数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--11章

3
课
后 答
案
网
ww
充分性：用反证法。假设x不是点集S的聚点，则在x的某邻域 最多只有S的有限个点， 所以 S ∩ O ( x , δ ) − {x} 为有限集， O (x , δ ), δ > 0 中， 于是 d = inf{| y − x | y ∈ S, y ≠ x} > 0 ，故不存在S中满足xk ≠ x的点列{xk}
（1）S = ⎨(−1) k
⎧
解 (1) S' = {± 1} 。 (2) S' = ∅ 。
以x为极限，产生矛盾。 7. 设 U 是 R 2 上的开集，是否 U 的每个点都是它的聚点。对于 R 2 中 的闭集又如何呢？ 解 开集 U 中的每个点 x 一定是它的内点，所以 x 的任意邻域都有 U 中的无限个点，所以 x 一定是 U 的聚点。 由于 S = {(0, 0)} 是 R 2 上的闭集，而 S 只有一个点，所以无聚点， 即闭集中的点不一定是它的聚点。 8. 证明 S ⊂ R n 的所有内点组成的点集 S 必是开集。 证 假 设 x ∈ S ， 则 ∃δ > 0 ， O ( x , δ ) ⊂ S 。 而 ∀y ∈ O ( x , δ ) ， 由 于
i =1
n
∑ ai 2 +
i =1
n
∑b
i =1
n
2
i
。
令 ai = xi − yi , bi = yi − zi ，则有
| x − z |=
∑ ( xi − zi )2 =
i =1
n
∑ (a + b )
i =1 i i
n
2
1
aw .
所以关于上述两次三项式的判别式有
co m
f (t ) = ∑ (ai − tbi ) 2 =t 2 ∑ bi 2 − 2t ∑ ai bi + ∑ ai 2 ≥ 0 ，
i =1 i =1 i =1 i =1
即
n n 2 n i i i
∑a b ≤ ∑a ∑b
ww
2 i =1 i
n i =1
∑ (ai + bi )2 =∑ bi 2 + 2∑ aibi + ∑ ai 2
i =1 i =1 i =1
n
后 答
n
案
于是
课
网
i =1
i =1
n
w. kh d
。
⎞ 2 2 a b + ∑ ∑ i i ⎟ ， ⎟ i =1 i =1 ⎠
w. kh d
k →∞
aw .
1 1 证 必要性：假设x是点集S的聚点，对于 δ = ， 在x的 δ = 邻域中任 k k 取一点xk ≠ x，则有 lim xk = x 。
co m
k →∞
(3) S' = ( x, y ) y − x +1 ≤ 0 。 6. 证明定理 11.1.3：x是点集S（ ⊂ R n ）的聚点的充分必要条件是：存 在S中的点列{xk}, 满足xk ≠ x（ k = 1,2, ） ，且 lim xk = x 。
网
lim (αx k + β y k ) = α lim x k + β lim y k 。
k →∞ k →∞
后 答
案
4.
求下列 R 中子集的内部、边界与闭包： （1）S = {( x, y ) | x > 0, y ≠ 0} ； （2）S = {( x, y ) | 0 < x 2 + y 2 ≤ 1} ；
O ( y , δ − | y − x |) ⊂ O ( x , δ ) ，所以 y 也是 S 的内点，从而 O( x , δ ) ⊂ S o ，于是
S 必是开集。
9. 证明 S ⊂ R n 的闭包 S = S ∪ S′ 必是闭集。 则 x∉ S ， 且 x 不是 S 的聚点， 于是在 x 的某邻域 O ( x , δ ) 证 假设 x ∈ S c ， 中至多只有 S 的有限项，故存在 x 的邻域 O( x , δ1 ) 不含 S 的点，即
于是当 k > max{N1 , N 2 } 时，成立
| x − y |<| xk − x | + | xk − y |< 2ε ，
k →∞
k →∞
k →∞
k →∞
k →∞
∃N 2 , ∀k > N 2 :| yk − y |< ε ，
于是当 k > max{N1 , N 2 } 时，成立 所以
k →∞
{
z 。 x + y2Fra Baidu bibliotek
2
}
解
因为
所以
案
网
x3 1 ⎛ y⎞ ， = f ⎜ ⎟= 2 3 2 3/ 2 ⎝ x ⎠ (x + y ) 2 2 ⎡ ⎛ y⎞ ⎤ ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ ⎢ ⎝x⎠ ⎦ ⎥ ⎣
f ( x) = (1 +
3．
若函数
后 答
且当 y = 4 时 z = x + 1 ，求 f ( x) 和 z ( x, y ) 。 解 由 z ( x, 4) = 4 + f ( x − 1) = x + 1 ，可得
{
2
2
}
O( x , δ1 ) ⊂ S c ，从而 S c 为开集，所以 S 必是闭集。
10. 设 E, F ⊂ R n 。若 E 为开集， F 为闭集，证明： E \ F 为开集， F \ E 为 闭集。 证 由于 F 为闭集，所以 F c 为开集，而 E \ F = E ∩ F c ，也是开集。由于 E 为开集，所以 Ec 为闭集，从而 F \ E = F ∩ Ec 也是闭集。 11. 证明 Cantor 闭区域套定理。 证 假设 {Sk } 是非空闭集序列，满足
n n 2
n n ⎛ n ⎞ 2 2 − a b a ⎜ ∑ i i ⎟ ∑ i ∑ bi ≤ 0 ， i =1 ⎝ i =1 ⎠ i =1
2
⎛ ≤ ∑ bi 2 + 2 ∑ ai 2 ∑ bi 2 + ∑ ai 2 = ⎜ ⎜ i =1 i =1 i =1 i =1 ⎝
n n n n
即
∑ (ai + bi )2 ≤
第十一章 Euclid 空间上的极限和连续
习题 11.1 Euclid 空间上的基本定理
1. 证明定理 11.1.1： 距离满足正定性、对称性和三角不等式。 证 （a）显然有 | x − y |≥ 0 ，而且 | x − y |= 0 ⇔ xi = yi (i = 1, 2, … , n) ⇔ x = y 。 (b) 由距离定义直接可得 | x − y |=| y − x | 。 (c) 由于
{ S ={ ( x, y ) x
⎧ ⎩
课
（3）S = {( x, y) | 0 < x ≤ 1, y = sin } 。
}
ww
1 x
| (α xk + β yk ) − (α x + β y ) |≤| α || xk − x | + | β || yk − y | < (| α | + | β |)ε ，
ww
k 1 = 0 ，而 |xk|= ∑ 1 → +∞ ，所以 k +1 i =1 i
w. kh d
4
立 xm − xn ≤ diam Sk ，于是 { xk } 是基本序列，从而收敛，设其极限为 x 。
aw .
以及 lim diam S k = 0 。任取 xk ∈ S k ，则当 m, n>k 时， xm , xn ∈ Sk ，从而成 k →∞
co m
14. 用定义证明点集 {0} ∪ ⎨
⎧1 ⎩k ⎧1 ⎩k
⎫ k = 1,2, ⎬ 是 R 中的紧集。 ⎭ ⎫ k = 1,2, ⎬ 的任一开覆盖。设 0 ∈ Uα0 ， ⎭
1
证 假定 {Uα } 为点集 S= {0} ∪ ⎨
则 ∃δ > 0 : O (0, δ ) ⊂ Uα ， 于是当 k > 时， ∈ Uα 。 对于 ⎧ ⎨
S = ⎨( x, y ) 0 < x ≤ 1, y = sin 或x = 0,−1 ≤ y ≤ 1⎬ 。
1 x
co m
由于 ε 是任意正数，所以 x = y ，即极限是唯一的。 3. 设 R n 中的点列 { x k } 和 { y k } 收敛，证明：对于任何实数 α , β ，成立 等式 lim (αx k + β y k ) = α lim x k + β lim y k 。
n
n
n
n
≤
∑ ai 2 +
i =1
n
∑b
i =1
n
2
i
=| x − y | + | y − z |。
2. 证明：若 R n 中的点列 { x k } 收敛，则其极限是唯一的。 证 假设 x 和 y 都是点列 {xk } 的极限，则 ∀ε > 0 ，
∃N1 , ∀k > N1 :| xk − x |< ε ， ∃N 2 , ∀k > N 2 :| xk − y |< ε 。
案
网
ww
5
w. kh d
如果 S 无聚点，即 S ' = ∅ ，则 S 为 S = S ，即 S 为有界闭集，从而由
aw .
co m
习题
（1） u = ln( y − x) +
x
11.2
；
多元连续函数
（2） u =
1 x + 1 y + 1 z
1. 确定下列函数的自然定义域：
1− x2 − y2
；
2
解 (1) S = {( x, y ) x > 0, y ≠ 0}； ∂ S = {( x, y ) x = 0或 x > 0, y = 0};
S = {( x, y ) x ≥ 0}。
2 2 2 2 2 2 (2) S = ( x, y ) 0 < x + y < 1 ; ∂ S = ( x, y ) x + y = 0或 x + y = 1 ;
Heine-Borel 定理知 S 为 R n 上的紧集。
∀x ∈ S ， 由于 x 不是 S 的聚点， 存在 O( x,δ x ) 只含有 S 中有限个点。
但由于其中有限个 O( x,δ x ) 显然 {O( x,δ x ) | x ∈ S} 构成为 S 的一个开覆盖，
必有聚点。
课
后 答
只能包含 S 中有限个点，因而不存在 S 的有限开覆盖，矛盾！所以 S
5.
求下列点集的全部聚点：
⎫ k k = 1,2, ⎬ ； k +1 ⎩ ⎭ ⎫ ⎧ 2kπ 2kπ ⎞ , sin （2）S = ⎨⎛ ⎜ cos ⎟ k = 1,2, ⎬ ； 5 5 ⎠ ⎭ ⎩⎝ 2 2 2 2 （3）S = {( x, y ) | ( x + y )( y − x + 1) ≤ 0} 。
f ( x − 1) = x − 1 = ( x − 1 + 1) 2 − 1 ，
所以
f ( x) = ( x + 1) 2 − 1 = x 2 + 2 x ,
S1 ⊃ S2 ⊃ ⊃ S k ⊃ S k +1 ⊃
，
对于任意 k，当 m ≥ k 时， xm ∈ Sk ，所以 { xk } 的极限 x ∈ Sk = Sk ，于是
x ∈ ∩ Sk ，所以 ∩ Sk 非空。
∞ ∞
x= y。
x k +1 − x k = 0 的点列{xk}不一定收敛。 12. 举例说明：满足 lim k →∞
0
δ
1 k
0
1 k = 0,1, ⎩k
1 ⎫ ,[ ]⎬ ， δ ⎭
存在 {Uα } 中 U α ，使得 ∈ Uα , k = 0,1, ,[ ] 。于是
k
1 k
1
k
δ
⎧ ⎨Uα0 , Uα k ⎩
k = 0,1,
1 ⎫ ,[ ]⎬ 构成 S 的有限开覆盖，所以 S 为紧集。 δ ⎭
15. 应用 Heine-Borel 定理直接证明： R n 上有界无限点集必有聚点。 证 假定 S 为 R n 上有界无限点集，则由习题 9， S = S ∪ S′ 必是闭集。
课
后 答
案
再证唯一性。假设 y ∈ ∩ Sk ，则 x − y ≤ diam Sk → 0 （ k → ∞ ） ，所以
k =1
网
k =1
k =1
∞
xk +1 − xk = lim 解 xk = ∑ 1 ∈ R ，则 lim k →∞ k →∞
i =1
k
i
{xk}不收敛。 13. 设 E, F ⊂ R n 为紧集，证明 E ∩ F 和 E ∪ F 为紧集。 证 因为 E, F ⊂ R n 为紧集， 所以 E, F 为有界闭集， 于是可知 E ∩ F 和 E ∪ F 也都是有界闭集，即紧集。
{
w. kh d
⎫ ⎭
2
∃N1 , ∀k > N1 :| xk − x |< ε ，
aw .
}
⎫ ⎭
证
设 lim xk = x， lim yk = y，则 ∀ε > 0 ，
2
+ y2 ≤ 1 。
⎧ ⎩
}
1 (3) S = ∅ ; ∂ S = ⎨( x, y ) 0 < x ≤ 1, y = sin x 或x = 0,−1 ≤ y ≤ 1⎬ ;
（3） u = R 2 − x 2 − y 2 − z 2 + x 2 + y 2 + z 2 − r 2 ( R > r ) ； （4） u = arcsin
解 (1) D = ( x, y ) x 2 + y 2 < 1, y > x 。 (2) D = {( x, y, z ) x > 0, y > 0, z > 0}。