【教学设计】《黄金分割与数学》教案

《黄金分割与数学》教学设计

教学目标：

1．从数学课的角度：(1)使学生了解黄金分割、黄金比、黄金矩形的意义。

(2)使学生会确定一条线段的黄金分割点，明确黄金分割的尺规作图方法，体会数形结合的思想。

2.从美学的角度：通过对大自然中美的事物鉴赏，培养学生发现美、创造美的能力，同时陶冶学生情操。

3．从史学的角度：通过对黄金分割数学史料和“斐波拉契数列”的大致介绍，让学生对学习内容的意义有清晰的定位。

教学重难点：认识黄金分割的美学价值，确定一条线段的黄金分割点。

学生学具：直尺，圆规，量角器，学生用计算器。

活动流程设计

课前交流：课前、课中猜一猜老师的专业，随时告诉大家，如：

“老师，我发现你是美术老师！”“我发现你不是数学老师”等等，

看谁猜得最准！

一、创设问题情境，激发学生兴趣

1.计算几组算式(结果精确到0.001)：

0.618∶1= （1－0.618）∶0.618= 1∶（1+0.618）=

问：你发现什么有趣的现象了吗？

有人说，0.618为宇宙的钥匙，真有那么神奇吗？

2. 你觉得哪张照片的构图最合理？更能体现小松鼠若

有所思地在凝视前方？

3.多媒体展示三幅图片：

芭蕾舞演员在跳舞时，频繁的掂起脚尖，为练就这项本领，演员不知要付出多少艰辛与努力，目的是什么？

中华人民共和国国旗上镶着五颗五角星，给我们庄重肃穆之感；上海东方明珠, 塔身显得非常协调、美观；春天的气温在23度左右时，我们感觉到比较舒服，这些都给人以和谐、平衡、舒适、美的感觉。

你想过这些问题吗？

（美是一种感觉，本来没有什么标准，但物体形状的比例提供了在匀称和协调上的一种美感

参考，这些都与0.618有关。）

二、动态探究，导出定义。 1、动态探究：

1.1、媒体演示图片4，教师提出问题：舞台上，主持人站的位置有什么特点？（发现不是在舞台中间，而是在中间靠一侧点.主持人站在舞台中间很别扭，如果靠一侧，则会给观众很舒服、美观的感觉，声音传播的效果也较好）.

1.2、 把刚才的问题抽象成数学模型，研究主持人位置的特殊性.(课件展示)

（1）舞台抽象成一条线段AB ，主持人是线段上点 C.点C 将AB 分成三条线段AC 、CB 、AB.如果点C 在中点处,满足

，如果点C 向右侧运动，

则AC 、CB 、AB 关系变为：CB

＜

AC ＜AB.

（2）以短、长、全命名它们。在点C 由中点向右侧移动过程中，请观察下面两个比值的变化情况(几何画板演示).让学生发现：

1.3、揭示定义：

随着点C 的移动，两个比值逐渐接近，某一瞬间它们相等,即

=0.618.这时我们称

线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割

点，AC 与AB 的比值（0.618）叫做黄金比. 对于一条线段，其黄金分割点的位置很特殊，如

果把舞台看成一条线段，主持人站在这条线段黄金分割点的位置主持节目，给观众舒服、美观的感觉，同时其声音的传播效果也达到最好.

三、师生互动、探究作法。

1

、分组探究、自主体验

五角星给人以庄重的美感，在图案中，是否也存在黄金分割呢，分四

人一组，用刻度尺分别度量课本P108页的五角星点C 到点A 、B 的距离，

量出线段AB

的长度，然后计算与

,它们的值接近一个什么样的

数？

（几何画板演示：随着正五角星大小的改变，AB 、AC 、CB 的长发生改变，但

与

始

终保持不变。）

结论1：点C 是线段AB 的黄金分割点。

启发：图中好像还有线段AB 的黄金分割点，你发现了吗？能验证吗？

结论2：点D 也是线段AB 的黄金分割点。一般地，一条线段有两个黄金分割点，这两点关于线段的中点对称。

B

全 A

C

长

短

D

启发：你还发现图中其它类型的黄金分割现象了吗？

结论3：点C 是线段DB 的黄金分割点；点D 是线段AC 的黄金分割点。这叫做黄金分割点的再生性。

归纳与过渡：刚才的过程体现了从形到数的的转化，用数解释形的特点；现在我们由数回归到形，创造黄金分割。

3、独立探究：你能找到任一线段的黄金分割点吗？

学生可能会想到度量线段长

计算它的0.618倍 找点的方法。

过渡：能用作图方法直接作出这条线段的一个黄金分割点吗？引出下一议题。 4、自主学习,理解作法

（几何画板展示作一条线段的黄金分割点的方法与过程。） (1)如右图：已知线段AB ，作图寻找右侧黄金分割点C ： 作法：①取线段的中点D,将BD 绕点B 顺时针

旋转90°，即BD ⊥AB ；

②连接AD ，在DA 上截取DE=DB ；

③在AB 上截取AC=AE ，则点C 为线段AB 的右侧黄金分割点. (2)运用定义，通过计算说明点C 是线段AB 的黄金分割点. 如果设AB=2，则BD=1,AD=,AC=-1,BC=3-

， ,

∴点C 为线段AB 的黄金分割点. 或者可计算出

也能得到点C 为线段AB 的黄金分割点.

归纳：两种方法有什么区别吗？

前者是近似地找到线段的黄金分割点，后者是较准确地用尺规直接作出任一线段的黄金分割点。

3、实际运用,伸延概念

想一想:古希腊时期的巴台农神庙,把它的正面放在一个矩形ABCD 中，以矩形ABCD 的宽AD 为边在其内部作正方形AEFD ，那么我们可以惊奇地发现 ，那

点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？这样的矩形称为黄金矩形。 四、及时巩固，初步应用

1.如图，C 、D 是线段AB 的两个黄金分割点,且AB=1㎝,则AD ≈cm,AC ≈cm,CD ≈㎝（均精确到0.001）；AC ∶AD ≈（结果保留3个有效数字）。

五、开阔眼界

1.黄金分割与人的关系相当密切： 地球表面的纬度范围是0—90°，对其进行黄金分割，则34.38°—55.62°正是地球的黄金地带。无论从平均气温、年日照时数、年降水量、相对湿度等方面都是具备适于人类生活的最佳地区。

人为什么在环境22至24℃时感觉最舒适？因为人的体温为37℃，与0.618的乘积为22.8℃，这一温度中肌体的新陈代谢、生理节奏和生理功能均处于最佳状态。人们的肚脐是人体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。

A B