南师大概率论与数理统计2015期末试卷

南京师范大学2014-2015年第二学期

《概率论与数理统计》课程期末试卷（A ）（3学时）

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一．填空题：（每题3分，共18分）

1. 设随机事件B A ,互不相容，且3.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则=)(A B P 。 2．若100张奖券中有5张中奖，100个人分别抽取1张，则第100个人能中奖 的概率为 。

3．设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则=>}{2EX X P 。 4．设随机变量Y X ,相互独立且同分布，2

1

}1{}1{===-=X P X P ，则==}{Y X P 。

5．设)1,3(~N X ，23+=X Y 。则X 和Y 之间的相关系数为 。 6. 设随机变量)0,3,2,1,3(~),(22N Y X ，则=EXY 。

3分，共15分） 1. 某人射击时，中靶的概率为

4

3

，若射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为 （ ）

)(A

643； )(B 6427； )(C 649； )(D 64

1

。 2．设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤>=-000

)(x x e x p x ，则条件概率}1|2{≥≤X X P 的

值为 （ ） )(A 2-e ； )(B 21--e ； )(C 1-e ； )(D 11--e 。

3．设)(),(x p x F 分别为某随机变量的分布函数和密度函数,则必有 （ ）

)(A )(x p 单调不减； )(B 0)(=-∞F ；

)(C

1)(=⎰

+∞

∞

-dx x F ； )(D ⎰

+∞

∞

=-)()(dx x p x F 。

4. 设随机变量X 服从)2,2(-上的均匀分布，则随机变量X Y e =的密度函数)(y p Y

在1=y 处的值为 （ ）

)(A 0； )(B

21； )(C 41； )(D 8

1

。 5．n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布a EX i =，b DX i =,

则这些随机变量的算术平均值∑==n

i i X n X 1

1的数学期望和方差分别为 （ ）

)(A a ，2n

b ； )(B a ，n b

； )(C a ，n b 2 ； )(D n a ，b 。

品分别占总数的0.2、0.3、0.4和0.1。出现次品的概率分别为201、301、40

1

和

50

1

。试求（1）从这批产品中任取一件产品为次品的概率？（2）已知从这批产品中随机地抽取一件发现是次品,问这件产品是丁车间生产的概率是多少？（11分）

四、将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器整定在d C 0度，液面的温度X （以C 0计）是一个随机变量，且)5.0,(~2d N X 。（1）若90=d C 0，求X 小于89C 0的概率。（2）若要求保持液面的温度至少为80C 0的概率不低于

99.0，问d 至少为多少？（需要的数据在试卷最后一页下面）（10分）

五、设随机变量),(Y X 的联合分布列为

若8.0=EXY ，求（1）,a b ；（2）),(Y X Cov 及相关系数XY ρ.（10分）

六、设随机变量),(Y X 的密度函数⎩⎨⎧<<<<+=其它01

0,10)(),(y x y x c y x p

（1）求常数c ；（2）试求Y X ,的边缘密度函数；（3）问X 与Y 是否相互独立？ （4）求Y X Z +=的密度函数。（14分）

20小时，具体使用时是当一个元件损坏后立即更换另一新元件，如此继续。试利用中心极限定理求90个元件的总寿命超过2000小时的概率。（需要的数据在试卷最后一页下面）(8分)

八、设621,,,X X X 是来自正态总体)1,0(N 的样本，试问统计量

2

6423

13131⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==i i i i X X Y

服从什么分布，请说明理由。（6分）

九、设随机变量X 的密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>β=β+β1

1),(1

x x x

x p ，其中1>β为未知参数， n X X X ,,,21 是来自总体的一个样本，求β的矩估计量和极大似然估计量。 （8分）

南京师范大学2014-2015学年第二学期（3学时） 《概率统计》课程期末试卷（A ）答案 一、1．74； 2．05.0；3．2-e ；4．2

1

；5．1；6．3．

二、1．A ；2．D ；3．B ；4．C ；5．B 。

三、1254; 161。

四、（1）0228.0 （2）165.81 五、（1）1.0=a ,3.0=b ， （2）1.0),(=Y X Cov 6

6

=

ρXY 六、（1）1=c

（2）⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它01021)(x x x p X ，⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它

01021)(y y y p Y

（3）Y X ,不独立。

（4）⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤-<<=其它021)2(10)(2z z z z z z p Z

七、 1469.0

八、)2(~2χY 。

九、矩估计量1

ˆ-=β

X X ;极大似然估计量为∑==β

n

i i

x

n

1

ln ˆ。

专业 班级 学号 姓名

-------------------------装----------------------订------------------------线------------------------