数学—极限练习题及详细答案

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极限部分练习题答案

《极限部分练习题》参考答案1. 42lim416--→x x x解1 ()()()()()()84244x 48422lim 42lim4424344243416416++++-++++-=--→→x x x x x x x x x x x x x()()()()84216x 416lim4424316+++-+-=→x x x x x x 418888448424lim4424316=++++=++++=→x x x x x .解2 ()()4122121lim 222lim 42lim41644416416=+=+=+--=--→→→x x x x x x x x x . 【注】解1中是分子、分母同乘分子24-x 的共轭根式84244243+++x x x ，解2中是分子、分母同乘分母4-x 的共轭根式4+x ，显然解2比解1简单.2. 求a 的值，使得411lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x a解 a aa xx aa xx xx e x a x a x a ---∞→--∞→∞→=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-1lim 1lim 1lim Θ，41=∴-a e ，即4=ae ,取对数得2ln 24ln ==a . 3. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x x x sin 11sinlim 解 101sin 1lim 11sinlim sin 1lim 1sin lim sin 11sin lim =+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→∞→∞→∞→x x xx x x x x x x x x x x x x x .【注】解题中求极限xx x 1sin lim ∞→时应用了第一个重要极限，而求极限x x x sin 1lim ∞→时则应用了无穷小量的性质（无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量）.4. 当∞→n 时，n 1sin2与k n1等价，则=k ？解 Θ当∞→n 时k n n 1~1sin 2，111sin lim2=∴∞→k n n n ，而111sin lim 11sin lim 11sin lim =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→∞→∞→kn kn k k n n n n n n n ，2=∴k .5. xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→1212lim 解1 e e e x x x x x x x x x x xx x xx x x x x ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---∞→∞→--∞→∞→∞→2121212212212212211lim 211lim 211211lim 211211lim 1212lim . 解2 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→∞→∞→2121212211221lim 1221lim 1212lim x x x x x x x xx xxe e x x x x x =⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→-∞→11221lim 1221lim 21212. 6. ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→22211311211lim n n Λ 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→22211311211lim n n Λ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→n n n 1111311311211211lim Λ 21121lim 1134322321lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-⋅⋅⋅=∞→∞→n n n n n n n n Λ. 7. 设()3222+-=+x x x f ，则()[]=2f f ？解在()3222+-=+x x x f 中令0=x ，得()32=f ，从而()[]()32f f f =；再在()3222+-=+x x x f 中令1=x ，得()23=f ，即()[]22=f f .8. xxx 3sin 11lim0--→解1 ()()()()xx xx x x x x x x x x -+=-+-+--=--→→→113sin lim113sin 1111lim 3sin 11lim000 ()()616111131lim 3sin 3lim 11313sin 3lim 000=⨯=-+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅=→→→x x x x x x x x x . 解2 注意，当0→x 时，x x 3~3sin ，且()2~1111xx x ---+=--，所以当0→x 时，()2~1111x x x ---=--，于是由无穷小量替换法得613lim 3sin 11lim 00==--→→x 2xx x x x .9. xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→12lim 解1 31212212211lim 21lim 1121lim 1121lim 12lim e e e x x x x x x x x x x xx x x x xx x x ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---∞→∞→--∞→∞→∞→. 解2 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→∞→∞→131131lim 131lim 12lim 331x x x x x x x xx xx333311131lim 131lim e e x x x x x =⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→-∞→. 10. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x x sin 11sinlim 0解 110sin lim 1sin lim sin 11sinlim 000=+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→x x x x x x x x x x x .【注】解题中求极限⎪⎭⎫⎝⎛⋅→x x x 1sin lim 0时应用了无穷小量的性质（无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量）.11. 623lim 2232--++-→x x xx x x解 ()()()()()5231lim 2321lim 623lim 222232-=-+=+-++=--++-→-→-→x x x x x x x x x x x x x x x x .12. hx h x h 330)(lim -+→解1 ()()2220322033333lim 33lim limx h xh x hh xh h x hx h x h h h =++=++=-+→→→. 解2 ()()()[]()()[]2220220333lim lim limx x x h x h x hx x h x h x h hx h x h h h =++++=++++=-+→→→.【注】解1中分子是直接将二项式()3h x +展开再减3x ，而解2中分子是直接对()33xh x -+应用立方差公式. 13. 321lim3--+→x x x解 ()()()()()()41211lim 2133lim 2132121lim 321lim3333=++=++--=++-++-+=--+→→→→x x x x x x x x x x x x x x . 14. ()x x x x -+++∞→)2)(1(lim解 ()()()[]()()[]()()xx xx x x x x x x x x x x ++++++-++=-+++∞→+∞→212121lim )2)(1(lim()()()()23123123lim2323lim 2121lim222=++++=++++=+++-++=+∞→+∞→+∞→x x x xx x x x x x x x x x x x . 【注】仿上步骤可知，()()()[]()()[]()()xx xx x x x x x x x x x x ++++++-++=-++-∞→-∞→212121lim )2)(1(lim()()()()+∞=+++-+=++++=+++-++=-∞→-∞→-∞→123123lim2323lim 2121lim222x x xxx x x x x x x x x x x x ，即极限()x x x x -++-∞→)2)(1(lim不存在，所以()x x x x -++∞→)2)(1(lim 也不存在，故将原题改为()x x x x -+++∞→)2)(1(lim .15. xx xx x e e e e 2223lim ++-+∞→解1 21231lim 23lim 322=++=++--+∞→-+∞→x x x x x x x x e e e e e e .解2 令xe u =，则当+∞→x 时，+∞→u ，故由无穷小量分出法，有212311lim 231lim23lim32222=++=++=+++∞→+∞→-+∞→uu u u u u e e e e u u x x xx x .16. xxx x 3sin sin 2tan 2lim+-+→ 解 ()()()xx x xx x x xxx x x sin 2tan 2sin sin 2tan 2sin 2tan 2lim sin sin 2tan 2lim3030+++++++-+=+-+→→ ()()xx x x x x x x x x x sin 2tan 2sin 1cos 1lim sin 2tan 2sin sin tan lim 2030+++-=+++-=→→ ⎪⎭⎫⎝⎛+++⋅⋅-=→x x x x x x sin 2tan 21cos 1sin cos 1lim 20（以下分3种作法） ① 原式⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅=→x x x x x x sin 2tan 21cos 1sin 2sin 2lim 220 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅⋅⋅=→x x x x x x x xxx sin 2tan 21cos 1sin 242sinlim 2222220 241221111121sin 2tan 21lim cos 1lim sin lim 22sin lim21002020=⨯⨯⨯⨯=+++⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=→→→→x x x x x x x x x x x .② 原式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅+⋅-=→x x x x x x x sin 2tan 21cos 1cos 11sin cos 1lim 220 ⎪⎭⎫⎝⎛+++⋅⋅+=→x x x x x sin 2tan 21cos 1cos 11lim 0 2412211121sin 2tan 21lim cos 1lim cos 11lim000=⨯⨯⨯=+++⋅⋅+=→→→x x x x x x x .③ Θ当0→x 时，2~cos 12x x -，且22~sin x x ，∴由无穷小量替换法，原式⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅=→x x x x x x sin 2tan 21cos 12lim 220⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅=→x x x x sin 2tan 21cos 121lim 0 2412211121sin 2tan 21lim cos 1lim 2100=⨯⨯⨯=+++⋅⋅=→→x x x x x . 17. xx x x⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞→1lim 22解 x x xx x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→∞→222111lim 1lim xx x x x x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--∞→∞→11111lim 11111lim 1 1111lim 11lim 111=⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-∞→--∞→ee x x xx xx . 18. ()xx x 3sin 21ln lim 0+→ 解1 ()()()xx x xx x x x x x x x x x x 33sin 21ln lim 32333sin 221ln 21lim 3sin 21ln lim 21000+=⋅⋅+=+→→→()x x x x xx 33sin lim 21ln lim 320210→→+= ()321ln 3233sin lim 21lim ln 320210=⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=→→e x x x x x x . 解2 ()3232lim 3sin 21ln lim 00==+→→x x x x x x （Θ当0→x 时，x x 2~)21ln(+，且x x 3~3sin ）.19. 9lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ，求=a ？解 Θa a a a a x x aa xx a a x aa x x xx x x e e e x a x a x a x a x a x a a x a x 21lim 1lim 11lim 11lim lim ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---∞→∞→--∞→∞→∞→. ∴92=a e ，两边取对数，得3ln 29ln 2==a ，3ln =a .20. ()x x xx ++-∞→100lim2解 ()()()xx x xx xxx xx x x x x -+-+++=++-∞→-∞→100100100lim100lim 22225011001100lim100100lim100100lim2222-=-+-=-+=-+-+=-∞→-∞→-∞→xxx x x xx x x x x x x x .【注】解题过程中要特别注意的是，由于-∞→x ，故x ＜0，于是作到第3步骤后，分母中的根式x x x x x x 1001100110022+-=⎪⎭⎫⎝⎛+=+（同样的情况前面也有遇到，请参见第14题【注】的第4步骤）.。

数学极限练习题考研

数学极限练习题考研数学极限是考研数学中的一个重要的知识点，也是比较难以理解和掌握的内容之一。

掌握了数学极限的概念和运算方法，对于考生在考研数学中获得高分非常有帮助。

下面我将为大家列举一些数学极限的练习题，帮助大家更好地掌握和应用数学极限。

【练习题一】求极限1. $\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}$2. $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$3. $\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}$4. $\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$5. $\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\tan x}\right)$【解答】1. 根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{(e^x-1)'}{x'} = \lim_{x \to 0}\frac{e^x}{1} = 1$$2. 同样根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$3. 根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x\cos x} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{\cos x} = 1$$4. 这是一个经典的极限，可以用连续复利公式证明，答案为：$$\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$$5. 根据极限的定义，可以得到：$$\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\tan x}\right) = \lim_{x \to 0}\frac{1-\frac{x}{\sin x}}{x}$$利用洛必达法则：$$= \lim_{x \to 0}\frac{-\frac{1}{2}\sin x + \frac{x\cos x}{\sin^2 x}}{1} = -\frac{1}{2}$$通过解答以上练习题，我们可以发现，掌握数学极限的运算方法和技巧是非常重要的。

有关极限考研试题及答案

有关极限考研试题及答案1. 计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。

答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以求导数来计算极限。

对于本题，我们有：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{1} = 1\]2. 求函数 $f(x) = x^3 - 3x$ 在 $x = 1$ 处的左极限和右极限。

答案：- 左极限 $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^3 - 3 \times 1 = -2$ - 右极限 $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1^3 - 3 \times 1 = -2$由于左极限等于右极限，所以函数在 $x = 1$ 处的极限存在，且为 $-2$。

3. 判断函数 $g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ 是否在 $x = 0$ 处连续。

答案：函数 $g(x)$ 在 $x = 0$ 处的左极限和右极限都等于1，即：\[\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x) = 1\]同时，$g(0) = 1$，因此函数在 $x = 0$ 处连续。

4. 计算不定积分 $\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx$。

答案：这是一个标准积分形式，其积分结果为：\[\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan(x) + C\]其中 $C$ 为积分常数。

5. 求函数 $h(x) = \ln(x)$ 在 $x = e$ 处的导数。

答案：函数 $h(x)$ 的导数为 $h'(x) = \frac{1}{x}$，因此在 $x = e$ 处的导数为：\[h'(e) = \frac{1}{e}\]6. 判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是否收敛。

极限定理习题及答案

极限定理习题及答案极限定理习题及答案引言：极限定理是微积分中的重要概念，它描述了函数在某个点附近的行为。

通过研究极限，我们可以揭示函数的性质，解决各种数学问题。

本文将介绍一些常见的极限定理习题，并给出详细的答案。

一、极限的定义在开始解答具体习题之前，我们先来回顾一下极限的定义。

对于给定的函数f(x)，当自变量x无限接近某个常数a时，如果函数值f(x)也无限接近一个常数L，那么我们就说函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。

二、习题及解答1. 求函数f(x)=2x^2-3x+1在x趋于2时的极限。

解答：根据极限定义，我们要求当x趋于2时，函数f(x)的极限。

将x代入函数f(x)，得到f(2)=2(2)^2-3(2)+1=7。

因此，当x趋于2时，函数f(x)的极限为7。

2. 求函数f(x)=sinx/x在x趋于0时的极限。

解答：根据极限定义，我们要求当x趋于0时，函数f(x)的极限。

首先，我们可以观察到当x等于0时，函数的值为0/0，这是一个未定义的情况。

但是，我们可以利用泰勒展开将函数转化为可求解的形式。

对于sinx，我们可以将其展开为x-x^3/3!+x^5/5!-...。

将展开后的形式代入函数f(x)，得到f(x)=(x-x^3/3!+x^5/5!-...)/x=1-x^2/3!+x^4/5!-...。

当x趋于0时，我们可以发现除了第一项1之外，其他各项都趋于0。

因此，当x趋于0时，函数f(x)的极限为1。

3. 求函数f(x)=ln(1+x)/x在x趋于0时的极限。

解答：根据极限定义，我们要求当x趋于0时，函数f(x)的极限。

将x代入函数f(x)，得到f(0)=ln(1+0)/0=ln(1)/0。

我们可以发现ln(1)=0，而0/0是一个未定义的情况。

为了解决这个问题，我们可以利用洛必达法则。

对函数f(x)求导，得到f'(x)=(1/(1+x)-ln(1+x))/x^2。

高三数学函数极限试题答案及解析

高三数学函数极限试题答案及解析1.已知定义在上的函数满足.当时.设在上的最大值为，且数列的前项和为，则 . （其中）【答案】【解析】依题意可得函数.所以，，，…，.所以数列是一个首项为1，公比为的等比数列.所以.所以.【考点】1.函数的性质.2.数列的通项.3.函数的最值.4.极限问题.2.若存在，则实数的取值范围是_____________．【答案】【解析】我们知道存在的充要条件是，故本题中有，解之即得结论．【考点】存在的充要条件．3.若存在，则不可能为（）A．；B．；C．；D．；【答案】B【解析】如果f(x)=|x|，则,所以不存在.所以不可能为.4.函数在点处的切线方程为，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵函数在点处的切线方程为，∴，∴，故选D5.函数在处的极限是（）A．不存在B．等于C．等于D．等于【答案】A【解析】分段函数在x=3处不是无限靠近同一个值，故不存在极限.[点评]对于分段函数，掌握好定义域的范围是关键。

6.已知，则_______【答案】-2【解析】得，所以-2.7.若展开式的第项为，则________【答案】 2【解析】略8.=" " ．【答案】2【解析】略9.若,则的值为A．0B．C．1D．【答案】B【解析】略10._________________【答案】-1【解析】略11.___________【答案】【解析】略12.= 。

【答案】3【解析】略13.函数f (x)＝在点x=1和x=2处的极限值都为0，而在点x=-2处不连续，则x·f(x)<0的解集是（）A．（-2，0）∪（1，2）B．（-2，2）C．（－∞，-2）∪（1，2）D．（-2，0）∪（2，+∞）【答案】A【解析】略14.（理）的值等于（）（）（）0 （）（）不存在【答案】略【解析】略15.= .【答案】-1【解析】略16.已知，则的值为（）A．a B．2a C．3a D．9a【答案】D【解析】则17.=A．—1B．—C．D．1【答案】B【解析】=18._______________.【答案】【解析】略19. ( )A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】本题主要考查极限的运算，故原式，故选C20.如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则；．（用数字作答）【答案】 2 -2【解析】 f(0)=4，f(4)=2；由导数的几何意义知－2.。

(完整word版)数学分析—极限练习题及详细答案

一、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（）是等价无穷小。

A.sin ||xB.ln(1)x -C.11.【答案】D 。

2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（）A.5B.3C.1D.0 2.【答案】B.解析由洛必达法则可得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（） A.3xB.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.12233312332000311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。

4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（）个A.4B.3C.2D.14.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+⨯-， 20.5sin12lim1(20.5)2n x π→=+⨯，故，有两个跳跃间断点，选C 。

5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。

高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023

高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023题目一：函数极限1. 计算以下极限：a) lim(x→2) (x^2 + 3x - 4)b) lim(h→0) [(4+h)^2 - 16]/hc) lim(x→∞) [(x+1)/(x-1)]^2d) lim(x→0) (1/x - 1)/(1 - sqrt(1 + x))解答：a) 将x代入函数，得到：lim(x→2) (2^2 + 3*2 - 4) = 8b) 将h代入函数，得到：lim(h→0) [(4+0)^2 - 16]/0 = 0c) 当x趋向于正无穷大时，[(x+1)/(x-1)]^2 = 1d) 将x代入函数，得到：lim(x→0) (1/0 - 1)/(1 - sqrt(1)) = undefined题目二：连续函数2. 判断以下函数在给定区间是否连续：a) f(x) = x^2 - 5x + 6, 在区间[1, 5]上b) g(x) = √(x + 2), 在区间[-2, 3]上c) h(x) = 1/(x-2), 在区间(-∞, 2)上解答：a) 函数f(x)是一个二次函数，对于任意实数x，f(x)都是连续的。

因此，f(x)在区间[1, 5]上连续。

b) 函数g(x)是一个开根号函数，对于非负实数x，g(x)都是连续的。

在区间[-2, 3]上，g(x)的定义域为[-2, ∞)，因此在该区间上连续。

c) 函数h(x)在x=2处的定义域为无穷，因此在该点不连续。

在区间(-∞, 2)上除x=2之外的点，h(x)为一个连续函数。

题目三：函数极限的性质3. 判断以下命题的真假，并简要说明理由：a) 若lim(x→a) f(x) = L，且L≠0，则lim(x→a) [f(x)]^2 = L^2。

b) 若lim(x→a) f(x) = L，且f(x) > 0，那么lim(x→a) 1/f(x) = 1/L。

c) 若lim(x→a) f(x) = L，且lim(x→a) g(x) = M，则lim(x→a) [f(x) +g(x)] = L + M。

高等数学测试题一(极限连续)答案

高等数学测试题一（极限连续）答案一、选择题（每小题4分，共20分）1、当某0时，（）无穷小量。

111A某inBe某Cln某Din某某某某13某1某1的（）2、点某1是函数f(某)1。

3某某1A连续点B第一类非可去间断点C可去间断点D第二类间断点3、函数f(某)在点某0处有定义是其在某0处极限存在的（）。

A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D无关条件某22a某)0，则常数a等于（）4、已知极限lim(。

某某A-1B0C1D2e某15、极限lim等于（）。

某0co某1AB2C0D-2二、填空题（每小题4分，共20分）1、lim(1)=某21某2某2、当某0时，无穷小ln(1A某)与无穷小in3某等价，则常数A=3、已知函数f(某)在点某0处连续，且当某0时，函数f(某)2则函数值f(0)=1某2，4、lim[111]=n1223n(n1)15、若limf(某)存在，且f(某)某in某2limf(某)，则limf(某)=某某某二、解答题1、（7分）计算极限lim(1n111)(1)(1)22223n2、（7分）计算极限lim某0tan某in某3某3、（7分）计算极限lim(某2某3某1)2某14、（7分）计算极限lim某01某in某1e1某2某3a某2某45、（7分）设lim具有极限l，求a,l的值某1某126、（8分）设(某)某33某2,(某)c(某1)n，试确定常数c,n，使得(某)(某)1某in7、（7分）试确定常数a，使得函数f(某)某2a某在(,)内连续某0某08、（10分）设函数f(某)在开区间(a,b)内连续，a某1某2b，试证：在开区间(a,b)内至少存在一点c，使得t1f(某1)t2f(某2)(t1t2)f(c)(t10,t20)3。

函数极限习题及答案

函数极限习题及答案函数极限习题及答案函数极限是微积分中一个重要的概念，它在数学的各个领域中都有广泛的应用。

通过研究函数在某一点的极限，我们可以了解函数在该点附近的变化规律，进而推导出一些重要的结论。

本文将通过几个习题来讨论函数极限的相关概念和计算方法，并给出详细的解答。

1. 求函数f(x) = 2x + 3在x = 1处的极限。

解答：要求函数在某一点的极限，可以直接将该点的值代入函数进行计算。

将x = 1代入函数f(x) = 2x + 3中，得到f(1) = 2(1) + 3 = 5。

因此，函数f(x)在x = 1处的极限为5。

2. 求函数g(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)在x = 1处的极限。

解答：当直接代入x = 1时，函数g(x)的分母为0，无法计算。

此时，我们可以通过化简来求解。

将函数g(x)的分子进行因式分解，得到g(x) = (x - 1)(x + 1)/(x - 1)。

分子的(x - 1)与分母的(x - 1)相约，得到g(x) = x + 1。

再将x = 1代入该函数，得到g(1) = 1 + 1 = 2。

因此，函数g(x)在x = 1处的极限为2。

3. 求函数h(x) = sin(x)/x在x = 0处的极限。

解答：当直接代入x = 0时，函数h(x)的分母为0，无法计算。

此时，我们可以利用极限的性质来求解。

首先，我们可以观察到当x接近0时，sin(x)也接近0。

因此，我们可以猜测函数h(x)在x = 0处的极限为1。

为了证明这个猜测，我们可以利用泰勒级数展开来近似计算。

根据泰勒级数展开，sin(x)可以表示为x -x^3/3! + x^5/5! - ...。

将这个级数代入函数h(x)，得到h(x) = (x - x^3/3! +x^5/5! - ...)/x。

分子中的x与分母的x相约，得到h(x) = 1 - x^2/3! + x^4/5! -...。

当x接近0时，x^2、x^4等项的值都会趋近于0，因此，我们可以得到h(x)在x = 0处的极限为1。

极限习题及答案

极限习题及答案极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了函数在某一点附近的行为。

在解决极限问题时，我们通常需要掌握一些基本的极限性质和技巧。

以下是一些极限习题及相应的答案。

习题1：求极限 $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$答案：首先，我们可以尝试化简表达式：\[\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2}\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}\]当 $x \neq 2$ 时，分子和分母中的 $x - 2$ 可以相互抵消，得到：\[\lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4\]习题2：求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$答案：这个极限是著名的正弦极限，其值是 1。

我们可以通过洛必达法则或者直接利用正弦函数的图形来理解这个极限。

当 $x$ 接近 0 时，$\frac{\sin x}{x}$ 接近 1。

求极限 $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x}{x^2 + 1}$答案：当 $x$ 趋向于无穷大时，分子和分母中 $x^2$ 的项占主导地位，因此：\[\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x}{x^2 + 1} = \frac{3 +\frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x^2}} = 3\]习题4：求极限 $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$答案：这个极限是 e 的定义，即自然对数的底数。

我们可以通过取对数来解决这个问题：\[\ln(\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}) = \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x}\]当 $x$ 接近 0 时，$\ln(1 + x)$ 接近 $x$，因此：\[\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0} 1 = 1\]所以原极限的值为 $e$。

数学极限练习题

数学极限练习题在数学中，极限是一个重要的概念。

它用于描述函数或数列在某一点或者趋近无穷时的行为。

极限问题是数学分析中的基础内容，也是各门数学学科中常见的一类问题。

本文将介绍一些常见的数学极限练习题，旨在帮助读者加深对极限概念的理解并提高解题能力。

1. 计算极限：求下列极限的值。

a) 极限：lim(x→1) [(x^2 + 2x + 1) / (x - 1)]b) 极限：lim(x→∞) [(5x^2 + 3x - 1) / (2x^2 - x + 4)]c) 极限：lim(x→0) [sin(2x) / x]2. 求解无穷极限：计算下列函数的无穷极限。

a) 极限：lim(x→∞) [(3x - 1) / (2x + 5)]b) 极限：lim(x→∞) [e^x / (x^2 + 1)]c) 极限：lim(x→∞) [√(x^2 + 3x) - x]3. 判断极限存在性：判断下列极限是否存在。

a) 极限：lim(x→0) [(x^2 - x) / (|x|)]b) 极限：lim(x→∞) [(x^3 + 2x^2 - 4) / (x^3 - x^2 + 1)]c) 极限：lim(x→1) [(x - 1) / (x^2 - 1)]4. 应用题：解决实际问题。

一辆汽车以每小时60公里的速度匀速行驶，求汽车行驶2小时后的位置极限。

解答思路：汽车的匀速行驶可用函数表示。

假设汽车行驶的距离为D，时间为t，则有D = 60t。

当t趋近于2时，D的极限即为所求。

解答步骤：1) 极限：lim(t→2) 60t2) 由极限的性质，常数倍数法则，极限等于常数与极限的乘积，得到60 * lim(t→2) t3) 将t视为自变量，计算t的极限。

由于t是自变量，且没有其他条件对t加以限制，t趋近于2时，极限即为2。

4) 代入极限结果，得到最后答案：60 * 2 = 120公里。

通过以上解答步骤，可以得出汽车行驶2小时后的位置极限为120公里。

极限练习题含答案

极限练习题含答案极限是数学分析中的一个重要概念，它描述了当自变量趋近于某个值时，函数值的行为。

下面是一些极限练习题及其答案，供同学们学习和练习。

练习题1：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]答案1：根据洛必达法则或者直接使用三角函数的性质，我们可以知道：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]练习题2：求极限\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 - 3x + 2} \]答案2：分子和分母同时除以$ x^2 $，得到：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} +\frac{1}{x^2}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}} = 3 \]练习题3：求极限\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} \]答案3：这是e的极限定义，即：\[ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e \]练习题4：求极限\[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \]答案4：这是一个无穷小量的倒数，当$ x $趋近于1时，$ x - 1 $趋近于0，所以：\[ \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \text{ 不存在} \]练习题5：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} \]答案5：分子分母同时除以$ \sin x $，得到：\[ \lim_{x \to 0} \frac{2}{3} \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot 1 =\frac{2}{3} \]练习题6：求极限\[ \lim_{x \to 0} x \cdot \tan x \]答案6：使用洛必达法则或者直接利用三角函数的性质，我们可以得到：\[ \lim_{x \to 0} x \cdot \tan x = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \]练习题7：求极限\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} \]答案7：当$ x $趋近于无穷大时，$ \sin x $的值在-1和1之间波动，但相对于$ x $来说，它趋近于0，所以：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0 \]练习题8：求极限\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \]答案8：这是e的导数的极限定义，即：\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \]以上练习题和答案可以帮助同学们更好地理解和掌握极限的概念和求解方法。

数学分析—极限练习题及详细答案教学文稿

数学分析—极限练习题及详细答案一、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（）是等价无穷小。

A.sin ||xB.ln(1)x -C.1 1.【答案】D 。

2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（）A.5B.3C.1D.02.【答案】 B.解析由洛必达法则可得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（） A.3xB.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.1223331233200311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。

4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（）个A.4B.3C.2D.14.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+⨯-， 20.5sin12lim 1(20.5)2n x π→=+⨯，故，有两个跳跃间断点，选C 。

5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。

高中数学函数与极限练习题及答案

高中数学函数与极限练习题及答案1. 求以下函数的极限：a) 若 f(x) = 3x + 2，当 x 趋近于 1 时。

b) 若 g(x) = x^2 + 4x - 5，当 x 趋近于 -2 时。

c) 若 h(x) = (2x^2 - 5x + 3) / (x - 1)，当 x 趋近于 1 时。

解答：a) 当 x 趋近于 1 时，f(x) = 3(1) + 2 = 5。

因此，函数 f(x) 在 x =1 时的极限为 5。

b) 当 x 趋近于 -2 时，g(x) = (-2)^2 + 4(-2) -5 = 4 - 8 - 5 = -9。

因此，函数 g(x) 在 x = -2 时的极限为 -9。

c) 当 x 趋近于 1 时，h(x) = (2(1)^2 - 5(1) + 3) / (1 - 1) = 0 / 0。

由于分母为 0，所以此时极限不存在。

2. 求以下函数的极限：a) 若 f(x) = sin(x)，当 x 趋近于 0 时。

b) 若 g(x) = cos(x)，当 x 趋近于π/2 时。

c) 若 h(x) = e^x，当 x 趋近于 -∞ 时。

解答：a) 当 x 趋近于 0 时，f(x) = sin(0) = 0。

因此，函数 f(x) 在 x = 0 时的极限为 0。

b) 当 x 趋近于π/2 时，g(x) = cos(π/2) = 0。

因此，函数 g(x) 在 x = π/2 时的极限为 0。

c) 当 x 趋近于 -∞ 时，h(x) = e^(-∞) = 0。

因此，函数 h(x) 在 x 趋近于 -∞ 时的极限为 0。

3. 求以下函数的极限：a) 若f(x) = √(9x^2 + 4) - 3x，当 x 趋近于 0 时。

b) 若g(x) = x^2 / (√(x^2 + 1) - 1)，当 x 趋近于 0 时。

c) 若 h(x) = (tan(x))^2 / x^2，当 x 趋近于 0 时。

解答：a) 当 x 趋近于 0 时，f(x) = √(9(0)^2 + 4) - 3(0) = √4 = 2。

高二数学极限测试题及答案

1．233lim9x x x →-+=-（ ) A ．16- B ．０ C ．16 D ．13 2．极限)(lim 0x f x x →存在是函数)(x f 在点0x x =处连续的（） A ．充分而不必要的条件 B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件3．n →∞，lim 错误!等于（ )A 。

1 B. 错误! C 。

错误! D 。

04．lim n →∞2123n n ++++＝（）A ．2B ．4C ．21 D ．0 5．⎪⎭⎫⎝⎛+--+-→342231lim 221x x x x x =（） A 12- B 12 C 16- D 166．已知2 3 , 1() 2 , 1x x f x x +≠⎧=⎨=⎩，下面结论正确的是( ） A ．()f x 在1x =处连续 B ．(1)5f = C ．5)(lim 1=→x f x D ．1lim ()2x f x →= 7．数列{n a ｝满足：113a =,且对于任意的正整数m,n 都有m n m n a a a +=⋅,则 12lim()n n a a a →∞+++=( ）A.12B.23C.32D.2 8．11(1)1lim 1,lim 1(22)x x f x x x f x →→--==--若则（ ) A ．－1 B ．1 C ．－21 D ．21 9．设正数a ， b 满足4)(22lim =-+→b ax x x 则=++--+∞→n n n n n b a ab a 2111lim （） A ．0 B ．41 C ．21 D ．1 10．数列{}=+++∈=+=→++)(lim *,,56,51,21111n n x n n n n a a a N n a a a a 则中（） A ．52 B ．72 C ．41 D ．254 11．23(1)______61lim n n n n →∞+=+。

高考数学极限测试题及参考答案

高考数学极限测试题考试要求：1、理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

2、了解数列极限和函数极限的概念。

3、掌握极限的四则运算法则，会求某些数列与函数的极限。

4、了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质。

1、)]211()511)(411)(311([lim +----∞→n n n 等于： A ．0 B ．32 C ．1 D ．2 2、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2:1:,4811311872==+++a a a a a a ，则nn n S na 2lim ∞→等于： A.41 B.21 C.1 D.2 3、等差数列}{n a 的前3项的和为21，前6项的和为24，则其首项为，若数列}{n a 的前n 项的和为S n ，则=∞→2lim n S n n . 4、若6)1(xx x -的展开式中的第五项是215, 设n n x x x S ---+++= 21 , 则n n S ∞→lim 等于： A. 1 B. 21 C. 41 D. 61 5、已知(32)()n x n N ++∈的展开式中各项的二项式系数之和为n S ，各项系数之和为n T ，则lim n n n n nS T S T →∞-+的值为: A. -1 B. 0 C.12 D. 1 6、等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知),0(9lim112>-=∞→a a n S n n 则当n S 取最大值时n 的值为 7、函数)(x f 在0x x =点处连续是)(x f 在0x x =处有极限的：A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>--+=)1(1)1(132)(2x ax x x x x x f 连续，则a 的值为：A ．2B ．－4C ．－2D ．39、若函数⎪⎩⎪⎨⎧>=<-=),0(2),0(0),0(1)(x x x x x f x 则0=x 是函数)(x f 的（） A ．连续点 B ．无定义的点 C ．不连续点 D ．极限不存在的点10、已知函数)(x f 是区间[－1，+∞]上的连续函数，当1111)(,03-+-+=≠x x x f x 时，则=)0(fA ．23B ．1C ．32D ．011、设=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤<+-)3(2)31()1(2x x x ax x , 在R 内每一点处都连续，那么：A ．f(x)的图象关于y 轴对称B ．f(x) 的图象关于原点对称C ．f(x) 的图象关于直线x=2对称D ．f(x) 的图象无对称轴 12、=-→x x x cos sin 1lim 2π 。

极限试题及答案

极限试题及答案一、选择题：1. 下列数列中，收敛的是：A. 1，-1，1，-1，…B. 1，2，4，8，…C. -1，0，1，2，…D. 1，0.5，0.25，0.125，…答案：D2. 函数f(x)=ln(x+1)的极限是：A. 0B. 1C. -1D. 无穷大答案：B3. 设数列{an}满足a1=1，an+1=3an+2，那么这个数列的通项公式是：A. an=n^2+1B. an=3^n-1C. an=2^n+1D. an=3^n+1答案：C二、填空题：1. lim(x→∞) (e^x / x^3) = __________答案：无穷大2. lim(x→0) (x^2 sin(1/x)) = __________答案：03. lim(x→1) [(x-1) / (x^2-1)] = ___________答案：1/2三、计算题：1. 计算极限：lim(x→0) [(cosx-1)/x]答案：02. 计算极限：lim(x→∞) [(x^3+2x-1)/(2x^3+3x-2)]答案：1/23. 计算极限：lim(n→∞) [√(n^2+n)-n]答案：1/2四、证明题：1. 证明：lim(x→0) [(sinx)/x] = 1证明过程略2. 证明：lim(n→∞) (1+1/n)^n = e证明过程略3. 证明：lim(x→0) [(ln(1+x))/x] = 1证明过程略五、应用题：1. 一物体从某初速度v0自由落体，经过t时间后下落的距离为s(t)=v0t+(1/2)gt^2，其中g为重力加速度。

求物体下落的平均速度。

答案：v(t) = v0 + gt（平均速度即为瞬时速度）2. 一座高山的山顶距海平面的高度为h米，山的脚下有一湖，湖的海拔高度为a米。

从山顶对湖中心垂直下落一块石头，落到湖面上时的速度为v米/秒。

求石头从山顶到湖面的时间。

答案：使用自由落体运动的公式，设落地时间为t，代入公式得 t = √(2h/g) （其中g为重力加速度）以上为极限试题及答案，希望对您有帮助。

极限练习题及答案

极限练习题及答案一. 选择题1.设F是连续函数f的一个原函数，”M?N”表示“M 的充分必要条件是N”，则必有.F是偶函数?f)是奇函数.F是奇函数?f是偶函数. F是周期函数?f是周期函数. F是单调函数?f是单调函数．设函数f?1x,则ex?1?1x?0，x x?0，x?1都是f?1都是f的第一类间断点. 的第二类间断点x?0是f的第一类间断点，x?1是f的第二类间断点. x?0是f的第二类间断点，x3．设f?x??x?1x?1是f的第一类间断点.1，则f[，x?0、，1f]?1A） 1?xB） 1?x4．下列各式正确的是 C）XD） x1+ )?exx11lim??elimC） D）?exxA） limx?0?1x?1B）limx?01x?x?xx??x??5．已知lim?9，则a?。

A.1；B.?；C.ln3；D.2ln3。

．极限：lim x??2A.1；B.?；C.e7．极限：lim； D.e。

2x??x3?2= x3A.1；B.?；C.0；D.2．8．极限：limx?0x?1?1x=A.0；B.?；C 1； D.2．29. 极限：lim=x???A.0；B.?；C.2；D. 1．2sinx10．极限: limtanx?=x?0sin2xA.0；B.?；C.二. 填空题 11．极限limxsinx??116； D.16．2xx?12= ； 12. limarctanx= ；x?0x13. 若y?f在点x0连续，则lim[f?f]= ； x?x?14. limsin5xxx?0?；15. limn?；16. 若函数y?x?1x?3x?222，则它的间断点是17. 绝对值函数?x,x?0;?f?x??0,x?0;??x,x?0.?其定义域是，值域是。

?1,x?0;?18.符号函数 f?sgnx??0,x?0;其定义域是，值域是三个点的集合。

??1,x?0.?19无穷小量是。

20. 函数y?f在点x0连续，要求函数y?f满足的三个条件是。

极限计算练习题

极限计算练习题首先，让我们研究一些关于极限计算的练习题。

通过解答这些问题，我们将深入理解极限的概念，并熟悉常见的计算方法。

问题一：计算 $\lim_{x\to 2} (3x+1)$解答：对于这个问题，我们可以直接将 $x$ 替换为 2 来计算极限。

因此，我们有：$$\lim_{x\to 2} (3x+1) = 3(2) + 1 = 7$$因此，上述极限的结果为 7。

问题二：计算 $\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}$解答：这是一个经典的极限计算问题，也被称为正弦极限。

我们可以利用泰勒级数展开式来解决该问题。

根据泰勒级数展开式，我们有：$$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +\ldots$$如果我们将上式代入所给的极限，则会发现 $x$ 的系数逐渐消失，得到以下结果：$$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x\to 0} \left(1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \ldots\right) = 1$$因此，上述极限的结果为 1。

问题三：计算 $\lim_{x\to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$解答：这个问题涉及到一个重要的极限，也就是自然对数的底，通常用 $e$ 来表示。

我们可以重写问题三的极限表达式：$$\lim_{x\to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = \lim_{x\to \infty} \left(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\right)$$我们知道，上述极限的结果是 $e$。

因此，问题三的答案为 $e$。

通过以上的练习题，我们巩固了极限计算的基本方法。

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一、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（）是等价无穷小。

A.sin ||xB.ln(1)x -C.11.【答案】D 。

5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。

解析：0lim ()lim 0,0bbxbx x x a e b x f x a a e be ∞→∞→∞⎧-=∞>⎧⎪==⇒⎨⎨≤--=∞⎪⎩⎩。

6.关于曲线y x = ） A.只有水平渐近线，没有斜渐近线 B.既没有水平渐近线，也没有斜渐近线 C.只有斜渐近线，没有水平渐近线D.既有水平渐近线，又有斜渐近线6.【答案】C 。

解析：由题意可知，无水平渐近线；()lim 2,lim[()]lim[2]11],222x x x x x x f x a b f x ax x x x x y x →∞→∞→∞→∞→∞====-====-=-。

7.若f(x)在x=a 处为二阶可导函数，则'20()()()lim h f a h f a hf a h→+--=( ) A.f"(a)/2B.f"(a)C.2f"(a)D.-f"(a)7.【答案】A 。

解析：'''''200()()()()()()lim lim 22h h f a h f a hf a f a h f a f a h h →→+--+-==。

8.设()232xxf x =+-，则当x 趋近于0时，有（） A.f （x ）是x 的等价无穷小B.f （x ）与x 同阶但非等价无穷小C.f （x ）是比x 高阶的无穷小D.f （x ）是比x 高阶的无穷小8.【答案】B 。

解析：0232()232,limln 2ln 3x x xxx f x x→+-=+-=+，所以()232x x f x =+-与x 是同阶但非等价的无穷小。

9.22223n n n a n ++=-，则lim n n a →∞的值为（）A.2B.3C.4D.59.【答案】A 。

解析：2222414limlim lim 2322n n n n n n n n →∞→∞→∞+++===-。

10.已知函数237()23x f x x x +=--的间断点（）A.X=7B.X=-73C.X=-1或X=3D.X=1或X=-310.【答案】C 。

解析：237()23x f x x x +=--，2230,3,1x x x --==-，所以3，-1是函数的间断点。

11.设当x (0,)∈+∞时1f ()sin x x x=则在（0，+∞）内（） A.f ()x 与'f ()x 都无界 B.f ()x 有界，'f ()x 无界 C.f ()x 与'f ()x 都有界D.f ()x 无界，'f ()x 有界11.【答案】B.解析01lim ()lim sin0x x f x x x →→==，01lim ()lim sin 0x x f x x x→∞→==故f(x)有界，111'()sin cos f x x x x=-，0lim '()x f x →=∞，无界，选B. 12.在区间[0.1]上，函数nf ()(1)x nx x =-的最大值记为M （n ）,则lim ()n M n →∞的值为（） A.1e -B.eC.2eD.3e12.【答案】A.解析.211'()(1)(1)(1)(1)nn n f x n x xn x n x x nx --=---=---所以f(x)的驻点有两个,分别是x=1和11x n =+,且11x n =+是极大值点又因为是闭区间[0,1],所以11x n =+也是最大值点，所以(1)(1)11()()()(1)111n n n M n f n n n ++===-+++所以当n →∞时. (1)(1)11lim ()lim()lim(1)11n n n n n n M n n n e++→∞→∞→∞==-=++所以极限为1/e 。

选A 。

13. ( )A.B.0C.1D.13.【答案】D 。

解析：由，故选D 。

14.计算：（）. A. B. C.D. 14.【答案】B2+1lim [123...]x n n →∞++++=∞12()22+1112lim [123...]lim 2x x n n n n n →∞→∞+++++==332321lim 752x x x x x →∞+-=-+1237322515.已知=2，其中a.b ,则a-b 的值为（） A.6B.-6C.2D.-215.【答案】C.解析：由=2可得,所以16.设f(x)=sinx/x ，则x=0是函数f(x)的（） A ．连续点B.跳跃间断点C.第二类间断点D.可去间断点16.【答案】D 。

解析：，存在极限值，且在该点无定义，所以为可去间断点。

17.设，则x=0是函数f(x)的（）. A.可去间断点B.无穷间断点C.连续点D.跳跃间断点17．【答案】D18.设函数f (x )在x =0处连续，且220)(lim nn f n →=2，则（） A.f (0)=1且f ˊ(0)=2 B. f (0)=0且f ˊ(0)=2 C. f (0)=1且f +ˊ(0)=2D. f (0)=0且f +ˊ(0)=218.【答案】B ．【解析】2'2'200()2()lim lim (0)2,(0)02n n f n nf n f f n n→→====，答案选B 。

19.设函数f （x ）=x 2+t ，且2lim ()1x f x →=，则t=（）A.-3B.-1C.1D.319.【答案】A ．【解析】2lim ()1,(2)1,(2)41,3x f x f f t t →===+==-。

20.计算极限：0lim →x (l+ 2x)x 1，正确的结果为( )。

A ．0B.1C.eD.e 220.【答案】D.解析：22210])21[(lim e x x x =+→.故选择D. 21．x=O 为函数f(x)=sinx.sin x1的（） A.可去间断点B ．跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+∞→b ax x x x 12lim 2R ∈22222lim lim 11x x x x ax ax bx bax b x x →∞→∞⎛⎫------= ⎪++⎝⎭2,2a a b =--=0, 2.b a b =-=0sin lim1x xx→=0()0 0x f x x ≠=⎪=⎩21.【答案】A.解析：有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量，即01sinsin lim 0=⋅→xx x . 但是x=0是函数没有定义.因此x=0为函数f(x)=sinx.sinx1的可去间断点. 22.设函数f （x ）=1x 21-e asinxx 0x =≠在x=0处连续，则常数a 的值为( )。

A. 1B. 2C. 3D. 422.【答案】B.解析：由题设可知1x 21-e lim asinx 0=→x .当0→x 时，有0sin →x a ，则12sin sin 1lim sin 0=⋅-→xxa x a e x a x ，即满足12=a ，所以2=a .故选择B. 23.已知f （x ）=12sin x e ot dt -⎰，g （x ）=33x +44x ，则当x →0时，f （x ）是g （x ）的（）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小23.【答案】C 。

解析：()()()()()000'lim 0,lim lim 'x x x f x f x f x g x g x →→→=∴=，()()2'sin 1x x f x e e =-， ()22232300sin 1limlim 1x xxx x e e x e x x x x→→-==++，()f x ∴是g(x)的等价无穷小。

24.如果222lim 2x x ax bx x →++--=2，则ab 的值为（）A ．2B ．-4C ．8D ．-1624.【答案】D 。

解析：222lim 2x x ax bx x →++--= 22lim (2)(1)x x ax b x x →++-+因为x 趋向于2，所以要消去x-2，即2x ax b ++可分解为(2)()x x c -+的格式即22lim (2)(1)x x ax b x x →++-+=2lim 21x x c x →+=+，所以c=4，所以2(2)(4)28x x x x -+=+-，所以a=2，b=-8，所以ab=-16。

25．设f (x )在x =0的某个邻域内连续，f (0)=0，02()lim12sin2x f x x→=，则f (x )在x =0处（）A ．可导B ．可导且f '(0)≠0C ．取得极大值D ．取得极小值25.【答案】D 。