《微积分初步》期末复习资料
微积分初步例题和知识点总结
微积分初步例题和知识点总结微积分是数学中的重要分支，它在物理学、工程学、经济学等众多领域都有着广泛的应用。
下面将为大家介绍微积分初步的一些知识点，并通过具体例题来加深理解。
一、函数与极限函数是微积分的基础概念之一。
函数表示了两个变量之间的对应关系。
例如，y ＝ f(x) ＝ x²就是一个简单的二次函数。
极限是微积分中的重要概念。
如果当 x 无限趋近于某个值 a 时，函数 f(x) 无限趋近于一个确定的值 L，那么我们就说当 x 趋近于 a 时，函数 f(x) 的极限是 L，记作：lim(x→a) f(x) ＝ L 。
例题 1求lim(x→2) （x² 4) ／（x 2)解：对式子进行化简可得：lim(x→2) （x² 4) ／（x 2) ＝lim(x→2) （x ＋ 2)（x 2) ／（x 2)＝lim(x→2) （x ＋ 2) ＝ 4二、导数导数表示函数在某一点的变化率。
对于函数 y ＝ f(x) ，其导数记为 f'（x) 。
常见函数的导数公式有：（xⁿ)＇＝nxⁿ⁻¹，（sin x)＇＝ cos x ，（cos x)＇＝ sin x 等。
例题 2求函数 y ＝ x³的导数解：根据导数公式（xⁿ)＇＝nxⁿ⁻¹，可得 y' ＝ 3x²三、导数的应用导数可以用于求函数的单调性、极值和最值。
如果 f'（x) ＞ 0 ，则函数在该区间单调递增；如果 f'（x) ＜ 0 ，则函数在该区间单调递减。
当 f'（x₀) ＝ 0 且 f'＇（x₀) ＜ 0 时，函数在 x₀处取得极大值；当f'（x₀) ＝ 0 且 f'＇（x₀) ＞ 0 时，函数在 x₀处取得极小值。
例题 3求函数 y ＝ x³ 3x²＋ 1 的单调区间和极值解：首先求导，y' ＝ 3x² 6x ，令 y' ＝ 0 ，解得 x ＝ 0 或 x ＝ 2 。
微积分初步课程期末复习(1)
《微积分》教学大纲（经济、管理类专科各专业）函数函数的概念;函数的几何性质; 反函数;基本初等函数;复合函数;初等函数。
极限与连续数列的极限;函数的极限;无穷小与无穷大;极限的运算。
极限存在准则,两个重要极限;无穷小的比较,等价无穷小。
函数连续的概念,间断点。
基本初等函数和初等函数的连续性。
闭区间上连续函数的最大值最小值定理及介值定理.曲线的渐近线。
导数与微分导数的概念及几何意义;基本初等函数的导数公式;函数的和、差、积、商的求导法则;复合函数的导数;隐函数的导数;对数求导法;高阶导数。
微分的概念;微分的运算法则。
微分中值定理导数的应用微分中值定理;洛必达法则。
函数的单调性;函数的极值;最大值、最小值及其应用问题。
曲线的凹向与拐点;函数作图。
边际概念与函数的弹性;极值的经济应用问题.不定积分原函数与不定积分的概念;基本积分公式与运算性质;换元积分法;分部积分法。
一阶微分方程.定积分及其应用定积分的概念及性质;变上限的定积分;微积分基本定理;牛顿—莱布尼兹公式。
定积分的换元积分法与分部积分法。
无限区间的广义积分;定积分在几何、经济中的应用。
多元函数微分学空间直角坐标系,曲面与方程,平面区域。
多元函数的基本概念;二元函数的极限与连续。
偏导数与全微分方程的概念;复合函数的微分法;隐函数的微分法。
二元函数的极值。
参考教材：高等教育出版社出版的《微积分》(刘书田冯翠莲编)中国人民大学出版社出版的《微积分》及其学习指导书大纲说明一、课程的性质、目的和任务本课程是经济管理类学生必修的基础理论课。
通过学习，使学生获得一元函数学微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能以及多元函数微分学的初步知识。
为学习后继课程奠定必要的数学基础，同时培养学生的自学能力，逐步学会用科学的方法解决问题。
二、课程的内容和基本要求理解下列基本概念以及它们之间的内在联系：函数、极限、连续、导数、微分、不定积分、微分方程、定积分、偏导数、全微分。
（完整版）微积分复习资料
（完整版）微积分复习资料基本知识复习⼀、不定积分1．不定积分概念，第⼀换元积分法（1）原函数与不定积分概念设函数()F x 与()f x 在区间(),a b 内有定义，对任意的(),x a b ∈，有()()'F x f x =或()()dF x f x dx =，就称()F x 是()f x 在(),a b 内的⼀个原函数。
如果()F x 是函数()f x 的⼀个原函数,称()f x 的原函数全体为()f x 的不定积分,记作()(),f x dx F x C =+?（2）不定积分得基本性质1．()()df x dx f x dx=?2。
()()'F x dx F x C =+? 3。
()()()().Af x Bg x dx A f x dx B g x dx +=+（3）基本不定积分公式表⼀()()122222(1)2)1,13ln C,x (4)arctan ,1(5)arcsin ,(6)cos sin ,(7)sin cos ,(8)sec tan ,cos (9)csc cot ,sin (10)sec t kdx kx C k x x dx C dx x dx x C x x C xdx x C xdx x C dx xdx x C x dx xdx x C x x µµµµ+=+=+≠-+=+=++=+=+=-+==+==-+是常数，（1（）22an sec ,(11)csc cot csc ,(12),ln (13),(14),1(15),1(16).xxxdx x C x xdx x C a a dx C ashxdx chx C chxdx shx C dx thx C ch x dx cthx C sh x =+=-+=+=+=+=+=-+（3）第⼀换元积分法（凑微分法）设()f u 具有原函数, ()u x ?=可导,则有换元公式()()()()'.u x f x x dx f u du =??=?2．第⼆换元积分法，分部积分法（1）第⼆换元积分法设()x t ψ=是单调的、可导的函数,并且()'0t ψ≠.⼜设()()'f t t ψψ具有原函数,则有换元公式()()()()1',t x f x dx f t t dt ψψψ-=??=其中()1x ψ-是()x t ψ=的反函数.（2）分部积分法设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数,那么,()''',uv u v uv =+移项,得 ()'''.uv uv u v =-对这个等式两边求不定积分,得''.uv dx uv u vdx =-??这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式:.udv uv vdu =-??（3）基本积分公式表⼆(2222(17)tan ln cos )cot ln sin ,sec ln sec tan C,(20)csc ln csc cot ,1(21)arctan ,1(22)ln ,2(23)arcsin ,(24)ln ,(2xdx x C xdx x C xdx x xdx x x C dx x C a x a a dx x adx C x a a x a xC a x C =-+=+=++=-+=++-=+-+=+=++，（18（19）5)ln .x C =+ （3）有理函数的积分，三⾓函数有理式的积分，某些简单⽆理式的积分⼀、有理函数的积分两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，⼜称为有理分式.我们总假定分⼦多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间是没有公因式的.当分⼦多项式()P x 的次数⼩于分母多项式()Q x 的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.利⽤多项式的除法,总可以将⼀个假分式化成⼀个多项式与⼀个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分⽅法.对于真分式()()n m P x Q x ,⾸先将()m Q x 在实数范围内进⾏因式分解,分解的结果不外乎两种类型:⼀种是()kx a -,另外⼀种是()2lx px q ++,其中,k l 是正整数且240p q -<;其次,根据因式分解的结果,将真分式拆成若⼲个分式之和.具体的做法是:若()m Q x 分解后含有因式()kx a -,则和式中对应地含有以下k 个分式之和:()()()122,k kA A A x a x a x a +++---L 其中:1,,k A A L 为待定常数.若()m Q x 分解后含有因式()2lx px q ++,则和式中对应地含有以下l 个分式之和:()()()11222222,l l l M x N M x N M x N x px q x px q x px q ++++++++++++L 其中:(),1,2,,i i M N i l =L 为待定常数.以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.⼆、可化为有理函数的积分举例例4 求()1sin .sin 1cos xdx x x ++?解由三⾓函数知道,sin x 与cos x 都可以⽤tan2x的有理式表⽰,即 222222222tan 2tan22sin 2sin cos ,22sec 1tan 221tan 1tan 22cos cos sin .22sec 1tan 22x x x x x x xx xx x x x x ===+--=-==+如果作变换()tan2xu x ππ=-<<,那么 22221sin ,cos ,11u u x x u u -==++ ⽽2arctan ,x u =从⽽2.1dx du u =+ 于是()22222221sin sin 1cos 2211121111112212ln 2211tan tan ln tan .42222 xdx x x u du u u u u u u u du u u u u C x x xC ++??+ ?++??=??-+ ?++??=++=+++ ?=+++例5求. 解u =,于是21,2,x u dx udu =+=从⽽所求积分为()222222111212arctan 12.u u dx udu dux u u du u u C u C =?=++?=-=-++??=+ 例6求u =,于是322,3,x u dx u du =-=从⽽所求积分为223113113ln 13ln 1.2u duu u duu u u u C C =+?=-+ +=-+++=+例7 求解设6x t =,于是56,dx t dt =从⽽所求积分为()()52223266111616arctan 16arctan .t t dt dt t t tdt t t C t C ==++?=-=-+ +=+例8求解t =,于是()2222112,,,11x tdtt x dx x t t +===---从⽽所求积分为 ()()()22222222*********ln 1122ln 1ln 12ln 1ln .t t t t dt dtt t t dt t Ct t t t t C x C -=-?=----?=-+=--+ -+=-++--+=-++⼆、定积分（1）定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质（1）定积分的概念1。
微积分知识点总结(期末考研笔记)
微积分知识点总结（期末考研笔记）一、第一章：极限与连续第一节：函数1.什么是函数？未知变量x通过某种固定的对应关系确定唯一变量y，称y是x的函数2.什么是复合函数？内层变量导出中间函数的值域，中间函数的值域满足外层函数的定义域，则外层变量是内层变量的复合函数。
3.什么是反函数？能“反”的函数，正函数能由x确定唯一的y与之对应，反函数则要求由y能确定唯一的x与之对应！4.什么是基本初等函数？幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数通过四则运算把基本初等函数组合构成初等函数5.特殊函数特殊定义的函数：高斯函数，符号函数，狄利克雷函数第二节：极限1.极限定义是什么？●数列极限定义(ε--N)，函数极限定义(ε--δ)、(ε--X)\large \epsilon：任意小的正数，可以是是函数值与极限值之差；也可以是数列项与极限值之差。
\large δ：是邻域半径。
2.极限的性质是什么？●唯一性极限存在必唯一。
从左从右逼近相同值。
●保号性极限两侧正负相同●有界性数列极限收敛，必有界，反之不成立；连续函数闭区间有界。
●列与子列同极限数列有极限，子列也存在相同极限；反之不成立。
●极限运算性质1、满足四则运算。
2、满足复合函数嵌套极限。
3、极限存在则左右极限相等。
●极限存在性质迫(夹)敛(逼)定理。
●两个重要极限x\to0 时，\frac{sinx}{x}=1；(1+x)^{1/x} 的1/x次方极限为e●几个特殊关系式●[0,\frac {\pi}{2} ] 时，sinx <x <tanx●x>0 时，\frac{x}{(x+1)} <ln(1+x) <x3.无穷小●什么是无穷小1、定义：自变量趋向某个边界时，f(x)\to 02、无穷小是函数变化极限值，而非确定具体值，即要多小，有多小，但不是0! 3、高阶、同阶、等价无穷小●常用的等价无穷小第三节：连续与间隔1.连续的定义1、该点有定义，且该点极限值等于函数值，则该处连续2、闭区间连续，左边界函数值等于右极限，区间内各点连续，右边界函数值等于左极限2.间断定义第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点。
(完整版)微积分初步课程期末复习
《微积分初步》课程期末复习第一部分课程的说明《微积分初步》是电大专科数控技术、计算机网络技术、计算机信息管理等专业的一门必修的重要基础课程，通过本课程的学习，使学生对微分、积分有初步认识和了解，使学生初步掌握微积分的基本知识、基本理论和基本技能，并逐步培养学生逻辑推理能力、自学能力，较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，为学习本专业其它课程和今后工作的需要，打下必要的基础。
本课程选用教材是《微积分初步》，中央电大出版社出版，赵坚、顾静相编。
本课程的形成性考核仍采用中央电大统一规定的课程形成性考核作业，一共四次，形成性考核作业挂到网上。
本课程的考核成绩采用期末考试成绩与形成性考核作业相结合的方法，满分为100分：期末考试成绩满分为100分，占期末考核成绩的80％；形成性考核作业满分为100分，占期末考核成绩的20％。
考试要求分为三个不同层次：有关定义、定理、性质和特征等概念的内容由低到高分为“知道、了解、理解”三个层次；有关计算、解法、公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、熟练掌握”三个层次．三个不同层次由低到高在期末试卷中的比例为：2:3:5．试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在期末试卷中的比例为：4:4:2．期末考试采用闭卷方式，考试时间为90分钟。
期末考试题型：填空题（每小题4分，共5题），单项选择题（每小题4分，共5题），计算题（每题11分，共4题），应用题（1题，共16分）。
填空题和单项选择题共40分，主要考核基本概念、基本性质、重要定理、基本运算、基本结果等。
计算题有：计算极限（1题，共11分）；计算导数或微分（1题，共11分），包括复合函数和隐函数求导数、导数值或微分；计算不定积分和定积分（各1题，共22分），包括凑微分法和分部积分法。
应用题16分，主要考核极值的几何应用（几何形状主要是：长方形、长方体、圆柱体等）。
第二部分考核内容和考核要求考核内容包括函数、极限与连续、导数与微分、导数应用、不定积分与定积分、积分应用等方面的知识．一、函数、极限与连续（一）考核知识点1．函数常量与变量，函数概念，基本初等函数，复合函数，初等函数，分段函数。
微积分-期末复习总结整理-第一章.docx
第一章第一节常用符号介绍一，集合符号1.集合与元素之间符号“W”表示“属于”,符号F “表示”不属于“。
2.集合之间符号” W “表示”包含于“；符号”=“表示”等于“；符号” 0“表示”空集”；符号“U”表示“并”；符号“CI”表示“和”；符号表示“差”或“余”。
二，数集符号自然数集：表示为“N”；整数集：表示为“Z“；有理数集：表示为” Q”。
显然有NCZCQCR区间设a, b WR, a<bo常用的有限区间有开区间 (a, b) ={x I a<x<b }；闭区间【a, b] ={x I aWxWb }；半开半闭区间：(a,, b] ={x I aVxWb }或【a, b) =(x I aWxVb }o常用的无限区间有(a, +oo) ={x I x>a} ； [a, +oo) ={x I xNa}(-oo, a) ={x I xVa} ； (-oo, a] ={x I xWa}邻域设aWR,对任意5>0,记数集U (a, 8) =(x I x-a| <8}= (a-5, a+5),称作以a为中心，以6为半径的邻域。
当不需要证明邻域半径5时，常将它表示为U(a),简称为a的邻域记数集U (a, 8) = (x I 0< x-a | <8}= (a—& a+6) Ta}, 即在a的5的邻域u(a, 5)中去掉a,称为a的6去心邻域。
第二节函数的概念一，函数的定义给定一个数集A,假设其中的元素为xo现对A中的元素x施加对应法则f,记作f (x),得到另一数集B。
假设B中的元素为y。
则y与x之间的等量关系可以用y=f (x)表示。
我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。
函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。
其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征。
符号函数(1, x>0Y=sgnx< 0, x = 0(-1/ x <ro绝对值函数I . (—X, x<0 Y=|x|=I x, x > 0迪利克雷函数黎曼函数1 V一，X = 一Y 二q qto, x = 0, 1和3D内的无理数第三节数列的极限1.定义：设有数列｛%｝ , a是常数，若对任意的£>0 ,总存在自然数N ,对任意的自然数n>N ,有|a孔-a\ < £ ,则称数列｛%｝的极限是a , 或数列｛%｝收敛于a,表示为ZiTna” = a71T002.重点性质：唯一性，有界性，保序性3.数列收敛的判别方法：两边夹定理（夹逼定理），单调有界定理•夹逼定理:如果数列｛Xn｝,｛Yn｝及｛Zn｝满足下列条件：（1 ）当n>N0 时，其中NOeN* ,有YnWXnWZn ,（2 ）｛Yn｝、｛Zn｝有相同的极限a ,设-»<a<+oo单调性对任一数列｛Xj,如果从某一项Xk开始，满足Xk <X k+l <X k+2 < ......则称数列（从第k项开始）是单调递增的。
微积分知识点总结(期末考研笔记)
微积分知识点总结（期末考研笔记）一、第一章：极限与连续第一节：函数1.什么是函数？未知变量x通过某种固定的对应关系确定唯一变量y，称y是x的函数2.什么是复合函数？内层变量导出中间函数的值域，中间函数的值域满足外层函数的定义域，则外层变量是内层变量的复合函数。
3.什么是反函数？能“反”的函数，正函数能由x确定唯一的y与之对应，反函数则要求由y能确定唯一的x与之对应！4.什么是基本初等函数？幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数通过四则运算把基本初等函数组合构成初等函数5.特殊函数特殊定义的函数：高斯函数，符号函数，狄利克雷函数第二节：极限1.极限定义是什么？●数列极限定义(ε--N)，函数极限定义(ε--δ)、(ε--X)\large \epsilon：任意小的正数，可以是是函数值与极限值之差；也可以是数列项与极限值之差。
\large δ：是邻域半径。
2.极限的性质是什么？●唯一性极限存在必唯一。
从左从右逼近相同值。
●保号性极限两侧正负相同●有界性数列极限收敛，必有界，反之不成立；连续函数闭区间有界。
●列与子列同极限数列有极限，子列也存在相同极限；反之不成立。
●极限运算性质1、满足四则运算。
2、满足复合函数嵌套极限。
3、极限存在则左右极限相等。
●极限存在性质迫(夹)敛(逼)定理。
●两个重要极限x\to0 时，\frac{sinx}{x}=1；(1+x)^{1/x} 的1/x次方极限为e●几个特殊关系式●[0,\frac {\pi}{2} ] 时，sinx <x <tanx●x>0 时，\frac{x}{(x+1)} <ln(1+x) <x3.无穷小●什么是无穷小1、定义：自变量趋向某个边界时，f(x)\to 02、无穷小是函数变化极限值，而非确定具体值，即要多小，有多小，但不是0! 3、高阶、同阶、等价无穷小●常用的等价无穷小第三节：连续与间隔1.连续的定义1、该点有定义，且该点极限值等于函数值，则该处连续2、闭区间连续，左边界函数值等于右极限，区间内各点连续，右边界函数值等于左极限2.间断定义第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点。
微积分考试题及答案
微积分初步期末模拟试题及答案一、填空题（每小题4分，本题共20分）⒈函数241)(x x f -=的定义域是 ． ⒉若24sin lim 0=→kxx x ，则=k ． ⒊已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．⒋若⎰=x x s d in ．⒌微分方程y x e x y y x +='+'''sin )(4的阶数是 ．二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）⒈设函数x x y sin =，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数⒉当k =（ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=00,,1)(2x kx x x f ，在0=x 处连续. A ．1 B ．2 C ．1- D ．0⒊满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f 的（ ）。
A ．极值点B ．最值点C ．驻点D ． 间断点⒋设)(x f 是连续的奇函数，则定积分=⎰aa x x f -d )(（ ） A ．⎰0-d )(2a x x f B ．⎰0-d )(a x x f C ．⎰ax x f 0d )( D ． 0 ⒌微分方程1+='y y 的通解是（ ）A. 1e -=Cx y ；B. 1e -=x C y ；C. C x y +=；D. C x y +=221 三、计算题（本题共44分，每小题11分） ⒈计算极限423lim 222-+-→x x x x ． ⒉设x x y 3cos 5sin +=，求y '. ⒊计算不定积分x x x d )1(2⎰+ ⒋计算定积分⎰π0d sin 2x x x 四、应用题（本题16分）欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？模拟试题答案及评分标准一、填空题（每小题4分，本题共20分）⒈)2,2(- ⒉2 ⒊21x- ⒋C x +-cos ⒌3 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）⒈B ⒉A ⒊C ⒋D ⒌B三、（本题共44分，每小题11分） ⒈解：原式41)2)(2()2)(1(lim 2=+---=→x x x x x 11分 ⒉解：)sin (cos 35cos 52x x x y -+=' 9分 x x x 2cos sin 35cos 5-= 11分 ⒊解：x x x d )1(2⎰+= C x x x ++=++⎰32)(132)d(1)1(2 11分 ⒌解：⎰π0d sin 2x x x 2sin 212d cos 21cos 21000πππππ=+=+-=⎰x x x x x 11分四、应用题（本题16分）解：设土地一边长为x ，另一边长为x 216，共用材料为y 于是 y =3xx x x 43232162+=+ 24323xy -=' 令0='y 得唯一驻点12=x （12-=x 舍去） 10分 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为12，另一边长为18时，所用材料最省. 16分。
《微积分初步》期末复习典型例题
《微积分初步》期末复习典型例题一、函数、极限与连续（一）考核要求1.了解常量和变量的概念；理解函数的概念；了解初等函数和分段函数的概念.熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法；掌握将复合函数分解成较简单函数的方法.2.了解极限概念，会求简单极限.3.了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点. （二）典型例题 1．填空题（1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ．答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ．答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k（5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ． 答案：1)(2-=x x f （6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x （7）=∞→xx x 1sinlim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim=→kxx x ，则=k ．答案：2=k 2．单项选择题 （1）设函数2e exxy +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（ ）．A ．x x sinB ．2e exx+- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）．A ．5->xB ．4-≠xC ．5->x 且0≠xD ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ）A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题 （1）423lim222-+-→x x x x ．解：4121lim)2)(2()1)(2(lim423lim22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x（2）329lim 223---→x x x x解：234613lim)1)(3()3)(3(lim 329lim33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x（3）4586lim224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x （4）计算极限xx x 11lim 0--→．解：)11(11lim)11()11)(11(lim11lim00+---=+-+---=--→→→x x x x x x x xx x x x21)11(1lim 0-=+--=→x x（5）计算极限xx x 4sin 11lim 0--→解：xx x 4sin 11lim0--→)11(4sin 11lim)11(4sin )11)(11(lim0+---=+-+---=→→x x x x x x x x x81)11(4sin 44lim)11(4sin lim-=+--=+--=→→x x xx x xx x二、 导数与微分 （一）考核要求1.了解导数概念，会求曲线的切线方程.2．熟练掌握求导数的方法(导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则)，会求简单的隐函数的导数.3.了解微分的概念，掌握求微分的方法.4.了解高阶导数的概念，掌握求显函数的二阶导数的方法. （二）典型例题1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21（2）曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：e x y +=（3）已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：xx f 1)(='，)(x f ''=21x-（5）若x x x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2答案：C（2）设y x =lg 2，则d y =（ ）．A ．12d xx B ．1d x x ln 10C ．ln 10xx d D ．1d xx答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x +B ．a x 6sin +C ．x sin -D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设x x y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx-+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2c o s s i n 34c o s 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '.解：2121(21exx y x -+='+（4）设x x x y cos ln +=，求y '. 解：)sin (cos 12321x xx y -+=' x x tan 2321-=（5）设)(x y y =是由方程422=-+xy y x 确定的隐函数，求y d .解：方程两边对x 求导，得0)(22='+-'+y x y y y xxy x y y --='22于是得到x xy x y y d 22d --=（6）设2e e cos y x y x =++，求y d ． 解：方程两边对x 求导，得y y y x yx'='++-2e e sin yx y yx 2e e sin --='于是得到x yx y yx d 2e e sin d --=三、导数应用 （一）考核要求1.掌握函数单调性的判别方法.2.了解极值概念和极值存在的必要条件，掌握极值判别的方法.3.掌握求函数最大值和最小值的方法. （二）典型例题1．填空题（1）函数y x =-312()的单调增加区间是 ． 答案：),1(+∞ （2）函数1)(2+=axx f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ．答案：0>a 2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点可能发生在不可导点上. 答案：Ａ（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．x eC ．2xD ．x -3 答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x ==xx xx x xh x y 432108442222+=⋅+=+=令043222=-='xx y ，解得6=x 是唯一驻点，且04322263>⨯+=''=x xy ，说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，361082==h 用料最省.（2）用钢板焊接一个容积为43m 的正方形的水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24xh =所以,164)(22xx xh x x S +=+=2162)(xx x S -='令0)(='x S ，得2=x ，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的面积最小. 此时的费用为 1604010)2(=+⨯S （元） 4.证明题（1）证明函数x x f 23)(-=，在定义区间上是单调下降的.证明 因为x x f 23)(-=的定义区间为),(+∞-∞，且02)(<-='x f ，所以x x f 23)(-=在),(+∞-∞是单调下降的.（2）证明函数x x x f e )(-=在（)0,∞-是单调增加的．证明：因为在（)0,∞-上，有0e 1)(>-='x x f ，所以函数x x x f e )(-=在（)0,∞-是单调增加的.四、 一元函数积分 （一）考核要求1.理解原函数与不定积分的概念、性质，掌握积分基本公式，掌握用直接积分法、第一换元积分法和分部积分法求不定积分的方法.2.了解定积分的概念、性质，会计算一些简单的定积分.3. 了解广义积分的概念，会计算简单的无穷限积分。
(完整版)微积分复习资料
基本知识复习一、 不定积分1． 不定积分概念，第一换元积分法（1） 原函数与不定积分概念设函数()F x 与()f x 在区间(),a b 内有定义，对任意的(),x a b ∈，有()()'F x f x =或()()dF x f x dx =，就称()F x 是()f x 在(),a b 内的一个原函数。
如果()F x 是函数()f x 的一个原函数,称()f x 的原函数全体为()f x 的不定积分,记作()(),f x dx F x C =+⎰（2） 不定积分得基本性质1．()()df x dx f x dx=⎰2。
()()'F x dx F x C =+⎰ 3。
()()()().Af x Bg x dx A f x dx B g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰（3）基本不定积分公式表一()()122222(1)2)1,13ln C,x (4)arctan ,1(5)arcsin ,(6)cos sin ,(7)sin cos ,(8)sec tan ,cos (9)csc cot ,sin (10)sec t kdx kx C k x x dx C dx x dx x C x x C xdx x C xdx x C dx xdx x C x dxxdx x C x x μμμμ+=+=+≠-+=+=++=+=+=-+==+==-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰是常数，（1（）22an sec ,(11)csc cot csc ,(12),ln (13),(14),1(15),1(16).xxxdx x C x xdx x C a a dx C ashxdx chx C chxdx shx C dx thx C ch x dx cthx C sh x =+=-+=+=+=+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（3） 第一换元积分法（凑微分法）设()f u 具有原函数, ()u x ϕ=可导,则有换元公式()()()()'.u x f x x dx f u du ϕϕϕ=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰2． 第二换元积分法，分部积分法（1） 第二换元积分法设()x t ψ=是单调的、可导的函数,并且()'0t ψ≠.又设()()'f t t ψψ⎡⎤⎣⎦具有原函数,则有换元公式()()()()1',t x f x dx f t t dt ψψψ-=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰其中()1x ψ-是()x t ψ=的反函数.（2） 分部积分法设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数,那么,()''',uv u v uv =+移项,得 ()'''.uv uv u v =-对这个等式两边求不定积分,得''.uv dx uv u vdx =-⎰⎰这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式:.udv uv vdu =-⎰⎰（3） 基本积分公式表二(2222(17)tan ln cos )cot ln sin ,sec ln sec tan C,(20)csc ln csc cot ,1(21)arctan ,1(22)ln ,2(23)arcsin ,(24)ln ,(2xdx x C xdx x C xdx x xdx x x C dx x C a x a a dx x adx C x a a x a xC a x C =-+=+=++=-+=++-=+-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，（18（19）5)ln .x C =+ （3）有理函数的积分，三角函数有理式的积分，某些简单无理式的积分一、有理函数的积分 两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式.我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间是没有公因式的.当分子多项式()P x 的次数小于分母多项式()Q x 的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分方法.对于真分式()()n m P x Q x ,首先将()m Q x 在实数范围内进行因式分解,分解的结果不外乎两种类型:一种是()kx a -,另外一种是()2lx px q ++,其中,k l 是正整数且240p q -<;其次,根据因式分解的结果,将真分式拆成若干个分式之和.具体的做法是:若()m Q x 分解后含有因式()kx a -,则和式中对应地含有以下k 个分式之和:()()()122,k kA A A x a x a x a +++---L 其中:1,,k A A L 为待定常数.若()m Q x 分解后含有因式()2lx px q ++,则和式中对应地含有以下l 个分式之和:()()()11222222,l l l M x N M x N M x N x px q x px q x px q ++++++++++++L 其中:(),1,2,,i i M N i l =L 为待定常数.以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.二、可化为有理函数的积分举例 例4 求()1sin .sin 1cos xdx x x ++⎰解 由三角函数知道,sin x 与cos x 都可以用tan2x的有理式表示,即 222222222tan 2tan22sin 2sin cos ,22sec 1tan 221tan 1tan 22cos cos sin .22sec 1tan 22x x x x x x xx xx x x x x ===+--=-==+如果作变换()tan2xu x ππ=-<<,那么 22221sin ,cos ,11u u x x u u -==++ 而2arctan ,x u =从而22.1dx du u =+ 于是()22222221sin sin 1cos 2211121111112212ln 2211tan tan ln tan .42222xdx x x u du u u u u u u u du u u u u C x x xC ++⎛⎫+ ⎪++⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭=+++⎰⎰⎰例5求. 解u =,于是21,2,x u dx udu =+=从而所求积分为()222222111212arctan 12.u u dx udu dux u u du u u C u C =⋅=++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭=+⎰⎰⎰⎰ 例6求解u =,于是322,3,x u dx u du =-=从而所求积分为223113113ln 13ln 1.2u duu u duu u u u C C =+⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎛⎫=-+++=+ ⎪⎝⎭⎰⎰例7 求解 设6x t =,于是56,dx t dt =从而所求积分为()()52223266111616arctan 16arctan .t t dt dt t t tdt t t C t C ==++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭=+⎰⎰⎰例8求.解t =,于是()2222112,,,11x tdtt x dx x t t +===---从而所求积分为 ()()()22222222*********ln 1122ln 1ln 12ln 1ln .t t t t dt dtt t t dt t Ct t t t t C x C -=-⋅=----⎛⎫=-+=--+ ⎪-+⎝⎭=-++--+⎫=-++⎪⎪⎭⎰⎰⎰二、 定积分（1） 定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质 （1） 定积分的概念1。
《微积分初步》期末复习资料
微积分初步（12春）期末模拟试题一、填空题⒈函数74)2(2++=+x x x f ，则)(x f 62-x ． ⒉若2sin 6sin lim0=→kxxx ，则=k 1 ．⒊曲线1e )(+=x x f 在)2,0(处的切线斜率是 2121+=x y ． ⒋若x1是)(x f 的一个原函数，则')(x f dx e x 2- ． ⒌x y y y 2sin ln )(4='''++'为 4 阶微分方程. 6.函数72)1(2+-=-x x x f ，则)(x f32+x ．7.若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,13sin )(x k x xx x f ,在0=x 处连续，则=k 3 ． 8.曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是 1 ． 9.=⎰-x x d e d 232x． 10.微分方程x y xy y sin 4)(5)4(3=+''的阶数为 3 ．11.函数x x x f -++=4)2ln(1)(的定义域是 ]4,1()1,2(-⋃-- ． 12.若24sin lim0=→kx xx ，则=k 2 ． 13.曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是1+=x y．14.=+⎰e12d )1ln(d d x x x0 ．15.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 x y e = ． 16.函数24)1ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ]2,0()0,1(⋃- ．17.函数1322+--=x x x y 的间断点是= 1-=x ．18.函数2)1(3+=x y 的单调增加区间是 ),1[+∞- ． 19.若⎰+=c x x x f 2sin d )(，则)(x f = x 2cos 2 ． 20.微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为 3 ． 21.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ]2,1()1,2(-⋃-- ．23.若函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续，则=k 2 ．24.曲线x y =在点)1,1(处的斜率是21 ．25.=⎰x xd 2c x+2ln 2 ． 26.微分方程x y 2='满足初始条件1)0(=y 的特解为 12+=x y ．27.函数24)2(2-+=+x x x f ，则=)(x f62-x ．28.当→x 0 时，xx x f 1sin )(=为无穷小量.29.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(1) = 2- ．30.=+-⎰-x x x d )135(113 2 ．31.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 x y e = .32.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ]2,1()1,2(-⋃-- ． 33.若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,13sin )(x k x xx x f ,在0=x 处连续，则=k 1 ． 34.曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是 2121+=x y ． 35.='⎰x x s d )in ( c x +sin．36.微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为 3 ．37函数x x x f 2)1(2+=+，则=)(x f12-x ．38.=∞→xx x 1sin lim 1 ．39.曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是2121+=x y ．40.若⎰+=c x x x f 2sin d )(，则=')(x f in2x 4s - ． 51.微分方程x y xy y cos 4)(7)5(3=+''的阶数为 5 ． 二、单项选择题⒈函数2e e xx y -=-的图形关于（B ）对称．A 。
微积分初步期末复习题(含答案)
1《微积分初步》期末复习题一一、填空（每小题4分）：1．函数2．函数3．函数 的定义域是4．函数72)1(2+-=-x x x f ，则)(x f5．函数⎩⎨⎧>≤+=e2)(2x x x x f x，则)0(f 6．函数x xx f 2)1(2-=-，则=)(x f7．函数 8． 9．若，则=k10．若23sin lim 0=→kx x x ，则=k11．曲线1)(+=x xf 在(1,2) 12．曲线f(x)=e x 在(0,1)．13．曲线21-=xy 在点(1,1)处的切线方程是15．若y =x (x –1)(x –2)(x –3),则y '16．已知x x x f 3)(3+=，则3(f ' 17．已知x x f ln )(=，则)(x f ''18．若x x x f -=e )(，则='')0(f19．函数y x =-312() 20．函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a21．若f(x)的一个原函数为2ln x ，则22．若f(x)的一个原函数为x-e -2x，则=')(x f23．若⎰+=c x x x f xe d )(，则)(x f24．若⎰+=c x x x f 2sin d )(，则)(x f25．若c x x x x f +=⎰lnd )(，则=')(x f26．若⎰+=c x x x f 2cos d )(，则')(x f27．=⎰-x xd ed2．28．='⎰x x d )(sin． 29．若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=-x x f d )32(30．若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰-x xxf d )1(2． 31．.d )2cos (sin 112=-⎰-x x x x32．.______d )cos 4(225=+-⎰-x x x xππ33．已知曲线)(x f y =在任意点且曲线过)5,4( 34．若=+-⎰-dx x x )235(113 35．由定积分的几何意义知， =。
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《微积分初步》期末复习资料微积分初步（12春）期末模拟试题一、 填空题⒈函数74)2(2++=+x x x f ，则)(x f 62-x ． ⒉若2sin 6sin lim0=→kxxx ，则=k 1 ．⒊曲线1e )(+=x x f 在)2,0(处的切线斜率是 2121+=x y ． ⒋若x1是)(x f 的一个原函数，则=')(x fdx e x 2- ． ⒌x y y y 2sin ln )(4='''++'为 4 阶微分方程. 6.函数72)1(2+-=-x x x f ，则)(x f 32+x ．7.若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,13sin )(x k x xx x f ,在0=x 处连续，则=k 3 ． 8.曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是 1 ．9.=⎰-x x d e d 232x． 10.微分方程x y xy y sin 4)(5)4(3=+''的阶数为 3 ．11.函数x x x f -++=4)2ln(1)(的定义域是 ]4,1()1,2(-⋃-- ． 12.若24sin lim 0=→kx xx ，则=k 2 ．13.曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是 1+=x y．14.=+⎰e 12d )1ln(d d x x x0 ．15.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 x y e = ． 16.函数24)1ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ]2,0()0,1(⋃- ．17.函数1322+--=x x x y 的间断点是= 1-=x ．18.函数2)1(3+=x y 的单调增加区间是 ),1[+∞- ．51.微分方程x y xy y cos 4)(7)5(3=+''的阶数为 5 ． 二、单项选择题⒈函数2e e xx y -=-的图形关于（B ）对称．A 。
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选择题0.()()()'''=-+fxf x dx xf x f x c 0.sin ()1=-xf x x当x →+∞ 时，()f x 为无穷小量 D.当K=（ 2 ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1f(x)x k x e x 在x=0处连续D.当K=（1）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1f(x)2x k x x 在x=0处连续D 当1k = 时，函数21,0(),0x x f x k x ⎧+≠=⎨=⎩在0x = 处连续。
H.函数x x ln 41y +-=的定义域为： 4x 且0x ≠> H.函数x x f ln )(=在点x=e 处的切线方程是： x e1y =函数1y 2+=x 在区间（-2,2）是（先单调下降再单调上升）H.函数2(1)=+y x 在区间(2,2)- 是先单调减少后单调增加H.函数222()2-+=xf x 的图形关于y 轴对称H ．函数()ln(1)xf x X =+ 的定义域是(2,1)(1,)---+∞M.满足方程0)(f ='x 的点一定是函数()f x 的（驻点）R.若函数f(x)在点0x 处可导，则0lim ()→=x xf x A ，但()≠a A f x R.若10(2)2x k dx +=⎰ ，则1k = S.设函数x x sin y =，则该函数是偶函数S.设()f x 是连续的奇函数，则定积分()0aa f x dx -=⎰ S.设2(1)1f x x +=- ，则()(1)=+f x x x W.微分方程y ='y ，1)0(y =的特解为（x e =y ） W.微分方程1+='y y 的通解是1-=x Ce y W.微分方程中y y '= 的通解是xy ce = X.下列等式中正确的是：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x d dx 1x 1X.下列等式成立的是：⎰=)()(dx f dx x f dx X.下列微分方程中为可分离变量方程的是：y xy +=dydxX.下列函数为奇函数的是()2x 1x ln ++ X.下列微分方程中为可分离变量方程的是=+dxxy y dyX.下列函数在指定区间(,)-∞+∞ 上单调增加的是2x X.下列微分方程中为可分离变量的是dyxy y dx=+ X ．下列等式成立的是()()df x dx f x dx=⎰ Z.在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1,4）的曲线为（3y 2+=x ）填空题0.131(532)x x dx --+⎰ =4 0.(sin )sin x dx x C '=+⎰0.1sin ,0()1,0x k x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩在x=0处连续，则k=1 0.sin lim 02x xx →∞= 0.0sin 2lim 2x xx→= H.函数2(2)45f x x x +=++ ，则2()1f x x =+ H.函数 ()ln(2)xf x x =- 的定义域是(2,3)(3,)+∞H.函数()f x = 的定义域(2,2)-H.函数1()ln(2)f x x =++的定义域是(2,1)(1,2]---H.函数3sin 1,0(),0x x f x xk x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩ 在x=0处连续，则k=1 H.函数y =在点(1,1) 处的切线方程是1122y x =+ H.函数2(1)25f x x x -=-- ，则2()6f x x =- Q.曲线()1x f x e =+ 在(0,2) 点的斜率是1 Q.曲线1y = 在点（1,2）处的切线方程是12Q.曲线12y x -= 在（1,1）处的切线方程是1322y x =-+R.若函数2sin ,0()1,0x k x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪-=⎩ ，在0x = 处连续，则1k =- R.若22x x de e C =+⎰ R.若sin cos xdx x C =-+⎰R.若()f x dx xlinx C =+⎰ ，则1()f x x'= W.微分方程24()0xy y y ''''++= 的阶数是3 W.微分方程3(4)7()4sin y xy y x ''+= 的阶数为4 W.微分方程4()x y xy y e +''''+= 的阶数是3 W.微分方程35()4sin y xy y x '''''+= 的阶数是3 W.微分方程3(4)52()sin y y x y x ''+= 的阶数为4 W.微分方程4()sin x y xy y x e +''''+= 的阶数是3 Y.已知 3()3x f x x =+ ，则(3)27(1ln 3)f '=+计算题 1.求极限解：22323lim 9x x x x →---=3(1)(3)lim (3)(3)x x x x x →+--+ =31312lim 3333x x x →++==++ 解：22232lim 6x x x x x →-++- =2(1)(2)lim (2)(3)x x x x x →---+=21lim 3x x x →-+=211235-=+ 解：22232lim 4x x x x →-+-=2(1)(2)lim (2)(2)x x x x x →---+=21lim 2x x x →-+=211224-=+ 解：2239lim 23x x x x →---=3(3)(3)lim (1)(3)x x x x x →+-+-=333lim 12x x x →+=+ 解：22468lim 54x x x x x →-+-+=4(4)(2)lim (4)(1)x x x x x →----=42422lim 1413x x x →--==-- 2.求导数设1y x=+，求y '解：1(()y x'''=+ =21x'-=21x设12xy x e = ，求y '解：1122()()xx y x e x e '''=+ +11212()x xxe x e x '- =112212xx xe x e x-=112x x xe e - =1(21)xx e - 设3sin 5cos y x x =+，求y '解：3(sin 5)(cos )y x x '''=+=25cos53cos (cos )x x x '+=25cos53cos sin x x x - 已知函数1ln sin y x x=+，求dy解：2111cos ()y x x x '=+-, 21cos 1x dy y dx dx x x ⎛⎫ ⎪'==- ⎪ ⎪⎝⎭设2sin 3x y x =+，求dy解：()()2sin 3x y x '''=+=2ln 23cos3x x + ()2ln 23cos3x dy y dx x dx '==+ 3.求不定积分解：121x e dx x⎰=111x x e d e C x -=-+⎰解：10(21)x dx -⎰ =101(21)(21)2x d x --⎰ =111(21)22x C -+解：2=22(1(1d ++⎰=32(13C ++解：21cosx dx x ⎰=11cos d x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰=1sin C x -+解：cos x xdx ⎰=sin xd x ⎰=sin sin x x xdx -⎰=sin cos x x x c ++4.求定积分解：20cos x xdx π⎰=20sin xd x π⎰=2200sin |sin x x xdx ππ-⎰=20(cos )|2x ππ-- =12π-解：10x xe dx ⎰=10x xde ⎰=1100|x x xe e dx -⎰=10|x e e -=(1)1e e --= 解：0sin 2x xdx π⎰=01cos 2xd x π-⎰=001(cos |cos )2x x xdx ππ--⎰ =01(sin |)2x ππ---=2π解：1ln ex xdx ⎰=221111ln |22e ex x x dx x -⎰=22111244e e -+=21144e +解：115ln ex dx x +⎰=()()1115ln 155e x d lnx ++⎰=()1115ln |10ex + =()()2211715ln 15ln110102e +-+=。
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微积分初步（12春）期末模拟试题一、填空题⒈函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f 62-x． ⒉若2sin 6sin lim0=→kxxx ，则=k 1 ．⒊曲线1e )(+=x x f 在)2,0(处的切线斜率是 2121+=x y ． ⒋若x1是)(x f 的一个原函数，则=')(x f dx e x 2- ． ⒌x y y y 2sin ln )(4='''++'为 4 阶微分方程. 6.函数72)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f 32+x ．7.若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,13sin )(x k x xx x f ,在0=x 处连续，则=k 3 ． 8.曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是 1 ．9.=⎰-x x d e d 232x ．10.微分方程x y xy y sin 4)(5)4(3=+''的阶数为 3 ．11.函数x x x f -++=4)2ln(1)(的定义域是 ]4,1()1,2(-⋃-- ． 12.若24sin lim 0=→kx xx ，则=k 2 ．13.曲线x y e =在点)1,0(处的切线方程是1+=x y．14.=+⎰e12d )1ln(d d x x x．15.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 x y e = ． 16.函数24)1ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ]2,0()0,1(⋃- ．17.函数1322+--=x x x y 的间断点是= 1-=x ．18.函数2)1(3+=x y 的单调增加区间是 ),1[+∞- ．19.若⎰+=c x x x f 2sin d )(，则)(x f =x 2cos 2 ．20.微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为 3 ． 21.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ]2,1()1,2(-⋃-- ．23.若函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续，则=k 2 ．24.曲线x y =在点)1,1(处的斜率是21 ．25.=⎰x xd 2 c x+2ln 2 ．26.微分方程x y 2='满足初始条件1)0(=y 的特解为 12+=x y ． 27.函数24)2(2-+=+x x x f ，则=)(x f62-x．28.当→x 0 时，xx x f 1sin)(=为无穷小量. 29.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(1) = 2-．30.=+-⎰-x x x d )135(113 2 ．31.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 x y e = .32.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ]2,1()1,2(-⋃-- ． 33.若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,13sin )(x k x xx x f ,在0=x 处连续，则=k 1 ． 34.曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是 2121+=x y ． 35.='⎰x x s d )in (c x +sin ．36.微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为 3 ． 37函数x x x f 2)1(2+=+，则=)(x f12-x．38.=∞→x x x 1sin lim 1 ．39.曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是2121+=x y．40.若⎰+=c x x x f 2sin d )(，则=')(x f in2x 4s - ． 51.微分方程x y xy y cos 4)(7)5(3=+''的阶数为 5 ． 二、单项选择题⒈函数2e e xx y -=-的图形关于（B ）对称．A 。
坐标原点B 。
x 轴C ．y 轴D 。
x y =⒉当=k （ C ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 ⒊函数722++=x x y 在区间)2,2(-是（ D ） A ．单调减少 B ．单调增加 C ．先减后增 D ．先增后减 ⒋下列等式成立的是（A ）． A ．)(d )(d dx f x x f x =⎰B ．)(d )(x f x x f ='⎰C ．)(d )(d x f x x f =⎰D ．)()(d x f x f =⎰ ⒌微分方程1+='y y 的通解为（B ）A. 1e +=x c y ；B. 1e -=x c y ；C. c x y +=221； D. c x y +=6.设函数2e e xx y +=-，则该函数是（A ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数7.已知1sin )(-=xxx f ，当（ D ）时，)(x f 为无穷小量. A ．+∞→x B ．∞→x C ．0→x D ． 1→x 8.函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ C ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 9.以下等式成立的是（ A ）A ．3ln 3d d 3x xx = B ．)1(d 1d 22x x x +=+ C ．x xx d d = D ．)1d(d ln x x x = 10.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ）A. y x x y +=d d ；B. y xy x y +=d d ；C. x xy x y sin d d +=；D. )(d d x y x xy += 11.设函数x x y sin =，则该函数是（A ）．A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数12.当=k （ C ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．314.下列结论中（ C ）正确．A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．函数的极值点一定发生在其驻点上.C ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 15.下列等式中正确的是（D ）．A . )cos d(d sin x x x = B. )1d(d ln xx x =C. )d(d x x a x a =D. )d(2d 1x x x= 16.微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为（B ）A. 2；B. 3；C. 4；D. 5⒈设函数21001xx y +=-，则该函数是（B ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 17.当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（C ）.A ．x 1 B ．x x sin C ．)1ln(x + D ．2xx 18.设y x =lg2，则d y =（ D ）．A ．12d x xB ．1d x xC ．ln10x x dD ．1d x x ln1019.在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ C ）． A ．12+=x y B ．22+=x yC ．y = x 2 + 3D ． y = x 2 + 420.微分方程1+='y y 的通解是（A ）A. 1e -=x C y ；B. 1e -=Cx y ；C. C x y +=；D. C x y +=221 21.设32)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f （ D ）A ．12-xB ．22-xC ．42-xD ．42-x22.若函数f (x )在点x 0处可导，则( B )是错误的．A ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微 33.函数642-+=x x y 在区间)4,4(-是（ A ）A ．先减后增B ．先增后减C ．单调减少D ．单调增加 34.若)0()(>+=x x x x f ，则='⎰x x f d )(（ B ）. A. c x x ++2 B. c x x ++C. c x x ++2323221 D. c x x ++2322335.微分方程x y y y x y sin 4)(53''='''+'的阶数为（ C ）A. 1B. 2C. 3D. 536.函数)1ln(1)(-=x x f 的定义域是（C ）．A ．),1(+∞B ．),1()1,0(+∞⋃C ．),2()2,1(+∞⋃D ．),2()2,0(+∞⋃37.曲线1e 2+=x y 在2=x 处切线的斜率是（ D ）． A ．2 B ．2e C ．4e D ．42e 38.下列结论正确的有（ B ）． A ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点B ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0C ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点 39.下列无穷积分收敛的是（ A ）． A ．⎰∞+-02d ex xB ． ⎰∞+1d 1x xC ． ⎰∞+1d 1x xD ． ⎰∞+0d in x x s40.微分方程x y x y y ln cos )(2)4(3=+''的阶数为（D ）． A. 1； B. 2； C. 3； D. 441.设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ C ） A ．)1(+x x B ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x42.若函数f (x )在点x 0处可导，则( B)是错误的．A ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微 43.函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ D ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增 44.=''⎰x x f x d )(（ A ）A. c x f x f x +-')()(B. c x f x +')(C. c x f x +')(212 D. c x f x +'+)()1(45.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ）A. y x x y +=d d ；B. y xy x y +=d d ；C. x xy x y sin d d +=；D. )(d d x y x xy += 46.设函数x x y sin 2=，则该函数是（ d ）．A ．非奇非偶函数B ．既奇又偶函数C ．偶函数D ．奇函数 47.当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ c ）. A ．x 1 B ．x x sin C ．)1ln(x + D ．2xx 48.下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调减少的是（ b ）．A ．x cosB ．x -5C ．2xD ． x 249.设c x xx x f +=⎰ln d )(，则=)(x f （c ）．A. x ln lnB. x x lnC. 2ln 1xx - D. x 2ln 50.下列微分方程中，（a ）是线性微分方程． A ．x y y x y x ln e sin ='-'' B ．x xy y y e 2=+' C ．y y x y e ='+'' D ． y y yx '=+ln 2三、计算题⒈计算极限132lim 221----→x x x x ．⒉设x x y e cos ln +=，求y d .⒊计算不定积分⎰x xxd e21⒋计算定积分x x ed ln 1⎰5.计算极限486lim222-+-→x x x x ．6.设x x x y cos ln +=，求y d .7.计算不定积分x x xd e21⎰8.计算定积分x x x d cos 20⎰π9.计算极限2386lim222+-+-→x x x x x ．解：原式214lim )1)(2()2)(4(lim22-=--=----=→→x x x x x x x x 10.设x x y 3cos ln +=，求y d .解：)sin (cos 312x x x y -+='x x x xy d )cos sin 31(d 2-=11.计算不定积分x x d )12(10⎰-解：x x d )12(10⎰-= c x x x +-=--⎰1110)12(221)12(d )12(2112.计算定积分x x d ln 2e 1⎰解：x x d ln 2e 1⎰-=21ln e x x 1e 1e e 2d 222e 12+=+-=⎰x xx13.计算极限4554lim 221+--+→x x x x x ．解：原式23645lim )1)(4()1)(5(lim11-=-=-+=---+=→→x x x x x x x x 14.设x y x ln e1+=+，求y d .解：x x y x 1121e 1++='+ 9分 x xx y x d )112e (d 1++=+15.计算不定积分x xx d 1cos2⎰解：x x x d 1cos2⎰= c x x x +-=-⎰1sin 1d 1cos16.计算定积分x x x d e 10⎰解：x x x d e 10⎰-=10x xe 1d e 1010=-=⎰xx e e x17.计算极限451lim 221+--→x x x x ．解：原式3241lim )1)(4()1)(1(lim11-=-+=---+=→→x x x x x x x x 18.设x y x cos e 2+=-，求y d .解：x y x sin e 22--='- x x y x d )sin e 2(d 2+-=- 19.计算不定积分x x x d cos ⎰解：x x x d cos ⎰= c x x x x x s x x ++=-⎰cos sin d in sin20.计算定积分x xx d ln 113e 1⎰+ 解：x x x d ln 113e 1⎰+2ln 12)ln 1d(ln 113311=+=++=⎰e e x x x 21.计算极限46lim 222----→x x x x ． 解：46lim 222----→x x x x 4523lim )2)(2()2)(3(lim 22=--=+-+-=-→-→x x x x x x x x 22.设x x y 3cos 5sin +=，求y d .解：)sin (cos 35cos 52x x x y -+='x x x 2cos sin 35cos 5-=x x x x y d )cos sin 35cos 5(d 2-= 23.计算不定积分⎰+-x xxx x d sin 33 解：⎰+-x x x x x d sin 33= c x x x +--cos 32ln 32324.计算定积分⎰π0d sin 2x x x解：⎰π0d sin 2x x x2sin 212d cos 21cos 21000πππππ=+=+-=⎰x x x x x25.计算极限4586lim 224+-+-→x x x x x ．解：原式3212lim )1)(4()2)(4(lim44=--=----=→→x x x x x x x x 26.设x y x 3sin 2+=，求y d .解：x y x 3cos 32ln 2+=' 9分dx x dy x )3cos 32ln 2(+= 27.计算不定积分x x x d cos ⎰解：x x x d cos ⎰= c x x x x x s x x ++=-⎰cos sin d in sin28.计算定积分x xxd ln 51e1⎰+解：x x x d ln 51e 1⎰+e e x x x 121)5ln (1101)5ln )d(15ln (151+=++=⎰27)136(101=-=29.计算极限623lim 222-++-→x x x x x ．解：原式5131lim )3)(2()2)(1(lim22=+-=+---=→→x x x x x x x x 30.设x x y 2cos +=，求y d .解：2ln 221sin x x xy +-=' x xxy x d )2sin 2ln 2(d -=31.计算不定积分x x d )12(10⎰- 解：x x d )12(10⎰-=c x x x +-=--⎰1110)12(221)12(d )12(2132.计算定积分⎰π20d sin x x x解：⎰20d sin πx x x +-=2cos πxx 1sin d cos 2020==⎰ππx x x四、应用题1.某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？2.欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？3.欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x == x x x x x xh x y 432108442222+=⋅+=+= 令043222=-='x x y ，解得6=x 是唯一驻点， 且04322263>⨯+=''=x x y ， 说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，336108==h 时用料最省。