高等数学(同济五版)第一章 函数与极限知识点
高数课件(同济第五版)D1_1映射与函数
解: 当 1≤ x < 0 时, y = x ∈( 0, 1] , 则 x = y , y ∈( 0, 1] 当 0 < x ≤1 时, y = ln x ∈( ∞, 0] , 则 x = e , y ∈( ∞, 0]
y
2e
2
1 1 o 1 2x
当 1< x ≤ 2 时, y = 2ex1∈( 2, 2e] , y 则 x =1+ ln 2 , y ∈( 2, 2e] 反函数 y =
o 1
y = th x x
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(4) 周期性
x ∈D, l > 0, 且 x ± l ∈D, 若
则称 f (x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
y
π 2π
o π 2π x
周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 f (x) = C 狄里克雷函数
( 自学, P17 – P21 )
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非初等函数举例: 符号函数 当x>0 当x=0 当x<0 取整函数 当
y
2 1o 1 2 3 4
y
1
o
1
x
x
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例5. 求 y =
x2 , 1≤ x < 0 ln x , 0 < x ≤1 的反函数及其定义域. x1 2e , 1< x ≤ 2 y
* M 表示 M 中排除 0 的集 ;
M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
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+
同济高数大一上学期知识点
同济高数大一上学期知识点一、函数与极限1. 函数的定义与性质1.1 函数的概念1.2 奇偶函数与周期函数1.3 反函数与复合函数2. 极限的概念与性质2.1 极限的定义与表达式2.2 极限的唯一性与有界性2.3 极限的四则运算法则2.4 集合与极限的关系3. 无穷大与无穷小3.1 无穷大的定义与性质3.2 无穷小的概念与性质3.3 无穷小的比较与运算3.4 引理与重要极限4. 两个重要的极限4.1 e的极限与自然对数4.2 sin和cos的极限与圆周率二、导数与微分1. 导数的引入1.1 导数的定义与几何意义1.2 导数存在的条件与计算法则2. 导数的运算法则2.1 常数函数与幂函数的导数 2.2 反函数与复合函数的导数 2.3 三角函数的导数2.4 隐函数与参数方程的导数3. 高阶导数与导数的几何意义 3.1 高阶导数的定义与计算 3.2 导数与函数的图象4. 微分与近似计算4.1 微分的定义与性质4.2 微分中值定理与应用4.3 泰勒公式的概念与应用三、一元函数的应用1. 最值与驻点1.1 极值与最值的概念1.2 函数的极值判定1.3 连续函数的最值定理1.4 驻点的概念与判定2. 函数的图象与曲线的参数方程 2.1 函数的图象与曲线2.2 参数方程的概念与性质2.3 参数方程与函数图象的关系 2.4 高阶导数与曲线的凹凸性3. 不定积分与定积分3.1 不定积分的定义与性质3.2 基本积分法与换元积分法 3.3 定积分的定义与几何意义 3.4 牛顿-莱布尼茨公式的应用4. 微分方程4.1 微分方程的基本概念4.2 一阶微分方程的求解4.3 高阶线性微分方程的求解综上所述，本文介绍了同济大学高等数学第一学期的知识点，包括函数与极限、导数与微分、一元函数的应用等。
这些知识点是大一上学期数学学习的基础内容，对建立数学思维和解决实际问题具有重要意义。
通过深入学习这些知识点，可以为后续的高等数学学习打下坚实的基础。
同济大学第五版高数
单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
例3 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
当x 0时,导数不存在.
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点．
方法:用方程 f ( x) 0的根及 f ( x)不存在的点 来划分函数 f ( x)的定义区间,然后判断区间内导 数的符号.
例2 确定函数 f ( x) 2x 3 9x 2
12x 3的单调区间.
解 D : (,).
y
y
y
oa
bx o a
bx o a
bx
步骤:
1.求驻点和不可导点;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值;
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
六、应用举例
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
(4) 求极值.
例1 求出函数 f ( x) x3 3x2 9x 5 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
x (,1) 1 (1,3) 3 (3,)
证
(1)
f ( x0 )
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 ) 0,
故f ( x0 x) f ( x0 )与x异号，
同济版本高数上第一章部分知识总结
一、映射1、映射的概念映射：设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称f为从x到y的映射，记作：f：X→Y举例：注意事项：一、无论是定义域还是值域都是非空集合二、定义域内值必须在值域内有对应的数，而值域内可以不一定。
比如上图中定义域中1到4必然都有对应的数在值域内，但是值域内有5个数，必然会留下一个数，不需要全部对应完毕。
三、对于定义域内部的每个x来说，在值域内对应的值都是有且唯一的，不可“一对多”，而值域内数则可以“多对一”，多个定义域内的值可以同时对应同一个值域内的值。
2、特殊映射满射（X到Y上的映射）：值域中的每一个值都被对应。
根据映射概念可知，既然值域内部值都被对应，相应定义域内部的值也应当都已对应。
而且我们应该知道此时定义域内的值的数量应该等于或许大于值域内值的数量。
单射：定义域内对应值域内的值不同。
即x1≠x2，则f(x)1≠f(x)2一一映射：映射是满射又是单射3、逆映射若将原映射的定义域与值域进行对调，则新构成的映射称作：逆映射。
记作：f−1。
其中，新构成的这个映射，定义域 D f−1=R f，即新的定义域为原映射的值域。
而新的值域则是R f−1=X，因为此时逆映射的定义域需为定义域所在集合全部都是，也就是意味着需要构成逆映射的原映射必须为单射。
若g:X→Y1，f:Y2→Z ，则由g与f可构成复合映射，即：f∘g: X→Z。
这个对应法则确定了一个X到Z的映射，表示 f[g(x)]。
由定义可知，g的值域必须在f的定义域内。
且f∘g与g∘f意义不同。
二、函数1、函数的概念函数：若数集D⊂R，则称映射f:D⊂R为定义在D上的函数，通常简记为：y=f(x),x∈D其中，x称作自变量，y称作因变量，D称作定义域。
注意：一、y=f(x)表示在对应法则f的作用下，定义域内所对应的值，因此写作f(x)。
实际上，y与f(x)的意义一样。
高等数学（同济大学教材第五版）复习提纲
⾼等数学（同济⼤学教材第五版）复习提纲⾼等数学（同济⼤学教材第五版）复习提纲第⼀章函数与极限：正确理解、熟练掌握本章内容，求各类函数的极限，尤其是未定式与幂指函数求极限第⼆章导数与微分：正确理解、熟练掌握本章内容，各类函数的求导与微分的基本计算第三章微分中值定理与导数的应⽤：熟练掌握本章的实际应⽤，研究函数的性态，证明相关不等式第四章不定积分：正确理解概念，会多种积分⽅法，尤其要⽤凑微分以及⼀些需⽤⼀定技巧的函数类型第五章定积分：正确理解概念，会多种积分⽅法，有变限函数参与的各种运算第六章定积分的应⽤：掌握定积分的实际应⽤第七章空间解析⼏何和向量代数：熟练掌握本章的实际应⽤⾼等数学（1）期末复习要求第⼀章函数、极限与连续函数概念理解函数概念，了解分段函数，熟练掌握函数的定义域和函数值的求法。
2．函数的性质知道函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判断函数奇偶性的⽅法。
3．初等函数了解复合函数、初等函数的概念；掌握六类基本初等函数的主要性质和图形。
4．建⽴函数关系会列简单应⽤问题的函数关系式。
5．极限：数列极限、函数极限知道数列极限、函数极限的概念。
6．极限四则运算掌握⽤极限的四则运算法则求极限. 7．⽆穷⼩量与⽆穷⼤量了解⽆穷⼩量的概念、⽆穷⼩量与⽆穷⼤量之间的关系，⽆穷⼩量的性质。
8．两个重要极限了解两个重要极限，会⽤两个重要极限求函数极限。
9．函数的连续性了解函数连续性的定义、函数间断点的概念；会求函数的连续区间和间断点，并判别函数间断点的类型；知道初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的⼏个性质（最⼤值、最⼩值定理和介值定理）。
第⼆章导数与微分1．导数概念：导数定义、导数⼏何意义、函数连续与可导的关系、⾼阶导数。
理解导数概念；了解导数的⼏何意义，会求曲线的切线和法线⽅程；知道可导与连续的关系，会求⾼阶导数概念。
2．导数运算熟记导数基本公式，熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导的链式法则。
高等数学-第一章-函数与极限-函数的极限-同济大学
经过不等式的变形, 得到关系
f (x) A M x x0 ,
其中 M是一个与x无关的常量. 再取 , 则当
0 x x0 时, 有:
M
f (x) A M x x0 ,
此即说明 lim f (x) A. x x0
例1 证明下列极限
⑴ lim(2x 1) 5; x2
xn
是函数 f
x
xx0
定义域中的一个任意数列,
xn
x0 ,
且
lim
n
xn
x0,
则相应的数列 f xn 收敛, 且
lim
n
f
(xn )
lim
x x0o
f
(x).
o
证
设 lim f (x) A, xx0
则存在U (x0, ), 当x U (x0, ), 有
f (x) A ,
o
又因
lim
n
x
证令
xn
1,
1
2n
2
yn
1
2n
,
则
lim
n
xn
lim
n
yn
0,
且 xn
0, yn , 0,
但
lim
n
f
(xn )
1, lim n
f
( yn )
0,
所以 lim sin π 不存在.
x0
x
对于数列, 相应的归并性定理为
定理
设数列
lim
n
xn 存在,
则对于
xn
的任一子列(xnk )
有
lim
2x 2(x2 1)
1 x
1-1函数与映射
在[1，+ ]，有界；在(0, 1)无界。
2019年12月24日星期二
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18
2）单调性
设函数 f (x)的定义域为D, 区间I D,
如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2, 当 x1 x2时,
恒有 (1) f (x1) f (x2 ), 则称函数 f (x)在区间I上是单调增加的 ;
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21
设D关于原点对称 , 对于x D, 有
f (x) f (x) 称 f (x)为奇函数 ;
-x f (x)
y
y f (x)
f (x)
o
xx
奇函数
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4）周期性 设函数f ( x)的定义域为D, 如果存在一个不为零的
y sin x2 y u u sin v v x2
或 y u u sin x 注：不是任何函数都可以复合成一个函数。 如： y u 与 u sin x 不能进行复合。
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4. 函数的运算
和、差、积、商。 注：只有具备公共定义域的函数才能运算 。
y
y f (x)
f (x1)
f (x2 )
o
x
I
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3）奇偶性
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为偶函数;
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数
高等数学(同济五版)第一章函数与极限知识点
第一章函数与极限一、对于函数概念要注意以下几点：(1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。
定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。
对应法则是正确理解函数概念的关键。
函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。
函数关系也不同于因果关系。
例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。
y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。
如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。
(2) 函数与函数表达式不同。
函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。
(3) f(x)与f(a)是有区别的。
f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。
(4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。
二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性：对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点：(1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。
(2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。
(3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。
如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。
存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。
f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。
(4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。
三、关于复合函数要注意的是，函数的复合是有条件的，并不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数。
一个函数是否为复合函数与该函数的对应法则的表示方法有关。
例如，和的对应法则相同，但对应法则的表示方法是不同的，前者不是复合函数，后者可以看成是由，，复合而成的复合函数。
同济大学高数第五册第一章第八节
x
x
2, 2,
x 0, 在 x 0处的 x 0,
连续性.
解 lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x)在点x 0处不连续.
13
4. 连续函数(continous function)与连续区间 在区间上每一点都连续的函数, 称该区间
上的 连续函数,或称函数在该区间上连续. 这时也称该区间为 连续区间. continuous
f ( x)在开区间 (a, b) 内连续 f ( x) C(a,b) 左端点 x a 右连续 ( lim f ( x) f (a))
xa
右端点 x b左连续 ( lim f ( x) f (b)) xb
O
x0
x
是一条无缝隙的连绵而不断的曲线.
15
函数的连续性与间断点
例如,有理整函数(多项式)
P( x) a0 a1x an xn
x0
(
,
),
lim
x x0
P(x)
P(
x0 )
第五节中已证
因此有理整函数在( , )内是连续的.
有理分式函数 R( x) P( x) Q( x)
只要 Q( x0 )
f (x)
f ( x0 ).
则称 x0为f ( x)的间断点.
17
函数的连续性与间断点
间断点分为两类:
第一类间断点(discontinuity point of the first kind):
f ( x0 0) 及 f ( x0 0) 均存在,
同济大学(高等数学)_第一章_函数极限
第一篇 函数、极限与连续第一章 函数、极限与连续高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识.第1节 集合与函数1.1 集合1.1.1 集合讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素.通常用大写字母A 、B 、C 、 表示集合，用小写字母a 、b 、c 、 表示集合的元素.如果a 是集合A 的元素，则表示为A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，则表示为A a ∉，读作“a 不属于A ”.一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作Φ.集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A ，可表示成A ={1,2,3,4,5}；第二种是描述法，即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ，则集合M 可表示为{}P x x M 具有性质|=.例如，集合A 是不等式022<--x x 的解集，就可以表示为{}02|2<--=x x x A .由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有：（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ，即 {} ,,,3,2,1,0n N =；（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作+N ，即 {} ,,,3,2,1n N =+；（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ，即{} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=；（4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=+互质与且q p N q Z p q p Q ,,；（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R .1.1.2 区间与邻域在初等数学中，常见的在数集是区间.设R b a ∈,，且b a <，则（1）开区间 {}b x a x b a <<=|),(；（2）半开半闭区间 {}b x a x b a <≤=|),[，{}b x a x b a ≤<=|],(；（3）闭区间 {}b x a x b a ≤≤=|],[；（4）无穷区间 {}a x x a ≥=+∞|),[， {}a x x a >=+∞|),(，{}b x x b ≤=-∞|],(，{}b x x b <=-∞|),(，{}R x x ∈=+∞-∞|),(.以上四类统称为区间，其中（1）-（4）称为有限区间，（5）-（8）称为无限区间.在数轴上可以表示为（图1-1）：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）图 1-1 在微积分的概念中，有时需要考虑由某点0x 附近的所有点组成的集合，为此引入邻域的概念.定义1 设δ为某个正数，称开区间),(00δδ+-x x 为点0x 的δ邻域，简称为点0x 的邻域，记作),(0δx U ，即{}δδδ+<<-=0000|),(x x x x x U {}δ<-=|||0x x x .在此，点0x 称为邻域的中心，δ称为邻域的半径，图形表示为（图1-2）：图1-2另外，点0x 的邻域去掉中心0x 后，称为点0x 的去心邻域，记作),(0δx U o，即 {}δδ<-<=||0|),(00x x x x U o,图形表示为（图1-3）：图1-3 其中),(00x x δ-称为点0x 的左邻域，),(00δ+x x 称为点0x 的右邻域.1.2函数的概念1.2.1函数的定义定义2 设x 、y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个D x ∈，通过对应法则f ，有唯一确定的y 与之对应，则称y 为是x 的函数，记作)(x f y =.其中x 为自变量，y 为因变量，D 为定义域,函数值)(x f 的全体成为函数f 的值域，记作f R ，即{}D x x f y y R f ∈==),(|.函数的记号是可以任意选取的, 除了用f 外, 还可用“g ”、“F ”、“ϕ”等表示. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号.函数的两要素：函数的定义域和对应关系为确定函数的两要素.例1 求函数211x x y --=的定义域. 解 x1的定义区间满足：0≠x ；21x -的定义区间满足：012≥-x ，解得11≤≤-x .这两个函数定义区间的公共部分是1001≤<<≤-x x 或.所以，所求函数定义域为]1,0()0,1[ -.例2 判断下列各组函数是否相同.（1）x x f lg 2)(=，2lg )(x x g =；（2）334)(x xx f -=，31)(-=x x x g ；（3）x x f =)(，2)(x x g =.解 （1）x x f lg 2)(=的定义域为0>x ，2lg )(x x g =的定义域为0≠x .两个函数定义域不同，所以)(x f 和)(x g 不相同.（2）)(x f 和)(x g 的定义域为一切实数.334)(x x x f -=)(13x g x x =-=,所以)(x f 和)(x g 是相同函数.（3）x x f =)(，x x x g ==2)(,故两者对应关系不一致，所以)(x f 和)(x g 不相同.函数的表示法有表格法、图形法、解析法(公式法)三种.常用的是图形法和公式法两种.在此不再多做说明.函数举例: 例3 函数⎪⎩⎪⎨⎧>=<-==0,10,00,1sgn x x x x y ，函数为符号函数，定义域为R ，值域{}1,0,1-. 如图1-4：图1-4例4 函数[]x y =，此函数为取整函数，定义域为R ， 设x 为任意实数, y 不超过x 的最大整数，值域Z . 如图1-5：图1-5特别指出的是，在高等数学中还出现另一类函数关系，一个自变量x 通过对于法则f 有确定的y 值与之对应，但这个y 值不总是唯一.这个对应法则并不符合函数的定义，习惯上我们称这样的对应法则确定了一个多值函数.1.2.2 函数的性质设函数)(x f y =，定义域为D ，D I ⊂.（1）函数的有界性定义3 若存在常数0>M ，使得对每一个I x ∈，有M x f ≤)(，则称函数)(x f 在I 上有界.若对任意0>M ，总存在I x ∈0，使M x f >)(0，则称函数)(x f 在I 上无界.如图1-6：图1-6例如 函数 x x f sin )(=在),(+∞-∞上是有界的:1sin ≤x .函数 xx f 1)(=在)1,0(内无上界，在)2,1(内有界.（2）函数的单调性 设函数)(x f y =在区间I 上有定义, 1x 及2x 为区间I 上任意两点, 且21x x <.如果恒有)()(21x f x f <, 则称)(x f 在I 上是单调增加的；如果恒有)()(21x f x f >, 则称)(x f 在I 上是单调递减的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数（图1-7）.图1-7（3）函数的奇偶性 设函数)(x f y =的定义域D 关于原点对称.如果在D 上有)()(x f x f =-, 则称)(x f 为偶函数；如果在D 上有)()(x f x f -=-, 则称)(x f 为奇函数.例如，函数2)(x x f =，由于)()()(22x f x x x f ==-=-，所以2)(x x f =是偶函数；又如函数3)(x x f =，由于)()()(33x f x x x f -=-=-=-，所以3)(x x f =是奇函数.如图1-8：图1-8从函数图形上看，偶函数的图形关于y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称.(4)函数的周期性设函数)(x f y =的定义域为D . 如果存在一个不为零的数l ,使得对于任一D x ∈有()D l x ∈±, 且())(x f l x f =±, 则称)(x f 为周期函数, l 称为)(x f 的周期.如果在函数)(x f 的所有正周期中存在一个最小的正数，则我们称这个正数为)(x f 的最小正周期.我们通常说的周期是指最小正周期.例如，函数x y sin =和x y cos =是周期为π2的周期函数，函数x y tan =和x y cot =是周期为π的周期函数.在此，需要指出的是某些周期函数不一定存在最小正周期.例如，常量函数C x f =)(，对任意实数l ，都有)()(x f l x f =+，故任意实数都是其周期，但它没有最小正周期.又如，狄里克雷函数⎩⎨⎧∈∈=c Qx Q x x D ,0,1)(， 当c Q x ∈时，对任意有理数l ，cQ l x ∈+，必有)()(x D l x D =+，故任意有理数都是其周期，但它没有最小正周期. 1.3 反函数 在初等数学中的函数定义中，若函数)(:D f D f →为单射,若存在:1-f D D f →)(，称此对应法则1-f 为f 的反函数.习惯上,D x x f y ∈=),(的反函数记作)(),(1D f x x f y ∈=-.例如，指数函数),(,+∞-∞∈=x e y x 的反函数为),0(,ln +∞∈=x x y ，图像为（图1-9）图1-9反函数的性质：（1）函数)(x f y = 单调递增(减)，其反函数)(1x fy -=存在，且也单调递增（减）. （2）函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图形关于直线x y =对称.下面介绍几个常见的三角函数的反函数：正弦函数x y sin =的反函数x y arcsin =，正切函数x y tan =的反函数x y arctan =. 反正弦函数x y arcsin =的定义域是]1,1[-，值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ；反正切函数x y arctan =的定义域是),(+∞-∞，值域是⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ，如图1-10：9图1-101.4复合函数定义4 设函数f D u u f y ∈=),(，函数f g g D R D x x g u ⊂∈=值域,),(，则()()g D x x g f y x g f y ∈==),()( 或称为由)(),(x g u u f y ==复合而成的复合函数，其中u 为中间变量.注：函数g 与函数f 构成复合函数g f 的条件是f g D R ⊂，否则不能构成复合函数.例如，函数]1,1[arcsin -∈=u u y ，，R x x u ∈+=,22.在形式上可以构成复合函数()2arcsin 2+=x y .但是22+=x u 的值域为]1,1[),2[-⊄+∞，故()2arcsin 2+=x y 没有意义. 在后面的微积分的学习中，也要掌握复合函数的分解，复合函数的分解原则： 从外向里，层层分解，直至最内层函数是基本初等函数或基本初等函数的四则运算.例5 对函数x a y sin =分解.解 x a y sin =由u a y =，x u sin =复合而成.例6 对函数)12(sin 2+=x y 分解.解 )12(sin 2+=x y 由2u y =，v u sin =，12+=x v 复合而成.1.5初等函数在初等数学中我们已经接触过下面各类函数：常数函数：C y =（C 为常数）；幂函数：)0(≠=ααx y ；指数函数：)10(≠>=a a a y x 且；对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且；三角函数：x y x y x y x y x y x y csc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin ======；反三角函数：x arc y x y x y x y cot ,arctan ,arccos ,arcsin ====.这六种函数统称为基本初等函数.定义5 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个式子表示的函数，称为初等函数.例如，x e y sin =，)12sin(+=x y ，2cot x y =等都是初等函数. 需要指出的是，在高等数学中遇到的函数一般都是初等函数，但是分段函数不是初等函数，因为分段函数一般都有几个解析式来表示.但是有的分段函数通过形式的转化，可以用一个式子表示，就是初等函数.例如，函数⎩⎨⎧≥<-=0,0,x x x x y ， 可表示为2x y =.习题 1-11.求下列函数的定义域.（1）21x y -=； （2）2411x xy -++=； （3）2ln 2x x y -=； （4）43arcsin -=x y ； （5）452+-=x y ； （6）2)3ln(--=x x y . 2.下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同，为什么？（1）2lg )(x x f =，x x g lg 2)(=； （2）x x f =)(，2)(x x g =； （3）x x f =)(，x e x g ln )(=； （4）x x f =)(，)sin(arcsin )(x x g =.3.已知)(x f 的定义域为]1,0[，求下列函数的定义域.（1）)(2x f ； （2）)(tan x f ； （3）)0)(()(>-++a a x f a x f .4.设()5312++=+x x x f ，求)(x f ，)1(-x f . 5.判断下列函数的奇偶性.（1）x x y tan sin ⋅=； （2）()1lg 2++=x x y ； （3）2xx e e y -+=； （4）)1(3+=x x y ； （5）⎩⎨⎧>+≤-=0,10,1x x x x y . 6.设下列考虑的函数都是定义在区间)0)(,(>-l l l 上的，证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数和奇函数的乘积是奇函数.7.下列函数中哪些是周期函数？如果是，确定其周期.（1）)1sin(+=x y ； （2）x y 2cos =；（3）x y πsin 1+=； （4）x y 2cos =.8.求下列函数的反函数.（1）31-=x y ； （2）)2lg(1++=x y ；（3）x x e e y +=1； （4）),(2sin 2ππ-∈=x x y ；（5）⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=4,241,1,2x x x x x y x .9.下列函数是有哪些函数复合而成的.（1）)13sin(+=x y ； （2）)21(cos 3x y +=；（3）))1ln(arcsin(+=x y ； （4）2sin x e y =.10.设2)(x x f =，x x ln )(=ϕ，求())(x f ϕ，())(x f f ，())(x f ϕ.第2节 极限极限在高等数学中占有重要地位，微积分思想的构架就是用极限定义的. 本节主要研究数列极限、函数极限的概念以及极限的有关性质等内容.2.1 数列的极限2.1.1 数列的概念定义1 若按照一定的法则，有第一个数1a ，第二个数a 2，…，依次排列下去，使得任何一个正整数n 对应着一个确定的数n a ，那么，我们称这列有次序的数a 1，a 2，…，a n ，…为数列.数列中的每一个数叫做数列的项。
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高等数学上册复习要点一、 函数与极限 （一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数；4、 函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续)()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在.间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2） 函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f xx )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当 左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f xx +→+=)()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限：a) 1sin lim 0=→xx x b) e x x xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5） 无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x ~1- （a x a x ln ~1-） d) x x ~)1ln(+ （a x x a ln ~)1(log +）e)x x αα~1)1(-+二、 导数与微分 （一） 导数1、 定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→- 右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率.3、 可导与连续的关系：4、 求导的方法1） 导数定义； 2） 基本公式； 3） 四则运算；4） 复合函数求导（链式法则）； 5） 隐函数求导数； 6） 参数方程求导； 7） 对数求导法. 5、 高阶导数1） 定义：⎪⎭⎫⎝⎛=dx dy dx d dx y d 222）Leibniz 公式：()∑=-=nk k n k k n n v u C uv 0)()()( （二） 微分1） 定义：)()()(00x o x A x f x x f y ∆+∆=-∆+=∆，其中A 与x ∆无关. 2） 可微与可导的关系：可微⇔可导，且dx x f x x f dy )()(00'=∆'=三、 微分中值定理与导数的应用 （一） 中值定理1、 Rolle 罗尔定理：若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈； 3）)()(b f a f =；则0)(),,(='∈∃ξξf b a 使.2、 Lagrange 拉格朗日中值定理＊：若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈；则))(()()(),,(a b f a f b f b a -'=-∈∃ξξ使.3、 Cauchy 柯西 中值定理：若函数)(),(x F x f 满足：1）],[)(),(b a C x F x f ∈； 2）),()(),(b a D x F x f ∈；3）),(,0)(b a x x F ∈≠' 则)()()()()()(),,(ξξξF f a F b F a f b f b a ''=--∈∃使（二） 洛必达法则 （三） T aylor 公式（四） 单调性及极值1、 单调性判别法：],[)(b a C x f ∈，),()(b a D x f ∈，则若0)(>'x f ，则)(x f 单调增加；则若0)(<'x f ，则)(x f 单调减少.2、 极值及其判定定理：a) 必要条件：)(x f 在0x 可导，若0x 为)(x f 的极值点，则0)(0='x f . b) 第一充分条件：)(x f 在0x 的邻域内可导，且0)(0='x f ，则①若当0x x <时，0)(>'x f ，当0x x >时，0)(<'x f ，则0x 为极大值点；②若当0x x <时，0)(<'x f ，当0x x >时，0)(>'x f ，则0x 为极小值点；③若在0x 的两侧)(x f '不变号，则0x 不是极值点.c) 第二充分条件：)(x f 在0x 处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，则①若0)(0<''x f ，则0x 为极大值点；②若0)(0>''x f ，则0x 为极小值点.3、 凹凸性及其判断，拐点1）)(x f 在区间I 上连续，若2)()()2(,,212121x f x f x x f I x x +<+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凹的；若2)()()2( ,,212121x f x f x x f I x x +>+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凸的.2）判定定理：)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上有一阶、二阶导数，则 a) 若0)(),,(>''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凹的； b) 若0)(),,(<''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凸的.3）拐点：设)(x f y =在区间I 上连续，0x 是)(x f 的内点，如果曲线)(x f y =经过点))(,(00x f x 时，曲线的凹凸性改变了，则称点))(,(00x f x 为曲线的拐点. （五） 不等式证明1、 利用微分中值定理；2、 利用函数单调性；3、 利用极值（最值）. （六） 方程根的讨论1、 连续函数的介值定理；2、 Rolle 定理；3、 函数的单调性；4、 极值、最值；5、 凹凸性. （七） 渐近线1、 铅直渐近线：∞=→)(lim x f ax ，则a x =为一条铅直渐近线； 2、 水平渐近线：b x f x =∞→)(lim ，则b y =为一条水平渐近线；四、 不定积分 （一） 概念和性质1、 原函数：在区间I 上，若函数)(x F 可导，且)()(x f x F ='，则)(x F 称为)(x f 的一个原函数.2、 不定积分：在区间I 上，函数)(x f 的带有任意常数的原函数称为)(x f 在区间I 上的不定积分.3、 基本积分表（P188，13个公式）；4、 性质（线性性）.（二） 换元积分法1、 第一类换元法（凑微分）：[])()(d )()]([x u du u f x x x f ϕϕϕ=⎰⎰='2、 第二类换元法（变量代换：三角代换、倒代换、根式代换等）：[])(1d )()]([)(x t t t t f dx x f -='=⎰⎰ϕϕϕ（三） 分部积分法：⎰⎰-=vdu uv udv （反对幂指三，前U 后 V ’）（四） 有理函数积分 1、“拆”；2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.五、 定积分 （一） 概念与性质：1、 定义：∑⎰=→∆=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ2、 性质：（7条）性质7 （积分中值定理） 函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则],[b a ∈∃ξ，使))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ （平均值：ab dx x f f ba-=⎰)()(ξ）（二） 微积分基本公式（N —L 公式） 1、 变上限积分：设⎰=Φxadt t f x )()(，则)()(x f x =Φ'推广：)()]([)()]([)()()(x x f x x f dt t f dx d x x ααβββα'-'=⎰ 2、 N —L 公式：若)(x F 为)(x f 的一个原函数，则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰（三） 换元法和分部积分 1、 换元法：⎰⎰'=βαϕϕt t t f dx x f bad )()]([)(2、 分部积分法：[]⎰⎰-=babab a vdu uv udv （四） 反常积分 1、 无穷积分：⎰⎰+∞→+∞=tat a dx x f dx x f )(lim )( ⎰⎰-∞→∞-=bt t bdx x f dx x f )(lim)(⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=0)()()(dx x f dx x f dx x f2、 瑕积分：⎰⎰+→=btat ba dx x f dx x f )(lim )(（a 为瑕点）⎰⎰-→=tabt badx x f dx x f )(lim )(（b 为瑕点）两个重要的反常积分：1) ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤∞+=-∞+⎰1 ,11,d 1p p a p x x p a p2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥∞+<--=-=--⎰⎰1,1 ,1)()(d )(d 1q q q a b x b xa x x qb a q b a q。
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2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限.
f
(x)
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f (x0 ) f (x0 )
3、 无穷小（大）量
1） 定义：若 lim 0 则称为无穷小量；若 lim 则称为无穷大量.
2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、 k 阶无穷小
f (x) f (x0 ) x x0
(1
函数 f (x) 在 x0 点可导 f(x0 ) f(x0 )
2、 几何意义： f (x0 ) 为曲线 y f (x) 在点 x0 , f (x0 )处的切线的斜率.
3、 可导与连续的关系：
4、 求导的方法
1） 导数定义；
e) (1 x) 1 ~ x
二、 导数与微分
（一）导数
1、
定义：
左导数：
右导数：
f
(x0 )
f ( x0
f(x0 )
lim
x x0
)
（
高等数学（上）知识点
loga
f (x) f (x0 ) x x0
lim
x x0
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
xn
a
0,
lim f (x) A 0, 0, x, 使
x x0
N ,
n
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
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高等数学教材同济版目录第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.1.1 函数的定义1.1.2 函数的图像与性质1.1.3 常用函数的性质介绍1.2 极限的概念与性质1.2.1 极限的定义1.2.2 极限的运算性质1.2.3 无穷小量与无穷大量1.3 函数的连续性与间断点1.3.1 连续函数的概念1.3.2 连续函数的性质1.3.3 间断点与间断函数1.4 导数与微分1.4.1 导数的定义1.4.2 导数的运算法则1.4.3 高阶导数与隐函数求导1.5 中值定理与应用1.5.1 高尔定中值定理1.5.2 柯西中值定理1.5.3 利用中值定理解决问题第二章一元函数微分学2.1 函数的极值与最值2.1.1 求函数的极值2.1.2 求函数在闭区间上的最大值与最小值2.1.3 求解优化问题的应用2.2 函数的凹凸性与拐点2.2.1 函数的单调性与凹凸性2.2.2 求函数的拐点2.2.3 凹凸函数的性质与应用2.3 不定积分2.3.1 不定积分的定义2.3.2 基本积分表与积分法2.3.3 牛顿-莱布尼茨公式与换元积分法2.4 定积分2.4.1 定积分的概念与性质2.4.2 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的运算法则2.4.3 定积分的几何应用2.5 微分方程2.5.1 一阶常微分方程2.5.2 可降阶的高阶微分方程2.5.3 可分离变量的高阶微分方程第三章一元函数积分学3.1 定积分的计算3.1.1 分部积分法3.1.2 变量代换法3.1.3 参数方程曲线的长度与曲边梯形的面积3.2 定积分的应用3.2.1 曲线的弧长与曲率3.2.2 曲线包围的面积与体积3.2.3 质量、质心与转动惯量3.3 定积分的进一步应用3.3.1 有理函数的积分3.3.2 特殊曲线所围成的面积3.3.3 参数积分与概率密度函数第四章多元函数微分学4.1 多元函数的极限与连续性4.1.1 多元函数极限的定义4.1.2 多元函数的连续性4.1.3 多元函数连续性的充要条件4.2 偏导数与全微分4.2.1 偏导数的定义与计算法则4.2.2 隐函数与参数方程的偏导数4.3 方向导数与梯度4.3.1 方向导数的定义与计算4.3.2 梯度的定义与性质4.3.3 最速下降问题与等高线的切线方向4.4 多元函数的极值与最值4.4.1 多元函数的极值判定条件4.4.2 用拉格朗日乘数法求极值4.5 重积分4.5.1 二重积分的概念与计算4.5.2 二重积分的计算方法4.5.3 三重积分的概念与计算4.5.4 三重积分的计算方法第五章多元函数积分学5.1 曲线积分5.1.1 第一类曲线积分的定义与计算5.1.2 第二类曲线积分的定义与计算5.1.3 斯托克斯公式与格林公式5.2 曲面积分5.2.1 第一类曲面积分的定义与计算5.2.2 第二类曲面积分的定义与计算5.2.3 高斯公式与斯托克斯公式的应用5.3 多元函数应用题5.3.1 质心与转动惯量5.3.2 弹性势能与电势能5.3.3 均匀分布与热力学第六章空间解析几何6.1 空间直线与平面6.1.1 直线的方程与位置关系6.1.2 平面的方程与位置关系6.1.3 直线与平面的位置关系6.2 球面与圆锥面6.2.1 球面方程与性质6.2.2 圆锥面方程与性质6.2.3 球面与圆锥面的位置关系6.3 空间曲线与曲面6.3.1 参数曲线的切线与曲面的切平面6.3.2 空间曲线的弧长6.3.3 二次曲线与二次曲面的性质6.4 空间向量与平面直线等角问题6.4.1 向量的定义与运算法则6.4.2 空间向量的数量积与夹角6.4.3 平面直线的方向余弦与法向量第七章多元函数级数与泰勒展开7.1 级数的概念与性质7.1.1 数项级数的定义7.1.2 数项级数的收敛与发散7.1.3 数项级数的运算性质7.2 幂级数7.2.1 幂级数的收敛域与收敛半径7.2.2 幂级数的性质与运算7.2.3 幂级数的应用7.3 函数展开成幂级数7.3.1 泰勒级数的定义与性质7.3.2 函数展开成泰勒级数的条件7.3.3 函数展开成泰勒级数的例子7.4 泰勒展开的应用7.4.1 高阶导数与泰勒展开7.4.2 函数的逼近与误差估计7.4.3 三角函数的傅里叶展开这是一个关于《高等数学教材同济版》的目录，它共包含七个主要章节，每个章节又分为若干小节，全面而系统地介绍了高等数学的各个知识点和概念。
同济大学第五版高数
无穷小的运算性质
定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
3、极限的性质
定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
7、连续性的运算性质
反双曲余弦 y arcosh x ; 反双曲正切 y artan x ;
数列极限
函数极限
lim
n
xn
a
lim f ( x) A
x
lim f ( x) A
x x0
无穷大
lim f (x)
两者的 关系
极限存在的 充要条件
左右极限 无穷小的比较
无穷小
lim f ( x) 0
判定极限 存在的准则
y tan x; y cot x; 5）反三角函数 y arcsin x; y arccos x;
y arctan x; y arccotx
7、复合函数
设函数 y f (u) 的定义域D f ,而函数u ( x) 的 值 域 为 Z, 若 Df Z , 则 称 函 数 y f [( x)]为x 的复合函数.
数集 D 叫做这个函数的定义域，x 叫做自变量， y 叫做因变量．
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x), x D} 称为函数的值域.
函数的分类
有 有理整函数(多项式函数) 理
同济高等数学1归纳
高等数学归纳(第一章~第三章)2010126137 彭伟奕第一章 函数与极限第一节 映射与函数一 、 集合●集合概念：集合（集）是指具有某种特定性质的事物的总体。
●元素（元）：组成某个集合的事物称为该集合的元素（元）。
(a 属于A,记作a ∈A ； a 不属于A ，记作a ∉A 。
) ●表示集合的方法：（1） 列举法：把集合的全体元素一一列举出来，例：A={}123n a a a a ，，（2） 描述法：集合M={}x x ︱具有性质P ，例：M={}210x -=︱x ●集合间关系：A 包含于B （A ⊂B ），A 不包含于B （A ⊄B ） A 是B 的真子集（A B ⊆），A 等于B （A=B ）,空集∅是任何非空集合的真子集。
●集合的运算：并，交，差{}A B |x x A x B =∈∈或 {}A B |x x A x B =∉∈且A\B={}|x x A x B ∈∉且 I\A 为A 的余集或补集，亦记cA●集合运算法则：交换律：A ∪B=B ∪A,A ∩B=B ∩A 结合律：（A ∪B ）∪C=A ∪(B ∪C) A ∩(B ∩C)=(A ∩B) ∩C 分配律：（A ∪B ）∩C=(A ∩C) ∪(B ∩C) (A ∩B) ∪C=(A ∪C) ∩(B ∪C) 对偶律：c c (AB)A B c = ｃｃｃ（ＡＢ）＝ＡＢ直积（笛卡尔乘积）：A ⨯B={（x,y ）|x ∈A 且x ∈B}，例：R ×R={(x,y)|x ∈R,y ∈B}为XOY 面上全体点的集合，R ×R 记作２Ｒ。
● 区间与邻域：（1）区间 开区间：（a,b ）,a,b 为开区间（a,b ）的端点。
闭区间：[a,b]半开区间：[a,b ﹚, ﹙a,b]（2）邻域：以a 为中心的任何开区间称以点a 为邻域，记作U （a ） 点a 的δ邻域，记U(a, δ)，其中δ为任一正数， U(a, δ)={x|a-δ＜x ＜a+δ}={x| |x-a|＜δ} 点a 为邻域的中心，δ为邻域半径。
同济高数每章知识点总结
同济高数每章知识点总结第一章：函数的极限，连续，导数，微分1。
函数及其性质：(1)函数定义域是全体实数;(2)任意实数x， y与z， y与z之间都存在着一一对应的关系;(3)当自变量趋于无穷时，因变量也无穷，则函数也无穷; (4)函数可以有两个或两个以上的解;(5)函数不可能单调递增或单调递减;(6)两个互为相反数的函数相加，和仍为函数;(7)函数f(x) =-kx+m， 0<m<0，则f(x)>0;(8)在某区间上，函数f(x)f(x+u)，函数的图像关于曲线y=f(x)dx=f(x+u)dx上对称;(9)函数f(x)=x。
1。
函数的概念：给定一个实际的开区间和一个函数f，那么这个开区间就是所求解的值集合或区间，这个函数就叫做原函数或所要求的解。
2。
函数的定义域：原函数的定义域就是所求值集合或区间。
2。
定义域的取法：先用配方法求出未定式a的系数，然后设未知数f的系数为k，用x-a=f(x-k)，即f(x-k)f(x)=a(f(x)-x)((x-k)-x)>0，那么我们就把k的集合定为该函数的定义域，例如： f(x)=x，当k=0时， x=-1，函数没有定义，那么我们就把-1定为函数的定义域，这种方法叫做换元法。
例如f(x)=ax+b，当k=0时，函数为f(x)=x，当k=1时，函数为f(x)=2x+b，当k=2时，函数为f(x)=3x+b，当k=3时，函数为f(x)=4x+b。
6。
原函数的极限与函数的极限的定义：函数的极限就是自变量趋向某个值时，因变量也随之趋向该值的过程，但函数的极限与原函数无关，例如y=f(x)dx=f(x+u)dx=x+u(x-u)，当u=0时， y=f(x)，所以函数的极限也是自变量趋于0时，因变量也趋于0，但它们却不是同一个量。
函数极限的求法是利用微积分基本定理中的极限法则来确定的。
函数极限的定义，简洁、直观，并且完全符合函数单调性的要求，常被用来证明极限的存在性。
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第一章函数与极限
一、对于函数概念要注意以下几点：
(1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。
定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。
对应法则是正确理解函数概念的关键。
函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。
函数关系也不同于因果关系。
例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。
y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。
如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。
(2) 函数与函数表达式不同。
函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。
(3) f(x)与f(a)是有区别的。
f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是
f(x)当x=a时的函数值。
(4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。
二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性：
对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点：
(1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。
(2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。
(3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。
如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。
存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。
f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。
(4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。
三、关于复合函数
要注意的是，函数的复合是有条件的，并不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数。
一个函数是否为复合函数与该函数的对应法则的表示方法有关。
例如，和
的对应法则相同，但对应法则的表示方法是不同的，前者不是复合函数，后者可以看成是由，，复合而成的复合函数。
四、分段函数
分段函数往往不是初等函数，因为他们没有用一个式子来表示。
但不能说分段函数都不是初等函数，例如：是分段函数，也是初等函数，因为它可以用一个数学式子表示。
五、简单的经济函数
在生产和经营活动中，成本、收入、利润关于产品的产量或销量x的函数关系分别称为总成本函数，记为c(x)；总收入函数，记为R(x)；总利润函数，记为L(x)。
一般说来，
c(x)=固定成本+可变成本
R(x)=px
L(x)=R(x)-c(x)
其中，p为产品的销售单价；x为销量。
商品的市场需求量和市场供给量，相对商品价格p的函数关系，分别称为商品的需求函数和供给函数。
六、关于极限概念
(1) 如果当时，恒成立，则称数列当以为极限，记为.
(2) 如果当时，恒成立，则称函数时以A为极限，记为
类似地，如果当时，恒成立，则称函数以A为极限，记为。
应当注意，数列的极限与函数的极限是
有区别的，它们的区别在于：数列的自变量n的变化过
程是间断的(只取正整数)，且只有一个过程：；而函数
的自变量的变化过程是连续的，变化过程
有：
数列的极限与函数当时的极限又有一定的联系：
当存在时，必定存在，且，但当不存在时，却可以存在。
七、左右极限
当和存在时，分别称和
为f（x）在点的左极限和右极限，
它们统称为单侧极限。
条件是左、右极限、都存在，且。
八、无穷小与无穷大
(1)无穷小是指在自变量的某种趋向下，对应的函数值的变化趋势(趋向于零)，而有界函数是指自变量在某一范围内，对应的函数值的变化情形。
如果函数f(x)当
时是无穷小，则f(x)在点附近必定有界，但离点远一些的地方是否有界就不能肯定了。
(2)无穷大是指在自变量的某种趋向下，对应的函数值的变化趋势。
如果函数f(x)是无穷大，则f(x)必定无界；但反过来，当f(x)无界时，f(x)可不一定是无穷大。
(3)具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小的和；反过来，如果函数f(x)可表示为常数与无穷小之和，则该常数就是这函数的极限。
(4)如果f(x)是无穷大，则1/f(x)是无穷小；如果f(x)是无穷小，且，则1／f(x)是无穷大。
(5) 设和是同一极限过程中的两个无穷小。
如果,则称是比
高阶的无穷小，记作；如果，则称是比低阶的无穷小；如果，则称与是同阶
无穷小；如果，则称与是等价无穷小，记作如果
，则称是的k阶无穷小。
当时，常见的等价无穷小
有：
(6)设且存在，则(等价无穷小代替定理)。
九、极限存在准则和两个重要极限
(1)两个准则是：夹逼准则和单调有界准则。
(2)两个重要极限：若为某个过程中的无穷小，则
十、极限的一些性质
(1)惟一性若变量有极限，则极限惟一；
(2)有界性有极限的变量必有界；
(3)保号性
①某时刻后f(x)≥0(或≤0)=> limf(x)≥0(或≤0)；
②limf(x)>0(或<0)=>某时刻以后f(x)>0(或<0)；
③某时刻以后，。
十一、求函数极限的方法
(1)利用极限定义，验证某常数为已知变量的极限
(2)利用函数的连续性求极限；
(3)利用极限的四则运算求极限；
(4)利用无穷小的性质求极限；
(5)利用两个重要极限求极限；
(6)利用夹逼准则和单调有界准则求极限。
十二、函数连续性定义有三种说法
(1)设函数y=f(x)在点的某邻域内有定义，如果当自变量的增量(由值起)趋于零时，对应的函数值的增量也趋于零，
即或，则称y=f(x)在点连续；
(2)设y=f(x)在点的某邻域内有定义，当时，函数f(x)的极限存在，且等于处的函数值，即或，则称y=f(x)在点连续；
(3)设y=f(x)在点的某邻域内有定义，如果
,恒有成立，则称y=f(x)在点连续。
由于连续性有上述三种说法，这就带来许多方便，通常可以根据具体情况采用某一种较合适的形式。
一般说来，第一种说法多用于检验函数的连续性；第二种说法多用于讨论间断点；而第三种说法多用于理论上的推导。
十三、函数的间断点及其分类
若函数f(x)在点不连续，则称是f(x)的间断点。
若及
都存在，则称为第一类间断点，否则称为第二类间断点。
第一类间断点又细分为可去间
断点()及跳跃间断点()。
第二类间断点包括无
穷间断点(及中至少有一个为)及振荡间断点(在处，极限不存在，永远振荡)。
十四、基本初等函数在其定义域上是连续的，初等函数在其定义区间上是连续的
定义区间与定义域有所不同，定义区间是含于定义域内的，是一个区间，定义域不一定是区间。
例如，初等函数的定义域为x＝－2及。
是f(x)的定义区间，x＝－2是f(x)的定义域内的一个孤立点。
x＝－2显然是f(x)
的一个间断点。
可以说f(x)f在它的定义区间x=－2及上连续，但不能说f(x)在
它的定义域x＝－2及上是连续的。
十五、闭区间上连续函数的基本性质
主要是最大值最小值定理及介值定理。
定理的条件是“f(x)在闭区间上连续”。
该条件是充分的但不必要。
十六、关于无穷小的运算
无穷小的运算对求极限有着很大的用处。
(1)有限个无穷小的代数和仍为无穷小；
(2)无穷小与有界变量的乘积仍为无穷小。
但是无穷小的除法则成为的不定型，没有确定的结果。
由的极限情况得到无穷小阶的比较。
所谓无穷小阶的比较就是各变量在同一过程中趋于零的快慢程度。
十七、关于连续函数的运算
连续函数的运算包括和、差、积、商、复合、取反函数等。
它们在一定条件下经过运算都是连续的。
有了这些运算可以推得很多函数的连续性。
学习时要注意这些定理成立的条件，特别是复合函数及反函数连续的条件。