空间度量算法

直线L的距离就是底P0P1的高。|vL×w|=Area(平行四边形 (vL,w))=|vL|d(P,L) d(P,L)=|vL×w|/|vL|=|uL×w| 式中，uL=vL/|vL|为直线L的单位方向矢量。 若要计算多个点到同一条直线的距离，则首先计算uL是最高效 的。
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①. 两点定义的直线

《地理信息系统算法基础》
空间度量算法
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本讲内容
1.直线和距离 2.角度量算 3.多边形面积的量算
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1.直线和距离

关于两点间距离的定义，使用标准的欧几里得距离L2，它基
于毕达哥拉斯定理。对一个n维的矢量v=(v1，v2，…，vn)，
它的长度|v|为
2 2 1 2 2 2 n
v v v … v v
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1.2 直线方程

隐式或显式方程定义二维中的一条直线，三维中定义了一个 平面，在n维中，它定义了一个(n-1)维的超平面。 在任意n维的空间中，参数方程是有效的并且是最通用的。 对于一个用两点P0和P1定义的并且带有方向矢量vL的直线， 其方程有以下几种写法： P(t) = P0+ tvL = P0 + t(Pl – P0) = (1-t)P0 + tP1 式中，t为实数。在这个表达中，P(0)=P0, P(1)=P1，P(t)(0<t<1)是线段P0P1上的一点， 其中t = d[P0,P(t)]/d(P0,P1)。 因此P(1/2)=(P0+P1)/2是线段的中点。进一 步看，如果t<0，那么P(t)位于线段之外， 并且是在P0 一边；如果t >1，P(t)也位于线 段之外，但在P1—边，见图6.2。
i 1
2 cos i 1
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1.2 直线方程

直线可以使用方程来定义，方程中的未知数是点的坐标。
二维显式方程：最先接触到的，它在计算机软件中并不是最灵活的。
隐式方程更有用些，并且很容易将显式方程转化为隐式方程。
隐式方程的前两个系数定义了一个矢量nL = (a，b)，这个矢量垂 直于直线L。对于直线L上的任意两个点P0 =(x0，y0)、P1 =(x1，y1)， 有nL· vL= (a, b)· (P1-P0) = a(x1-x0) + b(y1-y0) =f(P1)-f(P0) = 0。 给定一个直线L的法线矢量nL = (a，b)和L上的一个点P0，法线式 的隐式方程为 nL· (P-P0) = ax + by-nL· P0 = 0。如果a2 + b2=1则称这个 方程是规范化的，并且n是一个单位法线矢量。

计算点到射线或线段的距离与点到直线的距离的不同点是， 点P到直线L的垂线与L的交点可能位于射线或线段之外。在 这种情况下，实际的最短距离是点P到射线的起点的距离(图
6.6)或是线段的某个端点的距离(图6.7)。
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(2).点到射线或线段的距离
对于图6.6，只有一个选择，就是计算P到射线端点的距离； 而对于一条线段， 则必须判断哪一个端点离P更近。可以分 别计算点到两个端点的距离，然后取最短的，但这不是最高 效的办法，见图6.7。而且，同时要判断点P在直线L上的基
对一个嵌入三维中的二维的情况，点P = ( x，y，0)矢量积变 为 vL w ( x1 x0 , y1 y0 ,0) ( x x0 , y y0 ,0)
(0, 0, x1 x0 x x0 y1 y0 y y0 )
距离公式则变为
d ( P, L)
( y0 y1 ) x ( x1 x0 ) y ( x0 y1 x1 y0 ) ( x1 x0 )2 ( y1 y0 )2

的无限长的直线。

直线L也可以通过一个点和方向来定义：令P0是L上的一点， vL是一个非零矢量， vL给出了直线的方向。设定 vL =(P1-P0)， 或给出P0和vL ，可以选择P1=P0+ vL为直线上的第二个点。 如果vL被规范化为单位矢量， uL=vL /| vL |那么它的每个系数 就是L的各个方向角的余弦。
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1.1 直线

在n维中，令θi(i=1,…,n)是L和第i个坐标轴ai的夹角（例如， 在二维中，a1是x轴，a2是y轴）。那么矢量vL=(vi)，其中 vi=cosθi, i=1, …, n，是L的一个方向矢量。
在二维中，如图6.1所示，如
果θ是L与x轴的夹角，那么 cosθ2= sinθ，并且vi=(cosθ1, cosθ2) = (cosθ, sinθ)是L的一个 单位方向矢量。因为 cos2θ+sin2θ=1。同样，对于任 意维，各个方向余弦的平方和 为1，即 n
式中，uL为直线L的单位方向矢量。
这个公式很适于在n维空间中使用，同时在计算基点P(b)也很 有用。在三维空间中，和矢量积公式同样高效。但在二维中， 当P(b)不是必须时，隐式公式的方法更好，尤其是计算多个 点到同一条直线的距离。
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(2).点到射线或线段的距离

射线以某个点P0为起点，沿某个方向无限延伸。它可以用参 数方程P(t)表达，其中t>0、P(0) = P0是射线的起点。一个有 限的线段由一条直线上两端点 P0、P1间的所有点组成。同样 也可以用参数方程P(t)表达，其中P(0) = P0、 P(1) = P1为两 个端点，并且点P(t)(0≤t≤1)是线段上的点。
i 1

n
2 i
对于P(p1，p2，…，pn)和Q(q1，q2,…，qn)两点间距离为
d ( P, Q ) P Q
2 ( p q ) i i i 1
n
3
1.直线和距离
1.1
直线 直线方程 点到直线的距离
1.2
1.3
4
1.1 直线

最初的直线：给出直线上的不同的两点P0和P1，定义了一条 有限的从P0到P1的线段。 延伸这条线段的任意一个端点会得到无限长的射线。 现在所理解的直线：同时延长两个端点则将得到一条概念上
特点： （1）没有计算分子的绝对值，计算出的结果是带有符号的 距离，正的表示P点在直线的一边，负的表示在直线另一边。 （2）分子的形式与直线隐式方程的形式相似。
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②. 二维隐式方程定义的直线

直线L是很容易通过隐式方程f(x，y) =ax + by + c = 0来定义。 对于任意二维点P=（x，y），距离d(P，L)可以直接用这个
W = (P-P0)， 则得到
b d ( P0 , P(b)) | w | cos w vL w vL 2 d ( P0 , P | vL | | vL | vL vL 1)
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③.参数方程定义的直线
d(P,L)=|P-P(b)|=|w-bvL|=|w-(w· uL)uL|
三个坐标Z= 0即变为三维中。两个三维矢量的矢量积的模等
于两矢量构成的平行四边形的面积，因为|v×w|=|v||w||sinθ|， 其中θ是两个矢量v和w的夹角。
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①. 两点定义的直线
但是，平行四边形的面积也等于底和高的乘积。令
vL=P0P1=(P1-P0)、w = P0P=(P-P0)，如图6.3所示，这样点P到

式中x和y的系数就是nL中的各个组成部分。
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1.2 直线方程

在二维中，θ是直线L与x轴的夹角，vL=(cosθ, sinθ)是单位方
向矢量，因此nL=(-sinθ，cosθ)是一个单位法线矢量。如果
P0=(x0，y0)是直线L上的某个点，那么一个规范化的L的方程
为：
-xsinθ+ ysinθ+ (x0sinθ-y0cosθ)=0
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w1 v 0 w1 P P 1 ,0 [180,180]
w1 v v v | 0 | 90
(2).点到射线或线段的距离
d ( P, S ) d ( P, P 1)
w0 P P 0 ,0 [180,180]
w0 v 0 | 0 | 90 d ( P, S ) d ( P, P0 )
（3）对选定的点P0还有：
nL· P0P=(a,b）• (x + c /a，y ) =ax + by + c = f( x，y )=f(P)等于 (2)。
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②. 二维隐式方程定义的直线

最后得出公式
f ( p) ax by c | nL | a 2 b2
d ( P, L)
用|nL |除f(x,y)的每个系数，使隐式方程规范化，即|nL|

（1）点到直线的垂直距离 （2）点到射线或线段的距离
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（1）点到直线的垂直距离

①. 两点定义的直线

②. 二维隐式方程定义的直线

③. 参数方程定义的直线
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①. 两点定义的直线
在二维和三维中，当L是通过两个点P0、P1给出的，可以 使用矢量积直接计算出点P到L的距离。若是二维的，令第
方程计算出。
矢量nL=（a，b）是直 线L的法线矢量，利用 nL即可计算任意点P到L 的距离。首先在L上任 意选一点P0，然后将矢 量P0P投影到nL，如图 6.4所示。
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②. 二维隐式方程定义的直线
具体如下：
（1）因为a和b不同时为零，设a≠0 ，则P0=( - c/a，0)位于直线
L上；相反，如果a=0，则b≠0，则P0 = (0，-c/b)，最后的结 果是相同的。 （2）对在L上的任意点P0有：nL· P0P =|nL| |P0P| cosθ = |nL| d(P,L)。
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1.2 直线方程

三种方程表示形式中相互转换： 例如，已知二维直线上的两点P0 =(x0，y0)，P1 =(x1，y1）， 我们可以根据这两点生成一个隐式的方程。由于 vL = (xv， yv) = P1-P0=(x1-x0，y1-y0)是直线的方向矢量，因为nL· vL=0， 可得直线L的法线矢量nL=(-yv， xv) =(y0-y1，x1-x0)。那么， 直线 L的一个隐式方程为 (y0-y1)x+(x1-x0)y+(x0y1-x1y0)=0
可以通过计算矢量的数量积是正的、负的还是零来判断。最 终得出应该计算点P到P0还是到P1的距离，或者是P到直线L的垂 直距离。这些技术可以用到n维空间中。两个夹角的测试，可以 只用两个数量积运算，即w0· v和v· v，同时w0· v和v· v是求P点在直 线L上的基点的P(b)的参数b的分子和分母，这样可以依次测试和 计算。
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③.参数方程定义的直线

在n维空间中，已知直线L的参数方程为P(t)=P0+t(P1-P0)，P 为任意n维空间中的任意一点。为了计算点 P到直线L的距离 d(P,L)，从点P作直线L的垂线，交于点P(b)。
则向量P0P(b)是矢量P0P在线段P0P1上
的投影，如图6.5所示。设vL=(P1-P0）和
点，是否在线段外。
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(2).点到射线或线段的距离
简便的方法：先判断与哪个端点的距离近，然后计算。 具体方法：考虑P0P1、P0P的夹角，P1P、P0P1的夹角，如果其 如果不是直角，P的基点必然落在端点的一边或另一边，要看
中有个角为90°，则对应的线段的端点就是P在L上的基点P(b)。
角是锐角还是钝角，如图6.8和图6.9所示。

因为sin2θ+cos2θ=1。再进一步，参数方程为 P(t)=(x0 + tcosθ，y0 + tsinθ)
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1.离指的是直线L和任意一个点P的最短距离
d(P,L) 。

基点：过点作直线的垂线，垂线和直线的交点称为基点。 如果L是一个有限的线段，那么P在L上的基点可能在线段之 外，这就需要一个不同的计算最短距离的方法。
= 1。这样则得出非常高效的公式d(P,L)=f(p)=ax+by+c，当 a2+b2=1。对每个距离计算，这个公式只用了2次乘法运算和 2次加法运算。
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②. 二维隐式方程定义的直线
在二维中，若需要计算多个点到同一条直线L的距离，那
么先得到规格化的隐式方程，然后使用这个公式。
只是比较距离(寻找离直线最近或最远的点），不需要规范 化。因为它只是通过乘以一个常数因子来改变距离的值。 当θ为L与x轴的夹角并且P0 =(x0，y0)是L上的点，那么规范 化后的隐式方程有：a=-sinθ，b=cosθ,和c=x0sinθ-y0cosθ。