统计与概率的综合问题

统计与概率的综合问题

1.某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩（单位：秒）如下：

（1）请完成样本数据的茎叶图（在答题卷中）；如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由（不用计算，可通过统计图直接回答结论）；

（2）从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个比12.8秒差的概率；

（3）经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在区间[]11,15（单位：秒）之内，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率．

2. 已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试”活动．为了解本次考试学生的某学科成绩情况，从中 抽取部分学生的分数（满分为100分，得分取正整数，抽取学生的分数均在[]50,100之内）作为样本（样 本容量为n ）进行统计．按照[]50,60，[]60,70，[]70,80，[]80,90，[]90,100的分组作出频率分布直 方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[]50,60，[]90,100的数据）．

（Ⅰ）求样本容量n 和频率分布直方图中的x 、y 的值；

（Ⅱ）在选取的样本中，从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“省级学科基础

知识竞赛”，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[]90,100内的概率．

3.为了解某天甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素,x y 的含量（单位：毫克）．当产品中的微量元素,x y 满足175x ≥，且75y ≥ 时，该产品为优等品．已知甲厂该天生产的产品共有98件，下表是乙厂的5件产品的测量数据：

（1）求乙厂该天生产的产品数量；

（2）用上述样本数据估计乙厂该天生产的优等品的数量；

（3）从乙厂抽出取上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品至少有1件的概率．

4.某种商品在50个不同地区的零售价格全部介于13元与18元之间，将各地价格按如下方式分成五组：第一组[13,14)；第二组[14,15)，……，第五组[17,18]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

（1）求价格在[16,17)内的地区数，并估计该商品价格的中位数（精确到0.1）；

（2）设,m n 表示某两个地区的零售价格，且已知,[13,14)

[17,18]m n ∈，求事件“1m n ->”的概

率.

6.在某次考试中，全部考生参加了“科目一”和“科目二”两个科目的考试，每科成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩数据统计如图所示，其中“科目一”成绩为D的考生恰有4人．

（1）分别求该考场的考生中“科目一”和“科目二”成绩为A的考生人数；

（2）已知在该考场的考生中，恰有2人的两科成绩均为A，在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩均为A的概率．

7.某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如图所示．

（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再画出频率分布直方图；

（2）为了能选拔出最优秀的学生，该高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？

（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官的面试，求第四组至少有一名学生被考官A面试的概率？

8.某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部在12秒到17秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[12，13），第二组[13，14），…，第五组[16，17]，如图是根据上述分组得到的频率分布直方图．

（1）若成绩小于13秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；

（2）请估计本年级800名学生中，成绩属于第三组的人数；

（3）若样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，求所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率．

9.春节期间，某微信群主发60个随机红包（即每个人抢到的红包中的钱数是随机的，且每人只能抢一个），红包被一抢而空，后据统计，60个红包中钱数（单位：元）分配如下频率分布直方图所示（其分组区间为[0，1），[1，2），[2，3），[3，4），[4，5））．

（1）试估计该群中某成员抢到钱数不小于3元的概率；

（2）若该群中成员甲、乙两人都抢到4.5元红包，现系统将从抢到4元及以上红包的人中随机抽取2人给群中每个人拜年，求甲、乙两人至少有一人被选中的概率．

试卷答案

1.（1）茎叶图见解析，乙较稳定；（2）“至少有一个”问题可从反面入手，没有一个比1

2.8秒差，利用相互独立事件同时发生的概率可求得；（3）甲同学的成绩为x ，乙同学的成绩为y ，按题意

1115,1115x y ≤≤≤≤，而要求的是0.8x y -<，作出图形，由几何概型概率公式计算可得．

（3）设甲同学的成绩为x ，乙同学的成绩为y ，则0.8,0.80.8x y x y x -<-+<<+，如图阴影部分面积即为44 3.2 3.2 5.76⨯-⨯=……………………………………………………10分 所以，甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8秒的概率为 5.760.3616

p ==…………12分 考点：茎叶图，相互独立事件同时发生的概率，几何概型．

2.（Ⅰ）50，0.004，0.030；（Ⅱ）10P 21

=

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