MXT-概率与概率分布习题
概率与统计常用分布测试题
概率与统计常用分布测试题一、选择题1. 概率密度函数（probability density function, PDF）是描述连续型随机变量概率分布的函数。
下列哪种分布不是连续型随机变量的概率分布？a) 正态分布b) 二项分布c) 均匀分布d) 指数分布2. 下列哪种分布是用来描述二项试验中成功（success）的次数？a) 正态分布b) 泊松分布c) 几何分布d) 二项分布3. 对一组数据进行统计分析时，我们通常首先要计算其均值（mean）和标准差（standard deviation）。
下列哪种分布的均值和方差可以完全确定其分布？a) 正态分布b) 泊松分布c) 均匀分布d) 指数分布4. 如果一个随机变量服从标准正态分布（standard normal distribution），那么其均值和方差分别为多少？a) 均值为1，方差为1b) 均值为0，方差为1c) 均值为0，方差为0d) 均值为1，方差为05. 在概率论与数理统计中，可以使用卡方检验（chi-square test）来检验随机变量的拟合优度。
下列哪种分布被广泛地应用于卡方检验？a) 正态分布b) 假设检验分布c) 卡方分布d) 学生 t 分布二、填空题1. 二项分布是离散型随机变量的概率分布，其中每一次试验的结果只有成功（success）和失败（failure）两种可能。
一般来说所描述的试验是独立重复的。
一个二项分布的概率质量函数（probability mass function, PMF）可以表示为 P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)。
请问，试验次数为n，成功概率为p的二项分布的期望值（expectation）和方差（variance）分别是多少？期望值: ____________方差: ____________2. 泊松分布是描述单位时间或空间内事件发生次数的离散型随机变量的概率分布。
概率和分布列,期望,大题附答案
马留康概率高考题1、(本小题满分12分)某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检)．若安检不合格，则必须整改．若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算(结果精确到0.01)：(Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率；(Ⅱ)平均有多少家煤矿必须整改；(Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率．2．Q Q先生的鱼缸中有7条鱼,其中6条青鱼和1条黑鱼,计划从当天开始,每天中午从该鱼缸中抓出1条鱼(每条鱼被抓到的概率相同)并吃掉.若黑鱼未被抓出,则它每晚要吃掉1条青鱼(规定青鱼不吃鱼).(1)求这7条鱼中至少有5条被Q Q先生吃掉的概率.(2)以ξ表示这7条鱼中被Q Q先生吃掉的鱼的条数,求Eξ.发3、（本小题满分12分）现进行两次射击,以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩,记为ξ。
（Ⅰ）求该运动员两次都命中7环的概率：（Ⅱ）求ξ的分布列：（Ⅲ）求ξ的数学期望Eξ6、一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A类、B类、C类. 检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C类产品或2件都是B类产品，就需要调整设备，否则不需要调整. 已知该生产线上生产的每件产品为A类品，B类品和C类品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响.（Ⅰ）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；（Ⅱ）若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列和数学期望.7、某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．令ξ表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额．求(1)ξ的分布列； (2)ξ的数学期望．12、某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；（Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。
高中数学概率与统计概率分布练习题及答案
高中数学概率与统计概率分布练习题及答案1. 离散型随机变量问题1一次买彩票，抽奖号码是从1到30的整数，每个号码中奖的概率是相等的。
求以下事件的概率：a) 中奖号码小于等于10b) 中奖号码是偶数c) 中奖号码是质数解答1a) 中奖号码小于等于10的概率为10/30，即1/3。
b) 中奖号码是偶数的概率为15/30，即1/2。
c) 中奖号码是质数的概率为8/30，即4/15。
问题2某商品的销售量每天可以是0、1、2或3箱，各箱销售的概率分别为0.1、0.3、0.4和0.2。
求销售量的概率分布表。
解答2销售量的概率分布表如下：销售量 | 0 | 1 | 2 | 3--- | --- | --- | --- | ---概率 | 0.1 | 0.3 | 0.4 | 0.22. 连续型随机变量问题3某地每天的气温符合正态分布，均值为20摄氏度，标准差为3摄氏度。
求以下事件的概率：a) 气温大于等于15摄氏度b) 气温在15摄氏度到25摄氏度之间解答3a) 气温大于等于15摄氏度的概率可以通过计算标准正态分布的累积概率得到，约为0.8413。
b) 气温在15摄氏度到25摄氏度之间的概率可以通过计算标准正态分布的累积概率得到，约为0.6827。
问题4某工厂生产的铆钉的长度符合正态分布，均值为5毫米，标准差为0.2毫米。
若从工厂中随机抽取一只铆钉，求其长度在5.2毫米到5.5毫米之间的概率。
解答4将问题转化为标准正态分布，得到长度在1到2.5之间的概率约为0.3944。
以上是高中数学概率与统计概率分布的练习题及答案。
概率与概率分布习题及答案
第三章概率、概率分布与抽样分布计算题：1.某种零件加工必须依次经过三道工序，从已往大量的生产记录得知，第一、二、三道工序的次品率分别为，，，并且每道工序是否产生次品与其它工序无关。
试求这种零件的次品率。
2. 某项飞碟射击比赛规定一个碟靶有两次命中机会（即允许在第一次脱靶后进行第二次射击）。
某射击选手第一发命中的可能性是80％，第二发命中的可能性为50％。
求该选手两发都脱靶的概率。
3. 某企业决策人考虑是否采用一种新的生产管理流程。
据对同行的调查得知，采用新生产管理流程后产品优质率达95％的占四成，优质率维持在原来水平（即80%）的占六成。
该企业利用新的生产管理流程进行一次试验，所生产5件产品全部达到优质。
问该企业决策者会倾向于如何决策4. 一家人寿保险公司某险种的投保人数有20000人，据测算被保险人一年中的死亡率为万分之5。
保险费每人50元。
若一年中死亡，则保险公司赔付保险金额50000元。
试求未来一年该保险公司将在该项保险中（这里不考虑保险公司的其它费用）：（1）至少获利50万元的概率；（2）亏本的概率；（3）支付保险金额的均值和标准差。
5. 某企业生产的某种电池寿命近似服从正态分布，且均值为200小时，标准差为30小时。
若规定寿命低于150小时为不合格品。
试求该企业生产的电池的：（1）合格率是多少（2）电池寿命在200左右多大的范围内的概率不小于。
6. 某商场某销售区域有6种商品。
假如每1小时内每种商品需要12分钟时间的咨询服务，而且每种商品是否需要咨询服务是相互独立的。
求：（1）在同一时刻需用咨询的商品种数的最可能值是多少（2）若该销售区域仅配有2名服务员，则因服务员不足而不能提供咨询服务的概率是多少7. 美国汽车联合会（AAA）是一个拥有90个俱乐部的非营利联盟，它对其成员提供旅行、金融、保险以及与汽车相关的各项服务。
1999年5月，AAA通过对会员调查得知一个4口之家出游中平均每日餐饮和住宿费用大约是213美元（《旅行新闻》Travel News，1999年5月11日）。
概率分布练习(答案)
概率分布练习题一、判断题1、所有正态分布都可以转化为标准正态分布。
2、当一组数据的每个观测值都转化为Z 分数时，Z 分数分布的平均数为零，标准差为10。
3、在一个标准正态分布中，大约有68%的数据分布在±S 之间。
4、随机变量具有变异性、离散性和规律性的特点。
5、二项分布的分布函数是：xn x x n x X q p C P -==。
6、某市5岁幼童身高的分布是一个连续型分布。
7、正态分布是以平均数0为中点的对称分布。
8、在一个正态分布中，Z=-1.46比Z=1.46离平均数更近。
9、同一个观测值在一个具有较大标准差的分布中的百分等级要比在一个具有较小标准差的分布中更大。
10、在正态分布密度曲线中，曲线下的面积代表概率，其大小为1。
二、选择题1、一个正态分布的平均数为90，标准差为5，则在其分布中85-95之间包含数据的百分比约为：A 、34%B 、50%C 、68%D 、84%E 、100%2、一位老师宣称只有班级的前15%的同学才能得优。
期末考试结果是全班平均分为83，标准差为6，则得分至少为多少才能得优？ A 、77 B 、86 C 、89 D 、92 E 、953、在一个标准正态分布中，Q1的Z 值为A 、-0.68B 、-1.00C 、0D 、0.68E 、1.004、如果在一个分布中，P 40对应的Z 分数是一个正值，则这个分布可能是： A 、正态分布 B 、正偏态分布 C 、负偏态分布 D 、二项分布 E 、不可能发生5、假设你某次考试得了80分，你希望你所在班级的成绩是哪一个？A 、10,70==S X B=5,75==S X C 、15,60==S X D 、2,80==S X E 、2,76==S X三、计算题1、 假设下列表格中所列的变量分布都为正态分布，请参考正态分布表仿照第一行的计算完成表格。
2、假设某公务员考试有1534人参加，所有考生成绩的分布为正态分布，平均数为112，标准差为7。
mxt-高三数学第一轮复习专题(理)概率与期望
学习有方法，考题有规律，解题有技巧第一节 事件与概率一、选择题1．(2008年广州模拟)下列说法：①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n 次随机试验，事件A 发生m 次，则事件A 发生的频率mn 就是事件的概率；③百分率是频率，但不是概率；④频率是不能脱离n 次的试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是概率的稳定值． 其中正确的是( )A ．①②③④B ．①④⑤C ．①②③④⑤D ．②③2．某班有3位同学分别做抛硬币试验20次，那么下面判断正确的是( ) A ．3位同学都得到10次正面朝上，10次反面朝上 B ．3位同学一共得到30次正面朝上，30次反面朝上 C ．3位同学得到正面朝上的次数为10次的概率是相同的 D ．3位同学中至少有一人得到10次正面朝上，10次反面朝上 3．同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是( ) A ．至少有1枚正面和最多有1枚正面 B ．最多1枚正面和恰有2枚正面 C ．至多1枚正面和至少有2枚正面 D ．至少有2枚正面和恰有1枚正面4．从一篮鸡蛋中取1 个，如果其质量小于30克的概率是0.30，重量在[30,40]克的概率是0.50，那么重量不小于30克的概率是( )A ．0.30B ．0.50C ．0.80D ．0.705．(2009年福建)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15二、填空题6．给出下列事件：①物体在只受重力的作用下会自由下落；②方程x2＋2x＋8＝0有两个实根；③某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过10次；④下周六会下雨．其中随机事件的是________．(把所有正确的序号填上)．7．现有2008年奥运会志愿者7名，其中4名为男性，3名为女性，从中任选2名志愿者为游客做向导，其中下列事件：①恰有1名女性与恰有2名女性；②至少有1名女性与全是女性；③至少有1名男性与至少有1名女性；④至少有1名女性与全是男性．是互斥事件的组数有________．8．(2009年台州第一次调研)一堆除颜色外其他特征都相同的红白两种颜色的球若干个，已知红球的个数比白球多，但比白球的2倍少，若把每一个白球都记作数值2，每一个红球都记作数值3，则所有球的数值的总和等于60.现从中任取一个球，则取到红球的概率等于________．三、解答题9．某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算该射手在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)少于7环的概率．10．假设人的某一特征(如眼睛大小)是由他的一对基因所决定的，以d表示显性基因，r表示隐性基因，则具有dd基因的人为纯显性，具有rr基因的人是纯隐性，具有rd基因的人为混合性．纯显性与混合性的人都表露显性基因决定的某一特征，孩子从父母身上各得到一个基因，假定父母都是混合性．求：(1)一个孩子有显性基因决定的特征的概率是多少？(2)两个孩子中至少有一个有显性基因决定的特征的概率是多少？参考答案1．解析：对于②，频率mn ，只是概率的估计值，②错误；对于③，百分率可以是频率，也可以是概率，③错误．答案：B2．解析：理解频率的随机性和概率的稳定性． 答案：C 3．C4．解析：不小于30克的对立事件是小于30克，其概率为1－0.30＝0.70. 答案：D5．解析：20组数中恰有两次命中的共有5组，因此所求概率为520＝0.25.答案：B6．解析：①是必然事件，②是不可能事件，③④是随机事件． 答案：③④7．解析：①、④互斥，②、③不互斥． 答案：28．解析：设白球x 个，红球y 个，则2x ＋3y ＝60. ∵x＜y<2x ，∴3x<3y<6x.∴5x<2x＋3y<8x ，即⎩⎪⎨⎪⎧5x<60，8x>60.∴608<x<12. 又x∈N *，∴x＝8,9,10,11.又y∈N *，易知，x ＝9时，y ＝14，适合． ∴取到红球的概率为1414＋9＝1423. 答案：14239．解析：(1)该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为0.21＋0.23＝0.44.(2)射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为1－0.97＝0.03.10．解析：孩子的一对基因为dd ，rr ，rd 的概率分别为14，14，12，孩子由显性基因决定的特征是具有dd ，rd ，所以(1)一个孩子由显性基因决定的特征的概率为14＋12＝34.(2)因为两个孩子如果都不具有显性基因决定的特征，即两个孩子都具有rr 基因的纯隐性特征，其概率为14×14＝116，所以两个孩子中至少有一个显性基因决定特征的概率为1－116＝1516.第二节 古典概型一、选择题1．(2009年金华模拟)同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率等于( )A.14B.13 C.38 D.122．(2008年重庆)(理)从编号为1,2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为( )A.184 B.121 C.25 D.352．(文)盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )A.15B.14C.45D.1103．(文)设x ，y 是0,1,2,3,4,5中任意两个不同的数，那么复数x ＋y i 恰好是纯虚数的概率为( )A.16B.13C.15D.1304．(2009西安第三次统考)(理)从4名男同学，3名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为( )A.1235 B.1835 C.67 D.784．(文)设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N )，若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为( )A ．3B ．4C ．2和5D ．3和45．(2009年重庆)(理)锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆至少取到1个的概率为( )A.891 B.2591 C.4891 D.60915．(文)一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为( )A.132B.164C.332 D.364二、填空题6．(2009年上海奉贤区模拟)(理)在1,2,3,4,5这五个数字中任取不重复的3个数字组成一个三位数，则组成的三位数是奇数的概率是________．(用分数表示)6．(文)(2008年江苏卷)一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为________． 7．(2009年安徽卷)从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．8．(2009年江苏卷)现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为________． 三、解答题9．(理)(2008年浙江)一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球．已知袋中共有10个球．从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.求：(1)从中任意摸出2个球，得到的都是黑球的概率； (2)袋中白球的个数.9．(文)(2008年海南宁夏卷)为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体．(1)求该总体的平均数；(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．10．(2009年滨海新区五校联考)某商场举行抽奖活动，从装有编号0,1,2,3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．(1)求中三等奖的概率； (2)求中奖的概率．参考答案1．解析：(理)共23＝8种情况，符合要求的有C 13＝3种，所以概率等于38.(文)同时抛三枚硬币，所有可能出现的结果为：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)；其中符合要求的只有3种，所以概率为：P ＝38.答案：C2．解析：本小题主要考查组合的基本知识及古典概型的概率．P ＝C 35C 410＝121，故选B .答案：B2．解析：法一：从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为10，其中抽到合格铁订(记为事件A)包含8个基本事件，所以，所求概率为P(A)＝810＝45.法二：本题还可以用对立事件的概率公式求解，因为从盒中任取一个铁钉，取到合格品(记为事件A)与取到不合格品(记为事件B)恰为对立事件，因此，P(A)＝1－P(B)＝1－210＝45.答案：C3．解析：从中任取三个数共有C 39＝84种取法，没有同行、同列的取法有C 13C 12C 11＝6，至少有两个数位于同行或同列的概率是1－684＝1314，故选D .答案：D3．解析：x 取到0的概率为1/6. 答案：A4．解析：其对立事件的概率为C 34＋C 33C 37＝535＝535＝17，所以P ＝1－17＝67. 答案：C4．解析：事件C n 的总事件数为6.只要求出当n ＝2,3,4,5时的基本事件个数即可． 当n ＝2时，落在直线x ＋y ＝2上的点为(1,1)； 当n ＝3时，落在直线x ＋y ＝3上的点为(1,2)、(2,1)； 当n ＝4时，落在直线x ＋y ＝4上的点为(1,3)、(2,2)； 当n ＝5时，落在直线x ＋y ＝5上的点为(2,3)； 显然当n ＝3,4时，事件C n 的概率最大为13.答案：D 5．解析：P ＝C 26C 15C 14＋C 16＋C 25C 14＋C 16C 15C 24C 415＝15×20＋6×40＋18015×13×7＝4891，故选C .答案：C5．解析：从中有放回地取2次，所取号码共有8×8＝64种，其中和不小于15的有3种，分别是(7,8)，(8,7)，(8,8)，故所求概率为P ＝364.故选D . 答案：D 6．解析：P ＝C 13A 24A 35＝3660＝35. 答案：356．解析：基本事件共6×6个，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，故P ＝36×6＝112. 答案：1127．解析：四条线段中任意取出三条的可能有：2,3,4或2,3,5或2,4,5或3,4,5共4种．能构成三角形的可能情况：2,3,4或2,4,5或3,4,5，∴P＝34.答案：348．解析：(理)从5根竹竿中，一次随机抽取2根竹竿的方法数为C 25＝10. 而满足它们的长度恰好相差0.3 m 的方法数为2个，即2.5和2.8,2.6和2.9. 由古典概型的求法得P ＝210＝15.解析：(文)从5根竹竿中，一次随机抽取2根竹竿的方法数有(2.5,2.6)，(2.5,2.7)，(2.5,2.8)，(2.5,2.9)，(2.6,2.7)，(2.6,2.8)，(2.6,2.9)，(2.7,2.8)，(2.7,2.9)，(2.8,2.9)共10种．而满足它们的长度恰好相差0.3 m 的方法数为2种，即2.5和2.8,2.6和2.9.由古典概型的求法得P ＝210＝15.答案：159．解析：(1)由题意知，袋中黑球的个数为10×25＝4.记“从袋中任意摸出两个球，得到的都是黑球”为事件A ，则P(A)＝C 24C 210＝215.设袋中白球的个数为x ，则P(B)＝1－P(B )＝1－C 2n －1C 2n ＝79，解得x ＝5.答案：(1)215 (2)59．解析：(1)总体平均数为16()5＋6＋7＋8＋9＋10＝7.5. (2)设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：(5,6), (5,7), (5,8), (5,9), (5,10), (6,7), (6,8), (6,9), (6,10), (7,8), (7,9), (7,10), (8,9), (8,10), (9,10)，共15个基本结果．事件A 包含的基本结果有：(5,9), (5,10), (6,8), (6,9)， (6,10), (7,8), (7,9)，共有7个基本结果； 所以所求的概率为P ()A ＝715.10．解析：设“中三等奖”的事件为A ，“中奖”的事件为B ，从四个小球中有放回的取两个共有4×4＝16种可能．(1)两个小球号码相加之和等于3的取法有4种：0＋3,1＋2,2＋1,3＋0，所以P(A)＝416＝14. (2)法一：①两个小球号码相加之和等于3的取法有4种． ②两个小球相加之和等于4的取法有3种：1＋3,2＋2,3＋1； ③两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：2＋3,3＋2. 所以P(B)＝416＋316＋216＝916.法二：考虑问题的对立事件，即不中奖的概率． ①等于6的取法有1种：3＋3；②等于2的取法有3种：0＋2,1＋1,2＋0； ③等于1的取法有2种：0＋1,1＋0； ④等于0的取法有1种：0＋0. 所以P(B －)＝116＋316＋216＋116＝716，于是P(B)＝1－P(B －)＝1－716＝916.第三节 几何概型一、选择题1．有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，则小杯水中含有细菌的概率是( )A ．0.5B ．0.05C ．0.1D ．0.012．(2008年佛山一模)如右图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )A ．7.68B ．16.32C ．17.32D ．8.683．(2009年辽宁)ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点．在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π84．(2009年福建上杭)已知函数f(x)＝x 2＋bx ＋c ，其中0≤b≤4,0≤c≤4.记函数f(x)满足条件⎩⎪⎨⎪⎧f2≤12，f －2≤4为事件A ，则事件A 发生的概率为( )A.14B.58C.12D.385．(2009年山东卷)在区间[－1,1]在随机取一个数x ，cos πx 2的值介于0到12之间的概率为( )A.13B.2π C.12 D.23 二、填空题6．两根相距8 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率是________．7．(2009年福建卷)点A 为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B ，则劣孤AB 的长度小于1的概率为________．8．(2009年浙江杭州模拟)在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________． 三、解答题9．(2009年厦门一中质检)投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点P 的横坐标和纵坐标．(1)求点P 落在区域C ：x 2＋y 2≤10内的概率；(2)若以落在区域C 上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M ，在区域C 上随机散一粒豆子，求豆子落在区域M 上的概率．10．(2009年深圳第二次调研改编)设M 点的坐标为(x ，y)．(1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机取一个数作为x ，从集合Q 中取随机取一个数作为y ，求M 点落在y 轴的概率；(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M 落在不等式组： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0x≥0y≥0，所表示的平面区域内的概率．参考答案1．解析：P ＝0.12＝120＝0.05.答案：B2．解析：∵S 椭S 矩＝300－96300，∴S 椭＝204300×24＝16.32.答案：B3．解析：根据几何概率公式得概率为P ＝S 阴影部分S 长方形ABCD ＝2－12π·122＝1－π4. 答案：B4．解析：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －8≤0，2b －c≥0表示的区域的面积为8，所以概率为12，故选C.答案：C5．解析：在区间[－1,1]上随机取一个实数x ，cos πx 2的值位于[0,1]区间，若使cosπx2的值位于⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12区间，取到的实数x 应在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1内，根据几何概型的计算公式可知P ＝2×132＝13，故选A.答案：A6．解析：P(A)＝8－2－28＝12.答案：127．解析：如右图，设A 、M 、N 为圆周的三等分点，当B 点取在优孤MAN 上时，对劣弧AB 来说，其长度小于1，故其概率为23.答案：23.8.解析：以A 、B 、C 为圆心，以1为半径作圆，与△ABC 交出三个扇形， 当P 落在其内时符合要求． ∴P＝3×12×π31234×22＝3π6.答案：3π69．解析：(1)以0,2,4为横、纵坐标的点P 的可能共3×3＝9个， 而这些点中，落在区域C 的点有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)4个 ，∴所求概率为P ＝49.(2)∵区域M 的面积为4，而区域C 的面积为10π， ∴所求概率P ＝410π＝25π. 10．解析：(1)记“M 点落在y 轴”为事件A.M 点的组成情况共4×3＝12种，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型． 其中事件A 包含的基本事件有(0,0)，(0,1)，(0,2)共3处． ∴P(A)＝312＝14.(2)依条件可知，点M 均匀地分布在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤30≤y≤4所表示的平面区域内，属于几何概型．该平面区域的图形为右图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0x≤0y≤0表示的区域，其图形如右图中的三角形OAD(阴影部分)．又直线x ＋2y －3＝0与x 轴、y 轴的交点分别为A(3,0)、D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴三角形OAD 的面积为 S 1＝12×3×32＝94.∴ 所求事件的概率为P ＝S 1S ＝9412＝316.第四节 条件概率与事件的独立性一、选择题1．一个口袋中有黑球和白球各5个，从中连摸两次球，每次摸一个且每次摸出后不放回，用A 表示第一次摸得白球，B 表示第二次摸得白球，则A 与B 是( )A ．互斥事件B ．不相互独立事件C ．对立事件D ．相互独立事件解析：第一次摸得白球和第二次摸得白球有可能同时发生，∴A、B 不是互斥事件，自然也不是对立事件；第一次摸得白球与否会影响第二次摸得白球的概率，∴A、B 是不相互独立事件．答案：B2．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是( )A ．p 1p 2B ．p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1)C ．1－p 1p 2D ．1－(1－p 1)(1－p 2)解析：恰有一人解决这个问题包括两种情况：一种是甲解决了问题乙没有解决，概率为p 1(1－p 2)，另一种是乙解决了问题甲没有解决，概率为p 2(1－p 1)，所以恰有一人解决这个问题的概率是p 1(1－p 2)＋p 2(1－p 1)．答案：B3．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )A.320 B.15 C.25 D.920解析：考虑对立事件A －没有人去此地，概率为34×45＝35，所以P(A)＝1－35＝25.答案：C4．在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是( )A ．0.12B ．0.88C ．0.28D ．0.42 解析：P ＝(1－0.3)(1－0 .4)＝0.42. 答案：D5．将三颗骰子各掷一次，设事件A ＝“三个点数都不相同”，B ＝“至少出现一个6点”，则概率P(A | B＝()A.6091 B.12 C.518 D.91216解析：∵B －为一个6点都没有出现，其概率为P(B －)＝56×56×56＝125216，∴P(B)＝1－125216＝91216，而AB 表示“三个点数都不相同且至少出现一个6点”，其概率为16×56×46×3＝518，所以P(A|B)＝P ABP B ＝51891216＝216×591×18＝6091.答案：A 二、填空题6．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，则取出的两球是红球的概率为________(答案用分数表示)解析：46×16＝19.答案：197．(2008年湖北卷)明天上午李明要参加义务劳动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是________．解析：法一： 两个闹钟一个也不准时响的概率是(1－0.8)×(1－0.9)＝0.02，所以要求的结果是1－0.02＝0.98.法二：要求的概率是(1－0.8)×0.9＋0.8×(1－0.9)＋0.8×0.9＝0.98. 答案：0. 988．(2009年冠龙中学月考)甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，则其中恰有一人击中目标的概率是________．解析：0.6×0.4＋0.4×0.6＝0.48. 答案：0.48 三、解答题9．(2009年金陵模拟改编)某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立．(1)求该学生考上大学的概率；(2)求该学生经过4次测试考上大学的概率．解析：(1)记“该学生考上大学”为事件A ，其对立事件为A －，则P(A －)＝C15⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝112243， ∴P(A)＝1－[C15·⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋⎝ ⎛⎭⎪⎫235]＝131243.(2)∵该学生经过4次测试考上大学∴该学生第4次考试通过测试，前3次考试只有一次通过测试，所以概率为 P(B)＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23×23＋23×13×23＋23×23×13＝427. 10．(2009年全国卷Ⅰ改编)甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．(1)求甲获得这次比赛胜利的概率； (2)求经过5局比赛，比赛结束的概率．解析：记A i 表示事件：第i 局甲获胜，i ＝3,4,5，B j 表示事件：第j 局乙获胜，j ＝3,4. (1)记B 表示事件：甲获得这次比赛的胜利．因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B ＝A 3·A 4＋B 3·A 4·A 5＋A 3·B 4·A 5， 由于各局比赛结果相互独立，故P(B)＝P(A 3·A 4)＋P(B 3·A 4·A 5)＋P(A 3·B 4·A 5) ＝P(A 3)P(A 4)＋P(B 3)P(A 4)P(A 5)＋P(A 3)P(B 4)P(A 5) ＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648. (2)经过5局比赛，甲获胜的概率为P(B 3·A 4·A 5)＋P(A 3·B 4·A 5)＝0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.288； 经过5局比赛，乙获胜的概率为P(A 3·B 4·B 5)＋P(B 3·A 4·B 5)＝0.6×0.4×0.4＋0.4×0.6×0.4＝0.192. 所以经过5局比赛，比赛结束的概率为0.288＋0.192＝0.48.第五节 离散型随机变量的分布列一、选择题1．抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验结果是( ) A ．两颗都是2点B 一颗是3点，一颗是1点C ．两颗都是4点D ．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点解析：对A 、B 中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而D 是 ξ＝4代表的所有试验结果．掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键．答案：D2．下列分布列中，是离散型随机变量分布列的是( ) A.B.C.D.解析：只有选项C 答案：C3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次该项试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于( )A ．0 B.13 C.12 D.23解析：1－P(ξ＝0)＝2P(ξ＝0)，即P(ξ＝0)＝13.答案：B4．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于C47C68C1015的是( )A ．P(X ＝2)B ．P(X≤2)C ．P(X ＝4)D ．P(X≤4)解析：由分子C47C68可知是从7个不方便的村庄中选4个，从8个方便的村庄中选6个，∴X＝4，∴是P(X ＝4)的概率．答案：C5．若离散型随机变量X 的分布列为：则常数q 的值为( ) A ．1 B. 1±22 C. 1＋22 D. 1－22解析：由12＋(1－2q)＋q 2＝1，解得q ＝1－22或q ＝1＋22，又∵q 2∈[0,1]，∴q＝1＋22舍去．∴q＝1－22. 答案：D 二、填空题6．随机变量X 等可能取值为1,2,3，……，n ，如果P(X ＜4)＝0.3，那么n ＝________. 解析：∵P(X＜4)＝ P(X ＝1)＋P(X ＝2)＋P(X ＝3)＝3n ＝0.3，∴n＝10. 答案：107．随机变量ξ的分布列为若a ＋c ＝2b ，则P(|ξ|＝解析：∵a＋c ＝2b ，又∵a＋b ＋c ＝1，∴b＝13，a ＋c ＝23，于是P(|ξ|＝1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝－1)＝a ＋c ＝23.答案：238．若离散型随机变量X 的分布列为P(X ＝k)＝c2k ，k ＝1,2,3,4,5,6.其中c 为常数，则P(X≤2)的值是________．解析：由c 2＋c 4＋c 8＋c 16＋c 32＋c 64＝1，可得c ＝6463.∴P(X≤2)＝P(X ＝1)＋P(X ＝2)＝3263＋1663＝4863＝1621.答案：1621三、解答题9．(2009年广州调研)一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子)，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品．(1)求这箱产品被用户接收的概率；(2)记抽检的产品件数为ξ，求ξ的分布列． 解析：(1)设“这箱产品被用户接收”为事件A ，P(A)＝8×7×610×9×8＝715，即这箱产品被用户接收的概率为715.(2)ξ的可能取值为1,2,3.P(ξ＝1)＝210＝15，P(ξ＝2)＝810×29＝845，P(ξ＝3)＝810×79＝2845，∴ξ的分布列为10.(2009年广州模拟)50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：(1)从这(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A 版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．解析：(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C250＝1225. 选出2人使用版本相同的方法数为 C 220＋C 215＋C 25＋C 210＝350，故2人使用版本相同的概率为：P ＝3501225＝27.(2)∵P(ξ＝0)＝C215C235＝317，P(ξ＝1)＝C120C115C235＝60119，P(ξ＝2)＝C220C235＝38119，∴ξ的分布列为第六节 二项分布、超几何分布、正态分布一、选择题1．设随机变量ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (ξ＝3)的值为( ) A.516 B.316 C.58 D.716解析：P (ξ＝3)＝C36⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝516.答案：A2．设随机变量ξ ～ B (2，p )，随机变量η ～ B (3，p )，若P (ξ ≥1) ＝59，则P (η≥1)＝( )A.13B.59C.827D.1927解析：∵P (ξ≥1) ＝2p (1－p )＋p 2＝59， ∴p ＝13，∴P (η≥1) ＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝1927，故选D.答案：D3．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P (ξ＝12)＝( )A ．C 1012⎝ ⎛⎭⎪⎫3810·⎝ ⎛⎭⎪⎫582B ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582·38C ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫589·⎝ ⎛⎭⎪⎫382D ．C 911⎝ ⎛⎭⎪⎫389·⎝ ⎛⎭⎪⎫582解析：P (ξ＝12)表示第12次为红球，前11次中有9次为红球，从而P (ξ＝12)＝C 911·⎝ ⎛⎭⎪⎫389⎝ ⎛⎭⎪⎫582×38. 答案：B4．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[0.4,1)B ．(0,0.6]C ．(0,0.4]D ．[0.6,1)解析：C14p (1－p )3≤C24p 2(1－p )2，即2(1－p )≤3p ， ∴p ≥0.4.又∵p <1，∴0.4≤p <1. 答案：A5．(2009年湖南四市联考)已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ＜0)＝( )A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.84 解析：∵P (ξ≤4)＝0.84，μ＝2，∴P (ξ＜0) ＝P (ξ＞4)＝1－0.84＝0.16.故选A. 答案：A 二、填空题6．某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率________．(用数值作答)解析：由题意知所求概率P ＝C 310⎝ ⎛⎭⎪⎫123⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝15128.答案：151287．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出两个球，设其中有X 个红球，则X 的分布列为________．解析：这是超几何分布，P (X ＝0)＝C 03C 22C 25＝0.1；P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6; P (X ＝2)＝C 23C 02C 25＝0.3，分布列如下表：答案：8.1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7 cm.则该厂生产的这批零件是否合格________．解析：根据3σ原则，在4－3×0.5＝2.5——4＋3×0.5＝5.5之外为异常，所以这批零件不合格．答案：不合格 三、解答题9．(2008年四川延考)一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A 类、B 类、C 类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C 类产品或2件都是B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A 类品，B 类品和C 类品的概率分别为0.9,0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．(1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；(2)若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列． 解析：(1)设A i 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为A 类品”，i ＝1,2.B i 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为B 类品”， i ＝1,2.C 表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”．则C ＝A 1·A 2＋A 1·B 2＋B 1·A 2.由已知P (A i )＝0.9，P (B i )＝0.05 i ＝1,2. 所以，所求的概率为P (C )＝P (A 1·A 2)＋P (A 1·B 2)＋P (B 1·A 2)＝0.92＋2×0.9×0.05＝0.9.(2)由(1)知一次抽检后，设备需要调整的概率为p ＝P (C )＝1－0.9＝0.1，依题意知ξ～B (3,0.1)，ξ的分布列为10.(2009算采用现场答题的方式来进行，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．(1)求甲答对试题数ξ的概率分布； (2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率．解析：(1)依题意，甲答对试题数ξ的可能取值为0、1、2、3，则 P (ξ＝0)＝C 34C 310＝130，P (ξ＝1)＝C 16·C 24C 310＝310，P (ξ＝2)＝C 26·C 14C 310＝12，P (ξ＝3)＝C 36C 310＝16，其分布列如下：(2)P (A )＝C 26C 14＋C 36C 310＝60＋20120＝23， P (B )＝C 28C 12＋C 38C 310＝56＋56120＝1415. 因为事件A 、B 相互独立，∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 P()A ·B ＝P ()A ·P ()B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1415＝145， ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P ＝1－P()A ·B ＝1－145＝4445. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.法二：甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为P ＝P ()A ·B＋P ()A ·B ＋P ()A ·B＝23×115＋13×1415＋23×1415＝4445. 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445。
概率与概率分布习题
思考题1．有一种体育彩票的中奖规则时所选号码和顺序与摇奖结果一致。
每个位置上的中奖号码时0~9这十个数字中随机摇出的。
某期体育彩票摇奖现场的电视节目主持人说：“今年体育彩票开奖以来，在这个位置上，2这个数字出现了27次，是出现概率最大的数字“。
请问，该主持人的说法是否正确？2．怎样理解频率和概率的关系？频率的极限是概率吗？3．概率的三种定一个有什么应用场合和局限性？4．全概率公式和逆概率公式分别用于什么场合？5．离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布的描述有些什么不同？6．两个随机事件的独立性意味着什么？协方差和相关系数由何关系？7．二项分布和超级和分布的适用场合有什么不同？它们的均值和方差有什么区别？8．正态分布所描述的随机现象有什么特点？为什么许多随机现象服从或近似服从正态分布？9．对于同一险种，为什么投保人越多，保险公司的相对风险越小？练习题1．某技术小组有12人，他们的性别和职称如下表所示。
现要产生一名幸运者。
试求这位幸运者分别是以下几种可能的概率：（1）女性；（2）工程师；（3）女工程师；（4）女性或工程师。
3．某种零件加工必须以此经过三道工序，从以往大量的生产纪录得知，第一、第二、第三道工序的次品率分别是0.2，0.1，0.1,并且每道工序是否产生次品与其他工序无关。
试求这种零件的次品率。
4．已知参加某项考试的全部人员合格的占80%，在合格人员中成绩优秀的只占15%。
试求任一参加考试人员成绩优秀的概率。
5．设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9？6．已知某地区男子寿命超过55岁的概率为84%，超过70岁的概率为63%。
试求任一位刚过55岁生日的男子将会活到70岁以上的概率为多少。
7．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。
则第二次取出的是次品的概率为多少？8．某公司从甲乙丙三个企业采购了同一种产品，采购数量分别占总采购量的25%、30%和45%。
MXT-概率统计第一章概率论的基础知识习题与答案
MXT-概率统计第一章概率论的基础知识习题与答案概率论与数理统计概率论的基础知识习题一、选择题1、下列关系正确的是( )。
A 、0∈? B 、{0}?∈ C 、{0}?? D 、{0}?=答案：C2、设{}{}2222(,)1,(,)4P x y x y Q x y x y =+==+=，则( )。
A 、P Q ? B 、P Q < C 、P Q ?与P Q ?都不对 D 、4P Q =答案：C 二、填空1、6个学生和一个老师并排照相，让老师在正中间共有________种排法。
答案：6!720=2、5个教师分配教5门课，每人教一门，但教师甲只能教其中三门课，则不同的分配方法有____________种。
答案：723、编号为1，2，3，4，5的5个小球任意地放到编号为A 、B 、C 、D 、E 、F 的六个小盒子中，每一个盒至多可放一球，则不同的放法有_________种。
答案：()65432720=4、设由十个数字0，1，2，3，Λ ，9的任意七个数字都可以组成电话号码，则所有可能组成的电话号码的总数是_______________。
答案：710个5、九名战士排成一队，正班长必须排在前头，副班长必须排在后头，共有_______________种不同的排法。
答案：77!5040P ==6、平面上有10个点，其中任何三点都不在一直线上，这些点可以确定_____个三角形。
答案：1207、5个篮球队员，分工打右前锋，左前锋，中锋，左后卫右后卫5个位置共有_____________种分工方法？答案：5!120=8、6个毕业生，两个留校，另4人分配到4个不同单位，每单位1人。
则分配方法有______种。
答案：(6543)360=9、平面上有12个点，其中任意三点都不在一条直线上，这些点可以确定_____________条不同的直线。
答案：6610、编号为1，2，3，4，5的5个小球，任意地放到编号为A ，B ，C ，D ，E ，F ，的六个小箱子中，每个箱子中可放0至5个球，则不同的放法有___________种。
第三章概率与概率分布习题及答案
第三章概率、概率分布与抽样分布计算题：1.某种零件加工必须依次经过三道工序，从已往大量的生产记录得知，第一、二、三道工序的次品率分别为，，，并且每道工序是否产生次品与其它工序无关。
试求这种零件的次品率。
2. 某项飞碟射击比赛规定一个碟靶有两次命中机会（即允许在第一次脱靶后进行第二次射击）。
某射击选手第一发命中的可能性是80％，第二发命中的可能性为50％。
求该选手两发都脱靶的概率。
3. 某企业决策人考虑是否采用一种新的生产管理流程。
据对同行的调查得知，采用新生产管理流程后产品优质率达95％的占四成，优质率维持在原来水平（即80%）的占六成。
该企业利用新的生产管理流程进行一次试验，所生产5件产品全部达到优质。
问该企业决策者会倾向于如何决策4. 一家人寿保险公司某险种的投保人数有20000人，据测算被保险人一年中的死亡率为万分之5。
保险费每人50元。
若一年中死亡，则保险公司赔付保险金额50000元。
试求未来一年该保险公司将在该项保险中（这里不考虑保险公司的其它费用）：（1）至少获利50万元的概率；（2）亏本的概率；（3）支付保险金额的均值和标准差。
5. 某企业生产的某种电池寿命近似服从正态分布，且均值为200小时，标准差为30小时。
若规定寿命低于150小时为不合格品。
试求该企业生产的电池的：（1）合格率是多少（2）电池寿命在200左右多大的范围内的概率不小于。
6. 某商场某销售区域有6种商品。
假如每1小时内每种商品需要12分钟时间的咨询服务，而且每种商品是否需要咨询服务是相互独立的。
求：（1）在同一时刻需用咨询的商品种数的最可能值是多少（2）若该销售区域仅配有2名服务员，则因服务员不足而不能提供咨询服务的概率是多少7. 美国汽车联合会（AAA）是一个拥有90个俱乐部的非营利联盟，它对其成员提供旅行、金融、保险以及与汽车相关的各项服务。
1999年5月，AAA通过对会员调查得知一个4口之家出游中平均每日餐饮和住宿费用大约是213美元（《旅行新闻》Travel News，1999年5月11日）。
高中概率分布函数经典习题及答案
高中概率分布函数经典习题及答案一、二项分布1.某电视综艺节目每期设三道竞猜题，每题有两个选项，已知某观众对其中一题的正确率为60%，现在有一位观众对三道题均参与竞猜，求他正确全部竞猜的概率。
解：设他每道题的正确率为p，则每道题的错误率为1-p，他全部竞猜正确的概率为P(X=3)=[C(3,3)]*0.6^3*0.4^0=21.6% 所以，他全部竞猜正确的概率为21.6%。
2.在某加工厂中，总体不合格率为p，从全体产品中任意抽10件产品，以不合格件数X为随机变量，试求不合格件数X的概率分布、期望值及方差。
解：因为是抽10件产品，所以是一个10次伯努利试验，每一次试验中，产品合格的概率为1-p，不合格概率为p，所以该实验的概率分布可以用二项分布表示。
则不合格件数X的概率分布为P(X=k)=C(10,k)*p^k*(1-p)^(10-k)，其中k取值为0,1,2, (10)其期望值为E(X)=np=10p，方差为D(X)=np(1-p)=10p(1-p)。
二、泊松分布1.某货场在单位时间内平均有6辆货车到达，求：（1）在一个时间段内恰有3辆货车到达的概率。
（2）在一个时间段内不超过4辆货车到达的概率。
解：（1）设单位时间内X辆货车到达的概率服从泊松分布，则X~Poisson(6)，则恰有3辆货车到达的概率为P(X=3)=e^(-6)*6^3/3!=0.0504。
（2）P(X<=4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=e^(-6)*[6^0/0!+6^1/1!+6^2/2!+6^3/3!+6^4/4!]=0.8153。
三、指数分布1.规定20个装配工人在生产线上流水作业，平均每人处理一个产品需要10分钟，且加工时间服从指数分布，求：（1）生产线上平均每分钟加工的产品数量。
（2）任意一个人处理时间小于2分钟的概率。
（3）有3个人处理时间小于2分钟的概率。
解：（1）因为20个装配工人同时流水作业，所以生产线每分钟平均加工的产品数量为20/10=2件。
概率论与数理统计 第二章 随机变量及其概率分布 练习题 答案详解
第二章 随机变量及其概率分布（概率论与数理统计）练习题答案与提示（答案在最后）1．一盒零件中有9个合格品和3个废品，现从中任取一个零件，如果是废品不再放回，而从其余剩下的零件中另取一个，如此继续下去，直到取得合格品为止，求取出的废品个数ξ的分布律．2．在汽车行进路上有四个十字路口设有红绿灯，假定在第一．第三个路口汽车遇绿灯通行的概率为6.0，在第二．第四个路口通行的概率为5.0，并且各十字路口红绿灯信号是相互独立的．求该汽车在停下时，已通过的十字路口数的概率分布．3．把4个球任意放到3个盒中，每个球都以同样的概率31落到任一个盒中，用ξ表示落到第一个盒中的球的个数，求ξ的分布律．4．设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是01.0，且一台设备的故障能由一个人处理，考虑两种配备维修工人的方案：其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台．试比较两种方案在设备发生故障时不能及时维修的概率大小．5．设在保险公司里有2500个同一年龄的人参加了人寿保险，在一年里每个人死亡的概率为002.0，每个参加保险的人在每年一月一日付12元保险费，而在死亡时其家属可到保险公司领取赔付费2000元．试问：(1) 一年内保险公司亏本的概率是多少？(2) 一年内保险公司获利不少于10000元的概率是多少？ 6．某盒产品中有8件正品，2件次品，每次从中任取一件进行检查，直到取得正品为止．分别按不放回抽样和有放回抽样，求所需抽取次数的分布律．7．从一批有90个正品和10个次品的产品中任取5个，求抽得的次品数ξ的概率分布．8．通过某路口的每辆汽车发生事故的概率为0001.0=p ，假设在某段时间内有1000辆汽车通过此路口，求在此时间内发生两次以上事故的概率．9．设某种晶体管的寿命ξ（单位：小时）的概率密度函数为=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤>,100,0,100,1002x x x (1) 若一个晶体管在使用150小时后仍完好，那么该晶体管使用时间少于200小时的概率是多少？(2) 若一个电子仪器中装有三个独立工作的这种晶体管，在使用150小时之后恰有一个管子损坏的概率是多少？10．设随机变量ξ在)6,0(上服从均匀分布，求方程04522=-++ξξx x有实根的概率．11．以下哪个可以是随机变量的分布函数：(1) =)(x F 211x+， (2) =)(x F arctgx π2143+ (3) =)(x F x －e ， (4) =)(x F ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<．，，，，，1 1112121 03x x xx12．设随机变量ξ的概率分布为==)(k P ξk a2， ,3,2,1=k ， 求：(1) 常数a ； (2) )(为偶数ξP ； (3) )5(≥ξP ．13．已知ξ的分布律为==)(k P ξkck 6.0， ,3,2,1=k ， 求常数c ．14．设随机变量ξ的分布律为ξ 0 1 2 P31 61 21 求ξ的分布函数，并求：(1) )21(≤ξP ；(2) )231(≤<ξP ；(3) )231(≤≤ξP .15．设随机变量ξ的分布律为ξ 2- 0 2 3P71 73 72 71求ξ的分布函数．16．一个靶子是一个半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆的概率与该圆的面积成正比，并假设每次射击都能中靶，以ξ表示弹着点与圆心的距离，求随机变量ξ的分布函数．17．已知一本书中每页上的印刷错误ξ服从参数为2.0的泊松分布，试求(1) ξ的概率分布；(2) 求每页上印刷错误不多于一个的概率．18．设随机变量ξ的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=，，，，，，， ，41415.0112.010)(x x x x x F求ξ的分布律．19．下列哪一个函数可能成为随机变量ξ的密度函数： (1) =)(x f x-e， +∞<<∞-x ；(2) =)(x f )1(12x +π， +∞<<∞-x ；(3) =)(x f ⎩⎨⎧≤其它；，，，011x(4) =)(x f ⎩⎨⎧<<其它．，，，00sin πx x20．若)(x f ，)(x g 均在同一区间],[b a 上是概率密度函数，证明： (1) )(x f +)(x g 不是这区间上的概率密度函数；(2) 对任一数k (10<<k )，)()1()(x g k x kf -+是这个区间上的概率密度函数．21．已知连续型随机变量ξ的分布函数为⎩⎨⎧<≥+=-000e )(x x B A x F x ，，，λ (0>λ为常数)，求：(1) 常数A ，B ；(2) 密度函数)(x f ．22．设连续型随机变量ξ的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=-，，，，000e )(22x x B A x F x 求:(1) 常数A ，B ；(2) )21(<<ξP ；(3) ξ的密度函数)(x f ．23．设随机变量ξ的密度函数为)(x f xc λλ-=e(0>λ为常数)，求：(1) 常数c ；(2) ξ的分布函数；(3) )21(<ξP ．24．某加油站每周补充油料一次，如果它的周出售量ξ（单位：千加仑）是一个随机变量，密度函数为=)(x f ⎩⎨⎧<<-其它，，，，010)1(54x x 要使在给定的一周内油库被吸光的概率是01.0，这个油库的容量应该是多少千加仑？25．设随机变量ξ的概率密度为=)(x f ，其它，，，，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<<0211102x x x ax 求:(1) 常数a ；(2) 分布函数)(x F ；(3) )35.0(<<ξP ．26．某商店出售某种商品，据历史记录分析，每月销售量服从参数为5的泊松分布，问该商店月初应库存多少件此种商品，才能以999.0的概率满足顾客的需要？27．已知某自动车床生产的零件，其长度ξ（单位：厘米）服从正态分布)75.0,50(~2N ξ，如果规定零件长度在5.150±厘米之间的为合格品， 求：(1) 零件的合格率；(2) 生产三只零件，至少有一只是不合格的概率． 28．某数学竞赛中的数学成绩)10,65(~2N ξ，若85分以上者为优秀，试问数学成绩优秀的学生占总人数的百分之几？29．某地抽样调查考生的英语成绩近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数%3.2，求考生的英语成绩在60分到84分之间的概率．30．设随机变量ξ服从参数为2，p 的二项分布，即),2(~p B ξ，随机变量η),3(~p B ，若95)1(=≥ξP ，求)1(≥ηP ． 31．已知ξ服从参数为λ的Poisson 分布，且==)1(ξP )2(=ξP ，求)4(=ξP ．32．已知离散型随机变量ξ的分布律为ξ 1 2 3 4 5P 51 51 51 51 51 求：(1) 12+=ξη；(2) 2)2(-=ξη的分布律．33．设随机变量ξ的分布律为ξ 2π-2ππP 2.0 3.0 4.0 1.0求：(1) 2ξη=；(2) ξηcos =的分布律．34．设某球直径的测量值为随机变量ξ，若已知ξ在],[b a 上服从均匀分布，求该球体积36ξπη=的概率密度．35．设)1,0(~N ξ，求ξη=的概率分布密度． 36．设随机变量ξ服从]2,2[ππ-上的均匀分布，求随机变量ξηsin =的分布密度)(x f ．答案详解1． ξ 0 1 2 3P 43 4492209 22012． ξ 0 1 2 3 4P 4.0 3.0 12.0 09.0 09.0 3．把一个球放入盒中看作一次试验，每个球落到第一个盒中的概率都为31，4个球放入（3个）盒中可以看作4重贝努里试验，所以落入第一个盒中的球数)31,4(~B ξ，即ξ的分布律为:)(k P =ξ=kk k C -44)32()31(，4,3,2,1,0=k4．按第一种方案，每人负责20台，设每个工人需维修的设备数为ξ，则)01.020(~，B ξ．这里设备发生故障时不能及时维修的事件，也就是一个工人负责的20台设备中至少有两台发生了故障，其概率为)2(≥ξP -=-=)0(1ξP )1(=ξP20002099.001.01⋅⋅-=C 1912099.001.0⋅⋅-C 2.00!02.01--≈e 2.01!12.0--e =-=-2.02.11e 0175231.0．上述近似计算是用了泊松定理，其中参数2.0==np λ.按第二种方案，3名维修工人共同维护80台设备，设需要维修的设备数为η，则)01.080(~，B η，这里设备发生故障时不能及时维修的事件，就是80台中至少有4台发生故障，其概率为)4(≥ηP =∑=--30808099.001.0C 1k k k k∑=--≈308.0!8.01k k e k 00908.0≈，比较计算结果，可见第二种方案发挥团队精神，既能节省人力，又能把设备管理得更好．5．(1) 000069.0， (2) 986305.06．不放回抽样，所需抽取次数的分布律为:ξ 1 2 3P 54 458 451放回抽样，所需抽取次数的分布律为:==P )(k ξ54)51(1⋅-k ， ,3,2,1=k7．==)(k P ξ510059010C C C k k -⋅， 5 ,4 ,3 ,2 ,1 ,0=k 8．0045.09．(1) 41， (2) 9410．5.011．(4)12．(1) 1=a ， (2) 31， (3) 16113．由分布律的性质可知:∑∞====1)(1k k P ξ∑∞=16.0k kk c ，为了求级数∑∞=16.0k kk 的和，令)(x f =∑∞=1k k k x ，逐项求导，得)(x f '=∑∞=-11k k x =x -11，从而 ⎰'xx x f 0d )(=⎰-x x 0d x 11，即)(x f －)0(f =)1ln(x --，又因)0(f =0，从而)(x f =)1ln(x --，令6.0=x ，得=)6.0(f 25ln 4.0ln =-，从而1)2ln 5(ln --=c14．=)(x F ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<212121103100x x x x ，，，，，，， (1) 31； (2) 0； (3) 6115．=)(x F ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤--<3 ,1,32,76,20,74,02,71,2,0x x x x x 16．=)(x F ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<2,1,20,4,0,02x x xx 17．(1) ==)(k P ξ2.0e !2.0-k k ， ,2,1,0=k ， (2) 983.0)1(=≤ξP 18． ξ 1- 1 4P 2.0 3.0 0.5 19．(2) 20．略21．(1) 1=A ，1-=B (2) =)(x f ⎩⎨⎧<≥-0,0,0 ,e x x x λλ22．(1) 1=A ，1-=B ， (2) 4712.0， (3) =)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-0 ,0,0,e 22x x x x23．(1) 21， (2) =)(x F ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<-,0,e 211,0 ,e 21x x x xλλ (3) 2e 1λ--24．设油库的容量为x 千加仑，据题意，01.0)(=>x P ξ，即99.0)(=≤x P ξ，=≤)(x P ξ⎰-xdx 04x )(15=--=5)1(1x 99.0，从而01.0)1(5=-x ，3981.01=-x ，解得6019.0=x （千加仑）25．(1) 1， (2) =)(x F ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-<≤<,2,1,21,123,10,2,0,02x x x x x x (3) 875.026．1327．(1) 9545.0， (2) 1304.0 28．%3.229．设考生的英语成绩为ξ，则ξ),72(~2σN ，由题意知，=≥)96(ξP 023.0)729672(=-≥-σσξP ， 故977.0)24()2472(=Φ=<-P σσσξ， 查表得，224=σ，所以12=σ，因此，)12,72(~2N ξ，从而所求概率为=≤≤)8460(ξP )1272841272127260(-≤-≤-ξP )1()1(-Φ-Φ=6824.0= 30．=<)1(ξP 94951=-，即94)1(C )0(2002=-==p p P ξ，解得31=p ，从而=≥)1(ηP )1(1<-ηP )0(1=-=ηP =--=3003)1(1p p C 271931．2e 32-32．(1) η 3 5 7 9 11 (2) η 0 1 4 9P 51 51 51 51 51 P 51 52 51 5133．(1) η 0 42π 2πP 3.0 0.6 0.1(2) η 1- 0 1P 1.0 6.0 3.034．=)(y f η⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-其它－,0,66,92133323b y a y a b πππ 35．=)(y f η⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,0,0,e 222y2y y －π36．ξ的密度函数为=)(x f ξ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-,,0,22,1其它πππx由于x y sin =在]2,2[ππ-内严格单调增加，因此存在反函数y x arcsin =，其导数为:211y x y -='，x y sin =在]2,2[ππ-上的最大值为1，最小值为1-，利用随机变量的单调函数的分布密度的公式，得η的密度函数为:=)(y f η⎪⎩⎪⎨⎧<<-',,0,11)(arcsin )(arcsin 其它，y y y f ξ⎪⎩⎪⎨⎧<<--=其它,0,11,112y yπ。
MXT-概率论与数理统计习题答案-4
习题四1.设随机变量X 的分布律为X -1 0 1 2 P1/8 1/2 1/8 1/4求E （X ），E （X ），E （2X +3）. 【解】(1) 11111()(1)012;82842E X =-⨯+⨯+⨯+⨯= (2) 2222211115()(1)012;82844E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=(3) 1(23)2()32342E X E X +=+=⨯+=2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. X 0 12345P5905100C 0.583C = 1410905100C C 0.340C = 2310905100C C 0.070C = 3210905100C C 0.007C = 4110905100C C 0C = 5105100C 0C = 故 ()0.58300.34010.07020.00730405E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 0.501,= 52()[()]iii D X x E X P ==-∑222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.=-⨯+-⨯++-⨯=L3.设随机变量X -1 0 1Pp 1 p 2 p 3且已知E （X ）=0.1,E (X )=0.9,求P 1，P 2，P 3. 【解】因1231P P P ++=……①,又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=g g ……②,222212313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=g g g ……③由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P ===4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则(){|}{}Nk P A P A X k P X k ===∑g 全概率公式1{}{}1().NNk k k P X k kP X k N Nn E X N N========∑∑g5.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x求E （X ），D （X ）. 【解】1221()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞-∞==+-⎰⎰⎰21332011 1.33x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰ 故 221()()[()].6D XE X E X =-=6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望.（1） U =2X +3Y +1； （2） V =YZ -4X .【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=⨯+⨯+=(2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=- ,()()4()Y Z E Y E Z E X -g 因独立1184568.=⨯-⨯= 7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X -2Y ），D （2X -3Y ）. 【解】(1) (32)3()2()3323 3.E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=(2) 22(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=⨯+⨯= 8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<<.,0,0,10,其他x y x k试确定常数k ，并求E （XY ）. 【解】因1001(,)d d d d 1,2x f x y x y x k y k +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰故k =210()(,)d d d 2d 0.25xE XY xyf x y x y x x y y +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰.9.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为f X （x ）=⎩⎨⎧≤≤;,0,10,2其他x x f Y （y ）=(5)e ,5,0,.y y --⎧>⎨⎩其他求E （XY ）.【解】方法一：先求X 与Y 的均值 12()2d ,3E X x x x ==⎰g 5(5)5()e d 5e d e d 51 6.z y y z z E Y y yz z z +∞+∞+∞=-----=+=+=⎰⎰⎰令由X 与Y 的独立性，得2()()()6 4.3E XY E X E Y ==⨯=g方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立，故联合密度为(5)2e ,01,5,(,)()()0,,y X Y x x y f x y f x f y --⎧≤≤>==⎨⎩g 其他 于是11(5)2(5)552()2ed d 2de d 6 4.3y y E XY xy x x y x x y y +∞+∞----===⨯=⎰⎰⎰⎰g g10.设随机变量X ，Y 的概率密度分别为f X （x ）=⎩⎨⎧≤>-;0,0,0,22x x x e f Y （y ）=⎩⎨⎧≤>-.0,0,0,44y y y e求（1） E （X +Y ）;（2） E （2X -3Y 2）. 【解】22-20()()d 2e d [e ]e d x x xX X xf x x x x x x +∞+∞+∞--+∞-∞==-⎰⎰⎰g201e d .2x x +∞-==⎰401()()d 4e dy .4y Y E Y yf y y y +∞+∞--∞==⎰⎰g22242021()()d 4e d .48y Y E Y y f y y y y +∞+∞--∞====⎰⎰g 从而(1)113()()().244E X Y E X E Y +=+=+=(2)22115(23)2()3()23288E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯= 11.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-.0,0,0,22x x cx xke求（1） 系数c ;（2） E （X ）;（3） D （X ）.【解】(1) 由222()d ed 12k x cf x x cx x k+∞+∞--∞===⎰⎰得22c k =. (2) 2220()()d()2e d k x E X xf x x x k x x +∞+∞--∞==⎰⎰g 22220π2e d .2k x k x x k+∞-==⎰(3) 22222221()()d()2e.k x E X x f x x x k x k +∞+∞--∞==⎰⎰g 故 222221π4π()()[()].4D X E X E X k k⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭ 12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X ，求E （X ）和D （X ）. 【解】设随机变量X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X 的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知9{0}0.750,12P X === 39{1}0.204,1211P X ==⨯= 329{2}0.041,121110P X ==⨯⨯= 3219{3}0.005.1211109P X ==⨯⨯⨯=于是，得到X 的概率分布表如下： X 0 1 2 3 P0.7500.2040.0410.005由此可得()00.75010.20420.04130.0050.301.E X =⨯+⨯+⨯+⨯=22222222()075010.20420.04130.0050.413()()[()]0.413(0.301)0.322.E X D X E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯==-=-=13.一工厂生产某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.0,0,0,414x x xe为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值：100元和 -200元/41/411{100}{1}e d e 4x P Y P X x +∞--==≥==⎰1/4{200}{1}1e.P Y P X -=-=<=-故1/41/41/4()100e(200)(1e )300e 20033.64E Y ---=⨯+-⨯-=-= (元).14.设X 1，X 2，…，X n 是相互独立的随机变量，且有E （X i ）=μ，D （X i ）=σ2，i =1，2，…，n ，记∑==n i i S X n X 12,1，S 2=∑=--n i i X X n 12)(11. （1） 验证)(X E =μ，)(X D =n2σ；（2） 验证S 2=)(11122∑=--ni i X n X n ； （3） 验证E （S 2）=σ2.【证】(1) 1111111()()().n nn i i i i i i E X E X E X E X nu u n n n n ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑g22111111()()n nn i i i i i i i D X D X D X X DX n nn ===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑g 之间相互独立2221.n n nσσ==g (2) 因222221111()(2)2nnnniii ii i i i i XX X X X X X nX X X ====-=+-=+-∑∑∑∑2222112nnii i i X nX X nX X nX ===+-=-∑∑g故22211()1ni i S X nX n ==--∑. (3) 因2(),()i i E X u D X σ==,故2222()()().i i i E X D X EX u σ=+=+同理因2(),()E X u D X nσ==,故222()E X u nσ=+.从而222221111()()[()()]11n ni i i i E s E X nX E X nE X n n ==⎡⎤=-=-⎢⎥--⎣⎦∑∑221222221[()()]11().1ni i E X nE X n n u n u n n σσσ==--⎡⎤⎛⎫=+-+=⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦∑g g15.对随机变量X 和Y ，已知D （X ）=2，D （Y ）=3，Cov(X ,Y )= -1,计算：Cov （3X -2Y +1，X +4Y -3）. 【解】Cov(321,43)3()10Cov(,)8()X Y X Y D X X Y D Y -++-=+- 3210(1)8328=⨯+⨯--⨯=- (因常数与任一随机变量独立，故Cov(X ,3)=Cov(Y ,3)=0,其余类似). 16.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=221,1,π0,.x y ⎧+≤⎪⎨⎪⎩其他试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的. 【解】设22{(,)|1}D x y x y =+≤.2211()(,)d d d d πx y E X xf x y x y x x y +∞+∞-∞-∞+≤==⎰⎰⎰⎰ 2π1001=cos d d 0.πr r r θθ=⎰⎰g同理E (Y )=0. 而 Cov(,)[()][()](,)d d X Y x E x y E Y f x y x y +∞+∞-∞-∞=--⎰⎰g222π1200111d d sin cos d d 0ππx y xy x y r r r θθθ+≤===⎰⎰⎰⎰, 由此得0XY ρ=,故X 与Y 不相关. 下面讨论独立性，当|x |≤1时，2212112()1.ππx X x f x y x --- 当|y |≤1时，2212112()1ππy Y y f y x y ---显然()()(,).X Y f x f y f x y ≠g故X和Y不是相互独立的.17.-1 0 1-111/8 1/8 1/81/8 0 1/81/8 1/8 1/8验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表X -1 0 1P 382838Y -1 0 1P 382838XY -1 0 1P 284828由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0,即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的.又331{1}{1}{1,1}888P X P Y P X Y=-=-=⨯≠==-=-g从而X与Y不是相互独立的.18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），ρXY.【解】如图，S D=12，故（X，Y）的概率密度为题18图2,(,),(,)0,x y Df x y∈⎧=⎨⎩其他.XY()(,)d d DE X xf x y x y =⎰⎰1101d 2d 3xx x y -==⎰⎰g22()(,)d d DE X x f x y x y =⎰⎰11201d 2d 6xx x y -==⎰⎰从而222111()()[()].6318D XE X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭同理11(),().318E Y D Y == 而 1101()(,)d d 2d d d 2d .12xDDE XY xyf x y x y xy x y x xy y -====⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以1111Cov(,)()()()123336X Y E XY E X E Y =-=-⨯=-g . 从而112XY ρ-===-19.设（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=1ππsin(),0,0,2220.x y x y ,⎧+≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩其他求协方差Cov （X ，Y ）和相关系数ρXY . 【解】π/2π/21π()(,)d d d sin()d .24E X xf x y x y x x x y y +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰g ππ2222201ππ()d sin()d 2.282E X x x x y y =+=+-⎰⎰g 从而222ππ()()[()] 2.162D XE X E X =-=+-同理 2πππ(),() 2.4162E Y D Y ==+- 又 π/2π/2π()d sin()d d 1,2E XY x xy x y x y =+=-⎰⎰故 2ππππ4Cov(,)()()()1.2444X Y E XY E X E Y -⎛⎫⎛⎫=-=--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g222222π4(π4)π8π164.πππ8π32π8π322162XYρ-⎛⎫- ⎪--+⎝⎭===-=-+-+-+-20.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4111，试求Z1=X -2Y和Z2=2X -Y的相关系数.【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.从而12()(2)()4()4Cov(,)1444113,()(2)4()()4Cov(,)414414,D Z D X Y D X D Y X YD Z D X Y D X D Y X Y=-=+-=+⨯-⨯==-=+-=⨯+-⨯=12Cov(,)Cov(2,2)Z Z X Y X Y=--2Cov(,)4Cov(,)Cov(,)2Cov(,)2()5Cov(,)2()215124 5.X X Y X X Y Y YD X X Y D Y=--+=-+=⨯-⨯+⨯=故12Z Zρ===21.对于两个随机变量V，W，若E（V2），E（W2）存在，证明：［E（VW）］2≤E（V2）E（W2）.这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy -Schwarz）不等式.【证】令2(){[]},.g t E V tW t R=+∈显然22220()[()][2]g t E V tW E V tVW t W≤=+=++222[]2[][],.E V t E VW t E W t R=++∀∈g g可见此关于t的二次式非负，故其判别式Δ≤0，即2220[2()]4()()E VW E W E V≥∆=-g2224{[()]()()}.E VW E V E W=-g故222[()]()()}.E VW E V E W≤g22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F（y）.【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间X ~E (λ),E (X )=1λ=5. 依题意Y =min(X ,2).对于y <0,f (y )=P {Y ≤y }=0. 对于y ≥2,F (y )=P (X ≤y )=1.对于0≤y <2,当x ≥0时，在(0,x )内无故障的概率分布为 P {X ≤x }=1 -e -λx ,所以F (y )=P {Y ≤y }=P {min(X ,2)≤y }=P {X ≤y }=1 -e -y/5.23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数Z 的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【解】（1） Z 的可能取值为0，1，2，3，Z 的概率分布为33336C C {}C k kP Z k -==g , 0,1,2,3.k =因此，()0123.202020202E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=(2) 设A 表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有30(){}{|}k P A P Z k P A Z k ====∑g191921310.202062062064=⨯+⨯+⨯+⨯= 24.假设由自动线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布N （μ,1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T （单位：元）与销售零件的内径X 有如下关系T =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤<-.12,5,1210,20,10,1X X X 若若若 问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？【解】(){10}20{1012}5{12}E T P X P X P X =-<+≤≤->{10}20{1012}5{12}(10)20[(12)(10)]5[1(12)]25(12)21(10) 5.P X u u P u X u u P X u u u u u u u u =--<-+-≤-≤--->-=-Φ-+Φ--Φ---Φ-=Φ--Φ--故2/2d ()25(12)(1)21(10)(1)0(()),d x E T u u x u ϕϕϕ-=-⨯---⨯-= 令这里得 22(12)/2(10)/225e 21eu u ----=两边取对数有2211ln 25(12)ln 21(10).22u u --=--解得 125111ln 11ln1.1910.91282212u =-=-≈(毫米)由此可得，当u =10.9毫米时，平均利润最大.25.设随机变量X 的概率密度为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤.,0,0,2cos 21其他πx x 对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于π/3的次数，求Y 2的数学期望.（2002研考）【解】令 π1,,3(1,2,3,4)π0,3i X Y i ⎧>⎪⎪==⎨⎪≤⎪⎩X .则41~(4,)i i Y Y B p ==∑.因为ππ{}1{}33p P X P X =>=-≤及π/30π11{}cos d 3222x P X x ≤==⎰,所以111(),(),()42,242i i E Y D Y E Y ===⨯=2211()41()()22D YE Y EY =⨯⨯==-,从而222()()[()]12 5.E Y D Y E Y =+=+=26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间T i (i =1,2)服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T =T 1+T 2的概率密度f T (t )，数学期望E （T ）及方差D （T ）. 【解】由题意知：55e ,0,()0,0t i t f t t -⎧≥=⎨<⎩.因T 1,T 2独立，所以f T (t )=f 1(t )*f 2(t ).当t <0时，f T (t )=0;当t ≥0时，利用卷积公式得55()5120()()()d 5e 5e d 25e tx t x t T f t f x f t x x x t +∞-----∞=-==⎰⎰g g故得525e ,0,()0,0.t T t t f t t -⎧≥=⎨<⎩ 由于T i ~E (5),故知E (T i )=15,D (T i )=125(i =1,2)因此，有E (T )=E (T 1+T 2)=25.又因T 1,T 2独立，所以D （T ）=D （T 1+T 2）=225. 27.设两个随机变量X ，Y 相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X -Y |的方差.【解】设Z =X -Y ，由于22~0,,~0,,22X N Y N ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且X 和Y 相互独立，故Z ~N （0，1）.因22()()(||)[(||)]D X Y D Z E Z E Z -==-22()[()],E Z E Z =-而22/2()()1,(||)||e d 2πz E Z D Z E Z z z +∞--∞===⎰ 2/202e d π2πz z z +∞-==所以 2(||)1πD X Y -=-. 28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p (0<p <1)，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X ，求E （X ）和D （X ）.【解】记q =1 -p ,X 的概率分布为P {X =i }=q i -1p ,i =1,2,…，故12111()().1(1)i ii i q p E X iq p p q p q q p ∞∞-=='⎛⎫'===== ⎪--⎝⎭∑∑ 又221211121()()i i i i i i E X i qp i i q p iq p ∞∞∞---=====-+∑∑∑2232211()12112.(1)ii q pq q pq p q p pq q p q p p p∞=''⎛⎫''=+=+⎪-⎝⎭+-=+==-∑所以 22222211()()[()].p pD XE X E X p p p--=-=-=题29图29.设随机变量X 和Y 的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布.（如图），试求随机变量U =X +Y 的方差. 【解】D (U )=D (X +Y )=D (X )+D (Y )+2Cov(X ,Y )=D (X )+D (Y )+2[E (XY ) -E (X )·E (Y )]. 由条件知X 和Y 的联合密度为2,(,),(,)0,0.x y G f x y t ∈⎧=⎨<⎩ {(,)|01,01,1}.G x y x y x y =≤≤≤≤+≥ 从而11()(,)d 2d 2.X xf x f x y y y x +∞-∞-===⎰⎰因此11122300031()()d 2d ,()2d ,22X E X xf x x x x E X x x =====⎰⎰⎰22141()()[()].2918D XE X E X =-=-=同理可得 31(),().218E Y D Y ==1115()2d d 2d d ,12xGE XY xy x y x x y y -===⎰⎰⎰⎰541Cov(,)()()(),12936X Y E XY E X E Y =-=-=-g 于是 1121()().18183618D U D X Y =+=+-=30.设随机变量U 在区间[ -2,2]上服从均匀分布，随机变量X =⎩⎨⎧->-≤-，U ，U 1,11,1若若 Y =⎩⎨⎧>≤-.1,11,1U ，U 若若试求（1）X 和Y 的联合概率分布；（2）D （X +Y ）.【解】（1） 为求X 和Y 的联合概率分布，就要计算（X ，Y ）的4个可能取值( -1, -1),( -1,1),(1, -1)及(1,1)的概率.P {x = -1,Y = -1}=P {U ≤ -1,U ≤1}112d d 1{1}444x x P U ---∞-=≤-===⎰⎰P {X = -1,Y =1}=P {U ≤ -1,U >1}=P {∅}=0, P {X =1,Y = -1}=P {U > -1,U ≤1}11d 1{11}44x P U -=-<≤==⎰21d 1{1,1}{1,1}{1}44x P X Y P U U P U ===>->=>=⎰. 故得X 与Y 的联合概率分布为(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(,)~1110424X Y ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (2) 因22()[()][()]D X Y E X Y E X Y +=+-+,而X +Y 及（X +Y ）2的概率分布相应为202~111424X Y -⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦, 24()~1122X Y ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 从而11()(2)20,44E X Y +=-⨯+⨯= 211[()]042,22E X Y +=⨯+⨯=所以22()[()][()] 2.D X Y E X Y E X Y +=+-+= 31.设随机变量X 的概率密度为f (x )=x-e 21，（ -∞<x <+∞） (1) 求E （X ）及D （X ）；（2） 求Cov(X ,|X |),并问X 与|X |是否不相关？ （3） 问X 与|X |是否相互独立，为什么？【解】(1)||1()e d 0.2x E X x x +∞--∞==⎰g 2||201()(0)e d 0e d 2.2x xD X x x x x +∞+∞---∞=-==⎰⎰g(2) Cov(,|)(||)()(||)(||)X X E X X E X E X E X X =-=g g g ||1||e d 0,2x x x x +∞--∞==⎰g所以X 与|X |互不相关.(3) 为判断|X |与X 的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域-∞<x <+∞中的子区间（0,+∞）上给出任意点x 0，则有0000{}{||}{}.x X x X x X x -<<=<⊂<所以000{||}{} 1.P X x P X x <<<<<故由00000{,||}{||}{||}{}P X x X x P X x P X x P X x <<=<><<g得出X 与|X |不相互独立.32.已知随机变量X 和Y 分别服从正态分布N （1，32）和N （0，42），且X 与Y 的相关系数ρXY = -1/2，设Z =23YX +. （1） 求Z 的数学期望E （Z ）和方差D （Z ）； （2） 求X 与Z 的相关系数ρXZ ；（3） 问X 与Z 是否相互独立，为什么？ 【解】(1) 1().323X Y E Z E ⎛⎫=+=⎪⎝⎭ ()2Cov ,3232XY X Y D Z D D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11119162Cov(,),9432X Y =⨯+⨯+⨯⨯ 而1Cov(,)3462XY X Y ρ⎛⎫==-⨯⨯=- ⎪⎝⎭所以 1()146 3.3D Z =+-⨯= (2) 因()()11Cov(,)Cov ,Cov ,Cov ,3232X Y X Z X X X X Y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 119()(6)3=0,323D X =+⨯-=- 所以 0.XZ ρ==(3) 由0XZ ρ==，得X 与Z 不相关.又因1~,3,~(1,9)3Z N X N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以X 与Z 也相互独立.33.将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 表示正面向上和反面向上的次数.试求X 和Y 的相关系数XY ρ.【解】由条件知X +Y =n ，则有D （X +Y ）=D （n ）=0.再由X ~B (n ,p ),Y ~B (n ,q )，且p =q =12, 从而有 ()()4nD X npq D Y ===所以 0()()()2()()XY D X Y D X D Y D X D Y ρ=+=++g 2,24XY n nρ=+g 故XY ρ= -1. 34. -1 0 10 10.07 0.18 0.15 0.08 0.32 0.20试求X 和Y 【解】由已知知E (X )=0.6,E (Y )=0.2，而XY 的概率分布为YX -1 0 1 P 0.080.720.2所以E （XY ）= -0.08+0.2=0.12Cov(X ,Y )=E (XY ) -E (X )·E (Y )=0.12 -0.6×0.2=0从而 XY ρ=035.对于任意两事件A 和B ，0<P (A )<1，0<P (B )<1,则称ρ=())()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P ⋅-为事件A 和B 的相关系数.试证：（1） 事件A 和B 独立的充分必要条件是ρ=0； （2） |ρ|≤1. 【证】（1）由ρ的定义知，ρ=0当且仅当P (AB ) -P (A )·P (B )=0.而这恰好是两事件A 、B 独立的定义，即ρ=0是A 和B 独立的充分必要条件. (2) 引入随机变量X 与Y 为1,,0,A X A ⎧⎪=⎨⎪⎩若发生若发生;1,,0,B Y B ⎧⎪=⎨⎪⎩若发生若发生.由条件知，X 和Y 都服从0 -1分布，即01~1()()X P A P A ⎧⎨-⎩ 01~1()()Y P B P B ⎧⎨-⎩从而有E (X )=P (A ),E (Y )=P (B ),D (X )=P (A )·P (A ),D (Y )=P (B )·P (B ),Cov(X ,Y )=P (AB ) -P (A )·P (B )所以，事件A 和B 的相关系数就是随机变量X 和Y 的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|ρ|≤1. 36. 设随机变量X 的概率密度为YXf X (x )=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-.,0,20,41,01,21其他x x令Y =X 2，F （x ,y ）为二维随机变量（X ，Y ）的分布函数，求：(1) Y 的概率密度f Y (y )； (2) Cov(X ,Y );(3)1(,4)2F -. 解： (1) Y 的分布函数为2(){}{}Y F y P Y y P X y =≤=≤.当y ≤0时， ()0Y F y =，()0Y f y =； 当0＜y ＜1时，(){{0}{0Y F y P X P X P X =≤≤=≤<+≤≤=，()Y f y =；当1≤y <4时，1(){10}{02Y F y P X P X =-≤<+≤≤=+()Y f y =；当y ≥4时，()1Y F y =，()0Y f y =. 故Y 的概率密度为1,()04,0,.Y y f y y <<=≤<⎪⎩其他(2) 0210111()()d d d 244+X E X =xf x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--, 02222210115()()()d d d )246+X E Y =E X =x f x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--, 02233310117()()()d d d 248+X E XY =E Y =x f x x x x x x ∞∞=+=⎰⎰⎰--, 故 Cov(X,Y ) =2()()()3E XY E X E Y =⋅-.。
概率与统计分布函数测试题
概率与统计分布函数测试题1. 设随机变量X服从正态分布，均值为μ，标准差为σ。
求P(X <a)。
2. 设一公交车站的候车时间X（单位：分钟）服从指数分布，参数λ = 0.1。
求P(X > a)。
3. 设随机变量X服从均匀分布，区间为[a,b]。
求P(X > c)。
4. 设随机变量X服从泊松分布，参数λ = 2。
求P(X ≤ a)。
5. 设随机变量X服从二项分布，其中n = 10，p = 0.3。
求P(X ≥ a)。
6. 设随机变量X服从伽玛分布，参数α = 2，β = 3。
求P(X < a)。
7. 设随机变量X服从对数正态分布，参数μ = 1，σ = 0.5。
求P(X >a)。
8. 设随机变量X服从负二项分布，其中r = 3，p = 0.4。
求P(X ≤ a)。
9. 设随机变量X服从柯西分布，参数μ = 1，γ = 2。
求P(X ≥ a)。
10. 设随机变量X服从指数分布，参数λ = 0.2。
求P(a < X < b)。
11. 设随机变量X服从正态分布，均值为μ，标准差为σ。
求P(a <X < b)。
12. 设随机变量X服从均匀分布，区间为[a,b]。
求P(X < c)。
13. 设随机变量X服从泊松分布，参数λ = 3。
求P(a ≤ X ≤ b)。
14. 设随机变量X服从二项分布，其中n = 8，p = 0.6。
求P(a < X <b)。
15. 设随机变量X服从伽玛分布，参数α = 3，β = 2。
求P(X ≥ a)。
这些是概率与统计分布函数的测试题，通过对不同分布函数的概率求解，可以考察对于这些分布函数的理解和应用。
根据不同的题目，我们可以采用相应的公式和方法来计算概率。
在解答这些题目时，首先需要了解各个分布函数的特点和参数含义。
然后，根据题目要求，确定所需求的概率范围，使用对应的分布函数公式进行计算。
为了更好地理解和应用这些概率与统计分布函数的知识，可以利用统计软件或计算器来进行计算。
概率与统计中的分布函数练习题及解析
概率与统计中的分布函数练习题及解析Introduction:概率与统计是数学中非常重要的分支，它研究了事件发生的可能性以及数据的收集、分析和解释方法。
在概率与统计中，分布函数是一个关键概念，它描述了随机变量取值的概率分布。
在本文中，我们将介绍一些与分布函数相关的练习题，并给出解析。
Exercise 1:假设随机变量X服从正态分布N(1,4)，计算P(X > 3)。
Solution 1:正态分布的分布函数可以用标准正态分布的累积分布函数来表示。
由于X服从N(1,4)，我们可以将其标准化为Z=(X-μ)/σ，其中μ为均值，σ为标准差。
对于本题，μ=1，σ=2。
现在我们需要计算P(X > 3)，即计算Z > (3-1)/2=1 的概率。
根据标准正态分布表，我们可以得到P(Z > 1)≈0.1587。
因此，P(X > 3)≈0.1587。
Exercise 2:某商店销售的某种商品的重量服从均值为10千克，标准差为0.5千克的正态分布。
如果从该商店购买一件此商品，求它重量大于10.5千克的概率。
Solution 2:根据题意，我们可以将问题转化为计算随机变量X大于10.5千克的概率，其中X服从N(10, 0.5^2)。
再次利用标准化方法，我们得到Z=(X-μ)/σ=(X-10)/0.5。
现在需要计算P(Z > (10.5-10)/0.5)=P(Z > 1)。
根据标准正态分布表，P(Z > 1)≈0.1587。
因此，购买的商品重量大于10.5千克的概率约为0.1587。
Exercise 3:随机变量X服从指数分布Exp(2)，计算P(X > 3)。
Solution 3:指数分布的分布函数为F(x)=1-exp(-λx)，其中λ=1/均值。
由于X服从Exp(2)，均值为1/2。
现在我们需要计算P(X > 3)，即计算1-F(3)。
代入公式，我们得到1-(1-exp(-1.5))≈0.2231。
1mxt-概-率测试--学习.探究.诊断(必修3)
单元测试四 概率一、选择题1．某班有男生25人，其中1人为班长；女生15人．现从该班选出1人，作为该班的代表参加座谈会，有下列说法：①选到1人为班长的概率是401；②选到1人是男生的概率为251；③选到1人是女生的概率为151；④在女生中选到1人是班长的概率为0．其中正确的是( ) A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①④ 2．对满足A B 的非空集合A 、B 有下列四个命题，其中正确命题的个数是( ) ①若任取A x ∈，则B x ∈是必然事件 ②若A x ∈，则B x ∈是不可能事件 ③若任取B x ∈，则A x ∈是随机事件 ④若B x ∉，则A x ∉是必然事件 A ．4 B ．3 C ．2 D ．13．设集合P ＝{a 1，a 2，a 3，…，a 10}，则从集合P 的全部子集中任取一个，所取的含有3个元素的子集的概率是( ) A ．103 B ．121 C ．6445 D ．12815 4．有100件产品，其中有5件不合格品．从中有放回地连抽两次，每次抽1件，则第一次抽到不合格品，第二次抽到合格品的概率为( ) A ．2019 B ．20019C ．40019D ．10019 5．用1，2，3，4这四个数字组成无重复数字的四位数，这四位数恰为奇数的概率是( ) A ．21 B ．41 C ．61 D ．81 6．下列事件中，随机事件的个数为( ) ①明天是阴天；②方程x 2＋2x ＋5＝0有两个不相等的实根； ③明年长江武汉段的最高水位是29.8米； ④一个三角形的大边对小角，小边对大角． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7．抛掷两颗骰子，所得的两个点数中一个恰是另一个的两倍的概率为( ) A ．41 B ．61 C ．81 D ．121 8．一人在打靶中，连续射击两次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是( ) A ．至多有一次中靶 B ．两次都中靶 C ．两次都未中靶 D ．只有1次中靶 9．3名学生排成一排，其中甲、乙两人站在一起的概率是( ) A ．61 B ．31 C ．21 D ．32 10．若从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为( )A ．54 B ．53 C ．52 D ．51 11．某商场开展促销抽奖活动，摇奖器摇出的一组中奖号码是6，5，2，9，0，4．参加抽奖的每位顾客从0，1，…，9这十个号码中抽出六个组成一组(没有重复数字)．如果顾客抽出的六个号码中至少有5个与摇奖器摇出的号码相同(不计顺序)就可以得奖，某位顾客可能获奖的概率是( )A ．421 B ．301 C ．354 D ．425 12．有80个数，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两数，则所取的两数和为偶数的概率为( )A ．7939 B ．801 C ．21 D ．8141 二、填空题13．袋中装有100个大小相同的红球、白球和黑球，从中任取一球，摸出红球、白球的概率各是0.40和0.35，那么黑球共有_______个．14．在两根相距6m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂盏灯，则灯与两端距离大于2m 的概率是_______．15．某射手在一次射击中射中10环，9环，8环的概率分别为0.24，0.28，0.19，那么此射手一次射击不够8环的概率为______．16．如图，假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率分别为_____．三、解答题17．取一个边长为a 的正方形，如图所示，随机地向正方形内丢一粒沙子，求沙子落入阴影部分的概率．18医生人数 0 1 2 3 4 5(包括5)以上概率0.10.160.20.30.20.04求：(1)(2)派出医生至少2人的概率．19．把编号为1到6的六个小球，平均分到三个不同的盒子内，求：(1)每盒各有一个奇数号球的概率； (2)有一个盒全是偶数号球的概率．20．深夜，一辆马车被扯进一起交通事故，该城市有两家马车公司——蓝色马车公司和绿色马车公司，其中绿色马车公司和蓝色马车公司的马车分别占整个城市马车的85％和15％．据现场目击证人说，事故现场的马车是蓝色的，并对证人的辨别能力作了测试，测得他的正确辨认率是80％，于是警察就认定蓝色马车具有较大的肇事嫌疑．请问上述认定对蓝色马车公平吗？21．为了调查野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员某天逮到这种动物1200只做好标记后放回，经过一星期后，只逮到这种动物1000只，其中有做过标记的100只，按概率方法估算，保护区内有这种动物多少只？22．用三种不同的颜色给3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：(1)3个矩形颜色都相同的概率；(2)3个矩形颜色都不同的概率．测试卷参考答案单元测试四 概率一、选择题 1．D2．C 解析：①③正确．3．D 解析：12815212021010310===C P .4．C 解析：第一次抽到不合格品，第二次抽到合格品的概率为：40019100100955=⨯⨯=P ． 5．A6．B 解析：是①③．7．B 解析：抛掷两枚骰子出现的可能结果有6×6＝36个，所得的两个点数中一个恰是另一个的两倍，包含(1，2)，(2，4)，(3，6)，(2，1)，(4，2)，(6，3)6个基本事件，故所求概率为61366=． 8．C 解析：试验可能出现的结果有“两次都未可靶”，“恰有一次中靶”，“两次都中靶”，所以“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都未中靶”．故选C ．9．D 解析：记3名学生为甲、乙、丙，则Ω＝{甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲}．“甲、乙两人站在一起”的可能结果有“甲乙丙”、“丙甲乙”、“乙甲丙”、“丙乙甲”4种．所以甲、乙两人站在一起的概率3264==P ．故选D ． 10．C 解析：任意取两个不同数字组成两位数共有20个结果，组成的两位数大于40的数共有8个结果，所以所求概率为52208==P ．故选C ． 11．D 解析：十个号码中抽出六个组成一组共有210种情况．抽出的六个号码中至少有5个与遥控器摇出的号码相同共有24＋1＝25种情况．所以某位顾客可能获奖的概率为：42521025==P ，故选D ． 12．A 解析：80个数中任取2个数共有21×80×79＝3160种，两数和为偶数共有2×21×40×39＝156(种)．所以所取两数和为偶数的概率为793931601560==P ．故选A ．二、填空题13．25 解析：由题意知，摸出黑球的概率为P ＝1－0.40－0.35＝0.25．所以黑球共有100×0.25＝25个． 14．31解析：如图，要使灯与两端都大于2m ，则灯应挂在区间(2，4)，所以灯与两端距离都大于2m 的概率为3162=．数形结合确定灯应挂在区间(2，4)内，相应的长度之比即为所求．15．0.29 解析：“不够8环”的对立事件是“射中8环，9环，10环”，所以射手在一次射击不够8环的概率P ＝1－0.24－0.28－0.19＝0.29． 16．π1，83解析：这是几何概型问题，在平面上随机撒一粒黄豆，那么黄豆既可能落在阴影部分内，也可能落在圆内空白区域，并且落在每一点的可能性是一样的，只有落在阴影部分内才说明事件A 发生．①π1π)(22===a a A P 圆的面积三角形的面积； ②83)(==圆的面积三个扇形的面积A P ．三、解答题17．解：记“沙子落入阴影部分”为事件A ，则正方形面积阴影部分面积==ΩA A P μμ)(． 由题意知2222π4)222116π(8..a a a a a s -=-⨯-=阴影部分，∴2π42π4)(22-=-=a aA P ． 18．解：设事件A ：“不派出医生”；事件B ：“派出1名医生”；事件C ；“派出2名医生”；事件D ：“派出3名医生”；事件E ：“派出4名医生”；事件F ：“派出5名(包括5名)以上医生”．因为事件A ，B ，C ，D ，E ，F 彼此互斥，且P (A)＝0.1，P (B)＝0.16，P (C)＝0.2，P (D)＝0.3，P (E )＝0.2，P (F )＝0.04，所以 (1)“派出医生至多2人的概率”为：P (A ∪B ∪C )＝P (A)＋P (B)＋P (C)＝0.1＋0.16＋0.2＝0.46；(2)“派出医生至少2人”的概率为：P (C ∪D ∪E ∪F )＝P (C)＋P (D)＋P (E )＋P (F )＝0.2＋0.3＋0.2＋0.04＝0.74．19．解：由题意知6个球平均分到3个不同的盒子中共有90种结果．设事件A 为“每盒各有一个奇数号码”，B 为“有一个盒全是偶数号”．(1)每盒各有一个奇数号球的结果是36种．所以529036)(==A P ； (2)有一盒全为偶数号的结果有54种，所以539054)(==B P ． 20从表中可知，当证人说马车是蓝色，而它确实是蓝色的概率为41.0290120≈，而它是绿色的概率是290170≈0.59，故这种认定是不公平的． 21．解：逮到这种动物1000只，做过标记的有100只，则有标记的动物出现的概率为：1011000100)(==A P ． 而当初做标记的野生动物共1200只，设保护区内有这种动物n 只． ∵nA P 1200101)(==， ∴n ＝12000．即估算保护区内有这种动物12000只．22．解：按涂色顺序记录结果(x ，y ，z )．由于是随机的，x 有3种涂法，y 有3种涂法，z有3种涂法，所以试验的所有结果有33＝27种． (1)设事件A 为“3个矩形颜色相同”．则事件A 包含的基本事件共有3个．即都涂第一种颜色，都涂第二种颜色，都涂第三种颜色．因此，事件A 的概率是91273)(==A P ；(2)设事件B 为“3个矩形颜色都不相同”，其可能的结果是(x ，y ，z )，(x ，z ，y )，(y ，x ，z )，(y ，z ，x )，(z ，x ，y )，(z ，y ，x )6种，因此事件B 的概率是92276)(==B P ．。
02mxt-概率统计复习资料
7 8 994 4 6 4 7 3概率统计一选择题1．(2008学年第一学期十校高三期末联考数学试题（文）)在三棱锥的六条棱中任意选择两条,则这两条棱是一对异面直线的概率为（ ）A ．201B ．151C ．51D ．61 答案：C2．（台州市2008学年第一学期理文）用2、3、4组成无重复数字的三位数，这些数被4整除的概率是B A ．12B ．13C ．14D ．153．（宁波市2008学年度第一学期高三期末数(文)）10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有 Ａ．c b a >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．a b c >> 答案：D4．(2008学年第一学期十校高三期末联考数学试题（文理）)某校举行2008年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如下茎叶统计图， 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 （ ）A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，1.6D ．85，4 （第4题） 答案：C5.(2008学年第一学期十校高三期末联考数学试题（）) 某校举行2008年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如下茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 （ ）.A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，1.6D ．85，46．（宁波市2008学年度第一学期高三期末数(文)）在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为 A ．35 B ．125C ．65 D ．185答案：B二、填空题1.（浙江省杭州市2009年）某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是 ；众数是 . 23；232.为了解温州地区新高三年级男生的身高情况，从其中的一个学校选取容量为60的样本(60名男生的身高，单位：cm)，分组情况如下：则表中的=m ，=a 。
概率分布练习题均匀和正态分布
概率分布练习题均匀和正态分布概率分布练习题：均匀和正态分布一、均匀分布练习题题目1：某餐厅接待的顾客用餐时间服从一个均匀分布，其中午时段的用餐时间在12分钟至30分钟之间。
现假设该时间段内顾客用餐时间的概率密度函数为f(x)，请计算以下几种情况的概率：1）顾客用餐时间不超过20分钟的概率。
2）顾客用餐时间超过25分钟的概率。
3）顾客用餐时间在15分钟至25分钟之间的概率。
解答：1）顾客用餐时间不超过20分钟的概率。
设顾客用餐时间为X，X的取值范围为12至30分钟。
由于均匀分布的概率密度函数为恒定值，即f(x) = 1 / (b - a)，其中a 为最小值，b为最大值。
所以，计算概率为积分求解，即P(X ≤ 20) = ∫[12, 20] f(x) dx。
计算得，P(X ≤ 20) = (20 - 12) / (30 - 12) = 8 / 18 ≈ 0.444。
2）顾客用餐时间超过25分钟的概率。
计算概率为P(X > 25) = ∫[25, 30] f(x) dx。
计算得，P(X > 25) = (30 - 25) / (30 - 12) = 5 / 18 ≈ 0.278。
3）顾客用餐时间在15分钟至25分钟之间的概率。
计算概率为P(15 ≤ X ≤ 25) = ∫[15, 25] f(x) dx。
计算得，P(15 ≤ X ≤ 25) = (25 - 15) / (30 - 12) = 10 / 18 ≈ 0.556。
题目2：某电商平台上某商品的价格服从一个均匀分布，价格区间为200元至500元。
现假设该商品价格的概率密度函数为f(x)，求以下几种情况的概率：1）该商品的价格大于300元的概率。
2）该商品的价格在250元至400元间的概率。
解答：1）该商品的价格大于300元的概率。
设商品价格为X，X的取值范围为200至500元。
由于均匀分布的概率密度函数为恒定值，即f(x) = 1 / (b - a)，其中a 为最小值，b为最大值。
第六章 概率与概率分布练习题
第六章 概率与概率分布一、填空1．用古典法求算概率．在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它假设（机会均等 ）。
2．分布函数)(x F 和)(x P 或ϕ)(x 的关系，就像向上累计频数和频率的关系一样。
所不同的是，)(x F 累计的是（概率 ）。
3．如果A 和B （互斥 ），总合有P(A/B)＝P 〔B/A 〕＝0。
4．（大数定律 ）和（ 中心极限定理 ）为抽样推断提供了主要理论依据。
6．抽样设计的主要标准有（最小抽样误差原则 ）和（最少经济费用原则 ）。
7．在抽样中，遵守（随机原则 ）是计算抽样误差的先决条件。
9．若事件A 和事件B 不能同时发生，则称A 和B 是（互斥 ）事件。
10．在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是（1/4 ）；在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是（ 1/52 ）。
二、单项选择1．随机试验所有可能出现的结果，称为（ D ）。
A 基本事件； B 样本；C 全部事件；D 样本空间。
2.在次数分布中，频率是指（ ）A.各组的频率相互之比B.各组的分布次数相互之比C.各组分布次数与频率之比D.各组分布次数与总次数之比 3．若不断重复某次调查，每次向随机抽取的100人提出同一个问题，则每次都能得到一个回答“是”的人数百分数，这若干百分数的分布称为：（ D ）。
A ．总体平均数的次数分布B ．样本平均的抽样分布C ．总体成数的次数分布D ．样本成数的抽样分布 4．以等可能性为基础的概率是（A ）。
A 古典概率；B 经验概率；C 试验概率；D 主观概率。
5．古典概率的特点应为（ A ）。
A 基本事件是有限个，并且是等可能的；B 基本事件是无限个，并且是等可能的；C 基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性；D 基本事件是无限的，但可以是具有不同的可能性。
6．任一随机事件出现的概率为（ D ）。
A 在–1与1之间；B 小于0；C 不小于1；D 在0与1之间。
概率计算二数的概率分布练习题
概率计算二数的概率分布练习题在概率论中，计算事件发生的概率是一个重要的问题。
通过概率计算，我们可以了解某个事件发生的可能性大小。
在本文中，我们将探讨一些关于二数概率分布的练习题，以巩固对概率计算的理解。
题目一：某厂生产的某类产品中，每一件产品的生命周期（以天计）服从正态分布，均值为30天，标准差为5天。
现从该厂抽取6件产品，请计算这6件产品的生命周期之和不超过180天的概率。
解答一：设X为一件产品的生命周期，则X服从均值为30，标准差为5的正态分布。
令Y为6件产品的生命周期之和，则Y的均值为6 * 30 = 180，标准差为sqrt(6) * 5 ≈ 12.25。
我们需要计算P(Y ≤ 180)。
根据中心极限定理，当n足够大时，X的和服从近似正态分布。
在这个问题中，n为6，已足够大。
标准化Y，得到Z = (Y - 180) / 12.25。
我们可以使用标准正态分布表或计算工具来查找P(Z ≤ 0)的值。
根据查表，P(Z ≤ 0) ≈ 0.5。
因此，这6件产品的生命周期之和不超过180天的概率约为0.5。
题目二：某地区每天发生的车辆事故数量服从泊松分布，平均每天发生3起事故。
现在考察在连续3天内发生不超过2起事故的概率。
解答二：设X为某天发生的车辆事故数量，则X服从参数为λ = 3的泊松分布。
令Y为连续3天内发生的车辆事故数量之和，则Y服从参数为3λ = 9的泊松分布。
我们需要计算P(Y ≤ 2)。
使用泊松分布的概率质量函数计算P(Y ≤ 2)，得到P(Y ≤ 2) ≈ P(Y = 0) + P(Y = 1) + P(Y = 2)。
P(Y = 0) = e^(-9) * (9^0) / 0! ≈ 0.0001234P(Y = 1) = e^(-9) * (9^1) / 1! ≈ 0.001111P(Y = 2) = e^(-9) * (9^2) / 2! ≈ 0.004999因此，连续3天内发生不超过2起事故的概率约为0.0062334。
探索概率与统计随机变量与概率分布练习题
探索概率与统计随机变量与概率分布练习题在概率与统计的学习中，随机变量与概率分布是重要的概念和工具。
随机变量是随机事件结果的数值描述，而概率分布则描述了随机变量取各个值的概率。
为了更好地掌握这些概念，以下将给出几个探索概率与统计的随机变量与概率分布的练习题。
题目一：某公司招聘的应聘者中，有60%是男性，40%是女性。
现在随机选择5个应聘者，问至少有一个女性的概率是多少？解析：根据题目可知，应聘者的性别是一个随机变量，男性的概率为0.6，女性的概率为0.4。
现在需要计算至少有一个女性的概率，我们可以利用概率的补集来计算。
首先，计算一个女性都没有的概率。
根据乘法原理，选择5个男性的概率为(0.6)^5 = 0.07776。
然后，通过概率的补集，可以得到至少有一个女性的概率为1-0.07776 = 0.92224。
综上所述，至少有一个女性的概率为0.92224。
题目二：某学校的学生身高数据服从正态分布，均值为170cm，标准差为5cm。
现在随机选择一个学生，问他身高在165cm到175cm之间的概率是多少？解析：根据题目可知，学生的身高是一个随机变量，服从正态分布，均值为170cm，标准差为5cm。
现在需要计算身高在165cm到175cm之间的概率。
首先，计算标准差对应的Z值。
Z = (175 - 170) / 5 = 1，Z = (165 - 170) / 5 = -1。
然后，查找标准正态分布表或使用统计软件计算Z值对应的概率。
查找表格可知，Z = 1 对应的概率为0.8413，Z = -1 对应的概率为0.1587。
所以，身高在165cm到175cm之间的概率为0.8413 - 0.1587 = 0.6826。
综上所述，身高在165cm到175cm之间的概率为0.6826。
题目三：某地区中学生骑自行车上学的时间服从指数分布，平均时间为30分钟。
现在随机选择一个学生，问他上学时间不超过40分钟的概率是多少？解析：根据题目可知，学生的上学时间是一个随机变量，服从指数分布，平均时间为30分钟。
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概率思考题
1．有一种体育彩票的中奖规则时所选号码和顺序与摇奖结果一致。
每个位置上的中奖号码时0~9这十个数字中随机摇出的。
某期体育彩票摇奖现场的电视节目主持人说：“今年体育彩票开奖以来，在这个位置上，2这个数字出现了27次，是出现概率最大的数字“。
请问，该主持人的说法是否正确？
2．怎样理解频率和概率的关系？频率的极限是概率吗？
3．概率的三种定一个有什么应用场合和局限性？
4．全概率公式和逆概率公式分别用于什么场合？
5．离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布的描述有些什么不同？
6．两个随机事件的独立性意味着什么？协方差和相关系数由何关系？
7．二项分布和超级和分布的适用场合有什么不同？它们的均值和方差有什么区别？
8．正态分布所描述的随机现象有什么特点？为什么许多随机现象服从或近似服从正态分布？
9．对于同一险种，为什么投保人越多，保险公司的相对风险越小？
练习题
1．某技术小组有12人，他们的性别和职称如下表所示。
现要产生一名幸运者。
试求这位幸运者分别是以下几种可能的概率：（1）女性；（2）工程师；（3）女工程师；（4）女性或工程师。
3．某种零件加工必须以此经过三道工序，从以往大量的生产纪录得知，第一、第二、第三道工序的次品率分别是0.2，0.1，0.1,并且每道工序是否产生次品与其他工序无关。
试求这种零件的次品率。
4．已知参加某项考试的全部人员合格的占80%，在合格人员中成绩优秀的只占15%。
试求任一参加考试人员成绩优秀的概率。
5．设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9？
6．已知某地区男子寿命超过55岁的概率为84%，超过70岁的概率为63%。
试求任一位刚过55岁生日的男子将会活到70岁以上的概率为多少。
7．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。
则第二次取出的是次品的概率为多少？
8．某公司从甲乙丙三个企业采购了同一种产品，采购数量分别占总采购量的25%、30%和45%。
这三个企业产品的次品率分别为4%、5%、3%。
如果从这些产品中随机抽出以一件，试问：（1）抽出次品的概率是多少；（2）若发现抽出的产品是次品，则该产品来自丙厂的概率是多少？
9．一袋中装有m枚正品硬币，n枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中任取一枚，已知将它投掷r次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？
10．设M件产品中有件次品，从中任取两件，已知所取两件中有一件不是次品，则另
一件是次品的概率是多少？
11．一盒中有编号为1，2，3，4，5的五个球，从中随机地取3个，用X表示取出的3个球中的最大号码., 试写出X的分布律.
12．某商场某销售区域有6种商品。
假如每一小时内每种商品需要12分钟的咨询服务，而且每种商品是否需要咨询服务是相互独立的。
试求：（1）在同一时刻需要咨询的上品种数的均值是多少？（2）若该销售区域仅配有2名服务员，则因服务员不足而不能提供咨询服务的概率是多少？
13．某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从λ=4的泊松分布，求
(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率；(3)每分钟最多有
1次呼叫的概率
14．一社区里15％的家庭没有孩子, 20％的家庭有1个孩子, 35％的家庭有2个孩子, 30％的家庭有3个孩子;假定每个家庭中任意一个孩子是男孩或女孩的机会相等且独立,如果从该社区随机选一个家庭,(1)求该家庭女孩数为1的概率.(2)已知该家庭只有一个女孩,求该家庭有2个孩子的概率.
15．某企业生产的某种电池寿命近似服从正态分布，且均值为200小时，标准差为30小时。
若规定寿命低于150小视为不合格品，试求：（1）该企业生产的电池的合格率是多少？（2）该企业生产的电池的寿命在200左右的多大范围内的概率不小于0.9. 16．假设打一次电话所用时间（单位：分）X服从参数为λ=0.2的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟到20分钟的概率。
17．一学校有5000名在校生，期末时每人以60%的概率去自习教室上自习，问自习教室至少设多少个座位，才能以97%的概率保证上自习的同学都有座位?
18．一批元件的寿命（以小时计）服从参数为0.004的指数分布，现有元件30只，一只在用，其余29只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求30只元件至少能使用一年（8760小时）的近似概率。