函数(映射)

2. 逆运算
例：
注意： 1. 设函数f：A→B，g：B→C，则(f∘g)-1= g-1∘f-1 2. 设函数f：A→B，则((f)-1)-1= f3. 设函数f：A→B，则 f-=f ∘IB=IA∘ f 设函数f：A→B，则 f--1∘f =IB ，f--1∘f =IA
函数的知识逻辑结构图
四、计算机科学中常用的函数
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262 ……
折叠法
折叠法是首先把关键字分割成位数相同 的数段（最后一段的位数可以少一些），每 一段长度的选择与哈希表的表长有关，然后 将这几段的叠加和作为哈希地址的方法。
在折叠法中，数位叠加有移位叠加和间 界叠加两种方法。
例如：关键字为k=38145603781
折叠法用于关键字位数很多，而且关键 字中每一位上的数字分布大致均匀的情况。
1. 复合运算 函数是一种特殊的二元关系，因此函数 的复合可以用关系的复合定义，当函数被用 作关系进行复合时，其结果仍然是关系，但 这个关系是否为函数呢？ 定理：两个函数的复合仍然是函数。
回忆“关系的复合”
理解：x是t的母亲，t是y的妻子； x是t的父亲，t是y的父亲。 F∘G = {<x, y> | t (<x, t> F < t, y > G) } 例：设F={<3,3>, <6,2>} , G={<2,3>} ，则 F∘G ={<6,3>} G∘F ={<2,3>}
(2) 应用 哈希函数主要用于信息安全领域中加密 算法，它把一些不同长度的信息转化成杂乱 的128位的编码里，叫做Hash值。也可以说， hash就是找到一种数据内容和数据存放地址 之间的映射关系。 将记录的关键字K作为自变量，通过哈希 函数计算出的值，即为该元素的存储地址。 表示为：Addr=H(key)。
例：已知哈希表的地址空间为A[0..11]，哈希 函数H（k）=k mod 11，采用线性探测法处理 冲突。请将下列数据 {25,16,38,47,79,82,51,39,89,151,231}依次插入 到哈希表中。
地 址 关 键 字 比 较 次 数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
数字分析法
数字分析法是在预先知道的，可能出现 的一组关键字中，每个关键字由n位数字组成， 选取数字分布比较均匀的若干位作为哈希地 址。 数字位数的选取与哈希表的最大长度有 关，也就是与关键字的个数有关。
例如，下面一组关键字，每个关键字由8位十 进制数组成。
除留余数法
式中%表示余数运算。用该方法产生的 哈希函数的优劣取决于p值的选取。实践证明， 当p取最接近于表长的素数时，产生的哈希函 数较好。
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B →C
例： 解： f∘g是A到C 上的函数 f∘g(x)=g(f(x))=g(b)=2 f∘g(y)=g(f(y))=g(c)=1 f∘g(z)=g(f(z))=g(c)=1
例：设R是实数集，对任意a∈R，R上的函数 分别为f(x)=x2-2, g(x)=x+4, h(x)=x3-1，求
练习：考虑下列实数集上的函数： f(x)=2x2+1 g(x)=-x+7 求f∘g ，g∘f， f∘f， g∘g。
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函数的引入
观察一个一般的从集合A到B上的二元关
系，如下图：
若对关系R加以限制条件，可以得到一些
更有价值的关系，可以做如下限制：
(1) 集合A所有元素都是与集合B中某个元素有 关系R的元素，即dom(R)=A。 (2) 集合A上的某个元素只与集合B上的某一个 元素有关系R。 经过这样的限制，得到的特殊关系被称 为函数。
解决冲突的方法
无论如何构造哈希函数，在实际应用中 冲突是不可避免的。为此，如何解决冲突也 是建立哈希表时不可忽视的方面。 冲突是指由关键字得到的哈希地址上已 经有了记录，而解决冲突就是为该关键字的 记录找到另一个新的哈希地址。 若新地址上也有记录了，则再找另一个 新的哈希地址，依次类推，直至找到一个空 的地址为止。
练习：设输入的关键字序列为： 22,41,53,33,46,30,13,01,67, Hash函数为：H（key）=key MOD 11。 Hash表长度为11。试用线性探测法解决 冲突，将各关键字按输入顺序填入Hash表中。
2. 链地址法
链地址法是把具有相同哈希地址的关键 字值放在同一个链表中，称为同义词链表， 将该链表的头指针存储在相应的哈希地址对 应的存储单元中。
(2) 二次探测法
这样使连续两次探测到的单元分别在发 生冲突单元的前后两侧，将探测的单元分散 开。
(3) 随机探测法Байду номын сангаас
随机探测法是指选择一个随机函数产生 随机数序列。
例：已知关键字集合 k={18,73,20,5,68,99,27,41,51,32,25}，设哈希 表长m=13，哈希函数H（k）=k % 13，采用 线性探测法处理冲突，构造该哈希表。 为了构造哈希表，首先要计算哈希地址。 若地址未被占用，则插入新结点，否则进行 线性探测。用线性探测法求下一个地址的方 法为：
1. 开放定址法 所谓开放定址法，就是存储空间中空闲地 址向处理冲突开放。在哈希表未满时，处理冲 突需要的下一个空地址在存储空间的空闲地址 之中解决。
(1) 线性探测法
线性探测法处理冲突容易造成元素的聚 集，使探测下一个空闲单元的长度大大增加。 造成这种堆积的原因是，探测序列都集中在 发生冲突的单元后面，没有在整个哈希表上 分散开。为此，引入二次探测法。
例：已知关键字集合 k={18,73,20,5,68,99,27,41,51,32,25}，设哈希 表长m=13，哈希函数H（k）=k % 13，采用 链地址法解决冲突，构造该哈希表。 插入新结点时，将结点插入链表中，并 保持同义词在同一链表中关键字的值从小到 大有序。
3. 再哈希法
当发生冲突时，用另一个哈希函数得到 下一个哈希地址，如果再发生冲突，则再使 用另一个哈希函数，直至不发生冲突为止。 为此，需要预先设置一个哈希函数序列。 每次发生冲突时就使用不同的哈希函数，直 至没有冲突发生为止。 这种方法的优点是不易发生聚集，但增 加了计算时间。
(3) 哈希表查找 如果在存储位置和关键字之间建立某种
直接关系，那么在查找时，就无需做比较，
或进行比较的次数非常少。 按照这种关系直接由关键字找到相应的 记录，就是哈希表查找的基本思想。 哈希表查找又称杂凑法或散列法。
在哈希表中，存在不同的关键字对应到 同一个存储位置的现象。均匀的哈希函数可 以较少冲突，但不能避免冲突。冲突发生后， 必须得到解决；即必须寻找下一个可用地址。
平方取中法
平方取中法是将关键字平方后的中间几 位作为哈希地址。因为一个数的平方数与该 数的每一位数都有关，所以所取的位数与表 长有关。
关键字 1654 5541 关键字的平方数 2 735 716 30 702 681 哈希地址 375 026
1675
5341 ……
2 805 625
28 526 281 ……
判断下述关 系哪些为函 数？
一、函数的定义及特点
1. 函数的定义
例：设X={a,b,c,d},Y={1,2,3,4,5}，且有 f={<a,1>,<b,3>,<c,4>,<d,4>}，求domf,ranf,f(x)。
2. 函数的特点
设A、B是集合，如果函数 f 满足以下条件：
例：设A={1,2,3,4},B={5,6,7,8}，则下列关系 是从A到B的函数有哪些？并写出函数的相应 关系矩阵。f ={<1,5>,<2,7>,<3,8>,<4,6>} f2={<1,8>,<2,8>,<3,8>,<4,8>} f3={<1,7>,<2,8>,<3,7>,<4,8>} f4={<1,5>,<2,7>,<3,8>,<4,6>,<1,6>} f5={<1,5>,<2,7>,<3,8>} f6={<1,5>,<2,7>,<3,8>,<4,2>}
哈希函数的构造
构造哈希函数的方法很多，其原则是： • 使哈希地址尽可能均匀地分布在整个地址 空间中； • 使得用此哈希函数产生的映射所发生冲突
的可能性最小；
• 使计算尽量简单，以节省计算时间。
直接定址法
特点：计算简单，一个关键字对应于一个存 储地址，不会产生冲突。这种方法适用于关 键字分布连续的情况。 但在实际中，由于关键字集合中的元素 很少是连续的，用该方法产生的哈希表会造 成空间的浪费。因此，这种方法很少使用。
1. 特征函数
例：设X={a,b,c}，X的子集是Φ、{a}、{b}、 {c}、{a,b}、{a,c}、{b,c}和{a,b,c}，试给出X 的所有子集的特征函数且建立特征函数与二 进制之间的对应关系。
2. 取整函数 (1) 下取整函数
例如：
例：
(2) 上取整函数
3. 哈希函数
(1) 定义 哈希函数是一个映射f：A→B。输入为A， 任意长度，变换成固定长度的输出B，该输出 就是散列值。 这种转换是一种压缩映射，也就是，散 列值的空间通常远小于输入的空间，不同的 输入可能会散列成相同的输出，而不可能从 散列值来唯一的确定输入值。 简单的说就是一种将任意长度的消息压 缩到某一固定长度的消息摘要的函数。
若A，B是有限集，函数f：A→B是单射，B中 的每个元素都最多是一条有向边的终点，且 |A|≤|B|。
若A，B是有限集，函数f：A→B是双射，B中 的每个元素都是且仅是一条有向边的终点， 且|A|=|B|。