物理竞赛《天体运动和万有引力》
奥赛培训内部资料第三讲万有引力与天体运动含高考真题共张ppt
点评：
（1）物体A的运动能否看成是匀变速直线运动？ （2）仅受地球引力作用，物体物体的运动轨迹通常是怎样 的？
等效
极限
解析：
将物体A的运动轨迹等效为一狭长的椭圆，其两焦点位 于长轴的两端，设其半长轴为a，物体A的初始位置离地心的 距离为r。 物体A落到地面时的速度为第一宇宙速度，即：
v gR
R为地球半径，g为地球表面处的重力加速度。 机械能守恒定律：
a a2 b2 vB b
GM a
对C点：
1 2 Mm 1 2 Mm mv A G mvC G 2 ac 2 a
2 vC v A vB
GM vC a
C点速率是A、B两点速率的几何平均值。
（2）设ρ A ρB ρC C a F引 A
θ
Vc
M c
b F向
B
2 vA Mm G m 2 A (a c) 2 Mm vB G m 2 (a c) B
2 S r 几何关系： 1 1 S 2 r22
F1 F2
累加求和
例6．不考虑地球的公转，假想将地球沿地轴打穿形成一条通道， 将一小球（可看成质点）从北极自由释放，试证明小球绕地心 做简谐运动。 证明： 设地球半径为R，密度为ρ。 F 小球质量为m，所在位置离地心 的距离为r，如图所示。 小球所受合外力（万有引 力）F与位移方向相反，大小 为： Mm F G 2 r 4 M V r 3 3
木星M P a1 a2
大石块m
大石块崩裂的条件：
a 0
R
Rr
2M 1.26 6400km，且由通常的水形成的海 洋覆盖着它的所有表面，海洋深度为10km。学者们对该行星进行探 查时发现，当把试验用的样品浸入行星海洋的不同深度时，各处的 自由落体加速度以相当高的精确度保持不变。试求此行星表面处的 自由落体加速度。已知万有引力常量G=6.67×10-11Nm2/kg2。
高中物理竞赛习题天体运动
2
解：【分析】考查万有引力定律的基本使用 【解答】近似认为由引力提供全部的重力 mg = 得 g= 改变至 R′ = (1 − 0.0150)R g′ = g GM R2 (22) GM m R2 (21)
R2 = 10.1ms−2 R ′2
(23)
8. 用不同的方法估算银河系的质量，所得结果也不相同. 以下是诸多估算方法中的一种：根据观 测结果估计，从银河系中心到距离为 R = 3 × 109 R0 （R0 表示地球绕日轨道半径）的范围内 集中了质量 M1 = 1.5 × 1011 M0 （M0 表示太阳质量） . 在上面所指的范围内星体运转周期为 T = 3.75 × 108 年. 求银河系“隐藏”的质量是太阳质量的多少倍，即在半径为 R 的球体内未被 观察到的物质质量. 计算中可以认为银河系的质量都集中在其中心.
在东经 98◦ 的大圆中，由余弦定理，卫星到嘉峪关的距离为 d= √ r2 + R2 − 2Rr cos α (3)
由于光速远大于卫星的线速度，忽略传播过程中地球和卫星的运动，用时： √( ) ) ( t=
R2 gT 2 4π 2 2/3
+ R2 − 2R c
R2 gT 2 4π 2
1/3
cos α
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(32)
对 (M − m) 径向动力学方程：
Gm 4π 2 = r2 r2 T2 GM 4π 2 = r r2 T2 ( m+M −m M )1 3 )
(33)
解得：
(34)
即： r=
(
GM T 2 4π 2
(35)
11. 卫星在地球附近的赤道平面内运动，运动方向或者顺地球自转方向，或者与之相反. 在地面参照 系中，求卫星在第二种情况下的动能是第一种情况的多少倍？
高中物理竞赛 第6讲_万有引力和天体运动
万有引力和天体运动类型一、天体运动中一类应用开普勒定律的问题，解这类问题时一定要注意运动的轨道、面积、周期，但三者之间也是有关联的，正因为如此，解题时要特别注意“面积速度”。
例1．要发射一艘探测太阳的宇宙飞船，使其具有与地球相等的绕日运动周期，以便发射一年后又将与地球相遇而发回探测资料。
在地球发射这一艘飞船时，应使其具有多大的绕日速度？（地球绕日轨道近似为圆轨道）例2．一物体A由离地面很远处向地球下落，落至地面上时，其速度恰好等于第一宇宙速度．已知地球半径R=6400 km.若不计物体在运动中所受到的阻力，求此物体在空中运动的时间。
类型二、天体质量（密度）的计算问题往往是由万有引力定律和向心力公式建立天体计算的基本方程，解题时一般要注意中心天体与运动卫星关系的建立，同时还要注意忽略微小量（次要因数）的问题，这是解决这类问题的两个非常重要的因数。
例3．新发现一行星，其星球半径为6400 km，且由通常的水形成的海洋覆盖它所有的表面，海洋的深度为10 km，学者们对该行星进行探查时发现，当把试验样品浸入行星海洋的不同深度时，各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持不变．试求此行星表面处的自由落体加速度．已知万有引力常量G=6. 67×10-11N m2/ kg2。
类型三、天体运动的能量问题要注意在轨运行的卫星的机械能，然后利用机械能的改变及功能原理来解题，这是因为卫星的运行轨道变化既要注意其变轨机理，又要符合能量原理。
例4．质量为m的人造地球卫星，在圆形轨道上运行．运行中受到大小恒为f的微弱阻力作用，以r表示卫星轨道的平均半径，M表示地球质量，求卫星在旋转一周的过程中：（1）轨道半径的改变量Δr=？（2）卫星动能的改变量ΔE k=？类型四、天体运动的宇宙速度问题实质上就是两个问题：一个是摆脱引力场所需要的能量的问题；一个是能量的来源问题。
而能量要么来源于燃料，要么来源于碰撞。
例5．宇宙飞行器和小行星都绕太阳在同一平面内做圆周运动，飞行器的质量比小行星的质量小很多，飞行器的速率为，小行星的0轨道半径为飞行器轨道半径的6倍。
高中物理竞赛—万有引力定律基础知识点
高中物理竞赛——万有引力定律基础知识点一、考点内容1．万有引力；万有引力定律；万有引力定律的应用。
2．人造地球卫星；宇宙速度。
二、知识结构⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧地球同步卫星地面卫星种类发射与运转三个宇宙速度人造天体（或卫星）开普勒三定律地卫星；自由落体或平抛；近天体质量计算：极地称：与纬度、高度的关系地球附近重力变化规律定律应用 三、复习思路建议分两条主线展开复习，一是万有引力=向心力；另一个是重力=向心力。
由于向心力的表达式有多种形式，表面看来本单元公式多，实际上则只有一个，那就是ma F =。
切实理解好加速度a 的含义至关重要。
复习时应注意做好以下几点：1．万有引力、人造卫星属于现代科技发展的重要领域，所以近年的高考对万有引力、人造卫星的考查是热点。
在学习中要多联系一些现代科技知识，扩大知识面，把这部分知识规律与实际应用联成一体去认识。
2．应用万有引力定律研究天体、人造地球卫星的运动是该部分的重点。
要熟练地应用r Tm r m r v m r Mm G 222224πω===及地球表面附近2r Mm G mg =等公式来求解天体及卫星问题，要熟练地运用比例法解题。
3．要知道卫星的运行速度、发射速度和环绕速度三者的区别，要知道卫星的轨道越高，其运动速度越小，但发射时所需的发射速度却越大。
4．要知道三种宇宙速度都是指发射速度，并了解火箭发射卫星的实际过程，了解一下现代科技。
四、牢固掌握基础知识1、万有引力定律的应用（1）、基本模型：匀速圆周运动（2）、基本方法：一切问题来源于向心力的提供（3）、一条线索：向心力=万有引力=所在位置处的重力（4）、一串公式：=2rMm G = = 以及地球表面附近2地R MmG mg =等公式。
上述式子适用于卫星围绕天体作匀速圆周运动时的情景。
由以上线索和公式可以：A 、估算天体质量B 、估算天体质量C 、求卫星的线速度、角速度、周期r GM v =；3rGM w =；GM r T 32π=。
高中物理奥赛：万有引力与天体运动
星引起的．
（1）试给出这颗行星的质量 m 所满足的方程．
（2）若 L 10 光年，T 11.86 年， 3.229 毫角秒，M MS
（ MS 为太阳质量），则此行星的质量和它运动的轨道半径 r 各为多少？分别用太阳质量 MS 和国际单位 AU（平均日地距 离，1AU 1.50 109 km ）作为单位，并保留两位有效数字．
M
n 1
n 1
m 0 K 27 2 9.546
M
4
m
K 10、11
M
m 3 [2(9 102/3 )]1/2
nR
x
8nR
M
M0
0.048、3 [2(9 112/3)]1/2
0.153
例 8.4 距离我们为 L 处有一恒星，其质量为 M，观测发现其
位置呈周期性摆动，周期为 T，摆动范围的最大张角为 ．假
m M+m
M
M0
解：
M+m：G (m M )M0 (m M ) u2 u GM0
(nR)2
nR
nR
m：
1 2
mv12
G
mM 0 nR
1 2
mv12
G
mM 0 8nR
mv1 nR mv1 8nR
v1
4 3
GM 0 nR
M+m
u
nR
M0
v1 nR
解：（1）
R L , r Md ML
m
2
m 2m
Mm
G R r2
MR 2
MR
万有引力与天体运动(奥赛培训内部资料好)
开普勒从第谷的观测数据中总结出行星运动三大定 律，但仍未找到行星运动的原因。
1687年
牛顿发表《自然哲学的数学原理》，提出万有引力 定律，解释了行星运动的根本原因。
概念
万有引力
任何两个物体间都存在相互吸引的力，与两物体的质量成正比， 与两物体间的距离的平方成反比。
重力
地球表面附近的物体受到地球引力的作用，使物体受到垂直向下 的力称为重力。
天体在轨道上运动时，受到的 万有引力与离心力之间达到平 衡状态，使得天体的轨道保持 稳定
03
万有引力在天体运动中的应用
月球与地球的关系
01
02
03
月球围绕地球旋转
月球与地球之间的万有引 力相互作用，使月球绕地 球旋转，形成地球的卫星。
潮汐现象
月球的引力引起地球的潮 汐现象，表现为海洋的涨 落。
月球对地球的影响
公转
地球绕太阳旋转一周，周期为一 年，产生了四季变化和昼夜长短 变化
天体的轨道运动
天体轨道运动的规律
天体在轨道上运动时，受到万 有引力的作用，万有引力指向 轨道椭圆的中心，即太阳或地 球的中心
天体轨道运动的能量
天体在轨道上运动时，具有动 能和势能，动能和势能之间相 互转化，总能量保持不变
天体轨道运动的稳定性
宇宙结构的形成
在宇宙尺度上，万有引力是塑造宇宙结构和天体运动的主要力量，它使得物质 聚集形成星系、恒星和行星等天体。
暗物质与暗能量对万有引力的影响
暗物质的发现
通过对星系旋转速度和宇宙大尺度结构的观测，科学家们发现了一种看不见、摸 不着的物质——暗物质。暗物质的存在对万有引力有重要影响。
暗能量的发现
月球对地球的引力影响， 有助于稳定地球的自转轴 倾角，保持地球气候的稳 定。
物理竞赛精品课件(2023版ppt)
地球绕太阳公转：分 析地球公转轨道、周 期、速度等参数
02
月球绕地球公转：分 析月球公转轨道、周 期、速度等参数
03
太阳系行星运动：分 析各行星公转轨道、 周期、速度等参数
04
双星系统：分析双星 系统的形成、运动规 律等
05
黑洞与恒星运动：分 析黑洞对恒星运动的 影响
06
星系运动：分析星系 的形成、运动规律等
地球环境与天体运动的关系：天体运动的研究将有 助于我们更好地了解地球环境变化和应对气候变化
5
天体运动的总 结与反思
总结天体运动的主要内容
天体运动的基本概念：
01 包括天体、轨道、周
期、速度等
天体运动的基本规律：
02 开普勒三定律、牛顿
万有引力定律等
天体运动的计算方法：
03 轨道方程、能量守恒、
角动量守恒等
引入更多天体运动 的实际案例，提高 学生的兴趣和认知
引入天体运动的前 沿研究，提高学生 的创新意识和能力
增加天体运动实验 环节，提高学生的
动手能力
增加天体运动的互 动环节，提高学生 的参与度和积极性
谢谢
阐述天体运动的基本原理
01
01
万有引力定律：天体运动的基础， 描述物体之间的引力关系
02
02
开普勒三定律：描述天体运动的规 律，包括轨道形状、周期和速度
03
03
牛顿第二定律：描述物体运动的规 律，包括加速度、质量和力
04
04
角动量守恒定律：描述天体运动的 稳定性，包括角动量、质量和速度
2
天体运动的计 算方法
物理竞赛精品课件： 天体运动
演讲人
目录
01. 天体运动的基础知识 02. 天体运动的计算方法 03. 天体运动的典型问题 04. 天体运动的拓展应用 05. 天体运动的总结与反思
高中物理竞赛讲座7(天体运动word)
4 m R3 4 R3 G g 答案（1） r R 时， F G 3 2 3r 2 r 4 m r3 4 G 4 Gm r （2） r R 时， F G 3 2 r g 3 r 3
例题：沿地球直径贯穿打一洞，从洞口将一小球由静止释放，小球如何运动。 答案：简谐振动 解：简谐振动
9、从一点运动到另一点的时间 ������ （1） 、T = 1
2
������������������������������������
S 为初点和末点与中心天体的连线和初末点的椭圆部分围成的面积。可用积分求得。 （2） 、参数方程 利用参数方程 x = asin (ωt) y = bcos (ωt) ，研究其在一个方向上的分运动 10、A、B、C 三点的速率（已知 a、b、c）
F kx 中的 k
周期： T 3
4 Gm 3
振幅：A=R（地球半径）
( G)
GM Y
ห้องสมุดไป่ตู้
最大速度: Vm 为第一宇宙速度 解一：据动能定理： W
1 mVm 2 2
其中重力为线性力，可取平均值，而求出 W。 解二：利用振动的能量守恒
0 FA 1 1 1 KA2 mVm 2 或 R mvm 2 2 2 2 2
csg.竞赛.万有引力. 3 / 13
由椭圆的知识可得
rA rB 2a GmM E
m4G 2 M 2 2mEL2 rA rB 2c mE 2 2 2 rA rB a c b L2 (2mE )
则椭圆的轨迹方程
x2 ������2
+ ������ 2 = 1 或
������3 ������ 2
= ������
高中物理竞赛万有引力
基本动力学方程
第二定律（面积速度定律）的理解 由开普勒第二定律知，行星在太阳引力 作用下单位时问内矢径扫过的面积相等，即
1 vr 恒量 2
vθ为横向速度 大小，
通常，引进一个称为角动量的物理量， 记为L，定义为
开普勒第二定律指出角动量在行 星运动过程中是一个守恒量
万有引力是一个保守力。行星在太阳 引力场中运动，其动能和引力势能之和(机 械能)在运动过程中是一个守恒量，即
例题：新发现一行星，其星球半径为6400 km，且由通常的水形成的海洋覆盖着它的所 有表面，海洋的深度为l0 km。学者们对该 行星进行探查时发现，当把试验用的样品浸 入行星海洋的不同深度时，各处的自由落体 加速度以相当高的精确度保持不变。试求此 行星表面处的自由落体加速度。已知万有引 力常数为G=6.67×10-11 N· m2／kg2．
(2)如果转移是沿半椭圆
双切轨道进行的，如图 中的ACB所示，则飞船 在两条轨道的交接处 A 和 B 的速度变化ΔvA 和 Δv 各为多少
例题 8 ：质量为 m的人造地球卫星，在圆轨道 上运行。运行中受到大小恒为f的微弱阻力作 用。以 r 表示卫星轨道的平均半径， M表示地 球质量，求卫星在旋转一周的过程中： (1)轨道半径的改变量Δr=? (2)卫星动能的改变量ΔE=?
第二定律面积速度定律的理解恒量1由开普勒第二定律知行星在太阳引力作用下单位时问内矢径扫过的面积相等即由开普勒第二定律知行星在太阳引力作用下单位时问内矢径扫过的面积相等即基本动力学方程恒量vr21v为横向速度大小为横向速度大小通常引进一个称为角动量的物理量记为l定义为通常引进一个称为角动量的物理量记为l定义为开普勒第二定律指出角动量在行星运动过程中是一个守恒量开普勒第二定律指出角动量在行星运动过程中是一个守恒量万有引力是一个保守力
万有引力与天体运动
万有引力与天体运动引言：在自然界中，存在着一种无所不在的力量，即万有引力。
万有引力是负责使得天体之间相互吸引的力量，它是牛顿力学的基本法则之一。
本文将探讨万有引力的定义、原理及其与天体运动的关系。
一、万有引力的定义与原理万有引力是指任意两个物体之间存在相互吸引的力量，这种力量与物体的质量和距离有关。
根据牛顿第三定律，相互作用的两个物体之间的引力大小相等，方向相反。
万有引力的存在与质量有关，质量越大的物体，其引力也越大。
而且，两个物体之间的引力与它们之间的距离的平方成反比，即距离越近，引力越强。
二、天体运动的基本规律根据万有引力的原理，天体运动遵循以下基本规律：1. 开普勒定律约翰内斯·开普勒是天体运动领域的重要科学家之一，他总结出三个著名的运动定律。
第一定律表明天体绕太阳运动的轨道是椭圆形，而不是圆形。
这就意味着天体在其轨道上的位置不是固定的，而是变化的。
2. 第二定律开普勒的第二定律，也称为面积定律，表明天体在相同时间内扫过的面积相等。
换句话说，当天体离太阳较远时，它的速度较慢；当它距离太阳较近时，速度较快。
这个定律说明了天体在椭圆轨道上的运动速度是不均匀的。
3. 第三定律开普勒的第三定律，也称为调和定律，阐述了天体轨道周期与半长轴的关系。
具体来说，天体运动的周期的平方与它的椭圆轨道的半长轴的立方成正比。
这个定律揭示了天体运动的规律性，使得科学家们可以通过研究地球运动来推导出其他天体的运动规律。
三、天体运动和万有引力的关系天体运动与万有引力有着密不可分的关系，万有引力是驱动天体运动的根本力量。
在太阳系中，太阳是最重要的引力中心，其他行星、卫星以及小行星等都围绕太阳进行运动。
1. 行星运动行星绕太阳运动的轨道是椭圆形，行星距离太阳越近，它们的速度越快；相反，距离越远，速度越慢。
这符合开普勒定律中的第二定律。
行星的运动速度与距离有关，而这种变化正是受到万有引力的影响。
2. 月球运动月球是地球的卫星，它也受到地球的引力影响，围绕地球进行运动。
《万有引力与天体运动》习题及答案
地球abc 万有引力航天一、“中心天体－圆轨道”模型【应用知识】由万有引力提供环绕天体做圆周运动的向心力，据牛顿第二定律列出圆周运动的动力学方程。
1、对中心天体可求质量和密度2、对环绕天体可求线速度、角速度、周期、向心加速度、向心力、轨道所在处的重力加速度3、可求第一宇宙速度例1．如图所示，a 、b 、c 是环绕地球在圆形轨道上运行的3颗人造卫星，它们质量关系是m a =m b ＜m c ，则： A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度 B ．b 、c 的周期相等，且小于a 的周期C ．b 、c 的向心加速度大小于相等，且大于a 的向心加速度D ．b 所需向心力最小例2、我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”。
设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。
已知月球的质量约为地球质量的181 ，月球的半径约为地球半径的14,地球上的第一宇宙速度约为7.9km/s ，则该探月卫星绕月运行的速率约为( D )A .0.4km/sB .1.8km/sC .11km/sD .36km/s二、“同步卫星”模型同步卫星具有四个一定1、 定轨道平面2、 定运行周期：T ＝24h3、 定运动高度：km R GMT h 4322106.34⨯=-=π4、 定运行速率：s km /0.3=υ例3．某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12h 内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R ，地球表面处的重力加速度为g ，地球的自转周期为T ，不考虑大气对光的折射。
例4．地球赤道上有一物体随地球的自转而做圆周运动，所受的向心力为F 1，向心加速度为a 1，线速度为v 1，角速度为ω1;绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星受的向心力为F 2，向心加速度为a 2，线速度为v 2，角速度为ω2;地球同步卫星所受的向心力为F 3，向心加速度为a 3，线速度为v 3，角速度为ω3.地球表面重力加速度为g ，第一宇宙速度为v ，假设三者质量相等.则（ ）A.F 1=F 2＞F 3B.a 1=a 2=g ＞a 3 3122)4arcsin(gT R T t ππ=C.v 1=v 2=v ＞v 3D.ω1=ω3＜ω2三、“天体相遇”模型 两天体相遇，实际上是指两天体相距最近，条件是)3,2,1(221 ==-n n t t πωω 两天体相距最远，条件是)3,2,1()12(21 =-=-n n t t πωω例5．A 是地球的同步卫星，另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h ，已知地球半径为R ，地球自转角速度ω0，地球表面的重力加速度为g ，O 为地球中心。
物理奥赛力学万有引力与天体运动
y
总能量为：
E0
m
M
自行计算出上述三个能量值！
O
F
x
（能否不用高等数学？）
疑难题解答研究
例1（天体轨道的判定） 如图，太阳系中星体A做半径为R1的圆运动，星体B作抛 物线运动. B在近日点处与太阳的相距为R2=2R1，且两轨道在同一平面上，两星体运动方 向也相同. 设B运动到近日点时，A恰好运动到B与太阳连线上. A、B随即发生某种强烈 的相互作用而迅速合并成一个新的星体. 其间的质量损失可忽略. 试证明新星体绕太阳的 运动轨道为椭圆.
运动，其最远点到地心的距离为8nR. 问飞船与宇航站的质量比m/M为何值时，飞船绕地
球运行一周后正好与宇航站相遇. m
解 发射前后飞船、宇航站的运动情况如图.
记地球质量为ME，发射前共同速度为u. 由
(M
m)
u2 nR
G
(M m)M E (nR)2
M 原轨道 R
得
u GM E . nR
vV
记分离后的瞬间飞船速度为v，宇航站速度为V.
r2
度问题便不难解决！
2 A
v1 C
S1
由顶点1、2、3处的机械能守恒和面积速度相等可得 v2
B
1 2
mv12
G
MSm AC
1 2
mv22
G
MSm AC
1 2
mv32
G
MSm A
①
4
1 2
(A
C )v1
1 2
(
A
C)v2
1 2
Av3
sin
②
由图可知 sin B， 代入②式得
A
1 2
(A
C)v1
物理奥赛：力学万有引力与天体运动
05
CATALOGUE
天体运动的观测与实验验证
天文望远镜的发展与观测技术
01
02
03
天文望远镜的发明
随着光学技术的发展，人 们发明了望远镜，使得观 测天体成为可能。
望远镜的改进
随着材料科学和制造工艺 的进步，望远镜的口径越 来越大，观测能力越来越 强。
现代望远镜技术
现代望远镜采用了许多先 进技术，如自适应光学、 干涉测量等，大大提高了 观测精度。
向心力和离心力是描述天体运动中物体受到的两种基本力。向心力使物体沿着 轨道运动，离心力使物体离开中心。在天体运动中，向心力和离心力同时存在 ，互相平衡，形成了稳定的轨道运动。
03
CATALOGUE
力学原理在天体运动中的应用
牛顿第二定律与天体运动
总结词
描述了天体运动中物体加速度与作用力之间的关系。
开普勒三定律是德国天文学家开普勒从丹麦天文学家第谷的观测数据中总结出来的。轨 道定律指出行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于其中一个焦点。面积定律指出行星 与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。周期定律指出行星绕太阳运动的周期与它
们的轨道半径的平方根成正比。
地球的自转和公转
总结词
地球绕着自己的轴线旋转是自转，绕着太阳旋转是公转。
开普勒、伽利略等早期科学家在天体 运动。
科学革命背景
随着文艺复兴和科学革命的兴起，人 们开始对天体运动和地心说产生疑问 ，为万有引力定律的提出奠定了基础 。
万有引力定律的内容
万有引力定律
任何两个物体都相互吸引，引力的大小与两物体的质量成正比，与 它们之间的距离的平方成反比。
卫星轨道的观测与实验验证
人造卫星轨道观测
通过观测人造卫星的轨道参数，可以验证万有引力定律和地球引 力场的模型。
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由GM 2 L2
M
2
T
2
L 2
T 2 L3
2GM
G
M2 L2
G
M
4 3
L 2
L 2
M3
M
F星 2FT暗 N
2
LL 2
M
2
N
1
3M
2 L3
【例题】 2016年2月11日美国国家科学基金会宣布：美国的“ 激光干涉引力波天文台”的两台孪生引力波探测器首次直接探 测到了引力波．该引力波是由13亿光年之外的两颗黑洞在合并 的最后阶段产生的．初始质量分别为29倍太阳质量和36倍太阳 质量的两颗黑洞，合并成了一颗62倍太阳质量、高速旋转的黑 洞；亏损的质量以引力波的形式释放到宇宙空间．这亏损的质 量为______kg． 相当于______J的能量． (已知太阳质量约为2.0 1030 kg ，光在真空中的速为3.0108 m．
Ch地球公转轨道X平面 Ch 地球公转轨道平面
对北半球而言,在冬季过近日点,夏季过远日点
【例题】要使一颗人造地球通讯卫星（同步卫星）能覆盖赤道上东 经75.0°到东经135.0°之间的区域，则卫星应定位在哪个经度范 围内的上空？地球半径R = 6.37×106m．地球表面处的重力加速度 g = 9. 80m/s2．
同步轨道的计算 T0 2
R 2
g
R3 R02 g0
R
3
T02 R02 g
4 2
24 36002 642 1010 10
3
4 2
4.2104 பைடு நூலகம்m
同步轨道半径设为R同步,其覆盖经度范围的几何关系如图: 读题
R
156o
R同步
54o
cos1 R cos1 6.37 81o
R同步
地面上物体随地球自转所需向心力只是地心引力极小一部分 天上卫星绕地球转动所需向心力由全部地心引力提供！
一个常用的推导—天体的密度
GM m R2
m
2
T
2
R
G 4
3
R3
4 2
R
R2
T2
3
GT 2
【例题】侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行 轨道距地面高度为h，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处 在日照条件下的全部情况全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时， 卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球 半径为R，地面重力加速度为g，地球自转的周期为T.
GMm．可
R0
供航天员居住与进行科学实验的空间航天站离地面高度为h，若在
该空间站上直接发射一颗质量为m的小卫星，使其能到达地球同步
轨道并能在轨道上正常运行，则该卫星在离开空间站时必须具有
多大的动能？
同步轨道半径设为R0：由
GM R02
2 R0
3
得 R0
GM
2
卫星在同步轨道的引力势能为
动能：
由 GMm R02
⑴由
GMm r2
mr
2
T
2
知 T2 T02
R h2 R h1
3
⑵移动卫星经半周期又通过赤道上空，此间地
球自转了θ角，有
2 T
T0 2
3
R R
h2 h1
卫星下方地面处于东经
3
故T
R h2 R h1
T0
1
R R
h2 h1
3
180o
180
0
【例题】如图所示为地球绕太阳运行示意图，图中椭圆表示地球公
42.0
恰能覆盖东经75°的卫星定位:
75o 81o 156o
恰能覆盖东经135°的卫星定位:
135o 81o 54o
【例题】 地球质量为M，半径为R，自转角速度为ω，万有引力恒
量为G，如果规定物体在离地球无穷远处势能为0，则质量为m的物
体离地心距离为r时，具有的万有引力势能可表示为
E
p同
天体运动和万有引力
竞赛训练板块4
支配天体运动的基本规律
开普勒三定律
万有引力定律
牛顿运动定律
机械能守恒
人造卫星可能轨道
极地轨道
其它轨道
赤道平面轨道
天体运动规律一览表
中心天体半径R0 轨道半径R
与轨道半径关系
加速度
a0
g0
GM R02
速度
v0
R0 g0
GM R0
a
g
GM R2
v Rg GM R
周期
T 2
R0 2 g0
R03 T 2 GM
R 2 g
R3 GM
角速度
g0 R0
GM R03
g R
GM R3
a 1 R2
v 1 R
T R3
1
R3
自转与公转
GMm
F引 F向
R02
m
2
T
2
R0
G
GMm R02
m
2
T
2
R0
ω m F向
F引 F引 F向 m
F向
m
2
T
2
R0
cos
【例题】一固体星球可近似看作半径为（足够大）的球形均匀 的固体，构成星球的物质的密度为 ，引力常量为 G ．
（1）考虑星球表面山体的高度．如果山高超出某一限度，山基 便发生流动（可认为是山基部分物质熔化的结果，相当于超出 山的最高限的那块固体物质从山顶移走了），从而使山的高度 减低．山在这种情况下其高度的小幅减低可视为一小块质量的 物质从山顶移至山底．假设该小块的物质重力势能的减小与其 全部熔化所需要的能量相当，山体由同一种物质构成该物质的 熔化热为L，不考虑温度升到熔点所需要能量，也不考虑压强对 固体熔化热的影响．试估计由同一种物质构成的山体高度的上 限． （2）若由同一种物质构成的山高的上限不大于R/10 ，试估计 在此条件下由同一种物质构成的星球半径的下限．
转轨道，Ch、Q、X、D分别表示中国农历节气中的春分、秋分、夏
至、冬至时地球所在的位置．试说明，一年之内秋冬两季比春夏两
季要少几天的原因．
Q t3
Q
行星
由面积定律:
D
1
1
2 va t a 2 vb t b
b DB
日
t4 日太阳
t2 Aa
t1
X
va a vb b
Q a b va vb
m
v2 R0
E p同
GMm R0
Ek同
GMm 2 R0
卫星在空间站的引力势能为
E p空
GMm Rh
由机械能守恒： Ek 空
GMm Rh
GMm 2R0
GMm R0
Ek空
GMm
1 R
h
3
2
8GM
【例题】 根据对某一双星系统的光学测量确定，该双星系统中每 个星体的质量都是M,两者间相距L，它们正围绕两者连线的中点做 圆周运动． ⑴试计算该双星系统的运动周期； ⑵若实验上观测到运动周期为，且 T:T 1: N ,为了解释两者 的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在暗物质 ．作为一种简化的模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的 球体内均匀分布这种暗物质，而不考虑其它暗物质的影响，试根 据这一模型和上述观察结果确定该星系间这种暗物质的密度．
极地卫星周期为
Th 2
R h3
R2 g
每昼夜卫星经日照下的赤道的次数为
n
T Th
每次应拍摄
l 2 R 4 2 R h3
nT
g
【例题】电视转播用的“地球同步卫星”的轨道高度为h，转动周 期为T0；卫星定位系统用的某“移动卫星”沿通过地球的南北两极 的圆形轨道运行，离地面高度为H，地球半径为R0 ．⑴该移动卫星 连续两次通过地球北极点上空的时间间隔是多少？⑵该移动卫星某 时刻恰位于经度为0度的赤道上空，那么它下一次通过赤道上空时 ，下方地面的经度是多少？