三类典型的数学物理方程

两端除以a，并与(4)式联立，可求解出：
f1(x)
1 2
(x)
1 2a
x
0
(
)d
C 2a
f2
(x)
1 2
(x)
1 2a
x
0
(
)d
C 2a
代回(2)中，得到方程（1）在定解条件（3）下的解
u(x,t) 1 [(x at) (x at)]
1
xat
( )d
2
2a xat
无限长弦自由振动的达朗倍尔公式
一维波动方程
utt
a2uxx
其特征方程为
(dx)2 a2(dt)2 0
特征线
(dx)2 a2(dt)2 0 的积分曲线即
一维波动方程的特征线：
x at 常数
x－t平面上斜率为 1 的两族直线
a
特征变换
u a u 对 tt
2
（1）
xx
依据特征线，做如下的代换
特征变换 特征线法
x at x at
ES(u(x x,t) x
u( x, t ) ) x
ES
2u x2
dx
根据牛顿第二定律： F ma
ES
2u x2
dx
Sdx
2u t 2
2u E 2u
t2 x2
a2
三类典型的数学物理方程
内容回顾
波动方程（双曲型方程） 物理现象：振动过程，关于连续介质(弦、杆、膜、 气体等），以及关于电流传输、电磁振荡等。 方程：
1.3 定解问题的提法
解（古典解） 定解条件：边界条件与初始条件的总称 定解问题：将某个偏微分方程和相应的定解
条件合在一起，就构成了一个定解问题。
始值问题（Cauchy问题） 边值问题 混合问题 解的存在性、唯一性、稳定性(定解问题是否符合
实际）
1.3 定解问题的提法
微分方程的适定性
内容回顾
数学物理方程的建立过程
确定所研究的物理量 用数学中的“微元法”从所研究的系统中分割出
一小部分，再根据相应的物理规律分析邻近部分 与该部分的作用（抓主要作用），这种相互作用 在一个短的时间间隔内如何影响物理量。 把这种关系用微分方程表达出来，经过化简整理， 得到数学物理方程。
杆的纵振动方程 杆上x点在t时刻 F(x,t) 的弹性应力 x 研究对象：杆上各点的纵向位移 u(x,t)
其中Aik，Bi，C，f 都是x1,x2,…,xn的已知函数。
举例：2个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式
二阶线性偏微分方程的性质
设u1和u2都是齐次方程L(u)=0的解，则c1u1+c2u2也 是齐次方程的解
若ui（i=1,2,3,…)是方程L(u)=0的解，而且级数 收敛，并且对自变量能够逐项微分两次，
特例：无限长的弦自由横振动
初始条件：
u ut
t0 t0
(x) (x)
（3）
将 u f1(x at) f2 (x at) 代入上式，得到
f1(x) f2 (x) (x) （4）
af1(
x)
af
2
(
x)
(
x)
（5）
在(5)式两端对x积分
x
af1(x) af2 (x) ( )d C 0
两端同时对x积分
x
u y
x2
y
0
u y
x3 y
3
g1( y)
u y
x3 y 3
g1( y) 0
两端同时对y积分
u(x, y) x3 y2 f (x) g( y) 6
u(x, y) x3 y2 f (x) g( y) 6
u(x, 0) x2
f (x) g(0) x2
其中Ci(i =1,2,…)为任意常数，则u一定是方程 L(u)=0的解。
设u1是齐次方程L(u)=0的解， u2是非齐次方程 L(u)=f的解,则u1+u2也是非齐次方程的L(u)=f解
第一章内容小结：
1.偏微分方程建立 2.初始条件
边界条件（三类边界条件） 3.定解问题及相关概念（方程的解、初值问题、
边值问题、混合问题） 4.方程解的叠加原理
定解问题的解法
解析方法
分离变量法、行波法、格林函数法等 变分法、微扰法、迭代法等
数值方法
有限差分法、有限元法、矩量法
偏微分方程的解法（需要同学们掌握）
• 特征线法（行波法）
无界域波动方程的定解问题
• 分离变量法
有界域的定解问题（三类方程均适用）
三类典型的数学物理方程
内容回顾
输运方程（抛物型方程） 物理现象：描述输运过程，如热传导、扩散、粘性 液体流动等。 方程：
三类典型的数学物理方程
内容回顾
稳定场方程（椭圆型方程） 物理现象：描述稳恒（不随时间改变）过程，如固 定电场和磁场（静电学、静磁学、直流电场），不 可压缩液体的位流、稳定热场等等。 方程：
边界条件 这里σ=k/T，k为弹性系数。
胡克的弹性定律指出：在 弹性限度内，弹簧的弹力 f和弹簧的长度x成正比， 即f= -kx。k是物质的弹 性系数，它由材料的性质 所决定，负号表示弹簧所 产生的弹力与其伸长（或 压缩）的方向相反。
输运问题的边界条件
1.2 初始条件与边界条件
物体边界S的温度为已知函数f(x,y,z,t) ：
T1
c h
T2
l
c
h
T1 T2 T0
sin1 tan1 c h sin2 tan2 c (l h) cos1 cos2 1
C
c F0h(l h)
T0l
例：长为l的两端固定的弦，在弦上x=h处，以 横向力F0拉弦，弦的张力为T0 ，达到稳定后放 手任其振动，如下图所示。写出初始条件。
t 1, 2
u2
f2(x
a) 2
t 1, u2 f2(x a)
以速度a沿X轴正方向传播的行波，右行波
达朗倍尔公式的物理意义
u f ( )d f1( ) f2() f1(x at) f2(x at)
2u 2u 2u f x2 y2 z2
第一章 一些典型方程和定解问题的推导
1.2 初始条件与边界条件
初始条件：用以说明物理现象初始状态的条件。 边界条件：用以说明边界上的约束情况的条件。
（1）初始条件
波动问题
例：长为l的两端固定的弦，在弦上x=h处，以 横向力F0拉弦，弦的张力为T0 ，达到稳定后放 手任其振动，如下图所示。写出初始条件。
（2）边界条件
1.2 初始条件与边界条件
波动问题的边界条件：
第一类边界条件：给出所研究的物理量在边界 上满足的条件
如一根长为a的弦，两个端点的位移已知，分别为 1(t), 2(t) 则其边界条件为
u(0,t) 1(t), u(a,t) 2(t)
固定端点的情形：
第二类边界条件 给出所研究的物理量沿边界外法向导数在边界 上应满足的条件。
• 格林函数法
主要用于求解拉普拉斯方程
第三章 行波法与积分变换法
§3.1 一维波动方程的达朗倍尔公式 §3.2 三维波动方程的泊松公式 §3.3 积分变换法举例
求定解问题的解
u(
x,
0)
uxy x2
x2 , u(1,
y y
)
cos
y
uxy x2 y
u
x
y
x2 y
用什么方法去掉一次微分？
u(1, y) cos y y2 f (1) g( y) cos y
6
f (x) g(0) x2 ①
y2 f (1) g( y) cos y ② 6
+ ① ②
f (x) g(0) y2 f (1) g( y) x2 cos y 6
f (x) g( y) x2 cos y y2 g(0) f (1)
狄氏条件
给出所研究的物理量沿边界面外法向的变化率
u(x, y, z) n
(x0 , y0 , z0 )
牛曼条件
给出所研究的物理量及其沿边界面外法向的变化率
(h
u(x, y, z) n
u(x,
y, z))
(x0,
y0 , z0 )
洛平条件
边界条件的分类
以S 表示物体的边界，则有： 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件
弦的端点沿垂直于x轴的方向自由滑动，并受到一个 沿位移方向作用的已知外力，则边界条件形式为
ux (0,t) 1(t), ux (a,t) 2(t)
自由端点的情形：
1.2 初始条件与边界条件
第三类边界条件 给出所研究的物理量及其沿边界外法向导数 在边界上应满足的条件。
端点处为弹性支撑端的情形 根据Hooke 定律
例：长为l 的均质细杆，侧面绝热，一端放在0°的水中，
另一端按已知规律 f (t) 变化。写出边界条件
物体边界面各点在时刻t所流过的热量已知：
u n
s
绝热时
1.2 初始条件与边界条件
包围物体的介质温度已知，物体内部通过其边界S与 周围介质进行热量交换：
在S上任取一小块dS,用u1表示与物体接触处的介质温度，dQ 表示dt时间内流过dS的热量，根据牛顿冷却定律，我们有
1.2 初始条件与边界条件
u n
u
S
源自文库
f
如果边界条件中的f=0，则称其为齐次边界条件，否则称为非 齐次边界条件。
1.3 定解问题的提法
第一章 一些典型方程和定解问题的推导
二阶线性偏微分方程
方程中出现的未知函数的偏导数的最高阶是二阶的、对 于未知函数及其各阶偏导数来说都是线性的。
线性方程示例： 一维波动方程： 二维热传导方程：
u( x, t )
t0
c x (0 x h) h c (l x) (h x l)
l h
C
例：长为l的两端固定的弦，在弦上x=h处，以
横向力F0拉弦，弦的张力为T0 ，达到稳定后放 手任其振动，如下图所示。写出初始条件。
F0T1cTo1ssin1
1
T2
T2 sin cos2
2
F0
c F0h(l h) T0l
u( x, t )
t0
c x (0 x h) h c (l x) (h x l)
l h
u(x,t) t0 0 (0 x l)
C
初始条件
输运问题
举例
例3 长为l的细杆导热问题，设其初始温度均匀，为u0，写 出初始条件
初始条件
稳定场问题
无初始条件
utt a2uxx x ,
u t0 (x) ut t0 (x)
t0
u(x,t) 1 [(x at) (x at)]
1
xat
( )d
2
2a xat
达朗倍尔公式的物理意义
u f ()d f1() f2() f1(x at) f2(x at)
t 0, u2 f2(x)
F(x x,t)
x x 密度ρ
以杆上一小段（x，x＋Δx）为研究对象
应用胡克定律，x点在t时刻的应力与x点处的应变
成正比，比值为杨氏模量E
u
小段的相对伸长为x ，在x点处为 在（x＋ Δx）处为 u(x x,t)
u ( x, t ) x
x
小段所受的力为：F F(x x,t) F(x,t)
定解问题的存在性、唯一性和稳定性统称为定 解问题的适定性。
如果定解问题的解是存在的、唯一的、并且是 稳定的，我们就称这个问题是适定的。
注：本课程所讨论的定解问题都是古典的（定 解问题的解是古典解），并且假定其适定性都 是经过数学证明了的。
1.3 定解问题的提法
N个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式
6
f (x) g(0) x2 f (1) g(0) 1
f (x) g( y) x2 cos y y2 1 6
u(x, y) x3 y2 f (x) g( y) 6
f (x) g( y) x2 cos y y2 1 6
u(x, y) x3 y2 x2 cos y y2 1
k1为两个介质之间的热交换系数。 在物体内部任取一个无限贴近边界S的封闭曲面Γ，由于在 S内侧热量不能积累，所以在Γ上的热流应该等于边界S上 的热流。而在Γ上的热流为
1.2 初始条件与边界条件
σ=k1/k为常数
稳定场问题的边界条件
直接给出所研究的物理量在边界面上的变化规律
u(x, y, z) (x0 , y0 , z0 )
得到
uxx u 2u u
utt a2[u 2u u ]
将上面两式代入原波动方程，得到
u 0
如何处理？
考虑采用积分的方法
先对 积分 u u d 0 f ( )
再对 积分
u f ( )d f1( ) f2 () f1(x at) f2(x at)（2）
即为齐次波动方程初值问题的通解 就某一具体问题，通过定解条件（初始条件）来 确定 f1 , f2
6
6
3.1 一维波动方程的达朗倍尔公式
研究对象 无界域 波动方程 （波动方程初值问题） 仅考虑初始条件
utt a2uxx x ,
u t0 (x) ut t0 (x)
t0
思路 建立波动方程初值问题的通解公
式，并通过初始条件确定解
一维波动方程初值问题的特征线解法
齐次一维波动方程的初值问题 解法-特征线法