ac =__________．2.设m 是整数，且方程2320x mx +-=的两根都大于95-而小于37，则m =____________． 3.如图，'AA ，'BB 分别是∠EAB ，∠DBC 的平分线．若''AA BB AB ==，则∠BAC 的度数为_____________．4.已知正整数a ，b 之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a ，b 中较大的数是_________．2003年全国初中数学联合竞赛试卷第二试（A ）（4月13日上午10:00—11:30）考生注意：本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分．一、（本题满分20分）试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数．二、（本题满分25分）。

2000-2003年“五羊杯”全国初中数学竞赛试题及详解【圣才出品】

【答案】A 【解析】因为 2003 为质数，所以它的因数只有 1 和 2003，因此，2003 和 3002 的最大公约数为 1．故正确的答案选 A。【评注】
2 ． (16 1.63 2.87 1250.115 0.0163963) 0.11 （）。 A． 20 B． 26 C． 200
所以，A 的末尾的零的个数是 205 个。故正确的答案选 B。
6 ．中国首位航天员杨利伟乘神舟 5 号飞船，在约 400 公里高空绕地球 14 圈，飞行约 21 小时，成功返回，圆了中华民族千年飞天梦．假定地球是球体，半径约 6400 公里，不
计升空和降落，杨利伟飞行距离和速度分别是（）。
A． 60 万公里和 9.7 公里／秒 B． 61 万公里和 8.3 公里／秒 C． 60 万公里和 7.9 公里／秒 D． 61 万公里和 7.8 公里／秒【来源】 2003年第 15 届“五羊杯”全国初中数学竞赛初中一年级
31 4
31 7
31 8
15 31
1 2
1 4
1 7
1 8
1 2
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故正确的答案选 B。
4 ．已知 3A 2B : 7A 5B 13: 31，那么 13A 12B : 17A 15B （）。
A． 5 : 4 B． 4 : 5 C． 9 : 7
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【答案】C
【解析】因为飞船在约 400 公里高空绕地球飞行，且地球半径为 6400 公里，所以，
飞船绕行的总半径为
6400 400 6800 （公里）。又已知杨利伟绕地球飞行 14 圈，因此，杨利伟飞行距离为 2 680014 597856

初中数学常见8种最值问题

的方程 3 B.初中数学常见8种最值问题最值问题，也就是最大值和最小值问题.它是初中数学竞赛中的常见问题. 这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度.本文以例介绍一些常见的求解方法，供读者参考.一. 配方法例 1. （2005 年全国初中数学联赛武汉 CASIO 杯选拔赛）可取得的最小值为.解：原式由此可知，当时，有最小值 .二. 设参数法例 2. （《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数满足 .则的最大值为.解：设，易知,由，得从而，.由此可知，是关于 t 的两个实根.于是，有,解得.故的最大值为 2.例 3. （2004 年全国初中联赛武汉选拔赛）若，则可取得的最小值为（）A. C.D. 6取得最小值 .故选（B ）.解：设，则从而可知，当时，解：由得解得由是非负实数，得 , 解得又，故，三. 选主元法例 4. （2004 年全国初中数学竞赛）实数满足.则 z 的最大值是.解：由得.代入消去 y 并整理成以为主元的二次方程，由 x 为实数，则判别式 . 即，整理得解得 .所以，z 的最大值是 .四. 夹逼法例 5. （2003 年北京市初二数学竞赛复赛）是非负实数，并且满足.设，记为 m 的最小值，y 为 m 的最大值.则.五. 构造方程法例 6. （2000 年山东省初中数学竞赛）.于是，因此.已知矩形 A 的边长为 a 和 b ，如果总有另一矩形 B 使得矩形 B 与矩形 A 的周长之比与面积之比都等于 k ，试求 k 的最小值.解：设矩形 B 的边长为 x 和 y ，由题设可得 .从而x 和y 可以看作是关于t 的一元二次方程的两个实数根，则 ,因为，所以，解得,所以 k 的最小值是.六. 由某字母所取的最值确定代数式的最值例 7. （2006 年全国初中数学竞赛）已知为整数，且.若，则的最大值为.解：由得，代入得.而由和可知的整数.所以，当时，取得最大值，为.七. 借助几何图形法例 8. （2004 年四川省初中数学联赛）函数的最小值是.解：显然，若，则.因而，当取最小值时，必然有. 如图1，作线段AB=4，，且AC=1，BD=2.对于AB 上的任一点O，令OA=x，则.那么，问题转化为在 AB 上求一点 O，使 OC+OD 最小.图 1设点 C 关于 AB 的对称点为 E，则 DE 与 AB 的交点即为点 O，此时，.作 EF//AB 与DB 的延长线交于 F.在中，易知，所以，.因此，函数的最小值为5.八. 比较法例 9. （2002 年全国初中数学竞赛）某项工程，如果有甲、乙两队承包天完成，需付180000 元；由乙、丙两队承包天完成，需付150000 元；由甲、丙两队承包天完成，需付160000 元. 现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？解：设甲、乙、丙单独承包各需天完成，则解得又设甲、乙、丙单独工作一天，各需付元，则解得于是，由甲队单独承包，费用是（元）；由乙队单独承包，费用是（元）；而丙队不能在一周内完成，经过比较得知，乙队承包费用最少.。

山东省历年年中考数学试卷与答案汇编

山东省2003年中考试卷一、选择题（本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1．下列运算正确的是（）． A ．6332x x x ＝＋ B ．326x x x ＝÷C ．6233)3(x x ＝- D ．132－－＝x x x ⋅2．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为（25±0.1）kg 、（25±0.2）kg 、（25±0.3）kg 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（）．A ．0.8 kgB ．0.6kgC ．0.5 kgD ．0.4 kg 3．小亮从一列火车的第m 节车厢数起，一直数到第n 节车厢（n ＞m ），他数过的车厢节数是（）．A ．m ＋nB ．n －mC ．n －m －1D ．n －m ＋14．如图，四边形ABCD 中，CB ＝CD ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∠BAC ＝35°，则∠BCD 的度数为（）．A ．145°B ．130°C ．110°D ．70°5．用一个半径长为6 cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为（）． A ．2 cm B ．3 cm C ．4 cm D ．6 cm 6．设a 是大于1的实数，若a ，32＋a ，312＋a 在数轴上对应的点分别记作A 、B 、C ，则A 、B 、C 三点在数轴上自左至右的顺序是（）．A ．C ，B ，A B ．B ，C ，A C ．A ，B ，CD ．C ，A ，B 7．下列每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是（）．8．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么2)(b a ＋的值为（）．A．13 B．19 C．25 D．1699．如图是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区．如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系?（）．10．若A（a，6），B（2，a），C（0，2）三点在同一条直线上，则a的值为（）．A．4或－2 B．4或－1 C．－4或1 D．－4或211．工人师傅在一个长为25 cm，宽为18 cm的矩形铁皮上，剪去一个和三边都相切的圆A后，在剩余部分的废料上再剪出一个最大的圆B，则圆B的直径是（）．7cm B．8 cm C．7 cm D．4 cm A．212．在一列数1，2，3，4，…，1000中，数字“0”出现的次数一共是（）．A．182 B．189 C．192 D．194二、填空题（本题共4小题，每小题填对得4分，共16分．只要求填写最后结果）13．某市召集20名特级教师参加教改研讨会，与会的特级教师每两人之间都握手一次，那么他们之间一共握手________次．14．赵刚利用科学计算器计算0.15＋0.27时，虽然按键正确，但结果总是0，其原因是________．15．某工厂2002年的年产值为26948万元，比2001年增长8.2％．若年增长率保持不变，预计2005年该厂的年产值为________万元（结果精确到万元）．16．如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：分别以正三角形的一个顶点为圆心，边长为半径，画弧使其经过另外两个顶点，然后擦去正三角形，三段圆弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为π，那么它的面积为________．三、解答题（本题共7小题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算（本题满分8分，可用计算器计算）：＝＋＋1212222⨯________，＝＋＋12321333333++⨯________，＝＋＋123432144444444++++⨯_____ ___．由此你可以猜想出哪些类似的等式________________________________________． 18．（本题满分9分）给出两块相同的正三角形纸片（如图（1），图（2）），要求用其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个上下底面为正三角形的直三棱柱模型，使它们的表面面积都与原三角形的面积相等．请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图（1）、图（2）中，并作简要说明：19．（本题满分9分）已知抛物线1C 的解析式是5422＋－＝x x y ，抛物线2C 与抛物线1C 关于x 轴对称，求抛物线2C 的解析式．20．（本题满分10分）我省某城镇邮政局对甲、乙两个支局的报刊发行部2002年度报纸的发行量进行了统计，并绘成统计图如下：请根据上面统计图反映的信息，回答问题：（1）哪个支局发行《齐鲁晚报》的份数多?多多少?（2）分别写出上面两个统计图中提供的6个统计数据的中位数；（3）已知甲、乙两个支局所服务的居民区住户分别是11280户、8600户，哪个居民区平均每户订阅报纸的份数多?试说明理由．21．（本题满分10分）如图，割线ABC 与⊙O 相交于B 、C 两点，D 为⊙O 上一点，E 为弧BC 的中点，OE交BC 于F ，DE 交AC 于G ，∠ADG ＝∠AGD ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）如果AB ＝2，AD ＝4，EG ＝2．求⊙O 的半径．22．（本题满分10分）已知方程组⎩⎨⎧=ax y x y ＋＝2,42有两个实数解为⎩⎨⎧=11,y y x x ＝和⎩⎨⎧=,,22y y x x ＝且021≠⋅x x ，21x x ≠，设2111x x b ＋＝．（1）求a 的取值范围；（2）试用关于a 的代数式表示出b ；（3）是否存在使b ＝3的a 的值?若存在就求出所有这样的a 的值；若不存在，请说明理由．23．（本题满分12分）如图，正三角形ABC 的中心O 恰好为扇形ODE 的圆心，且点B 在扇形内．要使扇形ODE 绕点O 无论怎样转动，△ABC 与扇形重叠部分的面积总等于△ABC 的面积的31，扇形的圆心角应为多少度?说明你的理由．参考答案一、选择题（每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1．D 2．B 3．D 4．C 5．B 6．B 7．A 8．C 9．C 10．A 11．B 12．C 二、填空题（只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．190 14．将小数点的位数设为0（或设定计算结果取整数） 15．34136 16．23π- 三、解答题17．（本题满分8分）121，12321，1234321（每空1分）1234543211234543215555555555=++++++++⨯， 11234565432123456543216666666666=++++++++++⨯， 3211234567654123456765432177777777777777=++++++++++++⨯ 5432112345678761234567876543218888888888888=++++++++++++++⨯，7654321123456789812345678987654321999999999999999999=++++++++++++++++⨯．每写对一个式子得1分，满分8分． 18．（本题满分9分）解：（1）如图，沿正三角形三边中点连结折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥．………………………………………………………………………………………………4分如图，在正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的41，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底而下底为正三角形的直三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个三棱柱的上底．…………………9分 19．（本题满分9分）解：经检验，点A （0，5）、B （1，3）、C （－1，11）都在抛物线1C 上，点A 、B 、C 关于x 轴的对称点分别为1A （0，－5）、1B （1，－3）、1C （－1，－11），它们都在抛物线2C 上．抛物线2C 的解析式为c bx ax y ++=2，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=++-=.1135c b a c b a c ，，，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=.542c b a ，，所以抛物线解析式是5422-+-=x x y ．评分要点：（1）选定抛物线1C 上的三点，得1分．（2）确定所求的抛物线2C 上的三点的坐标，得3分．（3）正确列出方程组并求出解，得4分．（4）写出解析式得1分．满分得9分． 20．（本题满分10分）解：（1）甲支局发行《齐鲁晚报》840份，乙支局发行《齐鲁晚报》880份，乙支局比甲支局多发行40份．…………………………………………………………………………4分（2）甲图中6个统计数据的中位数是4.5，乙图中6个统计数据的中位数是3.6． …………………………………………………………………………………………………7分（3）由统计图知，甲支局订阅报纸共2820份，平均每户订阅报纸的份数是2820÷11280＝0.25．乙支局订阅报纸2580份，平均每户订阅报纸的份数是2580÷8600＝0.3．所以乙支局所服务的居民区住户比甲支局服务的居民区住户平均每户多订阅报纸0.05份．……………………………………………………………………………………………10分 21．（本题满分10分）（1）证明：∵ E 为弧BC 的中点， ∴ BC OE ⊥于F ．∴ ∠AGD ＋∠ODE ＝∠EGF ＋∠OED ＝90° 连结OD ，则OD ＝OE ． ∴ ∠ODE ＝∠OED ． ∵ ∠AGD ＝∠ADG ，∴ ∠ADG ＋∠ODG ＝90°，即OD ⊥AD ． ∴ AD 是⊙O 的切线．……………………………………………………………………5分（2）由AD ＝4，AB ＝2，AC AB AD ⋅=2，得AC ＝8．∵ AD ＝AG ，∴ BG ＝2，CG ＝4．由EG ＝2，CG BG GD EG ⋅⋅=，得DG ＝4． ∴ AD ＝DG ＝GD ，∴∠ADG ＝60°，作OH ⊥ED 于H ，则∠EOH ＝60°，…………………………………………………8分在Rt △OEH 中，EH ＝21（EG ＋GD ）＝3， ∴ 23360sin =︒=EH OE ．即⊙O 的半径为233．…………………………………………………………………10分 22．（本题满分10分）（1）由原方程组可得关于x 的二次方程：0)1(4422=+-+a x a x ．………………………………………………………………1分∵ 原方程组有两个不同的实数解，即上述二次方程有两个不等实根，∴ △016)]1(4[22>--=a a ，解得：21＜a ．………………………………………3分（2）由根与系数的关系得：a x x -=+121，4221a x x =⋅……………………………………………………………5分∴ 22121)1(4aa x x x xb -=+=⋅………………………………………………………………6分（3）当3=b 时，3)1(42=-aa ，解得： 21-=a ，21322>=a （舍去）．………………………………………………………9分 ∴ 所求a 的值为－2．…………………………………………………………………10分 23．（本题满分12分）解：当扇形圆心角为120°时，△ABC 与扇形重叠部分的面积，总等于△ABC 的面积的31．……………………………………………………………………………………………2分证明如下：（1）当扇形的圆心角与正三角形的中心角重合时，显然，△ABC 与扇形重叠部分的面积等△ABC 的面积的31．…………………………………………………………………4分（2）当扇形的圆心角与正三角形的中心角不重合时，如图，连结OA 、OB ，设OD 交AB 于F ，OE 交BC 于G ． ∵ O 是正三角形的中心，∴ OA ＝OB ，∠OAF ＝∠OBG ，∠AOB ＝120° ∴ ∠AOF ＝120°－∠BOF ， ∠BOG ＝120°－∠BOF ， ∠AOF ＝∠BOG ． ∠AOF ≌△BOG ．…………………………………………………………………………8分即ABC AOB OFBG S S S ∆∆==31四边形，即△ABC 与扇形重叠部分的面积，总等于△ABC 的面积的31．…………………………………………………………………………………10分同理可证，当扇形ODE 旋转至其他位置时，结论仍成立．…………………………11分由（1）、（2）可知，当扇形的圆心角为120°时，△ABC 与扇形重叠部分的面积，总等于△ABC 的面积的31．……………………………………………………………………12分山东省济宁市汶上县2016届中考数学一模试题一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意要求．1．多项式1+2xy ﹣3xy 2的次数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．52．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.000 0025米，把0.000 0025用科学记数法表示为（）A ．2.5×106B ．0.25×10﹣5C ．25×10﹣7D ．2.5×10﹣63．如图，已知l 1∥l 2，∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为（）A ．40°B ．60°C ．80°D ．100° 4．在汶上县纪念抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年歌咏比赛中，我校选手的得分情况如下：92，88，95，93，96，95，94．这组数据的众数和中位数分别是（） A ．94，94 B ．95，95 C ．94，95 D ．95，945．如图，PA 与⊙O 相切于点A ，PO 交⊙O 于点C ，点B 是优弧CBA 上一点，若∠P=26°，则∠ABC 的度数为（）A ．26°B ．64°C ．32°D ．90°6．如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积是（）A ．36πB ．60πC ．96πD ．120π7．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（）A．k＞B．k≥C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠19．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（）A．R2﹣r2=a2B．a=2Rsin36°C．a=2rtan36°D．r=Rcos36°10．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x 轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分11．若x，y为实数，且|x﹣2|+（y+1）2=0，则的值是．12．已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，则代数式m2﹣m+2015的值等于．13．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度为米．14．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为．15．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为a n，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a399+a400= ．三、解答题：本大题共7个小题，共55分16．先化简（1﹣）÷，然后在﹣2，﹣1，0，1，2中选一个你认为合适的x的值，代入求值．17．小军同学在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区450户居民的生活用水情况，他从中随机调查了50户居民的月均用水量（单位：t），并绘制了样本的频数分布表（1）请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；（2）如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭大约有多少户？（3）从月均用水量在2≤x＜3，8≤x＜9这两个范围内的样本家庭中任意抽取2个，求抽取出的2个家庭来自不同范围的概率．18．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，求该船航行的距离（即AB的长）．（结果保留根号）19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB 上，⊙O与AB交于点E．（1）若∠A+∠CDB=90°，求证：直线BD与⊙O相切；（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．20．如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数（x＞0）的图象交于点M，过M 作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=2．（1）求k的值；（2）点N（a，1）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）请仿照上面的方法，解答下列问题（1）分解因式：x2+7x﹣18=启发应用（2）利用因式分解法解方程：x2﹣6x+8=0；（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是．22．如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．2016年山东省济宁市汶上县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意要求．1．多项式1+2xy﹣3xy2的次数为（）A．1 B．2 C．3 D．5【考点】多项式．【专题】计算题；整式．【分析】利用多项式次数的定义判断即可．【解答】解：多项式1+2xy﹣3xy2的次数为3，故选C【点评】此题考查了多项式，熟练掌握多项式次数的定义是解本题的关键．2．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.000 0025米，把0.000 0025用科学记数法表示为（）A．2.5×106B．0.25×10﹣5C．25×10﹣7D．2.5×10﹣6【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000 0025=2.5×10﹣6，故选：D．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．如图，已知l1∥l2，∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．40° B．60° C．80° D．100°【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠3=∠1=60°，∴∠2=∠A+∠3=40°+60°=100°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．4．在汶上县纪念抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年歌咏比赛中，我校选手的得分情况如下：92，88，95，93，96，95，94．这组数据的众数和中位数分别是（）A．94，94 B．95，95 C．94，95 D．95，94【考点】众数；中位数．【分析】根据众数、中位数的定义求解即可．【解答】解：这组数据按顺序排列为：88，92，93，94，95，95，96，故众数为：95，中位数为：94．故选D．【点评】本题考查了众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．5．如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠P=26°，则∠ABC的度数为（）A．26° B．64° C．32° D．90°【考点】切线的性质．【分析】连接OA，则△PAO是直角三角形，根据根据直角三角形的性质∠POA的度数，进而根据圆周角定理即可求解．【解答】解：连接OA．∴∠PAO=90°，∵∠O=90°﹣∠P=64°，∴∠B=∠O=32°．故选C．【点评】本题主要考查了切线的性质，以及圆周角定理，正确利用定理，作出辅助线求得∠POA的度数是解题的关键．6．如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积是（）A．36π B．60π C．96π D．120π【考点】圆锥的计算；由三视图判断几何体．【分析】易得此几何体为圆锥，圆锥的全面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+π×底面半径×母线长．【解答】解：此几何体为圆锥，底面直径为12，高为8，那么半径为6，母线长为10，∴圆锥的全面积=π×62+π×6×10=96π，故选C．【点评】用到的知识点为：圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形；圆锥的全面积的计算公式．7．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】相似三角形的判定．【分析】由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．【解答】解：有三个．①∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；故选：C．【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况．8．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（）A．k＞B．k≥C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据判别式的意义得到△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后解不等式即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，∴△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，解得k＞；且k﹣1≠0，即k≠1．故选：C．【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（）A．R2﹣r2=a2B．a=2Rsin36°C．a=2rtan36°D．r=Rcos36°【考点】正多边形和圆；解直角三角形．【分析】根据圆内接正五边形的性质求出∠BOC，再根据垂径定理求出∠1=36°，然后利用勾股定理和解直角三角形对各选项分析判断即可得解．【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠BOC=×360°=72°，∴∠1=∠BOC=×72°=36°，R2﹣r2=（a）2=a2，a=Rsin36°，a=2Rsin36°；a=rtan36°，a=2rtan36°，cos36°=，r=Rcos36°，所以，关系式错误的是R2﹣r2=a2．故选A．【点评】本题考查了圆内接四边形，解直角三角形，熟练掌握圆内接正五边形的性质并求出中心角的度数是解题的关键．10．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x 轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据抛物线对称轴方程对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，于是可对②进行判断；根据顶点坐标对③进行判断；根据抛物线的对称性对④进行判断；根据函数图象得当1＜x＜4时，一次函数图象在抛物线下方，则可对⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴2a+b=0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴b=﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴x=1时，二次函数有最大值，∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．故选：C．【点评】本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分11．若x，y为实数，且|x﹣2|+（y+1）2=0，则的值是．【考点】算术平方根；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．【分析】先根据非负数的性质求出x，y的值，再根据算术平方根即可解答．【解答】解：∵|x﹣2|+（y+1）2=0，∴x﹣2=0，y+1=0，∴x=2，y=﹣1，∴，故答案为：．【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是先根据非负数的性质求出x，y的值．12．已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，则代数式m2﹣m+2015的值等于2016 ．【考点】一元二次方程的解．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m代入原方程即可求m2﹣m+1的值．【解答】解：把x=m代入方程x2﹣x﹣1=0可得：m2﹣m﹣1=0，即m2﹣m=1，∴m2﹣m+2015=2015+1=2016；故答案为：2016．【点评】此题考查了一元二次方程的解，解题时应注意把m2﹣m当成一个整体．利用了整体的思想．13．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度为 5.6 米．【考点】相似三角形的应用．【专题】应用题；压轴题．【分析】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．【解答】解：根据题意，易得∠CDE=∠ABE=90°，∠CED=∠AEB，则△ABE∽△CDE，则，即，解得：AB=5.6米．故答案为：5.6．【点评】应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解答．14．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为3+．【考点】二次函数综合题．【分析】连接AC，BC，有抛物线的解析式可求出A，B，C的坐标，进而求出AO，BO，DO的长，在直角三角形ACB中，利用射影定理可求出CO的长，进而可求出CD的长．【解答】解：连接AC，BC，∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，∴点D的坐标为（0，﹣3），∴OD的长为3，设y=0，则0=x2﹣2x﹣3，解得：x=﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0）∴AO=1，BO=3，∵AB为半圆的直径，∴∠ACB=90°，∵CO⊥AB，∴CO2=AO•BO=3，∴CO=，∴CD=CO+OD=3+，故答案为：3+．【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、圆周角定理、射影定理，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键．15．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为a n，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a399+a400= 1.6×105或160000 ．【考点】规律型：数字的变化类．【专题】规律型．【分析】首先计算a1+a2，a2+a3，a3+a4的值，然后总结规律，根据规律可以得出结论．【解答】解：∵；；；…∴；∴．故答案为：1.6×105或160000．【点评】本题考查的是规律发现，根据计算a1+a2，a2+a3，a3+a4的值可以发现规律为，发现规律是解决本题的关键．三、解答题：本大题共7个小题，共55分16．先化简（1﹣）÷，然后在﹣2，﹣1，0，1，2中选一个你认为合适的x的值，代入求值．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=•=•=﹣，当x=2时，原式=﹣=﹣．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．17．小军同学在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区450户居民的生活用水情况，他从中随机调查了50户居民的月均用水量（单位：t），并绘制了样本的频数分布表（1）请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图；（2）如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭大约有多少户？（3）从月均用水量在2≤x＜3，8≤x＜9这两个范围内的样本家庭中任意抽取2个，求抽取出的2个家庭来自不同范围的概率．【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；列表法与树状图法．【分析】（1）根据第一组的频数是2，百分比是4%即可求得总人数，然后根据百分比的意义求解；（2）利用总户数540乘以对应的百分比求解；（3）在2≤x＜3范围的两户用a、b表示，8≤x＜9这两个范围内的两户用1，2表示，利用树状图法表示出所有可能的结果，然后利用概率公式求解．【解答】解：（1）调查的总数是：2÷4%=50（户），则6≤x＜7部分调查的户数是：50×12%=6（户），×100%=30%．频数（2）中等用水量家庭大约有450×（30%+20%+12%）=279（户）；（3）在2≤x＜3范围的两户用a、b表示，8≤x＜9这两个范围内的两户用1，2表示．则抽取出的2个家庭来自不同范围的概率是： =．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．18．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，求该船航行的距离（即AB的长）．（结果保留根号）。

山东初一初中数学竞赛测试带答案解析

山东初一初中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若﹣1＜a＜0，则a，，a2由小到大排列正确的是（）A．a2＜a＜B．a＜＜a2C．＜a＜a2D．a＜a2＜2.下列运用等式的性质，变形正确的是（）A．若x=y，则x﹣5="y+5"B．若a=b，则ac=bcC．若，则2a="3b"D．若x=y，则3.已知有理数a，b在数轴上对应的两点分别是A，B．请你将具体数值代入a，b，实验验证：对于任意有理数a，b，计算A，B两点之间的距离正确的公式一定是（）A．b﹣a B．|b|+|a| C．|b|﹣|a| D．|b﹣a|4.若A和B都是3次多项式，则A+B一定是（）A．6次多项式B．3次多项式C．次数不高于3次的多项式D．次数不低于3次的多项式5.一个多项式与x2﹣2x+1的和是3x﹣2，则这个多项式为（）A．x2﹣5x+3B．﹣x2+x﹣1C．﹣x2+5x﹣3D．x2﹣5x﹣136.一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（）A．2010B．2011C．2012D．20137.六个整数的积a•b•c•d•e•f=﹣36，a、b、c、d、e、f互不相等，则a+b+c+d+e+f的和可能是（）A．0B．10C．6D．88.把100个苹果分给若干个小朋友，每个人至少一个，且每个人分的数目不同．那么最多有（）人？A．11B．12C．13D．149.方程的解是x=（）A．B．C．D．二、填空题1.如果a•b＜0，那么= ．2.如果（a+4）x|a+3|+8=0是关于x的一元一次方程，那么a2+a﹣1= ．3.在图中每个小方格内填入一个数，使每一行、每一列都有1、2、3、4、5．那么，右下角的小方格（用粗线围出的方格）内填入的数应是．4.一个立方体的每个面上都标有数字1、2、3、4、5、6，根据图中该立方体A、B、C三种状态所显示的数字，可推出“？”处的数字是5.将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折10次可以得到条折痕．6.已知AB是一段只有3米长的窄道路，由于一辆小汽车与一辆大卡车在AB段相遇，必须倒车才能继续通过．如果小汽车在AB段正常行驶需10分钟，大卡车在AB段正常行驶需20分钟，小汽车在AB段倒车的速度是它正常行驶速度的，大卡车在AB段倒车的速度是它正常行驶的，小汽车需倒车的路程是大卡车的4倍．问两车都通过AB这段狭窄路面的最短时间是分钟．7.右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D．请你按图中箭头所指方向（即A⇒B⇒C⇒D⇒C⇒B⇒A⇒B⇒C⇒…的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4…，当数到12时，对应的字母是；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是；当字母C第2n+1次出现时（n为正整数），恰好数到的数是（用含n的代数式表示）．8.如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要枚棋子，摆第n个图案需要枚棋子．三、解答题1.（1）计算：（2）解方程：．2.如果有理数a，b满足|ab﹣2|+（1﹣b）2=0，试求的值．3.已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简|a|﹣|a+b|+|c﹣a|+|b+c|．4.扑克牌游戏：小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步分发左、中、右三堆牌，每堆牌的张数相同，且不少于两张；第二步从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；第三步从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆．这时，小明准确说出了中间一堆牌现在的张数．你认为中间一堆牌现在的张数是多少？说明你的理由．5.已知：a为有理数，a3+a2+a+1=0，求1+a+a2+a3+…+a2012的值．6.已知某一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，小亮和小芳从不同的角度进行了观察：小亮：火车从开始上桥到完全通过共用1分钟．小芳：整个火车完全在桥上的时间为40秒钟．请根据以上信息，求出火车的长度和火车的速度．7.已知在数轴l上，一动点Q从原点O出发，沿直线l以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…（1）求出5秒钟后动点Q所处的位置；（2）如果在数轴l上还有一个定点A，且A与原点O相距20个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A 重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由．8.列方程解应用题：由甲地到乙地前三分之二的路是高速公路，后三分之一的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地．A车在高速公路和普通公路的行驶速度都是80千米/时；B车在高速公路上的行驶速度是100千米/时，在普通公路上的行驶速度是70千米/时，A、B两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶，在高速公路上距离丙地40千米处相遇，求甲、乙两地之间的距离是多少？9.列方程解应用题：某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利=售价﹣进价）（2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品．其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？山东初一初中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.若﹣1＜a＜0，则a，，a2由小到大排列正确的是（）A．a2＜a＜B．a＜＜a2C．＜a＜a2D．a＜a2＜【答案】C【解析】解：令a=﹣，则=﹣2，a2=，∵﹣2＜﹣＜，∴＜a＜a2．故选C．【点评】本题考查了有理数的大小比较，解答此题的关键是掌握“赋值法”的运用．2.下列运用等式的性质，变形正确的是（）A．若x=y，则x﹣5="y+5"B．若a=b，则ac=bcC．若，则2a="3b"D．若x=y，则【解析】解：A、根据等式性质1，x=y两边同时加5得x+5=y+5；B、根据等式性质2，等式两边都乘以c，即可得到ac=bc；C、根据等式性质2，等式两边同时乘以2c应得2a=2b；D、根据等式性质2，a≠0时，等式两边同时除以a，才可以得=．故选B．【点评】本题主要考查等式的性质．运用等式性质1必须注意等式两边所加上的（或减去的）必须是同一个数或整式；运用等式性质2必须注意等式两边所乘的（或除的）数或式子不为0，才能保证所得的结果仍是等式．3.已知有理数a，b在数轴上对应的两点分别是A，B．请你将具体数值代入a，b，实验验证：对于任意有理数a，b，计算A，B两点之间的距离正确的公式一定是（）A．b﹣a B．|b|+|a| C．|b|﹣|a| D．|b﹣a|【答案】D【解析】解：当a=﹣2，b=﹣1时，A，B两点之间的距离是1，把a，b的值代入只有A、D选项适合；当a=2，b=1时，A，B两点之间的距离是1，把a，b的值代入只有D选项适合；当a=5，b=﹣1时，A，B两点之间的距离是6，把a，b的值代入只有B、D选项适合，则A，B两点之间的距离正确的公式一定是|b﹣a|；故选D．【点评】此题考查了绝对值和数轴，根据举a，b不同的数值得出正选的选项是本题的关键．4.若A和B都是3次多项式，则A+B一定是（）A．6次多项式B．3次多项式C．次数不高于3次的多项式D．次数不低于3次的多项式【答案】C【解析】解：∵A和B都是3次多项式，∴A+B一定3次或2次，或1次或0次的整式，即A+B的次数不高于3．故选：C．【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．注意：合并同类项时，三次项的系数可能为0．5.一个多项式与x2﹣2x+1的和是3x﹣2，则这个多项式为（）A．x2﹣5x+3B．﹣x2+x﹣1C．﹣x2+5x﹣3D．x2﹣5x﹣13【答案】C【解析】解：由题意得：这个多项式=3x﹣2﹣（x2﹣2x+1），=3x﹣2﹣x2+2x﹣1，=﹣x2+5x﹣3．故选C．【点评】本题考查整式的加减，难度不大，注意在合并同类项时要细心．6.一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（）A．2010B．2011C．2012D．2013【答案】D【解析】解：由题意，可知中间截去的是5n+3（n为正整数），由5n+3=2013，解得n=402，其余选项求出的n不为正整数，则选项D正确．故选D．【点评】本题考查了图形的变化规律，从整体是5个不同颜色环的整数倍数，截去部分去3后为5的倍数，从而7.六个整数的积a•b•c•d•e•f=﹣36，a、b、c、d、e、f互不相等，则a+b+c+d+e+f的和可能是（）A．0B．10C．6D．8【答案】A【解析】解：∵﹣36=（﹣1）×1×（﹣2）×2×（﹣3）×3，∴这六个互不相等的整数是﹣1、1、﹣2、2、﹣3、3，∴a+b+c+d+e+f=（﹣1）+1+（﹣2）+2+（﹣3）+3=0．故选A．【点评】本题考查了有理数的乘法，有理数的加法，难点在于确定出这六个互不相等的整数的值．8.把100个苹果分给若干个小朋友，每个人至少一个，且每个人分的数目不同．那么最多有（）人？A．11B．12C．13D．14【答案】C【解析】解：由题意，设有n人，分苹果数分别为1，2，…，n1+2+3+…+n=n（n+1）≤100，∴n≤13，所以至多有13人．故选C．【点评】本题考查抽屉原理的应用，将100个苹果按公差为1分给若干个人，运用等差数列求和公式是解题的关键．9.方程的解是x=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：，提取公因式，得x （+++…+）=1，将方程变形，得x[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=1，提取公因式，得（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=1，移项，合并同类项，得（1﹣）=1，系数化为1，得x=．故选C．【点评】此题主要考查学生对解一元一次方程的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，是道难题．二、填空题1.如果a•b＜0，那么= ．【答案】﹣1【解析】解：∵a•b＜0，∴|a|和|b|必有一个是它本身，一个是它的相反数，|ab|是它的相反数，∴=1﹣1﹣1=﹣1；或=﹣1+1﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题考查绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．要灵活应用．2.如果（a+4）x|a+3|+8=0是关于x的一元一次方程，那么a2+a﹣1= ．【答案】1【解析】解：∵（a+4）x|a+3|+8=0是关于x的一元一次方程，∴|a+3|=1，a+4≠0．解得a=﹣2．将a=﹣2代入得：原式=（﹣2）2+（﹣2）﹣1=4﹣2﹣1=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查的是一元一次方程的定义、求代数式的值，依据一元一次方程的定义求得a的值是解题的关键．3.在图中每个小方格内填入一个数，使每一行、每一列都有1、2、3、4、5．那么，右下角的小方格（用粗线围出的方格）内填入的数应是．【答案】3【解析】解：如图所示：故答案为：3．【点评】本题考查了规律型：数字的变化，找到左上角的数为3，第二排第3个数为2，是开启答案的钥匙．4.一个立方体的每个面上都标有数字1、2、3、4、5、6，根据图中该立方体A、B、C三种状态所显示的数字，可推出“？”处的数字是【答案】6【解析】解：由观察可知，1周围四个面分别是4，5，2，3，则1的对面是6；又与3相邻的数是1，2，5，6，则3的对面是4，则2与5相对，所以？一定是1，6两个数中的一个，又6同时和3、5相邻，则？处的数是6．故答案为：6．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，通过三个正方体中能看到的数字推出三组相对的数字是完成本题的关键．5.将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折10次可以得到条折痕．【答案】1023【解析】解：我们不难发现：第一次对折：1=2﹣1；第二次对折：3=22﹣1；第三次对折：7=23﹣1；第四次对折：15=24﹣1；…．依此类推，第n次对折，可以得到（2n﹣1）条．当n=10时，210﹣1=1023，故答案为：1023．【点评】此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．6.已知AB是一段只有3米长的窄道路，由于一辆小汽车与一辆大卡车在AB段相遇，必须倒车才能继续通过．如果小汽车在AB段正常行驶需10分钟，大卡车在AB段正常行驶需20分钟，小汽车在AB段倒车的速度是它正常行驶速度的，大卡车在AB段倒车的速度是它正常行驶的，小汽车需倒车的路程是大卡车的4倍．问两车都通过AB这段狭窄路面的最短时间是分钟．【答案】50【解析】解：小汽车X通过AB段正常行驶需要10分钟，小汽车在AB段倒车的速度是它正常行驶速度的，由此得出倒车时间AB段X=10÷=50分钟，卡车Y通过AB段正常行驶需20分钟，大卡车在AB段倒车的速度是它正常行驶速度的，由此得出倒车时间AB段Y=20÷=160分钟，又因为：小汽车需要倒车的路程是大卡车需倒车的路程的4倍，得到小车进入AB段，大车进入AB段，由此得出实际Y倒车时间=160×=32分钟，实际X倒车时间=50×=40分钟．若Y倒X进则是32+20=52分钟两车都通过AB路段，若X倒Y进则是40+10=50分钟两车都通过AB路段，所以两车都通过AB路段的最短时间是50分钟．故答案为：50．【点评】本题属于应用题，有一定难度，解题时注意分别讨论小汽车和大卡车分别倒车所用的时间．7.右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D．请你按图中箭头所指方向（即A⇒B⇒C⇒D⇒C⇒B⇒A⇒B⇒C⇒…的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4…，当数到12时，对应的字母是；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是；当字母C第2n+1次出现时（n为正整数），恰好数到的数是（用含n的代数式表示）．【答案】B；603；6n+3【解析】解：通过对字母观察可知：前六个字母为一组，后边就是这组字母反复出现．当数到12时，因为12除以6刚好余数为零，则表示这组字母刚好出现两次，所以最后一个字母应该是B．当字母C第201次出现时，由于每组字母中C出现两次，则这组字母应该出现100次后还要加一次C字母出现，而第一个C字母在第三个出现，所以应该是100×6+3=603．当字母C第2n+1次出现时，则这组字母应该出现n次后还要加一次C字母出现，所以应该是n×6+3=6n+3．故答案为：B；603；6n+3．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．8.如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要枚棋子，摆第n个图案需要枚棋子．【答案】127，3n2+3n+1（n∈N+）【解析】方法一：解：∵n=1时，总数是6+1=7；n=2时，总数为6×（1+2）+1=19；n=3时，总数为6×（1+2+3）+1=37枚；…；∴n=6时，总数为6×（1+2+3…+6）+1=127枚；…；∴n=n时，有6×（1+2+3+…n）+1=6×+1=3n2+3n+1枚．故答案为：127，3n2+3n+1（n∈N+）．方法二：n=1，s=7；n=2，s=19；n=3，s=37，经观察．此数列为二阶等差（即后项减前项，两次作差，差相等）设：s=an2+bn+c，∴，∴，∴s=3n2+3n+1，把n=6代入，s=127．方法三：，，，，，∴a=37+24+30+36=127．6【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．三、解答题1.（1）计算：（2）解方程：．【答案】见解析【解析】解：（1）原式==；（2）去括号得：x﹣﹣﹣﹣3=0，去分母得：x﹣6﹣12﹣24﹣48=0，解得：x=90．【点评】此题考查了有理数的混合运算，以及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2.如果有理数a，b满足|ab﹣2|+（1﹣b）2=0，试求的值．【答案】【解析】解：∵|ab﹣2|≥0，（1﹣b）2≥0，且|ab﹣2|+（1﹣b）2=0，∴ab﹣2=0，且1﹣b=0，解得ab=2，且b=1，把b=1代入ab=2中，解得a=2，则=+++…+=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．【点评】此题考查了有理数的混合运算，要求学生掌握两非负数之和为0时，两非负数必须同时为0，本题若直接按照运算顺序解题，运算量非常大，需利用计算技巧简化运算，根据所求式子各项的特点，利用拆项法进行化简，使拆开的一部分分数互相抵消，达到简化运算的目的．熟练运用=﹣是解本题的关键．3.已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简|a|﹣|a+b|+|c﹣a|+|b+c|．【答案】﹣3a﹣2b【解析】解：由数轴可得：原式=﹣a﹣（a+b）+c﹣a﹣（b+c）=﹣3a﹣2b．【点评】此题主要考查了整式的加减运算，正确去绝对值是解题关键．4.扑克牌游戏：小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步分发左、中、右三堆牌，每堆牌的张数相同，且不少于两张；第二步从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；第三步从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆．这时，小明准确说出了中间一堆牌现在的张数．你认为中间一堆牌现在的张数是多少？说明你的理由．【答案】见解析【解析】解：设第一步时候，每堆牌的数量都是x（x≥2）；第二步时候：左边x﹣2，中间x+2，右边x；第三步时候：左边x﹣2，中间x+3，右边x﹣1；第四步开始时候，左边有（x﹣2）张牌，则从中间拿走（x﹣2）张，则中间所剩牌数为（x+2+1）﹣（x﹣2）=x+3﹣x+2=5．所以中间一堆牌此时有5张牌．【点评】解决此题，根据题目中所给的数量关系，建立数学模型．根据运算提示，找出相应的等量关系．5.已知：a为有理数，a3+a2+a+1=0，求1+a+a2+a3+…+a2012的值．【答案】1【解析】解：∵a3+a2+a+1=0，∴1+a+a2+a3+…+a2012，=1+a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3）…+a2009（1+a+a2+a3），=1．【点评】此题考查了因式分解的应用．得到1+a（a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3）…+a2009（1+a+a2+a3）是解此题的关键．6.已知某一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，小亮和小芳从不同的角度进行了观察：小亮：火车从开始上桥到完全通过共用1分钟．小芳：整个火车完全在桥上的时间为40秒钟．请根据以上信息，求出火车的长度和火车的速度．【答案】火车的长度是200米，火车的速度是20米/秒【解析】解：设火车的长度为x米．则有，解得：x=200，（米/秒）．答：火车的长度是200米，火车的速度是20米/秒．【点评】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程．弄清桥长、车长以及整列火车过桥通过的路程，整列火车在桥上通过的路程之间的关系．7.已知在数轴l上，一动点Q从原点O出发，沿直线l以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…（1）求出5秒钟后动点Q所处的位置；（2）如果在数轴l上还有一个定点A，且A与原点O相距20个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A 重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由．【答案】见解析【解析】解：（1）∵2×5=10，∴点Q走过的路程是1+2+3+4=10，Q处于：1﹣2+3﹣4=4﹣6=﹣2；（2）①当点A在原点左边时，设需要第n次到达点A，则=20，解得n=39，∴动点Q走过的路程是1+|﹣2|+3+|﹣4|+5+…+|﹣38|+39，=1+2+3+ (39)==780，∴时间=780÷2=390秒（6.5分钟）；②当点A原点左边时，设需要第n次到达点A，则=20，解得n=40，∴动点Q走过的路程是1+|﹣2|+3+|﹣4|+5+…+39+|﹣40|，=1+2+3+ (40)==820，∴时间=820÷2=410秒（6分钟）．【点评】本题考查了数轴的知识，（2）题注意要分情况讨论求解，弄清楚跳到点A处的次数的计算方法是解题的关键，可以动手操作一下便不难得解．8.列方程解应用题：由甲地到乙地前三分之二的路是高速公路，后三分之一的路是普通公路，高速公路和普通公路交界处是丙地．A车在高速公路和普通公路的行驶速度都是80千米/时；B车在高速公路上的行驶速度是100千米/时，在普通公路上的行驶速度是70千米/时，A、B两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶，在高速公路上距离丙地40千米处相遇，求甲、乙两地之间的距离是多少？【答案】252【解析】解：设甲、乙两地之间的距离是x千米，根据题意得：=+，解得x=252．答：甲、乙两地之间的距离是252千米．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是抓住两车相遇时行驶的时间相同列出方程并求解．9.列方程解应用题：某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的倍多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：（注：获利=售价﹣进价）（1）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？（2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品．其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？【答案】（1）1950元利润（2）打8.5折销售【解析】解：（1）设第一次购进甲种商品x件，则乙的件数为（）件，根据题意得，．解得 x=150．则（件）（29﹣22）×150+（40﹣30）×90=1950（元）答：两种商品全部卖完后可获得1950元利润．（2）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，由题意，有．解得 y=8.5．答：第二次乙种商品是按原价打8.5折销售【点评】本题考查了利润=售价﹣进价的运用，列一元一次方程解实际问题的运用及一元一次方程的解法的运用．解答时根据题意建立方程是关键．。

山东初中数学竞赛试题及答案六份

1999年山东省初中数学竞赛试题 (1)2000年山东省初中数学竞赛试题 (5)2001年山东省初中数学竞赛试题 (7)2002年山东省初中数学竞赛试题 (11)2003年山东数学竞赛试题 (14)2004年山东省初中数学竞赛试题 (17)1999年山东省初中数学竞赛试题一、选择题(每小题6分，共48分．下面各题给出的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在题后的括号内．)1．已知命题“有一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形”，则( )．(A)这个命题和它的否命题都是真命题(B)这个命题和它的否命题都是假命题(C)这个命题是真命题，而它的否命题是假命题(D)这个命题是假命题，而它的否命题是真命题2．一项工程，甲建筑队单独承包需要a 天完成，乙建筑队单独承包需要b 天完成．现两队联合承包，那么完成这项工程需要( )． (A)b a 1+ 天 (B) )b 1a 1(+天 (c) b a ab +天 (D) ab1天 3．如图，∠CGE ＝α，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F ＝( )．(A)360°-α (B)270°-α (C)180°+α (D)2α4．如果｜x|+||x|-1｜＝l ，那么( )．(A)(x+1)(x-1)>0 (B)(x+1)(x-1)<0(C)(x+1)(x-1)≥0 (D)(x+1)(x-1)≤05．与212-171最接近的整数是( )．(A)5 (B)6 (C)7 (D)86．已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且d c b a < ，且A ＝dc d -b a b ++与0的大小关系是( )． (A)A>0 (B)A ≥0 (C)A<O (D)A ≤07．若方程p -x ＝x 有两个不相等的实数根，则实数P 的取值范围是( )．(A)p ≤0 (B)p<41 (C)O ≤P<41 (D)P ≥41 8．如图，S △AFG ＝5a ，S △ACG ＝4a ，S △BFG =7a ，则S △AEG ＝( )．(A)1127a (B) 1128a (c) 1129a (D) 1130a 二、填空题(每小题8分，共32分)1．已知，|x+y-5|+4-y 2x +＝0，则yx ＝2．已知a 、b 、c 为不等于零的实数，且a+b+c ＝0，则a(c 1b 1+)+ b(a 1c 1+)+c(b 1a 1+)的值为 ·3.如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝AD ，若这个四边形的面积为12，则BC+CD ＝4．如图，在矩形ABCD 的边AB 上有一点E ，且23EB AE =,DA 边上有一点F ，且EF ＝18，将矩形沿EF 对折，A 落在边BC 上的点G ，则AB=三、(本题满分20分)如图，AD 是Rt △ ABC 的斜边BC 上的高，P 是AD 的中点，连结BP 并延长交AC 于E.已知AC:AB ＝k ，求AE:EC ．四、(本题满分20分)已知方程x 2+a 1x+a 2a 3＝0与方程x 2+a 2x+a l a 3＝0有且只有一个公共根．求证：这两个方程的另两个根(除公共根外)是方程x 2+a 3x+a 1a 2＝0的根．五、(本题满分30分)现有质量分别为9克和13克的砝码若干只，在天平上要称出质量为3克的物体，问至少要用多少只这样的砝码才能称出?并证明你的结论．1 999年山东省初中数学竞赛试题参考答案、一、1．D ．2.C. 3．D ．4．D ．5．B ．6．A ．7 .C 8．D ．二、1．x=-1y=6．y x =1/62．a+b+c=0， b+c=-a ，c+a=-b ，a+b=-c ．原式=-33．解法l ：延长CB 到E ，使BE=DC ，连结AE ，AC2000年山东省初中数学竞赛试题1．已知关于x 的方程mx+2=2(m —x)的解满足|x-21 |-1=0，则m 的值是 ( ) A.10或52 B.10或-52 c.-10或52 D.-10或52- 2．设直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，若c-b=b-a>O ，则 ( )A.1/2B.1/3C.1/4D.1/53．某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x ％，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x ％，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了 ( )A.2x ％B. 1+2x ％ C(1+x ％)x ％ D.(2+x ％)x ％4．甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a 元，又从另—个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b 元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是 ( )A .a>b b ．a<b C. a=b D.与a 和b 的大小无关5．若D 是△ABC 的边AB 上的一点，么ADC=么BCA,AC=6，DB=5，△ABC 的面积是S ，则△BCD 的面积是 ( ) A.S 53 B. S 74 C ．S 95 D ．S 116 6．如图，AE ⊥AB 且AE=AB ，BC ⊥CD 且BC=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S 是( )A ．50 B.62 C ．65 D ．687．如图，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字，若左图轮子上方的箭头指着的数字为a ，右图轮子上方的箭头指着的数字为b ，数对(a ，b)所有可能的个数为n ，其中a+b 恰为偶数的不同数对的参数为m ，则m/n 等于 ( )A ．21B ．61C ．125D ．43 8．如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD 的顶点，A 、C 同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2000次相遇在边 ( )A ．AB 上 B.BC 上 C ．CD 上D ．DA 上9．已知2+x a 与2-x b 和等于442-x x ，则a= ，b= 10．如图，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 上的一点，且AE=31AD ，CE 交AB 于点F ．若AF=1．2cm ，则AB= cm11．在梯形ABCD 中，AB ∥CD,AC ．BD 相交于点O ，若AC=5，BD=12，中位线长为213，△AOB 的面积为S 1，△COD 的面积为S 2，则21S S += 12．已知矩形A 的边长分别为a 和b ，如果总有另一矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长之比与面积之比都等于k ，则k 的最小值为．13．如图，AB ∥EF ∥CD ，已知 AC+BD=240，BC=100，EC+ED=192，求CF ．14．已知x 、y 均为实数，且满足xy+x+y=17，x 2y+xy 2=66，求x 4+x 3y+x 2y 2+xy 3+y 4的值．15．将数字1，2，3，4，5，6，7，8分别填写到八边形ABCDEFGH 的8个顶点上，并且以S 1，S 2，…，S 8分别表示(A ，B ，C)，(B ，C ，D)，…，(H ，A ，B)8组相邻的三个顶点上的数字之和．(1)试给出一个填法，使得S 1，S 2，…，S 8都大于或等于12；(2)请证明任何填法均不可能使得S 1，S 2，…，S 8都大于或等于13．2000年山东省初中数学竞赛答案1．A 2．C 3．D 4．A 5．C 6．A 7．C 8．A9．2；2 10．6 11．30 12．2)(4b a ab +15．(1)不难验证，如图所示填法满足．s1，s2，…s8都大于或等于12．(2)显然，每个顶点出现在全部8组3个相邻顶点组的3个组中，所以有s1+S2+…+S8= (1+2+3+…+8)·3=108．如果每组三数之和都大于或等于13，因13·8=104，所以至多有108-104＝4个组的三数之和大于13．由此我们可得如下结论：(1)相邻两组三数之和一定不相等．设前一组为(i，j，k)，后一组为(j，k，l)．若有i+j+k=j+k+l，则l=i，这不符合填写要求；(2)每组三数之和都小于或等于14．因若有一组三数之和大于或等于15，则至多还有另外两个组，其三数之和大于13，余下5个组三数之和等于13，必有相邻的两组相等，这和上述结论(1)不符．因此，相邻两组三数之和必然为13或14．不妨假定1填在B点上，A点所填为i，C点所填为j．(1)若S1=i+1+J=13，则．s2=1+j+l=14，S3=j+l+k=13，因J>1，这是不可能的．(2)若sl=i+1+j=14，则S2=1+j+(i-1)=13，S=j+(i-1)+2：14，s4=(i-1)+2+(j-1)=13，这时S5=14，只能是S=2+(j-1)+i，i重复出现：所以不可能有使得每组三数之和均大于或等于13的填法．2001年山东省初中数学竞赛试题一、选择题(每小题6分，共48分)下面各题给出的选项中，只有一项是正确的1．某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比进价高a％，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b％出售，那么，调价后每件衬衣的零售价是 ( )A．m(1+a％)(1—b％)元 B．m·a％(1—b％)元C．m(1+a％)b％元 D．m(1+a％·b%)元2．如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD．则CD长度的最小值是 ( )A．4 B．5 C 6 D．5(5—1)3．在凸n边形中，小于108°的角最多可以有( )A ．3个B 4个C ．5个D ．6个4．方程(x 2+x-1)x+3=1的所有整数解的个数是 ( )A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，分别以AC 、AB 为边，在△ABC 外作正方形ACEF 和正方形AGHB ．作CK⊥AB，分别交AB 和GH 于D 和K ．则正方形ACEF 的面积S 1与矩形AGKD 的面积S 2的大小关系是 ( )A S 1=S 2B S 1>S 2 C. S l <S 2 D ．不能确定，与AC/AB 的大小有关6．甲、乙两人同时从同一地点出发，相背而行，1小时后他们分别到达各自的终点A 与B ．若仍从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达A 之后35分钟到达B ．那么，甲的速度与乙的速度之比为 ( )A 3：5 B. 4：3 C. 4：5 D ．3：47．在全体实数中引进一种新的运算*，其规定如下：(1)对任意实数a 、b ，有a*b=(a+1)·(b -1)；(2)对任意实数a ，有a *2==a*a当x=2时，[3*(x *2)]-2*x+1的值为( )A 34 B. 16 C. 12 D ．68．若不等式|x+l|+|x-3|≤a 有解，则n 的取值范围是 ( )A 0<a≤4B a≥4C O<a≤2 D．a≥2二、填空题(每小题8分，共32分)9．如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，在AB 的延长线上任取一点E ，连结OE 交BC 于点F ．若AB=a ，AD=c ，BE=b ，则BF= ．10．若S=，则S 的整数部分是11．若四边形的一组对边中点的连线的长为d ，另一组对边的长分别为a 、b ，则d 与2ba 的大小关系是．12．如图，O 为某公园大门，园内共有9处景点A 1、A 2、……An．景点间的道路如图所示，游客只能按图上所示的箭头方向从一个景点到达另一个景点．游客进入公园大门之后，可按上述行进要求游览其中部分或全部景点．一旦返回大门O 处，游览即告结束(每个景点只能游览一次)．那么，游客所能选择的不同的游览路线共有条．三、解答题(每小题20分，共60分)13．关于x 的方程kx 2-(k-1)x+l=0有有理根，求整数k 的值．14．如图，在□ABCD 中，P 1、P 2、…、P n-1是BD 的n 等分点，连结AP 2并延长交BC 于点E ，连结AP n-2并延长交．CD 于点F ．(1)求证：EF∥BD；(2)设□ABCD 的面积是S ．若S △AEF =3s/8，求n 的值．15．有12位同学围成一圈，其中有些同学手中持有鲜花，鲜花总数为13束，他们进行分花游戏，每次分花按如下规则进行：其中一位手中至少持有两束鲜花的同学拿出两束鲜花分给与其相邻的左右两位同学，每人一束．试证：在持续进行这种分花游戏的过程中，一定会出现至少有7位同学手中持有鲜花的情况．2001年山东省初中数学竞赛一、1．C 2．B 3．B 4．C 5．A 6．D 7．D 8．B15．不妨假设开始时手中持有鲜花的同学不足7位．我们以A、A2、A、…、A2按逆时针方向依次分别标记这12位同学．(1)在分花游戏过程中，任何相邻的两位同学一旦其中一位手中持有鲜花，那么，在此后的每次分花之后，他们两人中始终至少有一人手中持有鲜花．事实上，每次分花，如果分花的同学不是这两位同学中的一位，那么，他们俩手中的鲜花只会增加，不会减少．如果他们俩中的一位是分花者，那么，分花后另一位同学一定持有鲜花． (2)任何一位同学不可能手中始终无花，可用反证法证明这一点．不妨假设A1手中始终无花，这意味着A2始终没作为分花者，A2手中鲜花只能增加，不会减少．因总共只有13束鲜花，所以经过有限次分花之后， A2不再接受鲜花．这又意味着经过有限次分花之后，A3不再为分花者．同理可知，再经过有限次分花后，A4不再为分花者．依此类推，经有限次分花之后，全部12位同学无一人为分花者，活动终止．这就与13束鲜花分置于12位同学手中，无论何种情况总能找到与可能分花的同学的事实相矛盾．由(1)、(2)可知，经若干次分花之后，可使任何相邻的两位同学中至少有一位同学手中有花，因此至少有6位同学手中有花．若仅有6位同学手中有花，则手中有花的同学不可能相邻，否则就会有两位手中无花的同学相邻．因此，只要再进行一次分花，至少增加一位手中持花的同学，即至少有7位同学手中持有鲜花．2002年山东省初中数学竞赛试题一、选择题1．磁悬浮列车是一种科技含量很高的新型交通工具．它有速度快、爬坡能力强、能耗低的优点．它每个座位的平均能耗仅为飞机每个座位的平均能耗的三分之一、汽车每个座位的平均能耗的70%．那么汽车每个座位的平均能耗是飞机每个座位平均能耗的( ) (A)73 (B)37 (C) 2110 (D)1021 2．已知a ，b ，c ，d 都是正实数，且d c b a <·给出下列四个不等式：①dc c b a a +>+②d c c b a a +<+ ；③d c d b a b +>+④d c d b a b +<+其怔确的是( ) (A)①③(B)①④(C)②④(D)②③3．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CBD ＝30°，则AD ：DC ＝( ) (A)33 (B)22 (C)2 -l (D)3 -l 4．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还要按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积( )(A)5分 (B)6分 (C)7分 (D)8分5．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，AD ＝8，AB＝7，则BC+CD 等于( ) (A)63 (B)53 (C)43 (D)336．如图，在梯形ABCD 中，AD ∠∠BC ，AD ＝3，BC ＝9，AB ＝6，CD ＝4．若EF ∥BC ，且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，则EF 的长为( ) (A)745 (B)533 (C)539 (D)2157．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝b ，AB ＝c ，若D 、E 分别是AB 和AB 延长线上的两点，BD ＝BC ，CE ⊥CD ，则以AD 和AE 的长为根的一元二次方程是( )(A)x 2-2cx+b 2＝0 (B)x 2-cx+b 2＝0 (C)x 2-2cx+b＝0 (D)x 2一cx+b ＝08．已知实数a ，b ，c 满足a<a<c ，ab+bc+ca ＝0，abc ＝1，则( )(A)|a+b|>|c|， (B)|a+b|<|c|， (C)|a+b|=|c| (D)|a+b|与|c|的大小关系不能确定二、填空题9．M是个位数字不为零的两位数，将M的个位数字与十位数字互换后得另一个两位数N．若M-N恰是某正整数的立方，则这样的M共有个．10．设x1，x2是方程x2-2(k+1)x+k2+2＝0的两个实数根，且(x1+1)(x2+1)＝8，则k的值是．11．已知实数x，y，z满足x+y＝5及z2＝xy+y一9，则x+2y+3z＝12．如图5，P是矩形ABCD内一点，若PA＝3，PB＝4，PC＝5，则PD＝三、解答题13．如图，甲楼楼高16米，乙楼座落在甲楼的正北面，已知当冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°，此时，求：(1)如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?(2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少米?14．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，O是△ABC内一点，点O到△ABC各边的距离都等于l，将△ABC绕点O顺时针旋转45°得△A1B1C1，两三角形公共部分为多边形KLMNPQ．(1)证明：△AKL，△BMN，△CPQ都是等腰直角三角形；(2)求△ABC与△A1B1C1公共部分的面积．15．某乡镇小学到县城参观，规定汽车从县城出发于上午7时到达学校，接参观的师生立即出发去县城．由于汽车在赴校的途中发生了故障，不得不停车修理．学校师生等到7时10分，仍未见汽车来接，就步行走向县城．在行进途中遇到了已经修理好的汽车，立即上车赶赴县城，结果比原定到达县城的时间晚了半小时．如果汽车的速度是步行速度的6倍，问汽车在途中排除故障花了多少时间．参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D D B B C A A 6 l 832 13．(1)设冬天太阳最低时，甲楼最高处A点的影子落在乙楼的C处，那么图中CD的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度．设CE⊥AB于点E，那么在△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝30°，EC＝20米，所以 AE＝ECtan∠ACE＝20tan30°≈11．6(米)．CD＝EB＝AB-AE＝4．4(米)．(2)设点A的影子落到地面上某一点C，则在△ABC中，∠ACB＝30°，AB＝16米，所以 BC＝ABcot∠ACB＝16cot30°≈27．7(米)，所以，要使甲楼的影子不影响乙楼，那么乙楼距离甲楼至少要27．7米．14．(1)连结OC，DC1，分别交PQ，NP于点D，E，根据题意得∠COC1＝45°．因为点O 到AC 和BC 的距离都等于1-，所以OC 是∠ACB 的平分线．因为 ∠ACB ＝90°，所以 ∠OCE ＝∠OCQ ＝45°．同理 ∠OC l D ＝∠OC 1N ＝45°，所以 ∠OEC ＝∠ODC l ＝90°，∠CQP ＝∠CPQ ＝∠C 1PN ＝∠C 1NP ＝45°，所以 △CPQ 和△C 1NP 都是等腰直角三角形，所以∠BNM ＝∠C 1NP ＝∠A 1QK ＝∠CQP ＝45°．因为 ∠B ＝∠A 1＝45°，所以 △BMN 和△A 1KQ 都是等腰直角三角形，∠B l ML ＝∠BMN ＝∠AKL ＝∠A 1KQ ＝90°，所以 ∠B 1＝∠A ＝45°，所以 △B 1Am l 和△AKL 也都是等腰直角三角形．(2)在Rt △ODC l 和Rt △OEC 中，因为OD ＝OE ＝1，∠COC1＝45°，所以 OC ＝CC 1＝2 ，CD ＝C 1E ＝2-1，所以 PQ ＝NP ＝2(2-1)＝22-2， CQ=CP-C 1P=C 1N=2(2-1)=2一2，所以 S △CPQ =21 ×(2-2)2=3-22延长CO 交AB 于H ．因为①平分∠ACB ，且AC ＝BC ，所以CH ⊥AB ，所以 CH=CO+OH=2+1，所以AC ＝BC ＝A l C l ＝B 1C 1＝2(2+1)＝2+2，所以 S=21×(2+2)2＝3+22 因为A l Q=BN=(2+2)-(22-2)-(2一2)=2，所以KQ ＝MN ＝22＝2，所以 S △BMN ＝21 ×(2)2＝1．因为 AK=(2+2)-(2-2)-2=2．所以 S △AKL =21 ×2)2=1，所以S 多边形KLMNPO -S △ABC +S △CPQ -S △BMN-S △AKL =(3+22)-(3-22)-1-1=42-2．15．假定排除故障花时x 分钟．如图9，设点A 为县城所在地，点C 为学校所在地，点B 为师生途中与汽车相遇之处．在师生们晚到县城的30分钟中，有10分钟是因晚出发造成的，还有20分钟是由于从C 到B 由步行代替乘车而耽误的．汽车所晚的30分钟，一方面是由于排除故障耽误了x 分钟，但另一方面由于少跑了B 到C 之间的一个来回而省下了一些时间．已知汽车速度是步行速度的6倍，而步行比汽车从C 到B 这段距离要多花20分钟．由此知汽车由C 到B 应花1-520＝4(分钟) 一个来回省下8分钟，所以有x 一8＝30，x ＝38，即汽车在途中排除故障花了38分钟．2003年山东数学竞赛试题一、选择题(本题共8小题．每小题6分，满分48分)：下面各题给出的选项中，只有一项是正确的．请将正确选项的代号填在题后的括号内．1．如果a ，b ，c 是非零实数，且a+b+c=O ，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为( )．A ．0B ．1或-1C ．2或-2D ．0或-22．如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是( )．A ．a+lB ．a 2+lC ．a 2+2 a+1 D ．a+22+l 3．甲、乙、丙三人比赛象棋，每局比赛后，若是和棋，则这两人继续比赛，直到分出胜负，负者退下，由另一人与胜者比赛．比赛若干局后，甲胜4局、负2局；乙胜3局、负3局．如果丙负3局，那么丙胜( )．A ．O 局B ．1局C ．2局D ．3局4．关于x 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+->+a x x x x 235332只有5个整数解．则a 的取值范围是( )． A ．-6<a<-211 B ．-6≤a<-211 c ．-6<a≤-211 D ．-6≤a ≤-211 5．如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a=l ，则这个正方形的面积为( )．A ．2537+B ．253+C ．215+ D ．(1+2 )2 6．某种产品按质量分为l 0个档次．生产最低档次产品，每件获利润8元．每提高一个档次，每件产品利润增加2元．用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件．如果获利润最大的产品是第k 档次(最低档次为第一档次，档次依次随质量增加)，那么k 等于( )．A ．5B ．7C ．9D ．107．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A=30°，∠C 的平分线与∠B 的外角的平分线交于E 点，连结AE ，则∠AEB 是( )．A ．50° B．45° C．40° D．35°8．已知四边形ABCD ，从下列条件中：(1)AB∥CD； (2)BC∥AD； (3)AB=CD ； (4)BC=AD ；(5)∠A =∠C；(6)∠B =∠D．任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况有( )．A ．4种B ．9种C ．1 3种D ．1 5种二、填空题(本题共4小题，每小题8分，满分32分)：将答案直接填写在对应题目的横线上．9．已知-l<a<0，化简4)1(4)1(22+-+-+aa a a 得． 10．如图，已知AD=DB=BC ．如果∠C=α，那么∠ABC=11．甲、乙两厂生产同一种产品，都计划把全年的产品销往济南，这样两厂的产品就能占有济南市场同类产品的43．然而实际情况并不理想．甲厂仅有21的产品、乙厂仅有31 的产品销到了济南，两厂的产品仅占了济南市场同类产品的31 ．则甲厂该产品的年产量与乙厂该产品的年产量的比为12．假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择：甲种客车每辆车有40个座位，租金400元；乙种客车每辆有50个座位，租金480元．则租用该公司客车最少需要租金．三、解答题(本题共3小题，每小题20分，满分60分)：13．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°CD 是角平分线，DE∥BC 交A C 于点E ，DF∥AC 交BC 于点F ．求证：(1)四边形CEDF 是正方形；(2)CD 2=2AE·BF．14．设方程20022x 2-2003·2001 x -l=0的较大根是r ，方程2001 x 2-2002 x+1=0的较小根是s ，求r-s 的值．15．在1 8×18的方格纸上的每个方格中均填入一个彼此不相等的正整数．求证：无论哪种填法，至少有两对相邻小方格(有一条公共边的两个小方格称为一对相邻小方格)，每对相邻的两小方格中所填之数的差均不小于1 0．2003年山东省‘KLT 快灵通杯’初中数学竞赛一、选择题1．A 2．D 3．B 4．C 5．A 6．C 7．B 8．B二、填空题9．一a 2 10．180°一23a 11．2：l 12．3520(1)当a 和b 所在的方格既不同行又不同列时，从 a 所在的方格出发，可以通过一系列向相邻格(上下或左右)的移动而达到6所在的格．如图(1)所示．由于a 和b 既不同行又不同列，总存在两条完全不同的路线(两路线途径的方格无一相同)，由a 所在的方格到达b 所在的方格．显然，无论是线路甲，还是线路乙，其相邻移动的次数均不超过17+17=34次．若在线路甲上任何相邻两方格所填之数的差均小于或等于9，则323≤b -a≤34×9=306．这与事实不符．路线乙的情况完全相同，所以，在路线甲和路线乙中各存在一对相邻小方格，其中所填之数的差均不小于10．(2)当a 和b 所在的方格同行或同列时．与情况1类似，如图(2)所示，同样可以找到两条完全不同的，移动次数不大于34次的路线甲和路线乙，其中各存在一对相邻小方格，其中所填之数的差均不小于10．A D CB E MC B B ’ A 1 AD A B C2004年山东省初中数学竞赛试题一、选择题(8×6=48分)1．已知n 是奇数，m 是偶数，方程组⎩⎨⎧=+=+m y x n y 28112004有整数解x o ,y o ,则( ) A 、x o ,y o 均为偶数 B 、x o ,y o 均为奇数 C 、x o ,是偶数，x o ,是奇数 D 、x o ,是奇数，x o ,是偶数2.若ab ≠0，则aba b a 135-=--成立的条件是( ) A 、a>0,b>0 B 、a<0,b>0 C 、a>0,b<0 D 、a<0,b<03.设a,b,c,d 都是非零实数，则四个数：-ab,ac,bd,cd ( )A 、都是正数B 、都是负数C 、是两正两负D 、是一正三负或一负三正4.如图，矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，M 是BC 的中点，DE ⊥AM ，E 为垂足，则DE=( )A 、2242ba ab+ B 、224b a ab + C 、2242b a ab+ D 、224b a ab + 5.某商店出售某种商品每件可获利m 元，利润率为20%。

2003年初中数学竞赛决赛试题及解答

2003年“TRULY ®信利杯”全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的. 请将正确结论的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填，得零分）1．若4x －3y －6z =0，x +2y －7z =0(xyz ≠0)，则222222103225zy x z y x ---+的值等于 ( ). (A) 21-(B) 219- (C) 15- (D) 13- 2．在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g 时付邮费0.80元，超过20g 而不超过40g 时付邮费1.60元，依次类推，每增加20g 需增加邮费0.80元（信的质量在100g 以内）。

如果所寄一封信的质量为72.5g ，那么应付邮费 ( ).(A) 2.4元 (B) 2.8元 (C) 3元 (D) 3.2元 3．如下图所示，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G =（）.(A)360° (B) 450° (C) 540° (D) 720°4．四条线段的长分别为9，5，x ，1（其中x 为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB 与CD 是其中的两条线段（如上图），则x 可取值的个数为（）.(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D) 6个5．某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( ).(A)1种 (B)2种 (C)4种 (D) 0种OCDABABCDEFG（第3题图）（第4题图）6．已知31+=x ，那么=---++2141212x x x .7．若实数x ，y ，z 满足41=+yx ，11=+z y ，371=+x z ，则xyz 的值为 .8．观察下列图形：① ② ③ ④根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数为 .9．如图所示，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成45º，∠A =60º CD =4m ，BC =()2264-m ，则电线杆AB 的长为_______m.10．已知二次函数c bx ax y ++=2（其中a 是正整数）的图象经过点A （－1，4）与点B （2，1），并且与x 轴有两个不同的交点，则b +c 的最大值为 .（第9题图）11．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P. 问EP与PD是否相等？证明你的结论.解：(第11题图)12．某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？解：(第12题图)13B ．如图所示，在△ABC 中，∠ACB =90°.（1）当点D 在斜边AB 内部时，求证：ABBDAD BC BD CD -=-222. （2）当点D 与点A 重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由. （3）当点D 在BA 的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.BACD14B．已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4. （1）求a，b，c中的最大者的最小值；（2）求c+的最小值.a+b注：13B 和14B 相对于下面的13A 和14A 是较容易的题. 13B 和14B 与前面的12个题组成考试卷.后面两页 13A 和14A 两题可留作考试后的研究题。

03年山东省初中数学竞赛试题（初二，初三）

03年山东省初中数学竞赛试题（初二，初三）
曹兴建;王连鹏
【期刊名称】《数理天地：初中版》
【年(卷),期】2004(000)001
【总页数】2页(P19-20)
【作者】曹兴建;王连鹏
【作者单位】山东省微山县西平一中277609;山东省新汶矿业集团华丰中学271413
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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三角形角平分线地结论及应用

三角形角平分线地结论及应用-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1浅议三角形角平分线的结论及应用摘要：一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段。

本文主要谈两点：关于三角形的内、外角平分线的夹角的问题和关于三角形内、外角平分线的交点问题。

关于三角形的内、外角平分线的夹角问题：（1）三角形两内角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的和。

（2）三角形两外角平分线的夹角等于90度与三角形第三个内角的一半的差。

（3）三角形一个内角的平分线与一个外角平分线的夹角等于三角形第三个内角的一半（4）三角形两内角平分线的夹角与两外角平分线的夹角互补或相等。

关于三角形内外角平分线的交点问题：（5）三角形的三条内角平分线相交于一点，这点到三角形的三边的距离相等（6）三角形两外角平分线的交点到三角形三边所在的直线相等，并且这点在三角形第三个内角的平分线上等关键词：三角形角平分线夹角交点变式练习一个三角形的角平分线不外乎就是内角的平分线和外角的角平分线。

在学习过程中，教师要指导学生善于对三角形的角平分线的基本图形进行归纳，对角平分线的性质和结论做好总结，这样对以后知识的积累有很大的帮助，对解决复杂的几何证明题也更便捷。

下面就三角形角平分线的相关结论逐一探讨。

结论一：如图1、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，1∠Ａ。

试探究：∠D=９０°＋2解：∵BD、CD为角平分线1∠ＡＢＣ，（图1）∴∠ＣＢＤ＝21∠ＡＣＢ。

∠ＢＣＤ＝2在△ＢＣＤ中：∠Ｄ＝１８０°－（∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＤ）1（∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ）＝１８０°－21（１８０°－∠Ａ）＝１８０°－21∠Ａ＝９０°＋2变式练习的题目有（1）如图2、在△ABC中，∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ的角平分线的交与点D，∠D=100°，则∠A的度数是度。

1∠Ａ。

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