空间度量算法
算法的时间复杂度和空间复杂度-总结分析
算法的时间复杂度和空间复杂度-总结通常，对于一个给定的算法，我们要做两项分析。
第一是从数学上证明算法的正确性，这一步主要用到形式化证明的方法及相关推理模式，如循环不变式、数学归纳法等。
而在证明算法是正确的基础上，第二部就是分析算法的时间复杂度。
算法的时间复杂度反映了程序执行时间随输入规模增长而增长的量级，在很大程度上能很好反映出算法的优劣与否。
因此，作为程序员，掌握基本的算法时间复杂度分析方法是很有必要的。
算法执行时间需通过依据该算法编制的程序在计算机上运行时所消耗的时间来度量。
而度量一个程序的执行时间通常有两种方法。
一、事后统计的方法这种方法可行，但不是一个好的方法。
该方法有两个缺陷：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，必须先依据算法编制相应的程序并实际运行；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，有时容易掩盖算法本身的优势。
二、事前分析估算的方法因事后统计方法更多的依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，有时容易掩盖算法本身的优劣。
因此人们常常采用事前分析估算的方法。
在编写程序前，依据统计方法对算法进行估算。
一个用高级语言编写的程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素：(1). 算法采用的策略、方法；(2). 编译产生的代码质量；(3). 问题的输入规模；(4). 机器执行指令的速度。
一个算法是由控制结构（顺序、分支和循环3种）和原操作（指固有数据类型的操作）构成的，则算法时间取决于两者的综合效果。
为了便于比较同一个问题的不同算法，通常的做法是，从算法中选取一种对于所研究的问题（或算法类型）来说是基本操作的原操作，以该基本操作的重复执行的次数作为算法的时间量度。
1、时间复杂度（1）时间频度一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。
但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。
并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。
空间复杂度的计算
空间复杂度是算法在运行过程中所需的存储空间大小的度量。
与时间复杂度类似，空间复杂度是对算法性能的一种评估，但关注的是算法在存储资源方面的开销。
空间复杂度通常用大O符号（O）来表示。
空间复杂度的计算可以分为几个方面：1. 常量空间：对于使用固定大小的空间的算法，空间复杂度是一个常量，通常表示为O(1)。
即使输入规模增大，算法所需的额外空间始终保持不变。
2. 线性空间：如果算法使用的额外空间与输入规模成线性关系，空间复杂度可以表示为O(n)，其中n 是输入规模。
3. 二次空间：如果算法使用的额外空间与输入规模的平方成正比，空间复杂度可以表示为O(n^2)。
4. 递归空间：对于递归算法，需要考虑递归调用所使用的栈空间。
递归深度和每层递归的空间开销会影响空间复杂度。
5. 空间复杂度与输入规模：空间复杂度的计算通常关注于算法对输入规模的敏感程度。
如果算法对输入规模的增加而额外使用的空间不断增长，那么空间复杂度可能是线性或更高的。
以下是一些示例：-常量空间的例子：def example_constant_space(n):x = 1 # 常量空间y = 2 # 常量空间result = x + yreturn result-线性空间的例子：def example_linear_space(n):data = [0] * n # 随着输入规模n 的增加，需要的空间呈线性增长for i in range(n):data[i] = ireturn data-递归空间的例子：def example_recursive_space(n):if n <= 0:returnexample_recursive_space(n-1) # 递归调用在分析算法的空间复杂度时，通常需要考虑算法的整体空间占用，包括额外的数据结构、递归调用、临时变量等。
空间计量方法
空间计量方法
空间计量方法是一种用来衡量和分析空间模式和空间关系的方法。
它可以帮助我们理解和解释人类活动在空间上的分布规律。
常见的空间计量方法包括：
1. 空间自相关性分析：用来测量空间数据的相关性。
通过计算其相关指数（如Moran's I指数），可以判断空间数据是否存
在空间聚集或分散的特征。
2. 空间插值：用来推断未被测量或采样的地点的值。
常用的方法包括克里金插值和反距离加权插值。
3. 点模式分析：用来分析点数据的分布模式。
常用的方法有基尼系数和Ripley's K函数。
4. 空间回归分析：用来研究空间模式和变量之间的关系。
它可以帮助我们理解空间因素对变量的影响程度，并预测变量在不同空间位置的取值。
5. 空间聚类分析：用来识别空间数据中的集群或热点区域。
常用的方法包括密度聚类和聚类扫描统计。
通过应用这些空间计量方法，我们可以揭示空间模式与人类活动、环境特征等因素之间的关系，进一步了解空间中的规律和趋势。
尺度空间理论和SIFT算法小结
尺度空间理论和SIFT算法小结一、尺度空间理论尺度空间理论是一种描述图像在不同尺度上的表示方法。
它源于人类视觉系统在感知物体时会通过改变焦距和观察距离来获得不同尺度的信息。
尺度空间理论在图像处理中模拟了这种方式，通过高斯滤波器的不同尺度参数来表示图像的不同尺度信息。
高斯滤波器具有平滑图像的作用，其尺度参数越大则平滑效果越明显，图像的细节信息也会被模糊化。
通过不同尺度的高斯滤波器对图像进行滤波操作，得到一系列尺度空间图像，即每张图像代表了特定尺度下的图像信息。
尺度空间理论的应用有两个主要目的：尺度不变性和尺度选择。
尺度不变性是指当图像在不同尺度上发生变化时，特征点的描述子应保持不变。
这一特性在物体检测和图像匹配中非常重要，因为物体的大小和形状在不同尺度下可能发生变化。
尺度选择是指如何选择合适的尺度参数来提取图像特征。
根据尺度空间理论，选择一个合适的尺度参数可以提取到物体的局部特征，并使得特征对尺度的变化不敏感。
二、SIFT算法SIFT（Scale Invariant Feature Transform）算法是一种用于检测和描述图像中的局部特征的算法。
它由David Lowe在1999年提出，是一种具有尺度不变性和鲁棒性的特征提取算法，并被广泛应用于物体检测、图像匹配和三维重建等领域。
SIFT算法的主要步骤包括尺度空间极值检测、关键点精确定位、方向分配和特征描述等。
首先，通过构建尺度空间图像和高斯差分金字塔，从图像中检测出尺度空间极值点，用于确定关键点的位置和尺度。
然后，对关键点进行迭代精确定位，通过求解关键点的仿射变换参数来提高关键点的准确性。
接下来，通过梯度方向直方图统计的方法为每个关键点分配主方向，用于为关键点的描述子进行旋转。
最后，使用关键点周围的梯度信息生成一个128维的特征向量作为关键点的描述子，该描述子具有尺度不变性和鲁棒性。
SIFT算法的优点是具有良好的尺度不变性和鲁棒性，在复杂的环境下仍能较好地提取和匹配特征。
06-空间度量算法
2. 直线 3)参数方程形式
地 理 信 息 系 统 算 法 基 础
用两点P0和P1定义的并且带有方向矢量vL的直线
参数t的取值范围为 (0~1)时表示P0和P1 之间的点
4. 点到直线的距离 定义
地 理 信 息 系 统 算 法 基 础
这里的直线指向两方无限延伸的直线; 点到直线的距离就是点P到直线的垂足PB两点之 间的距离
P P1 PB
P0
4. 点到直线的距离 1）两点式方程情况
地 理 信 息 系 统 算 法 基 础
由三点构成 两个矢量
根据两个三维矢量的矢量积的模等于两矢量构成的平 行四边形的面积，推得P到直线P0P1的距离：
其中
4. 点到直线的距离 1）两点式方程情况
地 理 信 息 系 统 算 法 基 础
对一个嵌人三维中的二维的情况点
地 理 信 息 系 统 算 法 基 础
v1θv2来自//计算两个矢量的夹角
double angle(SVec3D v1, SVec3D v2) { double m1 = sqrt(v1.x*v1.x+v1.y*v1.y+v1.z*v1.z); double m2 = sqrt(v2.x*v2.x+v2.y*v2.y+v2.z*v2.z); double dot = v1.x*v2.x+v1.y*v2.y+v1.z*v2.z; return acos(dot/(m1*m2)); }
3. 任意2维平面多边形面积 分析
地 理 信 息 系 统 算 法 基 础
式(1),(2),(3)实际是等价的(将三式展开直接 可以推出等价性)； 式(3)计算效率最高
(1) (2) (3) Vn=V0 Vn+1=V1
度量空间——精选推荐
设E 是集合，若映射:[0,)d E E R +×=+∞ 满足下述性质： M1：(,)0d x y x y =⇔= M2：(,)(,)d x y d y x = M3：(,)(,)(,)d x y d x z d z y ≤+则称映射d 是E 上的度量(metric)，(,)d x y 称为点x ,y 间的距离(distance)，(,)E d 称为度量空间(Metric space)[例1] 在实线R 上，映射(,)||x y x y →−是通常的度量 [例2] 设G 是一个（加法）交换群，映射:p G R + 满足：()00;()();()()()p x x p x p x p x y p x p y =⇔=−=+≤+则映射(,)()d x y p x y =−是G 上的度量 比如，12{(,,...,):}n n i R x x x x x R ==∈，1/1()(||),1nq q i i p x x q ==≥∑满足上述三个性质，因此1/1(,)()(||),1nq q i i i d x y p x y x y q ==−=−≥∑是n R 上的度量。
[例3] 离散度量：E 是一任意集合，(,)0;(,)1d x y if x y d x y if x y ===≠[距离空间的积]设{(,):1,2,...,}i i E d i n =是一簇度量空间，令积空间112(...)n i i n E E E E E ==×=×××，则（1）1/1(,)(,),1qnqq i i i i d x y d x y q =⎛⎞=≥⎜⎟⎝⎠∑（2）(,)sup (,)i i i i d x y d x y ∞= 均为积空间E 上的度量 [度量的等价性]设,d d ′是集合E 上的两个度量，如果存在常数12,0c c >使得1212(,)(,)(,),(,)()c d x y d x y c d x y x y E Ec d d c d ′≤≤∀∈×′≤≤则称,d d ′是等价的，记作d d ′∼[例4] 在积空间1n i i E E ==×中，不难验证：1/,1q q d d n d q ∞∞≤≤≥因此，{:[1,]}q d q ∈∞是E 上的一簇等价度量。
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结泛函分析知识总结与举例、应⽤学习泛函分析主要学习了五⼤主要内容：⼀、度量空间和赋范线性空间；⼆、有界线性算⼦和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算⼦的谱。
本⽂主要对前⾯两⼤内容进⾏总结、举例、应⽤。
⼀、度量空间和赋范线性空间（⼀）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧⽒空间n R （有限维空间）的推⼴，所以学好它有助于后⾯知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是⼀个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯⼀确定的实数d(x,y)与之对应，⽽且这⼀对应关系满⾜下列条件： 1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ? x=y （⾮负性） 2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对?z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常⽤的⽅法）注意:⑴定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满⾜1°、2°、3°都称为度量。
这⾥“度量”这个名称已由现实⽣活中的意义引申到⼀般情况，它⽤来描述X 中两个事物接近的程度，⽽条件1°、2°、3°被认为是作为⼀个度量所必须满⾜的最本质的性质。
⑵度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同⼀个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶集合X 不⼀定是数集，也不⼀定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，⽽称“度量空间X ” 。
空间几何的度量
空间几何的度量空间几何是一门涉及空间的形状、大小、位置、方向等特性的数学学科。
作为几何学的一部分，空间几何是研究实际空间与抽象空间的关系，研究空间内的各种图形的性质与变换。
而度量则是空间几何的重要工具，它可以帮助我们计算出空间内的距离、面积、体积等。
度量基础知识空间几何的度量涉及到三个概念：长度、面积和体积。
长度是两点间的直线距离，面积是平面内图形所占的面积，体积是立体图形所占的空间。
度量的单位有很多种，一般可以用国际单位制下的长度、面积和体积单位进行度量。
例如，长度的单位有米（m）、千米（km）、英尺（ft）等；面积单位有平方米（m²）、平方千米（km²）、平方英尺（ft²）等；体积单位有立方米（m³）、立方千米（km³）、立方英尺（ft³）等。
度量的方法也有很多种。
对于长度，我们可以测量（如测地线、测量地图上的距离）或者计算（如通过勾股定理计算斜边和直角边的长度）。
对于面积，我们可以使用勾股定理计算一个三角形或四边形的面积，而对于更复杂的图形，如圆形、椭圆形，则需要使用特定的公式来计算。
对于体积，我们可以使用棱柱、棱锥和圆柱等公式。
度量的应用度量在现实中应用广泛。
例如，建筑施工时需要准确测量建筑物的长度、宽度和高度，以确保建筑物符合规划要求。
工程师利用度量来设计和建造道路、桥梁、隧道等基础设施。
地理学家使用长度、面积和体积来研究地球表面的各种地形特征和海洋迁移。
度量也在数学教育中得到广泛应用。
例如，高中和大学的数学课程中，学生需要掌握勾股定理、三角函数和导数等基本数学概念，并学会使用它们来计算各种几何图形的属性。
总之，度量作为空间几何学科的基础工具，对研究空间内的各种图形性质和计算距离、面积及体积具有重要作用。
掌握度量的方法及其应用可能会帮助我们理解空间内的各种现象，更好地解决现实生活中的问题。
欧几里德空间距离度量
欧几里德空间距离度量
欧几里德空间距离度量，也称为欧氏度量，是指在欧几里德空间中，两个点之间的距离的度量方式。
在二维平面上，我们可以使用勾股定理计算两点之间的欧几里德距离。
在三维空间中，我们可以使用三维勾股定理计算两个点之间的距离。
在一般情况下，欧几里德距离的计算公式如下：
d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)
其中，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)是两个点的坐标。
这个公式可
以推广到更高维的欧几里德空间中。
欧几里德距离度量具有以下特点：
1. 正性：距离永远大于等于0，当且仅当两点重合时等于0。
2. 对称性：即A点到B点的距离等于B点到A点的距离。
3. 三角不等式：欧几里德距离满足三角不等式，即对于任意三个点A，B，C，有d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C)。
欧几里德距离度量在几何学、统计学、机器学习等领域具有广泛的应用。
在机器学习中，欧几里德距离常被用作特征之间的相似性度量，例如在K近邻算法中，可以使用欧几里德距离
度量来计算样本之间的相似性。
空间几何中的角度与距离计算
空间几何中的角度与距离计算在空间几何中，角度与距离的计算是非常重要的。
通过正确计算角度和距离，我们能够准确描述和分析物体的位置、运动以及相互关系。
本文将介绍空间几何中常用的角度计算方法和距离计算方法。
一、角度计算在空间几何中，角度是表示物体之间相对方向关系的重要指标。
常见的角度计算方法有以下几种：1. 余弦定理余弦定理是计算三角形内角的常用方法之一。
在空间几何中，如果已知三点的坐标，可以通过余弦定理计算出这三个点所形成的夹角。
余弦定理的公式如下：cos A = (b² + c² - a²) / (2bc)其中，A为夹角的大小，a、b、c为夹角对应的边长。
2. 矢量法矢量法是一种基于向量运算的角度计算方法。
通过将空间中的两个向量进行运算，可以得到它们之间的夹角。
常见的向量法角度计算包括点乘法和叉乘法。
（1）点乘法：两个向量的点乘结果等于它们的模长相乘再乘以它们之间的夹角的余弦值。
可以通过点乘法计算向量之间的夹角。
（2）叉乘法：两个向量的叉乘结果等于它们的模长相乘再乘以它们之间的夹角的正弦值。
可以通过叉乘法计算向量之间的夹角。
3. 三角函数在空间几何中，三角函数也是用于角度计算的常用方法之一。
通过正弦、余弦和正切等三角函数的运算，可以计算出角度的大小。
三角函数的计算方法需要先将坐标系进行转换，然后根据坐标的数值，利用相应的三角函数公式进行计算。
二、距离计算在空间几何中，距离是表示物体之间远近程度的重要指标。
常见的距离计算方法有以下几种：1. 欧几里得距离欧几里得距离是空间几何中最常用的距离计算方法。
对于二维或三维空间中的两个点，欧几里得距离可以通过计算它们在各坐标轴上的差值的平方和再开方的方式得到。
欧几里得距离的公式如下：d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]其中，d为距离，(x₁, y₁, z₁)和(x₂, y₂, z₂)分别为两个点的坐标。
度量空间(距离空间)
《度量空间》读书笔记金融数学10本 黄小听 17号关键词：度量空间 距离 连续映射 可分性 列紧性 完备性 完备化在数学分析中，当实数集R 中点列}{n x 的极限为x 时，用||x x n -来表示n x 与x 的接近程度。
实际上，|x x |n -可表示为数轴上n x 与x 这两点间的距离。
那么R 中点列}{n x 收敛于x 也就是指n x 与x 之间的距离随着∞→n 而趋于0，即0),(lim =∞→x x d n n 。
于是设想在一般的点集X 中如果也有“距离”，则在点集X 中也可借这一距离来定义极限，那么究竟什么是距离呢？一 度量空间的定义定义1.1 设X 是一个非空集合，若存在映射R X X d →⨯:，使得X z y x ∈∀,,，均满足以下三个条件：(1)0),(≥y x d ，且0),(=y x d 当且仅当y x =（非负性）；(2)),(),(x y d y x d =（对称性）；(3)),(),(),(z y d y x d z x d +≤（三角不等式），则称d 为X 上的一个度量函数（或距离函数），),(d X 为度量空间（或距离空间），简记为X 。
注：若X 为度量空间，Y 是X 的一个非空子集，则Y 也是一个度量空间，称Y 为X 的子空间。
例1-1 n 维欧氏空间n R 。
解析：n 维欧氏空间n R ，n R 表示n 维向量),,,(21n x x x x ⋯=。
对于n R 中任意两点),,,(x 21n x x x ⋯=，)y ,,,y (y 21n y ⋯=，定义： 21]||[),(12∑=-=n i i i y x y x d 易证）y x d ,(满足距离的条件，且其中的三角不等式为：≤-∑=21]||[12n i i i z x 21]||[12∑=-n i i i y x +21]||[12∑=-n i i i z y 因此，),(d R n 是度量空间，其中d 称为欧几里得距离。
度量空间一种自底向上索引树构造算法
方法 ，ｕｔ ｅ可以在 更 小的 索引半径 内包含 更 多 的对 象 ， 样 有 利 于 查询 的 筛选 ． 出 了 ｂ —ｒｅ的 构 ｂ— ｅ ｒ 这 给 ｕｔｅ 造 算法 以及相 应 的 范围查询 算 法． 实验表 明 ，ｕｔｅ ｂ — ｅ的性 能好 于 ｓ— ｅ ， ｒ ａｔ ｅ 特别 是 在度 量 空 间 不是 均 匀分 ｒ 布 或者 查询 具有较 低 的选择 度情 况 下．
关键词 度 量 空 间 ； 引树 ； 似 性 搜 索 索 相
ＴＰ ９ ． １ ３ １４
中图 法 分 类 号
在数 据 库研 究 领 域 中 ， 统 的数 据 库 管 理 系统 传 用 来处 理一 些 已经预 先 定义 好 结 构 的数 据 对 象 ． 对
２０３ ） ０ ４ ３
Ａ ｔ ｏ — ｓ ａ ｅ Ｂａ ｅ ｎｄ ｘ Ｔｒ ｅ ｆ ｒ Ｍ ｅ ｒ ｃ Ｓ ａ ｅ Ｂｏ ｔ ｍ Ｕｐ Ｄｉ ｔ ｎｃ － ｓ ｄ Ｉ ｅ ｅ ｏ ｔ ｉ ｐ ｃ
Ｌｉ ｉｇ，Ｙａ ｐｎ ，Ｄｕ ｎＪａ ｇｉｏ ｕＢｎ ｎ Ｈｅ ｉｇ ａ ｉｎ ｊ ，Ｗａ ｇ Ｗ ｅ，ａ ｄ Ｓ ｉ ｉ ａ ｎ ｉ ｎ ｈ ｌ Ｂａ ｅ
ｅｐ ｃａｌ ｅ ｈ ｂｅ ｔ ｒ ｏ ｎｆ ｒ ｙ ｄｓｒｂ ｔｄ ｏ ｈ ｕ ｒ ａ ｗ ｅｅ ｔ ｉｙ ｓ ｅ ｉｌ ｗｈ ｎ ｔ ｅｏ ｊｃｓａｅｎ ｔｕ ｉ ｍｌ ｉｔｉｕ ｅ ｒｔｅｑ ｅｙｈ ｓｌ ｓ ｌｃｉ ｔ ． ｙ ｏ ｏ ｖ
Ｋｅ ｒ ｓ ｍ ｅ ｒｃｓ ａ ｅ；ｉ ｅ ｒ ｅ；ｓｍ ｉ ｒｔ ｅ ｒ ｈ ｙ ｗｏ ｄ ｔ ｉ ｐ ｃ ｎｄ ｘ ｔｅ ｉ ｌ ｉｙ ｓ ａ ｃ ａ
４ （ ） ６ １ １５ ３ ９ ：１ ５ ～ ６ ７，２ ０ ０６
线性空间和度量空间
线性空间和度量空间摘要：线性空间和度量空间是很重要的内容，本文对空间的线性结构和度量结构做了简单总结，体现了空间的度量结构和线性结构之间具有某种协调性，特别重要和有用的一类度量空间是赋范线性空间.而向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的内积来表示. 关键词：空间；线性；度量线性空间是线性代数最基本的概念之一.在解析几何中，讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以按平行四边形规律来描述的.定义1 设X 是一个集合，P 是一个数域.在集合X 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于X 中任意两个元素α与β，在X 中都有唯一的一个元素γ与它们对应，称为α与β的和，记为βαγ+=.在数域P 与集合X 的元素之间还定义了一运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域P 中任一数k 与X 中任一元素α，在X 中都有唯一的一个元素δ与它们对应，称为k 与α的数量乘积，记为αδk =.如果加法与数量乘法满足下述规则，那么X 称为数域P 上的线性空间.加法满足下面四条规则：1）αββα+=+；2）)()(γβαγβα++=++；3）在X 中有一个元素0，对于X 中任一元素α都有αα=+0； 4）对于X 中每一个元素α，都有X 中的元素β，使得0=+βα.数量乘法满足下面两条规则： 5）αα=1； 6）αα)()(kl l k =.数量乘法与加法满足下面两条规则： 7）αααl k l k +=+)(； 8）βαβαk k k +=+)(.在以上规则中，k ，l 等表示数域P 中任意数；α，β，γ等表示集合X 中任意元素.由定义，几何空间中全部向量组成的集合是一个实数域上的线性空间.分量属于数域P 的全体n 元数组构成数域P 上的一个线性空间，这个线性空间我们用n P 来表示.下面我们直接从定义来证明线性空间的一些简单性质. 1. 零元素是唯一的.假设10，20是线性空间V 中的两个零元素.我们来证2100=.考虑和2100+.由于10是零元素，所以221000=+.又由于20也是零元素，所以 1122100000=+=+. 于是22110000=+=这就证明了零元素的唯一性.2. 负元素是唯一的.这就是说，适合条件0=+βα的元素β是被元素α唯一确定的. 假设α有两个负元素β与γ，0=+βα，0=+γα.那么γγγαβγαβββ=+=++=++=+=0)()(0. 向量α的负元素记为α-.利用负元素，我们可以定义减法如下：)(βαβα-+=-.3. ααα-=-==)1(;00;0k o . 我们先来证0=αo .因为ααααααα==+=+=+1)1(1o o o .两边加上α-即得0=αo .再证第三个等式.我们有0)11()1(1)1(==-=-+=-+ααααααo两边加上α-即得αα-=-)1(易证000)00(0=-=-=k k k k4. 如果0=αk ，那么o k =或者0=α . 假设o k ≠，于是一方面00)(11==--k k k α .而另一方面αααα===--1)()(11k k k k 00)(11==--k k k α.由此即得0=α对于线性变换，定义加法与数量乘法，线性空间X 上全体线性变换对于加法与数量乘法，也构成数域P 上一个线性空间.定义2 设V 是数域P 上的一个线性空间，f 是V 到P 的一个映射，如果f 满足1）)()()(βαβαf f f +=+； 2）)()(ααkf k f =，式中α，β是V 中任意元素，k 是P 中任意数，则称f 为V 上的一个线性函数.设V 是数域P 上一个n 维线性空间.V 上全体线性函数组成的集合记作),(P V L .可以用自然的方法在),(P V L 上定义加法和数量乘法.设f ，g 是V 的两个线性函数.定义函数g f +如下：V g f g f ∈+=+αααα),()())((.g f +也是线性函数：)()())((βαβαβα+++=++g f g f )()()()(βαβαg g f f +++= ))(())((βαg f g f +++=，)()())((αααk g k f k g f +=+)()(ααkg kf += ))((αg f k +=，g f +称为f 与g 的和.还可以定义数量乘法.设f 是V 上线性函数，对P 中任意数k ，定义函数kf 如下：V f k kf ∈=ααα)),(())((，kf 称为k 与f 的数量乘积，易证kf 也是线性函数.容易检验在这样定义的加法和数量乘法下，),(P V L 称为数域P 上的线性空间.取定V 的一组基12,,...,n εεε，作V 上n 个线性函数12,,...,,n f f f 使得()1,;0,,i j j i f j i ε=⎧=⎨≠⎩()1,1,2,...,.i j n =因为i f 在基12,,...,,n εεε上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.对V 中向量1,ni i i x αε==∑有()i i f x α=， ()2即()i f α是α的第i 个坐标的值.引理 对V 中任意向量α，有()1,ni i i f ααε==∑ ()3而对(,)L V P 中任意向量f ，有()1.ni i i f f f ε==∑ ()4证明: ()3是()2的直接结论，而由()1及()3就得出()4.定理1 (,)L V P 的维数等于V 的维数，而且12,,...,n f f f 是(,)L V P 的一组基. 证明 首先证明12,,...,n f f f 是线性无关的，设 1122...0n n c f c f c f +++= ()12,,...,n c c c P ∈.依次用12,,...,n εεε代入，即得12...0n c c c ====.因此12,,...,n f f f 是线性无关的. 又由()4知(,)L V P 中任一向量都可以由12,,...,n f f f 线性表出，所以12,,...,n f f f 是(,)L V P 的一组基，()dim ,dim .L V P n V ==定义 3 (,)L V P 称为V 的对偶空间.由()1决定的(,)L V P 的基，称为12,,...,n εεε的对偶基.以后我们简单地把V 的对偶空间记作V *.例1 考虑实数域R 上的n 维线性空间[]n V P x =，对任意取定的n 个不同实数12,,...,,n a a a 根据拉格朗日插值公式，得到n 个多项式 ()()()()()()()()()111111......,......i i n i i i i i i i n x a x a x a x a p x a a a a a a a a -+-+----=---- 1,2,...,.i n = 它们满足()1,;0,,,1,2,...,.i j j i p a j i i j n =⎧=⎨≠=⎩()()()12,,...,n p x p x p x 是线性无关的，因为由 ()()()1122...0,n n c p x c p x c p x +++= 用i a 代入，即得()()10,nk k i i i i i k c p a c p a c ====∑1,2,...,.i n =又因V 是n 维的，所以()()()12,,...,n p x p x p x 是V 的一组基. 设()1,2,...,i L V i n *∈=是在i a 点的取值函数： ()()()(),,i i L p x p a p x V =∈ 1,2,...,.i n =则线性函数i L 满足()()()1,;0,,,1,2,...,.i j j i j i L p x p a j i i j n =⎧==⎨≠=⎩ 因此，12,,...,n L L L 是()()()12,,...,n p x p x p x 的对偶基.在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法与数量乘法，统称为线性运算.如果以几何空间中的向量作为线性空间理论的具体模型，那么就会发现向量的度量性质，如长度，夹角等，在线性空间的理论中没有得到反映.但是向量的度量性质在许多问题中有着特殊的地位.定义4 设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y 都有唯一确定的实数),(y x d 与之对应而且这一对应关系满足下列条件：1）0),(,0),(=≥y x d y x d 的充要条件为y x =；2）),(),(),(z y d z x d y x d +≤，对任意z 都成立，则称),(y x d 是x ，y 之间的距离，称),(d X 为度量空间.例2 可测函数空间)(X M .设)(X M 为X 上实值（或复值）的Lebesgue 可测函数全体，m 为Lebesgue 测度，若∞<)(X m ，对任意两个可测函数)(t f 及)(t g ，由于1)()(1)()(<-+-t g t f t g t f所以这是X 上可积函数，令⎰-+-=Xdt t g t f t g t f g f d )()(1)()(),(.如果把)(X M 中两个几乎处处相等的函数视为)(X M 中同一个元，那么利用不等式bb aa ba b a +++≤+++111及积分性质容易验证),(g f d 是距离.因此)(X M 按上述距离),(g f d 称为度量空间.例3 2.l记{}221:.k k k l x x x ∞=⎧⎫==<∞⎨⎬⎩⎭∑设{}{}22,,k k x x l y y l =∈=∈定义()()1221,,k k k d x y y x ∞=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑则d 是2l 上的距离（可以证明d <∞）.距离条件的1 是容易得出的.现检验条件2.对任意正整数n ，()()12,,...,n n x x x x =和()()12,,...,n n y y y y =都是n R 中元素，由Cauchy 不等式222111,n n nk k k k k k k x y x y ===⎛⎫≤⋅ ⎪⎝⎭∑∑∑不等式右端令n →∞，得222111.n k k k k k k k x y x y ∞∞===⎛⎫≤⋅ ⎪⎝⎭∑∑∑再令左端的n 趋于∞，即得222111.k k k k k k k x y x y ∞∞∞===⎛⎫≤⋅<∞ ⎪⎝⎭∑∑∑由此可得()22211112k k kk k k k k k k x y x x y y ∞∞∞∞====+=+⋅+∑∑∑∑12222211112kk k k k k k k x x y y ∞∞∞∞====⎛⎫≤+⋅+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑211222211.k kk k x y ∞∞==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑ 今取{}{}{},,.k k kξξηηζζ===以,k k k k k k x y ζξηζ=-=-代入上式，即可得,,ξηζ的三点不等式()()(),,,.d d d ξηξζζη≤+由上述例子可见，度量空间除了有限维的欧几里得空间n R 之外，还包括其他的空间.定义5 设),(d X X =是度量空间，{}n x 是X 中点列，如果对任何事先给定的正数0>ε，存在正整数)(εN N =，使当N m n >,时必有ε<),(m n x x d ，则称{}n x 是X 中的柯西点列.如果度量空间),(d X 中每个柯西点列都在),(d X 中收敛，那么称),(d X 是完备的度量空间.例4 l ∞是完备度量空间.证明 设{}m x 是l ∞中的柯西点列，其中()()()12,,...m mm x ξξ=，对于任意0ε>，存在正整数N ，当时,n m N >时，()()(),sup m n m n j j jd x x ξξε=-< ()5因此，对每一个固定的j ，当,n m N >时，成立()().m nj j ξξε-< ()6这就是说，数列()k j ξ,1,2,..k =是柯西数列，因此，存在数j ξ，使得()()k j j n ξξ→→∞，令()12,,....x ξξ=下面证明x l ∞∈，且().m x x m →→∞在式中，令n →∞，我们得到，对一切m N >，成立(),mj j ξξε-≤ ()7 又因()()()()12,,...,,...m m mm j x l ξξξ∞=∈，因此存在实数m K ，使得对所有j ，成立()m j m K ξ≤.因此，()().m mj j j j m K ξξξξε≤-+≤+这就证明了x l ∞∈.由()7式，可知对一切m N >，成立()(),sup .mm j j jd x x ξξε=-≤所以().m x x m →→∞因此l ∞是完备度量空间.证毕.令C 表示所有收敛的实（或复）数列全体，对C 中任意两点()()1212,,...,,,...x y ξξηη==，令(),sup .j j jd x y ξη=-易证C 是一度量空间，实际上它是l ∞的一个子空间.特别重要和有用的一类度量空间是赋范线性空间.在赋范线性空间中的元素可以相加或者数乘，元素之间不仅有距离，而且每个元素有类似于普通向量长度的叫做范数的量.定义6 设X 实（或复）的线性空间，如果对每个向量X x ∈，有一个确定的实数，记为x 与之对应，并且满足：1)0≥x ,且0=x 等价于0=x ； 2)x x αα=其中α为任意实（复）数； 3）y x y x +≤+，，y X ∈，则称x 为向量x 的范数，称X 按范数x 称为赋范线性空间.设{}n x 是X 中点列，如果存在X x ∈，使)(0∞→→-n x x n ，则称{}n x 依范数收敛于x .记为)(∞→→n x x n ，或x x n x =∞→lim .如果令y x y x d -=),( X y x ∈),(，容易验证),(y x d 是X 上的距离，且{}n x 依范数收敛于x 等价于{}n x 按距离),(y x d 收敛于x .称),(y x d 为由范数x 导出的距离.所以赋范线性空间实际上是一种特殊的度量空间.如果),(y x d 是由x 导出的距离，x 那么这种距离和线性运算之间有某种关系，即对任何数α和向量X y x ∈,，有（a ）),()0,(y x d y x d =-， （b ）)0,()0,(x d x d αα=.反之，如果X 是线性空间，d 是X 上的距离，并且满足条件（a ）和（b ），那么一定可以在X 上定义范数x ，使d 是由x 所导出的距离.事实上，令)0,(x d x =，由条件（a ），（b ），不难证明这样定义的x 是范数，且y x y x d -=),(.条件（a ），（b ）反映了空间的度量结构和线性结构之间具有某种协调性.完备的赋范线性空间称为Banach 空间例5 空间∞l ，对每个∞∈=l x ),,(21 ξξ，定义j jx ξsup =. (8)不难验证∞l 按(8)中范数成为Banach 空间.在解析几何中看到，向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的内积来表示，而且向量的内积有明显的代数性质.所以在抽象的讨论中，取内积作为基本的概念.定义7 设X 是实数域R 上一线性空间，在X 上定义了一个二元函数，称为内积，记作〉〈βα,，它具有以下性质：1）〉〈=〉〈αββα,,； 2）〉〈=〉〈βαβα,,k k ； 3）〉〈+〉〈=〉+〈γβγαγβα,,,；4）0,≥〉〈αα，当且仅当0=α时0,=〉〈αα；这里α，β，γ是X 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间X 称为欧几里得空间.例6 在闭区间[]b a ,上的所有连续函数所成的空间[]b a C ,中，对于函数)(x f ，)(x g 定义内积⎰=〉〈badx x g x f g f )()(,. （9）由定积分的性质不难证明，对于内积(9)构成一欧几里得空间.欧式空间是专对实数域上的线性空间而讨论的.酉空间实际就是复数域上的欧式空间.定义8 设X 是复数域上的线性空间，在X 上定义了一个二元函数，称为内积，记作〉〈βα,，它具有以下性质：1）〉〈=〉〈αββα,,，这里〉〈αβ,是〉〈αβ,的共轭复数； 2）〉〈=〉〈βαβα,,k k ； 3）〉〈+〉〈=〉+〈γβγαγβα,,,；4)〉〈αα,是非负实数，且0,=〉〈αα当且仅当0,=〉〈αα.这里α，β，γ是X 中任意向量，k 为任意复数，这样的线性空间称为酉空间. 如果照搬欧氏空间内的〉〈=〉〈αββα,,，对于0≠α，有0,,,2<〉〈=〉〈=〉〈ααααααi i i与0,>〉〈ααi i 是矛盾的. 所以将对称性修改成〉〈=〉〈αββα,,这一性质称为埃而米特性.所以0,,,,,>〉〈=〉〈=〉〈=〉〈=〉〈ααααααααααi i i i i i i i .这样就不矛盾了.来看一个例子：在复数域C 上的n 维线性空间n C 中，对向量),,,(21n a a a =α，),,,(21n b b b =β定义二元复函数 n n b a b a b a +++=〉〈 2211,βα.根据酉空间的4个条件可以判断n C 构成一个酉空间.由内积的定义可知：1 若〉〈=〉〈=〉〈=〉〈βααβαββα,,,,k k k k ，特别00,=〉〈α. 2 〉〈+〉〈=〉〈+〉〈=〉+〈=〉+〈γαβααγαβαγβγβα,,,,,,，由1，2可知，酉空间的内积对第二个变量是半线性的.换句话说就是：〉〈+〉〈=〉+〈22112211,,,βαβαββαk k k k .3 因为0,≥〉〈αα，由此我们同样可以定义向量α的长度，〉〈=ααα,.特别的，若1=α，称α为单位向量.由向量α的长度可以得到以下一些性质：（1）ααk k =),(),(ααααk k k k = 也就是说222ααk k = ααk k =∴（2）若0≠α，则αα1为单位向量.（3）柯西—布涅柯夫斯基不等式仍然成立，也就是：X ∈∀βα,有βαβα≤),(，其中),(βα表示复数（βα,）的模，当且仅当βα,线性相关时，等号成立.对于以上的不等式，对于非零向量βα,可以定义它们的夹角βαβαβα),(arccos,=〉〈， 其中πβα≤〉〈≤,0若0,=〉〈βα，那么2,πβα>=<，这时称βα,是正交的，记作βα⊥.参考文献： [1] 邱森编.高等代数.武汉：武汉大学出版社.[2] 丘维声.高等代数.北京：高等教育出版社，2003.8.[3] 张禾瑞.郝鈵新.高等代数.北京：高等教育出版社，2007.6.[4] 王萼芳.石生明.高等代数.北京：高等教育出版社，2003.7.[5] 程其襄.张奠宙.魏国强.胡善文.王潄石.实变函数与泛函分析基础. 北京：高等教育出版社，2003.7.[6] 陈传璋.金福林.朱学炎.欧阳光中.数学分析.北京：高等教育出版社，1983.7.Linear spaces and metric spacesWang Weidong (200611009)Institute of Mathematical Sciences, Mathematics and Applied Mathematics 06 (1) ClassInstructor Su Yala TuAbstract: The linear space and metric space is a very important part of this paper the linear structure of space and structure to do a simple summary measure reflects the metric structure of space and linear structure of a coordination between, the vector Measure the length and nature of the angle between the vector can be adoptedto represent the inner product.Key words:space; linear; measure。
度量空间
例，设 ρ：R×R→R 为ρ(x, y)=│x－y│，x、y、ρ(x, y)∈R，
则ρ是“R上”的一个度量， 为R上的常用度量， 称度量空间(R, ρ)为实数空间或实直线。 “实数空间”度量了数轴上任意二点间的绝对距离。
-1-
例，设n∈N(自然数集合)，ρi：Rn×Rn→R（i=0，1，2，3） ，对
∀x=(x1，…，xn)、y=(y1，…，yn)∈R ，有： （1） 设(X, ρ)为度量空间，如果对于∀x∈X， “存在”一个实数εx＞0， 使得对任意y∈X，x≠y，有ρ(x,y)＞εx， 则称ρ是X上离散度量， 称(X, ρ)是离散(度量)空间
[２]
n
。
例，定义ρ0为： ρ0(x,y)=0，当x＝y； ρ0(x,y)=1，当x≠y； 证明：ρ0是一个离散度量。
[１]
度量空间是一类特殊的拓扑空间。
一、度量空间
定义 设 X 为非空集合，∃ρ：X×X→R，使∀x、y、z∈X 满足：
（1） 正定性：ρ(x,y)≥0，并且ρ(x,y)=0当且仅当 x=y； （2） 对称性：ρ(x,y)=ρ(y,x)； （3）三角不等式：ρ(x,z)≤ρ(x,y)＋ρ(y,z) 则ρ(x,y)称为度量空间(X, ρ)从点x到点y的距离， ρ是X的一个度量(metric)， 偶对(X, ρ)为度量空间(metric space)。
-7-
例，度量空间的开集由距离/度量导出，同一集合上的不同度量可能
导出相同的开集，即某一集合对某一度量/距离是开集，则对另一度量/ 距离也是开集，从而导出的拓扑是相同的。 在Rn中给出如下三种距离/度量：
ρ1(x, y) = (∑(xi − yi ) ) ，ρ2 ( x, y) = max | xi − yi | ，ρ3 ( x, y) = ∑| xi − yi | 1≤ i ≤ n i =1 i =1
第二章 线性空间与度量空间(理工大)
§2.3 距离空间
பைடு நூலகம் X , Y xi yi
i 1
n
2 X , Y xi yi i 1 X , Y max xi yi
n i
1
2
10
§2.3 距离空间－收敛
• 收敛： 度量空间W , 中的点列 xn n 1 收敛于x0
空间。
5
§2.1 线性空间
• 线性空间W上的算子L为线性算子
N N L i Xi i L Xi i 1 i 1
• 零状态线性系统系统算子为线性算子
6
§2.2 线性子空间
• 线性子空间：设 Ø ≠V W， V是W的线性 子空间 对X, Y V , , , 有 X + Y V • 直和：设 W1 , W2 ,, Wp是W的子空间,若X W ,
– 例：
1 n 1 n
, W [ 0,1 , X Y ,
X , Y W
n 1
1 是柯西序列,但 0, n , 0 [ 0,1 n n 1
13
§2.3 距离空间－完备度量空间
• 完备度量空间——Complete Metric Space W , 称为完备度量空间，指其中所有柯 西序列都收敛。
ii. X, Y Y, X （可交换性） iii. X, Z X, Y Y, Z （三角不等式）
i. X, Y 0, 且 X, Y 0 X = Y （正定性）
• X, Y 称为W上的距离， W , 为度量空间。
ⅴ. X + Y = Y + X （交换律）
度量空间(距离空间)
《度量空间》读书笔记金融数学10本 黄小听 17号关键词：度量空间 距离 连续映射 可分性 列紧性 完备性 完备化在数学分析中，当实数集R 中点列}{n x 的极限为x 时，用||x x n -来表示n x 与x 的接近程度。
实际上，|x x |n -可表示为数轴上n x 与x 这两点间的距离。
那么R 中点列}{n x 收敛于x 也就是指n x 与x 之间的距离随着∞→n 而趋于0，即0),(lim =∞→x x d n n 。
于是设想在一般的点集X 中如果也有“距离”，则在点集X 中也可借这一距离来定义极限，那么究竟什么是距离呢？一 度量空间的定义定义1.1 设X 是一个非空集合，若存在映射R X X d →⨯:，使得X z y x ∈∀,,，均满足以下三个条件：(1)0),(≥y x d ，且0),(=y x d 当且仅当y x =（非负性）；(2)),(),(x y d y x d =（对称性）；(3)),(),(),(z y d y x d z x d +≤（三角不等式），则称d 为X 上的一个度量函数（或距离函数），),(d X 为度量空间（或距离空间），简记为X 。
注：若X 为度量空间，Y 是X 的一个非空子集，则Y 也是一个度量空间，称Y 为X 的子空间。
例1-1 n 维欧氏空间n R 。
解析：n 维欧氏空间n R ，n R 表示n 维向量),,,(21n x x x x ⋯=。
对于n R 中任意两点),,,(x 21n x x x ⋯=，)y ,,,y (y 21n y ⋯=，定义： 21]||[),(12∑=-=n i i i y x y x d 易证）y x d ,(满足距离的条件，且其中的三角不等式为：≤-∑=21]||[12n i i i z x 21]||[12∑=-n i i i y x +21]||[12∑=-n i i i z y 因此，),(d R n 是度量空间，其中d 称为欧几里得距离。
度量空间
度量空间
在近似代数中，对任意一个集合，赋予它一个或多个满足一定条件 的运算，就说这个集合具有一个代数结构，构成一个代数系统，从而可 在其上进一步研究代数问题。 ，使它构成一个拓扑空 对任意一个集合，赋予它一个“拓扑结构” 间，就可以在其上讨论“连续（变换） ”问题，研究拓扑变换（特殊的 连续映射）下的不变性 。
∞
二、开球/球形邻域
定义 设(X, ρ)为度量空间，ε＞0，x∈X，X 的子集： B(x,ε)={ y∈X│ρ(x,y)＜ε }
称为度量空间(X, ρ)的以点x为中心，以 为中心 ε为半径的“开球/球形邻
域” ，或点x的“ε-邻域(x－ε, x＋ε)” ，即与点x距离ρ小于ε的所有点构成
的集合。
三、开集
定义 设(X, ρ)为度量空间， β是其 “所有开球” 构成的集合族， A⊆X，
， “所有开 若∃β0⊆β，使A=∪B∈β0B，则A称为度量空间(X, ρ)的“开集” 集”构成的集族记为Τρ。 定义说明：开集是若干开球的并集。 显然可知：每一个开球都是开集。
例 （1）实数空间 R 中的任意开区间(a, b)都是开集，
-4-
(1) X 的每一个子集都为开集同时又为闭集； (2) 若 Y 也是一个度量空间， 则任何映射 f： (X,d)→(Y,ρ)都是连续的。 证明
[３]
(1) 因为(X,d)是一个离散度量空间，则对于每一个x0∈X，
存在一个实数δ0>0，使得对于任何x∈X，x≠x0，d(x,x0)>δ0成立。 设A是X的任意子集，对于任意x0∈A，球形邻域B(x0,δ0)={x0}⊆A， 因此A是开集。 同理可证AC是开集，即证得A是闭集。 显然 X，Φ 既开又闭 所以 X 的每个子集既是开集又是闭集。 (2) 任意取x0∈X，ε>0，因为(X,d)是一个离散度量空间，所以总存在 δ>0，使得对于任何x∈X，d(x,x0)>δ。 当 d(x,x0)<δ 时，即 x∈B(x0,δ) ，便有 x=x0 ，从而 ρ(f(x),f(x0))=0<ε ，即 f(x)∈B(f(x0),ε)，也就是f(B(x0,δ))⊂B(f(x0),ε)，所以f在点x0处连续。 又由于点x0选取的任意性，所以f是连续的。 证毕。
空间中的角度计算与应用
空间中的角度计算与应用角度是空间中一种重要的几何概念，可以用来描述物体之间的相对位置和方向关系。
在工程、物理、建筑、航天等领域中，角度计算和应用都扮演着重要的角色。
本文将介绍空间中角度的计算方法和几个相关应用。
一、空间中的角度计算方法在二维平面中，我们可以使用直尺和量角器等工具来测量角度。
但在空间中，由于有长度、高度和深度三个方向的变化，所以需要使用更高级的工具和方法来计算角度。
1. 三维空间中的角度计算方法在三维空间中，我们通常使用向量来表示方向和位置。
一个向量可以用起点和终点来表示，这两个点在三维坐标系中分别有三个坐标值。
设两个向量A和B，它们的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)。
我们可以使用向量的点积和模长计算它们之间的夹角θ。
点积的计算公式为：A·B = Ax·Bx + Ay·By + Az·Bz向量的模长计算公式为：|A| = √(Ax^2 + Ay^2 + Az^2)两个向量的夹角θ的余弦值可表示为：cosθ = (A·B) / (|A|·|B|)通过反余弦函数可求得夹角θ的值，即θ = arccos(cosθ)2. 四元数计算法四元数是一种用于表示旋转的数学工具，它可以用一个实部和三个虚部来表示。
四元数既可以描述物体的姿态和旋转角度，也可以用来计算两个物体之间的旋转或夹角。
具体计算步骤如下：1）定义两个四元数q1和q2，分别表示两个物体的姿态；2）求解它们的乘积p = q1 * q2的实部，得到一个新的四元数；3）通过arccos函数计算p的实部的绝对值，得到两个物体之间的夹角。
二、空间中角度的应用在物理和工程领域，空间中的角度计算和应用非常广泛，下面介绍几个常见的应用场景。
1. 机械设计与运动控制在机械设计和运动控制领域，角度的计算和控制是非常重要的。
例如，在机器人运动控制中，需要根据机器人末端执行器的位置和姿态，计算出各个关节的角度，以实现期望的运动轨迹。
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①. 两点定义的直线
《地理信息系统算法基础》
空间度量算法
1
本讲内容
1.直线和距离 2.角度量算 3.多边形面积的量算
2
1.直线和距离
关于两点间距离的定义，使用标准的欧几里得距离L2，它基
于毕达哥拉斯定理。对一个n维的矢量v=(v1，v2，…，vn)，
它的长度|v|为
2 2 1 2 2 2 n
v v v … v v
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1.2 直线方程
隐式或显式方程定义二维中的一条直线，三维中定义了一个 平面，在n维中，它定义了一个(n-1)维的超平面。 在任意n维的空间中，参数方程是有效的并且是最通用的。 对于一个用两点P0和P1定义的并且带有方向矢量vL的直线， 其方程有以下几种写法： P(t) = P0+ tvL = P0 + t(Pl – P0) = (1-t)P0 + tP1 式中，t为实数。在这个表达中，P(0)=P0, P(1)=P1，P(t)(0<t<1)是线段P0P1上的一点， 其中t = d[P0,P(t)]/d(P0,P1)。 因此P(1/2)=(P0+P1)/2是线段的中点。进一 步看，如果t<0，那么P(t)位于线段之外， 并且是在P0 一边；如果t >1，P(t)也位于线 段之外，但在P1—边，见图6.2。
i 1
2 cos i 1
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1.2 直线方程
直线可以使用方程来定义，方程中的未知数是点的坐标。
二维显式方程：最先接触到的，它在计算机软件中并不是最灵活的。
隐式方程更有用些，并且很容易将显式方程转化为隐式方程。
隐式方程的前两个系数定义了一个矢量nL = (a，b)，这个矢量垂 直于直线L。对于直线L上的任意两个点P0 =(x0，y0)、P1 =(x1，y1)， 有nL· vL= (a, b)· (P1-P0) = a(x1-x0) + b(y1-y0) =f(P1)-f(P0) = 0。 给定一个直线L的法线矢量nL = (a，b)和L上的一个点P0，法线式 的隐式方程为 nL· (P-P0) = ax + by-nL· P0 = 0。如果a2 + b2=1则称这个 方程是规范化的，并且n是一个单位法线矢量。
计算点到射线或线段的距离与点到直线的距离的不同点是， 点P到直线L的垂线与L的交点可能位于射线或线段之外。在 这种情况下，实际的最短距离是点P到射线的起点的距离(图
6.6)或是线段的某个端点的距离(图6.7)。
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(2).点到射线或线段的距离
对于图6.6，只有一个选择，就是计算P到射线端点的距离； 而对于一条线段， 则必须判断哪一个端点离P更近。可以分 别计算点到两个端点的距离，然后取最短的，但这不是最高 效的办法，见图6.7。而且，同时要判断点P在直线L上的基
对一个嵌入三维中的二维的情况，点P = ( x，y，0)矢量积变 为 vL w ( x1 x0 , y1 y0 ,0) ( x x0 , y y0 ,0)
(0, 0, x1 x0 x x0 y1 y0 y y0 )
距离公式则变为
d ( P, L)
( y0 y1 ) x ( x1 x0 ) y ( x0 y1 x1 y0 ) ( x1 x0 )2 ( y1 y0 )2
的无限长的直线。
直线L也可以通过一个点和方向来定义：令P0是L上的一点， vL是一个非零矢量， vL给出了直线的方向。设定 vL =(P1-P0)， 或给出P0和vL ，可以选择P1=P0+ vL为直线上的第二个点。 如果vL被规范化为单位矢量， uL=vL /| vL |那么它的每个系数 就是L的各个方向角的余弦。
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1.1 直线
在n维中，令θi(i=1,…,n)是L和第i个坐标轴ai的夹角（例如， 在二维中，a1是x轴，a2是y轴）。那么矢量vL=(vi)，其中 vi=cosθi, i=1, …, n，是L的一个方向矢量。
在二维中，如图6.1所示，如
果θ是L与x轴的夹角，那么 cosθ2= sinθ，并且vi=(cosθ1, cosθ2) = (cosθ, sinθ)是L的一个 单位方向矢量。因为 cos2θ+sin2θ=1。同样，对于任 意维，各个方向余弦的平方和 为1，即 n
式中，uL为直线L的单位方向矢量。
这个公式很适于在n维空间中使用，同时在计算基点P(b)也很 有用。在三维空间中，和矢量积公式同样高效。但在二维中， 当P(b)不是必须时，隐式公式的方法更好，尤其是计算多个 点到同一条直线的距离。
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(2).点到射线或线段的距离
射线以某个点P0为起点，沿某个方向无限延伸。它可以用参 数方程P(t)表达，其中t>0、P(0) = P0是射线的起点。一个有 限的线段由一条直线上两端点 P0、P1间的所有点组成。同样 也可以用参数方程P(t)表达，其中P(0) = P0、 P(1) = P1为两 个端点，并且点P(t)(0≤t≤1)是线段上的点。
i 1
n
2 i
对于P(p1，p2，…，pn)和Q(q1，q2,…，qn)两点间距离为
d ( P, Q ) P Q
2 ( p q ) i i i 1
n
3
1.直线和距离
1.1
直线 直线方程 点到直线的距离
1.2
1.3
4
1.1 直线
最初的直线：给出直线上的不同的两点P0和P1，定义了一条 有限的从P0到P1的线段。 延伸这条线段的任意一个端点会得到无限长的射线。 现在所理解的直线：同时延长两个端点则将得到一条概念上
特点： （1）没有计算分子的绝对值，计算出的结果是带有符号的 距离，正的表示P点在直线的一边，负的表示在直线另一边。 （2）分子的形式与直线隐式方程的形式相似。
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②. 二维隐式方程定义的直线
直线L是很容易通过隐式方程f(x，y) =ax + by + c = 0来定义。 对于任意二维点P=（x，y），距离d(P，L)可以直接用这个
W = (P-P0)， 则得到
b d ( P0 , P(b)) | w | cos w vL w vL 2 d ( P0 , P | vL | | vL | vL vL 1)
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③.参数方程定义的直线
d(P,L)=|P-P(b)|=|w-bvL|=|w-(w· uL)uL|
三个坐标Z= 0即变为三维中。两个三维矢量的矢量积的模等
于两矢量构成的平行四边形的面积，因为|v×w|=|v||w||sinθ|， 其中θ是两个矢量v和w的夹角。
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①. 两点定义的直线
但是，平行四边形的面积也等于底和高的乘积。令
vL=P0P1=(P1-P0)、w = P0P=(P-P0)，如图6.3所示，这样点P到
式中x和y的系数就是nL中的各个组成部分。
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1.2 直线方程
在二维中，θ是直线L与x轴的夹角，vL=(cosθ, sinθ)是单位方
向矢量，因此nL=(-sinθ，cosθ)是一个单位法线矢量。如果
P0=(x0，y0)是直线L上的某个点，那么一个规范化的L的方程
为：
-xsinθ+ ysinθ+ (x0sinθ-y0cosθ)=0
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w1 v 0 w1 P P 1 ,0 [180,180]
w1 v v v | 0 | 90
(2).点到射线或线段的距离
d ( P, S ) d ( P, P 1)
w0 P P 0 ,0 [180,180]
w0 v 0 | 0 | 90 d ( P, S ) d ( P, P0 )
（3）对选定的点P0还有：
nL· P0P=(a,b）• (x + c /a，y ) =ax + by + c = f( x，y )=f(P)等于 (2)。
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②. 二维隐式方程定义的直线
最后得出公式
f ( p) ax by c | nL | a 2 b2
d ( P, L)
用|nL |除f(x,y)的每个系数，使隐式方程规范化，即|nL|
（1）点到直线的垂直距离 （2）点到射线或线段的距离
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（1）点到直线的垂直距离
①. 两点定义的直线
②. 二维隐式方程定义的直线
③. 参数方程定义的直线
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①. 两点定义的直线
在二维和三维中，当L是通过两个点P0、P1给出的，可以 使用矢量积直接计算出点P到L的距离。若是二维的，令第
方程计算出。
矢量nL=（a，b）是直 线L的法线矢量，利用 nL即可计算任意点P到L 的距离。首先在L上任 意选一点P0，然后将矢 量P0P投影到nL，如图 6.4所示。
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②. 二维隐式方程定义的直线
具体如下：
（1）因为a和b不同时为零，设a≠0 ，则P0=( - c/a，0)位于直线
L上；相反，如果a=0，则b≠0，则P0 = (0，-c/b)，最后的结 果是相同的。 （2）对在L上的任意点P0有：nL· P0P =|nL| |P0P| cosθ = |nL| d(P,L)。
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1.2 直线方程
三种方程表示形式中相互转换： 例如，已知二维直线上的两点P0 =(x0，y0)，P1 =(x1，y1）， 我们可以根据这两点生成一个隐式的方程。由于 vL = (xv， yv) = P1-P0=(x1-x0，y1-y0)是直线的方向矢量，因为nL· vL=0， 可得直线L的法线矢量nL=(-yv， xv) =(y0-y1，x1-x0)。那么， 直线 L的一个隐式方程为 (y0-y1)x+(x1-x0)y+(x0y1-x1y0)=0