第六节 前束范式 在命题演算中有时需将命题公式化成和之等价的规范形式

w)} (4) 深入, D(x)[(P(x)(z)Q(z, y))(w)R(x, w)] (5)量词前移, D(x)(z)(w)[(P(x)Q(z, y))
R(x, w)] (6)分配律, D(x)(z)(w)
[(P(x)R(x, w))(Q(z, y))R(x, w)]#
定义6.3 一个谓词合式公式, 如果具有如下形
(1)全称指定规则, 表示为US (x)P(x) P(c) 这里P是谓词, c是论域中某个任意的个体,
例如, 设论域为全人类, P(x): “x总是要死的”, 如果有(x)P(x), 即“所有人总是要死的”, 则由全 称指定规则得到结论“苏格拉底总是要死的”
(2)全称推广规则, 表示为UG P(x)
例1. 将公式(x)P(x)(x)Q(x)转化为前束范式; 解: (x)P(x)(x)Q(x)
((x)P(x))(x)Q(x) (x)P(x)(x)Q(x) (x)(P(x)Q(x))#
例2. 将公式(x)(y)((z)(P(x, z)P(y, z)) (u)Q(x, y, u))转化为前束范式.
谓词演算的推理方法, 可以看作是命题演算推 理方法的扩张, 因为谓词演算的很多等价式和蕴含 式, 是命题演算公式的推广,所以命题演算中的推理 规则, 也可在谓词演算推理中应用。
但谓词演算推理中, 有些前提和结论可能受量 词限制的, 在谓词演算推理过程中应有消去和添加 量词的规则, 以便能够使用命题逻辑中的等价式和 蕴含式。
定理6.2 每一个谓词公式都可以化为与之等价 的一个前束合取范式(证明比较显然的, 学生思考)。
例4. 将公式(x)[(y)P(x)(z)Q(z, y) (y)R(x, y)]化为前束合取范式。
解: 记原式为D, (1) 取消多余量词, D(x)[P(x)(z)Q(z, y)
(y)R(x, y)] (2)换名, D(x)[P(x)(z)Q(z, y)(w)R(x,w)] (3)消去“”, D(x){[P(x)(z)Q(z, y)](w)R(x,
例3. 将公式(x){(y)A(x, y)(x)(y)[B(x, y) (y)(A(y, x)B(x, y))]}转化为前束范式;
解: 原式(否定深入)(x){(y)A(x, y) (x)(y)[B(x, y)(y)(A(y, x)B(x, y))]}
(x){(y)A(x, y) (x)(y)[B(x, y)(y)(A(y, x)B(x, y))]} (x){(y)A(x, y) (x)(y)[B(x, y)(y)(A(y, x)B(x, y))]} (x){(y)A(x, y) (x)(y)[B(x, y)(y)(A(y, x)B(x, y))]} (x){(y)A(x, y) (x)(y)[B(x, y)(y)(A(y, x)B(x, y))]}
解: 原式(x)(y){(z)[P(x, z)P(y, z)] (u)Q(x, y, u)}
(x)(y){(z)[P(x, z)P(y, z)] (u)Q(x, y, u)}
(x)(y)(z)(u){P(x, z)P(y, z) Q(x, y, u)}#
(应是y, 书中p.73倒数第七行是x，这是错误的)
(x)P(x)
此规则是要对命题量化, 如果能够证明对论域 中的每个个体c, P(c)都成立, 根据此规则可得到结 论(x)P(x)成立。
注意: 在应用此规则时, 必须验证前提P(x)对 论域中的任意的x都真。
(3)存在指定规则, 表示为ES (x)P(x) P(c) 这里c是论域中某个个体, 但不是任意的个体,
(x){(y)A(x, y) (x)(y)[B(x, y)(y)(A(y, x)B(x, y))]} (换名)(x){(y)A(x, y) (u)(r)(B(u, r)(z)(A(z, u)B(u, z))]} (x)(y)(u)(r)(z){A(x, y)
[B(u, r)(A(z, u)B(u, z))]}#
(y)(x)(P(x, y)Q(y))都是前束范式。
定理6.1 任意一个谓词公式都与一个前束范式 等价。 证明: 首先利用量词的转化公式, 把否定联结词移
到命题变元及谓词填式的前面, 再利用等价式: (x)(AB(x))A(x)B(x), 及 (x)(AB(x))A(x)B(x)把量词移到公式最前 面, 这样就得到前束范式。
第六节 前束范式
在命题演算中有时需将命题公式化成与之等 价的规范形式, 在谓词演算中也需将谓词公式化成 与之等价的规范形式。
定义6.1 一个谓词公式中, 如果量词都在公式 的开头, 而它们的作用域延伸至整个公式的末尾,
则称该公式为前束范式。
前束范式的一般形式是: (v•1) (v•2)… (v•n)A, 其中•是量词或; vi是个体变元, A是没有量词的谓词公式。 例如, (x)(y)(z)(Q(x, y)R(z)),
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定义6.2 一个谓词合式公式, 如果具有如下形 式则称为前束合取范式. (v•1)(v•2)…(v•n)[(A11A12...A1r1) (A21A22...A2r2)…(Am1Am2...Amrm)], 其中•是量词或; vi是个体变元, Aij是原子公式或 其否定。
例如, (x)(z)(y){[P(xa)(z=b)][Q(y)(a=b)]} 是前束合取范式。
式则称为前束析取范式.
(v•1)(v•12)…(v•n)[(A11A12...A1r1) (A21A22...A2r2)…(Am1Am2...Amrm)], 其中•是量词或；vi是个体变元, Aij是原子公式或 其否定。
定理6.3 每一个谓词公式都与一个前束析取范 式等价。
第7节 谓词演算的推理理论
例如, 如果(x)P(x)和(x)Q(x)为真, 则可断定, 存在个体c和d, 使P(c)和Q(d)都为真, 但不能断定 P(c)和Q(c)都为真, 也即c和d不一定相同。
(4)存在推广规则, 表示为EG
P(c) (x)P(x)
此规则比较显然, 即当对某个个体c, P(c)为真, 则在论域中必有(x)P(x)为真。