微分方程解析近似解的符号计算研究

微分方程解析近似解的符号计算研究
【摘要】：本文基于数学机械化思想,借助于符号计算软件,以非线性方程为对象,系统地研究了适用于强非线性问题的解析近似方法：Adomian分解方法(ADM)和同伦分析方法(HAM)的应用和机械化实现。

第一章是与本文相关的研究背景。

简要综述了计算机代数和孤立子理论的发展进程,针对性地介绍了近年来解析近似方法的研究成果和现状。

第二章改进了Adomian分解方法,能够获得修正Korteweg-deVries(mKdV)方程和Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程的双孤子解。

通过引入自变量变换和行波变换,将Degasperis-Procesi(DP)方程短波模型化为常微分方程,应用Adomian分解方法求解之,获得其闭合形式的解析解,再经过反变换,能够获得其环状孤子解。

以上结果表明了Adomian分解方法在求解方程特殊孤子解方面的有效性。

对Adomian分解方法进行了推广,解决了方程中离散变量不同于连续方程中的变量问题,并与Pade近似结合,能够获得几个经典的非线性微分差分方程组的孤子解,显著提高了方程解析近似解的精度。

同时,我们还讨论了Pade有理近似中出现的伪极点问题,给出了合适选择Pade 近似阶数的指导原则。

获得的解析近似解与精确解符合得很好,表明了Adomian分解方法对复杂强非线性问题的有效性。

第三章通过引入自变量变换和行波变换,将偏微分方程化为常微分方程,通过同伦分析方法求解之,再经过反变换,能够获得DP方程短波模型的环状孤子解和Camassa-Holm(CH)方程短波模型的尖状孤子解,结果表明了同伦
分析方法在求解方程特殊孤子解方面的有效性。

对同伦分析方法进行了推广,解决了方程中离散变量不同于连续方程中的变量问题,改进了同伦分析方法选择初始猜测解的方法,能够获得离散修正KdV方程的亮孤子解,获得的解析近似解与精确解符合得很好,表明了同伦分析方法对复杂强非线性问题的有效性。

第四章在计算机代数系统Maple 上实现了Biazar提出的求解Adomian多项式的算法,编制了构造微分方程(组)和积分方程(组)解析近似解的自动推导软件包,这个算法避免了Adomian多项式的计算膨胀问题,降低了计算难度并显著提高了计算速度,通过大量实例说明了该软件包的有效性和实用性。

【关键词】：微分方程微分差分方程解析近似解符号计算孤立子
【学位授予单位】：华东师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2010
【分类号】：O175
【目录】：摘要6-7Abstract7-11第一章绪论11-181.1数学机械化与计算机代数12-131.2孤立子理论13-141.3求解非线性方程的解析近似方法14-161.3.1Adomian分解方法14-151.3.2同伦分析方法15-161.4本文的选题和主要工作16-18第二章Adomian分解方法在非线性系统中的应用18-592.1Adomian分解方法求解非线性微分方程18-322.1.1
基本原理简介18-202.1.2修正KdV方程及其双孤子解20-242.1.3KP 方程及其双孤子解24-292.1.4Degasperis-Procesi方程的短波模型及其环状孤子解29-322.2Adomian分解方法求解非线性微分差分方程组32-562.2.1基本原理简介32-342.2.2Pade近似基本原理简介34-362.2.3Belov-Chaltikian格方程及其孤子解36-412.2.4非线性自偶网格方程及其扭状孤子解41-482.2.5Blaszak-Marciniak3-场格方程及其孤子解48-512.2.6Blaszak-Marciniak4-场格方程及其孤子解51-562.3本章小结56-59第三章同伦分析方法在非线性系统中的应用59-813.1基本原理简介59-613.2同伦分析方法求解非线性微分方程61-743.2.1Camassa-Holm方程的短波模型及其尖状孤子解61-673.2.2Degasperis-Procesi方程的短波模型及其环状孤子解67-743.3同伦分析方法求解非线性微分差分方程74-803.3.1离散修正KdV方程及其孤子解74-803.4本章小结80-81第四章Adomian分解方法软件包BZAdm81-944.1基本原理简介81-834.2算法描述834.3BZ 算法在Maple系统上的实现:BZAdm软件包83-854.3.1求解微分方程(组)的模块及其功能844.3.2求解积分方程(组)的模块及其功能84-854.4BZAdm软件包的应用85-914.4.1微分方程(组)的求解85-894.4.2积分方程(组)的求解89-914.5效率评估91-924.6本章小结92-94第五章结束语94-95参考文献95-104致谢104-105在读期间完成的论文目录105 本论文购买请联系页眉网站。