立体几何几种常见题型

立体几何几种常见题型

一、求体积，距离型

1．（2013年高考陕西卷（文））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面

中心, A 1O ⊥平面ABCD , 12AB AA ==.

O

D 1

B 1

C 1

D A

C

B

A 1

(Ⅰ) 证明: A 1BD // 平面CD 1B 1;

(Ⅱ) 求三棱柱ABD -A 1B 1D 1的体积. 1

2．（2013

年高考福建卷（文）如图,在四棱锥

P ABCD

-中,PD ABCD ⊥面,//AB DC ,AB AD ⊥,5BC =,3DC =,4AD =,

60PAD ∠=.

(1)当正视图方向与向量AD 的方向相同时,画出四棱锥P ABCD -的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程);

(2)若M 为PA 的中点,求证://DM PBC 面; (3)求三棱锥D PBC -的体积. 83D PBC V -=

3．（2013年高考湖南（文））如图2.在直菱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠B AC=90°,AB=AC=错误!未找到

引用源。,AA 1=3,D 是BC 的中点,点E 在菱BB 1上运动.

(I) 证明:AD⊥C 1E; (II)

当异面直线AC,C 1E 所成的角为60°时,求三菱子C 1-A 2B 1E 的体积.

3

2

4．（2013

年高考课标Ⅰ卷（文））如图,三棱柱

111

ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=. (Ⅰ)证明:1

AB AC ⊥; (Ⅱ)若2AB CB ==,16AC =求三棱柱111ABC A B C -的体积.3

C 1

B 1

A

A 1

B C

5．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D,E 分别是AB,BB 1的中点.

(1) 证明: BC 1//平面A 1CD;

(2) 设AA 1= AC=CB=2,AB=2错误!未找到引用源。,求三棱锥C 一A 1DE 的体积.

6．（2013年高考安徽（文））如图,四棱锥

P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱

形,60BAD ∠=.已知2,6PB PD PA ===

.

(Ⅰ)证明:PC BD ⊥

(Ⅱ)若E 为PA 的中点,求三菱锥P BCE -的体积.0.5

【答案】解:

(2) 由(1)BD ⊥面PAC

︒⨯⨯⨯==

45sin 32621

21PAC PEC S S △△=32

236=⨯

⨯ 1111

32322

P BEC B PEC PEC V V S BO --∆==

⋅⋅=⨯⨯=

7．（2013年高考江西卷（文））如图,直四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中,AB//CD,AD ⊥AB,AB=2,AD=

错误!未找到引用源。,AA 1=3,E 为CD 上一点,DE=1,EC=3

(1) 证明:BE ⊥平面BB 1C 1C;(2) 求点B1 到平面EA 1C 1 的距离10

52,5

d d ==

(2)1111111123

A B C E A B C V AA S ∆-•三棱锥的体积＝＝

2211111

11112Rt A D C AC A D D C ∆+在中，＝=3 , 同理

,

22112EC EC CC +＝=3 ，

222113EA AD ED AA ++＝=2

因此115A C E S ∆=3.设点B1到平面11EA C 的距离为d,则111B EAC -三棱锥的体积

111

53

A EC V d S d ∆••＝＝,从而1052,5d d == 二、有关折叠型。

8．（2013年高考广东卷（文））如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC

边上的点,AD AE =,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ∆沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥A BCF -,其中22

BC =

. (1) 证明:DE //平面BCF ;(2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当2

3

AD =

时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.

图 4

G

E

F A

B

C

D

图 5

D

G

B

F

C

A

E

9.如图1所示，在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，CD 为∠ACB 的平分线，点E 在线段AC 上，CE ＝4.如图2所示，将△BCD 沿CD 折起，使得平面BCD ⊥平面ACD ，连接AB ，BE ，设点F 是AB 的中点. (1)求证：DE ⊥平面BCD ；

3

2

(2)若EF ∥平面BDG ，其中G 为直线AC 与平面BDG 的交点，求三棱锥B －DEG 的体积.

(1)证明 ∵AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，∴∠ACB ＝60°. ∵CD 为∠ACB 的平分线，∴∠BCD ＝∠ACD ＝30°. ∴CD ＝2 3.

∵CE ＝4，∠DCE ＝30°，

∴DE 2＝CE 2＋CD 2－2CE ·CD ·cos 30°＝4， ∴DE ＝2，则CD 2＋DE 2＝EC 2. ∴∠CDE ＝90°，DE ⊥DC .

又∵平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD ∩平面ACD ＝CD ，DE ⊂平面ACD ，∴DE ⊥平面BCD .

(2)解 ∵EF ∥平面BDG ，EF ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面BDG ＝BG ， ∴EF ∥BG .

∵点E 在线段AC 上，CE ＝4，点F 是AB 的中点，