高等数学基础例题讲解

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大一高等数学知识点及例题讲解

大一高等数学知识点及例题讲解大一高等数学是大学数学课程体系中的核心部分，是数学的基础平台与突破口。

它旨在帮助学生建立数学思维模式，提高逻辑思维能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。

本文将介绍大一高等数学的一些重要知识点，并附上相应的例题讲解，以帮助读者更好地掌握这门课程。

一、导数与微分导数是描述函数变化率的工具，它可以衡量函数曲线在某一点的切线斜率。

微分是导数的基本概念，它将函数的自变量变化量与因变量变化量之间的关系联系起来。

例题：求函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在点x = 2处的导数和微分。

解析：首先，求导函数f'(x)：f'(x) = 4x - 3代入x = 2，得到导数f'(2) = 4 × 2 - 3 = 5接下来，求微分df(x)：df(x) = f'(x)dx代入x = 2，dx = 0.1（假设）得到df(2) = 5 × 0.1 = 0.5二、极限与连续极限是研究函数在无限接近某一点的情况下的行为。

连续是指函数在定义域上没有断点或间断。

例题：计算极限lim(x→0) (1 - cosx) / x解析：将极限表达式化简后得到：li m(x→0) (1 - cosx) / x = lim(x→0) (sinx) / x由于 sinx / x 是一个已知的极限形式，即lim(x→0) sinx / x = 1所以，lim(x→0) (1 - cosx) / x = 1三、积分与微积分基本定理积分是求函数在一定区间上的面积或曲线的长度。

微积分基本定理则是导数与积分之间的关系。

例题：求函数f(x) = 2x在区间[1, 3]上的定积分。

解析：根据积分的定义，定积分可以表示为：∫[1,3] 2x dx = [x^2]1^3 = 9 - 1 = 8根据微积分基本定理，定积分可以通过原函数的求导来计算。

函数f(x) = x^2的原函数为F(x) = x^3 / 3，所以：∫[1,3] 2x dx = F(3) - F(1) = (3^3 / 3) - (1^3 / 3) = 9 - 1 = 8四、级数与收敛性级数是按照一定的规律对无穷个数进行求和的表达式。

大一高数知识点与例题讲解

大一高数函数与极限第一节函数○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）○邻域（去心邻域）（★）(){},|U a x x a δδ=-<(){},|0U a x x a δδ=<-<第二节数列的极限○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞= 【证明示例】N -ε语言1．由n x a ε-<化简得()εg n >，∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦2．即对0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立，∴{}a x n x =∞→lim 第三节函数的极限○0x x →时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0lim 【证明示例】δε-语言1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<，∴()εδg =2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立，∴()A x f x x =→0lim ○∞→x 时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞→lim 【证明示例】X -ε语言1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>，∴()εg X =2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立，∴()A x f x =∞→lim 第四节无穷小与无穷大○无穷小与无穷大的本质（★）函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦ （定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f 1-为无穷大【题型示例】计算：()()0lim x x f x g x →⋅⎡⎤⎣⎦（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U内是有界的；（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；）2．()0lim 0=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小；（()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；） 3．由定理可知()()0lim 0x x f x g x →⋅=⎡⎤⎣⎦ （()()lim 0x f x g x →∞⋅=⎡⎤⎣⎦）第五节极限运算法则○极限的四则运算法则（★★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算设：()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--nn n m m m b x b x b x q a x a x a x p 110110 则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞→0lim 00b a x q x p x m n m n m n >=< ()()()()000lim 00x x f x g x f x g x →⎧⎪⎪⎪=∞⎨⎪⎪⎪⎩()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== （特别地，当()()00lim 0x x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值233lim 9x x x →--【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()()23333311lim lim lim 93336x x x x x x x x x →→→--====-+-+ 其中3x =为函数()239x f x x -=-的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：()()0023*******lim lim lim 9269x L x x x x x x x '→→→'--===-'- ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）（定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那么，()()00lim lim x x x x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦【题型示例】求值：93lim 23--→x x x【求解示例】36x →===第六节极限存在准则与两个重要极限○夹迫准则（P53）（★★★）第一个重要极限：1sin lim0=→x x x ∵⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∀2,0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim 0=→x x x 0000lim11lim lim 1sin sin sin lim x x x x x x x x x x →→→→===⎛⎫ ⎪⎝⎭（特别地，000sin()lim 1x xx x x x →-=-） ○单调有界收敛准则（P57）（★★★）第二个重要极限：e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim （一般地，()()()()lim lim lim g x g x f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中()0lim >x f ）【题型示例】求值：11232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x【求解示例】()()211121212122121122122121lim 21221232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞+→∞⋅++++⋅⋅+++→∞+→∞++→∞+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦解：()()12lim 1212121212122lim 121x x x x x x x x x e e e e+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+→∞+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+⎛⎫ ⎪+⎝⎭==== 第七节无穷小量的阶（无穷小的比较）○等价无穷小（★★） 1．()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1U U U U U U U e +-2．U U cos 1~212-（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：()()xx x x x x 31ln 1ln lim 20++++→ 【求解示例】()()()()()()()3131lim 31lim 31ln 1lim 31ln 1ln lim ,0,000020=++=+⋅+=++⋅+=++++=≠→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所以原式即解：因为第八节函数的连续性○函数连续的定义（★） ()()()000lim lim x x x x f x f x f x -+→→== ○间断点的分类（P67）（★）⎩⎨⎧∞⋯⋯⎩⎨⎧）无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数()⎩⎨⎧+=x a e x f x 2 ，00≥<x x 应该怎样选择数a ，使得()x f 成为在R 上的连续函数？【求解示例】1．∵()()()2010000f e e e f a af a --⋅++⎧===⎪⎪=+=⎨⎪=⎪⎩2．由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+-→→0lim lim 00 ∴e a =第九节闭区间上连续函数的性质○零点定理（★）【题型示例】证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间【证明示例】1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C ϕ=--在闭区间[],a b 上连续；2．∵()()0a b ϕϕ⋅<（端点异号） 3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()0=ξϕ，即()()0f g C ξξ--=（10<<ξ）4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,内至少有一个根ξ第一章导数与微分第一节导数概念○高等数学中导数的定义与几何意义（P83）（★★）【题型示例】已知函数()⎩⎨⎧++=bax e x f x 1 ，00>≤x x 在0=x 处可导，求a ，b 【求解示例】1．∵()()0010f e f a -+'⎧==⎪⎨'=⎪⎩，()()()00001120012f e e f b f e --+⎧=+=+=⎪⎪=⎨⎪=+=⎪⎩ 2．由函数可导定义()()()()()0010002f f a f f f b -+-+''===⎧⎪⎨====⎪⎩∴1,2a b ==【题型示例】求()x f y =在a x =处的切线与法线方程（或：过()x f y =图像上点(),a f a ⎡⎤⎣⎦处的切线与法线方程）【求解示例】1．()x f y '='，()a f y a x '='=|2．切线方程：()()()y f a f a x a '-=-法线方程：()()()1y f a x a f a -=--' 第二节函数的和（差）、积与商的求导法则○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★）1．线性组合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=±2．函数积的求导法则（定理二）：()uv u v uv '''=+3．函数商的求导法则（定理三）：2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭第三节反函数和复合函数的求导法则○反函数的求导法则（★）【题型示例】求函数()x f 1-的导数【求解示例】由题可得()x f 为直接函数，其在定于域D 上单调、可导，且()0≠'x f ；∴()()11f x f x -'⎡⎤=⎣⎦' ○复合函数的求导法则（★★★）【题型示例】设(ln y e =，求y ' 【求解示例】(22arcsi y e x a e e e ''='⎛⎫' ⎪+= ⎝⎛⎫ ⎪ = ⎝⎭=解：⎛ ⎝ 第四节高阶导数 ○()()()()1n n f x f x -'⎡⎤=⎣⎦（或()()11n n n n d y d y dx dx --'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦）（★）【题型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数【求解示例】()1111y x x-'==++， ()()()12111y x x --'⎡⎤''=+=-⋅+⎣⎦， ()()()()()2311121y x x --'⎡⎤'''=-⋅+=-⋅-⋅+⎣⎦……()1(1)(1)(1)nn n y n x --=-⋅-⋅+！第五节隐函数与参数方程型函数的导数○隐函数的求导（等式两边对x 求导）（★★★）【题型示例】试求：方程y e x y +=所给定的曲线C ：()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程【求解示例】由y e x y +=两边对x 求导即()y y x e '''=+化简得1y y e y ''=+⋅ ∴e e y -=-='11111 ∴切线方程：()e x ey +--=-1111 法线方程：()()e x e y +---=-111 ○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程()()⎩⎨⎧==t y t x γϕ，求22dx y d 【求解示例】1.()()t t dx dy ϕγ''= 2.()22dy d y dx dx t ϕ'⎛⎫ ⎪⎝⎭=' 第六节变化率问题举例与相关变化率（不作要求）第七节函数的微分○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★） ()dx x f dy ⋅'=第二章中值定理与导数的应用第一节中值定理○引理（费马引理）（★）○罗尔定理（★★★）【题型示例】现假设函数()f x 在[]0,π上连续，在()0,π 上可导，试证明：()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立【证明示例】1．（建立辅助函数）令()()sin x f x x ϕ=显然函数()x ϕ在闭区间[]0,π上连续，在开区间()0,π上可导；2．又∵()()00sin00f ϕ==()()sin 0f ϕπππ==即()()00ϕϕπ==3．∴由罗尔定理知()0,ξπ∃∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立○拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式：当1x >时，x e e x >⋅【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()x f x e =，则对1x ∀>，显然函数()f x 在闭区间[]1,x 上连续，在开区间()1,x 上可导，并且()x f x e '=；2．由拉格朗日中值定理可得，[]1,x ξ∃∈使得等式()11x e e x e ξ-=-成立，又∵1e e ξ>，∴()111x e e x e e x e ->-=⋅-，化简得x e e x >⋅，即证得：当1x >时，x e e x >⋅【题型示例】证明不等式：当0x >时，()ln 1x x +<【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数()()ln 1f x x =+，则对0x ∀>，函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续，在开区间()0,π上可导，并且()11f x x'=+； 2．由拉格朗日中值定理可得，[]0,x ξ∃∈使得等式()()()1ln 1ln 1001x x ξ+-+=-+成立，化简得()1ln 11x x ξ+=+，又∵[]0,x ξ∈， ∴()111f ξξ'=<+，∴()ln 11x x x +<⋅=，即证得：当1x >时，x e e x >⋅第二节罗比达法则○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★）1．☆等价无穷小的替换（以简化运算）2．判断极限不定型的所属类型与是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A ．属于两大基本不定型（0,0∞∞）且满足条件，则进行运算：()()()()lim lim x a x a f x f x g x g x →→'=' （再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B ．☆不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）⑴0⋅∞型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：0lim ln x x x α→⋅ 【求解示例】()10000201ln ln lim ln lim lim lim 111lim 0x x L x x x x x x x x x x x x x a ααααααα∞∞-'→→→→→'⋅===⋅'⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=解：（一般地，()0lim ln 0x x x βα→⋅=，其中,R αβ∈） ⑵∞-∞型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值：011lim sin x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭【求解示例】200011sin sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x →→→--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：()()()()000000002sin 1cos 1cos sin lim lim lim lim 0222L x x L x x x x x x x x x x ''→→→→''---====='' ⑶00型（对数求极限法）【题型示例】求值：0lim x x x → 【求解示例】()()0000lim ln ln 000002ln ,ln ln ln 1ln ln 0lim ln lim lim 111lim lim 0lim lim 11x x x x x L x y y x x x x x y x y x x x x x x x y x x x x y e e e x→∞∞'→→→→→→→===='→=='⎛⎫ ⎪⎝⎭==-=====-解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有 ⑷1∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：()10lim cos sin x x x x →+【求解示例】()()()()()01000000lim ln ln 100ln cos sin cos sin ,ln ,ln cos sin ln 0limln lim ln cos sin cos sin 10lim lim 1,cos sin 10lim =lim x xx x L x x y y x x x x y x x y xx x y x y xx x x x x x x y e e e e→→→'→→→→+=+=+→='+⎡⎤--⎣⎦====++'===解：令两边取对数得对求时的极限，从而可得 ⑸0∞型（对数求极限法）【题型示例】求值：tan 01lim x x x →⎛⎫ ⎪⎝⎭【求解示例】()()tan 002000202200011,ln tan ln ,1ln 0lim ln lim tan ln 1ln ln lim lim lim 1sec 1tan tan tan sin sin lim lim li x x x x L x x x L x y y x x x y x y x x x x x x x x x x x x x →→∞∞'→→→'→→⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫→=⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=-=-=-⎛⎫'⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'==='解：令两边取对数得对求时的极限，00lim ln ln 0002sin cos m 0,1lim =lim 1x x y y x x x x y e e e →→→→⋅====从而可得 ○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（★★）000001∞⎧⎪∞-∞−−→←−−⋅∞←−−⎨∞⎪∞⎩∞(1)(2)(3) ⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换） ⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） ⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节泰勒中值定理（不作要求）第四节函数的单调性和曲线的凹凸性○连续函数单调性（单调区间）（★★★）【题型示例】试确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域R 上连续，且可导∴()261812f x x x '=-+2．令()()()6120f x x x '=--=，解得：121,2x x ==4．∴函数f x 的单调递增区间为),1,2,-∞+∞；单调递减区间为()1,2【题型示例】证明：当0x >时，1x e x >+【证明示例】1．（构建辅助函数）设()1x x e x ϕ=--，（0x >） 2．()10x x e ϕ'=->，（0x >）∴()()00x ϕϕ>=3．既证：当0x >时，1x e x >+【题型示例】证明：当0x >时，()ln 1x x +<【证明示例】1．（构建辅助函数）设()()ln 1x x x ϕ=+-，（0x >）2．()1101x xϕ'=-<+，（0x >） ∴()()00x ϕϕ<= 3．既证：当0x >时，()ln 1x x +<○连续函数凹凸性（★★★）【题型示例】试讨论函数2313y x x =+-的单调性、极值、凹凸性与拐点【证明示例】1．()()236326661y x x x x y x x '⎧=-+=--⎪⎨''=-+=--⎪⎩ 2．令()()320610y x x y x '=--=⎧⎪⎨''=--=⎪⎩解得：120,21x x x ==⎧⎨=⎩x (,0)-∞ 0 (0,1)1(1,2) 2 (2,)+∞ y ' - 0 ++ 0 -y '' ++- - y1(1,3) 52313y x x =+-(0,1),(1,2) 单调递增区间为(,0)-∞,(2,)+∞；⑵函数2313y x x =+-的极小值在0x =时取到，为()01f =，极大值在2x =时取到，为()25f =；⑶函数2313y x x =+-在区间(,0)-∞,(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,)+∞上凸； ⑷函数2313y x x =+-的拐点坐标为()1,3第五节函数的极值和最大、最小值○函数的极值与最值的关系（★★★）⑴设函数()f x 的定义域为D ，如果M x ∃的某个邻域()M U x D ⊂，使得对()M x U x ∀∈，都适合不等式()()M f x f x <，我们则称函数()f x 在点(),M M x f x ⎡⎤⎣⎦处有极大值()M f x ；令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈ 则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值M 满足：()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =；⑵设函数()f x 的定义域为D ，如果m x ∃的某个邻域()m U x D ⊂，使得对()m x U x ∀∈，都适合不等式()()m f x f x >，我们则称函数()f x 在点(),m m x f x ⎡⎤⎣⎦处有极小值()m f x ；令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最小值m 满足：()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f b =；【题型示例】求函数()33f x x x =-在[]1,3-上的最值【求解示例】1．∵函数()f x 在其定义域[]1,3-上连续，且可导∴()233f x x '=-+2．令()()()3110f x x x '=--+=，解得：121,1x x =-= 3．（三行表）4．又∵()()12,12,318f f f -=-==-∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====-第六节函数图形的描绘（不作要求）第七节曲率（不作要求）第八节方程的近似解（不作要求）第三章不定积分第一节不定积分的概念与性质○原函数与不定积分的概念（★★） ⑴原函数的概念：假设在定义区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()F x '，即当自变量x I ∈时，有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =⋅成立，则称()F x 为()f x 的一个原函数⑵原函数存在定理：（★★）如果函数()f x 在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） ⑶不定积分的概念（★★）在定义区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分，即表示为：()()f x dx F x C =+⎰（⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为积分表达式，x 则称为积分变量） ○基本积分表（★★★）○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★）()()()()1212k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ 第二节换元积分法○第一类换元法（凑微分）（★★★）（()dx x f dy ⋅'=的逆向应用）()()()()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 【题型示例】求221dx a x+⎰ 【求解示例】222211111arctan 11x x dx dx d C a x a a aa x x a a ⎛⎫===+ ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰解：【题型示例】求⎰【求解示例】()()121212x x C=+=+= ○第二类换元法（去根式）（★★）（()dx x f dy ⋅'=的正向应用） ⑴对于一次根式（0,a b R ≠∈）：t =，于是2t b x a-=，则原式可化为t⑵对于根号下平方和的形式（0a >）：tan x a t =（22t ππ-<<），于是arctan xt a=，则原式可化为sec a t ； ⑶对于根号下平方差的形式（0a >）： asin x a t =（22t ππ-<<），于是arcsin xt a=，则原式可化为cos a t ； bsec x a t =（02t π<<），于是arccos at x=，则原式可化为tan a t ；【题型示例】求⎰（一次根式）【求解示例】211221t x t dx tdttdt dt t C C t =-=⋅==+=⎰⎰【题型示例】求（三角换元）【求解示例】()()2sin ()2222arcsincos 22cos 1cos 221sin 2sin cos 222x a t t xt adx a ta a tdt t dta a t t C t t t C ππ=-<<==−−−−−−→=+⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰第三节分部积分法○分部积分法（★★）⑴设函数()u f x =，()v g x =具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：udv uv vdu =-⎰⎰⑵分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指”○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤：⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序； ⑵就近凑微分：（v dx dv '⋅=）⑶使用分部积分公式：udv uv vdu =-⎰⎰ ⑷展开尾项vdu v u dx '=⋅⎰⎰，判断a ．若v u dx '⋅⎰是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）；b ．若v u dx '⋅⎰依旧是相当复杂，无法通过a 中方法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型示例】求2x e x dx ⋅⎰ 【求解示例】()()222222222222222x x x x x x x x x x x x x x x e x dx x e dx x de x e e d x x e x e dx x e x d e x e xe e dx x e xe e C⋅===-=-⋅=-⋅=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：【题型示例】求sin x e xdx ⋅⎰ 【求解示例】()()()()sin cos cos cos cos cos cos sin cos sin sin cos sin sin x x x x x x x x x x x x x x e xdx e d x e x xd e e x e xdx e x e d x e x e x xd e e x e x e xdx⋅=-=-+=-+=-+=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：()sin cos sin sin x x x x e xdx e x e x xd e ⋅=-+-⎰⎰即：∴()1sin sin cos 2x x e xdx e x x C ⋅=-+⎰第四节有理函数的不定积分○有理函数（★）设：()()()()101101m m mn n nP x p x a x a x a Q x q x b x b x b --=++⋯+==++⋯+ 对于有理函数()()P x Q x ，当()P x 的次数小于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是真分式；当()P x 的次数大于()Q x 的次数时，有理函数()()P x Q x 是假分式 ○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★） ⑴将有理函数()()P x Q x 的分母()Q x 分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式()kx a -；而另一个多项式可以表示为二次质因式()2lx px q ++，（240p q -<）；即：()()()12Q x Q x Q x =⋅一般地：n mx n m x m ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，则参数n a m =- 22b c ax bx c a x x a a ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭则参数,b cp q a a==⑵则设有理函数()()P x Q x 的分拆和式为：()()()()()()122k lP x P x P x Q x x a x px q =+-++ 其中()()()()1122...k kkP x A A A x a x a x a x a =+++----()()()()2112222222...ll llP x M x N M x N x px q x px q x px q M x N x px q ++=++++++++++++参数121212,,...,,,,...,l k lM M M A A A N N N ⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎩⎩⎩由待定系数法（比较法）求出 ⑶得到分拆式后分项积分即可求解【题型示例】求21x dx x +⎰（构造法）【求解示例】()()()221111111111ln 112x x x x dx dx x dx x x x xdx dx dx x x x Cx +-++⎛⎫==-+ ⎪+++⎝⎭=-+=-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰第五节积分表的使用（不作要求）第四章定积分极其应用第一节定积分的概念与性质 ○定积分的定义（★）()()01lim nbiiai f x dx f x I λξ→==∆=∑⎰（()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 则称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[],a b 称为积分区间）○定积分的性质（★★★） ⑴()()bba a f x dx f u du =⎰⎰ ⑵()0aa f x dx =⎰⑶()()bba a kf x dx k f x dx =⎡⎤⎣⎦⎰⎰ ⑷（线性性质）()()()()1212bbba a a k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ ⑸（积分区间的可加性）()()()b c baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰⑹若函数()f x 在积分区间[],a b 上满足()0f x >，则()0ba f x dx >⎰；（推论一）若函数()f x 、函数()g x 在积分区间[],a b 上满足()()f x g x ≤，则()()bba a f x dx g x dx ≤⎰⎰；（推论二）()()bba a f x dx f x dx ≤⎰⎰○积分中值定理（不作要求）第二节微积分基本公式○牛顿-莱布尼兹公式（★★★）（定理三）若果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰○变限积分的导数公式（★★★）（上上导―下下导）()()()()()()()x x d f t dt f x x f x x dxϕψϕϕψψ''=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰ 【题型示例】求21cos 2lim t xx e dt x -→⎰【求解示例】()221100cos cos 2002lim lim 解：t t x x x L x d e dt e dt dx x x --'→→='⎰⎰()()()()2222221cos cos000cos 0cos cos 0cos 010sin sin limlim 22sin lim 2cos sin 2sin cos lim21lim sin cos 2sin cos 21122xxx x xL x xxx x x e ex x e xxdx e dx x x ex ex xe x x x x e e---→→-'→--→-→-⋅-⋅-⋅==⋅='⋅+⋅⋅=⎡⎤=+⋅⎣⎦=⋅=第三节定积分的换元法与分部积分法 ○定积分的换元法（★★★） ⑴（第一换元法）()()()()b ba a f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 【题型示例】求20121dx x +⎰【求解示例】()[]222000111121ln 212122121ln 5ln 5ln122解：dx d x x x x =+=⎡+⎤⎣⎦++=-=⎰⎰ ⑵（第二换元法）设函数()[],f x C a b ∈，函数()x t ϕ=满足：a ．,αβ∃，使得()(),ab ϕαϕβ==； b ．在区间[],αβ或[],βα上，()(),f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦连续则：()()()b a f x dx f t t dt βαϕϕ'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰【题型示例】求40⎰ 【求解示例】()2210,43220,1014,332332311132213111332223522933解：t t x x t x t t dx tt t dt t dt t x t =-====+−−−−−−→+⎛⎫=⋅⋅=+=+ ⎪⎝⎭=-=⎰⎰⎰⎰ ⑶（分部积分法）()()()()()()()()()()()()bba ab bb aaau x v x dx u x v x v x u x dxu x dv x u x v x v x du x ''=-=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰○偶倍奇零（★★）设()[],f x C a a ∈-，则有以下结论成立： ⑴若()()f x f x -=，则()()02aaa f x dx f x dx -=⎰⎰ ⑵若()()f x f x -=-，则()0a a f x dx -=⎰如：不定积分公式21arctan 1dx x C x=++⎰的证明。

高等数学基础概念解读及例题演练-常微分方程

22
＋
lnx.
习题7.3【答案】 y=-2 x�.1. +-1 .
33
习题7.4【答案】C
习题7.5【答案】 1 习题7.6【答案】 y=[;ex+C2e2x -x(x+2)<f.
’
一功F dx
＝
一 φp dt
·
一 dt dx
＝
－ 1 e1
－一 ddyt ’，
I j. 今且_ ddx2y2 _-_ ddx
，( ＼、
＿1…秒－1e' dt)
d I( I圳 ·-I·- dt
dt飞e1 dt J dx
1( － l
－ e1' 命 ·－ dt ＋l－ e'
·－ ddt2一2y ｜J ··e一1' －
［例 13］在下列微分方程中，以y=C1ex +C2 cos2x+C3 sin2x为通解的是一·
m+
’－4 0
m
(A)y y" -4y y =
(B)y +y" +4y’ ＋4y=O
(C)ym -y" -4y’ ＋4y = 0
－ (D)ym -y" +4y’ 4y=O
－解：容易看出微分方程的三个特征根分别是1，匀， 2i，对比应当（。是正确的．
～CB) Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin衍）
CD) Axe xe2x(Bcos2x +Csin2x)
［答案JC
［例10］以 y=Glf+c;e-2x+xe为通解的微分方程是一一·
(A) y"-y’ －2y=3x<f

2014电大《高等数学基础》期末复习资料(例题附答案1)

2014电大《高等数学基础》期末复习资料（例题附答案1）高等数学基础学习辅导（1）函数部分例题讲解例1 若函数，则＝( C ).A. 0B. 1C.D.解: 22)4sin()4(=-=-ππf 故选项C 正确。

例2 下列函数对中，哪一对函数表示的是同一个函数？CA ．2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==B ．12ln)(+-=x x x f ，)1ln()2ln()(+--=x x x g C ．x e x x g x e x x x f xx -=-=)(,)()(2D ．1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f 解: A,B,D 中两个函数的定义域都不相同，故它们不是同一函数，C 中函数2)()(xe x x xf x -=的定义域是0≠x ，对应关系可化为 )()()(2x g x e x x e x x x f xx =-=-=故这两个函数是相同的函数。

例3 下列各对函数中，（C ）是相同的。

A.x x g x x f ==)(,)(2； B.f x x g x x ()ln ,()ln ==22；C.f x x g x x ()ln ,()ln ==33； D.f x x x g x x (),()=-+=-2111解： A 中两函数的对应关系不同,x x x ≠=2， B, D 三个选项中的每对函数的定义域都不同，所以A B, D 都不是正确的选项；而选项C 中的函数定义域相等，且对应关系相同，故选项C 正确。

例4 下列函数中，哪个函数是奇函数？A ．)12sin()(++=x x x fB ．)1ln()(2++=x x x fC ．x e x x f x-=)(D ．x xx x f sin 1)(2⋅-= 解：由奇函数的定义验证A,C 可知它们都不满足)()(x f x f -=-，D 满足)()(x f x f =-，即它为偶函数验证B )1)(()1)((ln )1)(ln()(22222x x x x x x x f ++--+-=+-+-=-)()1ln(11ln22x f x x xx -=++-=++=故此函数是奇函数。

高等数学第一章函数部分的知识点及例题

−
2 −1
（6）lim 2
→1 2 −−1
3
2 +1
− 1 > 0
（8） = ቐ 2 +2+1
3 +1
1
→∞ 2
（9） lim
+
2
2
≤0
+⋯

2
，求在0处的极限
五、两个重要极限
sin
lim
→0
一般形式：当 →
=1
sin
0时

，求k=
−3
→3
2 +1
（6） lim
→∞ +1
− + = 0，求a，b。
七、无穷小的比较
设和都是同一过程的无穷小

→0
= 0，则是的高阶无穷小 = 0
若 lim

→0
= ≠ 0，则是的同阶无穷小

若 lim
→0
= 1，则是的等价无穷小~
重点：利用函数连续性求极限
若（）为初等函数且在有定义
则 lim = 0
→0
若（）是连续的
则 lim
→0
= lim
→0
例题、求下列函数的极限
（1）lim ln
x→0
（4）
sin x
x
2x+3 x+1
lim
x→∞ 2x+1
（2）x→0
lim 1 + 2x
结论：
除0以外，无穷小于无穷大互为导数
无穷小与常数的乘积为无穷小
无穷小与有界函数的乘积为无穷小
例题、求下列函数的极限

2014电大《高等数学基础》期末复习资料(例题附答案5)

2014电大《高等数学基础》期末复习资料(例题附答案5)高等数学基础学习辅导（5）导数与微分例题讲解（二）例题讲解1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=01sin)(2x x x f00=≠x x 在点0x 处是否可导。

解：∵xx f x f y ∆∆=-∆+=∆1sin)()0()0(2xx x x x x y ∆∆=∆∆∆=∆∆1sin .1sin)(2 ∴01sin .lim lim)0('00=∆∆=∆∆=→∆→∆xx x y f x x 即0)0('=f ，函数在0=x 处可导。

2. 求xx x y 1=的导数解：∵874743231.111-=====xxxx xx xx x y∴8151878787'----=-=x x y3.)1cosln(2xx y +=，求y '。

解： )1c o s (1c o s122'++='x x xx y])1(cos 1cos 211[1cos 1222'++=x xxx)]1)(1sin (1cos 21cos211[1cos 1222x x x xxx --⋅++=)1c o s22s i n 1(1c o s1222xx x xx ++=4. 设解：5. 2tg 1sinx e xy ⋅=，求y d 。

解：2tg 2)1(1cosx e xx y -⋅='＋22tg sec 21sin 2x x e x x ⋅⋅则y d 2tg 21cos 1(x e x x⋅-=＋x x ex x x d )sec 1sin 222tg 2⋅6. 设解：7. 由方程)0()cos(2π<<=+y x y x 确定了y 是x 的函数，求y '（0）。

解：方程两端对x 求导，得1)22)(sin(2='++-yy x y x故]2)sin(1[22x y x y y -+-='将x =0代入原方程中，得0cos =y ，4,22π=π=y y于是y '（0）＝π-。

《高等数学》函数考点精讲与例题解析

《高等数学》函数考点精讲与例题解析第一部分函数极限连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。

它们是每年必考的内容之一。

第一节函数内容考点一、函数的定义给定两个非空数集D 和M ，若有对应法则f ，使得对于D 内的每一个x ，都有唯一确定的M y ∈与之对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作)(x f y =，D x ∈，数集D 成为函数的定义域，)(D)(M f ⊂称为值域。

【考点一】会求函数的定义域及其表达式，特别是复合函数的定义域。

二、函数的奇偶性（1）首先必须要求函数的定义域关于原点对称。

例如，)(x f y =的定义域为),(a a -)0(>a 关于原点对称。

（2）验证对于任),(a a x -∈，都有)()(x f x f =-，称)(x f 为偶函数；偶函数)(x f 的图形关于y 轴对称。

（3）验证若对于任),(a a x -∈都有)()(x f x f -=-，称)(x f 为奇函数；奇函数)(x f 的图形关于坐标原点对称。

【考点二】会判定函数)(x f 的奇偶性，不管)(x f 的具体形式是什么，都需要计算)(x f -的值。

如果)()(x f x f =-，则由定义知)(x f 为偶函数；如果)()(x f x f -=-，则由定义知)(x f 为奇函数。

三、函数的周期性对函数)(x f y =，若存在常数0>T ，使得对于定义域的每一个x ，T x +仍在定义域内，且有)()(x f T x f =+，则称函数)(x f y =为周期函数，T 称为)(x f 的周期。

【考点三】判断函数是否为周期函数，主要方法是根据周期函数的定义，要先找到一个非零常数T ，计算是否有等式)()(x f T x f =+成立。

特别要求掌握三角函数的周期性四、函数的有界性设函数)(x f y =在数集X 上有定义，若存在正数M ，使得对于每一个X x ∈，都有M x f ≤)( 成立，称)(x f 在X 上有界，否则，即这样的M 不存在，称)(x f 在X 上无界。

2014电大《高等数学基础》期末复习资料(例题附答案4)

2014电大《高等数学基础》期末复习资料(例题附答案4)高等数学基础学习辅导（4）导数与微分例题讲解（一）例题讲解（一）、单项选择题1．已知f (0)＝0，，则（）。

（A ）1 （B ）0 （C ）－1 （D ）不存在解：，A 正确，故填A 。

2. 曲线y x x =-e 在点（）处的切线斜率等于0。

A.(,)01；B.(,)10；C.(,)01-；D.(,)-10 解：x y e 1-='，令0='y 得0=x 。

而1)0(-=y ，故填C 。

3．下列命题中，（）是正确的。

（A ）设f (x )＝g (x )＋h (x )，若f (x )在x 0处可导，则g (x )和h (x )都在x 0处可导（B ）设f (x )＝g (x )＋h (x )，若f (x )在x 0处不可导，且g (x )在x 0处可导，则h (x )在x 0处一定不可导（C ）设f (x )＝g (x )h (x )，若f (x )在x 0处可导，则g (x )，h (x )都在x 0处可导（D ）设f (x )＝g (x )h (x )，且g (x )在x 0处可导，h (x )在x 0处不可导，则f (x )在x 0处一定不可导解：假设h (x )可导，由g (x )可导，从而f (x )也可导，矛盾。

A 、C 、D 不一定，即它们都不成立。

故填B 。

4.y x =sin 2，则'=y （）。

A.cos x 2； B.-cos x 2； C.22x x cos ； D.-22x x cos解：222cos 2)(cos x x x x y ='⋅='故填C 。

5． y ＝f (x ) 在a 点可微，且△y ＝f (a ＋△x )－f (a )＝A ·△x ＋O (△x )，则（）。

（A ）（B ）（C ）（D ）A 是非零常数解：由微分定义,C 正确。

《高等数学(一元函数微分学2》考点精讲例题解析

《高等数学（一元函数微分学2》考点精讲例题解析一、主要内容1.导数的概念，导数的几何意义，平面曲线的切线方程和法线方程，左、右导数的概念及函数可导的充要条件.可导与连续的关系2.导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，基本初等函数的求导公式.3.隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，反函数的导数.4.高阶导数的概念，莱布尼兹公式.5.微分的概念，函数微分的几何意义，微分的四则运算法则和一阶微分不变性.6.罗尔定理、拉格朗日中值定理7.洛必达法则.8.函数的单调性与曲线的凹凸性.9.函数的极值与最值.10.函数图形的描绘.二、学习要求1.深刻理解导数的概念，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解左、右导数的概念及函数可导的充要条件.2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求初等函数和分段函数的导数.3.会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，会求反函数的导数.4.理解高阶导数的概念，了解莱布尼兹公式，会求简单函数的n阶导数.5.深刻理解微分的概念，理解导数与连续、微分的关系，了解函数微分的几何意义，了解微分的四则运算法则和一阶微分不变性.6 .会求函数的微分.7.理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，会利用微分中值证明简单的不等式及方程解的存在性.8.熟练掌握用洛必达法则求各种类型的未定式的极限的方法.9.掌握单调性、凹凸性的判别，会利用它们证明某些不等式及方程解的唯一性.10.理解函数的极值概念，掌握求极值和最值和拐点的方法，会求简单实际问题的最值.2.解题指导1. 利用导数定义求导数或微分例1 求下列函数在指定点处的导数或微分：(1) 设)2arcsin()100()2)(1()(2-+---=x x x x x x x f ，求)2(f '；(2)设)(x ϕ在a x =连续且)()()(22x a x x f ϕ-=，求a x x df =)(.解题思路：由导数与微分的关系，求函数)(x f y =在一点0x 处的导数或微分，一般是利用公式及法则先求出导函数)(x f '，再将0x 代入计算导函数在0x 处的函数值)(0x f '，但有时直接利用导数定义反而简便。

高等数学例题讲解(提高篇)

第1章函数的极限与连续例1．求下列极限：1）)1ln(12)(cos lim xx x +→ 2）βαβαβα--→e e lim解：1）原式2201ln cos ln cos limln(1)ln(1)lim x xxxx x e e→++→==，而21)2(lim 22sin 2lim )1ln()2sin 21ln(lim )1ln(cos ln lim 22022022020-=-=-=+-=+→→→→x x x x x x x x x x x x 所以，e ex x x 1)(cos lim 21)1ln(12==-+→2）原式11lim lim e e e e αβαβββαβαβαβαβ--→→--==--令t =-βα，当βα→时，0→t ，所以，1lim 1lim 1lim 00==-=--→→-→t tt e e t t t βαβαβα．从而，ββαβαβαe e e =--→lim ．例2．求lim(1)pxx mx →-，其中 m 、p 是正整数．解：因为mp mxmp mxxp mx mx mx ])1[(1)1()1(1)(1----=-=-，令mx u -=，当0→x 时，0→u11111lim(1)limlim[(1)][(1)]p mpxmpx x u mpmpmx u mx e e mx u -→→→--====-+．例3．若()0f x >，0lim ()(0)x x f x A A →=>且0limx x →lim x x →解：设lim x x a→=a β=+，β是0x x →时的无穷小量，22()2f x a a ββ=++222lim ()lim(2)x x x x f x a a a ββ→→=++=由题应有：2A a =，a =a =x x →=例4．证明：半径为R 的圆面积2R S π=证：做圆的内接正n （3≥n ）边形，如图1-13所示，记AOP n ∠=α其面积为nR n R n R R n OP AB n S n n n n πααα2sin 22sin 2cos sin 22222==⋅=⋅=当边数n 取3，4， ,5，对应的面积3S ，4S ， ,5S 构成了一数列}{n S，图1-13当∞→n 时，圆内接正n 边形的n 条边与圆周无限贴近，从而正n 边形的面积与圆面积无限接近，圆面积S就是数列}{n S 当∞→n 时的极限，即n R n S S n nn π2s i n 2l i m l i m 2∞→∞→==22s i n2l i m 22n R nn πππ→∞=⋅221R R ππ=⋅= 例5．设a u sin 1=，)sin(sin sin 12a u u ==，)],n sin[sin(si sin 23a u u ==，n n u u sin 1=+，其中20π<<a ．证明：nn u ∞→lim 存在，并求其值．证：首先1≤n u ， ,2,1=n 所以}{n u 是有界数列其次，由于20π<<x 时，有x x <sin ，所以 n n n u u u ≤=+sin 1， ,2,1=n 因而}{nu 是单调数列，由单调有界数列必有极限可知，nn u ∞→lim 存在．设A u n n =∞→lim ，则有Au u u n n n n n n sin )lim sin(sin lim lim 1===∞→∞→+∞→，由于1lim lim +∞→∞→=n n n n u u ，所以 A A sin =，解得0=A 即lim =∞→n n u第2章一元函数微分及其应用例1．求下列极限1）20211lim x x x x --++→ 2）210)arcsin (lim x x x x → 解：1）原式1122001(1)(1)lim4x x x x x --→→+--==3322011(1)()(1)(1)122lim 41x x x --→-+----=3322011lim[(1)(1)]84x x x --→-=-++=-1）原式2201arcsin 1arcsin lnlimlnlim x xx xxxx x e e→→==，而x x x x x x x x x x x x x x -⋅=-+=→→→arcsin 1lim )arcsin 1ln(1lim arcsin ln 1lim2020203223220001(1)(2)112lim lim(1)666x x x x x x x --→→→---===-=所以，61102)arcsin (lim e x x x x =→．例2．设xx x t t t f )21(lim )(+=∞→，求)(t f '．解：22222()lim (1)lim(1)x tx tt x x t t f t t t te x x ⋅→∞→∞=+=+=，222()2(12)t t t f t e te t e '=+=+．例3．（相关变化率问题）一长方形两邻边之长分别为x 和y ，若x 边以0.01/m s 的速度减小，y 边以s m /02.0的速度增大，求在m x 20=，m y 15=时，长方形的面积S 的变化速度和对角线l 的变化速度．解：设边长分别为)(t x 、)(t y ，面积为)(t S ，对角线长为)(t l ，它们都是时间t 的函数，都有关于时间t 的变化率，x ，y ，S ，l 彼此之间又相互关联．现已知其中变化率dt dx ，dt dy ，求dt dS 和dt dl，这类问题称为相关变化率问题．由题，)()()(t y t x t S =，两边求变量t 的导数，)()()()()(t y t x t y t x t S '+'='，将各已知数据代入，得S 的变化速度25.02002.01501.0)(1520=⨯+⨯-='==y x t S由题，)()()(22t y t x t l +=，两边求变量t 的导数，)()()()()()()(22t y t x t y t y t x t x t l +'+'='，将各已知数代入，得l 的变化速度004.0)3.02.0(251152002.015)01.0(20)(221520=+-=+⨯+-⨯='==y x t l即长方形的面积的变化速度为s m /25.02，对角线的变化速度为s m /004.0．例4．（函数的最大、最小值问题）设有一根长为l 的铁丝，将其分成两段，分别构成圆形和正方形，若记圆形的面积为1S ，正方形的面积为2S ，证明：当21S S +之值最小时，421π=S S ．证：设圆的周长为x ，正方形的周长为x l -，ππππ4)2(2221x x rr S ===，162)4(2222x lx l x l S +-=-=；则168)16141(16242222221l lx x x lx l x S S S +-+=+-+=+=ππ； 8)8121(l x S -+='π，令0='S ，得唯一驻点ππ+=40l x ； 08121>+=''πS ，所以，0x 是极小值点，因为是唯一极小值点，也是最小值点，此时，4164)4(16)4(416)(42222202021ππππππππ==++=-=l l x l x S S例5．讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数．解：需求⎩⎨⎧+=+=)2()1(ln 4ln 44x x y k x y 的解，（2）－（1）得：0ln 44ln 4=--+k x x x （3）即求方程（3）的实根．设k x x x x --+=ln 44ln )(4ϕ，问题转化为求函数)(x ϕ在),0(+∞有几个零点．x x x x x x x )1(ln 4441ln 4)(33-+=-+⋅='ϕ，令0)(='x ϕ，得x x -=1ln 3；因为当0>x 时，233ln (ln )0xx x '=>，可知x 3ln 在),0(+∞上单调增加，x y 3ln =的图象与直线1y x =-只有一个交点，可知1=x 是()x ϕ'的唯一根，从而是)(x ϕ的唯一驻点．当10<<x 时，由于0)1(ln 3<-+x x ，0)(<'x ϕ；当1>x 时，由于0)1(ln 3>-+x x ，0)(>'x ϕ；所以，1=x 是)(x ϕ的极小值点，)(x ϕ在),0(+∞只有唯一的极小值点，1=x 是)(x ϕ的最小值点，k -=4)1(ϕ，又由于+∞=+∞→)(lim x x ϕ，+∞=+→)(lim 0x x ϕ．当04>-k ，即4<k 时，曲线)(x y ϕ=的最低点在x 轴上方，)(x ϕ无零点，从而方程（1）无根，两曲线无交点；当04=-k ，即4=k 时，曲线)(x y ϕ=的最低点在x 轴上，)(x ϕ有唯一零点．从而两曲线有一个交点；当04<-k ，即4>k 时，曲线)(x y ϕ=的最低点在x 轴下方，)(x ϕ有两个零点，从而两曲线有两个交点，它们分别在)1,0(、),1(+∞内．第3章一元函数的积分学例1．设)(x f 的原函数为)(x F ，且当0≥x 时有2)1(2)()(x xe x F x f x+=，若0)(>x F ，且1)0(=F ，试求)(x f ．解： ()()f x F x '=∴2()()2(1)xxe F x F x x '=+⇒2()()2(1)xxe F x F x dx dx x '=+⎰⎰dx x xe x F x ⎰+=22)1(2)(2111111()()212121x x x x xe xe d xe e dxx x x =-=-+++++⎰⎰11212x xxe e Cx =-+++由于1)0(=F ，代入有0=C ；又0)(>x F ，所以x e x F x+=1)( 从而，232()()2(1)xxef x F x x '==+．例2．设)(x f 在]1,0[上可微，且满足条件120(1)2()f xf x dx=⎰．试证：存在)1,0(∈ξ使得()()0f f ξξξ'+=证明：设)()(x xf x F =，则120(1)(1)2()F f xf x dx ==⎰12012()2()2F x dx F c ==⋅⎰()F c =（积分中值定理，)21,0(∈c ），再由Roll 定理可知，至少存在一点)1,0()1,(⊂∈c ξ，使得()0F ξ'=，即()()0f f ξξξ'+=．例3．求函数2()(2)x t f x t e dt-=-⎰的最大值和最小值．解：由于)(x f 为偶函数，所以只需求其在),0[+∞上的最值．因22()(2)2xf x x e x -'=-⋅，令()0f x '=得驻点0x =，x = 当20<<x 时，()0f x '>；当+∞<<x 2时，()0f x '<，所以)2(f 为函数的极大值，也是函数的最大值．{}max ()(f x f =2(2)t t e dt -=-⎰222(2)1tt t e e dt e ---=---=+⎰又0)0(=f ，0lim ()(2)1t x f x t e dt +∞-→+∞=-=⎰，所以{}0)0()(min ==f x f ．例4．过抛物线2x y =上一点),(2a a P 做切线，问a 为何值时，所做切线与抛物线142-+-=x x y 所围图形面积最小？解：抛物线2x y =上过点),(2a a P 的切线方程为：2)(2a a x a y +-=，设该切线与抛物线142-+-=x x y 的两个交点的横坐标分别为α，β（βα<），即α，β为方程01)2(222=+--+a x a x 的两个根，由根与系数的关系有：)2(2--=+a βα，21a -=αβ，34222+-=-a a αβ则所围图形的面积22[412()]S x x a x a a dxβα=-+----⎰22[2(2)1]x a x a dxβα=---+-⎰332221()(2)()(1)()3a a βαβαβα=-----+--3224(243)3a a =-+从而1222(243)(44)S a a a '=-+-，令0S '=有1=a ，所以当1=a 时，34=S 为面积的最小值．例5．利用定积分计算极限（1）112 (i)p p p p n n n +→∞+++（0p >）；（2）1lim ...n n →∞+．分析：考察定积分的定义1()lim ()nb i iai f x dx f x λξ→==∆∑⎰，在已知定积分存在的情况下，我们可以把区间],[b a n 等分，则n a b x i -=∆，取i ξ为右端点，则i n ab a i ⋅-+=ξ，于是1()lim ()n b an i b a b af x dx f a i n n →∞=--=+⋅∑⎰；特别当0a =，1b =时，上式变为：1011112()lim ()lim [()()...()]n n n i i nf x dx f f f f n n n n n n →∞→∞===+++∑⎰．如果一个极限具有上面极限的形式则可以转化为相应的定积分来计算．解：（1）112 (i)p p pp n n n +→∞+++（0p >）101121lim [()()...())]1p p p p n n x dx n n n n p →∞=+++==+⎰．（2）1lim ...n n →∞+．33/212022(1)(21)33x ==+=-⎰．第4章常微分方程例1．求微分方程1)(5=-dx dy xy y 的通解．解：这是一个一阶微分方程．从形式上看，它既不是可分离变量方程，也不是齐次方程和一阶线性微分方程，但如果我们将y 看作自变量，x 看作y 的函数则有：5y xy dy dx=+，这是一个一阶线性微分方程，利用通解公式可得通解：][5⎰+⎰⎰=-c dy e y e x ydy ydy242248y ce y y -=+-+．例2．求方程0)1(=-+xdy dx xy y 的通解.解：先改写成2y x y dx dy =-，两边同除2y ，得 112=--xy dx dy y ，令y z 1=，则方程变为 1-=+x zdx dz ，这是一个一阶线性微分方程．利用通解公式可得其通解为：][11c dx eez dx xdx x+⎰-⎰=⎰-222c x x-=，故原方程的通解为：222x c xy -=（c 为任意常数）．注：形如()()n dyP x y Q x y dx +=(0,1n ≠)的方程称为Bernoulli 方程，令ny z -=1可将其化为一阶线性微分方程来求解．例3．求方程3xy y dx dyx+=的通解．解法一：化为Bernoulli 方程3y x y dx dy =-，令21y z =有：22-=+x z dx dz ，由通解公式得方程的通解为)32(1]2[3222c x x c dx eez dxx dxx +-=+⎰-⎰=⎰-，所以，原方程的通解为22321x cx y+-=．解法二：方程变化为形式333)(x x y x y y x y dx dy +=+=，令x y u =有： 33u x u dx du x u +=+，即32u x dx du =，分离变量后积分得：132321c x u+=-⇒0322223=++cy x y x 所以，原方程的通解为：0322223=++cy x y x ．例4．求方程2(12)xy y y x e '''--=-的通解．解：特征方程为022=--r r ，有特征根11-=r ，22=r ，对应齐次方程的通解为x xe c ec y 221+=-；由于1=λ不是特征根，故可设方程有特解xe b ax y )(*+=，代入方程2(12)xy y y x e '''--=-有：x xe y b a x b a ax =⇒==⇒-=-+-*0,12122所以，原方程的通解为：x x xxe e c ec y ++=-221．例5．求解微分方程323sin y y y x x '''++=+．解：特征方程为0232=++r r ，有特征根11-=r ，22-=r ，对应齐次方程的通解为x xe c ec y 221--+=；可求得方程32y y y x '''++=有特解432*1-=x y ，方程323sin y y y x '''++=有特解xx y sin 103cos 109*2+-=，所以方程323sin y y y x x '''++=+有特解：x x x y y y sin 103cos 109432***21+--=+= 从而原方程的通解为：x x x e c e c y x x sin 103cos 109432221+--++=--．第5章空间解析几何例1．已知两条直线方程1123:101x y z L ---==-，221:211x y zL +-==，求过1L 且平行2L 的平面方程．解：设所求平面π的法向量为n，则取12101{1,3,1}211i j kn s s =⨯=-=-，又点(1,2,3)在平面π上，故平面π的方程为：0)3(1)2(3)1(1=-⨯+-⨯--⨯z y x ⇒320x y z -++=．例2．设0M 是直线L 外一点，M 是直线L 上任意一点，且直线的方向向量为s，试证：点0M 到直线L 的距离0M M s d s⨯=．证明：如图，在直角三角形0M MP 中，显然有00||||sin d M P M M θ==而θ是向量0M M 与s的夹角（或其补角），故由00||sin M M s M M s θ⨯= 可得0M M s d s⨯=例如要求点0(1,1,4)M 到直线241312:-=-=-z y x L 的距离，则利用上面的公式有0M M s d s ⨯={1,2,0}{1,1,2}{1,1,2}2⨯====例3．求直线21101:-==-z y x L 绕z 轴旋转一周所得旋转曲面的方程．解：把L 化为参数方程112x y t z t=⎧⎪=⎨⎪=+⎩（t -∞<<+∞），固定t ，即得L 上一点),21,,1(t t M +点M 到z 轴的距离为：21t d +=，点M 绕z 轴旋转得一空间圆：⎩⎨⎧+=+=+t z t y x 211222．因t 在),(+∞-∞上变化，即知上式就是所求旋转曲面的参数方程，消去t ，即得所求旋转曲面的方程为：1)21(222=--+z y x ．这是一个圆锥面方程．例4．求过点)9,5,3(--A 且与两直线135:23y x L z x =+⎧⎨=-⎩，247:510y x L z x =-⎧⎨=+⎩相交的直线方程．解：直线L 过点)9,5,3(--A ，可设其方程为3x lt =-+，5y mt =+，9z nt =-+，由L 与21,L L 相交，故：⎩⎨⎧-+-=+-++-=+32695395lt nt lt mt ⇒⎩⎨⎧=-=-l n t l m 29)3(（1）⎩⎨⎧++-=+--+-=+10515974125lt nt lt mt ⇒⎩⎨⎧=--=-4)5(24)4(t l n t l m （2）联立（1）（2）有2n l =，22m l =；令1=l ，则22m =，2n =，故所求直线方程为292253+=-=+z y x ．例5．（平面束）设平面通过直线1111222200A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩，则一般可设平面方程为11112222()0A x B y C z D A x B y C z D λ+++++++=，然后根据其它条件确定待定常数λ．这种方法称为平面束方法．试用此方法求解下列问题：求通过直线10:10x y z L x y z +--=⎧⎨-++=⎩且与平面:0x y z π++=垂直的平面方程．解：根据平面束方法，可设所求平面方程为：(1)(1)0x y z x y z λ+--+-++=即 (1)(1)(1)(1)0x y z λλλλ++-+-++-+= 由题设，该平面与平面:0x y z π++=垂直，应有： {1,1,1}{1,1,1}0λλλ+--+⋅=得1λ=-，故所求平面方程为10y z --=．第6章多元函数微分学例1．求极限22330081lim y xy x y x y x +-+→→解：设θcos r x =，θsin r y =，则有222r y x =+，当0x →,0y →时，0→r ，所以原式33322201(cos sin )8lim (cos cos sin sin )r r r θθθθθθ→+=-+3301cos sin 8lim 11sin 22r r θθθ→+=⋅-，因0lim 0=→r r ，331cos sin 98141sin 22θθθ+≤-，所以原式0=例2．设⎩⎨⎧+=++-=vz u y z v u x 2，求u x ∂∂,v x ∂∂,u z ∂∂，解：求一阶偏导时，若变量比较多，不易区分自变量、因变量，借助全微分的形式不变性来处理比较简便．对方程组求全微分有：()2212(12)21zdx z v dz dy du dx udu dv dz uz dy du vdz zdv udy dx uv dzdv uz -+-+⎧=⎪=-++⎧⎪+⇒⎨⎨=+++-+⎩⎪=⎪+⎩利用全微分的形式不变性有：12+-=∂∂uz z x u ，121+=∂∂uz x v ，12+-=∂∂uz v z zu 例3．求过直线L ：⎩⎨⎧=++=--0523z y x z y x 且与曲面16522=+-z y x 相切的平面方程．解：利用平面束的方法可设过直线L 的平面方程为0)(523=+++---z y x z y x λ（λ为待定常数），即：05)1()2()3(=--+-++z y x λλλ，其法向量为{}1,2,3--+λλλ；又设过L 的平面与曲面16522=+-z y x 相切的切点坐标为),,(000z y x ，则曲面16522=+-z y x 在点),,(000z y x 处的切平面的法向量为{}1,2,200y x -，于是有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=-+-++=-=--=+1650)1()2()3(1122230202000000z y x z y x ty x λλλλλλ⇒7,3==λλ故所求平面方程为526=++z y x 或56510=++z y x ．例4．求曲线Γ：⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 在点)1,1,2(-P 的切线方程．解法一：将曲线Γ化为参数形式，由⎩⎨⎧=++=++06222z y x z y x 消去z 有322=++y xy x ，配方有3)2(4322=++xy x ，得曲线Γ的参数式：⎪⎩⎪⎨⎧--=-==t t z t t y t x cos sin 3cos sin 3cos 2，（0P t π→=）则曲线Γ在点P 的切线方向向量为{}000(),(),()s x t y t z t '''={{}0,0,1,1=→-，故曲线Γ在点P 的切线方程为：111102-=--=+z y x ．解法二：将曲线Γ的方程组看成隐函数，2个方程3变量，故有一个是自由量，我们选y 作为自由量，则)(y x x =，)(y z z =，即Γ的参数式为：)(y x x =，y y =，)(y z z =．由隐函数求导法，方程组对y 求导有：222010y y y y x x y z z x z ⎧''⋅++⋅=⎪⎨''++=⎪⎩⇒y y y z x z x x yz z x -⎧'=⎪⎪-⎨-⎪'=⎪-⎩，从而曲线Γ在点P 的切线方向向量{}{}(2,1,1),1,0,1,1y y s x z -''==-故曲线Γ在点P 的切线方程为：111102--=-=+z y x 解法三：曲线Γ是两曲面的交线，则切线可看作两曲面切平面的交线．设两曲面1π：222(,,)6F x y z x y z =++-（0=），1π：(,,)G x y z x y z =++（0=），{}{}1,,2,2,2x y z n F F F x y z =={}4,2,2P−−→-{}2,1,1→- {}{}2,,1,1,1x y z n G G G =={}1,1,1P−−→从而曲线Γ在点P 的切线方向向量为12s n n =⨯{}{}2,1,11,1,1=-⨯{}{}0,3,30,1,1=-→-故曲线Γ在点P 的切线方程为：111102--=-=+z y x ．例5．若周长为p 2的矩形绕自己的一边旋转，求所得圆柱体体积的最大值．解：设矩形的长和宽分别为y x ,，其绕x 边旋转所成圆柱体的体积2xy V π=，即要求函数2xy V π=在条件p y x =+下的最大值．令),,(λy x L 2()xy x y p πλ=++-，则由⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=00202p y x L xy L y L y x λλπλπ，解得323px p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0x p y =⎧⎨=⎩而驻点)0,(p 不符合题意，舍去．由实际问题可知，其最大值肯定存在，而驻点是唯一的，故当矩形的长为p 31，宽为23p ，且绕p31边旋转时所得圆柱体的体积最大，最大值为3274p π．第7章多元函数积分学例1．（1）求222y xdx edy-⎰⎰；（2）计算660cos yxdy dx x ππ⎰⎰．解：（1）显然，由于2ye -的原函数不能用初等函数的形式表示，即先对y 积分是积不出来的．如图，由积分上、下限可知积分区域为⎩⎨⎧≤≤≤≤220:y x x D ．交换积分秩序得：222y xdx edy -⎰⎰2220yy y Dedxdy dy edx--==⎰⎰⎰⎰22401(1)2y ye dy e --==-⎰（2）由于cos xx 的原函数不能用初等函数形式表示，可交换积分次序计算66600cos cos x yx x dy dx dx dy x x πππ=⎰⎰⎰⎰601cos 2xdx π==⎰例2．计算σd xe D y ⎰⎰-2，其中D 是在第一象限内位于24x y =和29x y =之间的部分．解：积分区域D 如图，22y y Dxed edy xdxσ+∞--=⎰⎰⎰20111()249y y y e dy +∞-=-⎰ 20572y ye dy +∞-=⎰5144=例3．计算112111224y y xxydy dx dy dx+⎰⎰⎰⎰．解：由积分上、下限画出积分区域如图，所以交换积分次序有：112111224y y xxydy dx dy dx +⎰⎰⎰⎰y xDe dxdy =⎰⎰2112y xxxdx e dy=⎰⎰1123()8x x e e dx e =-=⎰例4．求2x e dx+∞-⎰．解：设2x e dx I+∞-=⎰，则：2220()x I e dx +∞-=⎰22x x e dx e dx +∞+∞--=⎰⎰22x y e dx e dy+∞+∞--=⎰⎰22220x y r edxdy d erdr πθ+∞+∞+∞---==⎰⎰⎰⎰244re ππ+∞-=-=，所以2π=I，即22x e dx +∞-=⎰．例5．计算⎰Ldsx 2，其中L 为球面2222R z y x =++与平面0=++z y x 的交线．解法一：将曲线L 化为参数形式，由22220⎩⎨⎧=++=++z y x R z y x 消去z 有2222R z xy x =++，配方得：222)2(43R xy x =++．设t R x cos 36=，有t R t R y cos 66sin 21-=，t R t R z cos 66sin 21--=，从而ds Rdt ==；所以，22223022cos 33L x ds R t Rdt R ππ=⋅=⎰⎰．解法二：由于曲线L 关于x ，y ，z 具有轮换对称性，所以222LLLx ds y ds z ds==⎰⎰⎰ ，22221()3L L x ds x y z ds =++⎰⎰ 22322333LR R ds R R ππ==⋅=⎰第8章级数例1．判断级数∑∞=22ln1n n n 的收敛性．解：21ln n u n n =随n 的增大而减小且趋于0，故可考虑用Cauchy 积分判别法，广义积分222111ln ln ln 2dx x x x+∞+∞=-=⎰收敛，所以级数∑∞=22ln 1n n n 收敛．注：Cauchy 积分判别法：正项级数∑∞=1n nu，若{}n u 单调减少，作函数)(x f 满足n u n f =)(，则级数∑∞=1n nu与广义积分1()f x dx+∞⎰的收敛性相同．例2．将函数21)(x x f =展开成2-x 的幂级数．解：若是借助x 1的展开式来考虑21x 的展式，就要作一次幂级数的自乘．这非常不方便，遇到这种情况，一般采用下述方法：221112x dx x x =-⎰111112(1)()22222212n n n x x ∞=-=-=---+∑(13)x << 所以22211[]x dx x x '=⎰ 10111212[(1)()](1)()22242n n n n n n x x n ∞∞-==--'=--=--∑∑20112(1)(1)(1)(1)()(2)422n nn nn n n x n n x ∞∞+==--+=-+=-∑∑(13)x << 例3．计算210x e dx-⎰（精确到0.0001）．解：由于2xe -的原函数不能用初等函数表示，故不能用Newton-Leibniz 公式直接计算210x e dx-⎰的值．应用函数的幂级数展开可计算其近似值并精确到任意要求的程度．由于2468212!3!4!x x x x e x -=-+-+-，),(+∞-∞∈x从而210x e dx-⎰1111111132!53!74!95!116!137!15=-+-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅11111111310422161320936075600=-+-+-+-+这是一个Leibniz 级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值，而5105.1756001-⨯<，因此前面7项之和具有四位有效数字，即210x e dx -⎰11111110.74863104221613209360≈-+-+-+≈例4．求极限222sin )(cos 112lim 2x e x x x x x -+-+→．解：如果用L’Hospital 法则，则十分麻烦，利用Taylor 公式则比较简便．由于0→x 时22sin x x ，且22cos 1()2x x o x =-+，2221()x e x o x =++122(1)x =+24411(1)1221()22!x x o x -=+++所以 2220sin )(cos 112lim 2x e x x x x x -+-+→224420222111[1()]228lim [11()]2x x x x o x x x x o x →+-+-+=---+ 440441()18lim 312()2x x o x x o x →+==--+例5．求级数∑∞=+--022)1()1(n n n n n 的和．解：∑∞=+--022)1()1(n n n n n1011(1)()()22n n n n n n ∞∞===--+-∑∑121(1)()32nn n n ∞==+--∑，设∑∞=---=22)21)(1()(n n n x n n x S ，有 ()S x 2021[(1)()]2xn n n n n x dx ∞-='=--∑⎰121[()]2n n n n x ∞-='=-∑1021[()]2x n n n n x dx ∞-='⎧⎫'=-⎨⎬⎩⎭∑⎰21[()]2n n n x ∞='⎧⎫'=-⎨⎬⎩⎭∑ 234[]2(2)(2)x x x ''==++所以∑∞=+--022)1()1(n n n n n 222(1)327S =+=．。

《高等数学》例题解析-第八讲不定积分的分部积分法、有理函数积分法

第八讲：不定积分的分部积分法、有理函数积分法一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．设xe -是()f x 的一个原函数,则()x f x dx =⎰( )A． B． ()1xe x -++c ()1x e x c --++C． D． ()1xex --+c ()1x e x c --+解：()()(),xxF x e f x F x e --'=== -∴原式=()xdF x ⎰ ()()xF x F x dx =-⎰()1x x x xe e dx x e ---=-=++⎰c选A2．若()f x 的一个原函数为2ln x ,则()x f x dx '=⎰( )A．2ln ln x x c -+ B．22ln ln x x c ++ C．22ln ln x x c -+ D．2ln ln x x c ++ 解： ()2ln ,F x x =()()2ln f x F x x'==x()()x f x dx xd f x '=⎰⎰()()xf x f x dx =-⎰22ln ln x x c =-+选C3．设()()ln 1ln f x x '=+x ,则 ()f x =( )A．22xx xe c ++ B．()212xx x e c -++ C．22xx xe c -+ D．()212xx x e c --+解：(1)()()ln ln 1ln xf x e'=+ x()()1x f x e 'x ∴=+(2)()()1xf x x e d =+x ⎰22xx xde =+⎰22x x x xe e c =+-+ 选B4．()x f x dx ''⎰= ( )A． ()()xf x f x dx '-⎰B． ()()xf x f x c -+C． ()()xf x f x c '-+ D．()()f x xf x 'c -+ 解：原式=()xdf x '⎰()()xf x f x dx ''=-⎰ ()()xf x d f x '=-⎰()()xf x f x c '=-+ 选C5．2cos xdx x =⎰ ( )A． tan ln cos x x x -+c B． tan ln cos x x x ++c C． tan ln sin x x x -+c D． tan ln sin x x x ++c 解：原式=tan xd x ⎰sin tan cos xx x dx x =-⎰=cos tan cos d xx x x +⎰=tan ln cos x x x ++c 选B 6．()2211dx x x =+⎰ ( )A．1arctan x c x ++ B． 1arctan x c x -+C． 1arctan x c x --+D．1arctan x c x-++解：原式()222211x x dx x x +-=+⎰22111dx dx xx =-+⎰⎰ 1arctan x c x=--+选C二、填空题（每小题4分，共24分）7．ln xdx ⎰= 解：原式ln ln x x xd =-x ⎰1ln x x x dx x=-⋅⎰ln x x x c =-+8．=⎰解：2t e td ⋅t222t t t tde te e c ==-+⎰2c -+回代9．()()112dx x x ++⎰=解：原式()()()()2112x x dx x x +-+++⎰拆项112dxdx x x =-++⎰⎰ln 1ln 2x x c =+-++1ln2x c x +=++ 10．若()()10xf ex x '=+>,则()f x =解：(1)()1ln x xf e e '=+()1ln f x x '∴=+(2)()[]ln ln f x x x x x c x x c =+-+=+ 11．2sin xdx x =⎰解：原式=∫()cot xd x -cot x x =-+∫cos sin xdx xcot ln sin x x x =-+c +12．()()22xf xf x dx '=⎰解：原式=()()22122f x f x dx '⋅⎰()()()22221124f x d f x f x c ⎡⎤=+⎣⎦⎰凑微分三、计算题（每小题8分，共64分） 13．2ln sin cos xdx x ⎰.解：原式=ln sin tan xd x ⎰=()cos tan ln sin tan sin xx x x dx x⋅-⋅⎰=()tan ln sin x x d ⋅-⎰x=()tan ln sin x x x c ⋅-+14． 22arctan 1x xdx x +⎰ 解：原式=2211arctan 1x xdx x +-+⎰ =2arctan arctan arctan 1xx dx xd x x --+⎰⎰ =()()2211arctan ln 1arctan 22x x x x -+-+c15．cos sin x x xd ⎰解：原式=1sin 22x xdx ⋅⎰=1cos 24xd x -⎰ =1cos 2cos 24x x xdx -⎡⎤-⎣⎦⎰ =C x x x ++-2sin 812cos 4116．23x x edx -⎰.解：原式=2222x x x ed -⎰21122tt x tte dt tde --=⋅=-⎰⎰ 12t tte e dt --⎡⎤=--⎣⎦⎰ 12t tte e c --⎡⎤=-++⎣⎦ ()22112x x e c -⎡⎤-++⎣⎦回代17．2cos x xdx ⎰解：原式2sin x d x =⎰22sin sin x x xd =-x ⎰ 2sin 2sin x x x xd =-x ⎰ 2sin 2cos x x xd =+x ⎰2sin 2cos 2x x x x =+-cos xdx ⎰=2sin 2cos 2sin x x x x x c +-+ 18．⎰x解：23tet d ⋅t=3∫2tt de 232t tt e e tdt ⎡⎤=-⋅⎣⎦⎰ 232t tt e tde ⎡⎤=-⎣⎦⎰ 2322t t tt e te e dt ⎡⎤=-+⎣⎦⎰111333213336x x x x e x e e =-+c +19．421xdx x +⎰解：原式42111x dx x-+=+⎰ ()22111x dx dx x=-++⎰⎰3arctan 3x x x c =-++ 20．26xdx x x --⎰解：(1)()()2326x xx x x x =-+-- 32A Bx x =+-+，()()23A x B x x ++-= 令,5A=3,3x =35A =,令,得2x =-25B =(2) 原式=325532dx dx x x +-+⎰⎰=()232ln 355d x x x 2+-++⎰ 32ln 3ln 255x x c =-+++ 四、证明题（本题8分）21．已知()f x 有二阶连续导数,证明()21x f x d ''-x⎰()()1212124x f x x 'c =---+ 证 ()21xf x d ''-x ⎰()()121212xf x d x ''=--⎰()1212xdf x '=-⎰ ()()121212f x x f x dx ⎡⎤''=---⎣⎦⎰ ()()()1121212122f x x f x d x ⎡⎤''=----⎢⎥⎣⎦⎰()()1212124x f x f x c '=---+ 五、综合题 22．3sec xdx ⎰解：原式3sec xdx =⎰()21tan sec x xdx =+⎰ tan sec sec xd x xd =+x ⎰⎰sec tan x x =-∫2sec sec x x +∫sec xdxsec tan ln sec tan x x x =⋅++3sec xxdx -⎰ 移项: 3sec x ⎰1sec tan ln sec tan 2x x x x =⎡++⎤+⎣⎦()()()2222911222918d x x d x dx x x x -+-=+-+-+⎰⎰ c 23．已知()f x 的一个原函数为sin xx ,()21ln 2922x x c =-+++) 求()3x f x dx '⎰解： ()sin xF x x= 选做题1．计算()221tan xe x +dx ⎰()()2cos sin x x xf x F x x -'∴==解：原式=()221tan2tan xex ++x dx ⎰原式()3x df x =⎰2tan 2tan x d x e xd =+x ⎰⎰2x e()()323x f x f x x dx =-⋅⎰ 2222cos sin cos sin 3x x x x x x x x dx x x--=⋅-⎰222tan tan 22tan x x x e x x e dx e xdx =-⋅⋅+⎰⎰22tan 2tan x x e x x e dx =-⋅⎰ 2cos sin 3sin 3sin x x x x xd x xdx=--+⎰⎰2cos sin 3sin 3sin 3sin x x x x x x xdx =--+⎰⎰2cos 4sin 6cos xdx+x x x x x c =--+ 22tan x xe dx +⎰2tan x e x c =+选作题2．解：x24． 2129x dx x x +-+⎰=xdx -解：24436p q -=-< 0原式()21218x dx x -+-+⎰配方∴2128x tt dt t -=++⎰22288tdt tdtt t =+++⎰⎰xx -=-(ln x xe -=+()228128d t c t +=++⎰+ ()21ln 29arctan22x x c -+++回代(ln arcsin x x e e -c =+++(注:原式=21224229x x x -+=-+⎰。

高等数学基本知识点及例题(第2学期)

高等数学基本知识点及例题一、导数与积分公式表导数公式：12221()0,(ln )(),()ln ()(tan )sec ,(cot )csc (sec )sec tan ,(csc )csc cot 11(arcsin )(arctan )1a a x x x x C x xx ax a a a e e x x x x x x x x x xx x x -''=='''===''==-''=⋅=-⋅''==+，基本积分表：12222d (1),d ,d ,1ln 1d 1d ln ,ln 2sin d cos ,cos d sin ,sec d tan ,csc d cot tan d ln cos ,cot d ln sin d arcsin ,a x axx xx a x x C a a x C e x e C a a x a xx x C Cx a a x a x x x x C x x x C x x x C x x x C x x x C x x x C xxC a +=+≠-=+=+++=+=+--=-+=+=+=-+=-+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰221arctan xC a a a x =++⎰重要定积分公式：2(21)!!,(2)!!sin (21)!!(2)!!2d nn nis odd n x x n n is even n ππ-⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩⎰，第一单元空间解析几何与向量代数1.空间直角坐标系设1111(,,)M x y z 和2222(,,)M x y z 为空间两点,则两点间的距离: d 使12M M MM λ=的分点M 的坐标为: 121212,,111x x y y z z x y z λλλλλλ+++===+++. 2.向量的模、方向余弦、单位向量向量(,,)x y z a a a a =的模: 2x a a a =+向量(,,)x yz a a a a=的方向余弦: cos a αβ==222cos cos cos cos 1γαβγ=++=且.与a 同方向的单位向量: 0(cos ,cos ,cos )aa aαβγ==. 例1 设1(2,3,5)F =-,2(5,1,3)F =-,3(1,2,4)F =-.这三个力作用于点(1,1,1)P ，它们的合力为F=PQ ，求：（1）点Q 的坐标．（2）PQ 的大小．（3）PQ 的方向余弦．解：（1）123(251,312,534)(2,2,2)F F F F =++=-++--++=-．设点Q 的坐标为(),,x y z ，则12,12,12x y z -=--=-=，故点Q 的坐标为()1,3,3-．（2）||23PQ =（3）cos cos αβγ===3.数量积、向量积、混合积、向量的投影数量积: cos ||Pr ||Pr a x x y y z z b a b a b a j b b j a a b a b a b θ⋅=⋅===++,是一个数量.向量积: ,sin xy z x y zij k c a b a a a c a b b b b θ=⨯==⋅表示以,a b 为邻边的平行四边形面积.混合积: []()[][]xy zxy z x yza a a abc abc b b b bca cab c c c =⨯⋅=== 向量的投影: Pr a a bj b a ⋅=. 两向量之间的夹角: cos a b a b a b θ++=例2 设(2,1,1),(1,3,1)a b =-=-，求与b a、均垂直的单位向量．解： 211(2,3,7)131i j ka b ⨯=-=--，与b a 、均垂直的单位向量为12,3,7)||37e a b c a b ⨯=±=±-⨯．例3 设向量(2,3,1)(1,2,3)(2,1,2)a b c =-=-=、、,向量d 与b a,均垂直，且在向量.14d c，求向量上的投影是解：()7(1,1,1)d a b λλ=⨯=--，7Pr (1,1,1)(2,1,2)14||3c c jd d c λ=⋅=--⋅=，得6λ=-，于是42(1,1,1)d =---．例 4 设3a b +与75a b -垂直, 4a b -与72a b -垂直,求a 与b 之间的夹角. 解: 由3a b +与75a b -垂直,有(3)(75)0a b a b +⋅-=,即2716150a a b b +⋅-=, 又由4a b -与72a b -垂直,有(4)(72)0a b a b -⋅-=,即273080a a b b -⋅+=.两式联立,可得22,2b a b a a b =⋅=⋅,从而a b =,所以1cos 2a b a bθ⋅==,即3πθ=.4.平面方程0000000()()()0{,,},(,,)A x x B y y C z z n A B C M x y z -+-+-==点法式：，其中0Ax By Cz D +++=一般方程：截距式方程：1y x z a b c++= 例5 求过点(1,0,1)-且平行于向量(2,1,0),(1,1,1)a b ==-的平面方程.解:取平面的法向量210(1,2,3)111i j kn a b =⨯==---,又平面过点(1,0,1)-,故所求平面方程为(1)23(1)0x y z ---+=,即2340x y z ---=.例6 求过直线L ：5040,x y z x z ++=⎧⎨-+=⎩且与平面π：48120x y z --+=成4π角的平面方程．解：过L 的平面束方程为5(4)0,x y z x z λ+++-+=即：(1)5(1)40,x y z λλλ+++-+=其法向量{1,5,1}n λλ=+-，又{1,4,8}n π=--11cos4n n n n π⋅==，34λ=-．所求平面为：207120x y z ++-=．5.空间直线方程对称式：000x x y y z z m n p---==，{,,}s m n p = 参数式：000x x mty y nt z z pt=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩一般式: 1111222200A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩例7 求过点(2,4,0)且与直线1210:320x z L y z +-=⎧⎨--=⎩平行的直线L 的方程.解:直线1L 的方向向量为1102(2,3,1)013i j ks ==--,由于L 与1L 平行,可取直线L 的方向向量1(2,3,1)s s ==-,又直线L 过点(2,4,0),故所求直线L 的方程为24231x y z--==-. 6.空间曲线的投影一般方程：(,,)0(,,)0,F x y zG x y z =⎧⎨=⎩消去,,x y z 得在三个坐标面上的投影曲线（注：需联立坐标面方程，如0z =）．例8 求曲线222221(1)(1)1,x y x y z ⎧+=⎪⎨+-+-=⎪⎩在yoz 面上的投影曲线．解：消去x 得投影柱面方程：22220z z y --+=,故曲线在yoz 面上的投影曲线为:222200z z y x ⎧--+=⎨=⎩. 例9．求上半锥面z （01z ≤≤）在三个坐标面上的投影区域．解：投影区域分别为:xoy 面：221x y +≤；xoz 面：,01z x z z -≤≤≤≤ yoz 面：,0 1.z y z z -≤≤≤≤7.常见二次曲面方程球面：如2222x y z a ++=; 椭球面：2222221y x z a b c++=; 圆柱面：如222x y a +=；圆锥面：如222z x y =+；抛物面：如22()z a x y =+单叶双曲面：2222221y x z a b c +-=（a b =时为旋转面）；双叶双曲面: 2222221y x z a b c-+=-（a c =时为旋转面）；双曲抛物面：如22;z x y z xy =-=例10 xoz 面上的直线1x z =-绕z 轴旋转而成的圆锥面的方程是． (C)(Ａ)221x y z +=- (B)2221x y z ++= (C)222(1)x y z +=- (D)222(1)x y z +=+.第二单元：多元函数微分法及应用1．多元函数连续、可微与偏导数存在之间的关系连续可微两个偏导数存在例1函数(,)f x y 在点00,)x y （处连续是函数(,)f x y 在点00,)x y （处的两个偏导数存在的（ D ）条件。

《高等数学》例题解析-第十七讲常数项级数的敛散性

（B）
A． Un n1
B. 2008Un n1
C． Un 0.001 n1
D．
1
U n1 u
解： 2008Un ＝2008 Un
n1
n1
U
收敛
n
由性质
2008U
n
收敛
n1
n1
3．下列级数中一定收敛的是…( A )
A．
n10
n2
1
4
B．
n10
2n
4n
4n
C．
n
10
1
n
n
!
收敛
18．判别
n1
n2
arctan 3n
n的敛散性
解：（ 1 ）
arctan n
2
n2 3n
arctan n
＝
Un
2
n2 3n
取Vn
2n2 3n（2） Nhomakorabea别n1
2
n2 3n
的收敛性
＝ lim Vn1 ＝ lim
V n n
n
n 1 3n1
2
3n n2
<1
Vn 收敛 n1
n1
n
arctan
1 2n3
的敛散性
解：（1）当 n
时， arctan
1 2n3
~
1 2n 3
(2) lim Un V n
n
Vn
1 2n2
lim
n arctan
1 2n2
＝
n
1
2n2
1，且
n1
1 2n2
收敛（p=2>1）由比较法的极
限形式知，
n1
n

《高等数学》例题解析-第二十讲二阶线性微分方程

第二十讲：二阶线性微分方程
一、单项选择题
1．以 y c1e2x c2e3x 为通解的二阶线性常
系数齐次微分方程为
()
A． y y 6 y 0
B． y y 6 y 0
C． y y 6 y 0
D． y y 6 y 0
解： r1 2, r2 3
r 2r 3 0, r2 r 6 0.
y0 1, 1 9 2c2 , c2 4 特解: y e3x 3cos 2x 4 sin 2x
16．已知二阶线性常系数齐次方程的特征方程
的根为 r1,2 1 2i ,求此微分方程.
解：(1)特征方程:
r 1 2ir 1 2i 0 r 12 2i2 0 , r 12 4i2 0
11． y 2 y 2 y ex 2x 的待定特解 y 解：(1) r2 2r 2 0
r1,2
2
48 2
1 i
r1,2 10
100 4 34 2
5 6 i 5 3i 2
通解 y e5x Acos 3x B sin 3x
9． y 6 y 9 y xe3x 的待定特解 y 解：(1) r2 6r 9 0 .
Ax3 Bx2 Cx y 3Ax2 2Bx c1 y 6Ax 2B 代入原方程:
i2 1 , r2 2r 1 4 0
r2 2r 5 0 (2)微分方程: y 2 y 5y 0
17．求 y 3y 9x2 的通解. 解：(1) r2 3r 0 ， r1 3, r2 0
y x c1 c2e3x
(2) 0 是特征单根.
y x Ax2 Bx C
A． Ax2 Bx c B． x Ax2 Bx c
C． Ax2 B
D． x Ax2 B

高等数学基础教材答案详解

高等数学基础教材答案详解高等数学是大学阶段数学课程的重要组成部分，对于学生来说，理解并掌握其中的基础知识和解题方法至关重要。

本文将为大家提供高等数学基础教材中一些典型问题的答案详解，帮助读者更好地理解和应用这些知识。

1. 导数和微分导数是高等数学中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

在教材中常见的导数求解问题包括函数的基本求导法则、高阶导数、隐函数求导以及参数方程求导等。

我们以一个简单的例子来说明导数的求解过程。

例题：求函数f(x) = x^2在点x=2处的导数。

解答：根据导数的定义，导数可以通过求函数的极限来得到。

对于给定的函数f(x)，我们需要求解极限lim┬(h→0)⁡(f(x+h)−f(x))/h，其中x=2。

代入函数f(x) = x^2并按照极限的运算法则进行计算，化简等式后可得到结果f'(2) = 4。

2. 积分和定积分积分是确定函数与坐标轴围成的面积的数学方法，定积分是对函数在一个区间上的积分。

教材中的积分和定积分问题种类繁多，包括基本积分法、换元积分法、分部积分法、曲线面积计算以及旋转体体积计算等。

下面我们通过一个简单的例子来解释定积分的求解方法。

例题：计算函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的定积分。

解答：定积分的计算可以通过求解不定积分并应用区间的边界值来完成。

对于给定的函数f(x)，首先求取不定积分∫(x^2)dx，得到F(x) = (x^3)/3 + C。

然后将区间的边界值代入不定积分的结果，即F(1) - F(0)，计算出定积分的值为1/3。

3. 无穷级数和幂级数无穷级数和幂级数是高等数学中的重要概念，它们用于描述某些序列的求和。

在教材中，常见的问题涉及级数的收敛性判断、级数求和、幂级数的收敛半径等。

我们通过一个典型的无穷级数例题来说明相关问题的解答过程。

例题：判断级数∑(n=1)⁺∞(1)/(2^n)的收敛性，并给出其和。

解答：通过级数收敛性判别法，我们可以知道当级数的公比小于1时，级数收敛。

高等数学同济教材例题讲解

高等数学同济教材例题讲解同济大学出版社出版的《高等数学同济教材》是一本经典的教材，深受广大高校学生的喜爱和推崇。

本文将针对教材中的例题进行讲解，以帮助读者更好地理解和掌握高等数学的知识。

1. 例题一：求极限已知函数 f(x) = x^2 + 2x + 1，求当 x 趋于无穷大时 f(x) 的极限。

解析：当 x 趋于无穷大时，x^2 的增长速度远快于 2x 和 1，因此可以忽略 2x 和 1，只考虑 x^2 的部分。

而 x^2 的极限为正无穷大，所以f(x) 的极限也为正无穷大。

2. 例题二：求导数已知函数 f(x) = x^3 + 2x^2 + x + 1，求 f(x) 的导数。

解析：对于多项式函数，求导数只需要按照幂次降低一阶，并将系数乘以原来的指数即可。

对 f(x) 进行求导，得到 f'(x) = 3x^2 + 4x + 1。

3. 例题三：定积分计算计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。

解析：由积分的定义可知，需要找到一个函数 F(x)，使得 F'(x) =x^2。

根据求导法则，可以得到 F(x) = x^3 / 3。

利用定积分的基本性质，我们有∫(0 to 1) x^2 dx = [x^3 / 3] (0 to 1) = (1^3 / 3) - (0^3 / 3) = 1/3。

4. 例题四：求解微分方程求解微分方程 dy/dx = 2x。

解析：将方程分离变量，得到 dy = 2x dx。

对两边同时积分，得到 y = x^2 + C，其中C为常数。

因此，微分方程的通解为 y = x^2 + C。

5. 例题五：级数求和求和级数∑(n = 1 to +∞) (1/2)^n。

解析：对于等比数列求和，我们可以使用等比数列求和公式。

根据公式，我们有∑(n = 1 to +∞) (1/2)^n = (1/2) / (1 - 1/2) = 1。

通过以上例题的讲解，相信读者对《高等数学同济教材》中的例题有了更深入的理解和掌握。