浙江省九年级数学竞赛辅导系列 讲座九 圆练习
【九年级】九年级数学竞赛圆与圆辅导教案
【九年级】九年级数学竞赛圆与圆辅导教案【例题求解】【例1】如图，⊙ol与半径为4的⊙o2内切于点a，⊙ol经过圆心o2，作⊙o2的直径bc交⊙ol于点d，ef为过点a的公切线，若o2d=，那么∠baf=度．(重庆市中考题)思路点拨直径、公切线、o2的特殊位置等，隐含丰富的信息，而连o2ol必过a点，先求出∠do2a的度数．备注：(1)两圆切线或平行时，公切线或公共弦就是关键的类似“桥梁”的辅助线，它可以并使弦切角与圆周角、圆内直奔四边形的内角与外角以求沟通交流．同时，又就是分解成圆幂定理的关键因素．(2)涉及两圆位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质等构造直角三角形，将分散的条件集中，通过解直角三角形求解．【基准2】例如图，⊙ol与⊙o2外切于点a，两圆的一条外公切线与⊙o1切线于点b，若ab与两圆的另一条外公切线平行，则⊙ol与⊙o2的半径之比是()a．2：5b．1：2c．1：3d．2：3(全国初中数学联赛试题)思路点拨添加辅助线，要探求两半径之间的关系，必须求出∠colo2(或∠do2ol)的度数，为此需寻求∠co1b、∠co1a、∠bo1a的关系．【基准3】例如图，未知⊙ol与⊙o2平行于a、b两点，p就是⊙ol上一点，pb的延长线缴⊙o2于点c，pa交⊙o2于点d，cd的延长线缴⊙ol于点n．(1)过点a作ae∥cn交⊙oll于点e，求证：pa=pe；(2)联结pn，若pb=4，bc=2，谋pn的长．(重庆市中考题)思路指点(1)连ab，充分运用与圆有关的角，证明∠pae=∠pea；(2)pb?pc=pd?pa，追寻pn、pd、pa对应三角形的联系．【例4】如图，两个同心圆的圆心是o，ab是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点d，连结od并延长交大圆于点e，连结be交ac于点f，已知ac=，大、小两圆半径差为2．(1)谋大圆半径短；(2)求线段bf的长；(3)澄清：ec与过b、f、c三点的圆切线．(宜宾市中考题)思路指点(1)设立大圆半径为r，则小圆半径为r-2，创建r的方程；(2)证明△ebc∽△ecf；(3)过b、f、c三点的圆的圆心o′，必在bf上，连o?c，证明∠o′ce=90°．注：本例以同心圆为背景，综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相似三角形等丰富的知识．作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键．【基准5】例如图，aob就是半径为1的单位圆的四分之一，半圆o1的圆心o1在oa 上，并与弧ab内福萨县点a，半圆o2的圆心o2在ob上，并与弧ab内福萨县点b，半圆o1与半圆o2切线，设立两半圆的半径之和为，面积之和为．(1)试建立以为自变量的函数的解析式；(2)求函数的最小值．(太原市竞赛题)思路指点设立两圆半径分别为r、r，对于(1)，，通过变形把r2+r2用“=r+r”的代数式则表示，做出基本辅助线；对于(2)，因=r+r，故是在约束条件下求的最小值，解题的关键就是算出r+r的值域范围．注：如图，半径分别为r、r的⊙ol、⊙o2外切于c，ab，cm分别为两圆的公切线，olo2与ab交于p点，则：(1)ab=2；(2)∠acb=∠olmo2=90°；(3)pc2=pa?pb；(4)sinp=；(5)设c至ab的距离为d，则．学力训练1．未知：⊙ol和⊙o2处设a、b两点，且⊙ol经过点o2，若∠aolb=90°，则∠ao2b的度数就是．2．矩形abcd中，ab=5，bc=12，如果分别以a、c为圆心的两圆相切，点d在圆c内，点b在圆c外，那么圆a的半径r的取值范围．(2021年上海市中考题)3．如图；⊙ol、⊙o2相交于点a、b，现给出4个命题：(1)若ac就是⊙o2的切线且交⊙ol于点c，ad就是⊙ol的切线且交⊙o2于点d，则ab2=bc?bd；(2)连结ab、olo2，若ola=15cm，o2a=20cm，ab=24cm，则olo2=25cm；(3)若ca就是⊙ol的直径，da就是⊙o2的一条非直径的弦，且点d、b不重合，则c、b、d三点无此同一条直线上，(4)若过点a作⊙ol的切线交⊙o2于点d，直线db交⊙ol于点c，直线ca交⊙o2于点e，连结de，则de2=db?dc，则正确命题的序号是(写出所有正确命题的序号)．(厦门市中考题)4．如图，半圆o的直径ab=4，与半圆o内切的动圆ol与ab切于点m，设⊙ol的半径为，am的长为，则与的函数关系是，自变量的取值范围是．(昆明市中考题)5．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是()a．2b．c．d．6．如图，已知⊙ol、⊙o2相交于a、b两点，且点ol在⊙o2上，过a作⊙oll的切线ac交bol的延长线于点p，交⊙o2于点c，bp交⊙ol于点d，若pd=1，pa=，则ac的长为()a．b．c．d．(武汉市中考题)7．例如图，⊙ol和⊙o2外切于a，pa就是内公切线，bc就是外公切线，b、c就是切点①pb=ab；②∠pba=∠pab；③△pab∽△olab；④pb?pc=ola?o2a．上述结论，正确结论的个数是()a．1b．2c．3d．4(郴州市中考题)8．两圆的半径分别就是和r(r>r)，圆心距为d，若关于的方程存有两个成正比的实数根，则两圆的边线关系就是()a．一定内切b．一定外切c．相交d．内切或外切(连云港市中考题)9．如图，⊙ol和⊙o2内切于点p，过点p的直线交⊙ol于点d，交⊙o2于点e，da 与⊙o2相切，切点为c．（1）澄清：pc平分∠apd；(2)求证：pd?pa=pc2+ac?dc；(3)若pe=3，pa=6，谋pc的长．10．如图，已知⊙ol和⊙o2外切于a，bc是⊙ol和⊙o2的公切线，切点为b、c，连结ba并延长交⊙ol于d，过d点作cb的平行线交⊙o2于e、f，求证：(1)cd是⊙ol的直径；(2)试判断线段bc、be、bf的大小关系，并证明你的结论．(四川省中考题)11．如图，已知a是⊙ol、⊙o2的一个交点，点m是olo2的中点，过点a的直线bc 垂直于ma，分别交⊙ol、⊙o2于b、c．(1)澄清：ab=ac；(2)若ola切⊙o2于点a，弦ab、ac的弦心距分别为dl、d2，求证：dl+d2=o1o2；(3)在(2)的条件下，若dld2=1，设立⊙ol、⊙o2的半径分别为r、r，澄清：r2+r2=r2r2．(山西省中考题)12．未知半径分别为1和2的两个圆外切于点p，则点p至两圆外公切线的距离为．(全国初中数学联赛试题)13．例如图，7根圆形筷子的横截面圆半径为r，则织成这7根筷子一周的绳子的长度为．(全国初中数学联赛试题)14．例如图，⊙ol和⊙o2内福萨县点p，⊙o2的弦ab经过⊙ol的圆心ol，缴⊙ol 于c、d，若ac：cd：db=3：4：2，则⊙ol与⊙o2的直径之比是()a．2：7b．2：5c．2：3d．1：315．例如图，⊙ol与⊙o2平行，p就是⊙ol上的一点，过p点作两圆的切线，则切线的条数可能将就是()a．1，2b．1，3c．1，2，3d．1，2，3，4(安徽省中考题)16．如图，相等两圆交于a、b两点，过b任作一直线交两圆于m、n，过m、n各引所在圆的切线相交于c，则四边形amcn有下面关系成立()a．存有内切圆并无外接圆b存有外接圆并无内切圆c．既有内切圆，也有外接圆d．以上情况都不对(太原市竞赛题)17．已知：如图，⊙o与相交于a，b两点，点p在⊙o上，⊙o的弦ac切⊙p于点a，cp及其延长线交⊙pp于点d，e，过点e作ef⊥ce交cb的延长线于f．（1）澄清：bc就是⊙p的切线；(2)若cd=2，cb=，求ef的长；(3)若k=pe：ce，与否存有实数k，并使△pbd恰好就是等边三角形?若存有，算出就是的值；若不存有，恳请表明理由．(青岛市中考题)18．例如图，⊙a和⊙b就是外离两圆，⊙a的半径短为2，⊙b的半径短为1，ab=4，p为相连接两圆圆心的线段ab上的一点，pc乌⊙a于点c，pd乌⊙b于点d．(1)若pc=pd，求pb的长；(2)何况线段ab上与否存有一点p，并使pc2+pd2=4？，如果存有，问这样的p点存有几个?并算出pb的值；如果不存有，表明理由；(3)当点f在线段ab上运动到某处，使pc⊥pd时，就有△apc∽△pbd．答：除上述情况外，当点p在线段ab上运动至何处(表明pb的短为多少，或pc、pd具备何种关系)时，这两个三角形仍相近；并推论此时直线cp与ob的边线关系，证明你的结论．(浙江省嘉兴市中考题)19．如图，d、e是△abc边bc上的两点，f是ba延长线上一点，∠dae=∠caf．(1)推论△abd的外接圆与△aec的外接圆的边线关系，并证明你的结论；(2)若△abd的外接圆半径是△aec的外接圆半径的2倍，bc=6，ab=4，求be的长．(全国初中数学联赛试题)20．问题：要将一块直径为2cm的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面．操作方式：方案一：在图甲中，设计一个并使圆锥底面最小，半圆形铁皮以求最充分利用的方案(建议，画示意图)．方案二；在图乙中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求：画示意图)；，探究：(1)谋方案一中圆锥底面的半径；(2)求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径；(3)设立方案二中半圆圆心为o，圆柱两个底面的圆心为o1、o2，圆锥底面的圆心为o3，先行推论以o1、o2、o3、o为顶点的四边形就是什么样的特定四边形，并予以证明．(大连市中考题)。
初中数学奥林匹克中的几何问题：第7章九点圆定理及应用附答案
第七章九点圆定理及应用【基础知识】九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点，这九点共圆． 如图7-1，设ABC △三条高AD ，BE ，CF 的垂足分别为D ，E ，F ；三边BC ，CA ，AB 的中点分别为L ，M ，N ；又AH ，BH ，CH 的中点分别为P ，Q ，R ．求证：D ，E ，F ，L ，M ，N ，P ，Q ，R 九点共圆．BVO RF P E NMHQL图7-1A证法1连PQ ，QL ，LM ，MP ，则知12LM BA QP ∥∥，即知L M P Q 为平行四边形．又LQ CH BP LM ⊥∥∥，知LMPQ 为矩形．从而L ，M ，P ，Q 四点共圆，且圆心V 为PL 与QM 的交点．同理，MNQR 为矩形，从而L ，M ，N ，P ，Q ，R 六点共圆，且PL ，QM ，NR 均为这个 圆的直径．由90PDL QEM RFN ∠=∠=∠=︒，知D ，E ，F 三点也在这个圆上．故D ，E ，F ，L ，M ，N ，P ，Q ，R 九点共圆．证法2设ABC △的外心为O ，取OH 的中点并记为V ，连AO ，以V 为圆心，12AO 为半径作V ，如图71-．由12VP OA ∥，知P 在V 上．同理，Q ，R 也在V 上．由12OL AH ∥（可由延长AO 交ABC △的外接圆于K ，得HBKC 为平行四边形，此时L 为KH 的中点，则OL 为AKH △的中位线即得），知OL PH ∥．又OV VH =，知O L V H P V △△≌，从而1=2VL VP OA =，且L ，V ，P 共线，故L 在V 上． 同理，M ，N 在V 上．由L ，V ，P 共线知LP 为V 的一条直径．又90LDP ∠=︒，90MEQ ∠=︒，90NFR ∠=︒，知D ，E ，F 在V 上， 故D ，E ，F ，L ，M ，N ，P ，Q ，R 九点共圆．上述圆通常称为九点圆，也有人叫费尔巴哈圆或欧拉圆，显然，正三角形的九点圆即为其内切圆． 证法3由Rt Rt CBF ABD △∽△，有BC BABF BD=．注意到L 、N 分别为BC 、BA 的中点， 则BL BNBF BD=，即BL BD BF BN ⋅=⋅，这表明L 、D 、F 、N 四点共圆（或者联结NL 、DF ，则由BDF BAC BNL ∠=∠=∠知L 、D 、F 、N 四点共圆）．同理，L 、D 、E 、M 及E 、M 、F 、N 分别四点共圆．由戴维斯定理，即知L 、D 、E 、M 、F 、N 六点共圆于Γ．又Rt Rt CHD CBF △∽△，有C H C B CD C F =，注意R 、L 分别为CH 、CB 中点，则CR CLCD CF=，知R 、F 、L 、D 共圆，即点R 在圆Γ上．同理，点P 、Q 也在圆Γ上，故九点均在圆Γ上． 注戴维斯定理指的是：三角形每边所在直线有一对点（可以重合），若每两对点同在一个圆上，则三对点（六点）均在同一圆上．事实上，若所说三个圆不重合．则由根轴共点或平行推得三条边共点或平行，这是不可能的，所以三个圆非重合不可，特别地，三角形内切圆是其特殊情形． 由上述定理及其证明，我们可得如下一系列推论：推论1ABC △九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点，九点圆的半径是ABC △的外接圆半径的12． 注意到PQR △与ABC △是以垂心H 为外位似中心的位似形，位似比是12H P H A =∶∶，因此，可得 推论2三角形的九点圆与其外接圆是以三角形的垂心为外位似中心，位似比是12∶的位似形；垂心与三角形外接圆上任一点的连接线段被九点圆截成相等的两部分． 注意到欧拉定理（欧拉线），又可得推论3ABC △的外心O ，重心G ，九点圆圆心V ，垂心H ，这四点（心）共线，且12OG GH =∶∶，13GV VH =∶∶，或O 和V 对于G 和H 是调和共轭的，即OG OHGV HV=． 推论4ABC △的九点圆与ABC △的外接圆又是以ABC △的重心G 为内位似中心，位似比为12∶的位似形．事实上，因G 为两相似三角形LMN △与ABC △的相似中心，而LMN △的外接圆即ABC △的九点圆． 推论5一重心组的四个三角形有一个公共的九点圆；已知圆以已知点为垂心的所有内接三角形有共同的九点圆．【典型例题与基本方法】例1如图72-，设H 为ABC △的垂心，L 为BC 边的中点，P 为AH 的中点．过L 作PL 的垂线交AB 于G ，交AC 的延长线于K ．求证：G ，B ，K ，C 四点共圆．A证明设ABC △的外心为O ，连OH ，取OH 的中点V ， 则V 为ABC △九点圆的圆心．连AO ，则A O P V ∥，从而AO GK ⊥．设N 为AB 的中点，连ON ，则O N A G ⊥，由此知AON AGL ∠=∠．又ACL AON ∠=∠，则ACL AGL ∠=∠．从而BGL BGK KCL KCB ∠=∠=∠=∠．故B ，K ，C ，G 四点共圆． 例2试证：ABC △的垂心H 与其外接圆上的点的连线被其九点圆平分．证明如图73-，过垂心H 作ABC △外接圆的两条弦DE ，FG ，连DF ，EG ．E图7-3STG DAM HCN F B设M ，N ，S ，T 分别为HD ，HE ，HF ，HG 的中点，则 FDH SMH ∠=∠，EGH NTH ∠=∠． 又FDH EGH ∠=∠，则SMH NTH ∠=∠． 故M ，S ，T ，N 四点共圆，由DE ，FG 的任意性，得H 与ABC △外接圆上任意点连线的中点在同一圆上，由于这个圆过HA ，HB ，HC 的中点，故这个圆就是ABC △的九点圆，从而命题获证．例3如图74-，ABC △中，O 为外心，三条高AD ，BE ，CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N ．求证：（1）OB DF ⊥，OC DE ⊥；（2）OH MN ⊥． （2001年全国高中联赛题）AN证明（1）设ABC △的外接圆半径为R ，由相交弦定理，有 22R OF AF FB -=⋅，22R OD BD DC -=⋅，从而22OF OD BD DC AF FB -=⋅-⋅．由A ，F ，D ，C 四点共圆，有BD BC BF BA ⋅=⋅，即()()B D B D D C B F B F FA ⋅+=+，亦即2222B F B D B D D C A F F B O F O D -=⋅-⋅=-，故OB DF ⊥．同理，OC DE ⊥． （2）由九点圆定理的推论1，知OH 的中点V 为DEF △的外心．又由D ，E ，A ，B 及D ，F ，A ，C 分别四点共圆，有M D M E M B M A ⋅=⋅，ND NF NC NA ⋅=⋅．由此，即知M ，N 对ABC △的外接圆与DEF △的外接圆的幂相等，从而M ，N 在这两个外接圆的根轴上，即有MN OV ⊥，故MN OH =． 【解题思维策略分析】1．注意题中九点圆的显现形式例4如图75-，ABC △中，O 为外心，H 是垂心，作CHB △，CHA △和AHB △的外接圆，依次记它们的圆心为1A ，1B ，1C ，求证：111ABC A B C △△≌，且这两个三角形的九点圆重合．（IMO 31-预选题）图7-51证明由于()18090(90)180CHB B C B C A ∠=︒-︒-∠-︒-∠=∠+∠=︒-∠，知CHB △外接圆的半径和 CAB △外接圆的半径相等，从而，有1A 是O 关于BC 的对称点．设M 是BC 中点，则知2AH OM =，即1AH OA =．又1AH OA ∥，则连1AA 与OH 的交点K 为平行四边形1AHAO 的中心，即1AA 与OH 互相平分于K ． 同理，1BB ，1CC 也经过K 且被它平分，从而111A B C △与ABC △关于K 中心对称，故111A B C ABC △△≌．显然，K 是ABC △九点圆的圆心．因此，这个圆关于K 作中心对称时不变，它也是111A B C △的九点圆． 例5如图76-，在ABC △中，AD 是BC 边上的高，M ，N 分别是CA ，AB 两边的中点，设直线l 通过A 点，且BC 在l 上的射影为B C ''，连B N '与C M '交于点P ．求证：B '，C '，D ，P 四点共圆，且其圆心O 与P 点均在ABC △的九点圆上．P O NMDBAC '21l 图7-6B'C证明BB '，CC '，ND ，MD ．在Rt AB B '△中，N 为斜边AB 的中点，令1BAB '∠=∠，则1N BA'∠=∠． 同理，NAD NDA ∠=∠， MAD MDA ∠=∠．令2CAC '∠=∠，则2MC A '∠=∠． 于是，12NB A MC A ''∠+∠=∠+∠180A =︒-∠， 故()180MPN NB A MC A ''∠=︒-∠+∠180(180)A A =︒-︒-∠=∠NAD DAM NDA ADM MDN =∠+∠=∠+∠=∠．由此，知D ，M ，N ，P 四点共圆．而MND △的外接圆即为ABC △的九点圆，即点P 在ABC △的九点圆上． 由A ，B '，B ，D 四点共圆，连B D '，则知901B DA B BA ''∠=∠=︒-∠．同理，902C DA C CA ''∠=∠=︒-∠． 于是，18012B DC B DA C DA A MPN B PC ''''''∠=∠+∠=︒-∠-∠-∠=∠=∠， 故B '，C '，D ，P 四点共圆．由题设，B C DP '' 的圆心为O ，连DO ，PO ，则2DOP DB P '∠=∠． 由于A ，B '，B ，D 四点共圆且以N 为其圆心，则知NB ND '=． 于是，有2DNP DB P '∠=∠，DOP DNP ∴∠=∠，D ∴，O ，P ，N 四点共圆．O ∴在DPN 上，即O 在ABC △的九点圆上，故命题获证． 2．注意题中九点圆的隐含形式例6如图77-，锐角ABC △中，角A 的等分线与三角形的外接圆交于另一点1A ，点1B ，1C 与此类似．直线1AA 与B ，C 两角的外角等分线交于0A ，点0B ，0C 与此类似．求证：A 0A 1IC 0B 1C 1B 0图7-7C A（1）000A B C △的面积是六边形111AC BACB 面积的二倍；（2）000A B C △的面积至少是ABC △面积的四倍． （IMO 30-试题）证明（1）令ABC △的内心为I 000()I AA BB CC =∩∩．则I 又是000A B C △的垂心（内、外角平分线互相垂直）．显然，ABC △的外接圆是000A B C △的九点圆，即知1A ，1B ，1C 分别为0A I ，0B I ，0C I 的中点，于是得012A BI A BI S S =△△，012A CI A CI S S =△， 从而012A BIC A BIC S S =四边形四边形．同理，012B CIA B CIA S S =四边形四边形，012C AIB C AIB S S =四边形四边形， 故0001112A B C AC BA CB S S =六边形． （2）由（1），有()1110002=2A BC B CA C ABA B C ABCABCS S S S S S +++△△△△△△故只要证1111A BC B CA C ABABCS S S k S ++=△△△△≥．记2BAC α∠=，2ABC β∠=，2BCA γ∠=，则 ()12111sin 1802sin sin sin 2sin 21sin 2sin 2sin sin 2sin 2sin 22A BC ABCA B AC S S AB AC αααααγβαβγα⋅⋅︒-⋅⋅===⋅⋅⋅⋅⋅△△ 同理，12sin sin 2sin 2B CA ABCS S βαγ=⋅△△，1sin sin 2sin 2C AB ABC S S γαβ2=⋅△△． 于是，2222sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin sin 2sin 2k αβγβγαγαβ=++⋅⋅⋅()233cos cos cos 4αβγ-⋅⋅≥ 223cos cos cos 3cos 14343αβγαβγ--++++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥≥． 例7如图78-，123A A A △是一非等腰三角形，它的边长分别为以1a ，2a ，3a ，其中i a 是i A 的对边（123i =，，），i M 是边i a 的中点，123A A A △的内切圆I 切边i a 于i T 点，i S 是i T 关于i A ∠角平分线的对称点(123)i =，，．求证：11M S ，22M S ，33M S 三线共点． （IMO 23-试题）311图7-8证明由题设，知1221M M A A ∥，下面证1121S S A A ∥，由1T 和1S ，2T 和3T 分别关于直线1A I 对称，有 1231TT T S =． 同理， 1232TT T S =． 故有 3132T S T S =，即3T 是等腰312T S S △的顶点，有312T I S S ⊥，从而1221S S A A ∥． 同理，2332S S A A ∥，3113S S A A ∥．又1221M M A A ∥，2332M M A A ∥，3113M M A A ∥，于是123M M M △和123S S S △的对应边两两平行，故这两个三角形或全等或位似．由于123S S S △内接于ABC △的内切圆，而123M M M △内接于ABC △的九点圆，且123A A A △不为正三角形，故其内切圆与九点圆不重合，所以123S S S △与123M M M △位似，这就证明了11M S ，22M S ，32M S 共点（于位似中心）．例8过锐角ABC △的顶点A ，B ，C 的三条高线分别交其对边于点D ，E ，F ，过点D 平行于EF 的直线分别交AC ，AB 于点Q 和R ，EF 交BC 于点P ．证明：PQR △的外接圆过BC 的中点．（IMO 38-预选题）证明由题设，点P 的存在意味着AB AC ≠．由对称性，可设AB AC >，则P 在射线BC 上，如图79-．PLR DCFA EB图7-9取BC 的中点L ，我们证明Q ，P ，R ，L 四点共圆⇔DR DQ DP DL ⋅=⋅①因BE AC ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，则B ，C ，E ，F 共圆，于是知CEP ABC ∠=∠． 又EF QR ∥，有CEP CQD ∠=∠，则知B ，Q ，C ，R 四点共圆，从而DR DQ DB DC ⋅=⋅ 设BL CL a ==，CP c =，DL b =，则证①式等价于证明DB DC DP DL ⋅=⋅，即()()()a b a b a c b b +⋅-=+-⋅，亦即()2a b a c =+．由九点圆定理，知D ，E ，F ，L 四点共圆，有PE PF PD PL ⋅=⋅．注意到B ，C ，E ，F 四点共圆，有PE PF PC PB ⋅=⋅，故得PC PB PD PL ⋅=⋅，即 ()()()2c a c a c b b a +=+-⋅+，亦即()2a b a c =+．故有DB DC DP DL ⋅=⋅，亦有DR DQ DP DL ⋅=⋅．亦即Q ，P ，R ，L 四点共圆，即PQR △的外接圆过BC 的中点．注 由例8可演变得如下第8届台湾数学奥林匹克试题：己知过锐角ABC △的顶点A ，B ，C 的垂线分别交对边于D ，E ，F ，AB AC >，直线EF 交直线BC 于P ，过点D 且平行于EF 的直线分别交直线AC ，AB 于Q ，R ，N 是BC 上的一点，且180NQP NRP ∠+∠<︒．求证：BN CN >．事实上，同例8，取BC 的中点L ，关键是证明Q ，P ，R ，L 四点共圆，又等价地证明DR DQ DP DL ⋅=⋅．而当Q ，P ，R ，L 四点共圆时，180LQP LRP ∠+∠=︒，参见图79-，若180NQP NRP ∠+∠<︒，则N 点在QPRL 的内部，又因N 是BC 上的一点，则N 在点L 的右侧，于是BN CN >．【模拟实战】习题A1．试证：圆的直径两端点对ABC △的西姆松线垂直相交，且相交于此三角形的九点圆上．2．设G 为ABC △的重心，P 为ABC △外接圆上任一点，连PG 并延长至点Q ，使12PQ PG =．求证：点Q 在ABC △的九点圆上．3．试证：ABC △的九点圆与它的内切圆及三个旁切圆相切．4．给定非退化的ABC △，设外心为O ，垂心为H ，外接圆的半径为R ．求证：3OH R ．（1994年亚太地区奥林匹克题）5．试证：三角形的三个切圆（内切或旁切）的圆心构成一个三角形，此新三角形的外心对于已知三角形的外心为另外一个切圆圆心的对称点．习题B 1．设A I ，B I ，C I 分别为ABC △的切BC ，CA ，AB 边的旁切圆的圆心．试证：（1）A B C I I I △的九点圆为ABC △的外接圆；（2）过点A I ，B I ，C I 分别作BC ，CA ，AB 边的垂线，则这三条垂线共点． 2．试证：圆周上任意四点，过其中任意三点作三角形，则这四个三角形的九点圆的圆心共圆．第七章九点圆定理及应用习题A1．设P O P '是ABC △的外接圆(圆心为O )的直径，关于P 点的西姆松线为1l ，关于P '点的西姆松线为2l 因为1l 与2l 的交角可以12PP '度量，从而1l 与2l 的交角为直角．设H 为ABC △的垂心，则1l 和2l 分别经过PH ，PH'的中点Q ，Q '，而Q 和Q '在ABC △的九点圆上，H 点是三角形的九点圆和外接圆的外 位似中心，线段QQ '是线段PP '的位似图形，从而QQ '是九点圆的直径，故1l 与2l 的交点在ABC △的九点圆上．2．连AG 并延长交BC 于L ，则A 在ABC △的外接圆上，L 在ABC △的九点圆上，又G 是ABC △的外接圆与九点圆的内位似中心，且位似此为21∶．而21PG GQ =∶∶，且P 点在外接圆上，则Q 点必在九点圆上．3．设I ，O ，H ，V 分别为ABC △的内心、外心、垂心及九点圆圆心，R ，r ，ρ分别为ABC △外接圆、内切圆、九点圆的半径，A I ，A ρ分别为在BC 边外侧相切的旁切圆圆心和半径，则由心距公式，有222OI R Rr =-，2222IH r R ρ=-，224OH R R ρ=-．注意到V 为OH 的中点，由斯特瓦尔特定理的推论（即三角形中线长公式），有()2222222111242VI VI HI VH R Rr r R r ⎛⎫=+-=-+=- ⎪⎝⎭，即12VI R r =-．故九点圆与内切圆相内切．同理，222AA OI R R ρ=+，得22112A VI R ρ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即有112VI R ρ=-，故九点圆与此旁切圆相外切．同理，可证九点圆与其他两个旁切圆相外切．4．设G 是ABC △的重心，V 是九点圆的圆心，O 和V 对于G 和H 是共线且调和共轭的，考察以O 点为起点的向量，则33332OA OB OC OH OG OA OB OC ⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭．因此3OH OA OB OC R ++=≤ ，仅当A B C ==时等号成立，这是不可能的．故3OH R <．5．设O ，H 分别为ABC △的外心与垂心，I ，1I ，2I ，3I 分别为ABC △的内心和三个旁心，由于H ，A ，B ，C 构成一老垂心组（四点中，任一点是另三点构成的三角形的垂心，此四点为垂心组）；I 与1I ，2I ，3I 构成一新垂心组，又ABC △的外接圆是123I I I △的九点圆，从而123I I I △的外心O '是关于O的I 的对称点．其余以此类似地推证，从而新垂心组各点与老垂心组各点关于123I I I △的九点圆的圆心对称．习题B1．(1)设E ，F 分别是边BA 的延长线，CA 的延长线上的点，由旁心的定义，知A I A 平分BAC ∠，B I A 平分CAE ∠，C I A 平分BAF ∠．又BAF CAE ∠=∠，从而有B I ，A ，C I 三点共线，且A B C I A I I ⊥．同理，B A C I B I I ⊥，C A B I C I I ⊥．故ABC △为A B C I I I △的垂足三角形，故ABC △的外接圆即为A B C I I I △ 的九点圆．(2)设O '为A B C I I I △的外心，则()()11180180222B C B C B A C O I I I O I I I I ''∠=︒-∠︒-∠=．由A I ，C I ，A ，C 四点共圆，知B B A C I AC I I I ∠=∠，从而90B C B O I I I AC '∠+<∠=︒，即B I O AC '⊥． 同理，A I O BC '⊥，B I O BA '⊥．故三条垂线共点于O '．2．设11()A x y ，，22()B x y ，，33()C x y ，，44()D x y ，是单位圆上任意四点，则()2211234i i x y i +==，，，． 由九点圆圆心是三角形外心与垂心连线的中点，得△ABC ，△ABD ，△BCD ，△ACD 九点圆圆心坐标分别为1231231,22x x x y y y O ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭,1241242,22x x x y y y O ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭, 2342343,22x x x y y y O ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭,1341344,22x x x y y y O ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭． 考虑点12341234,22x x x x y y y y G ++++++⎛⎫⎪⎝⎭，则 12221234123123412312222x x x x x x x y y y y y y y O G ⎡⎤++++++++++⎛⎫⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=12=． 同理，23412O G O G O G ===故1O ，2O ，3O ，4O 在以G 力圆心，12为半径的圆上．。
浙江省浙教版九年级数学竞赛培优试卷 专题19 与圆有关的角
专题19 与圆有关的角阅读与思考与圆有关的角主要有圆心角、圆周角、弦切角.特别的，直径所对的圆周角是直角.圆内接四边形提供相等的角、互补的角，在理解与圆有关的角的概念时，要注意角的顶点与圆的位置关系、角的两边与圆的位置关系.角在解题中经常发挥重要的作用，是证明角平分线、两线平行、两线垂直，判定全等三角形、相似三角形的主要条件，而圆的特点又使角的互相转化具备了灵活多变的优越条件，是解题中最活跃的元素.熟悉以下基本图形和以上基本结论.例题与求解【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，则△CDE的面积为___________. （海南省竞赛题）例1题图例2题图解题思路：作DF⊥BC于F，需求出CE，DF的长.由AB为⊙O的直径作出相关辅助线.【例2】如图，△ABC内接于⊙O，M是BC的中点，AM交BC于点D，若AD＝3，DM＝1，则MB 的长是（）A．4 B．2 C．3 D． 3解题思路：图中隐含许多相等的角，利用比例线段计算.【例3】如图1，⊙O 中AB 是直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC ＝45°，等腰直角三角形DCE 中， ∠DCE 是直角，点D 在线段AC 上.(1) 证明：B ，C ，E 三点共线；(2) 若M 是线段BE 的中点，N 是线段AD 的中点，证明：MN ＝2OM ；(3) 将△DCE 绕点C 逆时针旋转α(0°＜α＜90°)后，记为△D 1CE 1(如图2).若M 1是线段BE 1的中点，N 1是线段AD 1的中点，M 1N 1＝2OM 1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由.解题思路：对于(2)，充分利用条件中的多个中点，探寻线段之间的数量关系与位置关系.【例4】如图所示，ABCD 为⊙O 的内接四边形，E 是BD 上的一点，∠BAE ＝∠DAC . 求证：(1)△ABE ∽△ACD ；(2) AB ·DC ＋AD ·BC ＝AC ·BD . （陕西省竞赛试题）解题思路：由(1)可类比猜想，为(2)非常规问题的证明铺平道路.【例5】如图1，已知⊙M 与x 轴交于点A ，D ，与y 轴正半轴交于点B ，C 是⊙M 上一点，且A （－2,0），B （0，4），AB ＝BC .(1) 求圆心M 的坐标；(2) 求四边形ABCD 的面积；(3) 如图2，过C 点作弦CF 交BD 于点E ，当BC ＝BE 时，求CF 的长.解题思路：作出基本辅助线（如连接BM 或AC ），这是解(1)、(2)的基础；对于(3)，由BC ＝BE ，得∠BEC ＝∠BCE ，连接AC ，将与圆无关的∠BEC 转化为与圆有关角，导出CF 平分∠ACD ，这是解题的关键.C OO D M 1E 1D 1ABNMA B C N 1图1 图2 O A D E【例6】如图，AB ，AC ，AD 是⊙O 中的三条弦，点E 在AD 上，且AB ＝AC ＝AE .求证：(1) ∠CAD ＝2∠DBE ；(2) AD 2－AB 2＝BD ·DC . （浙江省竞赛试题） 解题思路：对于（2），AD 2－AB 2＝(AD ＋AB )(AD －AB )＝ (AD ＋AE )(AD －AE )＝ (AD ＋AE ) ·DE ，需证(AD ＋AE ) ·DE ＝BD ·DC ，从构造相似三角形入手. 能力训练A 级1.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC ＝30°，点P 在线段OB 上运动.设∠ACP ＝x ，则x 的取值范围是________.2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，F 是CG 的中点，延长AF 交⊙O 于E ，CF ＝2，AF ＝3，则EF 的长为________.3.如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，它们相交于点P .连接AD ，BD ，已知AD ＝BD ＝4，PC ＝6，那么CD 的长为________.4.如图，圆内接四边形ABCD 中的两条对角线相交于点P ，已知AB ＝BC ，CD ＝12BD ＝1.设AD ＝x ，用x 的代数式表示PA 与PC 的积：PA ·PC ＝__________. （宁波市中考试题）5.如图，ADBC 是⊙O 的内接四边形，AB 为直径，BC ＝8，AC ＝6，CD 平分∠ACB ，则AD ＝( )A ．50B ．32C ．5 2D ．4 2第4题图 第5题图 第6题图6.如图，在△ABC 中，AD 是高，△ABC 的外接圆直径AE 交BC 边于点G ，有下列四个结论：①AD 2＝BD·CD；②BE2＝EG·AE；③AE·AD＝AB·AC；④AG·EG＝BG·CG.其中正确结论的个数是( ) A．1个B．2个C．3个D．4个（哈尔滨市中考试题）7.如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：①PA＝PB＋PC；②111AP PB PC=+；③PA·PE＝PB·PC.其中正确结论的个数是( ) （天津市中考试题）A．3个B．2个C．1个D．0个8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD，BC交于点M，延长AB，DC交于点N，∠M＝20°，∠N＝40°，则∠A的大小为（）A．35°B．60°C．65°D．70°第7题图第8题图第9题图9. 如图，已知⊙O的内接四边形ABCD中，AD＝CD，AC交BD于点E.求证：(1) AD DE BD AD=；(2) AD·CD－AE·EC＝DE2；（扬州市中考试题）10. 如图，已知四边形ABCD外接圆⊙O的半径为5，对角线AC与BD交于点E，且AB2＝AE•AC，BD＝8，求△ABD的面积. （黑龙江省中考试题）11. 如图，已知⊙O 的内接△ABC 中，AB ＋AC ＝12，AD ⊥BC 于D ，AD ＝3. 设⊙O 的半径为y ，AB 的长为x .(1) 求y 与x 之间的函数关系式；(2) 当AB 的长等于多少时，⊙O 的面积最大？并求出⊙O 的最大面积. （南京市中考试题）12. 如图，已知半圆⊙O 的直径AB ＝4，将一个三角板的直角顶点固定在圆心O 上.当三角板绕着O 点转动时，三角板的两条直角边与半圆周分别交于C ，D 两点，连接AD ，BC 交于点E .(1) 求证：△ACE ∽△BDE ；(2) 求证：BD ＝DE ；(3) 设BD ＝x ，求△AEC 的面积y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.（广东省中考试题）B 级1.如图，△ABC 内接于直径为d 的圆，设BC ＝a ，AC ＝b ，那么△ABC 的高CD ＝__________.2.如图，在平面直角坐标系中，△OCB 的外接圆与y 轴相交于点A （0，2），∠OCB ＝60°，∠COB ＝45°，则OC ＝__________.第1题图 第2题图 第3题图3.如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，设∠COD ＝α，则2sin 2AB AD ＝________.（江苏省竞赛试题）4.如图，已知圆内接四边形ABCD中，AD≠AB，∠DAB＝90°，对角线AC平分∠DAB.若AD＝a，AB＝b，则AC＝___________. （“东亚杯”竞赛试题）5.如图，ABCD是一个以AD为直径的圆内接四边形，AB＝5，PC＝4，分别延长AB和DC，它们相交于点P，若∠APD＝60°，则⊙O的面积为（）A．25πB．16πC．15πD．13π6. 如图，AB＝AC＝AD，若∠DAC是∠CAB的k倍（k为正数），那么∠DBC是∠BDC的（）A．k倍B．2k倍C．3k倍D．以上答案都不对第4题图第5题图第6题图7. 如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，AB＝AC，过A，D两点的圆与AB，AC分别相交于E，F，弦EF与AD相交于点G，则图中与△GDE相似的三角形的个数为( )A．5个B．4个C．3个D．2个8．如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，CD＝BD，∠C＝70°，现给出以；④CE·AB＝2BD2.其中正确结论的序号是( ) 下四个结论：①∠A＝45°；②AC＝AB；③AE BEA．①②B．②③C．②④D．③④（苏州市中考试题）第7题图第8题图第9题图9. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，E为DC边上一点，若AE∥BC, AE＝EC＝7，AB＝6.(1) 求AD的长；(2) 求BE的长. （绍兴市竞赛题）10.如图1，已知M （12， 32），以M 为圆心，MO 为半径的⊙M 分别交x 轴，y 轴于B ，A . (1) 求A ，B 两点的坐标;(2) C 是AO 上一点，若BC ＝3，试判断四边形ACOM 是何种特殊四边形，并说明理由;(3) 如图2，在(2)的条件下，P 是AB 上一动点，连接PA ，PB ，PC .当P 在AB 上运动时，求证：PA+PO PC的值是定值.11.如图，四边形ABCD 为正方形，⊙O 过正方形的顶点A 和对角线的交点P ，分别交AB ，AD 于点F ，E .(1) 求证：DE ＝AF ；(2) 若⊙O 的半径为32，AB ＝2＋1，求AE ED的值. （江苏省竞赛题）。
九年级数学竞赛讲座辅助圆附答案
【例题求解】【例1】如图，直线AB和AC与⊙O分别相切于B、C，P为圆上一点，P到AB、AC的距离分别为4cm、6cm，那么P到BC的距离为．(全国初中数学联赛题)思路点拨连DF，EF，寻找PD、PE、PF之间的关系，证明△PDF∽△PFE，而发现P、D、B、F与P、E、C、F分别共圆，突破角是解题的关键．注：圆具有丰富的性质：(1)圆的对称性；(2)等圆或同圆中不同名称量的转化；(3)与圆相关的角；(4)圆中比例线段．适当发现并添出辅助圆，就为圆的丰富性质的运用创造了条件，由于图形的复杂性，有时在图中并不需画出圆，可谓“图中无圆，心中有圆”．【例2】如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点P，且PB=4，PD=3，则AD·DC等于( ) A．6 B．7 C．12 D．16(“TI”杯全国初中数学竞赛题)思路点拨作出以P点为圆心、PA长为半径的圆，为相交弦定理的应用创设了条件．注：到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法．【例3】 如图，在△ABC 中，AB=AC ，任意延长CA 到P ，再延长AB 到Q ，使AP=BQ ，求证：△ABC 的外心O 与A ，P ，Q 四点共圆．思路点拨 先作出△ABC 的外心O ，连PO 、OQ ，将问题转化为证明角相等．【例4】 如图，P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，PBC 是⊙O 的割线，AD ⊥PO 于D ．求证：CDPCPD PB．思路点拨 因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定△PBD 与△PCD 相似证明．PA 2=PD ·PO=PB ·PC ，B 、C 、O 、D 共圆，这样连OB ，就得多对相似三角形，以此达到证明的目的．注：四点共圆既是一类问题，又是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和相似三角形有着同等重要的地位，这是因为，某四点共圆，不但与这四点相联系的条件集中或转移，而且可直接运．用圆的性质为解题服务．【例5】如图，在△ABC 中，高BE 、CF 相交于H ，且∠BHC=135°，G 为△ABC 内的一点，且GB=GC ，∠BGC ＝3∠A ，连结HG ，求证：HG 平分∠BHF ．思路点拨 经计算可得∠A=45°，△ABE ，△BFH 皆为等腰直角三角形，只需证∠GHB=∠GHF=22.5°． 由∠BGC=3∠A=135°=∠GHC ，得B 、G 、H 、C 四点共圆，运用圆中角转化灵活的特点证明．注：许多直线形问题借助辅助圆，常能降低问题的难度，使问题获得简解、巧解或新解．学力训练1．如图，正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989cm 2，P 为正方形内一点，且∠OPB=45°，PA ：PB=5：14，则PB 的长为 ．(北京市竞赛题)2．如图，在△ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有100个不同的点P l 、P 2，…P 100，记C P BP AP m i i i i ⋅+=2（i=1，2，…100），则10021m m m +++ = ．3．设△ABC 三边上的高分别为AD 、BE 、CF ，且其垂心H 不与任一顶点重合，则由点A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 中某四点可以确定的圆共有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个(2000年太原市竞赛题)4．如图，已知OA=OB=OC ，且∠AOB=k ∠BOC ，则∠ACB 是∠BAC 的( ) A ．k 21倍 B ．是k 倍 C ．k 2 D ．k15．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=998，CD=1001，AD=1999，点P 在线段AD 上，满足条件的∠BPC=90°的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2 1D ．不小于3的整数(全国初中数学联赛题)6．如图，AD 、BE 是锐角三角形的两条高，S △ABC = 18，S △DEC =2，则COSC 等于( ) A ．3 B ．31 C ． 32D ．437．如图；已知H 是△ABC 三条高的交点，连结DF ，DE ，EF ，求证：H 是△DEF 的内心． 8．如图，已知△ABC 中，AH 是高，AT 是角平分线，且TD ⊥AB ，TE ⊥AC ． 求证：(1)∠AHD=∠AHE ；(2)CECHBD BH =(陕西省竞赛题)9．如图，已知在凸四边形ABCDE 中，∠BAE=3α，BC=CD=DE ，且∠BCD=∠CDE=α2180- ．求证：∠BAC=∠CAD=∠DAK ，(全国初中数学联赛题)10．如图，P 是⊙O 外一点，PA 和PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，P O 与AB 交于点M ，过M 任作⊙O 的弦CD ．求证：∠CPO=∠DPO ．11．如图，已知点P 是⊙O 外一点，PS 、PT 是⊙O 的两条切线，过点P 作⊙O 的割线PAB ，交⊙O A 、B 两点，与ST 交于点C ．求证：)11(211PBPA PC += (国家理科实验班招生试题)参考答案。
【九年级】九年级数学竞赛直线与圆专题辅导讲座
【九年级】九年级数学竞赛直线与圆专题辅导讲座m注：点与圆的位置关系和线与圆的位置关系的确定有一种常用的精确判断方法，即定量方法（距离与半径的比较）。
我们称之为“按数成形”，毕达哥拉斯定理的逆定理也有这个特点【例题求解】【例1】如图所示，AB是半圆o的直径，CB切出⊙ o在B中，CD切割⊙ D中的o和E中交叉点BA的延长线。
如果EA=1，ED=2，则BC的长度为思路点拨从c点看，可用切线长定理，从e点看，可用切割线定理，而连od，则od⊥ec，又有相似三角形，先求出⊙o的半径．注：圆心与切点的连接是常用的辅助线。
利用切线的性质可以构造直角三角形，这在圆的证明和计算中被广泛使用【例2】如图，ab、ac与⊙o相切于b、c，∠a=50°，点p是圆上异于b、c的一个动点，则∠bpc的度数是()a、65°b.115°c.60°和115°d.130°和50°(山西省中考题)想法和建议【例3】如图，以等腰△a bc的一腰ab为直径的⊙o交bc于d，过d作de⊥ac于e，可得结论：de是⊙o的切线．Q：（1）如果点O移动到AB上的点B，则以O为中心，ob为半径的圆在D和de处的交点BC的条件⊥ AC保持不变，上述结论是否仍然有效？请解释原因；(2)如果ab=ac=5cm，sina=，那么圆心o在ab的什么位置时，⊙o与ac相切?(2001年黑龙江省中考题)[例4]如图所示，在RT中△ ABC，AC=5，BC=12，∠ ACB=90°，P是AB侧的移动点（与点a和b不重合），Q是BC侧的移动点（与点b和C不重合）(1)当pq∥ac，且q为bc的中点时，求线段pc的长；（2）当PQ与AC不平行时，can△ CPQ是直角三角形吗？如果可能，计算线段CQ长度的值范围；如果不可能，请解释原因思路点拨对于(2)，易发现只有点p能作为直角顶点，建立一个研究的模型――以cq为直径的圆与线段ab的交点就是符合要求的点p，从直线与圆相切特殊位置入手，以此确定cq的取值范围．注：判断直线的切线为圆是平面几何中的常见问题。
【九年级】九年级数学竞赛转化灵活的圆中角讲座
【九年级】九年级数学竞赛转化灵活的圆中角讲座【例题求解】[示例1]如图所示，直线AB和⊙ o在a点和B点相交，o点在AB点上，C点在AB点上⊙ o、及∠ AOC=40°，点E是直线AB上的一个移动点（与点o不重合），直线EC相交⊙ o在另一个点D，因此有de=do的正点思路点拨在直线ab上使de=do的动点e与⊙o有怎样的位置关系?通过角度计算确定e点的位置和数量，考虑三种情况：e点在AB上（e在⊙ o）在BA或ab的延长线上（E点在外侧⊙ o）注：弧是联系与圆有关的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促使与圆有关的角相互转化的基本方法．[例2]如图所示，已知△ ABC是等腰直角三角形，D是倾斜边BC的中点，以及⊙ o 通过点a和D分别在点e、F和m与边AB、AC和BC相交。
对于以下五个结论：① ∠ FMC=45°；②ae+af＝ab③；④2bm2=bf×ba⑤ 四边形aemf是矩形的。
正确结论的数量为（）a．2个b．3个c．4个d．5个思路，充分利用与圆相关的角度，找到特殊三角形、特殊四边形和相似三角形，并逐一验证注：多重选择单选化是近年出现的一种新题型，解这类问题，需把条件重组与整合，挖掘隐合条件，作深入的探究，方能作出小正确的选择．【例3】如图所示，已知外切曲面的半径⊙ 四边形ABCD的o为5，对角线AC和BD 的交点为e，AB2=AE×AC，BD=8，求出△ 阿布德思路点拨由条件出发，利用相似三角形、圆中角可推得a为弧bd中点，这是解本例的关键．【例4】如图所示，已知AB是⊙ o、 C是一个重点⊙ o、连接AC，并通过C点和CD点画一条直线⊥ D中的AB（AD）(1)求证：ac2=ag×af；（2）如果E点是ad上的任何点（a点除外），上述结论仍然有效吗？如果是，请画一个数字并加以证明；如果没有，请解释原因思路点拨(1)作出圆中常用辅助线证明△acg∽△afc；（2）在e点移动的情况下，要判断上述结论是否正确，关键是要根据主题的意义准确地绘制图形注：构造直径上90°的圆周角，是解与圆相关问题的常用辅助线，这样就为勾股定理的运用、相似三角形的判定创造了条件．【例5】如图所示，内接六边形ABCDEF满足AB=CD=EF，对角线ad、be和CF在点Q处相交。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第23讲 圆与圆
第二十三讲圆与圆圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有文档设计者：设计时间：文档类型：文库精品文档，欢迎下载使用。
Word精品文档，可以编辑修改，放心下载如下三种方法：1．通过两圆交点的个数确定；2．通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定；3．通过两圆的公切线的条数确定．为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、共切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线．熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】如图，⊙O l与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙O l经过圆心O2，作⊙O2的直径BC 交⊙O l于点D，EF为过点A的公切线，若O2D=22，那么∠BAF= 度．思路点拨直径、公切线、O2的特殊位置等，隐含丰富的信息，而连O2O l必过A点，先求出∠D O2A的度数．注：(1)两圆相切或相交时，公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线，它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通．同时，又是生成圆幂定理的重要因素．(2)涉及两圆位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质等构造直角三角形，将分散的条件集中，通过解直角三角形求解．【例2】如图，⊙O l与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB 与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O l 与⊙O2的半径之比为( )A．2：5 B．1：2 C．1：3 D．2：3思路点拨添加辅助线，要探求两半径之间的关系，必须求出∠CO l O2 (或∠DO2O l)的度数，为此需寻求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的关系．【例3】如图，已知⊙O l与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O l上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙O l于点N．(1)过点A作AE∥CN交⊙O l l于点E，求证：PA=PE；(2)连结PN，若PB=4，BC=2，求PN的长．思路点拨(1)连AB，充分运用与圆相关的角，证明∠PAE=∠PEA；(2)PB·PC=PD·PA，探寻PN、PD、PA对应三角形的联系．【例4】如图，两个同心圆的圆心是O，AB是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点D，连结OD并延长交大圆于点E，连结BE交AC于点F，已知AC=24，大、小两圆半径差为2．(1)求大圆半径长；(2)求线段BF的长；(3)求证：EC与过B、F、C三点的圆相切．思路点拨(1)设大圆半径为R，则小圆半径为R-2，建立R的方程；(2)证明△EBC∽△ECF；(3)过B、F、C三点的圆的圆心O′，必在BF上，连OˊC，证明∠O′CE=90°．注：本例以同心圆为背景，综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相似三角形等丰富的知识．作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键．【例5】 如图，AOB 是半径为1的单位圆的四分之一，半圆O 1的圆心O 1在OA 上，并与弧AB 内切于点A ，半圆O 2的圆心O 2在OB 上，并与弧AB 内切于点B ，半圆O 1与半圆O 2相切，设两半圆的半径之和为x ，面积之和为y ． (1)试建立以x 为自变量的函数y 的解析式； (2)求函数y 的最小值．思路点拨 设两圆半径分别为R 、r ，对于(1)，)(2122r R y +=π，通过变形把R 2+r 2用“x =R+r ”的代数式表示，作出基本辅助线；对于(2)，因x =R+r ，故是在约束条件下求y 的最小值，解题的关键是求出R+r 的取值范围．注：如图，半径分别为r 、R 的⊙O l 、⊙O 2外切于C ，AB ，CM 分别为两圆的公切线，O l O 2与AB 交于P 点，则： (1)AB=2r R ；(2) ∠ACB=∠O l M O 2=90°； (3)PC 2=PA ·PB ； (4)sinP=rR rR +-； (5)设C 到AB 的距离为d ，则dR r 211=+．学力训练1．已知：⊙O l 和⊙O 2交于A 、B 两点，且⊙O l 经过点O 2，若∠AO l B=90°，则∠A O 2B 的度数是 ．2．矩形ABCD 中，AB=5，BC=12，如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切，点D 在圆C 内，点B 在圆C 外，那么圆A 的半径r 的取值范围 ． (2003年上海市中考题)3．如图；⊙O l 、⊙O 2相交于点A 、B ，现给出4个命题：(1)若AC 是⊙O 2的切线且交⊙O l 于点C ，AD 是⊙O l 的切线且交⊙O 2于点D ，则AB 2=BC ·BD ；(2)连结AB 、O l O 2，若O l A=15cm ，O 2A=20cm ，AB=24cm ，则O l O 2=25cm ；(3)若CA 是⊙O l 的直径，DA 是⊙O 2 的一条非直径的弦，且点D 、B 不重合，则C 、B 、D 三点不在同一条直线上，(4)若过点A 作⊙O l 的切线交⊙O 2于点D ，直线DB 交⊙O l 于点C ，直线CA 交⊙O 2于点E ，连结DE ，则DE 2=DB ·DC ，则正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号) ．4．如图，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O l 与AB 切于点M ，设⊙O l 的半径为y ，AM 的长为x ，则y 与x 的函数关系是 ，自变量x 的取值范围是 ．5．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是( )A ．2B ．221+C ．231+D ．231+ 6．如图，已知⊙O l 、⊙O 2相交于A 、B 两点，且点O l 在⊙O 2上，过A 作⊙O l l 的切线AC交B O l 的延长线于点P ，交⊙O 2于点C ，BP 交⊙O l 于点D ，若PD=1，PA=5，则AC 的长为( )A ．5B ．52C ．52+D ．537．如图，⊙O l 和⊙O 2外切于A ，PA 是内公切线，BC 是外公切线，B 、C 是切点①PB=AB ；②∠PBA=∠PAB ；③△PAB ∽△O l AB ；④PB ·PC=O l A ·O 2A ． 上述结论，正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．两圆的半径分别是和r (R>r)，圆心距为d ，若关于x 的方程0)(222=-+-d R rx x 有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是( )A．一定内切B．一定外切C．相交D．内切或外切9．如图，⊙O l和⊙O2内切于点P，过点P的直线交⊙O l于点D，交⊙O2于点E，DA与⊙O2相切，切点为C．（1）求证：PC平分∠APD；(2)求证：PD·PA=PC2+AC·DC；(3)若PE=3，PA=6，求PC的长．10．如图，已知⊙O l和⊙O2外切于A，BC是⊙O l和⊙O2的公切线，切点为B、C，连结BA并延长交⊙O l于D，过D点作CB的平行线交⊙O2于E、F，求证：(1)CD是⊙O l的直径；(2)试判断线段BC、BE、BF的大小关系，并证明你的结论．11．如图，已知A是⊙O l、⊙O2的一个交点，点M是O l O2的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O l、⊙O2于B、C．(1)求证：AB=AC；(2)若O l A切⊙O2于点A，弦AB、AC的弦心距分别为d l、d2，求证：d l+d2=O1O2；(3)在(2)的条件下，若d l d2=1，设⊙O l、⊙O2的半径分别为R、r，求证：R2+r2= R2r2．12．已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为．13．如图，7根圆形筷子的横截面圆半径为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为．14．如图，⊙O l和⊙O2内切于点P，⊙O2的弦AB经过⊙O l的圆心O l，交⊙O l于C、D，若AC：CD：DB=3：4：2，则⊙O l与⊙O2的直径之比为( )A．2：7 B．2：5 C．2：3 D．1：315．如图，⊙O l与⊙O2相交，P是⊙O l上的一点，过P点作两圆的切线，则切线的条数可能是( )A．1，2 B．1，3 C．1，2，3 D．1，2，3，416．如图，相等两圆交于A、B两点，过B任作一直线交两圆于M、N，过M、N各引所在圆的切线相交于C，则四边形AMCN有下面关系成立( )A．有内切圆无外接圆B有外接圆无内切圆C．既有内切圆，也有外接圆D．以上情况都不对17．已知：如图，⊙O与相交于A，B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP及其延长线交⊙P P于点D，E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F．（1）求证：BC是⊙P的切线；(2)若CD=2，CB=22，求EF的长；(3)若k=PE：CE，是否存在实数k，使△PBD恰好是等边三角形?若存在，求出是的值；若不存在，请说明理由．18．如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为1，AB=4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．(1)若PC=PD，求PB的长；(2)试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4？，如果存在，问这样的P点有几个?并求出PB的值；如果不存在，说明理由；(3)当点F在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD．请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处(说明PB的长为多少，或PC、PD 具有何种关系)时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与OB的位置关系，证明你的结论．19．如图，D、E是△ABC边BC上的两点，F是BA延长线上一点，∠DAE=∠CAF．(1)判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；(2)若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长．20．问题：要将一块直径为2cm的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面．操作：方案一：在图甲中，设计一个使圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求，画示意图) ．方案二；在图乙中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求：画示意图)；，探究：(1)求方案一中圆锥底面的半径；(2)求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径；(3)设方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面的圆心为O1、O2，圆锥底面的圆心为O3，试判断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明．参考答案温馨提示After writing the test paper, you must remember to check Oh, I wish you all can achieve good results!可以编辑的试卷（可以删除）。
九年级数学第一轮复习 圆浙江版知识精讲
九年级数学第一轮复习圆某某版【本讲教育信息】一. 教学内容：第一轮复习圆二. 知识回顾：1. 圆的定义以及圆的轴对称性与旋转不变性。
2. 垂径定理，圆周角定理以及圆的切线。
3. 与圆的知识有关的证明与计算的一般思路。
【典型例题】例1 如图，△ABC内接于⊙O，OA为半径，AD⊥BC于D，求证：∠BAO=∠DAC。
解析：可考虑：∠DAC在Rt△ABC中，且与∠C互余，∴能否将∠BAO也放到一个直角三角形中，借助其他角之间的关系来证明结论，而构造Rt△的方法可以是过点O作AB的垂线，或者延长OA与⊙O相交。
1. 作OE⊥AB交⊙O于F∴⋂⋂=AB21AF∵∠C=⋂AB21，∴∠O=∠C∵AD⊥BC于D，∴∠AEO=∠ADC=︒90∴∠BAO=∠DAC。
2.延长AO交⊙O于G，连接BG，则∠G=∠C，∵AG为⊙O直径，∴∠ABG=︒90，∵AD⊥BC于D，∴∠ADC=︒90∴∠ABG=∠ADC∴∠BAO=∠DAC。
例2 △ABC内接于⊙O，H为△ABC的垂心，AD的延长线交⊙O于F，AP为⊙O的直径，连接PH 交BC 于G 。
求证：①DH=DF②PG=GH解析：①∵BD ⊥HF ，∴只有当DH=DF 时，BD 垂直平分HF ，∴连接BF ，只需证明BH=BF ，∴证 明∠BFH=∠BHF 即可。
②若点G 为PH 中点，则∵D 为HF 中点，∴只需连接PF ，证明DG ∥PF ，连接BF ，∵∠BFA=∠C ，H 为△ABC 的垂心，∴AH ⊥BC 于D ，BH ⊥AC 于E ，∴∠C+∠DHE=︒180，又∠BHF+∠DHE=︒180，∴∠BHF=∠C ，∴∠BFH=∠BHF 。
∴BH=BF∵HF ⊥BC 于D∴HD=DF再连接PF ，∵AP 为⊙O 直径，∴∠AFP=︒90，∴PF ∥DG又D 为HF 中点，∴G 为HP 中点，∴PG=GH例3 △ABC 内接于⊙O ，∠B=︒60，AD 为⊙O 直径，过D 作⊙O 的切线交AC 的延长线于E ，若CE=36，AB=2，求AC 、BC 的长。
九年级数学竞赛辅导系列讲座九圆练习(无答案)(2021年整理)
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数学竞赛辅导系列讲座九--圆1、如图，已知P 是边长为a 的正方形ABCD 内一点，△PBC 是等边三角形，则△PAD 的外接圆半径是（ ）A 、aB 、 2 aC 、错误!aD 、错误!a2、如图,在矩形ABCD 中，AB=3，BC=2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则Sin ∠CBE=（ )A 、，63B 、错误!C 、错误!D 、错误!3、如图，圆心在原点，半径为2的圆内有一点P(错误!,错误!），过P 点作弦AB 与劣弧AB 组成一个弓形,则该弓形面积的最小值为（ ）A 、π－1B 、π－2C 、错误!π－1D 、错误!π－错误!4、如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限,⊙P 与x 轴切与点Q ，与y 轴交于点M （0,2）,N(0，8），则点P 的坐标是（ ） A 、（5,3）B 、（3，5）C 、(5，4)D 、（4，5）5、在底面直径是2，母线长为4的圆锥，若一只小虫子以点A 出发，绕侧面一周又回到点A ，则它爬行的最短路线长是( ）A 、2πB 、 4错误!C 、4错误!D 、56、如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，则这条直线必经过这个三角形的（ ）A 、内心B 、外心C 、重心D 、垂心DACPDEYXAOP ByxN MOPQ7、如图，⊙O 与Rt △ABC 的斜边AB 切于点D ，与直角边AC 交于点E 且，DE ∥BC ，已知AE=2错误!，AC=3错误!，BC=6,则⊙O 的半径是（ )A 、3B 、4C 、4 3D 、2错误!8、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，联结DP ，DP 交AC 于点Q ，若QP=QO ，则错误!=（ ） A 、2错误!－1B 、2错误!C 、错误!+错误!D 、错误!+29、如图，AB 是半圆O 的直径,半圆O 的内接正方形CDEF 的边长为1，AD=m ，DB=n ，那么m nn m+的值为________．10、如图,AD 是半圆的直径，AD=4,B 、C 为半圆上的两点,弦AB=BC=1，则弦CD 的长为__________． 11、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P,则点P 到两圆的外公切线的距离为___________．12、如图，从⊙O 外一点M 作圆的切线MA ，切点为A ，再作割线MBC ，交⊙O 于B 、C 两点，∠AMC 的平分线交于AC 于E,交AB 于D ，则DB EC+的值等于______．13、如图，在△ABC ，AB=AC= 5 ,BC=2，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E,则△CDE 的面积为_______．CEOQBDO ACD FO A BC EBCDEBOAMCDOB EAO 2O 3O 4O 5O 114、已知O 为△ABC 的外心,AD 为BC 边上的高，∠CAB=66°，∠ABC=44°，则∠OAD=_________． 15、P 是⊙O 的直径AB 的延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，∠APC 的平分线交AC 于Q ，则∠PQC=_______．16、2008年8月8日，第29届奥运会在北京举行，奥运五环旗象征着全世界人民的大团结,五环旗中,五个大小相等的环形环环相扣，三个环在上，两个环在下，五个环的中心联结成一个等腰梯形，构成一个喜庆、和谐、优美的轴对称图形．如图，假设O 2O 4=a ，O 1O 5=2a,∠O 1= ，则等腰梯形O 1O 2O 4O 5的对角线O 1O 4的长为____________．17、如图，OB 是以(0，a ）为圆心，a 为半径的弦，过点B 作⊙O 1的切线，P 为劣弧OB 上的任一点，且过P 分别作OB 、AB 、AO 的垂线 (1)求证:PD 2=PE ·PF ；（2）当∠BOC=30°，点P 为弧OB 的中点时,求D 、E 、F 、P 四点坐标于S △DEF ．18、只用圆规，把一个已知圆的圆心四等分．19、如图，四边形ABCD 内接于圆，AB=AD,其对角线交于点E ，点F 在线段AC 上，使得∠BFC=∠BAD ，若∠BAD=2∠DFC ，求错误!的值．yxFDEAOO 1BP E DBF20、如图，已知AB 是⊙O 的弦，过O 作AB 的平行线交⊙O 于点C,交⊙O 过点B 的切线于D ，求证:∠ACB=∠D ．21、如图，AB 是半圆O 的直径，C 是弧AB 的中点，M 是弦AC 的中点，CH ⊥BM,垂足为H ，求证：CH 2=AH ·OH ．22、AB 是⊙O 的一条弦，它的中点为M ，过点M 作一条非直径的弦CD ，过点C 和D 做⊙O 的两条切线分别与直线交于P 、Q 两点，求证PA=QB ．23、如图，AB 是⊙O 的直径，AB=d,过点A 作⊙O 的切线并在其上取一点C ，使AC=AB ，联结OC 交⊙O 于D,BD 的延长线交AC 于E ，求AE ．DCOBAHMEDO A24、如图,P 为⊙O 外一点,过P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，过A 作PB 的平行线交⊙O 于点C ，联结PC 交⊙O 于点E ，联结AE 并延长AE 交PB 于K ，求证:PE ·AC=CE ·KB ．25、在半径为r 的⊙O 中，AB 为直径，C 为弧AB 的中点，D 为弧BC 的三分之一分点，且弧DB 的长度是弧CD 长的两倍，连结AD 并延长交⊙O 的切线CE 于点E （C 为切点),求AE 的长．27、在锐角△ABC ，中，AD ⊥BC ，D 为垂足,DE ⊥AC ，E 为垂足，DF ⊥A B ，F 为垂足，O 为△ABCKEAO B的外心，求证（1）△AEF ∽△ABC ； （2)AO ⊥EF ． 28、29。
九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十二讲关于圆的基本知识(含答案)
第十二讲关于圆的基本知识趣题引路】20世纪40年代美国数学家冯•诺伊曼等人编写了一本研究取胜对策的书.在这本书中有一个有趣的问题: 一只鼠在圆形的湖边碰上了猫，鼠连忙纵身跳到水里，猫不会游水，于是紧紧地盯住鼠，在湖边跟着鼠跑动，打算在鼠爬上岸时抓住它•已知猫奔跑的速度是鼠游水速度的2. 5倍.聪明的读者，你知道鼠怎样才能逃脱猫的追捕？解析如图12-1,鼠在点A碰上了猫，若鼠跳到湖里后径宜游到对岸点C；则猫从A到C要跑半个圆周，由于半圆长是直径的-^1.58（倍）＜2.5（倍），因此猫还是能抓住鼠，所以，鼠若要逃脱猫的追捕，就必须（原文是经字，好像不通）利用猫环湖跑动这一特点，跳下水以后先游到圆心O,看准猫当时所在的位垃如立刻转身朝着B对岸的点£＞游去，这时鼠要游的距离是半径OD,猫要跑的距离是半圆BCD,也就是OD的兀倍，兀〜3. 14＞2.5,所以当猫到点D时，鼠已经逃之夭夭了.图12-1知识延伸】圆是初中数学中重要的内容，圆的基本性质虽然比较简单但具有较强的适用性•确定圆的条件就是通过三个点找到圆心和半径，然后画图.弧、弦和直径的关系（垂径左理）是研究有关圆的知识的基础，垂径左理指的是：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧，立理的题设和结论共涉及5条：（1）过圆心；（2）垂直弦：（3）平分弦：（4）平分劣弧：（5）平分优弧.在这5条中只要2条成立，那么剩下3条也是成立的.这样理解和记忆垂径左理即揭示了定理中的条件和结论的内在联系.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，它具有旋转对称性，这是圆的最基本最重要的性质，是证明其他定理的工具.例两人轮流在一个圆桌上放同样大小的硬币.每人每次只能放一枚，且任何两枚硬币不能有重叠部分，谁先放完最后一枚使得对方再也找不到空地可以放下一枚硬币时，谁就获胜•问谁一左能获胜？他要想获胜，必须采取怎样的策略？解析先放的那个人一左能获胜，他首先在圆心放一枚硬币，然后不论对方怎样放一枚硬币，他都在对方放硬币的位宜关于圆心对称的位巻上再放一枚硬币，由于圆是关于圆心对称的图形，故只要对方有放硬币的地方，他就有放硬币的地方，可见最后胜利一左属于先放硬币的人.（下页提上来的，保持语段的完整性）点评几何中，（X，刃一（一X，—刃是以原点为对称中心的映射，这种映射叫做对称变换•圆是中心对称图形，先耙硬币放在圆桌的正中央，以后不管对方放在哪里，他下一步都把硬币放在对方硬币关于中心对称的地方，先放硬币的肯左获胜.例2 如图12-2, AABC中，周长AB+BC+AC=2・求证：ZEC —定能被一个直径为1的圆盖住.证明设A、D两点将zMBC周长分成相等的两部分，即AB+BD=AC+CD=\.似钢笔改动的录入）以AD的中点0为圆心，丄为半径画圆，它一立能盖住△ABC.这是因为在三角形中.一边上的中线小于2另两边和的一半，即OB<1（AB+BD）=1, OC<1（AC+CD）=1 ,2 2 2 2・・・B、C两点均在圆O内.而A2XAB+BD=1・：.OA<L，点 A 在<90 内，2即OO盖住了/XABC.点评这一问题典型地反映了覆盖问题的证明思路，第一部分是设计，第二部分是运用了一个熟知的结论证明（即三角形一边上的中线小于另两边和的一半）.从表面上看，是先设汁后证明，苴实，只有证明在胸, 才能得出设计.例3在美国的亚利桑那州，有一个巨大的右坑，它的直径1280m,深180m,据说它是在数千年以前, 一个巨大的陨石落到地上砸出来的•请你估算一下，这个巨大的陨石直径有多大？因此，(OC-DC)2+DB2=OB2.即（片180）2+（竺）2=妙2X2-360X+18024-6402=JI2,解得x= 1228m.这个巨大的陨石直径为2456m.点评有关弦、弦心距、半径、弓高的计算或涉及到弦、弦的中点的问题，通常是构造直角三角形或运用垂径立理.好题妙解】佳题新题品味例1已知如图12-4, AB为00的弦，OC丄于C,问O C+AC何时取最大值?S12-4解析连04、0B,过A作AD丄OB于D,设0A = OB=R, ZAOB=a,则AD=0A• s in a=R• sin a.S DAOB=—AD • OB2= -R• Rsin a= 1 /?2sin a,2 2（OC+ACgOG+AU+LAO OC=OA2^2S AAOH=/?2+/?2sin a.当“=90°时，sin 有最大值1,即（OC+AC）有最大值2疋，因而，当ZAOB=90° , OC+AC取得最大值R.点评一般地，最大、最小值常在某个特殊点取得，经试验后猜测，点A运动到和圆心的连线垂直于OB 时，OC+AC 取得最大值.例2 一条60m宽的河上架有一座半径为55m的圆弧形拱桥，请问一顶部宽12m且高出水而8m的船能否通过此桥，请说明理由.E@12-5解析假左该船恰能通过桥时，桥的半径为/?，如图12-5, 表示水而宽，EF为船宽，MP为船顶到水面AB的距离，设O P=x(O为圆心)，依题意得，在RtZkOBP中，R2=302+F,①在RtAOEM中，用=(8+X)2+62,②①、②求得 /?= 10^34 >55,即船恰能通过时，桥的半径为10炉m,但现在桥的半径为55m,所以该船不能通过此桥.点评可先假定该船恰能通过桥，则12m宽的船顶为圆弧形拱桥的一弦，作出垂径和一条过该弦端点的半径，运用垂径左理及勾股立理求出这条半径/?，就能解决此问题.中考真题欣赏例1 (重庆市中考题)如图12-6, AM是00的直径，过00上一点B作BN丄AM,垂足为N,其延长线交OO于点C,弦CD交AM于点E(1)如果CD丄/W,求证：EN=NW(2)如果弦CD交AB于点F,且CD=AB,求证：C&=EF・ED；(3)如果弦CD、AB的延长线(根据网上2002年重庆中考数学试题添加，后而的解答也是这个意思)交于点F,且CD=AB.那么(2)的结论是否仍成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.图12』证明(1)连结BW 9：AM是直径，•••ZABM=90°・•: CD丄AB, :.BM〃CD A ZECN=ZMBN.9：AM丄BC,:・CN=BN.ARtACE/V^RtABM/V,:・EN=NM・(2)连结BD, BE、AC.•••点E是BC垂直平分线AM上一点,:.BE=EC.I CD=AB9 :. CD =AB , :. AD =BC , ••• ZACD=ZBDC.9：AB=AC, AE=AE. :.AABE^AACE,:・ZABE=ZACD=ZBDC, ZBED是公共角，•••△BEDs△FEB,—EF BE:.BE2=EF • ED. :.CE2=EF • ED.(3)结论成立证明如图12-7仿⑵可证ZBEQ'ACE、:・BE=CE, ZABE= ZACE.•••AB=CD, :. ZACB=ZDBC:.BD//AC. ZBDE+ZACE=180°=ZFBE+ZABE,:・ZBDE=ZFBE, ZBED是公共角，•••△BEDs&EB, A—=—EF EB:.BE^EF • ED、:.CE2=EF • ED.点评本题利用直径AM垂直BC和弦CD=AB这两个条件，得到弧相等，角相等，再利用三角形全等, 相似来解决问题.例2 (黄冈市中考题)已知，如图12-8, C为半圆上一点，AC =CE ,过点C作直径AB的垂线QP, P为垂足，弦AE分别交PC, CB于点D, F.(1)求证：AD=CD；气2(2)若DF=二，tanZ£C5=- > 求的长.4 4cE@12-7证明（1）连结人（7, V AC =CE , :.ZCEA = ZCAE.9： ZCEA=ZCBA, •••ZCBA=ZCAE・VAB是直径，A ZACB=90°・•:CP丄AB, :.ZCBA=ZACP・:.ZCAE= ZACP,:・AD=CD・⑵解析：ZACB=90° , ZCAE=ZACP.:.ZDCF=ZCFD. ：・AD=CD=DF=-・4••• ZECB= ZDAP. tanZEC5=-,4DP 3A tan ZDAP=一 =-PA 49：OP2+PA2=DA2, :.DP= - , PA=1, CP=2・4A ZAC5=90° , CP丄AB.:.'APCs'CPB, , APB=4.PC PB点评（1）利用AC =CE ,把圆周角，互余的角联系起来，从而解决问题.⑵利用RtAACF和ZACP=ZCAD这两个条件得到CD=DF,再转化ZECB为ZDAP,问题便迎刃而解.竞赛样题展示例(2000年“鲁中杯”绍兴四市、县初中数学联赛试题)已知如图12-9,在以O为圆心的圆中，弦CD 垂直于直径AB,垂足为H,弦BE与半径OC相交于点F,且OF=FC,弦DE与弦AC相交于点G.(1)求证：AG=GCx⑵若AG=* , AH:AB=\:3,求△CDG的面积与△BOF的而积.证明(1)连结AD. 9：AB 是直径，AB 丄CD ••• BC =BD , ••• ZCAB=ZDAB. :. ZDAG=2ZCAB.V ZBOF= ZCAB+ZOCA ,又9： ZCAB=ZOCA, :.ZB0F=2ZCAB, :. ZBOF= ZDAG.OBFs 厶DAG ,故竺=21•••ZOBF=ZADG,:仏r)A | •：0B=0C=20F, 9：AC=2AG,即 AG=GC.(2)解析 连结 BC, A ZBCA=90° ,又••'CH 丄AB, :.A^AH - AB ・• •AH— — X AB= — X 6=2・ 3 3CH = J AC —AH 丄=J (2®-22 = 2迈.:.S^ACD =丄 CD • AH= - X4x/2 X2= 4迈.・・・AG=CG,：皿心沁=尹心= 由•: HBOF S HDAG点评 由垂径左理处BC =BD ,从而得到孤所对的圆周角相等，将已始与未知之间的关系联系起来，再通过三角形相似、射影定理等解决问题.OF AGAG 2團 12-9过关检测】4级1 •如图12-10, 00的直径AB和弦CD相交于点& 已知AE=\ cm. EB=5 cm, ZDEB=60c,,求仞的长.2•如图12-11,公园里大观览车半径为25m,已知观览车绕圆心O顺时针匀速转动，旋转一周用12mim 某人从观览车的最低处（地面A处）乘车，问经过4min后，此人距地而CD的髙度是多少米？（观览车最低处距地而的髙度忽略不讣）3•如图12-12, AB是OO的直径，P是OA上一点,C是00上一点，求证:D4•已知AB是00的直径，M是OA上的点，弦P0经过点M,且PM=M0•求证：3AP =B（）.5.如图12-13, 一根木棒(AB )长为么“斜靠在与地而(0M)垂直的墙壁(ON)上，与地而的倾角为60° , 若木棒A端沿NO下滑，B端沿OM向右滑行，于是木棒的中点P也随之运动.已知A端下滑到A'时，Af =(筋-血)心则中点P随之运动的路线有多长？6.当湖泊结冰时，有一只球浮在湖而上，将球取岀后在冰上留下一个球形凹洞，深8cm,洞口直径为24cm, 球的半径是多少厘米？B级1・已知点P到00的最小距藹为4cm,最大距离为8cm,求00的半径.2 •如图12-14,已知00的直径为4cm, M是劣弧AB的中点，从M作弦且MN=2苗cm, MN、AB交于点P,求ZAPM的度数.3•已知OO的半径为乩C、D是直径AB同侧圆周上的两点，AC的度数为96° , BD的度数为36。
中考数学总复习 专题九 圆提能训练课件
③如图Z9-2，DF 交 BC 于点 G， 由②可得DN＝NA，△DNQ≌△CGQ. ∴DQ＝QC.∴△DNQ 周长DN＋NQ＋QD＝AN＋NQ＋QC ＝AC.故③正确． ④∵NQ＝ 23DQ＝ 23QC，故④错误．
答案：①②③ 图 Z9-2
名师点评：本题以圆内接等边三角形的旋转操作为手段， 在具体操作情境中酝酿、发现与探究圆的有关性质、计算，借 助与圆有关的角及旋转不变性探究有关线段、角、三角形全等、 大小(周长、面积)的变与不变的关系，进而考查同学们的动手 操作能力几何图形的空间想象能力及逻辑推理能力．
∵在正方形ABCD 中，DA⊥AB， ∴O，A，B三点在同一直线上． 方法一，∵E，A，D三点在同一直线上， ∴EA⊥OB. ∵∠OEB＝90°，∴∠OEB＝∠EAO. 又∵∠EOB＝∠AOE，∴△EOA∽△BOE. ∴OOAE＝OOEB.∴OE2＝OA·OB.∴OA(2＋OA)＝4， 解得 OA＝－1± 5.∵OA＞0，∴OA＝ 5－1.
解析：①DF 是 AC 旋转 30°后的位置， ∴∠DQN＝30°.故①正确． ②如图 Z9-2，连接 OB，OE，OA，DA， ∴∠BOE＝30°，∠AOB＝120°. ∴∠AOE＝90°.∴∠ADE＝45°. ∵∠DQN＝30°，∠EDQ＝60°， ∴∠DNQ＝90°.∴∠AND＝90°. ∴∠NAD＝45°.∴AN＝DN. 又∵∠MAN＝∠QDN＝60°，∠ANM＝∠DNQ， ∴△DNQ≌△ANM.故②正确．
△COD 的面积，依然不变，与△AOB 的面积相等．
(1)证明：∵∠AOB＝90°，且∠AOB 是⊙P 中弦AB 所对
的圆周角，∴AB 是⊙P 的直径．
(2)解：设点 P 的坐标为(m，n)(m＞0，n＞0)，
∵点P是反比例函数y＝1—x2(x＞0)图象上一点，
初中数学竞赛专题-第七章九点圆定理及应用
第七章九点圆定理及应用【基础知识】九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点,以及垂心与顶点的三条连接线段的中点,这九点共圆． 如图7-1,设ABC △三条高AD ,BE ,CF 的垂足分别为D ,E ,F ；三边BC ,CA ,AB 的中点分别为L ,M ,N ；又AH ,BH ,CH 的中点分别为P ,Q ,R ．求证：D ,E ,F ,L ,M ,N ,P ,Q ,R 九点共圆．证法1连PQ ,QL ,LM ,MP ,则知12LM BA QP ∥∥,即知LMPQ 为平行四边形．又LQ CH BP LM ⊥∥∥,知LMPQ 为矩形．从而L ,M ,P ,Q 四点共圆,且圆心V 为PL 与QM 的交点．同理,MNQR 为矩形,从而L ,M ,N ,P ,Q ,R 六点共圆,且PL ,QM ,NR 均为这个圆的直径．由90PDL QEM RFN ∠=∠=∠=︒,知D ,E ,F 三点也在这个圆上．故D ,E ,F ,L ,M ,N ,P ,Q ,R 九点共圆．证法2设ABC △的外心为O ,取OH 的中点并记为V ,连AO ,以V 为圆心,12AO 为半径作V ,如图71-．由12VP OA ∥,知P 在V 上．同理,Q ,R 也在V 上．由12OL AH ∥（可由延长AO 交ABC △的外接圆于K ,得HBKC 为平行四边形,此时L 为KH 的中点,则OL 为AKH △的中位线即得）,知OL PH ∥．又OV VH =,知OLV HPV △△≌,从而1=2VL VP OA =,且L ,V ,P 共线,故L 在V 上． 同理,M ,N 在V 上．由L ,V ,P 共线知LP 为V 的一条直径．又90LDP ∠=︒,90MEQ ∠=︒,90NFR ∠=︒,知D ,E ,F 在V 上, 故D ,E ,F ,L ,M ,N ,P ,Q ,R 九点共圆．上述圆通常称为九点圆,也有人叫费尔巴哈圆或欧拉圆,显然,正三角形的九点圆即为其内切圆． 证法3由Rt Rt CBF ABD △∽△,有BC BABF BD=．注意到L 、N 分别为BC 、BA 的中点, 则BL BNBF BD=,即BL BD BF BN ⋅=⋅,这表明L 、D 、F 、N 四点共圆（或者联结NL 、DF ,则由BDF BAC BNL ∠=∠=∠知L 、D 、F 、N 四点共圆）．同理,L 、D 、E 、M 及E 、M 、F 、N 分别四点共圆．由戴维斯定理,即知L 、D 、E 、M 、F 、N 六点共圆于Γ．又Rt Rt CHD CBF △∽△,有CH CB CD CF =,注意R 、L 分别为CH 、CB 中点,则CR CLCD CF=,知R 、F 、L 、D 共圆,即点R 在圆Γ上．同理,点P 、Q 也在圆Γ上,故九点均在圆Γ上．注戴维斯定理指的是：三角形每边所在直线有一对点（可以重合）,若每两对点同在一个圆上,则三对点（六点）均在同一圆上． 事实上,若所说三个圆不重合．则由根轴共点或平行推得三条边共点或平行,这是不可能的,所以三个圆非重合不可,特别地,三角形内切圆是其特殊情形． 由上述定理及其证明,我们可得如下一系列推论：推论1ABC △九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点,九点圆的半径是ABC △的外接圆半径的12． 注意到PQR △与ABC △是以垂心H 为外位似中心的位似形,位似比是12H P H A =∶∶,因此,可得 推论2三角形的九点圆与其外接圆是以三角形的垂心为外位似中心,位似比是12∶的位似形；垂心与三角形外接圆上任一点的连接线段被九点圆截成相等的两部分． 注意到欧拉定理（欧拉线）,又可得推论3ABC △的外心O ,重心G ,九点圆圆心V ,垂心H ,这四点（心）共线,且12OG GH =∶∶,13GV VH =∶∶,或O 和V 对于G 和H 是调和共轭的,即OG OHGV HV=． 推论4ABC △的九点圆与ABC △的外接圆又是以ABC △的重心G 为内位似中心,位似比为12∶的位似形．事实上,因G 为两相似三角形LMN △与ABC △的相似中心,而LMN △的外接圆即ABC △的九点圆． 推论5一重心组的四个三角形有一个公共的九点圆；已知圆以已知点为垂心的所有内接三角形有共同的九点圆．【典型例题与基本方法】例1如图72-,设H 为ABC △的垂心,L 为BC 边的中点,P 为AH 的中点．过L 作PL 的垂线交AB 于G ,交AC 的延长线于K ．求证：G ,B ,K ,C 四点共圆．A证明设ABC △的外心为O ,连OH ,取OH 的中点V , 则V 为ABC △九点圆的圆心．连AO ,则AO PV ∥,从而AO GK ⊥．设N 为AB 的中点,连ON ,则ON AG ⊥,由此知AON AGL ∠=∠． 又ACL AON ∠=∠,则ACL AGL ∠=∠．从而BGL BGK KCL KCB ∠=∠=∠=∠．故B ,K ,C ,G 四点共圆．例2试证：ABC △的垂心H 与其外接圆上的点的连线被其九点圆平分． 证明如图73-,过垂心H 作ABC △外接圆的两条弦DE ,FG ,连DF ,EG ．E图7-3STG DAM HCN F B设M ,N ,S ,T 分别为HD ,HE ,HF ,HG 的中点,则 FDH SMH ∠=∠,EGH NTH ∠=∠． 又FDH EGH ∠=∠,则SMH NTH ∠=∠． 故M ,S ,T ,N 四点共圆,由DE ,FG 的任意性,得H 与ABC △外接圆上任意点连线的中点在同一圆上,由于这个圆过HA ,HB ,HC 的中点,故这个圆就是ABC △的九点圆,从而命题获证．例3如图74-,ABC △中,O 为外心,三条高AD ,BE ,CF 交于点H ,直线ED 和AB 交于点M ,FD 和AC 交于点N ．求证：（1）OB DF ⊥,OC DE ⊥；（2）OH MN ⊥．（2001年全国高中联赛题）A证明（1）设ABC △的外接圆半径为R ,由相交弦定理,有 22R OF AF FB -=⋅,22R OD BD DC -=⋅,从而22OF OD BD DC AF FB -=⋅-⋅．由A ,F ,D ,C 四点共圆,有BD BC BF BA ⋅=⋅,即()()BD BD DC BF BF FA ⋅+=+,亦即2222BF BD BD DC AF FB OF OD -=⋅-⋅=-,故OB DF ⊥．同理,OC DE ⊥．（2）由九点圆定理的推论1,知OH 的中点V 为DEF △的外心．又由D ,E ,A ,B 及D ,F ,A ,C 分别四点共圆,有M D M E M B M A ⋅=⋅,ND NF NC NA ⋅=⋅．由此,即知M ,N 对ABC △的外接圆与DEF △的外接圆的幂相等,从而M ,N 在这两个外接圆的根轴上,即有MN OV ⊥,故MN OH =． 【解题思维策略分析】1．注意题中九点圆的显现形式例4如图75-,ABC △中,O 为外心,H 是垂心,作CHB △,CHA △和AHB △的外接圆,依次记它们的圆心为1A ,1B ,1C ,求证：111ABC A B C △△≌,且这两个三角形的九点圆重合．（IMO 31-预选题）图7-5M HK OAB A 1B 1C 1C证明由于()18090(90)180CHB B C B C A ∠=︒-︒-∠-︒-∠=∠+∠=︒-∠,知CHB △外接圆的半径和 CAB △外接圆的半径相等,从而,有1A 是O 关于BC 的对称点．设M 是BC 中点,则知2AH OM =,即1AH OA =．又1AH OA ∥,则连1AA 与OH 的交点K 为平行四边形1AHAO 的中心,即1AA 与OH 互相平分于K ． 同理,1BB ,1CC 也经过K 且被它平分,从而111A B C △与ABC △关于K 中心对称,故111A B C ABC △△≌． 显然,K 是ABC △九点圆的圆心．因此,这个圆关于K 作中心对称时不变,它也是111A B C △的九点圆． 例5如图76-,在ABC △中,AD 是BC 边上的高,M ,N 分别是CA ,AB 两边的中点,设直线l 通过A 点,且BC 在l 上的射影为B C '',连B N '与C M '交于点P ．求证：B ',C ',D ,P 四点共圆,且其圆心O 与P 点均在ABC △的九点圆上．P O NMDBAC '21l 图7-6B'C证明BB ',CC ',ND ,MD ．在Rt AB B '△中,N 为斜边AB 的中点,令1BAB '∠=∠,则1NB A '∠=∠． 同理,NAD NDA ∠=∠, MAD MDA ∠=∠．令2CAC '∠=∠,则2MC A '∠=∠．于是,12NB A MC A ''∠+∠=∠+∠180A =︒-∠, 故()180MPN NB A MC A ''∠=︒-∠+∠180(180)A A =︒-︒-∠=∠NAD DAM NDA ADM MDN =∠+∠=∠+∠=∠．由此,知D ,M ,N ,P 四点共圆．而MND △的外接圆即为ABC △的九点圆,即点P 在ABC △的九点圆上． 由A ,B ',B ,D 四点共圆,连B D ',则知901B DA B BA ''∠=∠=︒-∠．同理,902C DA C CA ''∠=∠=︒-∠． 于是,18012B DC B DA C DA A MPN B PC ''''''∠=∠+∠=︒-∠-∠-∠=∠=∠, 故B ',C ',D ,P 四点共圆．由题设,B C DP ''的圆心为O ,连DO ,PO ,则2DOP DB P '∠=∠． 由于A ,B ',B ,D 四点共圆且以N 为其圆心,则知NB ND '=． 于是,有2DNP DB P '∠=∠,DOP DNP ∴∠=∠,D ∴,O ,P ,N 四点共圆．O ∴在DPN 上,即O 在ABC △的九点圆上,故命题获证． 2．注意题中九点圆的隐含形式例6如图77-,锐角ABC △中,角A 的等分线与三角形的外接圆交于另一点1A ,点1B ,1C 与此类似．直线1AA 与B ,C 两角的外角等分线交于0A ,点0B ,0C 与此类似．求证：A 0A 1IC 0B 1C 1B 0图7-7C AB（1）000A B C △的面积是六边形111AC BACB 面积的二倍；（2）000A B C △的面积至少是ABC △面积的四倍． （IMO 30-试题）证明（1）令ABC △的内心为I 000()I AA BB CC =∩∩．则I 又是000A B C △的垂心（内、外角平分线互相垂直）．显然,ABC △的外接圆是000A B C △的九点圆,即知1A ,1B ,1C 分别为0A I ,0B I ,0C I 的中点,于是得012A BI A BI S S =△△,012A CI A CI S S =△, 从而012A BIC A BIC S S =四边形四边形．同理,012B CIA B CIA S S =四边形四边形,012C AIB C AIB S S =四边形四边形, 故0001112A B C AC BA CB S S =六边形． （2）由（1）,有()1110002=2A BC B CA C ABA B C ABCABCS S S S S S +++△△△△△△故只要证1111A BC B CA C ABABCS S S k S ++=△△△△≥．记2BAC α∠=,2ABC β∠=,2BCA γ∠=,则 ()12111sin 1802sin sin sin 2sin 21sin 2sin 2sin sin 2sin 2sin 22A BC ABCA B AC S S AB AC αααααγβαβγα⋅⋅︒-⋅⋅===⋅⋅⋅⋅⋅△△ 同理,12sin sin 2sin 2B CA ABCS S βαγ=⋅△△,1sin sin 2sin 2C AB ABC S S γαβ2=⋅△△． 于是,2222sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin sin 2sin 2k αβγβγαγαβ=++⋅⋅⋅()233cos cos cos 4αβγ-⋅⋅≥ 223cos cos cos 3cos 14343αβγαβγ--++++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥≥． 例7如图78-,123A A A △是一非等腰三角形,它的边长分别为以1a ,2a ,3a ,其中i a 是i A 的对边（123i =，，）,i M 是边i a 的中点,123A A A △的内切圆I 切边i a 于i T 点,i S 是i T 关于i A ∠角平分线的对称点(123)i =，，．求证：11M S ,22M S ,33M S 三线共点．（IMO 23-试题）311图7-8证明由题设,知1221M M A A ∥,下面证1121S S A A ∥, 由1T 和1S ,2T 和3T 分别关于直线1A I 对称,有1231TT T S =． 同理,1232TT T S =．故有3132T S T S =,即3T 是等腰312T S S △的顶点,有312T I S S ⊥,从而1221S S A A ∥． 同理,2332S S A A ∥,3113S S A A ∥．又1221M M A A ∥,2332M M A A ∥,3113M M A A ∥,于是123M M M △和123S S S △的对应边两两平行,故这两个三角形或全等或位似．由于123S S S △内接于ABC △的内切圆,而123M M M △内接于ABC △的九点圆,且123A A A △不为正三角形,故其内切圆与九点圆不重合,所以123S S S △与123M M M △位似,这就证明了11M S ,22M S ,32M S 共点（于位似中心）．例8过锐角ABC △的顶点A ,B ,C 的三条高线分别交其对边于点D ,E ,F ,过点D 平行于EF 的直线分别交AC ,AB 于点Q 和R ,EF 交BC 于点P ．证明：PQR △的外接圆过BC 的中点．（IMO 38-预选题）证明由题设,点P 的存在意味着AB AC ≠．由对称性,可设AB AC >,则P 在射线BC 上,如图79-．PQLR DCFA EB图7-9取BC 的中点L ,我们证明Q ,P ,R ,L 四点共圆⇔DR DQ DP DL ⋅=⋅①因BE AC ⊥于E ,CF AB ⊥于F ,则B ,C ,E ,F 共圆,于是知CEP ABC ∠=∠． 又EF QR ∥,有CEP CQD ∠=∠,则知B ,Q ,C ,R 四点共圆,从而DR DQ DB DC ⋅=⋅ 设BL CL a ==,CP c =,DL b =,则证①式等价于证明DB DC DP DL ⋅=⋅,即()()()a b a b a c b b +⋅-=+-⋅,亦即()2a b a c =+．由九点圆定理,知D ,E ,F ,L 四点共圆,有PE PF PD PL ⋅=⋅．注意到B ,C ,E ,F 四点共圆,有PE PF PC PB ⋅=⋅,故得PC PB PD PL ⋅=⋅,即 ()()()2c a c a c b b a +=+-⋅+,亦即()2a b a c =+．故有DB DC DP DL ⋅=⋅,亦有DR DQ DP DL ⋅=⋅．亦即Q ,P ,R ,L 四点共圆,即PQR △的外接圆过BC 的中点．注 由例8可演变得如下第8届台湾数学奥林匹克试题：己知过锐角ABC △的顶点A ,B ,C 的垂线分别交对边于D ,E ,F ,AB AC >,直线EF 交直线BC 于P ,过点D 且平行于EF 的直线分别交直线AC ,AB 于Q ,R ,N 是BC 上的一点,且180NQP NRP ∠+∠<︒．求证：BN CN >．事实上,同例8,取BC 的中点L ,关键是证明Q ,P ,R ,L 四点共圆,又等价地证明DR DQ DP DL ⋅=⋅．而当Q ,P ,R ,L 四点共圆时,180LQP LRP ∠+∠=︒,参见图79-,若180NQP NRP ∠+∠<︒,则N 点在QPRL 的内部,又因N 是BC 上的一点,则N 在点L 的右侧,于是BN CN >． 【模拟实战】习题A1．试证：圆的直径两端点对ABC △的西姆松线垂直相交,且相交于此三角形的九点圆上． 2．设G 为ABC △的重心,P 为ABC △外接圆上任一点,连PG 并延长至点Q ,使12PQ PG =．求证：点Q 在ABC △的九点圆上．3．试证：ABC △的九点圆与它的内切圆及三个旁切圆相切．4．给定非退化的ABC △,设外心为O ,垂心为H ,外接圆的半径为R ．求证：3OH R <．（1994年亚太地区奥林匹克题）5．试证：三角形的三个切圆（内切或旁切）的圆心构成一个三角形,此新三角形的外心对于已知三角形的外心为另外一个切圆圆心的对称点．习题B 1．设A I ,B I ,C I 分别为ABC △的切BC ,CA ,AB 边的旁切圆的圆心．试证：（1）A B C I I I △的九点圆为ABC △的外接圆；（2）过点A I ,B I ,C I 分别作BC ,CA ,AB 边的垂线,则这三条垂线共点．2．试证：圆周上任意四点,过其中任意三点作三角形,则这四个三角形的九点圆的圆心共圆．第七章九点圆定理及应用习题A1．设POP '是ABC △的外接圆(圆心为O )的直径,关于P 点的西姆松线为1l ,关于P '点的西姆松线为2l 因为1l 与2l 的交角可以12PP '度量,从而1l 与2l 的交角为直角．设H 为ABC △的垂心,则1l 和2l 分别经过PH ,PH'的中点Q ,Q ',而Q 和Q '在ABC △的九点圆上,H 点是三角形的九点圆和外接圆的外 位似中心,线段QQ '是线段PP '的位似图形,从而QQ '是九点圆的直径,故1l 与2l 的交点在ABC △的九点圆上．2．连AG 并延长交BC 于L ,则A 在ABC △的外接圆上,L 在ABC △的九点圆上,又G 是ABC △的外接圆与九点圆的内位似中心,且位似此为21∶．而21PG GQ =∶∶,且P 点在外接圆上,则Q 点必在九点圆上．3．设I ,O ,H ,V 分别为ABC △的内心、外心、垂心及九点圆圆心,R ,r ,ρ分别为ABC △外接圆、内切圆、九点圆的半径,A I ,A ρ分别为在BC 边外侧相切的旁切圆圆心和半径,则由心距公式,有222OI R Rr =-,2222IH r R ρ=-,224OH R R ρ=-．注意到V 为OH 的中点,由斯特瓦尔特定理的推论（即三角形中线长公式）,有()2222222111242VI VI HI VH R Rr r R r ⎛⎫=+-=-+=- ⎪⎝⎭,即12VI R r =-．故九点圆与内切圆相内切．同理,222AA OI R R ρ=+,得22112A VI R ρ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即有112VI R ρ=-,故九点圆与此旁切圆相外切．同理,可证九点圆与其他两个旁切圆相外切．4．设G 是ABC △的重心,V 是九点圆的圆心,O 和V 对于G 和H 是共线且调和共轭的,考察以O 点 为起点的向量,则33332OA OB OC OH OG OA OB OC ⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭．因此3OH OA OB OC R ++=≤,仅当A B C ==时等号成立,这是不可能的．故3OH R <．5．设O ,H 分别为ABC △的外心与垂心,I ,1I ,2I ,3I 分别为ABC △的内心和三个旁心,由于H ,A ,B ,C 构成一老垂心组（四点中,任一点是另三点构成的三角形的垂心,此四点为垂心组）；I 与1I ,2I ,3I 构成一新垂心组,又ABC △的外接圆是123I I I △的九点圆,从而123I I I △的外心O '是关于O 的I 的对称点． 其余以此类似地推证,从而新垂心组各点与老垂心组各点关于123I I I △的九点圆的圆心对称．习题B1．(1)设E ,F 分别是边BA 的延长线,CA 的延长线上的点,由旁心的定义,知A I A 平分BAC ∠,B I A平分CAE ∠,C I A 平分BAF ∠．又BAF CAE ∠=∠,从而有B I ,A ,C I 三点共线,且A B C I A I I ⊥． 同理,B A C I B I I ⊥,C A B I C I I ⊥．故ABC △为A B C I I I △的垂足三角形,故ABC △的外接圆即为A B C I I I △ 的九点圆．(2)设O '为A B C I I I △的外心,则()()11180180222B C B C B A C O I I I O I I I I ''∠=︒-∠︒-∠=．由A I ,C I ,A ,C 四点共圆,知B B A C I AC I I I ∠=∠,从而90B C B O I I I AC '∠+<∠=︒,即B I O AC '⊥． 同理,A I O BC '⊥,B I O BA '⊥．故三条垂线共点于O '．2．设11()A x y ，,22()B x y ，,33()C x y ，,44()D x y ，是单位圆上任意四点,则()2211234i i x y i +==，，，． 由九点圆圆心是三角形外心与垂心连线的中点,得△ABC,△ABD,△BCD,△ACD 九点圆圆心坐标分别为1231231,22x x x y y y O ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭,1241242,22x x x y y y O ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭, 2342343,22x x x y y y O ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭,1341344,22x x x y y y O ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭． 考虑点12341234,22x x x x y y y y G ++++++⎛⎫⎪⎝⎭,则 12221234123123412312222x x x x x x x y y y y y y y O G ⎡⎤++++++++++⎛⎫⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦224412x y =+12=． 同理,23412O G O G O G ===故1O ,2O ,3O ,4O 在以G 力圆心,12为半径的圆上．。
数学培优竞赛新方法(九年级)-第17讲-直线与圆
数学培优竞赛新方法(九年级)-第17讲-直线与圆第17讲直线与圆对数学之美的感受，对数与形之和谐的感受，对几何学之优雅的感受，这是一种所有数学家都深知的真正的美感。
-----庞加莱知识纵横直线与圆的位置有相交、相切、相离三种情形，即可从直线与圆交点的个数来判定，也可以从圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较来考察。
讨论直线与圆的位置关系的重点是直线与圆相切，直线与圆相切涉及切线的性质和判定、切线长定力、弦切角的概念和性质、切线定理等丰富的知识，这些丰富的知识对应着以下基本图形、基本结论：例题求解【例1】如图，已知ABC∆，︒=BC,6CAC．O是AB的中点，==90∠⊙O与BCAC、分别相切于点D与点E．点F是⊙O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G．则CG= ．（杭州市中考题）思路点拨连OD,BFOD、的长。
BG=，先求出BF【例2】如图，在等腰三角形ABC∆中，O为底边BC的中点，以O 为圆心作半圆与AC AB 、相切，切点分别为E D 、．过半圆上一点F 作半圆的切线，分别交AC AB 、于N M 、．那么2BCCN BM⋅的值等于（ ）A.81B.41C.21D .1 （天津市竞赛题）思路点拨 分别从N M 、点看，可运用切线长定理，作出相应辅助线，探寻BMO ∆与CNO ∆的关系式关键。
【例3】如图，已知直线PA 交⊙O 于B A 、两点，AE 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，且AC 平分PAE ∠，过C 作PA CD ⊥，垂足为D ．（1）求证：CD 为⊙O 的切线；（2）若6=+DA DC ，⊙O 的直径为10，求AB 的长度．（2011芜湖市中考题）思路点拨 对于（2），在（1）的基础上，设x DA =，则x CD -=6，由角平分线性质或垂径定理建立x的方程。
【例4】如图，已知⊙O的半径为cm6，射线PM经过点O，A、两点同时从点P出 ，射线PN与⊙O相切于点Q．BcmOP10发，点A以s4的cm/cm/5的速度沿射线PM方向运动，点B以s速度沿射线PN方向运动．设运动时间为ts．（1）求PQ的长；（2）当t为何值时，直线AB与⊙O相切。
浙教版九年级数学下册作业本：专题提升九 圆的辅助线、多解性(二)
专题提升九 圆的辅助线、多解性(二)1．(连云港中考)如图，AB 是⊙O 的弦，点C 在过点B 的切线上，且OC ⊥OA ，OC 交AB 于点P ，已知∠OAB ＝22°，则∠OCB ＝________．第1题图 第2题图 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙P 的圆心P 的坐标为(－3，0)，将⊙P 沿x 轴正方向平移，使⊙P 与y 轴相切，则平移的距离为( )A ．1B ．1或5C ．3D ．51．见了切点常连圆心得垂直；2．当动圆与直线相切时应考虑圆心在直线两侧引起的多解性．例1 (衢州中考)如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为(－1，0)，半径为1，点P 为直线y ＝－34x ＋3上的动点，过点P 作⊙A 的切线，切点为Q ，则切线长PQ 的最小值是________．例2 (南宁中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 是角平分线，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OB 为半径的圆经过点D ，交BC 于点E.(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)若OB ＝10，CD ＝8，求BE 的长．1．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，以AB 上一点O 为圆心，OA 长为半径的圆与BC 相切于点D ，分别交AC 、AB 于点E 、F.若AC ＝6，AB ＝10，则⊙O 的半径为________．第1题图第2题图2.(荆州中考)如图，过⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别是A 、B ，OP 交⊙O 于点C ，点D 是优弧ABC ︵上不与点A 、点C 重合的一个动点，连结AD 、CD ，若∠APB ＝80°，则∠ADC 的度数是( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°3.如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOC ＝30°，半径为1cm 的⊙P 的圆心在直线AB 上，且与点O 的距离为6cm .如果⊙P 以1cm /s 的速度，沿由A 向B 的方向移动，那么________秒钟后⊙P 与直线CD 相切．第3题图第4题图4．如图，⊙O是以数轴原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，过点P且与OB平行的直线与⊙O有公共点，则OP的取值范围是____________．第5题图5．(泰州中考)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝513，AC＝12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，P为线段A′B′上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为________．6.如图，A(－8，0)，B(－6，0)．点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD∥AB，∠CDA＝90°.点P从点Q(7，0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．第6题图(1)点C的坐标是________；(2)当∠BCP＝15°时，求t的值；(3)以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时，求t的值．参考答案【课前热身】1．44° 2.B【典型例题】例1 22 例2 (1)连结OD ，∵BD 为∠ABC 平分线，∴∠1＝∠2，∵OB ＝OD ，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OD ∥BC ，∵∠C ＝90°，∴∠ODA ＝90°，则AC 为圆O 的切线；(2)过O 作OG ⊥BC ，∴四边形ODCG 为矩形，∴GC ＝OD ＝OB ＝10，OG ＝CD ＝8，在Rt △OBG 中，利用勾股定理得：BG ＝6，∴BC ＝BG ＋GC ＝6＋10＝16，∵OD ∥BC ，∴△AOD ∽△ABC ，∴OA AB ＝OD BC ，即OA OA ＋10＝1016，解得：OA ＝503，∴AB ＝503＋10＝803，连结EF ，∵BF 为圆的直径，∴∠BEF ＝90°，∴∠BEF ＝∠C ＝90°，∴EF ∥AC ，∴BE BC ＝BF AB，即BE 16＝20803，解得：BE ＝12. 【针对练习】1.1542.C3.4或84.0＜OP ≤25.15625或102136．(1)(0，6)(2)当点P 在点B 右侧时，如图1.由∠BCP ＝15°，得∠PCO ＝30°.OP ＝t －7，则PC ＝2(t －7)，在Rt △POC 中，CP 2－OP 2＝62，故4(t －7)2－(t －7)2＝36，此时t ＝7＋23(舍去7－23)；当点P 在点B 左侧时，如图2.由∠BCP ＝15°，得∠PCO ＝60°，PC ＝2CO ＝12，故PO ＝122－62＝6 3.此时t ＝7＋6 3.∴t 的值为7＋23或7＋63；第6题图(3)由题意知，若⊙P 与四边形ABCD 的边相切，有以下三种情况：①当⊙P 与BC 相切于点C 时，有∠BCP ＝90°，从而∠OCP ＝45°，得到OP ＝6.此时t ＝1.②当⊙P 与CD 相切于点C 时，有PC ⊥CD ，即点P 与点O 重合，此时t ＝7.③当⊙P 与AD 相切时，由题意知，∠DAO ＝90°，∴点A 为切点，如图3.PC 2＝PA 2＝(15－t)2，PO 2＝(t －7)2.于是(15－t)2＝(t －7)2＋62，解出t ＝354.∴t 的值为1或7或354.。
九年级数学圆的基础(三)浙江版知识精讲
初三数学圆的基础（三）某某版【本讲教育信息】一. 教学内容： 圆的基础（三）二. 知识回顾：利用圆的对称性质与旋转不变性质，可得到如下的一些圆的重要性质。
（1）在同圆或等圆的弧、弦、弦心距与圆周角（圆心角）中，只要有一组几何量相等，那么另三组量也分别相等；（2）同弧所对的圆心角与圆心角之间的度量关系是：圆心角的度数是圆周角度数的两倍；（3）垂直于弦的直径一定平分弦以及弦所对的弧；平分弦（非直径）的直径一定垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
【典型例题】例1. 如图所示，AB 是圆O 的直径，半径AB OC ⊥，过OC 的中点M 作弦EF//AB 。
求证：CBE 21ABE ∠=∠。
CE FMOAB解析：连结EO 、ECEC OE ,OC EF =∴垂直平分又OE=OC ∴△EOC 为等边三角形∴∠EOC=60° ∴∠AOE=30° ∴∠ABE=15°但∠EOC=60°， 60EC =∴⋂∴ 30CBE =∠CBE 21ABE ∠=∠∴B例2. 如图所示，△ABC，AB=AC，31ABAE=，以AB为直径作半圆交BC于D，AD交CE于点F，求证：AF=FD。
B解析：过点D作DH//CE交AB于点H︒=∠∴90ADB,AB为直径又AB=AC的中点为BCD∴CE//DH，且31ABAE=HBEH=∴，HBE HAE==∴DH//EF，DFAF=∴B例3. 如图所示，设圆O的半径为R，弦AB的长为a，且弦BC//OA，求AC的长。
C解析：由已知圆O 的半径，联想“直径所对的圆周角是直角” 2222222a R 4AC a R 4CD AD AC ,ACD Rt aAB CD ,AD //BC R2AD ,R AO CD,D O AO -=∴-=-=∆==∴=∴=∴中又连结于点交圆延长C例4. 如图所示，AB 是圆O 的直径，半径OC ⊥AB ，D 为⋂AC 上任意一点，点E 在弦BD 上，AD=BE 。
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数学竞赛辅导系列讲座九——圆1、如图，已知P 是边长为a 的正方形ABCD 内一点，△PBC 是等边三角形，则△PAD 的外接圆半径是（ ）A 、aB 、 2 aC 、32aD 、12a 2、如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则Sin ∠CBE=（ ）A 、63B 、23 C 、13D 、10103、如图，圆心在原点，半径为2的圆内有一点P （22 ，22），过P 点作弦AB 与劣弧AB 组成一个弓形，则该弓形面积的最小值为（ ）A 、π－1B 、π－2C 、43π－1D 、43π－ 3 4、如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴切与点Q ，与y 轴交于点M （0，2），N （0，8），则点P 的坐标是（ ） A 、（5，3）B 、（3，5）C 、（5，4）D 、（4，5）5、在底面直径是2，母线长为4的圆锥，若一只小虫子以点A 出发，绕侧面一周又回到点A ，则它爬行的最短路线长是（ ）A 、2πB 、 4 2C 、4 3D 、56、如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，则这条直线必经过这个三角形的（ ）A 、内心B 、外心C 、重心D 、垂心7、如图，⊙O 与Rt △ABC 的斜边AB 切于点D ，与直角边AC 交于点E 且，DE ∥BC ，已知AE=2 2 ，AC=3 2 ，BC=6，则⊙O 的半径是（ ）A 、3B 、4C 、4 3D 、2 3DACPDEYXAOP ByxN MOPQ8、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，联结DP ，DP 交AC 于点Q ，若QP=QO ，则QCQA =（ ） A 、2 3 －1B 、2 3C 、 3 + 2D 、 3 +29、如图，AB 是半圆O 的直径，半圆O 的内接正方形CDEF 的边长为1，AD=m ，DB=n ，那么m nn m+的值为________．10、如图，AD 是半圆的直径，AD=4，B 、C 为半圆上的两点，弦AB=BC=1，则弦CD 的长为__________．11、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P ，则点P 到两圆的外公切线的距离为___________．12、如图，从⊙O 外一点M 作圆的切线MA ，切点为A ，再作割线MBC ，交⊙O 于B 、C 两点，∠AMC 的平分线交于AC 于E ，交AB 于D ，则DB ECAB AC+的值等于______．13、如图，在△ABC ，AB=AC= 5 ，BC=2，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，则△CDE 的面积为_______．14、已知O 为△ABC 的外心，AD 为BC 边上的高，∠CAB=66°，∠ABC=44°，则∠OAD=_________． 15、P 是⊙O 的直径AB 的延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，∠APC 的平分线交AC 于Q ，则∠PQC=_______．16、2008年8月8日，第29届奥运会在北京举行，奥运五环旗象征着全世界人民的大团结，五环旗中，五个大小相等的环形环环相扣，三个环在上，两个环在下，五个环的中心联结成CEOQBD O ACD F O A BC EBCD EBOAMCDOB EAO 2O 3O 4O 5O 1一个等腰梯形，构成一个喜庆、和谐、优美的轴对称图形．如图，假设O 2O 4=a ，O 1O 5=2a ，∠O 1= ，则等腰梯形O 1O 2O 4O 5的对角线O 1O 4的长为____________． 17、如图，OB 是以（0，a ）为圆心，a 为半径的弦，过点B 作⊙O 1的切线，P 为劣弧OB 上的任一点，且过P 分别作OB 、AB 、AO 的垂线 （1）求证：PD 2=PE ·PF ；（2）当∠BOC=30°，点P 为弧OB 的中点时，求D 、E 、F 、P 四点坐标于S △DEF ．18、只用圆规，把一个已知圆的圆心四等分．19、如图，四边形ABCD 内接于圆，AB=AD ，其对角线交于点E ，点F 在线段AC 上，使得∠BFC=∠BAD ，若∠BAD=2∠DFC ，求BEDE 的值．20、如图，已知AB 是⊙O 的弦，过O 作AB 的平行线交⊙O 于点C ，交⊙O 过点B 的切线于D ，求证：∠ACB=∠D ．yxFDEAOO 1BPEDBF DC OBA21、如图，AB 是半圆O 的直径，C 是弧AB 的中点，M 是弦AC 的中点，CH ⊥BM ，垂足为H ，求证：CH 2=AH ·OH ．22、AB 是⊙O 的一条弦，它的中点为M ，过点M 作一条非直径的弦CD ，过点C 和D 做⊙O 的两条切线分别与直线交于P 、Q 两点，求证PA=QB ．23、如图，AB 是⊙O 的直径，AB=d ，过点A 作⊙O 的切线并在其上取一点C ，使AC=AB ，联结OC 交⊙O 于D ，BD 的延长线交AC 于E ，求AE ．24、如图，P 为⊙O 外一点，过P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，过A 作PB 的平行线交⊙O 于点C ，联结PC 交⊙O 于点E ，联结AE 并延长AE 交PB 于K ，求证：PE ·AC=CE ·KB ．HMDOKEAOBPC25、在半径为r的⊙O中，AB为直径，C为弧AB的中点，D为弧BC的三分之一分点，且弧DB的长度是弧CD长的两倍，连结AD并延长交⊙O的切线CE于点E（C为切点），求AE的长．27、在锐角△ABC，中，AD⊥BC，D为垂足，DE⊥AC，E为垂足，DF⊥A B，F为垂足，O为△ABC的外心，求证（1）△AEF∽△ABC；（2）AO⊥EF．28、29. 如图，BC 是⊙O 的弦，OD ⊥BC 于E ，交BC ⌒ 于D ，点A 是优弧BmC 上的动点(不与B 、C 重合)， BC =34，ED =2．求cos ∠A 的值及图中阴影部分面积的最大值.30．如图，在边长为8的正方形ABCD 中，点O 为AD 上一动点（4＜OA ＜8），以O 为圆心，OA 的长为半径的圆交边CD 于点M ，连接OM ，过点M 作⊙O 的切线交边BC 于N ． （1）求证：△ODM ∽△MCN ；（2）设DM = x ，OA=R ，求R 关于x 的函数关系式；（3）在动点O 逐渐向点D 运动（OA 逐渐增大）的过程中，△CMN 的周长如何变化？说明理由．31．已知点O 为锐角△ABC 的外心，直线AO 与BC 交于点K ，点L ，M 分别是边AB 、AC 上的点，且有KL=KB ，KM=KC ．证明：LM//BC ．32．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是边BC 的中点，满足CE ⊥AB,BE=BD.过线段BE 的中点M 作直线MF ⊥BE ，交△ABD 的外接圆的劣弧AD 于点F. 求证:ED ⊥DF.33．如图,已知圆心为A 、B 、C 的三个圆彼此相切，且均与直线l 相切，若圆A 、圆B 、圆mE CBAOOMFEDCBAlCBAC 的半径分别为a 、b 、c （且c ＜b ＜a ），则a 、b 、c 一定满足的关系为 （ ） A ．c a b +=2 B ．c b a +=C ．b ac 111+= D ．ba c 111+= 34．某同学用牙膏纸盒制作一个如图所示的笔筒，笔筒的筒底为长4.5厘米，宽3．4厘米的矩形．则该笔筒最多能放半径为0．4厘米的圆柱形铅笔 ( )35．如图．AB 是⊙O 的直径．CD 是过OB 中点的弦，且CD ⊥AB,以CD 为直径的半圆交AB 于E ，DE 的延长线交⊙O 于F ，连结CF ，若⊙O 的半径为1．则CF 的长为 ( )A ．1 B. 2 C. 3 D.23 36．已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D ．证明：PD 是⊙I 的切线．37．⊿ABC 的内切圆分别切BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，过F 作BC 的平行线分别交直线DA 、DE 于点H 、G ，求证：FH=HG ．38．如图，在⊙O 中，弦CD 垂直于直径AB ，M 是OC 的中点，AM 的延长线交⊙O 于点E ，DE 与BC 交于点N.求证：BN=CN .39．在⊿ABC 中，AB ＞AC ，内切圆⊙I 与边BC 、CA 、AB 分别切于点D 、E 、F ，M 是边BC 的中点，AH ⊥BC 于点H ，∠BAC 的平分线AI 分别与直线DE 、DF 交于点K 、L ．证明：M 、L 、H 、K 四点共圆．40．平面上一个半径r 的动圆沿边长a 的正三角形的外侧滚动，其扫过区域的面积为 .41．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，对边BC 、AD 交于点F ，AB 、DC 交于点E ．⊿ECF 的外接圆与⊙O 的另一个交点为H ，AH 与EF 交于点M ，MC 与⊙O 交于点G ．MHGFEDCBADE NMCAOMOH GDCB证明：（1）M为EF的中点；（2）A、G、E、F四点共圆．42．⊿ABC是⊙O的内接三角形，AB＞AC＞BC，点D在弧BC上，过点O分别作AB、AC的垂线与AD交于点E、F，射线BE、CF交于点P．若BP=PC+PO，则∠BAC= ．如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。