椭圆焦点三角形的结论

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过椭圆焦点的内接三角形的几个结论

过椭圆焦点的内接三角形的几个结论过椭圆焦点的内接三角形是指一个三角形的三个顶点都在椭圆的焦点上，且这个三角形内接于椭圆。

对于这样的三角形，有以下几个结论：1. 这个三角形的三个内角和等于180度。

这个结论可以通过椭圆的性质来证明。

椭圆的焦点是指到椭圆上任意一点的距离之和相等的两个点。

因此，对于过椭圆焦点的内接三角形，三个顶点到椭圆上的距离之和相等。

又因为三角形内接于椭圆，所以三个顶点到椭圆上的距离之和等于椭圆的周长。

而椭圆的周长等于两个焦点之间的距离乘以π，即2πa，其中a是椭圆的长半轴。

因此，三角形的三个顶点到椭圆上的距离之和等于2πa。

由于三角形的三个内角和等于三个顶点到椭圆上的距离之和除以椭圆的半周长再乘以180度，即180度×(三个顶点到椭圆上的距离之和÷2πa)，因此可得到结论：过椭圆焦点的内接三角形的三个内角和等于180度。

2. 这个三角形的重心和椭圆的中心重合。

这个结论可以通过三角形的性质来证明。

三角形的重心是指三条中线的交点，其中中线是指一个三角形的一个顶点和对边中点之间的线段。

对于过椭圆焦点的内接三角形，三个顶点都在椭圆的焦点上，因此三个顶点到椭圆的中心的距离相等。

又因为三角形内接于椭圆，所以三个顶点到椭圆的中心的距离等于椭圆的半径。

因此，三角形的重心和椭圆的中心重合。

3. 这个三角形的面积等于椭圆的面积的四分之一。

这个结论可以通过椭圆的性质来证明。

椭圆的面积等于长半轴和短半轴的乘积再乘以π，即πab，其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。

而过椭圆焦点的内接三角形的三个顶点都在椭圆的焦点上，因此这个三角形的周长等于椭圆的周长的一半，即πa。

又因为这个三角形是内接三角形，所以它的面积等于半周长乘以内切圆的半径，即πa×(a/2)，即πa²/4。

因此，这个三角形的面积等于椭圆的面积的四分之一。

综上所述，过椭圆焦点的内接三角形有以上三个结论，这些结论可以通过椭圆的性质和三角形的性质来证明。

专题椭圆的焦点三角形

专题椭圆的焦点三角形椭圆是一个引人注目、充满神秘感的几何图形，它具有许多令人惊叹的性质。

其中一个特殊的性质是焦点三角形。

本文将探讨专题椭圆的焦点三角形的特点和性质。

一、焦点三角形的定义在椭圆上取一点P，并绘制两条经过焦点的直线，分别交椭圆于两点A和B。

连接点P与A、B，即构成焦点三角形PAB。

二、椭圆焦点三角形的性质1. 焦点三角形是等腰三角形由于A和B分别是椭圆上的焦点，根据椭圆的对称性可知，AP和BP的长度相等，因此焦点三角形PAB是一个等腰三角形。

2. 焦点三角形的顶角等于椭圆的离心率角设椭圆的离心率为e，椭圆焦点距离为c，焦点三角形的两边长度为a和b。

根据梅涅劳斯定理可得到焦点三角形的顶角P的余弦值为：cosP = c / e从中可以看出，焦点三角形的顶角大小与椭圆的离心率成正比。

3. 焦点三角形的周长与椭圆周长的比值为e焦点三角形的周长可以表示为：周长PAB = a + b + c而椭圆的周长为：周长椭圆 = 4 * a * E(e)其中，E(e)为椭圆的椭圆积分。

归一化后，椭圆积分可以表示为E(e) = ∫[0, π/2] √[1 - e^2 sin^2Θ] dΘ。

将焦点三角形的周长除以椭圆的周长，可得到焦点三角形周长与椭圆周长比值的公式：焦点三角形周长 / 椭圆周长 = (a + b + c) / (4 * a * E(e))由此可见，焦点三角形的周长与椭圆周长的比值等于椭圆的离心率。

三、示例分析以一椭圆为例，离心率为0.6，焦点距离为5。

可根据数学计算求出椭圆参数及相关数据。

假设焦点三角形的两边长度分别为2和3，则焦点三角形的顶角P的余弦值为：cosP = 5 / 0.6 = 8.33根据arccos函数的反函数关系，可以得出焦点三角形的顶角P的角度为约31.79°。

进一步计算焦点三角形的周长与椭圆周长的比值为：焦点三角形周长 / 椭圆周长= (2 + 3 + 5) / (4 * 12.953) ≈ 0.288因此，对于该椭圆来说，焦点三角形的周长是椭圆周长的0.288倍。

椭圆的性质二焦点三角形的性质

|｜PF｜2 ｜PF｜1
a
ex
(a
ex)
2ex
2
4 5
x
，
5
x
0
，
∴0＜|F2N|＜8，∴0＜|OM|＜4．
若 P 在椭圆的右半部分时，同样可得出 0＜|OM|＜4，故选：B．
方法二极限法，当 P 在左端点时，|OM|=4，在 P 上顶点时，|OM|=0，∴0＜|OM|＜4．
三课后练习：
1.(2019·郑州第二次质量预测)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为23，
x2
令椭圆方程为
a2
y2 b2
1(a b 0)
则由椭圆的定义有 | PF1 | | PF2 | 2a , | F1F2 | 2c ,
∴
| PF1 | | PF2 |
| F1F2 | 2c
sin PF2F1 sin PF1F2 sin F1PF2
又 ∵ PF1F2 5PF2F1 ， ∴ PF1F2 750 ， PF2F1 150 ，
4．(2019
南昌模拟)P
为椭圆 x2 ＋y2＝1 25 9
上一点，F1，F2
分别是椭圆的左、右焦点，过
P
点作
PH⊥F1F2
于
点 H，若 PF1⊥PF2，则|PH|＝( )
A.25
B.8
4
3
C．8
D.9
4
解析：选 D 由椭圆 x2 ＋y2＝1 得 a2＝25，b2＝9， 25 9
则 c＝ a2－b2＝ 25－9＝4，∴|F1F2|＝2c＝8.由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
A. (0, 3 ] 2

椭圆焦点三角形的几个性质

学科纵横幸福生活指南223幸福生活指南椭圆焦点三角形的几个性质张春梅招远第一中学山东招远 265400椭圆的两个焦点与椭圆上任一点(非长轴端点)所构成的三角形，我们称之为椭圆的焦点三角形。

焦点三角形是椭圆中的一个基本图形，在它当中很好的体现了椭圆中的一些基本量之间的关系，也很好的体现了解决椭圆问题常用到的方法，下面我们就通过几个例题来研究一下椭圆的焦点三角形的几条性质：在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，12,F F 是它的两个焦点，Ｐ是椭圆上非长轴端点的任一点。

性质一：若椭圆的长轴为2a ，焦距为2c ，则△12F PF 的周长为2a+2c.证明：由椭圆的定义得到1||PF + 2||PF =2a ，又|F 1F 2|=2c ，进而得出焦点三角形的周长=1||PF +2||PF +|F 1F 2|=2a+2c性质二：当Ｐ点位在椭圆的短轴端点处时，∠12F PF 最大，且1||PF •2||PF 最大，最大值等于a 2证明：设1||PF ＝1r ，2||PF ＝2r ，则1r ＋2r ＝2a 。

在△12F PF 中，由余弦定理可得cos ∠12F PF =222121242r r c r r +−=22121212()422r r c r r r r +−−=2212124422a c r r r r −−=212412b r r −22221244112()2b b r r a ≥−=−+。

当且仅当1r =2r 时取得等号。

即1||PF =2||PF 时∠12F PF 最大，所以当Ｐ点在椭圆的短轴端点处时，∠12F PF 最大。

由椭圆定义得和式1||PF +2||PF =2a(定值)，结合基本不等式得到积式1||PF 2||PF 有最大值，当且仅当1||PF =2||PF 时取等号。

即P 位于短轴端点时，1||PF 2||PF 取得最大值a2。

点评：在该性质的证明过程中，用到了椭圆的定义和基本不等式的有关知识，要灵活应用。

椭圆专题三椭圆中焦点三角形问题(含答案)

椭圆专题三椭圆中“焦点三角形”班级__________ 姓名：__________证明结论：1.焦点三角形的面积：如果焦距所对的角的大小为θ，那么此焦点三角形的面积大小为2tan 2b θ，特别地，当PF 1⊥PF 2时12F PF ∆的面积为2b 。

证明结论：2. 12,F F 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 是椭圆上的一点，对于焦点三角形12F PF ∆，当P 为短轴端点时，12F PF ∠最大。

1.设F 1，F 2是椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|:|PF 2|＝2:1，则三角形∆PF 1F 2的面积等于____4____．2．设F 1、F 2为椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 为上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF 1｜＞｜PF 2｜，则||||21PF PF 的值为 72或 2 . 3．椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，满足→MF 1·→MF 2 =0的点M 总在椭圆内部，则e 的取值范围为0,2⎛ ⎝⎭ .4．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b >0)的两焦点为 F 1(-c,0)、F 2(c,0)，P 为右准线L 上一点，F 1P 的垂直平分线恰过F 2点，则e 的取值范围为⎣5.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在一点P 使1221sin sin a c PF F PF F =，则该椭圆的离心率的取值范围为 )1,1 ． 6．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( B ) A.54 B.53 C. 52 D. 51 7．已知长方形ABCD ，4AB =,3BC =,则以A B 、为焦点，且过C D 、两点的椭圆的离心率为 12 .8．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，使△OPF 1为正三角形，求椭1 .9．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1、F 2，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB,椭圆离心率为5 . 10．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，→OA +→OB 与→ a =(3,-1)共线，则椭圆的离心率e 为3 . 11．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1(-c ，0)、F 2(c,0)，P 是以｜F 1F 2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2 =5∠PF 2F 1，则椭圆的离心率e 为 3. 12．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则12F PF ∠的大小为___23π___.13．已知动点P 与两个定点12(F F 距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为19-，则动点P 的轨迹方程为___22194x y +=____.。

椭圆的焦点三角形公式

椭圆的焦点三角形公式椭圆是我们在数学学习中经常会碰到的一个重要图形，而椭圆的焦点三角形则有着一些独特的公式和有趣的性质。

先来说说啥是椭圆的焦点三角形。

想象一下，椭圆上有一个点 P，然后连接椭圆的两个焦点 F₁和 F₂，这样就形成了一个三角形，这个三角形就叫做焦点三角形。

在焦点三角形中，有几个重要的公式。

比如说，焦点三角形的周长公式是 2a + 2c ，其中 a 是椭圆的长半轴，c 是椭圆的半焦距。

还有一个特别常用的公式是在焦点三角形 PF₁F₂中，设∠F₁PF₂ = θ，那么三角形的面积 S = b² × tan(θ/2) ，这里的 b 是椭圆的短半轴。

那这些公式到底有啥用呢？我给您讲个事儿您就明白了。

记得有一次我给学生们上课，讲完这些公式后，我出了一道题让他们做。

题目是这样的：已知椭圆方程为 x²/25 + y²/16 = 1 ，点 P 在椭圆上，∠F₁PF₂ = 60°，求焦点三角形 PF₁F₂的面积。

大多数同学看到题目就开始埋头苦算，又是设坐标，又是用距离公式的，算得那叫一个费劲。

但有个聪明的同学就不一样啦，他马上想到了我们刚讲的面积公式S = b² × tan(θ/2) 。

这个椭圆里，b² = 16 ，θ = 60°，所以tan(θ/2) = √3/3 ，那面积 S 一下子就算出来是16√3/3 。

这时候其他同学都恍然大悟，原来用对了公式能这么轻松地解决问题。

从那以后，同学们对这些公式的印象可深刻了，遇到类似的题目也不再害怕。

咱们再回到焦点三角形的公式上来。

这些公式的推导其实也挺有意思的。

就拿面积公式来说吧，它是通过余弦定理和一些巧妙的代数变形得到的。

在学习和运用这些公式的时候，一定要注意理解每个字母代表的含义，还要多做一些练习题来巩固。

比如说，给您一个椭圆方程，让您求焦点三角形的周长或者面积，您就得能迅速判断出要用哪个公式，然后准确地代入数值计算。

椭圆焦点三角形公式

椭圆焦点三角形公式椭圆焦点三角形公式：1. 设椭圆母线长度为2a，焦点为F1、F2，A、B两点在椭圆上，则有：2. AF2 = BF1，即AF2 = BF1/2 ；3. 若点A,B在椭圆外弦上，则有 AF2 + BF1 =2a；4. 若点A,B在椭圆内弦上，则有AF2 – BF1 =2a；5. 对于任一点在椭圆上，令它离焦点之间的距离为x，即F1A=F2B=x，则有：6. AF2 = x + BF1/2；7. 若点A,B在椭圆外弦上，则有 AF2 + BF1 = 2a + 2x；8. 若点A,B在椭圆内弦上，则有AF2 – BF1 = 2a – 2x；9. 椭圆焦点三角形有：• 如果A,B两点在椭圆外弦中，则有 BF1·AF2·F2A = 2a·x·(a-x)；• 如果A,B两点在椭圆内弦中，则有 BF1·AF2·F2A = 2a·x·(a+x)；10. 椭圆外弦三角形面积等于椭圆内弦三角形面积：• 如果A,B两点在椭圆外弦中，则有 BF1·AF2·F2A = 2a·x·(a-x) =2a·x·(a+x)；• 如果A,B两点在椭圆内弦中，则有 BF1·AF2·F2A = 2a·x·(a+x) =2a·x·(a-x)；11. 设椭圆上的三点为A,B,F2，则AB两点距离F2点的距离等于F1点距离F2点的距离：• 若点A,B在椭圆外弦上，则有 AF2 = BF1；• 若点A,B在椭圆内弦上，则有 AF2 = BF1/2；12. 设椭圆上的四点为A,B,C,F2，则BC两点距离F2点的距离等于F1点距离F2点的距离：• 若点A,B,C在椭圆外弦上，则有 CF2 = BF1；• 若点A,B,C在椭圆内弦上，则有 CF2 = BF1/2；13. 设椭圆上的五点为A,B,C,D,F2，则CD两点距离F2点的距离等于F1点距离F2点的距离：• 若点A,B,C,D在椭圆外弦上，则有 DF2 = BF1；• 若点A,B,C,D在椭圆内弦上，则有 DF2 = BF1/2。

高二数学选修椭圆中焦点三角形的性质及应用

高二数学选修椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。

性质一：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan 221θb S PF F =∆。

性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点。

证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1 在21PF F ∆中，2122121212cos PF PF F F PF PF -+=θ21221221242)(PF PF c PF PF PF PF --+=1))((24124422122--+=--=o o ex a ex a b PF PF c a =122222--ox e a b 性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ 证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。

（2000年高考题）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,120021=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。

简解：由椭圆焦点三角形性质可知.21120cos 20e -≥即22121e -≥- , 于是得到e 的取值范围是.1,23⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡ 性质四：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率βαβαsin sin )sin(++=e 。

关于椭圆焦点三角形内心的相关结论及其应用

2020年第12期中学数学教学参考（下旬)学研堂w w 关于椭圆焦点三角形内心的相关结论及其应用师吉芹（山东省章丘中学）摘要：对于与椭圆焦点三角形的内心相关的定值问题，值得我们深入学习，探究拓展，总结归纳，以便解题时直接应用。

关键词：概圆；焦点三角形；内心；定义；离心率文章编号：1002-2171 (2020) 12-0068-02椭圆的焦点三角形一般是指以椭圆的两个焦点巧，^和椭圆上与焦点同轴的两个顶点外的任意一点P为顶点所构成的三角形。

关于椭圆焦点三角形的考查，在各类考试中特别是高考中屡见不鲜，而一些涉及椭圆焦点三角形内心的定值问题值得我们深人学习，探究拓展。

1有关定值问题1.1椭圆焦点三角形内心的比值问题结论1:已知P为椭圆C:<十菩=l(a>6>0)a b上的任意一点，F,,F2分别为椭圆C的左、右焦点，△ P F,F2内切圆的圆心为/，直线交1轴于点M，则有^|=+(其中e为椭圆C的离心率）。

证明：由于a p f,f2的内切圆的圆心为/，直线交X轴于点M，则由内切圆的性质及角平分线定a 151 #\^r\=m^\'m ffl® 〇r%I P F, |+I P F2I|F,M|+|M F2|2a|P F2|_|M F2|*B|J|P F J所以有=又由内切圆的性质及角價幻爾觀=黑，龍#瑞=I p f2I _a. 1|M F2| 一C 一？反思：随着点P在椭圆C上运动，相应线段长度的比值恒为定值。

在证明过程中，充分利用角平分线定理、比例性质及内切圆的性质等平面几何知识，与解析几何知识充分融合，达到知识间的和谐与统一。

1.2補圆焦点三角形内心的面积问题结论2:已知P为椭圆C:4+#=1U>6>0)a b上的任意一点，^^，巧分别为椭圆C的左、右焦点，△ P F,F2内切圆的圆心为则有q Sa^^2=e。

■^A P/F j~r^>AP/F2(其中S表示对应三角形的面积<为椭圆C的离心率）证明：设A P F,F2内切圆的半径为r,根据椭圆的定义可得I F F, |+ |P F2 |=2a,而^2|=2〇那么，•S厶f■X2c X?•S a P/F.+Si■X2a X i反思：随着点P在椭圆C上运动，相应三角形面积的比值__)恒为定值。

椭圆焦点三角形的周长结论专题探究

椭圆焦点三角形的周长结论专题探究作者：***来源：《中学教学参考·理科版》2024年第05期［摘要］椭圆焦点三角形的周长结论广泛应用于解题，建议教学中采用专题探究的方式引导学生探索证明。

文章对椭圆焦点三角形的周长结论进行专题探究，并提出相应的教学建议。

［关键词］椭圆；焦点三角形；周长结论；专题探究［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2024）14-0005-03椭圆焦点三角形的特征十分鲜明，即过椭圆一条焦点弦的两个端点与另一个焦点。

对于椭圆焦点三角形生成的一些特殊结论，学生在探究学习中若能准确归纳、深刻理解，则解题将事半功倍。

教学中教师可以采用专题探究的方式，引导学生解析模型，针对性地进行探索证明，并结合实例进行强化训练。

下面笔者针对椭圆焦点三角形的周长结论进行专题探究。

一、专题探究对于椭圆焦点三角形的周长结论，可以按照“结论探索→应用探究→深度拓展”的思路来进行探究。

证明过程可结合具体模型，引导学生明晰证明逻辑；应用强化阶段可遵循由易到难的原则设计问题，引导学生掌握解题方法。

教学环节一：模型透视，结论探索椭圆焦点三角形的周长实则为定值，模型中最为鲜明的特点是生成了焦点三角形，其过椭圆一条焦点弦的两个端点与另一焦点。

下面进行具体探究。

［题1］如图1，椭圆[C：x24+y23=1]的左焦点为[F1]，过[F1]的直线交椭圆于[A]、[B]两点，求△[ABF2]的周长。

模型解读：焦点弦——直线过椭圆的左焦点[F1]，与椭圆有两个交点A和B，形成的线段[AB]。

焦点三角形——焦点弦AB与另一焦点[F2]构成的△[ABF2]。

结论探究：根据椭圆的第一定义可知[AF1+AF2=2a]，[BF1+BF2=2a]，将两式相加得[AB+AF2+BF2=4a]，可得△[ABF2]的周长为[4a]。

深度解析：对于椭圆焦点三角形的周长结论——周长为定值[4a]，教师需要让学生注意两点：一是图1中的直线AB经过的是椭圆左焦点，若直线AB经过椭圆的右焦点，结论不变，证明过程一致；二是关于该结论，可以解读为椭圆焦点三角形的周长为定值，为长轴长的2倍，并且与过焦点的直线的倾斜角无关。

专题：椭圆的焦点三角形

椭圆的焦点三角形一知识梳理定义：椭圆（双曲线）上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形；有一个角为直角的焦点三角形叫焦点直角三角形。

性质一：该三角形一边长为焦距，另两边的和为定值。

所以周长为定值2a+2c性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆.证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：2(cos 2212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ.cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan 221θb S PF F =∴∆性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.2112cos 222e ab -=-≥θ并且点P 在y 轴上是张角最大。

证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：1244242)(2cos 212221221221212212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ.21121)2(22222212e a b r r b -=-=-+≥当切仅当21r r =，即点P 在y 轴是θcos 取的最小值，而角θ取得最大值。

高中数学期末备考：解析几何06椭圆焦点三角形含解析

6.椭圆的焦点三角形初探一．学习目标：掌握椭圆的焦点三角形及常见结论.二．概念梳理:焦点三角形主要结论：椭圆定义可知：21F PF 中，（1）.c F F a PF PF 2||,2||||2121 .（2）.焦点三角形的周长为.22c a L （3）.21221cos 12||||PF F b PF PF .（4）.焦点三角形的面积为：2tansin ||||212122121PF F b PF F PF PF S.①设1F 、2F 是椭圆 2222:10x y C a b a b的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一个动点，则当P 为短轴端点时，12F PF 最大.②．S ＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；（5）.假设焦点21F PF 的内切圆半径为r ，则r c a S )( .（6）.焦半径公式:设),(00y x P 是椭圆上一点，那么01||ex a PF ，02||ex a PF ，进一步，有222212,PF PF a ex b a推导：根据两点间距离公式:2201)(||y c x PF ，由于)0(,122220 b a by a x 代入两点间距离公式可得)1()(||2202201ax b c x PF ，整理化简即可得01||ex a PF .同理可证得01||ex a PF .（7）.设),(00y x P 是椭圆上一点，那么2022221x e c b PF PF，由于],0[20a x ,故我们有222222212,PF PF b c e x b c b（8）若约定椭圆12222 by a x )0( b a ，21F F 、分别为左、右焦点；顶点),(00y x P 在第一象限； 212112),(,PF F F PF F PF ，则对于椭圆，离心率sin sin )sin(sin sin sin 22a c a c e （9）若 21PF PF ，对椭圆有221b b S PF F ，若21PF PF ，对于椭圆，有222)11(21a cb S PF F ，若 OP ，对椭圆，有2221 a b S PF F .（10）对椭圆焦点三角形的内心I 的轨迹方程为)0(1)(222222 y cb yc a c x .三．典例分析例1．已知1F ，2F 是椭圆 2222:10x y C a b a b的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且122π3F PF ，若12PF F △的面积为b （）A．9B．3C．4D．8解析：由焦点三角形面积公式得122πtantan323F PF S b b b，故选：B 例2．已知椭圆 2222:10x y C a b a b，其左､右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P 为该椭圆上一点，且满足12π3F PF ，若12F PF △的内切圆的面积为π，则该椭圆的方程为（）A．221129x y B．2211612x y C．2212418x y D．2213224x y 解析：所以122121πsin 234F PF S PF PF a △，而 121212113(22)222F PF S PF PF F F r a c r a c a △，所以可得2342a a ，解得a，c 222a b c ，得3b ，所以该椭圆的方程为221129x y．故选：A．例3．已知12(,0),(,0)F c F c 是椭圆E 的两个焦点，P 是E 上的一点，若120PF PF，且122 △PF F S c ，则E 的离心率为（）C．22解析：又1221212F PF S PF PF c ，所以222a c c ，即222a c ，故E的离心率为2c a .故选：C.例4.椭圆22:13x C y 的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的动点，则12cos F PF 的最小值为______.解析：如图，由题意，12F F 1PF m ，2PF n，由椭圆定义，m n ，在12PF F 中，由余弦定理，22222121212128cos 22PF PF F F m n F PF PF PF mn2228222111232m n mn mn mnmn mn m n，当且仅当m n 时取等号，此时P 为椭圆的短轴端点，所以12cos F PF 的最小值为13.例4图例5图例5.椭圆 2222:10x y C a b a b 的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆C 上存在点P ，使1260F PF ，则椭圆C 的离心率的取值范围是______.解析：椭圆C 上存在点P ，使1260F PF 等价于最大张角大于等于60°，如图，11211116030sin 2OF c F PF F PO F PO PF a，即12e ，又01e ，所以112e .例6.（2019全国1卷）已知椭圆C 的焦点为12(1,0)(1,0)F F ，，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B ，1|||AB BF |，则C 的方程为A．2212x y B．22132x y C．22143x y D．22154x y解：如图所示：设),(),,(2211y x B y x A ，由||3|||||||,|2||21122BF BF BF AB B F AF ，代入焦半径公式到||3||21BF BF 可得：)1.(21)(32222a x ex a ex a.再由 ||3||22BF AF )2.(2)(221221a x x ex a ex a .结合（1），（2）式可得，01 x ，故a AF AF ||||21，2||,23||21aBF a BF，这样在三角形1ABF 与三角形21F AF 中分别使用余弦定理可得:222,312a b a c.小结：通过坐标表示出焦半径的关系，进而解出椭圆上点的坐标是解题的关键.例7.（2019全国三卷）设12F F ，为椭圆22:+13620x y C 的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.解：由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ，11228MF F F c ．∴24MF ．由焦半径公式可知设),(00y x M ，由焦半径公式可知34326||0002 x x ex a MF再代入椭圆方程可解得M 的坐标为．例8．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b的左、右焦点分别是1F ，2F ，P 是椭圆上的动点，I 和G 分别是12PF F △的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则椭圆的离心率为()A．12解析：∵O 是12F F 的中点，G 是12PF F △的重心，∴P G O 、、三点共线，延长PI 交x 轴于点Q ，则由IG 平行于x 轴知，2PI PGIQ GO，则121233PF F IF F S PQ IQ S ,设12PF F △内切圆半径为r ，则12121212121212121233212F F PF PF r F F PF PF PF PF F F F F F F r 21222a c c a ，∴椭圆的离心率为12．故选：A﹒四．习题演练1．设椭圆2212516x y 的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且满足129PF PF，则12PF PF 的值是（）A．14B．17C．20D．23解析：由前述结论可知，选D.2．已知点1F 、2F 为椭圆22143x y 的左、右焦点，若点P 为椭圆上一动点，则使得123F PF 的点P 的个数为（）A．0B．2C．4D．不能确定选B.3．设椭圆2222:1x y C a b(0)a b 的左、右焦点分别为12,F F ,P 是C 上的点,212PF F F ,1230PF F ,则C 的离心率为()A.36B.13C.12D.33解析： 3330sin 90sin 3090sine ，选D 3．设P 为椭圆22221x y a b (0)a b 上一点，两焦点分别为1F ，2F ，如果1275PF F ，2115PF F ，则椭圆的离心率为（）C．2解析：由于1212sin15sin 751545sin 90PF PF F F22a ce .故选：A.4.已知)0,(),0,(21c F c F 为椭圆1:2222 by a x E 的焦点，P 为E 上一点且221c PF PF ,求此椭圆离心率的取值范围.解析：由椭圆的定义，得122PF PF a ，平方得222121224PF PF PF PF a ①.由212PF PF c ，21212cos PF PF F PF c ②，12F PF 是锐角，由余弦定理得2222121212122cos 4PF PF PF PF F PF F F c ③，③得22121221cos 44PF PF F PF a c④由②④，得21222cos 123c F PF a c，∵12F PF 是锐角，2220123c a c，即22230a c 且22223c a c2e .由②③可知222126PF PF c ⑤由①⑤可得221223PF PF a c ，2122122PF PF PF PF a，22223a c a ，即223a c ，e.则椭圆离心率的取值范围是32.8．椭圆 222210x y a b a b 的两焦点是1F 、2F ，M 为椭圆上与1F 、2F 不共线的任意一点，I 为12MF F △的内心，延长MI 交线段12F F 于点N ，则:MI IN 的值等于（）A．a bB．a cC．b cD．c a【详解】连接12,IF IF .在△MF 1I 中,F 1I 是∠MF 1N 的角平分线,根据三角形内角平分线性质定理,11MI MF INF N ，同理可得22MI MF INF N,故有1212MI MF MF INF N F N，根据等比定理1212MI MF MF a INF N F Nc.故选：B4．已知12,F F 分别为双曲线222:1(0)y C x b b的左､右焦点，点P 在双曲线C 上，I 为12F PF △的内心，点G 满足12:0GP GF GF ，若 12GI F F R 且123cos 5F PF ，记12PF F △的外接圆半径为R ，则R 的值为（）A．52B．2C．3D．1【详解】设 0102,0,,,0,F c F c P x y ，由题意得1241,sin 5a F PF，因为点G 满足12:0GP GF GF，所以点G 是12F PF △的重心，则00,33x y G，又因为 12GI F F R，所以//GI x轴，则I 的纵坐标是03y ，所以12120012F PF S F F y c y，设1PF m ，则222PF m a m ，所以 12001212112222323F PF y y S PF PF F F m a c ，即 00122223y c y m a c ，则21c m ，由余弦定理得 22222212121212223cos 2225PF PF F F m m c F PF PF PF m m ，即22150m m ，解得5m 或3m ，所以122m c ，则121225sin F F R F PF，解得52R ，故选：A。

椭圆的焦点三角形

求椭圆的方程。 x2 y2 1
95
变式 2、
设椭圆 x2
9
y2 4
1的左右焦点为 F1 和 F2 ，已知直线
过 F1 ，且交椭圆于 A, B 两点，求△ABF2 的周长。
y B
周长为4a
.
A F1 0
.
F2 x
第六页
2 焦点三角形的面积问题
已知
F1，F2是椭圆
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0的两个焦点，
b
0)
当焦点在y轴上时 y2 x2 1(a b 0) a2 b2
3.椭圆中a,b,c的关系是: a2=b2+c2
第二页
新课引入
以椭圆上一点P和两焦点F1、F2为顶点的三角形叫做椭圆的焦点三角形。
第三页
关于椭圆焦点三角形的常见问题：
1 焦点三角形的周长问题 2 焦点三角形的面积问题 3 焦点三角形的顶角问题
的取值范围是
-
3
5 5
，3
5 5
．
链接1 链接2
第十页
例题、若 P 在椭圆
x2 9
y2 b2
1(0 b 3) 上的一点， F1, F2 为左右焦点，
若
F1PF2
的最大值为
2
，则
b
的值为
32 2
.
变式
1、（2004
湖南）已知 F1 和 F2 是椭圆
x2
89
y2 4
1上的两个焦点，
椭圆上一点 P 满足 PF1 PF2 。则满足要求的 P 点有 2 个
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椭圆的焦点三角形
第一页
复习回顾

椭圆焦点三角形的几个不等式

—
１一
一
ｍ一２
‘
及椭圆上任意一点Ｐ（除长轴上两个端点外）为顶点的 △ＦＰＦ叫椭圆的焦点三角形．
文［］给出了上述焦点三角形的定义以１
及椭圆焦点三角形的７性质，该文的启个受
一
Ｐ１一Ｐ）（
。
∞ —
—
。
。一ｌ＋ｅ
‘
１－
ｅ２ｃｏｓ２
发，文将给出椭圆焦点三角形的面积、本周长、外接圆半径、内切圆半径之间的关系式，
亦即有如下的命题设椭圆＋一１的焦点三角Ｅ＝ｏ＜ｃｓｈＪ＝。
，
（）２
２ｓ墨ｓ＝ｌＲｉｃ导＋ｓ．ｎ。ｅｉｎ
由正弦函数的单调性及（）２知
ｓｉｎ ≤ ｓｎａｃ。ｉ（ｒｃｓ）一
ｔ号ｎ＝，ａｔ售ｎａ
ｓｉ ’ ｎ
㈤
（４）
百一ｃ导一ｓ，ｏｅ亍
＋６的两边同除以（）６＋ｆ（ａ（）ｆ＋）口＋ｂ，）即知定理成立．
注１由（６＋ｆ（）ｆ十口（）“＋６一ａ（）６
＋ｆ＋ｂ（＋ａ＋ｆ（）。ｆ）口＋６＋２ｂ易知，）ａｃ
从而（＊）两边对从１到求和，有
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・６－１
中学数学月刊
２００６年第１１期
椭圆焦点三角形的八个不等式