第四节生灭过程

3 生灭过程Q矩阵
0
0
0
1
(1 1)
1
Q
2
(2 2 )
2
3
(3 3 ) 3
0
... ...
m
m1 m
则在t（充分小）时间内有：
pi,i1(t) P(N (t t) i 1| N (t) i) it o(t) pi,i1(t) P(N (t t) i 1| N (t) i) it o(t)
pij (t) P(N (t t) j | N (t) i) o(t) pii (t) P(N (t t) i | N (t) i)
1 pij (t) 1 (i i )t o(t) ji
i0 i 1 | j i | 2
i 0, 0 0
5 生灭过程X的状态流图
无限状态的：
(1)
0 0 11 0
i
i 1
6 生灭过程的平稳分布
由（1）可得
i i i1 i1 i1 i1 i i
由此得
i i i1 i1 i1 i1 i2 i2
...
11 0 0
0 即：平衡方程
i i i1 i1
6 生灭过程的平稳分布
解得：
i
i1 i
i1
i 1 i2...0 i i1...1
0
i 1
再由
i 1
i
若状态有限： 0
[1
m n1
01...n1 ]1 12 ...n
（平稳分布必然存在）
若状态无限： 0
[1
n1
01...n1 12 ...n
]1（若级数收敛则平稳分布存在）
7 平衡方程的意义
0
1
2 3
0
1
2
3
1
2
3 4
i－2 i－1 i
0
1
2 3
0
1
2
3
1
2
3 4
i－2 i－1 i
i-1
i
i-1
i
i+1
m个状态的：
0
0
1
1
1 2
2
2 3 3
3 4
i－1 i
i
i
i+1
m－2 m－1
m-1
m
m-1 m
6 生灭过程的平稳分布
由连续马氏链求平稳分布的公式有：
i
iqij 0
i 1
i
(i i ) i i1 i1 i1 i1 0
P(t s) P(t) P(s)
前向 P '(t) P(t) Q
方程 pij '(t) pik (t) qkj k
后向 P '(t) Q P(t)
方程 pij '(t) qik pkj (t) k
j (t) pi pi j (t)
i
j '(t) k (t) qkj
8 例题
有一生灭过程，其状态空间E={0,1,2,…,k}， j=(k-j) , jk, j=j 请：
画出状态流图 写出Q矩阵 平稳分布是否存在？为什么？ 若平稳分布存在，则求出其平稳分布
k
v Q 0
第四节 生灭过程
1 生灭过程简述
生灭过程是每一次状态转移都发生在相邻状态 之间的齐次马氏链
生灭过程有离散时间的也有连续时间的，我们 以连续时间的生灭过程为例来学习
状态的变化只可能有三种情况：加1，减1，不
变：
i+1 生
i
i 不变
i-1 灭 t
1 生灭过程概述
q00 q01
0
Q
q10
q11
q12
0
q21
q22 ...
q23 ...
...
行和为0
主对角线及其上下两条平行斜线上有非零元素，其它所有 元素均为0
若是有限个状态，则最后一个状态m，只能“灭”不能 “生”
2 生灭过程
定义参数
i（i>0)－在i状态下（例如：系统中有i个 顾客）的增（生）长率 i=qi, i+1 i (i >0)－在i状态下的消（死）亡率i=qi, i-1 qij=0 |i-j|2 qii=-(qi, i+1+qi, i-1)=-(i+ i)
i-1
i
i-1
i
i+1
从平衡方程可以推得
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
i-1
i
i1 i1 i1 i1 (i i ) i
i
i
i＋1
平稳状态下，瞬间流入状态i的流量与瞬间 流出状态i的流量相等
7 平衡方程的意义
i i i1 i1
0
1
2
3
0
1
2
3
1
2
3
4
i－2
i－1 i
i-1
i-1
i
i i+1
平稳状态下，瞬间从状态i流入状态i-1的流 量与从状态i-1流入状态i的流量相等
主要公式对比
K-C方程
离散时间马氏链
p(nm) ij
p p (n) (m) ik kj
k
P(nm) Pn Pm
瞬时分布
P( X n i)
pk
p(n) ki
k
(n) i
(0) i
P(n)
(n1) i
P
平稳分布 P v
( I ) P 0
连续时间马氏链
pij (t s) pik (t) pkj (s) k