七年级定义新运算
初一新定义复习(1)
新定义题型一：定义新运算1.用“⌦”定义新运算： 对于任意的有理数a 、b ， 都有a ⌦21b b =+． 例如： 7⌦244117=+=．那么5⌦3=__________，当m 为有理数时，则m ⌦（m ⌦2）=__________．2.若多项式223368x kxy y xy --+-不含xy 项，则k =__________．定义新运算“※”：对于任意有理数a ，b ， 都有a ※22b a b =+．例如3※2423422=⨯+=，那么当m 为有理数时，m ※（m ※3）3=__________．3.规定一种运算：a ＊abb a b=+；计算2＊(3)-的值是__________．4.已知当1x =-时，代数式3236mx nx -+的值为17．（1）若关于y 的方程24my n ny m +=--的解为2y =，求n m 的值；（2）若规定[]a 表示不超过a 的最大整数，例如[]4.34=，请在此规定下求32n m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值．5.定义一种对于三位数abc （a 、b 、c 不完全相同）的“F 运算”：重排abc 的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差（允许百位数字为零）．例如213abc =时，则213198(321123198)(981189792).F F−−→-=−−→-=（1）579经过三次“F 运算”得 ；（2）假设abc 中a >b >c ，则abc 经过一次“F 运算”得 （用代数式表示）；（3）猜想；任意一个三位数经过若干次“F 运算’’都会得到一个定值 ，请证明你的猜想．题型二：找规律1.如图，圆上有五个点，这五个点将圆分成五等份(每一份称为一段弧长)，把这五个点按顺时针方向依次编号为1，2，3，4，5．若从某一点开始，沿圆周顺时针方向行走，点的编号是数字几，就走几段弧长，我们把这种走法称为一次“移位”．如：小明在编号为3的点，那么他应走3段弧长，即从3→4→5→1为第1次“移位”，这时他到达编号为1的点，那么他应走1段弧长，即从1→2为第2次“移位”．若小明从编号为4的点开始，第1次“移位”后，他到达编号为_____的点，…，第2016次“移位”后，他到达编号为______的点．2.已知右表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n．求m，n以及表中x的值．解：3．公元初，中美洲玛雅人使用的一种数字系统与其他计数方式都不相同，它采用二十进位制但只有3个符号，用点“”、划“”、卵形“”来表示我们所使用的自然数，如自然数1～19的表示见下表，另外在任何数的下方加一个卵形，就表示把这个数扩大到它的20倍，如表中20和100的表示．（1）玛雅符号表示的自然数是_______；（2）请你在右边的方框中画出表示自然数280的玛雅符号：．4．七年级五个班的班长因为参加校学生干部培训会而没有观看年级的乒乓球比赛．年级组长让他们每人猜一猜其中两个班的比赛名次．这五个班长各自猜测的结果如下表所示：一班名次 二班名次三班名次 四班名次 五班名次一班班长猜3 5 二班班长猜 14 三班班长猜5 4 四班班长猜 2 1 五班班长猜 3 4 正确结果．．．．．．．．．．．．后一行．5．唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒 诗百篇”之说．《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒” 的故事．诗云：注：古代一斗是10升．大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定： 遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的19升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒． （1）列方程求壶中原有多少升酒；（2）设壶中原有0a 升酒，在第n 个店饮酒后壶中余n a 升酒，如第一次饮后所余酒为10219a a =-（升），第二次饮后所余酒为2102192(219)19a a a =-=-- 2102(21)19a =-+⨯（升），……．① 用1n a -的表达式表示n a ，再用0a 和n 的表达式表示n a ；② 按照这个约定，如果在第4个店喝光了壶中酒，请借助①中的结论求壶中原有多少升酒．解：6.如图，平面内有公共端点的四条射线OA ，OB ，OC ，OD ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字2，-4，6，-8，10，-12，…．则第16个数应是 ；“-2016”在射线 上．今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮斗．九． 相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士：如何知原有．7.用火柴棍按如图所示的方式摆大小不同的“H ”，依此规律，摆出第n 个“H ”需要火柴棍的根数是A. 2n ＋3B. 3n ＋2C. 3n ＋5D. 4n ＋1 8.观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n （n 为正整数）个图形中共有的点数是（ ）A. 6n −1B. 6n +4C. 5n −1D. 5n +4 阅读题：我们已经学习了整式的加减运算．几个整式相加减时，可以把同类项合并成一项，例如， 22423758x x x x +-+--22432578x x x x =-+-+-（加法交换律）22(43)(25)(78)x x x x =-+-+-（加法结合律） 2(43)(25)(78)x x =-+-+-（逆用分配律） 231x x =--．当运算中出现括号时，如果括号内整式的加减运算中不能合并同类项，要去掉括号，再进行运算．我们可以把(3)x +-与(3)x --分别看作是1与1-分别乘以(3)x -，利用分配律，可以将式子中的括号去掉，得：(3)3x x +-=-，(3)3x x --=-+．这样，我们就得到了整式加减法的运算方法．那么，进一步思考，如果是整式的乘法，该如何计算呢？请借鉴合并同类项和去括号的研究方法，尝试完成下列运算，并解释运算中每一步的依据． （1）23(2)ab ． （2）22(3)a a b c +-． （3）()()a b m n ++． 1.第1个第2个第3个…题型三：阅读材料新定义 阅读材料：1.已知数轴上两点A 、B ，其中A 表示的数为-2，B 表示的数为2，若在数轴上存在一点C ，使得AC +BC =n ，则称点C 叫做点A 、B 的“n 节点”．例如图1所示：若点C 表示的数为0，有AC +BC =2+2=4，则称点C 为点A 、B 的“4节点”．请根据上述规定回答下列问题：（1）若点C 为点A 、B 的“n 节点”，且点C 在数轴上表示的数为-4，求n 的值； （2）若点D 是数轴上点A 、B 的“5节点”，请你直接写出点D 表示的数为______；（3）若点E 在数轴上（不与A 、B 重合），满足BE =12AE ，且此时点E 为点A 、B 的“n 节点”，求n 的值．2.如图，数轴上的点C B A 、、分别表示数3-、1-、2．（1）B A 、两点的距离AB = ，C A 、两点的距离AC = ；（2）通过观察，可以发现数轴上两点间距离与这两点表示的数的差的绝对值有一定关系，按照此关系，若点E表示的数为x ，则AE = ；（3）利用数轴直接写出31++-x x 的最小值= ．3.在数学课上，教师出示了一个如图1所示的六角星，并给出了得到与之形状完全相同（大小忽略不计）的六角星的两种方法. 方法一 如图2，任意画一个圆，并以圆心为顶点，连续画相等的角，与圆相交于6点，连接每隔一点的两个点，擦去多余的线即可得到符合要求的六角星. 图1图 2ABCα方法二 按照图3所示折一个六角星.图 3请回答：∠α与∠β之间的数量关系为.4.如图1，长方形OABC 的边OA 在数轴上，O为原点，长方形OABC 的面积为12，OC 边长为3. （1）数轴上点A 表示的数为.（2）将长方形OABC 沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O ＇A ＇B ＇C ＇，移动后的长方形O＇A ＇B ＇C ＇与原长方形OABC 重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S.① 当S 恰好等于原长方形OABC 面积的一半时，数轴上点A ＇表示的数为. ② 设点A 的移动距离AA ＇=x . ⅰ. 当S=4时，x=；ⅱ. D 为线段 AA ＇的中点，点E 在线段OO ＇上，且OE =31OO ＇，当点D ，E 所表示的 数互为相反数时，求x 的值.备用图图1 图25.根据等式和不等式的性质，可以得到：若0a b ->，则a b >；若0a b -=，则a b =；若0a b -<，则a b <.这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小.(1)试比较代数式2542m m -+与2447m m --的值之间的大小关系； 解：()()222225424475424479m m m m m m m m m -+---=-+-++=+ 因为20m ≥ 所以290m +>所以2542m m -+ 2447m m --.(用“>”或“<”填空)(2)已知()227154,73,42A m m B m m ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭请你运用前面介绍的方法比较代数式A 与B 的大小.6.阅读下列材料，回答问题：我们知道：利用“作差法”可以比较两个数或者两个代数式值的大小．即若0x y ->，则x y >．若0x y -=，则x y =．若0x y -<，则x y <．（1）试比较代数式2542m m -+与2447m m --的值之间的大小关系． 解：22222(542)(447)5424479m m m m m m m m m -+---=-+-++=+， 因为20m ≥，所以290m +≥，所以2542m m -+__________2447m m --．（用“>”、“<”或“=”填空）（2）已知0a <，0b >，0a b +<，设222234P a b c =++，222325Q a b c =++，请你利用上述材料中的方法比较P 与Q 的大小，并说明理由．9.。
北师大版七年级专题训练—定义新运算 (无答案)
七年级专题—定义新运算在平时练习题及测验中经常出现定义新运算题型。
此类题型并不难，但由于2*(-3)=22+3)3(-=4-27=-23∴（4*8)*[2*(-3)]=528*（-23）=32)23(528-+=278784-12167=266617例3：用符号“㊉”定义一种新运算：对于有理数a 、b （0a ≠，1a ≠），有220032004||a b a b a a+⊕=-，已知20042x ⊕=，求x 的值。
根据题意:2003200420042004(2003)200320042200420042004200420032003x x x x ⨯+⨯++====⨯-⨯⊕ 解得 x =±2003巩固练习题1.定义新运算如下：当a b ≥时，a b ab b ⊕=+，当a b <时，a b ab a ⊕=-，则()22-⊕= ，若20x ⊕=，则x = 。
2.符号f 表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下：（1）()10f =，()21f =，()32f =，()43f =，⋅⋅⋅（2）122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，144f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，155f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，⋅⋅⋅ 利用以上规律计算()120122013f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 。
3.“*”是规定的一种运算法则：b a b a -=*2，则()15-*的值是 。
4.如果对于任意非零的有理数a ，b 定义运算如下：a a b ab b⊕=+。
已知x ⊕2⊕3=5，则x 的值为 。
5.对于任意两个正数y x ,定义一个运算“⊗”，其规则为 ).2(2y x xy y x --=⊗ 若正整数b a ,满足,188=⊗b a 则这样的有序对（b a ,) 一共有 对。
6.对实数a,b 规定运算＊的意义是a*b=233b a +,则方程3*|x |=5的解是 。
7.对于定义F(m) =-1-2-3-···-2m-(2m+1)＋2+4+···+2m, 则F(100) = 。
2018-2019学年上学期七年级数学《定义新运算》《绝对值分类讨论》综合能力应用
2018-2019学年上学期七年级数学《定义新运算》综合能力应用方法点津·定义新运算是一种特别设计的、人为的、临时的计算形式，它使用一些特殊的运算符号，如：*，▲，★，◎，Δ，◆，■等来表示的一种运算．其解题方法是：(1)理解新定义的算式含义；(2)严格按照新定义的计算程序，将数值代入，将其转化为常规的加减乘除乘方运算，然后计算得结果．类型一定义新运算——运算类1．定义一种新运算※，观察下列式子：1※3＝1×3＋3＝6；3※2＝3×2＋2＝8；3※5＝3×5＋5＝20；5※3＝5×3＋3＝18.(1)填一填：2※4＝________，a※b＝________；(2)请你依照上述运算方法，求(－3※7)※2的值．2．定义一种关于“⊙”的新运算，观察下列式子：1⊙3＝1×4＋3＝7；3⊙(－1)＝3×4＋(－1)＝11；5⊙4＝5×4＋4＝24；4⊙(－3)＝4×4＋(－3)＝13.(1)填空：5⊙(－6)＝________；(2)请你判断：当a≠b 时，a ⊙b______b ⊙a(填“＝”或“≠”)，并说明理由．3．用[x]表示不超过x 的整数中的最大整数，例如：[2.23]＝2，[－3.24]＝－4.计算下列各式：(1)[3.5]＋[－3]； (2)[－7.25]＋[－13]．类型二 定义新运算——探究类4．在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“#”法则：a#b#c ＝|a －b －c|＋a ＋b ＋c 2. 如：(－1)#2#3＝|－1－2－3|＋（－1）＋2＋32＝5. (1)计算：4#(－2)#(－5)＝________．(2)计算：3#(－7)#113＝________． (3)在－67，－57，…，－17，0，19，29，…，89这15个数中：①任取三个数作为a ，b ，c 的值，进行“a#b#c”运算，求所有计算结果中的最小值； ②若将这15个数任意分成五组，每组三个数，进行“a#b#c”运算，得到五个不同的结果，由于分组不同，所以五个运算的结果也不同，求五个结果之和的最大值．绝对值与分类讨论方法指导1．由于去掉绝对值符号时，要分三种情况：即正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，所以涉及绝对值的运算往往要分类讨论．用符号表示这一过程为：||a ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a >0），0（a ＝0），－a （a <0）.2．由于在数轴上到原点的距离相等的点(非原点)有两个，一个点表示的数是正数，另一个点表示的数是负数，因此知道某个数的绝对值求该数时，往往需要分两种情况讨论．用符号表示这个过程为：若||x ＝a (a >0)，则x ＝±a .3．分类讨论的原则是不重不漏，一般步骤为：①分类；②讨论；③归纳．典题精练 ·类型一 以数轴为载体的绝对值的分类讨论1．已知点A 在数轴上对应的数是a ，点B 在数轴上对应的数是b ，且|a ＋4|＋(b －1)2＝0.现将点A ，B 之间的距离记作|AB|，定义|AB|＝|a －b|.(1)|AB|＝________；(2)设点P 在数轴上对应的数是x ，当|PA|－|PB|＝2时，求x 的值．2．我们知道：点A ，B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A ，B 两点之间的距离AB ＝|a －b|，所以式子|x －3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x 的点之间的距离．根据上述材料，回答下列问题：(1)|5－(－2)|的值为________；(2)若|x －3|＝1，则x 的值为________；(3)若|x －3|＝|x ＋1|，求x 的值；(4)若|x －3|＋|x ＋1|＝7，求x 的值．类型二 与绝对值化简有关的分类讨论问题3．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答下列问题：【提出问题】三个有理数a ，b ，c 满足abc ＞0，求|a|a ＋|b|b ＋|c|c的值．【解决问题】解：由题意，得a ，b ，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a ，b ，c 都是正数，即a ＞0，b ＞0，c ＞0时，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝a a ＋b b ＋c c＝1＋1＋1 ＝3；②当a ，b ，c 中有一个为正数，另两个为负数时，设a ＞0，b ＜0，c ＜0，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c＝a a ＋－b b ＋－c c＝1－1－1＝－1. 所以|a|a ＋|b|b ＋|c|c的值为3或－1. 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：(1)三个有理数a ，b ，c 满足abc ＜0，求|a|a ＋|b|b ＋|c|c的值； (2)已知|a|＝3，|b|＝1，且a ＜b ，求a ＋b 的值．4．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：|6＋7|＝6＋7；|6－7|＝7－6；|7－6|＝7－6；|－6－7|＝6＋7.(1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：①|7－21|＝________；②|－12＋0.8|＝________； ③⎪⎪⎪⎪717－718＝________．(2)用合理的方法计算：|15－12018|＋|12018－12|－|－12|＋11009.5．探索研究：(1)比较下列各式的大小(填“＜”“＞”或“＝”)：①|－2|＋|3|________|－2＋3|；②|－12|＋|－13|________|－12－13|； ③|6|＋|－3|________|6－3|；④|0|＋|－8|________|0－8|.(2)通过以上比较，请你分析、归纳出当a ，b 为有理数时，|a|＋|b|与|a ＋b|的大小关系．(直接写出结论即可)(3)根据(2)中得出的结论，解决以下问题：当|x|＋|－2018|＝|x －2018|时，求x 的取值范围．《定义新运算》参考答案1．解：(1)根据题意，得2※4＝2×4＋4＝8＋4＝12，a ※b ＝a ×b ＋b .(2)根据题意，得(－3※7)※2＝(－21＋7)※2＝(－14)※2＝－28＋2＝－26.2．解：(1)14(2)当a ≠b 时，a ⊙b ≠b ⊙a .理由：依题意，得a ⊙b ＝4×a ＋b ，b ⊙a ＝4×b ＋a .因为a ≠b ，所以4×a ＋b ≠4×b ＋a ，即a ⊙b ≠b ⊙a .3．解：(1)[3.5]＋[－3]＝3－3＝0.(2)[－7.25]＋[－13]＝(－8)＋(－1)＝－9.4．解：(1)原式＝|4＋2＋5|＋4－2－52＝4. (2)原式＝⎪⎪⎪⎪3＋7－113＋3－7＋1132＝3.(3)当a ≤b ＋c 时，a #b #c ＝b ＋c ；当a >b ＋c 时，a #b #c ＝a .①当a ＝b ＋c 时，a #b #c 的值最小，令b ＝－57，c ＝－17，则原式＝－57－17＝－67. ②因为当a ＝－67，b ＝19，c ＝29时，原式＝19＋29＝13； 当a ＝－57，b ＝39，c ＝49时，原式＝39＋49＝79； 当a ＝－47，b ＝59，c ＝69时，原式＝59＋69＝119；当a ＝－37，b ＝79，c ＝89时，原式＝79＋89＝159； 当a ＝0，b ＝－17，c ＝－27时，原式＝0， 所以五个结果之和的最大值为13＋79＋119＋159＋0＝4. 《绝对值》分类讨论参考答案1．解：(1)因为|a ＋4|＋(b －1)2＝0，所以a ＝－4，b ＝1，所以|AB |＝|a －b |＝5.(2)当点P 在点A 左侧时，|P A |－|PB |＝－(|PB |－|P A |)＝－|AB |＝－5≠2，不符合题意； 当点P 在点B 右侧时，|P A |－|PB |＝|AB |＝5≠2，不符合题意．当点P 在点A ，B 之间时，|P A |＝|x －(－4)|＝x ＋4，|PB |＝|x －1|＝1－x .因为|P A |－|PB |＝2，所以x ＋4－(1－x )＝2，解得x ＝－12. 2．解：(1)7(2)因为|x －3|＝1，所以x －3＝±1，解得x ＝2或4.故x 的值为2或4.(3)根据绝对值的几何意义可知，x 必在－1与3之间，故x －3＜0，x ＋1＞0， 所以原式可化为3－x ＝x ＋1，所以x ＝1.(4)在数轴上表示3和－1的两点之间的距离为4，则满足方程的x 的对应点在－1的对应点的左边或3的对应点的右边．若x 的对应点在－1的对应点的左边，则原式可化为3－x －x －1＝7，解得x ＝－2.5； 若x 的对应点在3的对应点的右边，则原式可化为x －3＋x ＋1＝7，解得x ＝4.5. 综上可得，x 的值为－2.5或4.5.3．解：(1)因为abc ＜0，所以a ，b ，c 都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．①当a ，b ，c 都为负数，即a ＜0，b ＜0，c ＜0时，则|a |a ＋|b |b ＋|c |c ＝－a a ＋－b b ＋－c c＝－1－1－1＝－3； ②当a ，b ，c 中有一个为负数，另两个为正数时，设a ＜0，b ＞0，c ＞0，则|a |a ＋|b |b ＋|c |c ＝－a a ＋b b ＋c c＝－1＋1＋1＝1. 综上所述，|a |a ＋|b |b ＋|c |c的值为－3或1. (2)因为|a |＝3，|b |＝1，且a ＜b ，所以a ＝－3，b ＝1或－1，则a ＋b ＝－2或－4.4．解：(1)①21－7 ②0.8－12 ③717－718(2)原式＝15－12018＋12－12018－12＋11009＝15. 5．解：(1)①因为|－2|＋|3|＝5，|－2＋3|＝1，所以|－2|＋|3|＞|－2＋3|.②因为|－12|＋|－13|＝56，|－12－13|＝56，所以|－12|＋|－13|＝|－12－13|. ③因为|6|＋|－3|＝6＋3＝9，|6－3|＝3，所以|6|＋|－3|＞|6－3|.④因为|0|＋|－8|＝8，|0－8|＝8，所以|0|＋|－8|＝|0－8|.(2)当a ，b 异号时，|a |＋|b |＞|a ＋b |；当a ，b 同号或a ，b 中有一个为0或两个同时为0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |，所以|a |＋|b |≥|a ＋b |.(3)由(2)中得出的结论可知，x 与－2018同号或x 为0，所以当|x |＋|－2018|＝|x －2018|时，x 的取值范围是x ≤0.。
北师大版七年级数学上：定义新运算和规律问题讲义 无答案
定义新运算与找规律模块一 定义新运算1．定义新运算：是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算．需要注意的是，除了新定义的运算，其余的运算仍需按照原来的运算律进行． 注意：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序．②每个新定义的运算符号只能在本题中使用．例题精讲例 1. （1）定义新运算为1-+-=⊗b a a b a b ，则=⊗26 .（2）已知a ，b 是任意有理数，我们规定：b b a a +=⊕2，a b a b -=⊗）（1-， 那么=⊕⊗⊕)12()21( .训练1-1. （1）若B A ⊕表示)()3B A B A -⨯+（,则=-⊕-)3()2(23 .（2）运算*按右表定义，如 3*2=1，那么（2*4）*（1*3）的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4训练1-2. （1）定义新运算：规定运算：1-+-=*b a ab b a ，=*43-）（ .（2）b a b a ÷+=⊗)1(，则)43(2⊗⊗的值为 .例 2．在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“⊕”：)(21c b a c b a c b a +++--=++.如：53]21-3-2-1-[21321-=+++=⊕⊕）（）（ 解答下列问题：（1）计算：)3()2(3-⊕-⊕的值；（2）在98939291071-74-75-76-、、、、、、、、、、⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅这15个数中，任意取三个数作为c b a 、、 的值，进行“c b a ⊕⊕”的运算，求所有计算结果中的最大值．训练2-1．我们定义一种新运算，规定：图形表示c b a +-， 图形表示z y x -+-，则的值为 .训练 2-2．z y x 、、表示三个数，规定新运算“*”如下：xz xy z y x 35-=**；则=**543 .训练 2-3．定义新运算如下：1-+=⊕b a b a ，1--=b a b a ，请按照从左到右的顺序计算下式：=⊕201620172018 .模块二 找规律1．数字规律2．图形规律与表格规律我们一般将图形规律与表格规律转化为数字规律来进行处理．例题精讲例 1．（1）定义：a 是不为 1 的有理数，我们把a-11称为a 的差倒数． 如：2的差倒数是1211-=-，1-的差倒数是21)1(11=--，已知311-=a ，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依次类推，则 =2018a .（2）定义一种对于三位数abc （ a 、b 、 c 不完全相同）的“F 运算”：重排三个数位上的数，计算所得最大三位数和最小三位数的差（允许百位数字为 0）． ①579经过三次“F 运算”得 ； ②假设abc 中c b a ，则 abc 经过一次“F 运算”得 ．（用代数式表示）； ③猜想：任意一个三位数经过若干次“F 运算”都会得到一个定值 ．训练 1-1．a 是不为 2的有理数，我们把a -22称为a 的“哈利数”．如：3的“哈利数”是2322-=-，2-的“哈利数”是21)2(22=--，已知31=a ，2a 是1a 的“哈利数”，3a 是2a 的“哈利数”，4a 是3a 的“哈利数”，…，依次类推，则 =2018a .训练 1-2．定义一种能够被 3 整除的三位数 abc 的“F ”运算：把 abc 的每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数．数字 111 经过三次“F ”运算得 ，经过四次“F ”运算得 ，经过五次“F ”运算得 ，经过 2018 次“F ”运算得 .例 2．如图，正方形 ABCD 、DEFH 的边长都是 5cm ，点 P 从点 D 出发，先到点 A ，然后沿箭头所指方向运动（经过点 D 时不拐弯），则从出发开始连续运动 2018cm 时，它离 点最近，此时它距该点 cm ．训练 2-1．如图，在平面直角坐标系中，直径为 1 个单位长度半圆 O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点 P 从点 O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒4个单位长度，则第 2016 秒时，OP 的长度是（ ）A ．1008B ．1009C ．2016D ．1008π训练 2-2．下列每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有n 个棋子，每个图案的棋子总数为s ，下图的排列规律推断s 与n 之间的有关系可以用式子s= 来表示．例3．正整数按下图的规律排列．请写出第20 行，第21 列的数字训练3-1．观察如图的三角数阵，请写出第20 行，最后一个数字为 .训练3-2．将从 1 开始的自然数按如下方式填入下表，排成A、B、C、D、E 五列，300 是在 列．真题回望1．（2016 秋•深圳期末）对于正整数 a ，我们规定：若 a 为奇数，则 f （a ）=3a+1：若 a 为偶数，则 f （a ）=2a ，例如 f （15）=3×15+1=46，f （10）= =5，若 1a =8，2a =f （1a ），3a =f （2a ），4a =f （3a ），…，依此规律进行下去，得到一列数 1a ，2a ，3a ，4a ，…，2017a ，…，则 =+⋅⋅⋅++++20174321a a a a a ．2．（2016 秋•深圳期末）请你观察：2111211-=⨯，3121321-=⨯，⋅⋅⋅-=⨯4131431； 3231131212111321211=-=-+-=⨯+⨯； 43411413131212111431321211=-=-+-+-=⨯+⨯+⨯； 以上方法称为“裂项相消求和法”请类比完成：（1）=⨯+⨯+⨯+⨯541431321211 （2）=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+⨯201820171541431321211 （3）计算：1191971751531311⨯+⨯+⨯+⨯+⨯的值.综合应用1. 规定“*”是一种新运算：“)a b b a b a -÷+=*（”，则=**)21(2 ．北师大版七年级数学上：定义新运算和规律问题讲义 无答案11 / 11 2. 对于两个自然数b a 、定义新运算“⊗”和“⊕”：如果ba b a b a -+=⊗， b a b a =⊕，那么=⊕⊗⊕）（）（3523 ．3. 根据规律填代数式. 2)12(221+⨯=+；2)13(3321+⨯=++；2)14(44321+⨯=+++； =+⋅⋅⋅+++n 321 ．4. 将正整数按如图所示的位置顺序排列：根据排列规律，则 2018 应在（ ）5.填在如图各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值是 ．。
2024七年级数学上册第二部分中考命题新趋势新趋势2新定义运算问题习题课件新版苏科版
“不是”)射线 PR ， PT 的“双倍和谐线”；射线
PT
是
(选填“是”或“不是”)射线 PS ， PR 的“双
倍和谐线”；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
(2)类似的，在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间
若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成
的角恰好满足3倍的数量关系，则称该射线是另外两条射
−(−)
“哈利数”， a4是 a3的“哈利数”，…，依此类推，则
a2 024＝(
A. 3
D )
B. －2
1
2
3
C.
4
5
6
7
8
D.
9
3. [2024苏州姑苏区校级期中]在数学中，为了书写简便，18
世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”.如记 ∑ k ＝1
=
＋2＋3＋…＋( n －1)＋ n ； ∑ ( x ＋ k )＝( x ＋3)＋( x ＋4)
处便可安装摄像头，而如图②， P2不是“完美观测点”.
如图③，以下各点是“完美观测点”的是( D )
A. M1
B. M2
C. M3
D. M4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2. a 是不为2的有理数，我们把
称为 a 的“哈利数”，例
−
如：3的“哈利数”是
＝－2，－2的“哈利数”是
−
＝ .已知 a1＝3， a2是 a1的“哈利数”， a3是 a2的
的值.
人教版 七年级下册 试题及解析——6.3.4实数的运算
6.3.4实数的运算一.选择题（共11小题）1.定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a b a b =+⊕，a b ab =⊗，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，则代数式22a b +可由式子( )转化而得到. A.2()a b ⊕B.2()2()a b a b -⊕⊗C.2()2()a b a b +⊕⊗D.2()()a b a b -⊕⊗2.对实数a 、b ，定义“★”运算规则如下：a ★22()()b a b b a ba b ⎧=⎨->⎪⎩…，则7★(2★3)(=) A.1B.2C.1-D.2-3.规定新运算“⊗ “：对于任意实数a 、b 都有3a b a b =-⊗，例如：2423410=-⨯=-⊗，则121x x +=⊗⊗的解是( ) A.1-B.1C.5D.5-4.计算36416-+的结果是( ) A.4-B.0C.4D.85.下列计算正确的是( ) A.3(23)2--=B.2(2)3(2)105a b b a a b ---=-C.116()1218623÷-=-=-D.23(4)814---=6.计算：3258--的结果为( ) A.7B.3-C.7±D.37.实数a ，b 在数轴上的位置，如图所示，那么化简22||()a a b a b ++--的结果是( )A.2a b +B.b -C.a -D.2a b -+8.下列各式正确的是( )2± a =D.(33+-=-9.计算|2|3+-的结果是( ) A.1B.1-C.5D.5-10.计算( ) A.0B.2C.3D.411.若29a =2-，则(a b += ) A.5-B.11-C.5-或11-D.5±或11±二.填空题（共11小题）12.化简2(|1+-的结果为 .13.若规定运算：a ★b =，如：2★3=，则7★8= .14.对于正实数a ，b 作新定义：a b =e ，若2254x =e ，则x 的值为 .15.计算：011(()2π-+= .16.现在规定一种新运算：对于任意实数对(,)a b ，满足a ※25b a b =--，若45※1m =，则m = .17.化简2(|1+的结果为 .18.对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算*如下：*a b =，如3*2==12*(3*1)= . 19.对于两个非零的实数a ，b 定义运算※如下：a ※1a b b a =-.例如：3※31544312=-=.若1※(2)0x -=，则x 的值为 .2= .21.|2|-= . 22.设12211112S =++，22211123S =++，32211134S =++，⋯，22111(1)n S n n =+++，设S ⋯+，则S = （用含n 的代数式表示，其中n 为正整数）.三.解答题（共28小题）23.对于实数m 、n ，我们定义一种运算“※”为：m ※n mn m n =++. （1）化简：()a b +※()a b -.（2）解关于x 的方程：x ※(1※)3x =. 24.根据要求解答下列各题. （1）求下列各式中的x 的值. ①24(2)9x -= ②327(1)640x ++= （2）计算.2)|2|1+- 25.计算：（12|4|(2)---（226.|11)-. 27.计算（1）32019|1(1)--（2）28.已知：a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的值对值为3，求：2|a bm cd m+--的值. 29.计算（12(1)-（2；30.已知m A =是10m n ++的算术平方根，2m B -=是461m n +-的立的值.31.计算：22|-. 32.计算：（1）12-（2）2114(3)(2)32--⨯-÷33.对于实数a 、b 定义运算“#” #1a b ab a =--. （1）求(2)#3-的值；（2）通过计算比较3#(2)-与(2)#3-的大小关系； （3）若#(4)9x -=，求x 的值.34.对实数a ，b 定义运算“*”， 22,(),()a b a b a b a b a b⎧-⎪⎨+<⎪-⎩…，例如，224*3437=-=，343*4734+==--，. （1）化简：(1)*x x += ； （2）化简：20*(49)x x ++； （3）化简：(35)*(3)x x -+. 35.|36.已知a 的平方根是它本身，b 是28a +的立方根，求ab b +的算术平方根. 37.计算201()|160|(2019)3π--+︒--38.（1）已知：22(3)50x -=，求x ； （2|139.计算：021(2019)6sin 60|5()2π--+︒--40.计算：2018(1)|2----41.（12(； （2）求228x =中的x 值； （3）求3(31)8x -=中的x 值. 42.|1. 43.计算（1）|1|- （2）124(30)()235-⨯-+（32|-（4）2220172(2)(1)-+--44.（1）计算：2018(1)-（2）求x 的值：2464x =45.21) 46.计算：344[(2)()(2)]3(27)3-⨯-+--÷-.47.021(()|2π-++48.+-49.（1（2）解方程：2(5)53x x -=- （3）解方程：2132164x x x ---=-50.计算（1）13124()243-⨯-+-（2）22018(2)|6|(1)----参考答案与试题解析一.选择题（共11小题）1.定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a b a b =+⊕，a b ab =⊗，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，则代数式22a b +可由式子( )转化而得到. A.2()a b ⊕B.2()2()a b a b -⊕⊗C.2()2()a b a b +⊕⊗D.2()()a b a b -⊕⊗【解析】a b a b =+⊕Q ，a b ab =⊗， 2()2()a b a b ∴-⊕⊗，2()2()a b a b =+-g 22a b =+.故选：B .2.对实数a 、b ，定义“★”运算规则如下：a★())b a b b a b ⎧=>…，(=) A.1 B.2 C.1- D.2-【解析】Q，∴=则原式====2=，故选：B .3.规定新运算“⊗ “：对于任意实数a 、b 都有3a b a b =-⊗，例如：2423410=-⨯=-⊗，则121x x +=⊗⊗的解是( ) A.1-B.1C.5D.5-【解析】2423410=-⨯=-⊗Q ，121x x ∴+=⊗⊗可变为：3231x x -+-=，解得：1x =-. 故选：A .4.计算36416-+的结果是( ) A.4-B.0C.4D.8【解析】原式440=-+=， 故选：B .5.下列计算正确的是( ) A.3(23)2--=B.2(2)3(2)105a b b a a b ---=-C.116()1218623÷-=-=-D.23(4)814---=【解析】A 、3(23)4--=，故此选项错误；B 、2(2)3(2)105a b b a a b ---=-，正确；C 、1116()636236÷-=÷=，故此选项错误；D 、23(4)816218---=+=，故此选项错误.故选：B .6.计算：3258--的结果为( ) A.7B.3-C.7±D.3【解析】原式5(2)527=--=+=. 故选：A .7.实数a ，b 在数轴上的位置，如图所示，那么化简22||()a a b a b ++--的结果是( )A.2a b +B.b -C.a -D.2a b -+【解析】由数轴可得，0b a <<，||||b a >，||a b +()()a a b a b =-+-- a a b a b =---+a =-，故选：C .8.下列各式正确的是( )2± a =D.(33+-=-【解析】A 2，故此选项错误；B ||a ，故此选项错误；C 22-，故此选项错误；D 、(33+-=-，正确.故选：D .9.计算|2|3+-的结果是( ) A.1B.1-C.5D.5-【解析】原式23=+1=.故选：A .10.计算( ) A.0B.2C.3D.4【解析】原式22=-+ 0=.故选：A .11.若29a =2-，则(a b += ) A.5-B.11-C.5-或11-D.5±或11±【解析】29a =Q 2=-， 3a ∴=或3-，8b =-，则5a b +=-或11-， 故选：C .二.填空题（共11小题）12.化简2(|1+-的结果为 3【解析】2(|1+212=+3=故答案为：3.13.若规定运算：a ★b =，如：2★3=，则7★8= 7+【解析】2Q ★3=，7∴★87==+.故答案为：7+.14.对于正实数a ，b 作新定义：a b =e ，若2254x =e ，则x 的值为 6± .【解析】由题意可得：4=， 则10||4x -=， 解得：6x =±. 故答案为：6±.15.计算：011(()2π-+= 3 .【解析】原式123=+=.16.现在规定一种新运算：对于任意实数对(,)a b ，满足a ※25b a b =--，若45※1m =，则m = 2019 .【解析】a Q ※25b a b =--， 45∴※1m =，24551m∴--=，则2019m=.故答案为：2019.17.化简2(|1+1-.【解析】原式212=-1=，1.18.对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算*如下：*a b=，如3*2==12*(3*1)=.【解析】23*112====Q，12*(3*1)12*1∴===，19.对于两个非零的实数a，b定义运算※如下：a※1abb a=-.例如：3※31544312=-=.若1※(2)0x-=，则x的值为3.【解析】由题意得，1102x-=-，方程两边同乘2x-，得120x-+=，解得，3x=，检验，当3x=时，20x-≠，所以，3x=是分式方程的根，故答案为：3.2=5.【解析】原式325=+=，故答案为：521.|2|-=1.【解析】原式32=-1=.故答案为：1.22.设12211112S =++，22211123S =++，32211134S =++，⋯，22111(1)n S n n =+++，设S ⋯+，则S = 221n n n ++ （用含n 的代数式表示，其中n 为正整数）. 【解析】根据题意得：12211191111244S =++=++=，22211114911234936S =++=++=，32211111691134916144S =++=++=，⋯， 222222222211(1)(1)[(1)1]1(1)(1)[(1)]n n n n n n n S n n n n n n ++++++=++==+++， (1)111111(1)(1)1n n n n n n n n ++==+=+-+++，则2111111211111223111n n S n n n n n +=+-++-+⋯++-=+-=+++. 故答案为：221n n n ++. 三.解答题（共28小题）23.对于实数m 、n ，我们定义一种运算“※”为：m ※n mn m n =++.（1）化简：()a b +※()a b -.（2）解关于x 的方程：x ※(1※)3x =.【解析】（1）m Q ※n mn m n =++，()a b ∴+※22()()()2a b a b a b a b a b a b a -=+-+++-=-+；（2）x Q ※(1※)3x =，22413x x ∴++=，11x ∴=-21x =--24.根据要求解答下列各题.（1）求下列各式中的x 的值.①24(2)9x -=②327(1)640x ++=（2）计算.2)|2|1+-【解析】（1）①24(2)9x -= 29(2)4x -=2x -= 322x -=或322x -=- 解得：12x =或72x =， ②327(1)640x ++=364(1)27x +=-1x += 413x +=- 73x =-.（2）363=-+0=，2)|2|1+-321)=-321=-6=-25.计算：（12|4|(2)---（2【解析】（1）原式44(3)443=÷-+-=-；（2）原式=26.|11)-.【解析】原式41)62=-++4162=++13=-27.计算（1）32019|1(1)--（2）【解析】（1）原式131=-5=-；（2）原式4161455=-++=-.28.已知：a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的值对值为3，求：2|a b m cd m +--的值.【解析】由题意得：0a b +=，1cd =，3m =±，∴原式091=-8=-29.计算（12(1)-（2；【解析】（12(1)-51=-4=；（225(4)=++-3=.30.已知m A =是10m n ++的算术平方根，2m B -=是461m n +-的立的值.【解析】根据题意得：220m n m n -=⎧⎨-=⎩， 解得：42m n =⎧⎨=⎩，4A ∴==，3B ，1-.31.计算：22|-.【解析】原式43441=--++=.32.计算：（1）12- （2）2114(3)(2)32--⨯-÷ 【解析】（1）原式1(2)51542=-⨯--=-=-；（2）原式249(2)3=-⨯- 4493=-⨯8=-. 33.对于实数a 、b 定义运算“#” #1a b ab a =--.（1）求(2)#3-的值；（2）通过计算比较3#(2)-与(2)#3-的大小关系；（3）若#(4)9x -=，求x 的值.【解析】（1）(2)#3(2)3(2)1-=-⨯---621=-+-5=-；（2）3#(2)3(2)31-=⨯---631=---10=-，而(2)#35-=-，3#(2)(2)#3∴-<-；（3）#(4)9x -=Q ，419x x ∴---=，解得：2x =-.34.对实数a ，b 定义运算“*”， 22,(),()a b a b a b a b a b⎧-⎪⎨+<⎪-⎩…，例如，224*3437=-=，343*4734+==--，. （1）化简：(1)*x x += 21x + ；（2）化简：20*(49)x x ++；（3）化简：(35)*(3)x x -+.【解析】（1）因为1x x +>，所以：22(1)*(1)x x x x +=+-21x =+故答案为：21x +（2）因为2249(2)50x x x ++=++>， 所以：2220(49)0*(49)0(49)x x x x x x +++++=-++ 1=-；（3）当(35)(3)x x -+…，即4x …时. (35)*(3)x x -+22(35)(3)x x =--+283616x x =-+；当(35)(3)x x -<+，即4x <时.(35)*(3)x x -+353353x x x x -++=--- 4228x x -=- 214x x -=-.35.|【解析】原式254333=-+- 2=-.36.已知a 的平方根是它本身，b 是28a +的立方根，求ab b +的算术平方根.【解析】因为a 的平方根是它本身，所以0a =，因为b 是28a +的立方根，即b 是8的立方根，所以2b =，则222ab b +=⨯+=，所以ab b +37.计算201()|160|(2019)3π--+︒--【解析】20111()|160|(2019)9|11918322π--+︒--=+--=+-=. 38.（1）已知：22(3)50x -=，求x ；（2|1【解析】（1）2(3)25x -=，则35x -=±，解得：8x =或2x =-；（2）原式231)=--11=-=39.计算：021(2019)6sin 60|5()2π--+︒--【解析】021(2019)6sin 60|5()2π--+︒--，165)4=+--，154=+-，2=.40.计算：2018(1)|2----【解析】原式1(293=--+-1293=---3=+41.（12(；（2）求228x =中的x 值；（3）求3(31)8x -=中的x 值.【解析】（12(932=--4=；（2）228x =则24x =解得：2x =或2-；（3）3(31)8x -=则312x -=故33x =，解得：1x =.42.|1.【解析】原式221=-1=.43.计算（1）|1|- （2）124(30)()235-⨯-+（32|-（4）2220172(2)(1)-+-- 【解析】（1）原式661121555=+-=-=； （2）原式152024203919=-+-=-=-；（3）原式2(20==；（4）原式1244133=-++-=-.44.（1）计算：2018(1)-（2）求x 的值：2464x =【解析】（1）2018(1)156-+=+=；（2）2464x =Q ，216x ∴=，则4x =±.45.21)【解析】原式2(31)-+6324=----3=--46.计算：344[(2)()(2)]3(27)3-⨯-+--÷-.【解析】原式89881(27)3=---÷- 8833=-+ 73=-.47.021(()|2π-++【解析】原式14=++3=+.48.+-【解析】原式32=-5=-.49.（1（2）解方程：2(5)53x x -=-（3）解方程：2132164x x x ---=- 【解析】（1）原式3355=-+=；（2）21053x x -=-， 23510x x +=+，515x =，3x =；（3）2(21)12123(32)x x x --=--， 42121296x x x --=-+， 41291262x x x -+=++， 20x =.50.计算（1）13124()243-⨯-+-（2）22018(2)|6|(1)----【解析】（1）131 24()243 -⨯-+-131 24()(24)(24)243 =-⨯-+-⨯--⨯12188=-+2=（2）22018(2)|6|(1)----4631=---6=-。
2024-2025学年北师大版七年级数学上册阶段拔尖专训6 新定义概念运算思路
阶段拔尖专训6 新定义概念运算思路【高分秘籍】新定义类试题大多通过定义相关新的概念、数、运算或图形，或抓住新定义数的本质特征或隐含的规律，或抓住新定义运算的法则或顺序，或抓住动点，动线的内涵与外延，或抓住新定义图形的性质，或抓住原始定义和新定义及有关性质，按照这种新的定义规则，方法，思想或思维进行运算或推理，灵活运用所学的知识与数学能力触类旁通，进行一定的拓展应用与创新.思路1 新定义数1.定义[x]为不超过x的最大整数,如[3.6]=3,[0.6]=0,[-3.6]=—4.对于任意数x,下列式子中错误的是( )A.[x]=x(x为整数)B.0≤x-[x]<1C.[x+y]≤[x]+[y]D.[n+x]=n+[x](n为整数)思路2 新定义运算2.[2024宜昌月考] 对于数a,b,定义运算“*”,a∗b={a2−ab(a⟩b),a−b2(a≤b),例如5*3,因为5>3,所以5* 3=5²−5×3=10 ,若x₁，x₂在数轴上对应的点分别到原点的距离相等，且两点间的距离为8，求x₁*x₂的值.思路3 新定义图形3.[2024 廊坊广阳区月考]在数轴上有A，B两点，点A表示的数为-1，点B 表示的数为b.对点A 给出如下定义：当b≥0时，将点A向右移动2个单位长度，得到点P；当b<0时，将点A向左移动|b|个单位长度，得到点P.称点P 为点A 关于点B的“联动点”.当b=4时，点A 关于点B 的“联动点”P在数轴上表示的数为；当b=--2时，点A关于点B 的“联动点”P 在数轴上表示的数为.思路4 新定义方程4. 新考法阅读类比法/阅读与探究：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作“含有绝对值的方程”.如：|x|=3，|-2x+1|=2，…都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢? 基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”.例如：解方程:x+3|x|=4.解:当x≥0时,原方程可化为x+3x=4,解得x=1,符合题意;当x<0时,原方程可化为x--3x=4,解得x=—2,符合题意.所以原方程的解为x=1或x=-2.根据以上材料解决下列问题：(1)若|2x-2|=2-2x,则x的取值范围是；(2)解方程:x+2|x-1|=4.思路5 新定义模型5.[2024 大连甘井子区月考] 把一根小木棒放在数轴上，木棒左端点与点A重合，右端点与点B重合，如图所示.(1)若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点B处时，它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动，当它的右端点移动到点A 处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5，由此可得木棒的长为；我们把这个模型记为“木棒模型”；,若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点C相距3个单位长度时，求木棒的右端点(2)已知点C表示的数为−52与点A的距离；(3)请根据(1)的“木棒模型”解决下列问题.某一天，小宇问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我就有123岁了，世界级老寿星了，哈哈！”请你画出“木棒模型”示意图，求出爷爷现在的年龄.阶段拔尖专训6 新定义概念运算思路1. C 【点拨】不妨取x=-3.5,y=-3.2,那么[x+y]=[-3.5-3.2]=[-6.7]=-7,[x]+[y]=[-3.5]+[-3.2]=-4+(-4)=-8,此时[x+y]>[x]+[y].故选C.2.【解】由题意得x₁=−4,x₂=4或x₁=4,x₂=−4.①当x₁=−4,x₂=4时，x₁∗x₂=(−4)×4=−4−4²=—4-16=-20;②当. x₁=4,x₂=−4时，x₁∗x₂=4²−4×(−4)=16−(--16)=32.综上,x₁﹡x₂的值为-20或32.3.1;-3【点拨】因为当b≥0时，将点A向右移动2个单位长度，得到点P，所以当b=4时，P表示的数为-1+2=1.因为当b<0时，将点A向左移动|b|个单位长度，得到点P,所以当b=-2时,P 表示的数为-1-|-2|=—3.4.【解】(1)x≤1(2)当x≥1时,原方程可化为x+2(x-1)=4,解得x=2,符合题意；当x<1时,原方程可化为x-2(x-1)=4,解得x=-2，符合题意.所以原方程的解为x=2或x=-2.5.【解】(1)5(2)易知点 A 表示的数为10.因为点C 表示的数为 −52,所以当木棒的左端点在点C 右边 3个单位长度时，木棒的左端点表示的数为 −52+3=12,右端点表示的数为 12+5=112. 故木棒的右端点与点 A 的距离为 10−112=92;当木棒的左端点在点 C 左边3个单位长度时，木棒的左端点表示的数为 −52−3=−112,右端点表示的数为 −112+5=−12. 故木棒的右端点与点A 的距离为 10−(−12)=212.综上所述，木棒的右端点与点A 的距离 92₂ 212(3)木棒模型如图，图中点 A 表示的数是小宇的年龄，点B 表示的数是爷爷的年龄.小宇与爷爷的年龄差为[123-(-45)]÷3=56(岁).所以爷爷现在的年龄为123—56=67(岁).。
七年级上册数学培优专题训练3 定义新运算附解析学生版
七年级上册数学培优专题训练3定义新运算附解析学生版一、单选题(共10题；共20分)1．（2分）如果规定符号“*”的意义为：a*b=H r，则2∗(−3)的值是（）A．6B．－6C．65D．－65 2．（2分）现定义一种新运算“*”，规定∗=2−，如3∗1=12−3=−2，则(−2)∗(−3)等于（）A．11B．－11C．7D．－73．（2分）规定新运算“⊕”：对于任意实数a、b都有⊕=B−+−1，例如：2⊕5=2×5−2+5−1，则方程2⊕=1的解是（）A．23B．1C．43D．534．（2分）对于有理数，，定义⊙=2−，则[(−p⊙(+p]⊙3化简后得（）A．−+B．−−6C．−+6D．−+45．（2分）任意四个有理数a、b、c、d，定义了一种新运算：||=B−B，若|231|=6，则x 的值为（）A．2B．3C．6D．−66．（2分）若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…，则2017!2016!的值为（）A．2017B．2016C．2017！D．2016! 7．（2分）已知32=3×21×3=3，35=5×4×31×2×3=10，64=6×5×4×31×2×3×4=15，……观察以上计算过程，寻找规律．计算C85=（）A．72B．56C．42D．408．（2分）已知：[x]表示不大于x的最大整数．例：[3.6]＝3，[﹣0.9]＝﹣1，现定义：{x}＝x﹣[x]，例：{1.6}＝1.6﹣[1.6]＝0.6，计算{4.9}﹣{﹣1.8}的结果为（）A．6.7B．3.1C．1.1D．0.79．（2分）我们常用的十进制数，如2639＝2×103＋6×102＋3×101＋9，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如2513＝2×73＋5×72＋1×71＋3），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）A ．1435天B ．565天C ．365天D ．13天10．（2分）已知有理数≠1，我们把11−称为的差倒数，如：2的差倒数是11−2=−1，-1的差倒数是11−(−1)=12．如果1=−3，2是1的差倒数，3是2的差倒数，4是3的差倒数…依此类推，那么1−2+3−4⋯+2017−2018+2019−2020的值是（）A ．-3B ．−114C ．114D ．1312二、填空题(共10题；共10分)11．（1分）规定一种新运算：a ⊗b ＝a 2﹣2b ，若2⊗[3⊗（﹣x ）]＝6，则x 的值为12．（1分）如果定义新运算：※=r K(≠p ，那么（1※2）※3的值为．13．（1分）定义一种新运算“※”：对于任意有理数x 和y ，x※y=B +o +p +1（a 为常数）.例如：2※3=2×3+（2+3）a+1=5a+7.若2※（-1）的值为3，则a 的值为.14．（1分）定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ⊕b ＝a （a ﹣b ）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5．则（﹣2）⊕3＝．15．（1分）如图定义一种新运算“⊗”，如：2⊗1＝2+2×12＝2；x ⊗y ＝r2，则（4⊗2）⊗（﹣1）＝．16．（1分）已知a ，b 均为有理数，现我们定义一种新的运算，规定：a#b ＝a 2+ab ﹣5，例如：1#2＝12+1×2﹣5＝﹣2，则（﹣3）#6的值是.17．（1分）已知a ，b 为有理数，如果规定一种新的运算“※”，规定：a※b ＝2b ﹣3a ，例如：1※2＝2×2﹣3×1＝4﹣3＝1，计算：（3※2）※5＝．18．（1分）符号“”表示和，如J14=1+2+3+4，则J153 −J15(2−3) −J15 =.19．（1分）符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：①o1)=0，o2)=1，o3)=2，o4)=3，…；②o12)=2，o13)=3，o14)=4，o15)=5，…．利用以上规律计算：o12008)−o2008)=．20．（1分）在计算1+3+32⋅⋅⋅+3100的值时，可设=1+3+32+⋅⋅⋅+3100，①则3=3+32+33+⋅⋅⋅+3101②．∴②-①，得2=3101−1，所以=3101−12，试利用上述方法求1+8+82+⋅⋅⋅+82004的值：．三、解答题(共9题；共96分)21．（5分）若“三角表示运算a﹣b+c，“方框”表示运算x﹣y+z+w.求：×表示的运算，并计算结果.22．（10分）已知x，y为有理数，现规定一种新运算“⊗”，满足⊗=B−2021．（1）（5分）求(2⊗5)⊗(−4)的值；（2）（5分）记=⊗(−p，=⊗−⊗，请猜想P与Q的数量关系，并说明理由．23．（10分）设，，，为实数，则我们把形如||的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为||=B−B，请利用此法则解决以下问题：（1）（5分）求|12−12|的值；（2）（5分）若|231−5|=22，求的值.24．（15分）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2＋2ab＋a，如：1☆3＝1×32＋2×1×3＋1＝16．（1）（5分）求（－2）☆3的值；（2）（5分）若（r12☆3）☆(−12)＝8，求a的值；（3）（5分）若2☆x＝m，(14p☆3＝n（其中x为有理数），写出m，n的大小．25．（20分）用“⊗”定义一种新运算：对于任何有理数x和y，规定x⊗y＝2+12o≤p−12o>p．（1）（5分）求2⊗（﹣3）的值；（2）（5分）若（﹣a2）⊗2＝m，求m的最大整数；（3）（5分）若关于n的方程满足：1⊗n＝﹣32n﹣2，求n的值；（4）（5分）若−13=133−832−2−2，12=−12t3+2t2+3t+1，且A⊗B＝﹣2，求5+12t﹣2t3的值．26．（12分）对于有理数a，b，定义了一种新运算“※”为：※=2−o≥p−23o<p，如：5※3＝2×5﹣3＝7，1※3=1−23×3=−1．（1）（1分）计算：①2※（﹣1）＝；②（-4）※（﹣3）＝；（2）（5分）若3※m＝﹣1+3x是关于x的一元一次方程，且方程的解为x＝2，求m的值；（3）（5分）若A＜B，A＝﹣x3+4x2﹣x+1，B＝﹣x3+6x2﹣x+2，且A※B＝﹣3，求2x3+2x的值．27．（7分）阅读下列材料，并解决下面的问题：我们知道，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，其实乘方运算也有逆运算，如我们规定式子23=8可以变形为log28=3，log525=2也可以变形为52=25.在式子23=8中，3叫做以2为底8的对数，记为log28.一般地，若=o＞0且≠1，＞0)，则叫做以为底的对数，记为l o即log=p，且具有性质：①log=Eog；②log=；③log+l=l(⋅p，其中＞0且≠1，＞0，＞0.根据上面的规定，请解决下面问题：（1）（1分）计算：log31；log1025+log104(请直接写出结果)；（2）（5分）已知=log32，请你用含的代数式来表示，其中=log372(请写出必要的过程).28．（10分）对于数轴上的两点P，Q给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的友好距离，记为（POQ）．例如：P，Q两点表示的数，如图1所示：则（POQ）＝|PO﹣QO|＝|2﹣1|＝1．（1）（5分）A，B两点表示的数，如图所示：①A，B两点的友好距离为▲；②若C为数轴上一点（不与点O重合），且（AOB）＝2（AOC），求点C表示的数；（2）（5分）M，N为数轴上的两点（点M在点N左边），且MN＝4，若（MON）＝2，直接写出点N表示的数．29．（7分）定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离2倍，我们就称点是[，p的美好点．例如；如图1，点表示的数为-1，点表示的数为2．表示1的点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点是[，p的美好点；又如，表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是[，p的美好点，但点是[，p的美好点．如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为−7，点所表示的数为2．（1）（1分）点，，表示的数分别是−3，6.5，11，其中是[，p美好点的是；写出[，p美好点所表示的数是．（2）（5分）现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当为何值时，点恰好为[，p的美好点?答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：由题意得：2∗(−3)=2×(−3)2+(−3)=−6−1=6，故答案为：A．【分析】根据a*b=H r，计算求解即可。
浙教版七年级培优第9讲新定义运算
第9讲新定义运算【思维入门】1．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，其中a0a1a2均为0或1，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0＋a1，h1＝h0＋a2.运算规则为：0＋0＝0，0＋1＝1，1＋0＝1，1＋1＝0，例如原信息为111，则传输信息为01 111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是() A．11 010 B．10 111C．01 100 D．00 0112．规定n！＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1(例如，4！＝4×3×2×1)，那么S＝1！＋2！＋3！＋4！＋…＋2 006！的个位数是()A．0 B．1 C．2 D．33．对于每个正整数n，设f(n)表示n(n＋1)的末位数字．例如，f(1)＝2(1×2的末位数字)，f(2)＝6(2×3的末位数字)，f(3)＝2(3×4的末位数字)，…，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)的值为()A．6 B．4 022C．4 028 D．6 7084．已知：C23＝3×21×2＝3，C35＝5×4×31×2×3＝10，C46＝6×5×4×31×2×3×4＝15，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算C610＝____．【思维拓展】5．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数(见表格)，当明文中的字母对应的序号为β时，将β＋10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c按上述规定，将明文“maths ”译成密文后是( )A ．w kdrcB ．w khtcC ．eqdjcD ．eqhjc6．对于任意两个实数对(a ，b )和(c ，d )，规定：当且仅当a ＝c 且b ＝d 时，(a ，b )＝(c ，d )．定义运算“⊗”：(a ，b )⊗(c ，d )＝(ac －bd ，ad ＋bc )． 若(1，2)⊗(p ，q )＝(5，0)，则p ＝____，q ＝____．7．若自然数n 使得作竖式加法n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)均不产生进位现象，则称n 为“可连数”，例如32是“可连数”，因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“可连数”，因为23＋24＋25产生了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为____． 8．阅读材料，寻找共同存在的规律：有一个运算程序a ⊕b ＝n ，可以使：(a ＋c )⊕b ＝n ＋c ，a ⊕(b ＋c )＝n －2c ，如果1⊕1＝2，那么2 010⊕2 010＝______．【思维升华】9．对于任意实数a ，b ，c ，d ，定义有序实数对(a ，b )与(c ，d )之间的运算“△”为(a ，b )△(c ，d )＝(ac ＋bd ，ad ＋bc )．如果对于任意实数u ，v 都有(u ，v )△(x ，y )＝(u ，v )，那么(x ，y )为( )A ．(0，1)B ．(1，0)C ．(－1，0)D ．(0，－1)10．如果10b ＝n ，那么称b 为n 的劳格数，记为b ＝d (n )，由定义可知，10b ＝n 与b ＝d (n )所表示的b ，n 两个量之间的同一关系．(1)根据劳格数的定义，填空：d (10)＝____，d (102)＝____； (2)劳格数有如下运算性质：若m ，n 为正数，则d (mn )＝d (m )＋d (n )，d ⎝ ⎛⎭⎪⎫m n ＝d (m )－d (n )．根据运算性质，填空： d （a 3）d （a ）＝____(a 为正数)．若d (2)＝0.301 0，则d (4)＝______，d (5)＝______，d (0.08)＝______；(3)下表中与数x 对应的劳格数d (x )有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．第9讲新定义运算【思维入门】1．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，其中a0a1a2均为0或1，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0＋a1，h1＝h0＋a2.运算规则为：0＋0＝0，0＋1＝1，1＋0＝1，1＋1＝0，例如原信息为111，则传输信息为01 111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是(B)A．11 010 B．10 111C．01 100 D．00 011【解析】∵h1＝h0＋a2＝1＋1＝0，∴B错误．2．规定n！＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1(例如，4！＝4×3×2×1)，那么S＝1！＋2！＋3！＋4！＋…＋2 006！的个位数是(D)A．0 B．1 C．2 D．3【解析】分析可得：5！＝5×4×3×2×1＝120，则从5开始，各项的个位数都为0；4！＝4×3×2×1＝24，3！＝3×2×1＝6，2！＝2×1＝2，1！＝1，则1！＋2！＋3！＋4！＝33，故S＝1！＋2！＋3！＋4！＋…＋2 006！的个位数是3.3．对于每个正整数n，设f(n)表示n(n＋1)的末位数字．例如，f(1)＝2(1×2的末位数字)，f(2)＝6(2×3的末位数字)，f(3)＝2(3×4的末位数字)，…，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)的值为(C)A．6 B．4 022C．4 028 D．6 708【解析】∵f(1)＝2(1×2的末位数字)，f(2)＝6(2×3的末位数字)，f(3)＝2(3×4的末位数字)，f(4)＝0，f(5)＝0，f(6)＝2，f(7)＝6，f(8)＝2，f(9)＝0，…∴每5个数一循环，分别为2，6，2，0，0，…∴2 012÷5＝402……2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝2＋6＋2＋0＋0＋2＋6＋2＋…＋2＋6＝402×(2＋6＋2)＋8＝4 028.4．已知：C23＝3×21×2＝3，C35＝5×4×31×2×3＝10，C46＝6×5×4×31×2×3×4＝15，…，观察上面的计算过程，寻找规律并计算C610＝__210__．【思维拓展】5．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知有一种密码，将英文26个小写字母a，b，c，…，z依次对应0，1，2，…，25这26个自然数(见表格)，当明文中的字母对应的序号为β时，将β＋10除以26后所得的余数作为密文中的字母对应的序号，例如明文s对应密文c按上述规定，将明文“maths”译成密文后是(A)A．w kdrc B．w khtcC．eqdjc D．eqhjc【解析】m对应的数字是12，12＋10＝22，除以26的余数仍然是22，因此对应的字母是w；a对应的数字是0，0＋10＝10，除以26的余数仍然是10，因此对应的字母是k；t对应的数字是19，19＋10＝29，除以26的余数是3，因此对应的字母是d；…所以本题译成密文后是w kdrc.6．对于任意两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：当且仅当a＝c且b＝d时，(a，b)＝(c，d)．定义运算“⊗”：(a，b)⊗(c，d)＝(ac－bd，ad＋bc)．若(1，2)⊗(p，q)＝(5，0)，则p＝__1__，q＝__－2__．7．若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“可连数”，例如32是“可连数”，因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“可连数”，因为23＋24＋25产生了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为__24__．8．阅读材料，寻找共同存在的规律：有一个运算程序a⊕b＝n，可以使：(a＋c)⊕b＝n ＋c，a⊕(b＋c)＝n－2c，如果1⊕1＝2，那么2 010⊕2 010＝__－2__007__．【思维升华】9．对于任意实数a ，b ，c ，d ，定义有序实数对(a ，b )与(c ，d )之间的运算“△”为(a ，b )△(c ，d )＝(ac ＋bd ，ad ＋bc )．如果对于任意实数u ，v 都有(u ，v )△(x ，y )＝(u ，v )，那么(x ，y )为( B )A ．(0，1)B ．(1，0)C ．(－1，0)D ．(0，－1)10．如果10b ＝n ，那么称b 为n 的劳格数，记为b ＝d (n )，由定义可知，10b ＝n 与b ＝d (n )所表示的b ，n 两个量之间的同一关系．(1)根据劳格数的定义，填空：d (10)＝__1__，d (102)＝__2__； (2)劳格数有如下运算性质：若m ，n 为正数，则d (mn )＝d (m )＋d (n )，d ⎝ ⎛⎭⎪⎫m n ＝d (m )－d (n )．根据运算性质，填空： d （a 3）d （a ）＝__3__(a 为正数)．若d (2)＝0.301 0，则d (4)＝__0.602__0__，d (5)＝__0.699__0__，d (0.08)＝__－1.097__0__；(3)下表中与数x 对应的劳格数d (x )有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．解： (1)d (10)＝1，d (102)＝2； (2)d （a 3）d （a ）＝3d （a ）d （a ）＝3； 若d (2)＝0.301 0，则d (4)＝2d (2)＝0.602 0， d (5)＝d (10)－d (2)＝1－0.301 0＝0.699 0，d (0.08)＝d (8)－d (100)＝3d (2)－2d (10)＝3×0.301 0－2＝－1.097 0；(3)若d (3)＝2a －b 时，可以推出d (9)＝2d (3)＝4a －2b ，符合；同理，d (27)也符合，如果d (3)错误，则d (9)和d (27)两个也错误，不可能，所以d (3)，d (9)和d (27)全部正确．当d(5)＝a＋c，得d(2)＝d(10)－d(5)＝1－a－c，则d(6)＝d(3)＋d(2)＝a－b－c＋1，d(8)＝3d(2)＝3－3a－3c，全部正确，如果d(5)错误，则d(6)和d(8)两个也错误，不可能，所以d(5)，d(6)和d(8)全部正确．所以d(1.5)，d(12)都错误，计算如下：d(1.5)＝d(3)＋d(5)－d(10)＝3a－b＋c－1，d(12)＝d(36)－d(3)＝2d(6)－d(3)＝2－b－2c.。
人教版七年级上册 第六讲：有理数新定义运算
第6讲：新定义运算1、对于任意非零实数a 、b,定义运算“⊕”,使下列式子成立：1⊕2=23-,2⊕1=23,(−2)⊕5=1021,5⊕(−2)=1021-,…,则(−3)⊕(−4)=() A.127- B.127 C.1225- D.1225 2、已知()() 3,2,1112=+=n n a n ，我们又定义()231211=-=a b ，()()34112212=--=a a b ，()()()4511123213=---=a a a b ，…，根据你观察的规律可推测出n b =( ) A.n n 1+ B.12++n n C.23++n n D.21++n n 3、对于每个正整数n ，设()n f 表示()1+n n 的末位数字。
例如：()1f =2(1×2的末位数字)，()2f =6(2×3的末位数字)，()3f =2(3×4的末位数字)，…则()1f +()2f +()3f +…+()2012f 的值为（ ）A.6B.4022C.4028D.67084、一个整数的所有正约数之和可以按如下方法求得，如：6=2×3,则6的所有正约数之和(1+3)+(2+6)=(1+2)×(1+3)=12；12=22×3,则12的所有正约数之和(1+3)+(2+6)+(4+12)=(1+2+22)×(1+3)=28；36=22×32,则36的所有正约数之和(1+3+9)+(2+6+18)+(4+12+36)=(1+2+22)×(1+3+32)=91.参照上述方法，那么200的所有正约数之和为 .5、在平面直角坐标系中,任意两点A ()11,y x ,B ()22,y x ，规定运算：①A ⊕B=()2121,y y x x ++;②A ⊗B=2121y y x x +;③当21x x =且21y y =时，A=B ，有下列四个命题：(1)若A(1,2),B(2,−1),则A ⊕B=(3,1)，A ⊗B=0；(2)若A ⊕B=B ⊕C ，则A=C ；(3)若A ⊗B=B ⊗C ，则A=C ；(4)对任意点A. B. C,均有(A ⊕B)⊕C=A ⊕(B ⊕C)成立,其中正确命题的个数为 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个6、定义一种新的运算：xyxyx2+=*,如：35312313=*+=*,则(2∗3)∗2= .7、对于正数x，规定()xxf+=11，例如()514114=+=f，54411141=+=⎪⎭⎫⎝⎛f，则()()()()⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+++++2018120171211220172018fffffff的值是 .8、定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时,结果为53+n;②当n为偶数时,结果为kn2(其中k是使kn2为奇数的正整数)，并且运算重复进行。
七年级上册数学考点培优专题训练3 定义新运算附解析教师版
七年级上册数学考点培优专题训练3 定义新运算附解析教师版一、单选题(共10题；共20分)1．（2分）如果规定符号“*”的意义为：a*b=a×ba+b，则2∗(−3)的值是（）A．6B．－6C．65D．－65【答案】A【解析】【解答】解：由题意得：2∗(−3)=2×(−3)2+(−3)=−6−1=6，故答案为：A．【分析】根据a*b=a×ba+b，计算求解即可。
2．（2分）现定义一种新运算“*”，规定a∗b=b2−a，如3∗1=12−3=−2，则(−2)∗(−3)等于（）A．11B．－11C．7D．－7【答案】A【解析】【解答】∵a∗b=b2−a，∴(−2)∗(−3)=(−3)2−(−2)=9+2=11；故答案为：A．【分析】根据定义新运算a∗b=b2−a直接进行计算即可.3．（2分）规定新运算“⊕”：对于任意实数a、b都有a⊕b=ab−a+b−1，例如：2⊕5= 2×5−2+5−1，则方程2⊕x=1的解是（）A．23B．1C．43D．53【答案】C【解析】【解答】解：由题意得2x-2+x-1=13x=4解之：x=4 3 .故答案为：C.【分析】利用定义新运算，建立关于x的方程，解方程求出x的值.4．（2分）对于有理数a，b，定义a⊙b=2a−b，则[(x−y)⊙(x+y)]⊙3x化简后得（）A ．−x +yB ．−x −6yC ．−x +6yD ．−x +4y【答案】B【解析】【解答】解：原式＝[2（x−y ）−（x ＋y ）]⊕3x＝（2x−2y−x−y ）⊕3x ＝（x−3y ）⊕3x ＝2（x−3y ）−3x ＝2x−6y−3x ＝−x−6y ， 故答案为：B.【分析】根据新定义的计算法则，将原式化为整式的加减运算，然后去括号合并同类项即可解答. 5．（2分）任意四个有理数a 、b 、c 、d ，定义了一种新运算：|a cb d |=ad −bc ，若|23x 1x|=6，则x 的值为（ ） A ．2B ．3C ．6D ．−6【答案】D【解析】【解答】解：由题意得：将|23x1x|=6可化为：2x-3x=6， 解得：x=-6． 故答案为：D ．【分析】根据题干中的定义及计算方法列出方程2x-3x=6，再求出x 的值即可。
七年级数学(上)期末压轴题汇编——定义新运算类
1．小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若x是关于x的一元一次方程ax+b=0(a≠0)的解，y0是关于y的方程的所有解的其中一个解，且x，y满足x 0+y=100，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程3x−2x−99=0的解是x0=99，方程y2+1=2的所有解是y=1或y=−1，当y=1时，x+y=100，所以y2+1=2为一元一次方程3x−2x−99=0的“友好方程”．（1）已知关于y的方程：①2y−2=4，②|y|=2，以上哪个方程是一元一次方程3x−2x−102=0的“友好方程”？请直接写出正确的序号是．（2）若关于y的方程|2y−2|+3=5是关于x的一元一次方程2213x ax a−−=+的“友好方程”，请求出a的值．（3）如关于y的方程(1)2|49|45m ym y m n−−+=+是关于x的一元一次方程4554mx n m+=的“友好方程”，请直接写出m nn+的值．2．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：53116⨯+⎯⎯⎯→28÷⎯⎯→24÷⎯⎯→22÷⎯⎯→21÷⎯⎯→．如果自然数m 经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m 的值为 ．3．（2021.1月期末理工附25）我们把a cb d称为二阶行列式，且a cad bcb d=−．如：121(4)3210 34=⨯−−⨯=−−．（1）计算：2135=−；4235=−；（2）小明观察（1）中两个行列式的结构特点及结果，归纳总结，猜想：若行列式中的某一行（列)的所有数都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式．即ka kc a c ka c a kc a ckb d kb kd kb d b kd b d====，你认为小明的猜想正确吗？若正确请说明理由，若错误请举出反例．（3）若1k≠，且113232x x x xk k++=，求x的值．4．阅读材料：我们定义：如果两个实数的差等于这两个实数的商，那么这两个实数就叫做“差商等数对”． 即：如果a −b =a ÷b ，那么a 与b 就叫做“差商等数对”，记为（a ，b ）．例如：4−2=4÷2；993322−=÷； 11()(1)()(1)22−−−=−÷−； 则称数对（4，2），（92，3），（12−，1−）是“差商等数对”． 根据上述材料，解决下列问题：（1）下列数对中，“差商等数对”是 （填序号）；①（8.1−，9−），②（12，12）③（-3，-6） （2）如果（x ，4）是“差商等数对”，请求出x 的值；（3）如果（m ，n ）是“差商等数对”，那么m =______________(用含n 的代数式表示)．5．如图，某校的“图书码”共有7位数字，它是由6位数字代码和校验码构成，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中校验码是用来校验图书码中前6位数字代码的正确性，它的编制是按照特定的算法得来的．以上图为例，其算法为：步骤1：计算前6位数字中偶数位数字的和a，即a=9+1+3=13；步骤2：计算前6位数字中奇数位数字的和b，即b=6+0+2=8；步骤3：计算3a与b的和c，即c=3⨯13+8=47；步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即d=50；步骤5：计算d与c的差就是校验码X，即X=50−47=3．请解答下列问题：（1）《数学故事》的图书码为978753Y，则“步骤3”中的c的值为，校验码Y的值为．（2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为m，你能用只含有m的代数式表示上述步骤中的d吗？从而求出m的值吗？写出你的思考过程．（3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的差是4，这两个数字从左到右分别是多少？请直接写出结果．6．观察下列等式，探究其中的规律并回答问题：1+8=32，1+8+16=52，1+8+16+24=72，1+8+16+24+32=k2，⋯，（1）第4个等式中正整数k的值是；（2）第5个等式是：；（3）第n个等式是：．（其中n是正整数）7．我们规定：若关于x 的一元一次方程a +x =b (a ≠0)的解为x b a =，则称该方程为“商解方程”．例如：24x +=的解为2x =且422=，则方程24x +=是“商解方程”．请回答下列问题： （1）判断3 4.5x +=是不是“商解方程”； （2）若关于x 的一元一次方程是42(3)x m +=− “商解方程”，求m 的值．8．我们规定：若有理数a ，b 满足a +b =ab ，则称a ，b 互为“等和积数”，其中a 叫做b 的“等和积数”， b 也叫a 的“等和积数”．例如：因为1(1)122+−=−，11(1)22⨯−=−，所以11(1)(1)22+−=⨯−，则12与1−互为“等和积数”． 请根据上述规定解答下列问题：（1）有理数2的“等和积数”是 ；（2）有理数1 （填“有”或“没有” ) “等和积数”；（3）若m 的“等和积数”是25，n 的“等和积数”是37，求34m n +的值．9. 将n个互不相同的整数置于一排，构成一个数组．在这n个数字前任意添加“+”或“-”号，可以得到一个算式．若运算结果可以为0，我们就将这个数组称为“运算平衡”数组．（1）数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组？若是，请在以下数组中填上相应的符号，并完成运算；1 2 3 4 =（2）若数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，则m的值可以是多少？（3）若某“运算平衡”数组中共含有n个整数，则这n个整数需要具备什么样的规律？10．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0)的除法运算叫做除方．例如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方”；再例如(−3)÷(−3)÷(−3)÷(−3)，记作(−3)④，读作“−3的圈4次方”；一般地，把(0n aa a a a a ÷÷÷⋯÷≠个，n 为大于等于2的整数）记作a ，读作“a 的圈n 次方”．【初步探究】（1）直接写出计算结果：7=③ ；1()4−=⑤ ； （2）关于除方，下列说法错误的是 ；A ．任何非零数的圈2次方都等于1；B ．对于任何大于等于2的整数c ，11=；.89C =⑨⑧；D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方21111222222()2222→=÷÷÷=⨯⨯⨯=→④乘方幂的形式 （1）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：(5)−=⑥ ；1()2=⑨ ； （2）将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式为 ；（3）将?11()()(m a a⋅为大于等于2的整数）写成幂的形式为 ．11．阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作[x]．例如，[3.2]=3，[5]=5，[−2.1]=−3．那么，x=[x]+a，其中0a<1．例如，3.2=[3.2]+0.2，5=[5]+0，−2.1=[−2.1]+0.9．请你解决下列问题：（1）[4.8]=，[−6.5]=；（2）如果[x]=3，那么x的取值范围是；（3）如果[5x−2]=3x+1，那么x的值是；（4）如果x=[x]+a，其中0a<1，且4a=[x]+1，求x的值．11。
七年级数学有理数定义新运算灵活运用练习题(含答案)
七年级数学有理数定义新运算（一）一、填空题1.规定a ☉b =ab b a -,则2☉(5☉3)之值为 . 2.规定“※”为一种运算,对任意两数a ,b ,有a ※b 32b a +=,若6※x 322=,则x = . 3.设a ,b ,c ,d 是自然数,定义bc ad d c b a +>=<,,,.则<><><<,3,2,1,4,4,3,2,13, 4, 1, 2>>=<>1,4,3,2, .4.[A ]表示自然数A 的约数的个数.例如,4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:]7[])22[]18([÷+= .5.规定新运算※:a ※b=3a -2b .若x ※(4※1)=7,则x= .6.两个整数a 和b ,a 除以b 的余数记为a ☆b .例如,13☆5=3,5☆13=5,12☆4=0.根据这样定义的运算,(26☆9) ☆4= .7.对于数a ,b ,c ,d 规定d c ab d c b a +->=<2,,,.如果7,5,3,1>=<x ,那么x = .8.规定:6※2=6+66=72,2※3=2+22+222=246, 1※4=1+11+111+1111=1234.7※5= .9.规定:符号“△”为选择两数中较大数,“☉”为选择两数中较小数.例如:3△5=5,3☉5=3.那么,[(7☉3)△5]×[5☉(3△7)]= .10.假设式子b a a ⨯#表示经过计算后,a 的值变为原来a 与b 的值的积,而式子b a b -#表示经过计算后,b 的值为原来a 与b 的值的差.设开始时a =2,b =2,依次进行计算b a a ⨯#,b a b -#,b a a ⨯#,b a b -#,则计算结束时,a 与b 的和是 .二、解答题11.设a ,b ,c ,d 是自然数,对每两个数组(a ,b ),(c ,d ),我们定义运算※如下: (a ,b )※(c ,d )= (a+c ,b +d );又定义运算△如下: (a ,b )△(c ,d )= (ac+bd ,ad+bc ).试计算((1,2) ※(3,6))△((5,4)※(1,3)).12.羊和狼在一起时,狼要吃掉羊,所以关于羊及狼,我们规定一种运算,用符号△表示羊△羊=羊;羊△狼=狼;狼△羊=狼;狼△狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊在一起便只剩下狼了.小朋友总是希望羊能战胜狼,所以我们规定另一种运算,用符号☆表示为羊☆羊=羊;羊☆狼=羊;狼☆羊=羊;狼☆狼=狼.运算意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,由于羊能战胜狼,当狼与羊在一起时,它便被羊赶走而只剩下羊了.对羊或狼,可用上面规定的运算作混合运算,混合运算的法则是从左到右,括号内先算.运算的结果是羊,或是狼.求下式的结果:羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼).13.22264⨯⨯=222⨯⨯⨯表示成()664=f ; 33333243⨯⨯⨯⨯=表示成()5243=g . 试求下列的值:(1)()=128f ; (2))()16(g f =; (3)6)27()(=+g f ;(4)如果x , y 分别表示若干个2的数的乘积,试证明:)()()(y f x f y x f +=⋅.14.两个不等的自然数a 和b ,较大的数除以较小的数,余数记为a ☉b ,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;(2)已知11☉x =2,而x 小于20,求x ;(3)已知(19☉x )☉19=5,而x 小于50,求x .答 案1. 120411.5☉3=15165335=-,2☉(5☉3)=2☉12041112016121516151621516==-=. 2. 8.依题意,6※326x x +=,因此322326=+x ,所以x=8. 3. 280.;1421343,2,1,4;1032414,3,2,1=⨯+⨯>=<=⨯+⨯>=<.1443121,4,3,2;1014232,1,4,3=⨯+⨯>=<=⨯+⨯>=<原式2801014141014,10,14,10=⨯+⨯>==<.4. 5.因为23218⨯=有6)12()11(=+⨯+个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2.原式52)46(=÷+=.5. 9.因为4※1=101243=⨯-⨯,所以x ※(4※1)= x ※10=3x -20.故3x -20=7,解得x =9.6. 0.89226+⨯=,26☆9=8,又428⨯=,故(26☆9)☆4=8☆4=0.7. 6.因为x x x +=+-⨯⨯>=<15312,5,3,1,所以71=+x ,故6=x .8. 86415.7※5=7+77+777+7777+77777=86415.9. 25.原式=[3△5]×[5☉7]=5×5=25.10. 14. 第1次计算后,422=⨯=a ;第2次计算后,224=-=b ;第3次计算后,824=⨯=a ;第4次计算后,628=-=b .此时1468=+=+b a .11. (1,2)※(3,6)=(1+3,2+6)=(4,8),(5,4)※(1,3)=(5+1,4+3)=(6,7).原式=(4,8)△(6,7)=(4×6+8×7,4×7+8×6)=(80,76).12. 原式=羊△羊☆羊△狼=羊☆羊△狼=羊△狼=狼.13. (1)()72)128(7==f f ; (2)()())81(342)16(44g g f f ====;(3)因为()())8(233636)27(633f f g g ===-=-=-,所以6)27()8(=+g f ;(4)令,2,2n m y x ==则n y f m x f ==)(,)(.()())()(222)(y f x f n m f f y x f n m n m +=+==⋅=⋅+.14. (1)1991☉2000=9;由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.(2)我们不知道11和x 哪个大(注意,x ≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.1) x <11,这时x 除11余2, x 整除11-2=9.又x ≥3(因为x 应大于余数2),所以x =3或9.2) x >11,这时11除x 余2,这说明x 是11的倍数加2,但x <20,所以x =11+2=13. 因此(2)的解为x =3,9,13.(3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.用y 表示19☉x ,不管19作除数还是被除数,19☉x 都比19小,所以y 应小于19. 方程y ☉19=5,说明y 除19余5,所以y 整除19-5=14,由于y ≥6,所以y =7,14. 当y =7时,分两种情况解19☉x =7.1)x <19,此时x 除19余7,x 整除19-7=12.由于x ≥8,所以x =12.2) x >19,此时19除x 余7, x 是19的倍数加7,由于x <50,所以x =19+7=26或7219+⨯=x =45.当y =14时,分两种情况解19☉x =14.1) x<19,这时x除19余14, x整除19-14=5,但x大于14,这是不可能的.2)x>19,此时19除x余14,这就表明x是19的倍数加14,因为x<50,所以x=19+14=33.总之,方程(19☉x)☉19=5有四个解,x=12,26,33,45.。