数学物理方程剖析

2、边界条件——描述系统在边界上的状况
第一类边界条件：直接规定了所研究的物理量
在边界上的数值，即
三 类
u f (t) S
边
第二类边界条件：规定了所研究的物理量在边
界
界外法线方向上方向导数的数值，即
条 件
u f (t)
n S
第三类边界条件：规定了所研究的物理量及其 外法向导数的线性组合在边界的数值，即
2
x
[(l 2
x2 )ux ]
0
热传导问题
➢几个概念：
热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。
热流强度（密度）：单位时间通过单位横截面积的热量，记为 w
热源强度：单位时间单位体积放出的热量，记为F 能量密度：单位体积内具有的能量，记为q
➢热传导定律（Fourier实验定律）：当物体内存在温差时， 会产生热量流动，热流密度与温度负梯度成正比，即
泊松方程
2u 0
拉普拉斯方程
二、定解条件的推导
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。 边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历 史，即个性。 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态 的条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上 的约束情况的条件。
其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的 条件。
T
n
u
S
w k u H (u T )
s
n
s
其中H为热传递系数。
du (u T )
dt
人体在死亡后, 温度调节功能随即消失, 因此由正常体温 (37℃) 与室温的比较, 利用牛顿冷却定律, 可以帮忙判定死亡的时间.
某冬晨, 警局接到报案, 在街头发现一流浪汉的尸体, 6:30AM时测量其体温为 18℃, 到7:30AM时, 其体温已降到 16℃, 若假设室外温度约维持在 10℃, 且人体 正常体温为 37℃,判定死亡的时间。
思考题
一长为l的均匀柔软细绳（绳的重量忽略），其一端固定在竖 直轴上。绳子和轴以匀角速 转动，试导出此绳相对水平线
的横振动方程。
解：由于研究的是柔软的轻绳，故弦的重力可忽略不计。 取绳的平衡位置，即水平线为x轴，如图所示。
u
x x+dx
o
x
在绳中取一小段dx，考虑它的受力和运动情况。
u 1
2 T2
sin2 tan2 ux xdx sin1 tan1 ux x
u 1
2 T2
T1 x x+dx
o
x
源自文库
那么，有(1)可知张力T只与位置有关，且
T (x) l 2xdx 1 2 (l 2 x2 )
x
2
所以(2)式变为
(Tux ) xdx (Tux ) x utt dx
故
utt
12
1、初始条件——描述系统的初始状态
A、 波动方程的初始条件
u |t0 (x)
u t
t0
(x)
系统各点的初位移 系统各点的初速度
B、热传导方程的初始条件 初始时刻的温度分布：u(M ,t) |t0 (M )
C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 不含初始条件，只含边界条件条件
注意：初始条件必须写完整，也就是要把整个体系所有点的初始态都写出来。
dS nv
M V
S
热场
Q1 ku dSˆ
S
高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分）
Q1 k2udV
V
流入的热量： Q1 k2udV
V
单位时间热源释放的热量 Q2 FdV
V
单位时间流入的热量和热源释放的热
量导致V内的温度发生变化
dS nv
M V
S
热场
温度发生变化需要的热量为：Q
w ku
其中k为导热系数，表示单位时间，单位面积，单位温度负梯度下的导热量。 （或在单位温度梯度作用下通过物体的热流密度。）
闭合曲面S上任选一微元S，其法线方向为 n
那么流出S的热流为
dq w Sn
S nv
M V
S
热场
那么流入S的热流为
dq w Sn
➢牛顿冷却定律（Newton cooling law） ：温度高于 周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵 循的规律。当物体表面与周围存在温度差时，单位时 间从单位面积散失的热量与温度差成正比，即
(3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。
u STY x xa k u xa
或
u x
u
xa
0
B、热传导方程的边界条件 (1) 给定温度在边界上的值
u |s f S——给定区域v 的边界
例4、热传导
当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有热量从高温处流
向低温处，求温度随空间时间变化的规律。
所要研究的物理量： 温度 u(x, y, z,t)
根据热学中的傅立叶实验定律
在单位时间内从dS流入V的热量为：
dQ
w
dS
k
u dS
ku nˆdS
ku dSˆ
n
在单位时间内通过S流入V的热量为
冷却定律与周围环境交换热量（设环境温度 u0和传热系数H 均为常量），设杆的横截面 的面积和周长各为S和L，则方程如何？
例5、静电势
确定所要研究的物理量： 电势u
根据物理规律建立微分方程：
S
E
dSˆ
1
0
V
dV
u E
E
0
对方程进行化简：
E (u) u 2u / 0
2u / 0
V
c
udV t
Q1 Q2 Q
V
k2udV
V
FdV
c
V
udV t
k2u F c u
t
u k 2u F
t c
c
热传导方程
2u 0
u a 22u f t
练习
• 导出均匀细杆的热传导方程，设杆上x点时 刻t的温度为u(x,t)，杆的比热容、密度和热
源强度各位c, 和F（均为常量）.
• 1）设杆的侧面是绝热的，方程如何？ • 2）如果杆的侧面不是绝热的，而是按牛顿
(u u ) f (t)
n S
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 波动方程的边界条件 (1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
u |x0 0, 或： u(a,t) 0 (2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。
u
TY
0
x xa
u 0 x xa
ux (a,t) 0
T1 x x+dx
o
x
设x处t时刻的位移为u(x,t)，T1和T2分别为dx微元两端所 受的张力，且与水平方向的夹角为1和2.
由牛顿第二定律得：
x方向 T2 cos2 T1 cos1 dx 2 x (1)
u方向
T2 sin 2 T1 sin 1 dxutt
(2)
由于是微小的横振动，所以
cos2 cos1 1