齿轮齿廓设计

1 齿廓啮合基本定律

图示为一对作平面啮合的齿轮，两轮的齿廓曲线分别为G1和G2。设轮1绕轴O1以角速度ω1转动，轮2绕轴O2以角速度ω2转动，图中点K为两齿廓的接触点，过点K作两齿廓的公法线nn，公法线nn与连心线O1O2交于点C。由三心定理可知，点C是两轮的相对速度瞬心，故有：，由此可得：

在齿轮啮合原理中，将点C称为啮合节点，简称节点。i12称为传动比。

由以上分析可知：一对齿廓在任一位置啮合时，过接触点作齿廓公法线，必通过节点P，它们的传动比与连心线O1O2被节点C所分成两个线段成反比。这一规律称为齿廓啮合基本定律。

作固定传动比传动齿廓必须满足的条件

通常齿轮传动要求两轮作定传动比传动，则由式

可得节点C为固定点。由此得到两轮作定传动比传动时，其齿廓必须满足的条件：无论两齿廓在何处接触，过接触点作两齿廓的公法线必须通过固定节点C。节点C在两轮运动平面上的轨迹是两个圆，称为齿轮的节圆。因为两轮在节点C处的相对速度等于零，所以一对齿轮的啮合传动可以视为其节圆的纯滚动。

设两轮节圆半径分别为r1'和r2'，则

共轭齿廓:

凡是满足齿廓啮合基本定律的一对齿廓称为共轭齿廓，共轭齿廓的齿廓曲线称为共轭曲线。理论上可以作为共轭齿廓的曲线有很多种，但是考虑到设计、制造、测量、安装及使用等问题，目前常用的齿廓曲线有渐开线、摆线和圆弧等。因渐开线齿廓能较全面地满足上述要求，因此现代的齿轮绝大多数都是采用渐开线齿廓。

2 渐开线齿廓

渐开线的形成

如图示，当直线n-n沿圆周作纯滚动时，直线上任意一点K的轨迹AK称为该圆的渐开线。

这个圆称为基圆,其半径用rb表示；

直线n-n称为渐开线的发生线，

θk(=∠AOK)称为渐开线AK段的展角。

渐开线的性质

由渐开线的形成可知，渐开线具有下列性质：

(1)发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆上被滚过的弧长，即弦KB=弧AB。

(2)渐开线上任一点的法线必与基圆相切。

(3)发生线与基圆的切点B为渐开线上点K的曲率中心，而线段BK是相应的曲率半径。

由图可知：

渐开线上各点的曲率半径是不同的，离基圆愈远的点其曲率半径愈大；反之，则曲率半径愈小；渐开线在基圆上起始点A处的曲率半径为零。

⑷渐开线的形状决定于基圆的大小。

如图示，基圆愈大，渐开线愈平直；当基圆半径趋于无穷大时，渐开线将成为一条垂直于N3K的直线。后面介绍的齿条的齿廓就是这种直线齿廓。

⑸基圆内无渐开线。

渐开线齿廓的压力角

如图所示，点K为渐开线上任意一点，其向径用rk表示。若用此渐开线为齿轮的齿廓，当齿轮绕点O转动时，齿廓上点K速度的方向应垂直于直线OK，即沿直线mm。我们把法线BK与点K速度方向线mm之间所夹的锐角称为渐开线齿廓在该点的压力角，用αk表示,其大小等于∠KOB。

由△KOB可得：

上式表明：渐开线上各点的压力角是不同的，离基圆愈远（矢径rk愈大），其压力角愈大；渐开线起始点A的压力角为零。

由图可知：

渐开线上各点的曲率半径是不同的，离基圆愈远的点其曲率半径愈大；反之，则曲率半径愈小；渐开线在基圆上起始点A处的曲率半径为零。

由图可得：

即:

上式表明：展角θk是压力角αk的函数，称为渐开线函数。

工程上用invαk表示θk，即有

工程中已将不同压力角的渐开线函数计算出来制成表格以备查用。

渐开线方程

如图示，若以渐开线起始点A的矢径OA为极轴，则渐开线上任意一点K的位置可用极坐标描述。联立(a)、(b)两式，可得渐开线的极坐标参数方程式为：

3渐开线齿廓的啮合特征

1. 啮合线是一条定直线

图示为一对渐开线齿廓g1、g2在任意位置啮合，啮合接触点为点K。过点K作这对齿廓的公法线N1N2，根据渐开线的性质可知，公法线N1N2必同时与两基圆相切，即公法线N1N2为两基圆的一条内公切线。由于两基圆的大小和位置均固定不变，其内公切线只有一条。因此，不论两齿廓在任何位置啮合，它们的接触点一定在这条内公切线上（如图中的点K＇）。这条内公切线是接触点K的轨迹，称为啮合线，亦即一对渐开线齿廓的啮合线是一条定直线。

2. 能满足定传动比要求

如上所述，无论两齿廓在任何位置啮合，接触点的公法线是一条定直线，而且该直线与连心线O1O2的交点C是固定点。因此，一对渐开线齿廓能实现定传动比传动。因图中△O1N1C 和△O2N2C相似，则传动比为：

3. 啮合角恒定不变

两齿廓在任意位置啮合时，接触点的公法线与节圆公切线之间所夹的锐角称为啮合角。因为两渐开线齿廓接触点的公法线始终是定直线，所以其啮合角始终不变，而且在数值上恒等于节圆压力角，用α＇表示。在齿轮传动中，两齿廓间正压力的方向是沿其接触点的公法线之间，该方向随啮合角的改变而变化。渐开线齿廓啮合的啮合角不变，故齿廓间正压力的方向也始终不变，这对于齿轮传动的平稳性是十分有利的。

4.中心距具有可分性

由上式可知：一对渐开线齿廓啮合的传动比决定于其基圆的大小，而齿轮一经设计加工好后，它们的基圆也就固定不变，因此当两轮的实际中心距略有偏差时，仍能保持原传动比，此特点称为渐开线齿廓啮合的可分性。这一特点对渐开线齿轮的制造、安装都是十分有利的。(end)