.命题及其关系、充分条件与必要条件教案

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件2014高考会这样考1.考查四种命题的意义及相互关系；2.考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解，主要以客观题的形式出现；3.在解答题中考查命题或充分条件与必要条件．复习备考要这样做1.在解与命题有关的问题时，要理解命题的含义，准确地分清命题的条件与结论；2.注意条件之间关系的方向性、充分条件与必要条件方向正好相反；3.注意等价命题的应用．1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．，则p是q的充分不必要条件，p的必要不充分条件是q。

注意对定义的理解:例如：若p⇒q，q p[难点正本疑点清源]1．等价命题和等价转化(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假；(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．2．集合与充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有⊂，则p是q的充分不必要条件；(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B⊂，则p是q的必要不充分条件；(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A⊄B，且B ⊄A，则p是q的既不充分也不必要条件．题型一四种命题的关系及真假例1已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是(D)A．否命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”是真命题B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题C．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题D．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题思维启迪：根据四种命题的定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的表达格式．当命题较简单时，可直接判断其真假，若命题本身复杂或不易直接判断时，可利用其等价命题——逆否命题进行真假判断．解析命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．探究提高(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(C)A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.题型二充要条件的判断例2已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是(D)A．p：m≤－2或m≥6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点B．p：()1()f xf x-=；q：y＝f(x)是偶函数C．p：cosα＝cosβ；q：tanα＝tanβD．p：A∩B＝A；q：A⊆U，B⊆U，∁U B⊆∁U A思维启迪：首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断．解析对于A，由y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m2－4(m＋3)>0，从而可得m<－2或m>6.所以p是q的必要不充分条件；对于B，由()1()f xf x-=⇒f(－x)＝f(x)⇒y＝f(x)是偶函数，但由y＝f(x)是偶函数不能推出()1()f xf x-=，例如函数f(x)＝0，所以p是q的充分不必要条件；对于C，当cosα＝cosβ＝0时，不存在tanα＝tanβ，反之也不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于D，由A∩B＝A，知A⊆B，所以∁U B⊆∁U A；反之，由∁U B⊆∁U A，知A⊆B，即A∩B＝A.所以p⇔q.综上所述，p是q的充分必要条件的是D.探究提高判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件； ②“a≤2”是“函数f(x)＝|x －a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真．命题的序号是①②④ ． 解析 对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列{a n a n ＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a≤2时，函数f(x)＝|x －a|在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②正确；对于③，当m ＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正确；对于④，由题意得b a ＝sin B sin A ＝3，若B ＝60°，则sin A ＝12，注意到b>a ，故A ＝30°，反之，当A ＝30°时，有sin B ＝32，由于b>a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①②④. 题型三 利用充要条件求参数例3已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件．思维启迪：解决此类问题一般是先把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．解(1)由M∩P＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件是{a|－3≤a≤5}．(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0，此时必有M∩P＝{x|5<x≤8}；反之，M∩P＝{x|5<x≤8}未必有a＝0，故“a＝0”是“M∩P ＝{x|5<x≤8}”的一个充分但不必要条件．探究提高利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验．已知p：x2－4x－5≤0，q：|x－3|<a (a>0)．若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．解 设A ＝{x|x 2－4x －5≤0}＝{x|－1≤x≤5}，B ＝{x|－a ＋3<x<a ＋3}，因为p 是q 的充分不必要条件，从而有A ⊂B.故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3<－1，a ＋3>5，解得a>4.等价转化思想在充要条件关系中的应用典例：(12分)已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m>0)，且p q ⌝⌝是的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．审题视角 (1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简．(2)再利用命题间的关系列出关于m 的不等式或不等式组，得出结论． 规范解答解 方法一 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0， 得1－m≤x≤1＋m ，[2分] ∴q ⌝：A ＝{x|x>1＋m 或x<1－m ，m>0}， [3分] 由p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x≤10，[5分] ∴p ⌝：B ＝{x|x>10或x<－2}．[6分]∵p q ⌝⌝是的必要而不充分条件． ∴A ⊂B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m<－2，1＋m≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m≤－2，1＋m>10，即m≥9或m>9.∴m≥9.[12分]方法二 ∵⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，∴p 是q 的充分而不必要条件， [2分] 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m≤x≤1＋m ，∴q ：Q ＝{x|1－m≤x≤1＋m}， [4分] 由p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x≤10，∴p ：P ＝{x|－2≤x≤10}． [6分] ∵p 是q 的充分而不必要条件， ∴P ⊂Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m<－2，1＋m≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m>0，1－m≤－2，1＋m>10，即m≥9或m>9.∴m≥9. [12分] 答题模板第一步：求命题p、q对应的参数的范围．⌝、q⌝对应的参数的范围．第二步：求命题p第三步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题“p且q”或“p或q”．第四步：根据新命题的真假，确定参数的范围．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．温馨提醒解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．答题时，可依答题模板的格式进行，这样可使答题思路清晰，过程完整．老师在阅卷时，便于查找得分点. 温馨提醒本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键.方法与技巧1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提．2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的．3．命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q,若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与B⌝⇒A⌝，B⇒A与A⌝⇒B⌝，A⇔B与綈B⇔A⌝的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A 是B的充要条件．失误与防范1．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p则q”的形式．2． 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q”等语言．A 组 专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·湖南)命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是( C )A ．若α≠π4，则tanα≠1B ．若α＝π4，则tanα ≠1C ．若tanα≠1，则α≠π4D ．若tanα≠1，则α＝π4解析 由原命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题：若tan α≠1，则α≠π4.2． (2012·福建)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是 ( D ) A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0解析 ∵a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)， ∴a ·b ＝2(x －1)＋2×1＝2x.又a ⊥b ⇔a ·b ＝0，∴2x ＝0，∴x ＝0.3． 已知集合M ＝{x|0<x<1}，集合N ＝{x|－2<x<1}，那么“a ∈N”是“a ∈M”的( B )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 因为M N ，所以a ∈M ⇒a ∈N ，反之，则不成立，故“a ∈N”是“a ∈M”的必要而不充分条件．故选B.4． 下列命题中为真命题的是( A ) A ．命题“若x>y ，则x>|y|”的逆命题 B ．命题“若x>1，则x 2>1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若x 2>0，则x>1”的逆否命题解析 对于A ，其逆命题：若x>|y|，则x>y ，是真命题，这是因为x>|y|＝⎩⎪⎨⎪⎧y y≥0－y y<0，必有x>y ；对于B ，否命题：若x≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题：若x≠1，则x 2＋x －2≠0，因为x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A. 二、填空题(每小题5分，共15分) 5． 下列命题： ①若ac 2>bc 2，则a>b ； ②若sinα＝sinβ，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f(x)＝log 2x ，则f(|x|)是偶函数． 其中正确命题的序号是①③④．解析 对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，∴a>b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°则30°≠150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，所以③对；对于④显然对．6． 已知p(x)：x 2＋2x －m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m 的取值范围为[3,8)． 解析 因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0， 解得m≥3；又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0， 解得m<8.故实数m 的取值范围是3≤m<8.7． (2011·陕西)设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝3或4 解析 ∵x 2－4x ＋n ＝0有整数根， ∴x ＝4±16－4n2＝2±4－n ，∴4－n 为某个整数的平方且4－n≥0，∴n ＝3或n ＝4. 当n ＝3时，x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3； 当n ＝4时，x 2－4x ＋4＝0，得x ＝2. ∴n ＝3或n ＝4. 三、解答题(共22分)8． (10分)判断命题“若a≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． 解 原命题：若a≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根． 逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a<0. 判断如下：∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a<0，∴a<－14<0，∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a<0”为真命题．9． (12分)已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若p q ⌝⌝是的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解 由题意得p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x≤5.p q q p ⌝⌝⇒⇔⇒ ∴p ⌝：x<1或x>5.q ：m －1≤x≤m ＋1，∴q ⌝：x<m －1或x>m ＋1. 又∵p q ⌝⌝是的充分而不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1，m ＋1≤5，且等号不能同时取到，∴2≤m≤4. 法二：p q q p ⌝⌝⇒⇔⇒B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·上海)对于常数m 、n ，“mn>0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 ∵mn>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m>0，n>0或⎩⎪⎨⎪⎧m<0，n<0，当m>0，n>0且m≠n 时，方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆， 当m<0，n<0时，方程mx 2＋ny 2＝1不表示任何图形，所以条件不充分；反之，当方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆时有mn>0， 所以“mn>0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．2． 已知p ：1x －2≥1，q ：|x －a|<1，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为( C )A ．(－∞，3]B ．[2,3]C ．(2,3]D ．(2,3)解析 由1x －2≥1，得2<x≤3；由|x －a|<1，得a －1<x<a ＋1.若p 是q 的充分不必要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤2a ＋1>3，即2<a≤3.所以实数a 的取值范围是(2,3]，故选C.3． 集合A ＝{x||x|≤4，x ∈R }，B ＝{x|x<a}，则“A ⊆B”是“a>5”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 A ＝{x|－4≤x≤4}，若A ⊆B ，则a>4.a>4D/⇒a>5，但a>5⇒a>4.故“A ⊆B”是“a>5”的必要不充分条件． 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 设有两个命题p 、q.其中p ：对于任意的x ∈R ，不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立；命题q ：f(x)＝(4a －3)x 在R 上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫34，1∪(1，＋∞) 解析 若命题P 为真，当a ＝0时，不等式为2x ＋1>0，显然不能恒成立，故a ＝0不适合； 当a≠0时，不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝22－4a<0， 解得a>1.若命题q 为真，则0<4a －3<1，解得34<a<1.由题意，可知p ，q 一真一假．①当p 真q 假时，a 的取值范围是{a|a>1}∩{a|a≤34或a≥1}＝{a|a>1}；②当p 假q 真时，a 的取值范围是{a|a≤1}∩{a|34<a<1}＝{a|34<a<1}；所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫34，1∪(1，＋∞)．5． 若“x ∈[2,5]或x ∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x 的取值范围是__ [1,2)_． 解析 x ∉[2,5]且x ∉{x|x<1或x>4}是真命题．由⎩⎪⎨⎪⎧x<2或x>5，1≤x≤4，得1≤x<2. 点评 “A 或B”的否定是“A B ⌝⌝且．6． “m<14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”充分不必要条件．解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0， 即m≤14，∵m<14⇒m≤14，反之不成立．故“m<14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．三、解答题7． (13分)已知全集U ＝R ，非空集合2031x A xx a ⎧-⎫=<⎨⎬--⎭⎩，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x －a 2－2x －a <0. (1)当a ＝12时，求(∁U B)∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝12时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x －2x －52<0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2<x<52， B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x －94x －12<0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12<x<94， ∴∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≤12或x ≥94. ∴(∁U B)∩A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|94≤x <52.(2)∵a 2＋2>a ，∴B ＝{x|a<x<a 2＋2}．①当3a ＋1>2，即a>13时，A ＝{x|2<x<3a ＋1}．∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B.∴⎩⎪⎨⎪⎧a≤23a ＋1≤a 2＋2，即13<a≤3－52.②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，不符合题意；③当3a ＋1<2，即a<13时，A ＝{x|3a ＋1<x<2}，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧a≤3a ＋1a 2＋2≥2，∴－12≤a<13.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52.。