高等数学实验1 函数与极限 - 参考答案
高等数学练习册答案
第一章函数与极限§1函数一、是非判断题1、)(x f 在X 上有界，)(x g 在X 上无界，则)()(x g x f +在X 上无界.[√]2、函数x e x f ln )(=与函数x e x g ln )(=是表示同一函数.[╳]答：不是同一函数，因为)(x f 的定义域是)(∞+−∞，而)(x g 的定义域)0(∞+，3、函数212)cos 1()(x x f −=与函数x x g sin )(=是表示同一函数。
[╳]答：不是表示同一函数,因为两函数的对应规律不同.4、)1ln()1()(x x e x f xx −+⋅−=+函数，则既是奇函数又是偶函数)(x f .[√]答：是,[]0)(,01000)(,0)1ln(00==−=+<==−+=−≥+x f e x x x x f x x x x x x x 从而，，当从而，，当综上述，对任意，x f x ()≡0,，，故)(0)()(0)(x f x f x f x f −==−==−既是奇函数又是偶函数)(x f .5、的最大整数，表示不超过函数x x ][则.1][)(的周期为x x x −=ϕ[√]答：是,1+<≤∈n x n R x ，若任取，n x =][则， ϕ()x x n=−[)1)1(,1]1[)1(,211+++−=+++−=+++∈+x n x x x n n x ϕ，此时=−=x n x ϕ()，故是以为周期的周期函数ϕ()x 1。
二、单项选择题1、下面四个函数中，与y=|x |不同的是(A )（A ）||ln xey =（B ）2x y =（C ）44xy =（D ）xx y sgn =）上是（，在其定义域、B x x f )()3(cos )(22∞+−∞=非周期函数。
的周期函数； 最小正周期为的周期函数；最小正周期为的周期函数； 最小正周期为)(32)(3)(3)(D C B A πππ3、是 函数)0(ln)(>+−=a xa xa x f （A ） 的值奇偶性决定于非奇非偶函数；偶函数； 奇函数； a D C B A )()()()(三、填空题1、＝则时且当设 z x z y y x f y x z , , 0 , )(2==−++=.解：2 , 0 x z y ==时因 2)(x x f x =+∴ 故有xx x f −=2)()()()(2y x y x y x f −−−=−)()(2y x y x y x z −−−++=∴2)(2y x y −+=2、的定义域为，则设 )()65lg(56)(22x f x x x x x f +−+−+=解：由 解得 ，650162+−≥−≤≤x x x 由 解得 或x x x x 256023−+><>[)(]故函数的定义域是 ，，−1236∪.3、[]＝则．， ；，设)(0202)(x f f x x x x f ⎩⎨⎧≥<+=解：[]f f x x x x ()=+<−≥−⎧⎨⎩4222，；， 四、)()(42411)(2x x f x x x x x x f x φ的反函数求．，；，；，设⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<≤≤<<∞−=.解：当时，，即−∞<<==x y x x y1−∞<<y 1当时，， ．141162≤≤=∴=≤≤x y x x yy 当时，， ．42162<<+∞=∴=>x y x y x ylog ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<<∞−=φ．，；，；，的反函数故16log 1611)()(2x x x x x x x x f 五、12)1()(222++=+x xx x f x x f 设 ，)(x f 求。
高等数学 第1章 函数与极限 练习册 解答(10月19修改)
时,就有
2. 极 限 l i m f (x ) A的 定 义 是 : 对 于 0 , 存 在 X 0 , 当 x
f x A .
时,就有
3. 对 于 任 意 的 正 数 , 存 在 正 数 =
，当
时 5x 2 12 , 因 此
lim (5x 2) 12.
x2
解答：
1、当 0 x x0 时； 2、 x X 时；
1.设
xn
n n
1 ,则当 1
n
大于 正整 数
N
时, | xn 1| 104 , 对于任意正数 ,
当 n 大于正整数 N
时,
|
xn
1|
,所以
lim
n
xn
1.
2. 对于任意正数 , 存在正整数 N
cos n
, 当 n N 时,
2 0 , 所以
n
cos n lim 2 0 . n n
3. 设 xn 为任一数列, 又设对于任意正数 , 存在正整数 N1, N2 , 当 n N1 时,
第 1 章 函数与极限
V.同步练习
第 1 章 函数、极限与连续
1.1 函数及其性质
一、填空题
1.已知 f x ax2 bx 5 且 f x 1 f x 8x 3 , 则 a
；b
；
2. y cos 2x 1 的周期为
；
3.
函数
f
(x)
sin
1 x
,
x
0;
的定义域为
； 值域为
.
解. 设圆锥的半径与高分别为r, h , 则 2 r R 2 , 即 r R 2 , 从而
2
h
R2 r2
高等数学课后习题答案--第一章
《高等数学》习题参考资料第一篇 一元函数微积分第一章 极限与连续§1 函 数习 题1.确定下列初等函数的定义域：(1) 21)(2−−+=x x x x f ；(2)4)(2−=x x f ；(3) 21arcsin )(−=x x f ；(4)2)5lg()(x x x f −=；(5) 4lg )5lg()(2−−=x x x f ；(6)x x x f cos sin )(−=。
1． 【答案】(1) )},2()2,1()1,(|{:+∞∪−∪−−∞∈=x x D (2) )},2[]2,(|{:+∞∪−−∞∈=x x D (3) ]}3,1[|{:;−∈=x x D (4) )}5,0()0,(|{:∪−∞∈=x x D (5) ]}4,1[|{:∈=x x D (6)+ +∈=+∞−∞=U k k k x x D ππ452,412|:.2. 作出下列函数的图象：（1）|sin |sin )(x x x f −=；(2)|1|2)(−−=x x f ；（3）+−−=,1,1,21)(x x x x f .12,21,1||−<<−<<≤x x x 2 【答案】 (1)2(2)2 (3)3.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f ++−=11)(；（2）xxx f x x +−+−=11lg110110)(；（3）x x a a x f x x sin )(++=−；（4）)1lg()(2x x x f ++=。
3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .4.证明:两个奇函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。
4． 【答案】 设)(x f ,)(x h 是奇函数, )(x g 是偶函数,)()()(x h x f x f =,)()()(x g x f x G =, 于是)()()(x h x f x F −−=−))())(((x h x f −−=)()()(x F x h x f ==, 因此)(x F 是偶函数.)()()(x g x f x G −−=−)()(x g x f −=)(x G −=, 因此)(x G 是奇函数.5．设函数f 满足：D （f ）关于原点对称，且()xc x bf x af =+1)(，其中a ,b ,c 都是常数，||||b a ≠,试证明f 是奇函数。
高等数学第一章课后习题答案
高等数学（本）第一章 函数与极限1. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x , 求).2(446ϕπϕπϕπϕ、、、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛6sin )6(ππϕ=21=224sin )4(==ππϕ ()0222)4sin()4(==-=-ϕππϕ2. 设()x f 的定义域为[]1,0，问：⑴()2x f ； ⑵()x f sin ； ⑶()()0>+a a x f ； ⑷()()a x f a x f -++ ()0>a 的定义域是什么？（1）][；，－的定义域为所以知－11)(,111022x f x x ≤≤≤≤[]ππππ)12(,2)(sin ),()12(21sin 0)2(+∈+≤≤≤≤k k x f Z k k x k x 的定义域为所以知由][a a a x f ax a a x -+-≤≤≤+≤1,)(110)3(－的定义域为所以知－由][φ时，定义域为当时，定义域为当从而得－知由211,210111010)4(>-≤<⎩⎨⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a a a a a x a ax a a x a x班级 姓名 学号3. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011x x x x f ，()x e x g =，求()[]x g f 和()[]x f g ，并做出这两个函数的图形。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<==⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=-1,1,11,)]([.)20,10,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([.)11)(x e x x e e x f g x x x x g f x g x g x g x g f x f 从而得4. 设数列{}n x 有界, 又,0lim =∞→n n y 证明: .0lim =∞→n n n y x{}结论成立。
北大版高等数学第一章 函数及极限答案 习题1.3
习题1.31.(1,2,),lim 1,0,,2|-1|,:n n n n n x n x N n n N x εε→∞===>+>< 设证明即对于任意求出正整数使得当时有 并填下表220,1,|-1||1|,2,2222,,|-1|.2.lim ,lim ||||.0,,,||,||||||||,lim ||||.3.{},(1),n n n n n n n n n n n n nx n n n N n N x a l a l N n N a l a l a l a l a l N εεεεεεεεε→∞→∞→∞∀><=-=<>-++⎡⎤=-><⎢⎥⎣⎦==∀>∃>-<-≤-<=不妨设要使只需取则当时就有设证明使得当时此时故设有极限证明存在一个自然数证证1||||1;(2){},,||(12,).(1)1,,,||1,|||||||||| 1.(2)m ax {||1,||,,||},||(12,).-313(1)lim23n n n n n n n N n n n N a l a M a M n N n N a l a a l l a l l l M l a a a M n N n n εε→∞<<+≤==∃>-<=-+≤-+<+=+≤=+=- 是一个有界数列即存在一个常数使得对于使得当时此时令则 4.用说法证明下列各极限式:证23/23/2; (2)lim0;21!(3)lim 0(||1); (4)lim0;111(5)lim 1;1223(1)11(6)lim 0.(1)(2)31311(1),2322(23)n nnn n n n n n n q q nn n n n n n n n εεε→∞→∞→∞→∞→∞=+=<=⎛⎫+++= ⎪-⎝⎭⎛⎫++= ⎪+⎝⎭+∀-=<-- 不妨设要使只需证>0,<1,3113,2113133133,,,lim .22322321(2),,,n n n N n N n n n εεεεεεε→∞>+++⎡⎤=+>-<=⎢⎥--⎣⎦∀<≤<>取当时故要使由于只需>0,32222333331,.1(3)||(0).41||(1)(1)(2)(1)1266242424,,m ax {4,}.(1)(2)!111(4),,.11(5)1223nnnnN n N q n nnn q n n n n n n nn N n n n n n N nnεεαααααααεααεαεαεεε⎡⎤=><⎢⎥⎣⎦=>>+==---++++++⎡⎤<<<>=⎢⎥--⎣⎦⎡⎤≤<>=⎢⎥⎣⎦+++ 取当时3/23/23/22211(1)1111111111,,.1223(1)1111(6),,.(1)(2)(1)5.lim 0,{},,||(1,2,),lim n n n n n n n n N n n n n n N n n n a b M b M n εεεεεε→∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-+-++--=<>=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎡⎤++≤<<>=⎢⎥++⎣⎦=<= 设是有界数列即存在常数使得证明2222220.0,,||,||||||,lim 0.6.lim1.0,11, 1.(1)24444,1,,.(1)(1)(1)127.:(1)l n n n n n n n n n n n nna b N a a b a b M MMa b n n n n N n n n n n n εεεεεεεεεεεεεεε→∞→∞→∞=∀>∃<=≤===∀><<+⎡⎤=<<<>=⎢⎥-+-⎣⎦++正整数使得故证明要使|只需而只需求下列各极限的值证证32232244432221im lim0.310013/100/1(2)limlim.4241/2/4(210)(210/)(3)limlim16.11/11(4)lim 1lim 1.n n n n n n nnn n n n n n n n n nn n n nne n n →∞→∞→∞→∞→∞→∞---→∞→∞==+-+-==-+-+++==++⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=⎢⎥⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21111(5)lim 1lim 11111111.11lim 1lim 1111111(6)lim 1lim 1,(,1),,,1101nn n n n n n nnnnn n nn n n en n q N n N q n n e n n -→∞→∞-→∞→∞→∞→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-∈∃>-<⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫<-⎢ ⎪⎝⎭⎢⎣⎦取当时2211,lim 0,lim10,lim 10.1111(7)lim 1lim 1lim 1 1.nnnnn nn n n nnnn n n q q n n e n n n e →∞→∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫<=-=-=⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即12221212218.1111(1),,12(1)11112 2.12(1)1111(2),,21212121111111111121222222221n n n n n n n n n n nn nn n n x x x x nn x x n n nx x x x x +++-=+++=+>+<+++=-<-=+++=+>++++-⎛⎫=+++=++++= ⎪⎝⎭ 利用单调有界序列有极限证明下列序列极限的存在性:单调增加有上界，故有极限.111 1.12111111(3).0,1222122,0,111(4)11.0,2!!(1)!111111213 3.2231n n n n n n n n n n n n n x x x x n n n nn n n x x x x x x x n n x n n n x +++<-=+++-=-=-<++++++<>=++++-=>+⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 单调增加有上界，故有极限.单调减少有下界，故有极限.单调增加有上界，故11lim 11.2!!n e n →∞⎛⎫++++ ⎪⎝⎭ 有极限.9.证明=211(1)1(1)(1)1112!!(1)(1)1!111111112111112!!!1111111.lim 1lim 112!!2!!nknnn n n n n n n k n n n n k n n n n n n nk n n k n n n n n e n n n →∞→∞---+⎛⎫+=+++++ ⎪⎝⎭--++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫<++++=+≤++++ ⎪⎝⎭ 证1.,11111112111,2!!1111,2!!1111lim 11lim 11.2!!2!!10.:||||,1,2,,nk n n n k n k k n n k n n n e k e k n x k x n →∞→∞+⎛⎫ ⎪⎝⎭>-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>+-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫→∞≥++++ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫≥++++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤= 对于固定的正整数,由上式,当时令得设满足下列条件其中是小于211111.lim 0.||||||||0(),lim 0.n n n n n n n n x x k x k x k x n x →∞-+-→∞=≤≤≤→→∞= 的正数证明由得证。
上海财经大学出版的高数习题集答案 第一章 函数与极限
（3）举例证明不一定存在，
x6 x6 x6 x6 x6 ， lim ( ) x 4 3 x 4 2 x 4 1 x x 4 1 x 4 3
lim(
x 0
sin 2 x e 2 ax 1 ) 2 2a a ，即 a 2 。 x x
x 1 x 1
由题知 lim x(
x
ln(1
f ( x) f ( x) ) tan x lim tan x lim f ( x) 2, x 0 x ln 3 x 0 x 2 ln 3 3x 1
x2 1 b x2 1 b a ) 0 ，则 lim ( a )0 x x ( x 1) x( x 1) x x
（4） lim
2 sin x sin 2 x 2 sin x 2 sin x cos x 2 sin x(1 cos x) lim lim x 0 x 0 x 0 xa xa xa 2 x 2x lim a2 lim x a 3 1, 所以 a 3 。 x 0 x 0 x
sin x 2 x2 sin x 2 为 x 0 时的无穷小， lim 0 ，所以 x 0 ln(1 2 x ) x 0 2 x ln(1 2 x)
1 1 （7）A： lim (1 ) x 1 ，因为由第三章第三节介绍的罗比达法则 lim (1 ) x x 0 x 0 x x
f (5) 11 。由 f (0) 1 和 f (1) 1 知 f ( x) 在 (0,1) 内至少有一个实根。
（1） ① lim
x 0
由 f (0) 1 和 f (1) 5 知 f ( x) 在 (1,0) 内至少有一个实根。由 f (0) 1 ，
高等数学C习题答案-1
高等数学（少学时）习题解答第一章 函数与极限习题1-11.求下列函数的定义域:(1) 211x xy --=; 解：110≤≤-≠x x 且；(2) ;1arctan 3xx y +-=解：30≤≠x x 且；(3) ()x x x y -+--=2ln 1562;解：由020562>-≥--x x x 且，得16≤≤-x ；(4) 212arccosx xy +=. 解：由,11212≤+≤-xxR x ∈. 2. 设()x f 的定义域为[]1,0，求()()()0>-++a a x f a x f 的定义域.解：⎩⎨⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a x a ax a a x a x 111010－知由从而得 ][.211,210φ时，定义域为；当时，定义域为当>-≤<a a a a3. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x ,求)2(46ϕπϕπϕ、、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛.解：6sin )6(ππϕ=21=；22)4sin()4(=-=-ππϕ；()02=ϕ4.判断下列函数的奇偶性:(1) x x x f cos sin )(+=;解：x x x x x f cos sin )cos()sin()(+-=-+-=-；非奇非偶；(2) ()1e e 2-=+x xy ; 解：)()(21)(x f e e x f x x=+=--；偶函数； (3) ()1e e 2-=-x xy ; 解：)()(21)(x f e e x f x x -=-=--；奇函数；(4) )tan(cos x y =.解：)()tan(cos ))tan(cos()(x f x x x f ==-=-；偶函数. 5.求2sin 3,,66ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦y x x 的反函数. 解：32,23sin ,3sin 2yarcisnx y x x y ===；反函数为：[]1,1,2arcsin 31-∈=x x y 6.对于下列每组函数写出))((x g f 的表达式: (1)1)(,sin )(2-==x x g x x f ; 解：)1sin())((2-=x x g f ；(2)()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011x x x x f ,()e =x g x . 解：⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<=0,10,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([x x x x g f x g x g x g x g f 从而得 7.火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50kg 时，按基本运费计算，如从上海到某地以0.15元/kg 计算基本运费,当超过50kg 时，超重部分按0.25元/kg 收费.试求上海到该地的行李费y （元）与重量x (kg)之间的函数关系.解：25.0)50(15.050⨯-+⨯=x y 8.某产品共有1500吨，每吨定价150元，一次销售不超过100吨时，按原价出售，若一次销售量超过100吨，但不超过500吨时，超出部分按9折出售；如果一次销售量超过500吨，超过500吨的部分按8折出售，试将该产品一次出售的收入y 表示成一次销量的函数.解：设一次销售量为x 吨，()⎪⎩⎪⎨⎧>-+-+≤<-+≤=500)500(120)100(13515000500100)100(13515000100150x x x x x x xx f习题1-21.观察下列数列的变化趋势,判断它们是否有极限,若有极限写出它们的极限:(1) n n x 311+=;解：极限是1；(2) n n n x 412+=;解：极限不存在；(3) 1332-+=n n x n ; 解：极限是32； (4) ()[]nn x n n 111+-+=.解：极限不存在；2．判断下列各题是否正确，并说明原因. (1)如果数列{}n x 发散，则{}n x 必是无界数列. 解：错，反例：()[]nn x nn 111+-+= (2)数列有界是数列收敛的充分必要条件. 解：错，必要但不充分条件（3）,lim lim a z y n n n n ==∞→∞→且当N n >时有,n n n z x y ≤≤则.lim a x n x =∞→解：对，夹逼定理 （4）1sin lim=∞→xxx .解：错，极限是0（5）1)11(lim =+∞→n n n.解：错，极限是e3*.用数列极限的定义证明22lim 313→∞=-n n n .证明：|392||1n 33)13(26||321n 3n 2|-=---=--n n n ）（ 0>∀ε，存在时，有当N N ≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=n |,3192|εε<-=---=--|392||1n 33)13(26||321n 3n 2|n n n ）（ 既22lim313→∞=-n n n .习题1-31.判断下列各题是否正确,并说明原因.(1）如果)(0x f =5，但4)(lim )(lim 00==+→→-x f x f x x x x ，则)(lim 0x f x x →不存在.解：错，)(lim 0x f x x →=4（2）)(lim x f x ∞→存在的充分必要条件是)(lim x f x +∞→和)(lim x f x -∞→都存在.解：正确(3)如果在0x 的某一去心邻域内,,0)(>x f 且,)(lim 0A x f x x =→则.0>A解：正确2.设⎩⎨⎧≥-<+=,1 ,12,1 ,4)(x x x x x f 求)(lim ),(lim 11x f x f x x +-→→; )(lim 1x f x →是否存在,为什么? 解：5)(lim 1=-→x f x ，1)(lim 1=+→x f x ，)(lim )(lim 11x f x f x x +-→→≠， )(l i m 1x f x →不存在.3.设x x f =)(,求)(lim 0x f x →.解：10|0|)(lim 0-=∆∆-=∆-∆+=-→∆xxx x x f x ；10|0|)(lim 0=∆∆=∆-∆+=+→∆xxx x x f x . 左右极限不相等，极限不存在. 4*.根据函数的定义证明: (1) ()813lim 3=-→x x ,解：即可。
高等数学函数的极限与连续习题精选和答案
1、函数()12++=x x x f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。
2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。
3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()nn x 1-=是有界数列，但极限不存在4、a a n n =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()nn a 1-=，1)1(lim =-∞→nn ，但n n )1(lim -∞→不存在。
5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。
6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim=αβ，是 ∴01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。
7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→xx x ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续 ∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,不一定取得最大值、最小值 二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则 （１）()xef 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<<xe （2）∵1sin 102<-<x （3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sinlim ∞→＝（ x ）．∵x x n x n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim 1sin limsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()b ax x xx --+-+∞→1lim2()()()bax x x bax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim 222()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()()2211212112lim lim lim1x x x bab ab x b ab a →+∞→+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()x x f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）． 11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→x xax x ，则=a （ 2 ）． ()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a13、=∞→x x x sin lim（ 0 ），=∞→xx x 1sin lim （ 1 ）， ()=-→xx x 11lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ ke ）． ∵0sin 1lim sin lim=⋅=∞→∞→x x xx x x 111sin lim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x()[]1)1(110)(1lim 1lim --⋅-→→=-+=-e x x xx x x k kx x kxx e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim14、limsin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），lim sin(arccot )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数 ∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa()()x f x x a -=++-=1log 23、当0→x 时，1-xe 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+. a ．1→x b ．01+→x c ．01-→x6、设函数()x f xxsin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xx x x x xx x x1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。
《高等数学(一)》作业参考答案
《高等数学（一）》作业参考答案一、求下列函数的定义域（1）[0，+∞]；（2）（-1，∞+）。
（3）(,1)(1,)-∞-∞；二、用区间表示变量的变化范围：（1）(],6-∞（2）[]2,0 （3）[]3,5-三、求下列极限(1）[]3313)1(lim )1(lim e x x x x x x x =+=+∞→∞→； (2)hh xh h x h x h h 202202lim )(lim +=-+→→ =x h x h 2)2(lim 0=+→(3)lim 1n n n →∞== (4）2211lim 1lim 2lim )12(lim xx x x x x x x ∞→∞→∞→∞→+-=+- =2 (5)0lim 1=∞→x x , 且2arctan π≤x , 0arctan lim =∴∞→xx x (6)xx x x x x x x sin 2sin 2lim sin 22cos 1lim 200→→=- =1sin lim 0=→xx x ; (7）)2)(1)(1(61lim 6)12)(2)(1(lim1213n n n n n n n n n +++=+++∞→∞→ =;31 (8)00sin 555lim lim ;sin 222x x x x x x →→==(9))45)(1()45(lim 145lim 11x x x x x x x x x x +----=---→→ =2454lim 1=+-→xx x (10）31lim 3lim )13(lim 33=+=+∞→∞→∞→n n n n n ； (11);1lim sin )sin(lim 550550==→→xx x x x x (12)33lim 3tan lim 00==→→x x xx x x （13）32000sin 1cos sin 1lim lim lim 366x x x x x x x x x x →→→--=== （14）2222112211lim lim 134324x x x x x x x x x x →∞→∞+-+-==-+-+四、求下列函数的微分：（1）[])4sin(+=wt A d dy=)4sin(+wt Ad=)4()4cos(++wt d wt A=dt wt Aw )4cos(+(2)[])3cos(x e d dy x -=-=)3cos()3cos(x d e de x x x -+---=dx x e dx x e x x )3sin()3cos(-+----=[]dx x x e x )3cos()3sin(----五、求下列函数的导数(1）463'2+-=x x y ；(2）x x x y 2sin cos sin 2'==；(3）)'ln 1(ln 11'2221x x y +⋅+⋅= =x x x x x x 221ln 1ln ln 12ln 2+=+⋅ (4)'1sin '(cos )tan ;cos cos x y x x x x-===- (5);ln 1ln )ln ('221'xx x x x x x y x -=-⋅== (6)'2')21()21(1)211('x x x y +⋅+-=+==2)21(2x +-; (7)4)7(5'+=x y ;(8) 221212)'1('x x xe x e y ++=+⋅=;(9)3.013.13.13.1'x x y ==-; (10)22212)'1(11'xx x x y +=+⋅+=； (11)313)52(8)52()52(4'+=+⋅+=x x x y (12)x x x x y ln 1)'(ln ln 1'==六、求下列函数的二阶导数（1）x y +=11'， 2)1(1''x y +-=； （2）x x e x xe y 22222'+=x x x x e x xe xe e y 222224442''+++==)241(222x x e x ++（3）,cos 'x y = ;sin ''x y -=七、求下列不定积分(1）12x dx c-==⎰; (2)dx x xdx ⎰⎰+=22cos 1cos 2 =c x x ++2sin 4121; (3)c x x dx ++=+⎰1ln 1; (4)⎰⎰-=x xd xdx cos sin sin 23 =x d x cos )cos 1(2⎰-- =⎰⎰-x d x xd cos cos cos 2 =c x x +-cos cos 313; (5)⎰⎰--=-14)14(4114x x d x dx=c x +-14ln 41; (6)⎰⎰⎰+=+x dx xdx dx x x82)2(8 =28ln x x c ++; (7）dx x dx x x ⎰⎰+-=+)111(1222 =c x x +-arctan ; (8);21ln 2121)21(2121c x x x d x dx +--=---=-⎰⎰ (9);cos ln cos cos cos sin tan c x x x d dx x x xdx +-=-==⎰⎰⎰(10）⎰⎰⎰-==x d x x x xdx xdx x ln 21ln 21ln 21ln 222 =⎰-xdx x x 21ln 212 =c x x x +-2241ln 21 (11) c x dx x xxdx +==⎰⎰3532353 （12）4222232223313(1)11(3)arctan 111x x x x dx dx x dx x x C x x x++++==+=+++++⎰⎰⎰ 八、求下列定积分：(1）[];2cos sin 00=-=⎰ππx xdx (2）[]11121arctan 1dx x x --=+⎰ =244)(πππ=--。
高等数学第1章课后习题答案(科学出版社)
第一章 函数、极限、连续习题1-11．求下列函数的自然定义域：(1)321x y x=+-(2) 1arctany x=+(3) 1arccosx y -=；(4) 313 , 1x y x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩. 解：(1)解不等式组23010x x +≥⎧⎨-≠⎩得函数定义域为[3,1)(1,1)(1,)---+∞U U ; (2)解不等式组230x x ⎧-≥⎨≠⎩得函数定义域为[U ;(3)解不等式组2111560x x x -⎧-≤≤⎪⎨⎪-->⎩得函数定义域为[4,2)(3,6]--U ; (4)函数定义域为(,1]-∞.2．已知函数()f x 定义域为[0,1]，求(cos ),()() (0)f f x f x c f x c c ++->的定义域．解：函数f要有意义，必须01≤≤，因此f 的定义域为[0,1]；同理得函数(cos )f x 定义域为[2π-,2π]22k k ππ+；函数()()f x c f x c ++-要有意义，必须0101x c x c ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，因此，（1）若12c <，定义域为：[],1c c -；（2）若12c =，定义域为：1{}2；（3）若12c >，定义域为：∅． 3．设21()1,||x a f x x x a ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭0,a >求函数值(2),(1)f a f ．解：因为21()1||x a f x x x a ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，所以 21(2)104a f a a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，22 ,>1,11(1)10 ,0<<111a a f a a ⎛⎫⎧-=-= ⎪⎨ ⎪-⎩⎝⎭． 4. 证明下列不等式:(1) 对任何x R ∈有 |1||2|1x x -+-≥; (2) 对任何n Z +∈有 111(1)(1)1n n n n++>++;(3) 对任何n Z +∈及实数1a >有 111na a n--≤.证明：（1）由三角不等式得|1||2||1(2)|1x x x x -+-≥---= （2）要证111(1)(1)1n n n n++>++，即要证111n +>+= 111(1)(1)(1)11111n n n n n +++++++<=+++L 得证。
湖南高等数学教材答案详解
湖南高等数学教材答案详解一、函数与极限1. 函数的定义及表示法在数学中，函数是一种将一个集合映射到另一个集合的关系。
表示函数的常用方式有算式表示、图像表示和表格表示等。
例如，对于函数f(x)，我们可以用以下方式表示：- 算式表示：f(x) = x^2 + 1- 图像表示：在坐标系中绘制f(x) = x^2 + 1的曲线- 表格表示：列出不同的x值和相应的f(x)值2. 极限的定义及性质在数学分析中，极限是研究函数趋于某个值时的行为和性质。
极限的定义如下：给定一个函数f(x)，当自变量x无限接近某个值a时，如果对于任意一个给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - A| < ε成立，那么我们就说当x趋于a时，函数f(x)的极限是A。
3. 求函数的极限求函数的极限需要根据极限的定义方法进行推导和计算。
常用的极限计算方法有代数运算法、夹逼法和无穷小量法。
4. 极限的性质在计算极限时，可以利用一些基本的极限性质简化计算过程。
常用的极限性质有四则运算性质、复合函数极限性质和函数极限的保号性等。
二、导数与微分1. 导数的定义及性质在微积分中，导数表示函数在某一点的变化率或斜率。
导数的定义如下：给定一个函数y = f(x)，如果函数在点x处的导数存在，那么导数定义为f'(x) = lim┤(Δx→0) [f(x + Δx) - f(x)]/Δx。
导数的几何意义是函数曲线在该点的切线的斜率。
2. 使用导数求函数的极值和凹凸性通过求函数的导数，可以找到函数的极值点和凹凸性。
如果函数在某一点的导数为零，那么该点就是函数的极值点；如果函数的导数单调递增或递减，那么函数就具有凹性或凸性。
3. 高阶导数及其应用高阶导数表示对函数的导数再次求导的结果。
高阶导数在函数的加速度、曲率等问题中具有重要的应用。
4. 微分的定义及性质微分是导数的一种应用，表示函数在某个点处的变化量。
厦门理工学院高数练习题答案第一章 函数与极限
高等数学练习题 第一章 函数与极限________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______第一节 映射与极限一．选择题 1.函数216ln 1x xx y -+-=的定义域为 [ D ] （A ）（0，1） （B ）(0,1)⋃(1,4) （C ）(0,4) （D ）4,1()1,0(⋃] 2.3arcsin 2lgxx x y +-=的定义域为 [ C ] （A ）)2,3(]3,(-⋃-∞ （B ）(0,3) （C ）]3,2()0,3[⋃- （D ）),3(+∞- 3．函数)1ln(2++=x x y 是 [ A ]（A ）奇函数 （B ）非奇非偶函数 （C ）偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 4．下列函数中为偶函数且在)0,(-∞上是减函数的是 [ D ] （A ）222-+=x x y （B ）)1(2x y -= （C ）||)21(x y = （D ）.||log 2x y = 二．填空题1. 已知),569(log )3(22+-=x x x f 则=)1(f 2 2. 已知,1)1(2++=+x x x f 则)(x f 12+-x x3. 已知xx f 1)(=,x x g -=1)(, 则()=][x g f x -114. 求函数)2lg(1-+=x y 的反函数 1102-+=x y5. 下列函数可以看成由哪些基本初等函数复合而成 (1) x y ln tan 2=： x s s v v u u y ====,ln ,tan ,2(2) 32arcsin lg x y =：__ 32x t t s s v v u u y =====,arcsin ,lg ,, _三.计算题1．设)(x f 的定义域为]1,0[, 求)(sin ),(2x f x f 的定义域解：)(2x f 的定义域为[11,-] )(s i n xf 的定义域为)()(,[Z k k k ∈+ππ1222.设⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤-=2||111||1)(2x x x x x ϕ , 求)23(),21(),1(ϕϕϕ-, 并作出函数)(x y ϕ=的图形.解：01=)(ϕ 2321=-)(ϕ 2123=)(ϕ （ 图略 ）4.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角 40=ϕ（图1-22）。
高等数学课后习题答案--第一章 函数与极限
第一章 函数与极限1. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x , 求).2(446ϕπϕπϕπϕ、、、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛6sin )6(ππϕ=21=224sin )4(==ππϕ()0222)4sin()4(==-=-ϕππϕ2. 设()x f 的定义域为[]1,0，问：⑴()2x f ； ⑵()x f sin ； ⑶()()0>+a a x f ； ⑷()()a x f a x f -++ ()0>a 的定义域是什么？（1）][；，－的定义域为所以知－11)(,111022x f x x ≤≤≤≤ []ππππ)12(,2)(sin ),()12(21sin 0)2(+∈+≤≤≤≤k k x f Z k k x k x 的定义域为所以知由][a a a x f ax a a x -+-≤≤≤+≤1,)(110)3(－的定义域为所以知－由 ][φ时，定义域为当时，定义域为当从而得－知由211,210111010)4(>-≤<⎩⎨⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a a a a ax a ax a a x a x3. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011x x x x f ，()xe x g =，求()[]x gf 和()[]x fg ，并做出这两个函数的图形。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<==⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=-1,1,11,)]([.)20,10,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([.)11)(x e x x e e x f g x x x x g f x g x g x g x g f x f 从而得4. 设数列{}nx 有界, 又,0lim =∞→nn y证明:.0lim =∞→n n n y x{}结论成立。
从而时，有，当自然数即又有对有界，∴=<=-<>∃>∀=≤∀>∃∴∞→ ..0)(,0,0lim ,,0εεεεMM y x y x My N n N y Mx n M x n n n n n n n n n 5. 根据函数的定义证明: ⑴()813lim 3=-→x x8)13(lim 813303,033,33813,03=-<--<-<>∀<-<-=-->∀→x x x x x x x 所以成立时，恒有，当＝取故即可。
高等数学实验-1
图1-9 八次拟合Βιβλιοθήκη 第1章函数与极限—设计性实验
实验二
复利问题
【实验目的】 1.加深对函数极限概念的理解 2.讨论极限在实际问题中的应用 3.会用Matlab命令求函数极限 【实验要求】 掌握极限概念，Matlab软件求函数极限的命 令limit
第1章函数与极限—设计性实验
【实验内容】
复利，即利滚利。不仅是一个经济问题，而且是 一个古老又现代的经济社会问题。随着商品经济 的发展，复利计算将日益普遍，同时复利的期限 将日益变短，即不仅用年息、月息，而且用旬息、 日息、半日息表示利息率。现在我们已进入电子 商务时代，允许储户随时存款或取款，如果一个 储户连续不断存款和取款，结算本息的频率趋于 无穷大，每次结算后将本息全部存入银行，这意 味着银行不断地向储户支付利息，称为连续复利 问题。
第1章函数与极限--验证性实验
【实验内容】 1．求下列函数的复合函数 (1) f 1 , g sin y ，求
1 x2
f ( g ( y))
【实验过程】 1.（1）>>syms x y >> f=1/(1+x^2); >> g=sin(y); >> compose(f,g) 运行结果： ans = 1/(sin(y)^2+1) 由上述结果可知：
本金+利息= p(1+r/n)+ p(1+r/n)*r/n =p(1+r/n)2 ……，
第n期到期后的本利和是 p(1+r/n)n 存期为t年(事实上是有tn期)，到期后的本利和为 p(1+r/n)tn 随着结算次数的无限增加，即在上式中n→∞,t=1 年后本息共计 n lim100000 r/n） ≈10.6184(万元) （1+ n 随着结算次数的无限增加，一年后本息总和将稳 定于10.6184万元，储户并不能通过该方法成为百 万富翁。
医用高等数学第一单元 函数与极限-答案
第一单元 函数与极限一、填空题1、当→x ∞ 时，()21ln xy +=为无穷大。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 0 。
解：分子的次数 < 分母的次数，结果为0 3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 高 阶无穷小。
解：0tan sin lim 0x x xx→-=4、01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为 0k > 解： 0,(0,0)sin k x k x x →>→当时，有界5、=-∞→x e xx arctan lim 0 。
解： 0,arctan ()2xex x π-→→→∞当时，6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 2。
解：b b x x f x x =+=--→→)(lim )(lim 0Θ，2)1(lim )(lim 0=+=++→→xx x e x f Θ，,)0(b f = 2=∴b 。
7、+→xx x 6)13ln(lim0 1/2 。
解：ln(13)~3(0)x xx +→8、若105lim(1)kx x e x--→∞+=，则k=2 解：551055lim (1)2kxk x e e k x ---→∞⎡⎤+==⇒=⎢⎥⎢⎥⎣⎦9、知222lim 22x x ax bx x →++=--，则a =_____2___，b =_____-8___.解：10、设a 是非零常数，则2lim()________xa x x a e x a→∞+=-。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数3____2a =-。
12、函数)(x f =1ln -x x的间断点是_______2,1,0______13、lim_0_n =14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a _____2ln ___。
高等数学(东北大学出版社)第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案
第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案第1章函数、极限与连续习题⒈下列各组函数，哪些是同一函数，哪些不是（1）yx =与是同一函数 （2）y x =与y=（3）2111x y x x -=-+与y=不是同一函数 （4）22ln ln y x x =与y=不是同一函数⒉指出下列函数的定义域. （1）43)(+=x x f 的定义域是),34[+∞- （2）xx f -=11ln )(的定义域是)1,(-∞（3）)1ln()(2-=x x f 的定义域是),2[]2,(+∞⋃-∞（4）)arcsin(ln )(x x f =的定义域是],1[e e-（5）若)(x f 的定义域是]4,4[-，则)(2x f 的定义域是]2,2[-（6）若)(x f 的定义域是]3,0[a ，则)()(a x f a x f -++的定义域是]2,[a a 3.判别下列函数的奇偶性.（1）()sin f x x x =+是奇函数 （2）()cos f x x x =⋅是奇函数（3）()2f x x x =-是非奇非偶函数 （4）()1lg 1x f x x-=+是奇函数（5）()cos(sin )f x x =是偶函数 （6）()sin x f x x=是偶函数（7）())f x x =是奇函数 （8）()f x =是偶函数⒋下列函数哪些在其定义域内是单调的. （1）sin y x =在其定义域内不是单调的 （2）arcsin y x =在其定义域内是单调递增的 （3）2y x x =-在其定义域内不是单调的 （4）0≠a 时，ax y e =在其定义域内是单调的，其中 0<a 时，ax y e =在其定义域内是单调递减的， 0>a 时，ax ye =在其定义域内是单调递增的5.下列函数在给定区间中哪个区间上有界. （1）),1(1+∞=在区间xy 上有界（2）)10,1()12ln(在区间-=x y 上有界 （3）)4,3(3-=在区间x y 上有界（4）)1,1(),,(),0,(sin -+∞-∞-∞=在区间x y 上分别有界 6.下列函数哪些是周期函数，如果是求其最小正周期. （1）sin 3yx =是周期函数，最小正周期是32π （2）cos y x =是周期函数，最小正周期是π （3）tan 2y x =是周期函数，最小正周期是2π （4）ln(cos 2)y x =+是周期函数，最小正周期是π 7.下列各对函数中，哪些可以构成复合函数.（1）2),2arcsin()(x u u u f =+=不可以构成复合函数 （2）x u u u f 2sin ),1ln()(=-=不可以构成复合函数（3）221ln,)(x u u u f +==不可以构成复合函数（4）212,arccos )(xxu u u f +==可以构成复合函数8.将下列复合函数进行分解. （1）对复合函数43)(2--=x x x f 的分解结果是：43,)(2--==x x u u x f（2）对复合函数32)(-=x ex f 的分解结果是：32,)(-==x u e x f u（3）对复合函数()ln(23)f x x =-的分解结果是：32,ln )(-==x u u x f （4）对复合函数()arcsin(1)f x x =+的分解结果是：1,sin )(+==x u u acc x f 9.求函数值或表达式.（1）已知函数12)(,2)0(,4-)2(,0)2(,12)(222+-===-=+-=x x x f f f f x x x f 则.（2）已知函数0)(,22)4(,0)1(,1,01,sin )(===⎩⎨⎧≥<=ππf f f x x x x f 则.（3）已知函数21-)21arcsin (,sin )(=-=f x x f 则. （4）已知函数x x f 2cos )(sin =，则[]1,1,21)(2-∈-=x x x f习题1.用观察法判断下列数列是否有极限，若有，求其极限. （1） ,67,51,45,31,23,1:n x 没有极限（2）n x n 1=有极限，01lim =∞→nn （3）2sinπn x n =没有极限 （4）1)1(3+-=n n x nn 有极限，0]1)1[(lim 3=+-∞→n n n n2.分析下列函数的变化趋势，求极限 （1）01lim2=∞→x x （2）011lim =++∞→x x （3）+∞=++∞→)2ln(lim x x （4）2232lim=++-∞→x x x3.图略，)(lim 0x f x →不存在4.下列变量中，哪些是无穷小量，哪些是无穷大量（1）0→x 时，2100x 是无穷小量 （2）+→0x 时，x2是无穷大量（3）∞→x 时，112--x x 是无穷小量 （4）+∞→x 时，xe 是无穷大量 （5）∞→n 时，3)1(2+-n n n是无穷大量 （6）∞→x 时，xxsin 是无穷小量（7）∞→x 时，x1sin 是无穷小量 （8）0→x 时，12-x 是无穷小量 5.已知函数2)3(1)(--=x x x f ，则)(x f 在-∞→x 或+∞→x 或∞→x 的过程中是无穷小量，在-→3x 或+→3x 或3→x 的过程中是无穷大量6. 当1x →-时，无穷小1x +与下列无穷小是否同阶是否等价 （１）当1x →-时，无穷小1x +与无穷小31x +同阶，但不等价 （２）当1x →-时，无穷小1x +与无穷小21(1)2x -同阶，而且等价习题1.设函数x x f =)(，则xt x f t x f t 21)()(lim=-+→2.设函数⎩⎨⎧<+≥+=2,122,1)(2x x x x x f ，则5)(lim ,5)(lim ,5)(lim 222===→→→+-x f x f x f x x x .3.求下列各式的极限：（1）15)52(lim 22=+--→x x x （2）3213lim 2421-=++-→x x x x（3）35)321(lim 0=--→x x （4）242lim 22=+-∞→x x x x （5）2111lim 220-=+-→x x x （6）21)21(lim 222=+++∞→nn n n n （7）1122lim2=-+++∞→x x x x （8）311lim 31=--→x x x（9）61)319(lim 2=-++∞→x x x x （10）112lim1=---→x x x x （11）201020101032)53()32()1(lim =---+∞→x x x x 4.已知516lim21-=-+-→x ax x x ，则7=a . 5.2)(lim 2=-++∞→x kx x x ，则4=k .6.求下列极限： （1）252sin 5sin lim0=→x x x （2）1sin 2tan lim 0=-→xxx x（3）43cos cos lim 20=-→x x x x （4）2)sin()2tan(lim 230=-+→x x x x x （5）11sin lim =⋅∞→x x x （6）0sin sin lim 0=+-→x x xx x（7）323arcsin 2lim 0=→x x x （8）21sin tan lim 30=-→x x x x7.求下列极限： （1）82)41(lim e x x x =+∞→ （2）21)21(lim --∞→=-e xx x（3）3220)33(lim -→=-e x x x （4）21)11(lim --∞→=+-e x x x x（5）5ln 51)ln 1(lim e x xx =++→ （6）e x x x =+→sec 2)cos 1(lim π8.用等价无穷小替换计算下列各极限：（1）236arctan lim0=→x x x （2）214lim 20=-→x x e x（3）22cos 1lim 20=-→x x x （4）21)21ln(lim 0=-+→x x e x 习题1.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,31,11)(2x x x x x f ，则()f x 在1=x 处不连续．2.指出下列函数的间断点，并指明是哪一类间断点 （1）函数11)(2-=x x f 的间断点有点1-=x 和点1=x ，它们都是第二类间断点中的无穷间断点（2）函数xe xf 1)(=的间断点有点0=x ，它是第二类间断点（3）函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点有点0=x 和点1=x ，其中点0=x 是第二类间断点中的无穷间断点，点1=x 是第一类间断点（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠+-=1,01,11)(2x x x x x f 的间断点有点1-=x ，它是第一类间断点中的可去间断点（5）函数⎩⎨⎧>≤+=0,2,2)(2x x x x f x 的间断点有点0=x ，它是第一类间断点中的跳跃间断点（6）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=2,32,24)(2x x x x x f 的间断点有点2=x ，它是第一类间断点中的可去间断点3.设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=<=0,11sin 0,0,sin )(x x x x k x xxx f ，当1=k 时，函数)(x f 在其定义域内是连续的.4.求下列极限：（1）42arccoslim 21π=+→x x x （2）0sin lg lim 2=→x x π （3）021lim cos sin 0=+-→xx x e e （4）2ln ln )1ln(lim 1=-+→xxx x（5）2121lim 224=+++∞→x x x x （6）11lim 1=--→x xx x（7）e x x e x 1ln lim=→ （8）4arctan lim 1π=→x x5.（略）6.（略）复习题1一、单项选择题1.下列函数中（C ）是初等函数.（A ）)2arcsin(2+=x y （B ）⎩⎨⎧∈∉=Q x Q x x f 10)(（C ）12+-=x y （D ）⎩⎨⎧>+<≤=1110)(2x x x x x f2.下列极限存在的是（B ）.（A ）xx 4lim ∞→ （B ）131lim 33-+∞→x x x （C ）xx ln lim 0+→ （D ）11sin lim 1-→x x 3.当0x →时，2tan x 与下列（D ）不是等价无穷小.（A ）2tan x （B ）2x （C ）2sin x （D ）2cos x 4.函数在某点连续是该函数在此点有定义的（B ）.（A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件 5.已知0sin lim2x axx→=,则常数=a （C ）.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 6.闭区间[,]a b 上的连续函数()y f x =在[,]a b 上一定是（C ）.（A ）单调函数 （B ）奇函数或偶函数（C ）有界函数 （D ）周期函数 二、填空题 1.设10()20xx x f x x +-∞<≤⎧=⎨<<+∞⎩， 则(2)f = 4 .2.函数5cos 3y x =是由简单函数 x v v u u y 3,cos ,3=== 复合而成的. 3.点1x =是函数1,1()3,1x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩ 的第一类间断点中的跳跃 间断点.4.当x ∞- 时，函数3xy =是无穷小.5.极限 2lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭= 2e .6.函数ln(4)y x =-+的连续区间为 [)4,1 .三、计算下列极限1.24231x x x x -++=02.223lim 2x x x →--不存在 3.2211lim 21x x x x →---21= 4.22356lim 815x x x x x →-+-+ 5.1)2(1lim 22=---∞→x x x x 6.4281lim 5x x x x →∞-++ 不存在 7.63132lim1=--+→x x x 8.231lim (3cos )1x x x x →∞+++=0 9.21sin cos 1lim0=-→θθθθ 10.1cos lim =-∞→x x x x 11.212sin )1ln(lim0=+→x x x 12.21)81221(lim 32=---→x x x13.320lim(12)xx x →-3-=e 14.122lim(1)xx x-→∞- 1-=e15.11lim x x x x +→+⎛⎫⎪⎝⎭e = 16.1lim()1xx x x →∞-+ 2-=e 四、综合题1.函数2101()11x x f x x x ⎧-≤≤=⎨+>⎩在点1=x 处不连续，在点2=x 处连续，函数的图像略。
高等数学教材书答案
高等数学教材书答案在学习高等数学的过程中，解答教材书中的习题是提高理解和掌握数学知识的重要途径。
然而，由于教材书给出的习题答案通常是缺失的，从而给学习者带来了一定的困扰。
为了帮助广大学习者更好地学习高等数学，本文将提供一种合适的格式，来回答高等数学教材书中习题的答案。
一、微积分1. 导数与微分1.1 函数与极限<示例1>设函数$f(x)=2x^2+x-3$，求$f(x)$在点$x=2$处的导数。
解答：首先，根据导数的定义，我们知道导数可以通过极限来定义。
因此，我们要求的导数可以表示为$f'(2)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}$。
将$x=2$代入$f(x)$的表达式中，我们得到$f(2)=2\cdot2^2+2-3=9$。
然后，我们计算$f(2+\Delta x)$，即$f(2+\Delta x)=2(2+\Deltax)^2+(2+\Delta x)-3$。
接下来，我们将这两个结果代入导数的定义中：$f'(2)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{[2(2+\Delta x)^2+(2+\Delta x)-3]-9}{\Delta x}$。
化简上式，并进行计算，我们最终得到导数$f'(2)=8$。
1.2 高阶导数<示例2>已知函数$f(x)=3x^3+2x^2+4x+1$，求$f(x)$的二阶导数。
解答：我们知道，二阶导数可以通过求一阶导数的导函数来实现。
即，我们首先要求$f'(x)$，然后再对$f'(x)$求导。
首先，根据一阶导数的定义，我们有$f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$。
将函数$f(x)$的表达式代入上式，并进行计算，我们可以得到$f'(x)=9x^2+4x+4$。
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高等数学实验1 函数与极限 参考答案
一．用MA TLAB 计算：
1． 433sin
log 210.235
π
+- sin(3*pi/5)+log(21)/log(3)-0.23^4+452^(1/3)-sqrt(43)
ans =
4.8365
2．2ln 645
1.2374cos 48
-⨯+π 4*cos(4*pi/7)+3*2.1^8/(sqrt (645))-log(2)
ans =
43.0950
二. 用MA TLAB 计算：
设向量(1,2,3,4,5)x =，求 1．sin 2y x x =+
clear
>> x=[1,2,3,4,5]; >> y=sin(x)+2*x y =
2.8415 4.9093 6.1411 7.2432 9.0411 2．2
3sin z x x x =-
z=3*x.*sin(x)-x.^2
z =1.5244 1.4558 -7.7299 -25.0816 -39.3839
3． ()2
cos 2ln(21)
x
x u e x =
-+ u=((cos(2.*x)).^2+(sin(x)+1).^(1/2))./(exp(x)-log(2.*x+1)) u =
0.9448 0.3130 0.1097 0.0098 0.0062
三．用MA TLAB 绘图：
x 1 2.1 3 3.9 5.3 6.1 6.9 8 9.1 y
1.01
3.98
8.99
16.01
25.41
37.01
48.89
63.89
81.21
clear
>> x=[1,2.1,3,3.9,5.3,6.1,6.9,8,9.1];
>> y=[1.01,3.98,8.99,16.01,25.41,37.01,48.89,63.89,81.21]; >> plot(x,y) >> hold on >> plot(x,y,'s')
2.作出函数2y x =与3
y x = x ∈[-3，3]的图象；
clear
>> hold off
>> fplot('x^2',[-3,3]) >> fplot('x^2',[-3,3],'r') hold on
>> fplot('x^3',[-3,3],'g')
3．在同一坐标系作出下列函数的图形，并用不同颜色表示。
（1）sin y x x =+ （2）cos y x x =+
clear
>> hold off
>>fplot('x+sin(x)',[-5,5],'s') >> hold on
>> fplot('x+cos(x)',[-5,5],'r') >> hold off
>>ezplot('(y-(x+sin(x)))*x*y',[-5,5]) >> hold on
>> fplot('x+cos(x)',[-5,5],'r') 4．作下列函数图形：
（1）()
1
sin1,1
y x
x
=∈-（2）()
1
sin1,1
y x x
x
=∈-
clear
>> hold off
>>fplot('sin(1/x)',[-1,1],'g')
>> hold on
>> fplot('x*sin(1/x)',[-1,1],'r')
>> hold off
>>ezplot('(y-sin(1/x))*x*y',[-1,1])
>> hold on
>> fplot('x*sin(1/x)',[-1,1],'r')
x
y
(y-sin(1/x)) x y = 0
x
y
(y-(x+sin(x))) x y = 0
四．用MA TLAB 计算下列极限：
用MA TLAB 计算极限的命令语句如下： clear
>> syms x y m n （生成符号变量n m y x
）
limit(f(x),x,a) （求 lim ()x a
f x →）
limit(f(x),x,inf) （求lim ()x f x →∞
）
limit(f(x),x,a,'right') （求lim ()x a
f x +
→） limit(f(x),x,a,'left') （求lim ()x a
f x -
→） （1）x e x x 1lim 20-→；（2）x e kx x 1lim 0-→；（3）1
1232lim +∞→⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+x x x x ； （4）x
x x tan 001lim ⎪
⎭
⎫
⎝⎛+→；
（5）k
nx x x m +∞→⎪
⎭⎫
⎝
⎛+1lim ；（6）()
k y
n
y my +→+1lim 0
；（7）nx mx x tan sin lim
0→；（8）nx
x
mx x sin tan lim 0+→。
解（1）
clear （7） >> syms x clear
>> limit((exp(2*x)-1)/x,x,0) >> syms x m n
ans = >> limit(sin(m*x)/tan(n*x),x,0) 2 ans =
m/n
（2）clear （8）
>> syms x k syms x m n
>> limit((exp(k*x)-1)/x,x,0) >> limit((tan(m*x)+x)/sin(n*x),x,0) ans = ans =
k (m+1)/n （3）clear >> syms x
>> limit(((2*x+3)/(2*x-1))^(x+1),x,inf) ans =
exp(2) （4） clear
>> syms x
>> limit((1/x)^tan(x),x,0,'right') ans =
1 （5） clear
>> syms x m n k
>> limit((1+m/x)^(n*x+k),x,inf) ans =
exp(m*n)
（6）
clear
>> syms y m n k
>> limit((1+m*y)^(n/y+k),y,0)
ans = exp(m*n)。