第七章-自旋和全同粒子
《量子力学》课程19
j ( j 1),
jl
1 2
jl
,
( , , s z )
2l 1 1 1
1 2
l m 1Y lm ( , ) l m Y lm 1 ( , )
jl
1 2
,
( , , s z )
jl
(sz )
z z
1 2
z
1 2
z
1 2
1 2
z
ˆ Sz
1 2
2
1 2
ˆ Sz1
2
2
1 2
这两个函数是彼此正交的。
量子力学
3、自旋函数的矩阵形式
在 表示为：
1/ 2
z
表象中，
1 2
、
0 1
1 2
的矩阵
1 0
1 2
l m Y lm ( , ) 2 l 1 l m 1Y lm 1 ( , )
对于
,
m max l , m min ( l 1)
量子力学
m l , l 1, , 0 , , ( l 1) mj m
量子力学
§7.5 光谱的精细结构
光谱的精细结构与自旋轨道藕合有关。 下面讨论在无外场时，电子自旋对类氢原子的 能级和谱线的影响。 对于类氢原子，如果不考虑电子自旋与轨 道相互作用的能量，则类氢原子的哈密顿为
ˆ H0
2
2
U (r )
2
若不考虑核外电子对核的屏蔽，则 U ( r ) r 根据前面的讨论，若不考虑电子的自旋，电子 的能量只与 n 有关，能量为 n 度简并，现在 把电子的自旋加进去（不考虑电子自旋与轨道
第七章全同粒子§7.1交换对称
2
2
Fermi-Dirac statistics（泡利不相容） Maxwell-Boltzmann statistics Bose-Einstein statistics（不同粒子占据相同态的倾向最强）
§7.3 两电子体系
(xv1, ms1, xv2, ms2)
C(ms1, ms2 ) xv1, ms1; xv2, ms2 (xv1, xv2 )(ms1, ms2 )
对两粒子体系，可能的P12本征矢为：k ' k '' 1 ( k ' k '' k '' k ' )
2
将对称化( S12 (1 P12 ) / 2 )或反对称化( A12 (1 P12 ) / 2 )算符作用 于任意态，可得P12的本征态：
P12 S12 S12 ; P12 A12 A12
)
A
(
xv2
)B
(
xv1
)],
(xv1, xv2 )
2
1 2
{
A
(
xv1
)
2
B (xv2 )
2
A (xv2 )
2
B (xv1)
2
2
Re[A
(
xv1
)B
(
xv2
)
* A
(
xv2
)B*
(
xv1
)]},
交换密度项，对自旋单态和三态的几率密度有不同影响（但若ωA和
ωB无交叠时，交换密度项无贡献，全同粒子可区分。
把Z作为变分参量 Zeff，可显著改善 基态能量的结果。
引入更多变分参量 如2s成分，结果可 进一步改善。
量子力学基础教程答案
量子力学基础教程答案【篇一：量子力学课后答案】class=txt>????? 第一章绪论第二章波函数和薛定谔方程第三章力学量的算符表示第四章态和力学量的表象第五章微扰理论第六章弹性散射第七章自旋和全同粒子?301.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：?mt?b,b?2.9?10m?c。
证明：由普朗克黑体辐射公式：8?h?31 ??d??d?， h3c ekt?1c c及??、d???2d?得?? 8?hc1?? ?5，hc?e?kt?1 d?hc令x?，再由??0，得?.所满足的超越方程为 ?d? ktxex 5?x e?1 hc x?4.97，即得用图解法求得?4.97，将数据代入求得?mt?b,b?2.9?10?3m?0c ?mkt1.2．在0k附近，钠的价电子能量约为3ev,求de broglie波长.0hh?10解：? ???7.09?10m?7.09a p2me # 3e?kt，求t?1k时氦原子的de broglie波长。
1.3. 氦原子的动能为 2h0hh?10??12.63?10m?12.63a 解：? ??p2me3mkt ?23?1其中m?4.003?1.66?10?27kg，k?1.38?10j?k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量。
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
绪论第一章b?10t，玻尔磁子?b?0.923?10?23j?t?1，求动能的量子化间隔?e，并与t?4k及已知外磁场t?100k 的热运动能量相比较。
p21解：（1）方法1：谐振子的能量e????2q2 2?2p2q2可以化为??1 22 ?2e?2e? ????2???2e 的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为a?2?e,b?，相空间面积为 2 ??2?eepdq??ab???nh,n?0,1,2,? ?? e?nh?,n?0,1,2,? 所以，能量方法2：一维谐振子的运动方程为q????2q?0，其解为q?asin??t??? 速度为 q??a?cos??t???，动量为p??q??a??cos??t???，则相积分为 2222tta??a??t222pdq? a??cos??t???dt?(1?cos??t???)dt??nh，n?0,1,2,? 002222a??nh e???nh?，n?0,1,2,? 2t 2?v?v evb?（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。
《量子力学教程》_课后答案
2 ( x) A sin kx B coskx
④
13
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得
2 (0) 1 (0)
2 ( a ) 3 ( a)
⑤ ⑥ ⑥
⑤
B0 A sin ka 0
A0 s i n 0 ka ka n
《量子力学教程》 习题解答
1
《量子力学教程》
习题解答说明
• 为了满足量子力学教学和学生自学的需要，完 善精品课程建设，我们编写了周世勋先生编写 的《量子力学教程》的课后习题解答。本解答 共分七章，其中第六章为选学内容。 • 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
2
目录
• • • • • • • 第一章 绪论 第二章 波函数和薛定谔方程 第三章 力学量的算符表示 第四章 态和力学量的表象 第五章 微扰理论 第六章 弹性散射 第七章 自旋和全同粒子
(1)
J1与r 同向。表示向外传播的球面波。
i * * J1 ( 1 1 1 1 ) 2m i 1 ikr 1 ikr 1 ikr 1 ikr [ e ( e ) e ( e )]r0 2m r r r r r r i 1 1 1 1 1 1 [ ( 2 ik ) ( 2 ik )]r0 2m r r r r r r k k 2 r0 3 r mr mr
0
2
n ， n 1,2, 。 eB
1 2 1 eBR 1 2 2 n e B n B B 电子的动能为 E v 2 2 2 eB
动能间隔为 E B B 9 10 J 热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为 E kT ，所以当 T 4K 时， E 4.52 10 J ；当
量子力学教学大纲
量子力学教学大纲课程编号：060092适用专业：物理学学时数：72学分数：41.课程类别：本课程是物理学专业的专业必修课2.教学目标：掌握量子力学的概念、原理和基本方法，能求解量子力学的一些基本问题；具有分析和处理量子力学问题的能力；了解现代量子力学发展的趋向，对量子力学理论有初步的了解；了解量子力学的基本知识在中学教学阶段中的作用。
通过多种近代物理实验的讲解，了解微观世界的特殊性，了解经典物理不能正确描述微观粒子的运动规律，认识到微观世界建立背后的理论——量子力学的必然性。
3.学时分配：见下表学时分配表第一章绪论教学时数：8学时重点难点：重点：了解经典物理遇到的困难，量子力学的建立过程。
微光粒子的波粒二象性。
难点：波粒二象性矛盾性的解释。
教学要求：了解：经典物理学的困难。
理解：波粒二象性矛盾性的辩证统一解释。
掌握：波粒二象性模型：λhP =的物理意义与它所包括的科学价值。
光的波粒二象性。
原子结构的波尔理论。
微光粒子的波粒二象性。
教学内容：（1）经典物理学的困难（2）光的波粒二象性（3）原子结构的波尔理论（4）微光粒子的波粒二象性第二章波函数和薛定谔方程教学时数：10学时重点难点：重点：波函数的统计解释，薛定谔方程的建立过程，用定态薛定谔方程处理势阱问题和线性谐振子问题。
难点：线性谐振子求解问题。
势垒贯穿。
教学要求：了解：量子力学理论的数学表示方式：薛定谔波动方程；波函数的统计解释。
理解：波粒二象性矛盾性的辩证统一解释——波函数的统计解释。
掌握：波函数的统计解释；定态薛定谔方程；一维无限深势阱的求解问题；定态薛定谔方程处理势阱问题和线性谐振子问题。
教学内容：（1）波函数的统计解释（2）态叠加原理（3）薛定谔方程（4）粒子流密度和粒子数守恒定律（5）定态薛定谔方程（6）一维无限深势阱（7）线性谐振子（8）*势垒贯穿第三章量子力学中的力学量教学时数：14学时重点难点：重点：表示力学量的算符；厄密算符本征函数的正交性；算符与力学量的关系。
7 自旋与全同粒子
A. 电子自旋算符表示：
h 自旋角动量与轨道角动比较：方向投影值是 ，而不是 h ； 2
与电子坐标、动量无关；满足相同的对易关系。 用 S 表示自旋角动量，则有
∧
S × S = ih S
∧
∧
∧
（7.1.7）
S x S y S y S x = ih S z ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ S y S z S z S y = ih S x ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ S z S x S x S z = ih S y ∧ ∧ 泡利算符：引入算符 σ ，它与 S 的关系是
+ 1 2
(7.1.24)
几率密度是：
w( x, y , z, t ) = Ψ Ψ = Ψ 1 + Ψ 2 = w1 ( x, y , z, t ) + w2 ( x, y , z, t )
+
2
2
当电子的自旋和轨道运动的相互作用可忽略： 一般情况下电子的自旋和轨道运动的相互作用由 Ψ 中的 Ψ 1 , Ψ 2 是x,y,z的不同函数来表示。当电子的自旋和轨道运动的相互作 用可忽略时， 1 , Ψ 2 对x,y,z的依赖关系是相同的，于是 Ψ
θ 为外磁场与原子磁矩之间的夹角。
则原子 z 方向所受到的力为
Fz = U H =M cos θ z z
实验证明，这时分裂出来两条谱线分别对应于 cos θ = +1 和 cos θ = 1两个值。
电子的自旋和磁矩是电子的内禀属性，也称为内禀角动量和 内禀磁矩，标志电子的一个新的自由度。斯特恩与革拉赫实验直 接证实了这一属性。 无数实验表明，各种基本粒子也具有这一属性。
∧
0 i σy = i 0
∧
E. 平均值问题
周世勋《量子力学教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第7章 自旋与全同粒子——第8章
（2）无耦合表象
力学量组
(
J12
,
J1z
,
J
2 2
,
J
2
z
)
也相互对易，相应的表象称为无耦合表象。无耦合表象的基
矢为：| j1m1 j2m2 。
五、光谱的精细结构
在无外场的情形下，电子自旋对原子能级和谱线有影响。在哈密顿量中体现在电子的自
旋和轨道运动之间的相互作用引起了附加项。体系的哈密顿量可表示为：
2
三、简单塞曼效应 1．简单塞曼效应概念 在没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为三条，这即是简单塞曼效应。
2．简单塞曼效应的物理机制
考虑氢原子或类氢原子在均匀外磁场中的情形。在较强的外磁场作用下，须考虑电子的
轨道磁矩和自旋磁矩与磁场 B 的相互作用。由于外磁场较强，可略去电子的自旋和轨道运
动之间的相互作用能量。此时，哈密顿量可表示为：
H
2
2me
2
U (r)
eB 2mec
(2Sz
Lz )
力学量组 (H , L2 , J 2 , J z ) 相互对易，其共同本征函数是定态薛定谔方程的解：
nlmms (r, ,, sz ) Rnl (r)Ylm ( ,)ms (sz )
则 Enlmms
Enl
eB 2mec
(m
2ms
)
EEnlnl22ememBBecec((mm11)), ,
。
(r , 2 ,t)
2 / 31
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在
z
表象中，s
z
的本征值为：
2
，相应的本征态为：
1 2
全同粒子
第七章 全同粒子本章介绍：本章首先介绍全同粒子的特性，然后介绍了全同粒子体系的波函数及泡利不相容原理。
§7.1 全同粒子的特性§7.2 全同粒子体系的波函数◆全同粒子的定义：我们称质量、电荷、自旋、同位旋即其他所有内禀固有属性完全相同的粒子为全同粒子。
例如：所有电子是全同粒子。
◆全同粒子的重要特点：在同样的物理条件下，它们的行为完全相同，因此用一个全同粒子代替另一粒子，不引起物理状态的变化。
◆在经典力学中，即使是全同粒子，也总是可以区分的。
因为我们总可以从粒子运动的不同轨道来区分不同的粒子。
而在量子力学中由于波粒二象性，和每个粒子相联系的总有一个波。
随着时间的变化，波在传播过程中总会出现重叠，在两个波重叠在一起的区域，无法区分哪一个是第一个粒子的波，哪一个是第二个粒子的波。
因此全同粒子在量子力学中是不可区分的。
我们不能说哪个是第一个粒子，哪个是第二个粒子。
全同粒子的不可区分性，在量子力学中称为全同性原理。
从全同性原理出发，可以推知，由全同粒子组成的体系具有以下性质：全同粒子体系的哈密顿算符具有交换对称性。
讨论一个由N 个全同粒子组成的体系，第i 个粒子的全部变量用i q 表示，体系的哈密顿算符是1ˆ(,,,,)i j N H q q q q t ，由于全同粒子的不可区分性，将粒子i 和j 互换，体系的哈密顿算符不变交换算符ˆij P 引入交换算符ˆijP ，表示将第i 个粒子和第j 个粒子相互交换的运算： ψ是任意波函数，由ˆH 的交换不变性有：即ˆˆ[,]0ijP H =另外，将交换算符作用到薛定谔方程上，得表明：若ψ是薛定谔方程的解，则ˆij P ψ也是薛定谔方程的解。
于是有ˆijP ψλψ=利用22ˆijP ψλψψ==得21,1λλ==± 即ˆˆ,ij ijP P ψψψψ==-由上两式可见，全同粒子组成的体系的状态只能用交换对称或交换反对称的波函数描述。
全同粒子体系波函数的对称性不随时间变化。
自旋全同粒子
自旋全同粒子自旋是描述粒子的一种性质，它是量子力学中旋转不变性的内禀表示。
在自旋理论中，粒子根据自旋量子数的不同可以分为整数自旋粒子（如光子、重整数自旋粒子（如电子）、半整数自旋粒子（如中子）等。
自旋全同粒子是指具有相同自旋量子数的粒子，它们在物理理论和实验研究中具有很重要的地位。
根据量子力学的统计原理，自旋全同粒子的波函数必须满足对称或反对称的交换关系。
对于玻色子（具有整数自旋）的自旋全同粒子，它们的波函数必须是对称的；而对于费米子（具有半整数自旋）的自旋全同粒子，它们的波函数必须是反对称的。
自旋全同粒子的理论研究在原子、分子、凝聚态物理以及量子信息等领域有很广泛的应用。
以下是一些相关的参考内容：1. 书籍：- 《Quantum Mechanics: Concepts and Applications》（Nouredine Zettili）- 《Quantum Mechanics: Concepts and Applications》（Nouredine Zettili）- 《Quantum Mechanics and Path Integrals》（Richard P. Feynman, Albert R. Hibbs）- 《Group Theory in Physics: An Introduction》（J. F. Cornwell）- 《Modern Quantum Mechanics》（J. J. Sakurai, Jim Napolitano）这些书籍涵盖了自旋理论及其应用的基本概念、数学形式和物理解释等方面的内容。
2. 研究论文：- "Non-Abelian anyons and topological quantum computation"（A. Y. Kitaev）- "Spin and Statistics of Quantum Particles in Two Dimensions"（F. Wilczek）- "Topological Quantum Computation and Anyonic Interferometry"（Chetan Nayak et al）- "Quantum Coherence and Pauli Spin Matrices"（S. A. Gurvitz）这些研究论文介绍了自旋全同粒子在拓扑量子计算、任意子干涉等领域的理论研究和可能的应用。
全同粒子的特性
h2
2
2j
U (qj ,t)
ji
1 2
W
(q
j
,
qi
)
Hˆ (q1,..., qi ,..., qj ,..., qN ,t)
Hˆ (q1,..., qi ,..., qj ,..., qN ,t) Hˆ (q1,..., qj ,..., qi,..., qN ,t)
二、全同性原理
全同性原理：全同粒子组成的体系中，任意交换两个全同粒子， 体系的物理状态保持不变。
全同粒子的不可区分性导致了全同性原理。
例如：氦原子中有两个电子，一个处于基态，一个处于第一激发 态，能量分别为
E1
Z 2es2 2a0
E2
Z 2es2 2a0 22
体系的能量为E E1 。E2
若交换两个电子的位置和自旋，体系的能量不变。
三、全同粒子体系的波函数与哈密顿及其特性
1．全同粒子体系的波函数与哈密顿 用 qi (代rvi ,表Siz )第i个粒子的坐标和自旋。
全同粒子体系的波函数和哈密顿分别为
(q1, q2 ,..., qN ,t)
Hˆ (q1, q2 ,...,qN
当 时 ，1有
1
(..., q j ,..., qi ,...) (..., qi ,..., q j ,...)
则波函数是交换对称的，用 表S 示；
当 时 ，1 有
(..., q j ,..., qi ,...) (..., qi ,..., q j ,...)
,t)
N i 1
2
2
2 i
第七章2 全同粒子系
全同粒子体系(tǐxì)哈密 顿量是对称的
结论：
描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，其 对称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称（或反对 称）态上，则它将永远处于对称（或反对称）态上。
共六十八页
（四）Fermi 子和 Bose 子
实验表明(biǎomíng)：对于每一种粒子，它们的多粒子波函数 的交换对称性是完全确定的，而且该对称性与粒子的自 旋有确定的联系。
共六十八页
3 微观粒子的不可(bùkě)区分性
服从
用
微观粒子运动
量子力学
波函数描写
(yùndòng)
在波函数重叠区粒子是不 可区分的
4 全同性原理
全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相代换不引 起体系物理状态的改变。
全同性原理是量子力学的基本原理之一。
第五条基本假设
共六十八页
（二）波函数的对称性质
皆为 ：
Ei j
共六十八页
V S 和 A 的归一化
首先 证明
若单粒子(lìzǐ)波函数是正交归一化的， 则 (q1,q2) 和 (q2 , q1) 也是正交归一化的
证明
(zhèngmíng)： （ * q1,q2) （ q1,q2)d1 q d2 q
（ i* q1) * j(q2)（ i q1) j(q2)d1 q d2 q
(q1,q2, qj qi qN ,t) (q1,q2, qi qj qN ,t)
再做一次（q i , q j ) 调换(diàohuàn)
( q 1 , q 2 , q i q j q N ,t ) ( q 1 , q 2 , q j q i q N ,t ) 2 ( q 1 , q 2 , q i q j q N ,t )
量子力学曾谨言习题解答第七章
第七章：粒子在电磁场中的运动[1]证明在磁场B中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系：[]zy x cq i v v B ˆ,2μ= （1） []xz y cq i v v B ˆ,2μ= （2） []y xz cq i v v B ˆ,2μ= （3） [证明]根据正则方程组：x x p H x v ∂∂== ˆ ，Φ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=q A c qp H 221ˆ μ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x A c q p vˆˆ1ˆμ 同理 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y y y A c q p v ˆˆ1ˆμ ()z y x p p p pˆ,ˆ,ˆˆ 是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方： []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=y y x xyxA c q p A c q p v v ˆˆ,ˆˆ1,2μ =[][][][]y x y x y x y x A A cq p A c q A p c qp pˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ122222μμμμ+-- （4） 正则动量与梯度算符相对应，即∇=ipˆ ，因此 []0ˆ,ˆ=y x p p又A ˆ仅与点的座标有关[]0ˆ,ˆ=yxA A[]z x y x y yxB c iq y A x A i c q x i A c q A x i c q v v 2222,,,μμμμ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-= （因A B ⨯∇=ˆˆ）其余二式依轮换对称写出。
[2]利用上述对易式，求出均匀磁场中，带电粒子能量的本征值（取磁场方向为Z 轴方向） （解）设磁场沿Z 轴方向，B B B B z y x ===00矢势A ˆ 的一种可能情形是022=-=-=z y x A x B A y BA在本题的情形，哈密顿算符是：（前题）{})2(2)1(2221ˆ222222z y x z y x v v v p x c qB p y c qB p H ++=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=μμ速度算符间的对易式是：()()())5(0,)4(0,)3(,2===x z zyyxv v v v B ci q v v μ 根据（54⨯），z v 分别和x v ，y v 对易，因此z v 与22yx v v +对易，而： ()2212ˆyx v v H +=μ 与22ˆ2ˆx v H μ=有共同的本征函数，H ˆ的本征值是21ˆ,ˆH H 本征值之和。
量子力学-自旋与全同粒子
自旋量子数 s 只有一个数值1/2 只有一个数值1
HUST
Applied Physics
12
3、自旋算符的形式及其本征态 、
Sx ,Sy ,Sz 不对易，不能同时有确 Sˆ × Sˆ = i ℏ Sˆ S S 不对易， 定值。 所以， 定值 。 所以 ， 只能用某一方向的分量 来反映自旋的特点。一般用S 来反映自旋的特点 。一般用Sz ， 即建 [ Sˆ x , Sˆ y ] = i ℏ Sˆ z 表象（或称S 的共同表象） 立Sz 表象 （ 或称 S 2和 Sz 的共同表象） ， [ Sˆ y , Sˆ z ] = i ℏ Sˆ x 表象研究电子的运动状态 研究电子的运动状态。 在Sz 表象研究电子的运动状态。 （1）自旋算符Sx ,Sy , Sz 的矩阵形式 ）自旋算符S S
3s
3S1/2
5
二、自旋假设的提出
Uhlenbeck 和 Goudsmit在1925年，根据上述现象提出，电 在 年 根据上述现象提出， 自旋。 没有经典对应， 子具有一种特殊的运动——自旋。 该运动方式没有经典对应， 子具有一种特殊的运动 自旋 该运动方式没有经典对应 不能用经典运动来解释（与自转有本质区别） 不能用经典运动来解释 （ 与自转有本质区别）。 这就是电子的 自旋假设： 自旋假设： 自旋角动量， （ 1） 电子具有 自旋角动量 ， 它在空间 ） 电子具有自旋角动量 任何方向上的投影只能取两个值： 上的投影只能取两个值 任何方向上的投影只能取两个值： 自旋磁矩， （ 2） 电子具有 自旋磁矩 ， 它与自旋角 ） 电子具有自旋磁矩 动量的关系为： 动量的关系为：
设原子磁矩为 M ，外磁场为 B ， 中的势能为： 原子在 Z 向外磁场 B 中的势能为：
《量子力学》课程18
自旋角动量的三个分量算符的平方之和，称 为自旋角动量平方算符即
ˆ ˆ S Sx
2
Sˆ Sˆ
2 2 y z
2
量子力学
二、电子自旋算符的本征值
由于
ˆ S
在空间中任一方向的投影只能 取 ，因此在任意选定 两个值 2 x, y, z ˆ 坐标后， S y , S z 的本征值都是 2 。 Sx, ˆ ˆ ˆ 2 , S 2 , S 2 的本征值都是 2 4 ，即 S ˆ ˆ
x y z
S
4 所以自旋角动量平方算符的本征值为
2 x
S
2 y
S
2 z
2
S
2
S S S
2 x 2 y
2 z
3 4
2
量子力学
ˆ 将自旋角动量平方算符 S 2 的本征值写为 2 2 的形式，则 s 1 S s ( s 1) 2 将上式与轨道角动量平方算符的本征值 2 2 L l ( l 1) 比较，可知 s 与角动量 量子数 l 相当，所以称 s 为自旋量子数。 但注意， s 只能取一个值，即 s 1 。 2 ˆ 同样,将 S z 的本征值写为 S z m S 的形 式，则可得自旋磁量子数 m S 1 。 2
)0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ y , z ] y z z y 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ z , x ] z x x z 0
ˆ
的各个分量之间满足反对易关系。 综上所述，可把泡利算符的代数性质总 结如下
量子力学
1、电子的自旋算符和自旋函数 2、两个角动量的耦合 3、全同粒子体系的波函数和泡利原理
第七章自旋与全同粒子lt
第七章自旋与全同粒子lt部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑第七章例题剖析1求自旋角动量在任意方向[方向余弦是(cosα，cosβ，cosγ>]的投影的本征值和本征矢。
[解] 自旋算符的矩阵表示为令sn的本征矢为它必然是一个两行两列的矩阵，sn的本征方程为则就有不同时为零的条件是其系数行列式为零，即展开得：因此的本征值为下面求本征矢：<1）当时，即时，由①式得利用归一化条件<2）当时；利用归一化条件讨论：算符的本征值为，而z方向为空间的任意方向。
现在把z方向特别选为沿方向<这相当于作一个坐标旋转），则的本征值也应为。
另外我们知道，本征值和表象的先取无关。
这样选择并不影响结果的普遍性。
b5E2RGbCAP同理的本征值也都是。
我们也可以在为对角矩阵的表象中<表象）求本征矢。
显然这时的知阵为所以本征矢为注意到本征矢是随着表象选取的不同而改变的。
现在是在表象，而上面算出的表象，算出的结果应用所不同，这是合理的。
p1EanqFDPw2. 设两个自旋为3/2的全同粒子组成一个体系，求体系对称的自旋波函数有几个？反对称的自旋波函数有几个。
DXDiTa9E3d[解] 对于自旋为3/2的粒子，其自旋角动量沿某轴的分量可以取四个数值，即相应的波函数用表示。
则两个粒子组成体系的自旋波函数形式一般为。
当i=j时，构成对称波函数，有4个。
当i≠j时，其中也就是对称波函数，它有个而则是反对称波函数有6个。
故自旋为3/2的二个全同粒子可组成10个对称自旋波函数，6个反对称自旋波函数。
讨论：对子自旋为S的二个全同粒子组成的体系，对称自旋波函数共有<2S+1）<S+1）个。
反对称自旋波函数有<2S+1）S个。
RTCrpUDGiT3．求由三个相同中的玻色子组成的体系的所有可能状态。
[解] 可以分三种情况<1）三个粒子状态都相同，则组成对称波函数<2）三个粒子中有2个处于相同状态，另一个处于不同状态其中<3）三个粒子的状态都不相同，这时体系的波函数为其中申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
16第7章概念1-自旋角动量的本征_[1]...
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ℏ 同理， 同理，λ = − （自旋朝下 ）对应的归一化本征矢为 2 sin(θ / 2) ↓n = iϕ −e cos(θ / 2)
讨论： 讨论：
ˆ S S 1. S x、ˆ y、ˆ z的本征矢 ˆ 可取任意值， （1） S z ：θ = 0 ，ϕ 可取任意值，取 ϕ = 0 ，则本征矢为
e− iϕ sin θ − cos θ ˆ 的本征值 λ = λ ′ ℏ 满足久期方程 Sn 2 ℏ cos θ = iϕ 2 e sin θ
解得
a ℏ 自旋朝上） 设 λ = （自旋朝上）对应的归一化本征矢为 ↑ n = ，则 2 b
ℏ cos θ − λ ′ e− iϕ sin θ =0 iϕ 2 e sin θ − cos θ − λ ′ ℏ λ=± λ ′ = ±1 2
ˆ χ 1 ( S ) = ℏ 0 −i 1 = ℏ 0 = i ℏ χ ( S ) Sy z z −1 2 2 i 0 0 2 i 2 2 ℏ 0 −i 0 ℏ −i = −i ℏ χ ( S ) ˆ 1 S y χ− 1 (S z ) = z = 2 0 2 2 2 2 i 0 1
θ
2
和 sin
2
θ
2
。
的概率： 也可以采取下面的办法求 S z = ±ℏ / 2 的概率：
S z = ±ℏ / 2 的概率分别为
Pz (↑) = ↑ z ↑n
2
cos(θ / 2) 2θ = (1 0 ) iϕ = cos 2 e sin(θ / 2)
2
Pz (↓) = ↓ z ↑n
第七章
一、自旋角动量 1.电子自旋角动量算符 实验测得： 实验测得： S n = ±ℏ / 2
量子力学填空简答证明复习资料 (2)
填空 第一章 绪论6、玻尔的量子化条件为 n L =9德布罗意关系为 k p E==,ω 。
1、 用来解释光电效应的爱因斯坦公式为 221mv A h +=ν 。
2、 戴微孙-革末 实验验证了德布罗意波的存在，德布罗意关系为 k p E==,ω 。
第二章 波函数和薛定谔方程1、波函数的标准条件为 单值，连续，有限 。
4、2),,,(t z y x ψ的物理意义： 发现粒子的几率密度与之成正比 。
5、dr r r 22),,(⎰ϕθψ表示 在r —r+dr 单位立体角的球壳内发现粒子的几率 。
第三章 量子力学中的力学量2如两力学量算符有共同本征函数完全系，则0 。
3、设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__ψλψ=Fˆ_______。
5、在量子力学中，微观体系的状态被一个 波函数 完全描述；力学量用 厄密算符 表示。
10坐标和动量的测不准关系是_2≥∆∆x p x ___________________________。
自由粒子体系，_动量_________守恒；中心力场中运动的粒子___角动量________守恒3、 设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为___在p —p+dp 范围内发现粒子的几率____________________________________________。
3、厄密算符的本征函数具有 正交，完备性 。
10、=]ˆ,[x p x i ； =]ˆ,ˆ[zy L L x L i ；第四章 态和力学量的表象量子力学中的态是希尔伯特空间的__矢量__________；算符是希尔伯特空间的__算符__________。
力学量算符在自身表象中的矩阵是 对角的第五章 微扰理论第七章 自旋与全同粒子7.为泡利算符，则=2ˆσ 3 ，=]ˆ,ˆ[y xσσz i σˆ28、费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有_交换反对称性__ _______, 玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有____交换对称性____ 。
7.1电子自旋
（7.1-4）
我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：
ML
e L 2
（7.1-5）
可见电子回转磁比率是轨 道回转磁比率的二倍
S 态的氢原子束流，经非均匀 磁场发生偏转，在感光板上呈现两条 分立线。 （2）结论 I。氢原子有磁矩 因在非均匀磁场中发生偏转 II。氢原子磁矩只有两种取向 即空间量子化的
处于 S 态的 氢原子
Z
N
S
G. Uhlenbeck（乌伦贝克）— S.Goudsmit（古德 斯密特）假设 • 1925年二人合作根据实验结果提出电子自旋的假设： （1）电子具有自旋角动量 S ，它在空间任何方向上的 投影值（测量值）仅取两个值，例如 z 方向
sz
2
（7.1-1）
（2）由于电子具有自旋，实验发现，它也具有自旋磁矩 （内禀磁矩） M s ，它与自旋角动量关系是
e （7.1-2） Ms s e 和 分别是电子的电荷和质量， M s 在空间任何方向 上的投影值（测量值）仅取两个值 e e M s M s z z B （玻尔磁子）（7.1-3） 2
第七章
自旋与全同粒子
我们已经知道，从薛定谔方程出发可以解释许多 微观现象，例如计算谐振子和氢原子的能级从而得 出它们的谱线频率，计算结果在相当精确的范围内 与实验符合。但是这个理论还有较大的局限性。首 先，薛定谔方程没有把自旋包含进去，因而用前面 的理论还不能解释牵涉到自旋的微观现象，如塞曼 效应等。此外，对于多粒子体系（原子、分子、原 子核、固体等等），前面的理论也不能处理。
§ 7.1 电子的自旋
一、提出电子自旋的依据
斯特恩—盖拉赫实验（Stern-Gerlach） （1922年） (l 0 ) 当使基态 的氢原子束通过不均 匀磁场时，观测到原子束仅分裂成两束， 即仅两个态。这个实验直接证实了半整数 角动量的存在。
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第七章 自旋和全同粒子 §7 - 1 电子自旋一 电子自旋的概念在非相对论量子力学中，电子自旋的概念是在原子光谱的研究中提出来的。
实验研究表明，电子不是点电荷，它除了轨道运动外还有自旋运动。
描述电子自旋运动的两个物理量： 1 、 自旋角动量(内禀角动量)S它在空间任一方向上的投影s z 只能取两个值21±=z s ；(7. 1)2、 自旋磁矩(内禀磁矩)μs它与自旋角动量S 间的关系是：S es m e-=μ,(7. 2)B e s 2μμ±=±=m e z,(7. 3)式中(- e )：电子的电荷，m e ：电子的质量，B μ：玻尔磁子。
3、电子自旋的磁旋比（电子的自旋磁矩/自旋角动量）es e s 2m e g m e s zz=-=μ,(7. 4)g s = –2是相应于电子自旋的g因数,是对于轨道运动的g因数的两倍。
强调两点：●相对论量子力学中，按照电子的相对论性波动方程 狄拉克方程，运动的粒子必有量子数为1/2的自旋，电子自旋本质上是一种相对论效应。
●自旋的存在标志着电子有了一个新的自由度。
实际上，除了静质量和电荷外，自旋和内禀磁矩已经成为标志各种粒子的重要的物理量。
特别是，自旋是半奇数还是整数(包括零)，决定了粒子是遵从费米统计还是玻色统计。
二 电子自旋态的描述ψ ( r , s z )：包含连续变量r 和自旋投影这两个变量， s z 只能取 ±2/ 这两个离散值。
电子波函数（两个分量排成一个二行一列的矩阵）⎪⎭⎫⎝⎛-=)2/,()2/,(),( r r r ψψψz s , (7. 5) 讨论：● 若已知电子处于/2z s = ，波函数写为(,/2)(,) 0z s ψψ⎛⎫= ⎪⎝⎭r r ● 若已知电子处于/2z s =- ，波函数写为0(,)(,/2)z s ψψ⎛⎫= ⎪-⎝⎭r r ● 概率密度2)2/,( r ψ：电子自旋向上()2/ =z s 且位置在r 处的概率密度；2)2/,( -r ψ：电子自旋向下()2/ -=z s 且位置在r 处的概率密度。
● 归一化条件∑⎰⎰±=-+=2/22323])2/,()2/,([d ),(d z s z r s r r r r ψψψ⎰==+1d 3ψψr ,(7. 6)where())2/,(*,)2/,(*),( -=+r r r ψψψz s (7. 7)是式(7. 5)所示的电子波函数的厄米共轭。
如果某一个体系的哈密顿量可以写成空间坐标部分与自旋变量部分之和，或者不包含自旋变量，则该体系的波函数可以分离变量，即)()(),(z z s s χφψr r =. (7. 8))(z s χ: 描述自旋态的波函数，其一般形式为⎪⎭⎫⎝⎛=b a s z )(χ,(7. 9)式中 2a 和2b ：电子的s z 等于2/ 和2/ -的概率。
归一化条件可以表示为∑±=+⎪⎭⎫⎝⎛==2/2)**,()( z s z b a b a s χχχ122=+=b a .(7. 10)其中 )**,(b a =+χ表示自旋波函数⎪⎭⎫⎝⎛=b a χ的厄米共轭。
● 自旋态空间的一组正交完备基s z 的本征态)(sz ms χ:⎪⎭⎫⎝⎛==01)(2/1z s χα, 本征值s /2m =+ ，⎪⎭⎫⎝⎛==-10)(2/1z s χβ， 本征值s /2m =-(7. 11)α 和β 构成了电子自旋态空间的一组正交完备基.式(7. 9)所表示的一般的电子自旋态可以用它们来展开βαχb a b a s z +=⎪⎭⎫⎝⎛=)(.(7. 12)于是，式 电子旋量波函数⎪⎭⎫⎝⎛-=)2/,()2/,(),( r r r ψψψz s 可以表示为βψαψψ)2/,()2/,(),( -+=r r r z s . (7. 13)三 自旋算符与泡利矩阵 1、 自旋算符自旋角动量是一个力学量，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个变量，在量子力学中就要用一个算符S ˆ来描写。
● Sˆ的对易关系 自旋角动量Sˆ是角动量，满足轨道角动量算符Lˆ满足的对易关系 z x y y x s s s s sˆi ˆˆˆˆ =-, x y z z y s s s s sˆi ˆˆˆˆ =-, (7. 14)y z x x z s s s s s ˆi ˆˆˆˆ =-.● 2ˆS的本征值 由于自旋角动量S 在空间任意方向上的投影都只能取两个值2/ ±，所以y x s sˆ,ˆ和z s ˆ三个算符的本征值都是2/ ±，它们的平方都是4/2 ，即42222 ===zyx s s s . (7. 15)由此可得自旋角动量平方算符2ˆS的本征值是2222243 =++=zy x s s s S .(7. 16)令 22)1( +=s s S ,(7. 17)则有 21=s .(7. 18)与轨道角动量平方算符的本征值 22)1( +=l l L 相比较可以看出，这里的量子数s 与角量子数l 相当，因此通常把s 称为自旋量子数。
电子的自旋量子数s 只能取一个数值s = 1/2.2 、 泡利算符σˆ（无量纲）的代数性质 σˆ2=ˆ S .(7. 19)将此式的分量形式代入式(7. 14)，得到泡利算符各分量所满足的对易关系z x y y x σσσσσˆi 2ˆˆˆˆ=-, x y z z y σσσσσˆi 2ˆˆˆˆ=-, (7. 20)y z x x z σσσσσˆi 2ˆˆˆˆ=-；由于S 沿任何方向的投影都只能取2/ ±，所以σ 沿任何方向的投影都只能取±1. 于是，y x σσˆ,ˆ和z σˆ的本征值都是±1，而22ˆ,ˆy x σσ和2ˆz σ的本征值都是11222===z y x σσσ.(7. 21)用y σˆ左乘和右乘式(7. 20)的第二式，并利用式(7. 21)，可得：x y y z y z σσσσσσˆˆi 2ˆˆˆˆ=-, y x z y z y σσσσσσˆˆi 2ˆˆˆˆ=-. 再将以上两式相加，可得0ˆˆˆˆ=+x y y x σσσσ， 即x σˆ与y σˆ彼此反对易。
类似地可以求出其他两个式子。
概括起来，泡利算符σˆ的三个分量彼此反对易，即 0ˆˆˆˆ=+x y y x σσσσ, 0ˆˆˆˆ=+y z z y σσσσ,(7. 22)0ˆˆˆˆ=+z x x z σσσσ. 把式(7. 19)和式(7. 22)联立起来，可得：z x y y x σσσσσˆi ˆˆˆˆ=-=, x y z z y σσσσσˆi ˆˆˆˆ=-=,(7. 23)y z x x z σσσσσˆi ˆˆˆˆ=-=. 式(7. 23)和式(7. 20)以及厄米性σσˆˆ=+,(7. 24)概括了泡利算符的全部代数性质。
3 、 泡利矩阵在以z sˆ的本征态α 和β 为基矢的空间中，可以把泡利算符表示成矩阵的形式。
由于z σˆ的本征值只能取±1，所以泡利算符σˆ的z 分量z σˆ可表示成 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001ˆz σ. 这样，就有αασ=z ˆ, ββσ-=z ˆ.(7. 25) 利用泡利算符的性质可以证明，在上述表象(泡利表象)中，泡利算符的三个分量可以表示成下列矩阵：⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110ˆx σ, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0i i 0ˆy σ, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001ˆz σ.(7. 26)这些矩阵称为泡利矩阵，它们具有广泛的用途。
四 自旋轨道耦合 总角动量1、自旋轨道耦合作用对于均匀外磁场中的自由电子，哈密顿量中表示内禀磁矩μs 与外磁场B 相互作用的项为 B S B S B ⋅-=⋅=⋅-e s e s 2m e g m e μ.(7. 27)从半经典的角度来看，在单电子原子中，相对于电子而言，核电荷是在绕电子运动，从而产生了所谓的内磁场B i . 电子的内禀磁矩μs 在这个内磁场中将受到用-μs ⋅B i 表示的作用。
由于B i 与L 有关，因此这一作用是与电子的轨道角动量L 有关的。
利用有心力场)(r V 中运动的电子的相对论性波动方程−−狄拉克方程可证，在二级非相对论近似下的薛定谔方程中，哈密顿量将包含有表示自旋轨道耦合能的项，即 L S L S ⋅⋅r V r c r d d 121=)(μξ.(7. 28)2、总角动量对于在有心力场中运动的电子，如果忽略自旋轨道耦合作用，则可以选用),,,(2z z s L L H 为力学量完全集，其共同本征函数可以表示为)(),,(),(z m m l n z m m l n s r s s s χϕθψψ=r ,(7. 29)其中),,(ϕθψrml n 是),,(2z LLH的共同本征函数。
在没有外磁场或外磁场很弱时，原子内的电子所受到的自旋轨道耦合作用会对原子能级和光谱带来不可忽略的影响，产生原子光谱的精细结构，例如碱金属原子光谱的双线结构和反常塞曼效应等。
这时，由于哈密顿量中的自旋轨道耦合项的存在，使得],[≠⋅LSL,],[≠⋅LSS,因此有],[≠HL,],[≠HS,所以轨道角动量L和自旋S都已不再是守恒量了。
然而，如果考虑总角动量SLJ+=, (7.30)则可以证明，由于0],[=⋅L S J , (7. 31)因此有0],[=H J ,这时总角动量仍然是守恒量，在有心力场 中运动的电子的能量本征态可选为),,,(22z J J L H 的共同本征态j m j l φ，所对应的本征值分别为2)1( +l l ,2)1( +j j , (7. 32)j m ,其中j j j m j --=,,1, .在l = 0的情况下，自旋轨道耦合项为零，总角动量就等于自旋, 即2/1==s j , =j m 2/1±=s m .§7 - 2 全同粒子系和原子组态一全同粒子系的交换对称性1、全同粒子系的基本特征静质量、电荷和自旋等内禀属性完全相同的同类微观粒子例：所有电子是全同粒子；所有质子是全同粒子。
●全同粒子系的交换对称性任何可观测量，特别是哈密顿量，对于任何两个粒子的交换是不变的。
例、氦原子中两个电子所组成的体系的哈密顿量为 212s 22s 12s 22212222r r -+--+=e r e r e m p m p H .(7. 33)当两个电子交换时，上式中的H显然不变。
2、 全同粒子系波函数的交换对称性全同粒子系的交换对称性对反映到波函数上在经典力学中，即使把两个粒子的固有性质看成是完全相同的，我们仍然可以区分它们，这是因为可以由跟踪每个粒子的运动轨道来分辨粒子.在量子力学中，对于全同粒子所组成的多粒子体系，任何两个粒子交换一下，按照全同粒子系的交换对称性，一切测量结果都不会因此而有所改变，所以该体系的量子态是不变的 要求全同粒子系的波函数对于粒子的交换具有一定的对称性。