高中数学 函数周期性总结

函数的周期性

一、周期函数的定义

对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．．

时，都有()()f x T f x +=， 那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

说明：（1）T 必须是常数，且不为零；

（2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。

二、常见函数的最小正周期

正弦函数 y =sin （ωx +φ）（w>0）最小正周期为T=

ωπ2 y=cos （ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= ω

π

2 y =tan （ωx +φ）（w>0）最小正周期为T= ω

π y =|sin （ωx +φ）|（w>0）最小正周期为T= ω

π f(x)=C(C 为常数)是周期函数吗？有最小正周期吗？

三、抽象函数的周期总结

1、)()(x f T x f =+ ⇔)(x f y =的周期为T

2、)()(x b f a x f +=+ )(b a < ⇔)(x f y =的周期为a b T -=

3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=

4、)

()(x f c

a x f =+ (C 为常数) ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5 )

(1)

(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、 1)(1

)(+-

=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 7、)

(1)

(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 8、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=

9、)1()()2(++=++++n x f n x f n x f ；（它是周期函数，一个周期为6）

10、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x =（)b a < ⇔)(x f y = 周期)(2a b T -=

11、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ⇔)(x f y = 周期)(2a b T -=

12、)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ⇔)(x f y = 周期)(4a b T -=

13、奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y = 周期a T 4=。

14、偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y = 周期a T 2=。

四、对称性加奇偶性得到周期

1. f(x)为偶函数且f(a+x)=f(a-x)则T=2a

2.f(x)为奇函数且f(a+x)=f(a-x)则T=4a

练习：①f(x+a)=－f(x) ②f(x+a)=

)(1x f ③f(x+a)=－)(1x f ④f(x+a)=1

)(1)(-+x f x f ⑤f(x+a)=f(x-a) ⑥ f(x)= f(x-a) -f(x-2a) 1、函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( )

A.()f x 是偶函数

B.()f x 是奇函数

C.()(2)f x f x =+

D.(3)f x +是奇函数

2、设()f x 是定义域为R 的函数，且()()21f x f x +-⎡⎤⎣⎦()1f x =+，

又()22f =+则()2006f = 3、定义在R 上的函数f(x)满足2log (1),0()(1)(2),0

x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩,则(2011)f 的值为（ ）

(A)-1 (B) 0 (C)1 (D)2

4、定义在R 上的函数()f x ，给出下列四个命题：

（1）若()f x 是偶函数，则(3)f x +的图象关于直线3x =对称

（2）若(3)(3),f x f x +=--则()f x 的图象关于点(3,0)对称

（3）若(3)f x +=(3)f x -，且(4)(4)f x f x +=-，则()f x 的一个周期为2。

（4）(3)y f x =+与(3)y f x =-的图象关于直线3x =对称。

其中正确命题的序号为 。

11、若()f x 为定义在R 上的函数，且(10)(10)f x f x +=-，(20)(20)f x f x -=-+，则()f x 为（ ）

A ． 奇函数且周期函数； B. 奇函数且非周期函数；

C ． 偶函数且周期函数； D. 偶函数且非周期函数．

14、已知函数()f x 满足:

()114

f =,()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈,则()2010f =_____________.