镜像法-高级中学物理竞赛讲义
第5讲：镜像法
2 2 s=⎡ ⎣ r + D − 2rD cos θ ⎤ ⎦
6.641 电磁场、电磁力和电磁运动 Markus Zahn 教授
第5讲 3/9
q ′2 ( R 2 + D 2 ) = q 2 ( b 2 + R 2 )
2 / RD / Rb + q′ 2 / cos / cos / θ = +q 2 / θ⇒
作用于球上的力
fX =
qq′ 4πε 0 ( D − b )
2
=
−q 2 R D ⎛ R2 ⎞ 4πε 0 ⎜ D − ⎟ D⎠ ⎝
q 4πε 0 D
2
=
4πε 0 ( D 2 − R 2 )
−q 2 RD
2
2. 绝缘球 [将另一个镜像电荷+q’=+qR/D 放到中心处] （零电荷）
Φ (r = R) =
0 0
6.641 电磁场、电磁力和电磁运动 Markus Zahn 教授
第5讲 4/9
Ⅲ. 演示4.7.1——架空导体在接地平面上感应的电荷
图4.7.2 架空导体在接地平面上的感应电荷 用探针测量。图中所示的分布是由（4.7.7） 预言的。
Hermann A.Haus和James R.Melcher赠送，经过允许。
1 2 1
2 2 2 ， s' = ⎡ ⎣b + r − 2rb cos θ ⎤ ⎦ 2 2 q − q′ ⎛ q ⎞ ⎛ q′ ⎞ Φ (r = R) = 0 ⇒ = ⇒⎜ ⎟ =⎜ ⎟ s s′ ⎝ s ⎠ ⎝ s′ ⎠ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 q s′ = q′ s ⇒ q′ ⎡ ⎣ R + D − 2 RD cos θ ⎤ ⎦=q ⎡ ⎣b + R − 2 Rb cos θ ⎤ ⎦
高中物理竞赛讲义 几何光学
专题十五 几何光学【扩展知识】一、光的独立传播规律当光线从不同方向通过透明媒质中一点时互不影响，不改变频率仍按原方向传播的规律。
二、折射率1．相对折射率：光从1媒质进入2媒质。
2．绝对折射率：任何媒质相对于真空的折射率。
三、发生全反射的临界角：n n n c 1arcsin arcsin12== 四、成像公式若u 为物距，v 为像距，而f 为焦距，则有： 放大率：物长像长==u vm （线放大率） 2⎪⎭⎫ ⎝⎛=u v k （面放大率） 说明：（1）上述公式适用范围：面镜，薄透镜。
（2）适用条件：近轴光线；镜的两侧光学媒质相同。
（3）符号规定：“实正、虚负”的原则。
五、球面镜的焦距可以证明，球面镜的焦距f 等于球面半径R 的一半。
且凹透镜的焦距为正值，凸透镜的焦距为负值。
六、光具组成像七、透镜成像的作图法1．利用三条特殊光线2．利用副光轴【典型例题】例题1：（第一届全国物理竞赛题）如图所示，凸透镜L 的主轴与x 轴重合，光心O 就是坐标原点，凸透镜的焦距为10cm 。
有一平面镜M 放在y =-2cm 、x >0的位置，眼睛从平面镜反射的光中看到发光点A的像位于A2处，A2的坐标见图。
（1）求出此发光点A的位置。
（2）写出用作图法确定A的位置的步骤并作图。
例题2：（第六届全国物理竞赛题）在焦距为f的会聚薄透镜L的主光轴上放置一发光圆锥面，如图所示。
圆锥的中心轴线与主光轴重合，锥的顶点位于焦点F，锥高等于2f，锥的母线与其中心轴线的夹角等于α，求圆锥面的像。
例题3：（第九届全国物理竞赛决赛题）在很高的圆柱形容器的上口平放一个焦距为90mm 凸透镜，在透镜下方中轴线上距透镜100mm处平放一个圆面形光源，如图所示。
（1）光源产生一个半径为45mm的实像，求此实像的位置。
（2）若往容器中注水，水面高于光源10mm，求此时像的位置。
（3）继续注水，注满容器但又恰好不碰上透镜，求此时像的大小。
例题4：（第十一届全国物理竞赛题）照相机镜头L前2.28m处的物体被清晰地成像在镜头后面12.0cm处的照相胶片P上，两面平行的玻璃平板插入镜头与胶片之间，与光轴垂直，位置如图所示。
高中物理竞赛讲义(完整版)
高中物理竞赛讲义目录高中物理竞赛讲义 (1)第0部分绪言 (5)一、高中物理奥赛概况.....................................错误!未定义书签。
二、知识体系....................................................错误!未定义书签。
第一部分力＆物体的平衡 (5)第一讲力的处理 (13)第二讲物体的平衡 (15)第三讲习题课 (16)第四讲摩擦角及其它 (21)第二部分牛顿运动定律 (24)第一讲牛顿三定律 (24)第二讲牛顿定律的应用 (25)第二讲配套例题选讲 (35)第三部分运动学 (35)第一讲基本知识介绍 (35)第二讲运动的合成与分解、相对运动 (37)第四部分曲线运动万有引力 (40)第一讲基本知识介绍 (40)第二讲重要模型与专题 (42)第五部分动量和能量 (52)第一讲基本知识介绍 (52)第二讲重要模型与专题 (55)第三讲典型例题解析 (70)第六部分振动和波 (70)第一讲基本知识介绍 (70)第二讲重要模型与专题 (75)第三讲典型例题解析 (86)第七部分热学 (86)一、分子动理论 (87)二、热现象和基本热力学定律 (89)三、理想气体 (91)四、相变 (98)五、固体和液体 (102)第八部分静电场 (103)第一讲基本知识介绍 (104)第二讲重要模型与专题 (107)第九部分稳恒电流 (120)第一讲基本知识介绍 (120)第十部分磁场 (134)第一讲基本知识介绍 (134)第二讲典型例题解析 (138)第十一部分电磁感应 (146)第一讲、基本定律 (146)第二讲感生电动势 (150)第三讲自感、互感及其它 (154)第十二部分量子论 (157)第一节黑体辐射 (158)第二节光电效应 (161)第三节波粒二象性 (168)第四节测不准关系 (172)第0部分绪言全国中学生物理竞赛内容提要--理论基础(2013年开始实行)说明：．本次拟修改的部分用楷黑体字表示，新补充的内容将用“※”符号标出，作为复赛题和决赛题增补的内容；※※则表示原属预赛考查内容，在本次修改中建议改成复赛、决赛考查的内容。
3.2 镜象法
处电位为： 在空间中任意点P ( r ,θ ) 处电位为：
q q' ϕ= [ + ] 4πε R r ' 2 2 R = r + d − 2rd cos θ
r ' = r + d ' − 2rd 'cos θ
2 2
1
由边界条件可知： 由边界条件可知： ϕ 可知
即：镜像电荷电量与感应电荷电量相等。 镜像电荷电量与感应电荷电量相等。 导体表面上感应电荷对点电荷的作用力 v q2 r F =− e 2 z 16πε 0 h
9
2)线电荷对无限大接地平面导体边界的镜像 2)线电荷对无限大接地平面导体边界的镜像 对于线电荷对于接地导体面的镜像， 对于线电荷对于接地导体面的镜像，类似地可 得到等效问题： 得到等效问题：
q z −d z +d Ez = − 2 2 2 3/2 2 2 2 3/2 4πε0 x + y + (z − d) x + y + (z + d)
8
ϕP =
q 4πε
(
1 x + y + ( z − h)
2 2 2
−
1 x + y + ( z + h)
q
−q
θ=
π 3
q
−q
π θ= 3
q
−q
q
12
对于非垂直相交的两导体平 面构成的边界， 夹角为π/n， 面构成的边界，若夹角为 则有 1)n为整数时，镜像电荷数目为 为整数时， 为整数时
q
θ
x
2n-1个，它们与水平边界的夹角 个 分别为 π (2m ⋅ ± θ ), m = 1, 2,L , (n − 1) n 及(2π − θ ) 2)n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再 不为整数时，镜像电荷将有无数个， 不为整数时 适用了； 适用了； 13 3)当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。 当角域夹角为钝角时， 当角域夹角为钝角时 镜像法亦不适用。
高中物理竞赛难点专题之电像法(共49张PPT)
q
q1 R
R
E 4 0 ( r 2 er dr12 er1 dr22 er2 )
不接地导体球面上的正负感应电荷的绝对值等于镜像电荷 q 吗? 为什么？
镜像法小结
镜像法的理论基础是静电场唯一性定理； 镜像法的实质是用虚设的镜像电荷替代未知电荷的分布，使 计算场域为无限大均匀介质； 镜像法的关键是确定镜像电荷的个数，大小及位置； 应用镜像法解题时，注意：镜像电荷只能放在待求场域以外 的区域。叠加时，要注意场的适用区域。
dq
dq
Ox
L
解:
dq dx
2L x 3L x
dq dx
dF
dxdx 40 (x x)2
F
3L
dx
2L
L 0
2dx 40 (x
x)2
2 4 0
ln
4 3
例题4. 球形金属空腔内外半径 a < b，带电 Q，腔内点电荷q，距球 心 r < a。求球心 O 点电位。
镜像法
几个实例：
求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位
非均匀感应电荷 q
等效电荷
q′
非均匀感应电荷产生的 电位很难求解，可以用 等效电荷的电位替代
接地导体球附近有一个点电荷，如图。
等效电荷
q
非均匀感应电荷产生的
q′
电位很难求解，可以用
等效电荷的电位替代
非均匀感应电荷
1.平面导体的镜像
镜像法最简单的例子：接地无限 大导体平面上方一个点电荷，根 据唯一性定理，导体平面上半空 间的电为分布应满足：
[q2 (b2 R2 ) q'2 (d 2 R2 )]
镜像法
p v R
则区域2中任一点的电位为：
2
q q
4π 2 R
q q
2
2
在分界面(R = R′= R″)上，应满足电位的边界条件：
1
1
设想用镜像电荷 代替界面上极化 电荷的作用，并 使镜像电荷和点 电荷共同作用， 满足界面上的边
界条件。
当待求区域为介质1所在区域时，在边界之外设一镜像电荷 q′
介质1中任一点的电位为：
1
q q
4π1R 4π1R
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
当待求区域为介质2所在区域时，
* 此时要保证z=0平面边界条件不变，即应为零电位。
q q 4R 4R
故对z=0平面上任意点有R R R0 :
于是，
q 4
1 R
1 R
q 4
q q 0 4 R0
1
x2 y2 (z h)2
电位的法向导数
n
s
f2 s
一、二类边界条件的 线性组合，即
n
s2
f4 s
电磁场
一、静电场边值问题及其分类
第3章 静电场及其边值问题的解法
1. 边值问题的分类----根据场域边界条件的不同
狄利克雷问题：给定整个场域边界上的电位函数值 s f1s
（第一类）
聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 （第二类）
U0
O
ax
第3章 静电场及其边值问题的解法
高中物理竞赛讲义-面镜成像-光的折射
面镜成像光的折射一、物和像的概念1、入射光线是发散的，由同一点发出，这个点叫“实物”2、入射光线的延长线汇聚到同一点，这个点叫“虚物”3、反射光线汇聚到同一点，这个点叫“实像”4、反射光线的反向延长线汇聚到同一点，这个点叫“虚像”真实光线交点为“实”，延长线交点为“虚”虚物实像虚物虚像二、平面镜成像1、平面镜不改变光的汇聚或发散程度2、实物成虚像，虚物成实像u+v=0其中，u为物距，v为像距。
思考其中的正负号是如何规定的？3、成等大正立的像线放大率（横向放大率）为：-1vmu==☆三、光学公式中的符号规则1、实正虚负规则实物，物距为正；实像，像距为正虚物，物距为负；虚像，像距为负例如：u+v=0，即物和像一实一虚2、笛卡尔坐标规则以主光轴为x轴，光心为坐标原点，建立坐标系，各物理量的正负号由坐标系决定。
*角度的规定：以主光轴出发，按小于90°的方向旋转，顺时针为正，逆时针为负。
例如：s+s’=0，s表示物的坐标，s’表示像的坐标。
即物和像在坐标原点的两侧，因此一正一负。
以上两种坐标规则选用一种，切勿混用！推荐使用笛卡尔坐标规则。
四、球面镜成像1、凹面镜和凸面镜2、半径R、球心C、顶点O、主光轴、焦点F、焦距f3、球面镜近轴光线焦距为f=R/2实物虚像实物实像例1、结合焦距的定义，证明球面镜近轴光线的焦距为f =R /24、近轴光线成像公式(1)实正虚负规则1112u v f R+== 凹面镜f 、R 为正，凸面镜f 、R 为负(2)笛卡尔坐标规则1112's s f R+== 5、线放大率（横向放大率）为'v s m u s ==- 例2、以凹面镜为例，推导近轴光线成像公式和线放大率公式注意：（1）以上公式的前提是近轴光线成像（2）以上公式对凹面镜和凸面镜均成立（3）当 r 趋近于无穷大时，公式退化为平面镜成像公式（4）牢记符号法则，推荐使用笛卡尔坐标法则例3、一个凹面镜所成的像，像高为物高的1/3，且已知物象间的距离为1m ，求凹面镜的曲率半径。
5.5 镜像法
20
两根线电荷 <-----------> 两个导体柱
* l
l
* l
l
o
P'
P
o'
a 2 O' P O ' P'
a 2 OP OP '
电磁场与电磁波
b d a
2
2
21
b d a
2
2
o
o'
已知：两根无限长平行圆柱,半径为a, 轴心距离为2d 求：两柱间单位长度上的电容 两根线电荷 <-----------> 两个导体柱 引入两 “线电荷”
电磁场与电磁波
2
若定解问题存在唯一的稳定解, 则称定解问题是
适定的。 换言之, 适定指的是解是存在的, 唯一的, 并且稳 定的。 解方程时可自由选择任何合理方法，甚至可以凭 经验去猜测出一个形式解。
而实际中解决工程问题时不能模棱两可，我们 需要得到适定的解。 静电场问题解法的多样性与适定性要求有矛盾 吗？？？
2
边界条件
切向：
E1t E 2t
2 1 1 fc n n
1 2
E1t E 2t J 1t / 1 J 2t / 2 1 2
恒定电场媒质边界 J 1n J 2 n 1 E1n 2 E 2 n
1 2 2 1 n n
M pl p* l d
a * OP d
2
电磁场与电磁波
19
问题扩展：电位
“长导体柱”+ “线电荷”
OP OP a
'
2
l
相应的问题等效为求解两个 “线电荷”周围的电场、电位？
高考物理电学十大方法精讲 方法02镜像法
方法02镜像法在讨论一个点电荷受到面电荷(如导体表面的感应电荷)的作用时，根据“镜像法”可以设想一个“像电荷”,并使它的电场可以代替面电荷的电场，从而把问题大大简化．【调研1】如图所示，有一块无限大的原来不带电的金属平板MN ，现将一个带电量为+Q 的点电荷放置于板右侧的A 点，并使金属板接地．已知A 点离金属板MN 的距离为d ，C 点在A 点和板MN 之间，AC ⊥MN ，且AC 长恰为2d．金属平板与电量为+Q 的点电荷之间的空间电场分布可类比 （选填“等量同种电荷”、“等量异种电荷”）之间的电场分布；在C 点处的电场强度E C = .解析：金属平板上感应出的电荷理解为在A 点与板对称的另一点B 点存在一个电荷-Q ，所以金属板与电量为+Q 的点电荷之间的空间电场分布可类比等量异种电荷之间的电场分布． 根据场强的叠加，E =E 1+E 2=2224039()()22QQ kQ k k d dd +=【调研2】无限大接地金属板和板前一点电荷形成的电场区域，和两个等量异号的点电荷形成的电场等效．如图所示P 为一无限大金属板，Q 为板前距板为r 的一带正电的点电荷，MN 为过Q 点和金属板垂直的直线，直线上A 、B 是和Q 点的距离相等的两点．下面关于A. B 两点的电场强度E A 和E B 、电势φA 和φB 判断正确的是( ) A. E A >E B φA >φB B. E A >E B φA <φBC. E A >E B φA =φBD. E A =E B φA >φB解析：大金属板接地屏蔽，就是说，金属板上感应电荷分布后对于右边电场的影响，相当于在+Q 关于板对称的地方放上一个镜像电荷-Q ．具体原因可以分析左边，左边电场为0．那么接地金属板电荷分布对于左边电场的影响相当于在+Q 原处放上一个-Q ．而明显金属板对左右电场影响是对称的．这就是镜像法的原理．可以推得A 的电场为正负点电荷在此处方向相同，从而相加；而在B 处，方向相反，从而相减．则E A > E B ，由于A 的电场强度大于B 处，则正电荷从O 点移到A 处的电场力做功大于移到B 处，则U OA > U OB ，则ϕA <ϕB ．故B 正确，A 、C 、D 错误；【调研3】如图所示为一块很大的接地导体板，在与导体板相距为d 的A 处放有带电量为-q 的点M＋A d Nd /2 C MANQB P电荷．(1)试求板上感应电荷在导体内P 点产生的电场强度.(2)试求感应电荷在导体外P '点产生的电场强度(P 与P '点对导体板右表面是对称的)； (3)在本题情形，试分析证明导体表面附近的电场强度的方向与导体表面垂直； (4)试求导体上的感应电荷对点电荷-q 的作用力．解析：(1)导体板静电平衡后有E 感=E 点，且方向相反，因此板上感应电荷在导体内P 点产生的场强：E p =2kqr ，其中r 为AP 间距离，方向沿AP ，如图甲所示． (2)因为导体接地，感应电荷分布在右表面，感应电荷在P 点和P '点的电场具有对称性，因此有：E P '=2kqr ，方向如所示． (3)考察导体板在表面两侧很靠近表面的两点P 1点和P 1'．如前述分析，感应电荷在导体外P 1'点产生的场强大小为:121iP kq E r =.点电荷-q 在P 1'点产生的场强大小也是121iP kqE r =.它们的方向如图乙所示．从图乙看出，P 1'点的场强为上述两个场强的矢量和，即与导体表面垂直．甲 乙(4)重复(2)的分析可知，感应电荷在-q 所在处A 点的场强为:E iA =22(2)4kq kqd d =，方向垂直于导体板指向右方，该场作用于点电荷-q 的电场力为：F =-qE iA =224kq d-，负号表示力的方向垂直于导体板指向左方．【调研4】如图所示，有一块很大的接地导体，具有两个相互垂直的表面，在此表面外较近处有一个点电荷q ，坐标为(x 0，y 0)，试求点电荷q 的受力情况.解析： 求点电荷q 的受力即要求OA 、OB 板上感应电荷对它的作用力，但感应电荷在板上的分布并不均匀，直接求它们对q 的作用力很困难，如果此时空间中的电场与某些点电荷产生的电场相同，-qA d P 'P-qA E PPrE P ' P ' -qAP 1rAyxq (x 0,y 0)OB边界面上的感应电荷就可用这些点电荷代替，这就上上面所说的“镜像法”，为使OA 、OB 板电势为零，可先在q 关于OA 、OB 对称处分别放置q 1、q 2，q 1=q 2=-q . q 、q 1能使OA 板电势为零，但不能使OB 板电势为零；q 、q 2能使OB 板电势为零，但不能使OA 板电势为零；为使两板电势均为零，还需再放置一个与q 1、q 2都对称的q 1=q ，如图所示，导体表面感应电荷对q 的作用力相当于q 1、q 2、q 3三个镜像电荷对其的作用力. F x =-k2204q x +k222004()q x y +cos θ，其中cos θ=2200x y +.故F x = –k 24q [201x –223/20()x x y +]. 同理可得F y = –k 24q [201y –223/200()y x y +]，负号表示库仑力与x 、y 轴的方向相反，点电荷q 的受力情况就是F x 、F y 的合力F =22+xyF F =k222002223/22223/200000011+4()()x yq x x y y x y ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦.A yx q (x 0,y 0O-q (q 1)q (q 3)-q (q 2)B θ。
高中物理竞赛辅导讲义2
高中物理竞赛辅导讲义2高中物理竞赛辅导讲义第[2]讲几何光学基本知识一、光在球面上的反射――球面镜反射面是球面一部分的镜叫做球面镜．用球面的内表面作反射面的叫做凹镜，用球面的外表面作反射面的叫做凸镜． 1．成像公式如图所示，凹面镜中心点O称为顶点，球面的球心C称为曲率中心，球面的半径R称为曲率半径，连接顶点和曲率中心的直线CO称为主轴．发光点P在主轴上，光线PA反射后与PO的交点P’为像点，AC是∠PAP’的角平分线．由图中可知：β=α+θ，γ=β+θ．两式相减得：α+γ=2β．若考虑P发出的光线靠近主轴(近轴光线)。
即α、γ都很小，PO=u为物距，P’O=v为像距．当u→?时，v?R，即沿主轴方向的平行光束入射经2球面反射后，成为会聚的光束，其交点在主轴上，称为反射球面的焦点，焦点到顶点间的距离，称为焦距，以f来表示，则f?R111，凹面镜成像公式为?? 2uvf 用同样的方法可以证明：在近轴的条件下，对于凸面镜只要取f??R，上面的公式2同样适用． 2．符号规则成像公式中各量的符号规定如下：物距u：实物为正，虚物为负；像距v：实像为正，虚像为负；焦距f：凹面镜为正，凸面镜为负． 3．作图法球面镜成像，还可以用作图法来确定．作图时有三条特殊光线可以利用：(1)平行主轴的入射光线反射后过焦点F，(2)过焦点的入射光线反射后平行主轴，(3)过曲率中心C的入射光线沿原路反射．作图时只要取两条光线就可以确定一个像点． 4．横向放大率如图所示，PQ是垂直主轴的线状物，它的像也应是垂直主轴的，用作图法确定物的顶点Q所对应的像点Q’，再过Q作主轴的垂线P’Q’就行了．设物PQ高度为y，像P’Q’高度为y’，则横向放大率Ⅲ=卫．入射光线OO，则反射光线为OQ’(图中未画出)，△POQ ∽△ POQ’，因此有：P'Q'OP'?，横向PQOP放大率m?y'?v? yu 物距、像距按符号规则代入计算，若m为正表示像正立，m为负表示像倒立．二、光在球面上的折射 1．成像公式如图所示，设球形折射面两侧的折射率分别为n、n’)，O为球面顶点，球面曲率中心为C，半径为R．连线OC为主轴．主轴上的物点P发出的任意光线PA折射后和沿主轴的光线PO的交点P’为像点，PA与主轴的夹角为a，AP’与主轴的夹角为β，AC与主轴的夹角为θ，入射角为i，折射角为γ，则根据折射定律，得nsini=n’sinγ考虑到近轴光线，i、y都很小，有ni≈n’γ这就是球面折射的成像公式．如果R→?就是平面折射的公式．平行于主轴的入射光线折射后和主轴相交的位置称为球面界面的像方焦点F’，从球面顶点O到像方焦点的距离称为像方焦距f’．由球面折射的成像公式可见，当u→?时，即得如果把物点放在主轴上某一点时，发出的光折射后将成为平行于主轴的平行光束,那么,这例题分析1．与光轴平行的两条光线射到半径R=5cm的球面镜上．求从球面镜反射后的光线与光轴两个交点之间的距离△x．两条光线到光轴的距离分别为h1=0.5cm，h2=3crn．2．薄玻璃平板M1与曲率半径为20cm的凸面镜M2相距b=16cm，物点P放在玻璃平板前a远处(如图所示)，要使P在M1中的像与在M2中的像重合，a应取多大?3．一直径为4cm的长玻璃棒，折射率为1.5，其一端磨成曲率半径为2cm的半球形．长为0.1cm的物垂直置于棒轴上离棒的凸面顶点8cm处．求像的位置及大小，并作光路图．4．一半径为R，折射率为”的透明球，其球心为C．在一径向方向上取P、Q两点，使CP=R， nCQ=nR．试证，从P点发出的光，经界面折射后，总是像从Q点发出的．5．如图所示，有一半径为R=0.128m的玻璃半球，过球心O并与其平面部分相垂直的直线为其主轴，在主轴上沿主轴放置一细条形发光体AB(B离球心O较近)，其长度为l=0．02m．若人眼在主轴附近对着平面部分向半球望去，可以看到条形发光体的两个不很亮的像(此外可能还有亮度更弱的像，不必考虑)，当条形发光体在主轴上前后移动时，这两个像也在主轴上随着移动．现在调整条形发光体的位置，使得它的两个像恰好头尾相接，连在一起，此时条形发光体的近端B距球心O的距离为S=0.020m．试利用以上数据求出构成此半球的玻璃的折射率”．(计算时只考虑近轴光线)同步练习1．两个焦距都是f的凸镜共主轴相对放置，如图所示，a为平行于主光轴的光线．问两镜之间的距离L满足什么条件时，光线a可形成循环光路?画出光路图．2．如图所示，凹球面反射镜中盛有一层清水，球心C到水面的垂直距离CP=40.0cm，从主光轴上物点Q发出的傍轴光线经折射和反射后所成的像点仍位于物点Q(即像点与物点重合)，并已知QP=30.0cm．试求水的折射率n．3．一凹面镜所成的像，像高为物高的1/4，物与像相距l m，求凹面镜曲率半径．4．一种人眼的简化眼模型为：人眼的成像归结为只由一个曲率半径为5.70mm、介质折射感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高中物理竞赛讲义-镜像法
(4.4.3.14) 式中第一项 为孤立金属球的电容
圆柱面镜像1
概念
几何轴：物体的轴线。 电轴：电荷分布的轴线。
问题
已知边界条件、原电荷、几何轴，求镜像电荷，即镜像电轴位置及电荷 量。 已知给定电轴，求等位面、几何轴。
线电荷对导体圆柱的镜像
半径为a的接地导体圆柱外有 一条和它平行的线电荷，密 度为
掌握如何利用平面镜像法求解典型传输设备的对地电容。
球面镜像1
点电荷对接地导体球的镜像
题目：半径为a的接地导体球， 在与球心相据 的 一点电荷 。
在导体球内，距离球心处 的 点处置一镜像电荷 来代替导体球上的感应电荷，边 界条件维持不变，即导体球面为
零电位面。
去掉导体球，用原电荷和镜像电 荷求解导体球外区域场，注意不 能用原电荷和镜像电荷求解导体 球内区域场。 求解镜像电荷的大小和位置： 将原导体球移去，
图4.4.6 点电荷对介质平面的镜像
求解 和 ： z>0时，
(4.4.2.11) z<0时，
(4.4.2.12) 根据边界条件 、
可以解得
(4.4.2.13)
(4.4.2.14)
分区域考虑镜像电荷。
求单导线的对地电容 求单导线的对地电容。一根极长的
单导线与地面平行。导线半径为a，离 地高度为h，求单位长度单导线地对地 电容。
的边界条件。但是有了地面影响，还应满足地面为零等位面的边界条 件。为满足这个条件，就要找出置于球心的
镜像电荷，这就是
，而且满足
。
的出现虽然使地面的边界条件得到了满足，但球面的等位面条件却被破 坏了。我们需要再按照球面镜像的方法求出
在球内的镜像电荷
4.3 镜像法
l r ln 2π r
已知导体圆柱是一个等位体，因此，为了满足这个边界条件， 必须要求比值
r 为常数。与前同理，可令 r
r a ，由此得 d r f a
a2 d f
恒原理，必须再引入一个镜像电荷q"，且必须
令
q q
显然，为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷q必须位于 球心。事实上，由于导体球不接地，因此，其电位不等零。由q 及
q在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷 q
以提供一定的电位。
O
q
d2
f
q
q 为q 的镜像电荷。 q 位置为：d a 1
q q 大小为：
2
d1
d2
a q d2
P a r 2 o d q
2
r1
q
d1
由此可见，将电荷q放在导体外d1处，镜像电荷在导体内 d2处；将电 荷q放在导体内d2 处，镜像电荷在导体外d1 处，总是满足 d1d2 a2 条件， 故q 与 q 的位置称为反演点（对球心）。
（3）介质镜像：点电荷与无限大的介质平面
镜像法
实质:是以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具 有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过
程大为简化。
依据：唯一性定理。
内容：等效电荷的引入必须维持原来的边界条件不变，从而保
证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位置 的依据。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜像电荷，而
P
P1
a r 2 o d q
2
r1 P2 d1
q
对于P1点
1 q q ( )0 4π 0 a d1 a d 2
2020年高中物理竞赛—电磁学B04点电荷对球面导体边界的镜像(共14张PPT)
Q
d2
d1
l
1
l '
1
]0
ra 2 a2 d 2 2ad cos 2 a2 d '2 2ad 'cos
l l
d (a2
l
d2 '0
)
l
'
d
'(a2
d
'2
)
0
l
d '
' a2
l
/d
或
dl'
' （l 舍去）
d
四、点电荷对电介质分界面的镜像
问题：点电荷位于两种电介质分界面上方
h，求空间电位分布。
分析：在介质分界面上将存在极化面电荷， 1 空间电位由极化面电荷和电荷q共同产生。 2
解决问题方法：镜像法，即用镜像电荷
zq h O
等效极化电荷作用。
区域1的电位由q和位于区域2中的镜像电荷q′共同产生
区域2的电位由q和位于区域1中的镜像电荷q 共同产生
zq
z q q
1
h R1 P
h O R2
O h
2020高中物理竞赛
电磁学B
电磁场与波
二、点电荷对球面导体边界的镜像
点电荷对接地球面导体边界的镜像 镜像电荷
镜像电荷位于球心与电荷q连线上。
令镜像电荷电量为 q ' ，与球心距离 为 d ' 。要保持边界条件不变，则：
在空间中任意点 P(r, ) 处电位为： 1 [ q q'] 4 R r ' R r2 d 2 2rd cos r '
由边界条件可知：
0 ra
1 [ q q '] ra 4 R r '
第8讲镜像法
q'
d' d
q a q, d a2
d
d
a
q′
+
a q″
q q a q，d 0 d
第八讲 镜像法
三、导体球面的镜像
3、点电荷位于不接地导体球面外
结论：不接地导体球外存在点电荷 q时，其镜像电荷为：
q a q, d a2
d
d
q q a q，d 0 d
球外任意点的电位为
1 ( q q q) 40 R R r
特点：
• 在介质分界面上存在极化电荷分布 • 空间中任一点的电场由点电荷与极化电
荷共同产生。
z
q
1 h x
2
图1 点电荷与电介质 分界平面
问题：如何确定镜像电荷？
第八讲 镜像法
五、无限大介质分界平面的镜像
1、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像
➢ 计算上半空间中的电位 由镜像法，镜像电荷须位于下半空间
➢ 球壳内的电位函数为
d’
q
1
a
(r a)
4π0 r2 d 2 2rd cos d r2 (a2 d )2 2r(a2 d ) cos
➢ 球壳内表面感应电荷面密度为
S
0
r
ra
4πa(a2
q(a2 d 2)
d 2 2ad cos )3 2
➢ 球壳内表面的总感应电荷为
qin
由 a 时， 0
C l ln d
？
2 a
故
l ln d 2 2 a 4 2da 2cos
2 a2 2 a2d 2 2da2 cos
导体圆柱面上的感应电荷面密度
S
a
l (d 2 a2 ) 2 a(a2 d 2 2ad
高中物理课件-镜像法
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Q dS Qa 2rdr Q Q
2 0 (r 2 a 2 )3/ 2
（b）电荷Q 产生的电场的电力线全部终止在导体面上 它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在 右半空间完全相同。
（c）Q与 Q 位置对于导体板镜象对称，故这种方法称
为镜象法（又称电象法）
右半空间，Q在（0，0，a）点， Q/
P
r
Qr
a
z
电势满足泊松方程。
边界上 0 z0
从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左
半空间 z 轴上。
设电量为 Q，位置为（0，0，a ）
1 [
Q
Q
]
40 x2 y2 (z a)2 x2 y2 (z a)2
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y
-Q（-a, b, 0）
O
Q（-a, -b, 0）
Q（a, b, 0）
x
-Q（a, -b, 0）
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（2）电势分布
Q [
1
1
40 (x a)2 ( y b)2 z2 (x a)2 ( y b)2 z2
1
(x a)2 ( y b)2 z2
1
]
8 –7 电势
第八章静电场
8 –7 电势
第八章静电场
四.等势面: 电场中电势相同的各点构成的面
等量同号点电荷的电场 正点电荷的电场
等量异号点电荷的电场
孤立带电体的电场
匀强电场
等差等势面： 两个相邻的 等势面间的 电势之差是 相等的
说明：
1.电场线与等势面垂直 2.电场线由高等势面指向低等势面，等势面不相交 3.在同一等势面上移动电荷电场力不做功 4.相邻两个等势面间的电势差相等，场强大的地方
2.8 镜像法要点
P
0
l
9
2018/10/7
第二章 2.8
l l ln r1 ( ln r2 ) 2 0 2 0
l l ln r1 ln r2 2 0 2 0
l r ln 1 2 0 r2
见书2-67式
l
r1
r2
P
0 0
2018/10/7
D A
由于导体是等位体,故取A 点计算导线1的电位
r1 a, r1 a 2 4h 2 2h r2 D a D, r2 ( D a) 2 4h 2 D 2 4h 2
2h
1
r 1 l r2
2
l r22P r1 l l 2h l D l 2hD 1 ln ln ln 2 2 2 2 2 0 a 2 0 2 D 4h a D 4h 0
q
(0 , 0 , h)
q
0
镜
由上述分析可知:可将无限大接地导体平
面视为一面镜子,其像电荷只有一个， 就是原电荷的虚像,且与q等值异号.
2018/10/7 8
第二章 2.8
平面导体与线电荷:
镜像电荷:在其镜 像位置上置一密 度为 l 的线电荷. 见书31面.
l
r1
?
即:
q q q
1
即 1 两式:
1 1 z
z 0 时,
z 0
2 2 z
1
z 0
1 2
(q q)
1
联立 1 、 2
故镜像电荷 q 总与 q 同性, q 则取决于两介质 的介电常数的大小。
2018/10/7 22
1 2 q q 2 1 2 2 q q 2 1
电磁场镜像法
§1-8 镜像法一、镜像法1. 定义：是解静电场问题的一种间接方法，它巧妙地应用唯一性定理，使某些看来棘手的问题很容易地得到解决。
该方法是把实际上分区均匀媒质看成是均匀的，对于研究的场域用闭合边界处虚设的简单的电荷分布，代替实际边界上复杂的电荷分布来进行计算。
即镜像法处理问题时不直接去求解电位所满足的泊松方程，而是在不改变求解区域电荷分布及边界条件的前提条件下，用假想的简单电荷分布（称为镜像电荷）来等效地取代导体面域（电介质分界面）上复杂的感应（半极化）电荷对电位的贡献，从而使问题的求解过程大为简化。
2. 应用镜像法应主意的问题应主意适用的区域，不要弄错。
在所求电场区域内： ① 不能引入镜像电荷；② 不能改变它的边界条件；③ 不能改变电介质的分布情况；④ 在研究区域外引入镜像电荷，与原给定的电荷一起产生的电荷满足所求解（讨论）的边界条件；⑤其求得的解只有在所确定的区域内正确且有意义。
3. 镜像法的求解范围应用于电场E 和电位ϕ的求解；也可应用于计算静电力F ；确定感应电荷的分布(),,ρστ等。
二、镜像法应用解决的问题一般是边界为平面和球面的情况1. 设与一个无限大导电平板（置于地面）相距h 远处有一点电荷q ，周围介质的介电常数为ε，求解其中的电场E 。
解：在电介质ε中的场E ，除点电荷q 所引起的场外，还应考虑无限大导电平板上的感应电荷的作用，但其分布不知（σ未知），因此无法直接求解。
用镜像法求解该问题。
对于ε区域，除q 所在点外，都有20ϕ∇=以无限远处为参考点()0θϕ= 在边界上有：044q qrrϕϕϕπεπε+--=+=+= 即边界条件未变。
由唯一性定理有11444q q q r r r r ϕπεπεπε+-+-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭对于大场E 不存在()0E =推广到线电荷τ的情况，对于无限长线电荷也适合上述方法求解。
例1-15. P54求空气中一个点电荷q 在地面上引起的感应电荷分布情况。
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镜像法思路用假想的镜像电荷代替边界上的感应电荷。
保持求解区域中场方程和边界条件不变。
使用范围：界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。
使用范围界面几何形状较规范，电荷个数有限，且离散分布于有限区域。
步骤确定镜像电荷的大小和位置。
去掉界面，按原电荷和镜像电荷求解所求区域场。
求解边界上的感应电荷。
求解电场力。
平面镜像1点电荷对平面的镜像(a) 无限大接地导体平面上方有（b）用镜像电荷-q代替导体平面点电荷q上方的感应电荷图4.4.1 点电荷的平面镜像在无限大接地导体平面（YOZ平面）上方有一点电荷q，距离导体平面的高度为h。
用位于导体平面下方h处的镜像电荷-q代替导体平面上的感应电荷，边界条件维持不变，即YOZ平面为零电位面。
去掉导体平面，用原电荷和镜像电荷求解导体上方区域场，注意不能用原电荷和镜像电荷求解导体下方区域场。
电位：(4.4.2.1 )电场强度：(4.4.2.2)其中，感应电荷：=>(4.4.2.3)电场力： (4.4.2.4)图4.4.2 点电荷的平面镜像图4.4.3 单导线的平面镜像无限长单导线对平面的镜像与地面平行的极长的单导线，半径为a ，离地高度为h 。
用位于地面下方h 处的镜像单导线代替地面上的感应电荷，边界条件维持不变。
将地面取消而代之以镜像单导线（所带电荷的电荷密度为）电位： (4.4.2.5)对地电容：(4.4.2.6平面镜像2无限长均匀双线传输线对平面的镜像与地面平行的均匀双线传输线，半径为a，离地高度为h，导线间距离为d，导线一带正电荷+，导线二带负电荷-。
用位于地面下方h 处的镜像双导线代替地面上的感应电荷，边界条件维持不变。
将地面取消而代之以镜像双导线。
图4.4.4 无限长均匀传输线对地面的镜像求解电位： (4.4.2.8)(4.4.2.9)平行导线间单位长度电容：(4.4.2.10)其中小天线的镜像与地面的小天线，长度为l ，离地高度为h 。
用位于地面下方h 处的镜像小天线代替地面上的感应电荷，边界条件维持不变。
与自由空间的天线比较，当天线离平面很近时，若天线与平面平行，辐射功率为零，若天线与平面垂直，辐射功率增强。
若天线与平面倾斜放置，则辐射功率的变化与倾斜角度有关。
具体辐射功率的计算请参看天线辐射（超链），此处仅给出思路和结论。
点电荷对相交接地平面的镜像条件：两相交接地平面夹角为，n=1,2,3…镜像电荷：2n-1个。
若两相交接地平面夹角不满足上述条件，则镜像电荷为无穷多个。
图4.4.5 点电荷对相交接地地面的镜像点电荷对介质平面的镜像1区和2区为不同介质，求解时要分区域考虑。
求解区1的场：在区2置镜像电荷。
求解区2的场：在区1置镜像电荷。
图4.4.6 点电荷对介质平面的镜像求解和：z>0时， (4.4.2.11)z<0时， (4.4.2.12)根据边界条件、可以解得(4.4.2.13)(4.4.2.14)分区域考虑镜像电荷。
求单导线的对地电容求单导线的对地电容。
一根极长的单导线与地面平行。
导线半径为a，离地高度为h，求单位长度单导线地对地电容。
单位长度单导线的对地电容可表示为（式1）。
式中为单导线的电位，为地电位（＝0），为导线的线电荷密度。
现在需要求出，用镜像法求解。
例题图4.9单位长度单导线的对地电容可表示为（式1）。
式中为单导线的电位，为地电位（＝0），为导线的线电荷密度。
现在需要求出。
令（近似认为均匀分布于导线表面），利用镜像法，将地面取消而代之以镜像单导线（带）。
则原地面上方任意点P的电位为（式2）。
式中、分别代表镜像单导线及原单导线到P点的垂直距离。
由2式可知为。
把此式代入1式则得单导线对地电容为（式3）。
有了上式，就可以方便地写出平行双导线间的单位长度的电容为（式4）。
式中，D为平行双导线间的距离（相当于本题中的2h），a为导线半径。
若D>>a，就可以简化为式4的近似式。
球面镜像1点电荷对接地导体球的镜像题目：半径为a 的接地导体球，在与球心相据的一点电荷。
在导体球内，距离球心处的点处置一镜像电荷来代替导体球上的感应电荷，边界条件维持不变，即导体球面为零电位面。
去掉导体球，用原电荷和图4.4.7 点电荷对接地导体球的镜像镜像电荷求解导体球外区域场，注意不能用原电荷和镜像电荷求解导体球内区域场。
求解镜像电荷的大小和位置：将原导体球移去，及像电荷在原球面上任一点P处产生的电位应为零，即(4.4.3.1)我们在球面上取通过的直径的两端点，对于这两点的电位式为(4.4.3.2) (4.4.3.3)以上两方程解得 (4.4.3.4) (4.4.3.5)求解电位、电场强度、感应电荷：的表达式表示对于球面上任一点P，与是相似三角形，即，于是球外任意一点的电位为(4.4.3.6)采用球坐标，取原点为球心O点，z轴与轴重合，则球外任一点处有 (4.4.3.7)(4.4.3.8)这样可求得电场的分量为(4.4.3.9)(4.4.3.10)r=a时球面上的感应电荷密度为(4.4.3.11)（1）点电荷对不接地、净电荷为零的导体球的镜像。
（2）点电荷对不接地、净电荷不为零的导体球的镜像。
（3）接地球形空腔内电荷的镜像球面镜像2无穷镜像问题（a）（b）图4.4.8 无穷镜像问题半径为a 的金属球，带电荷，球心离地高度h。
为满足金属球为等位面，但电位不等于零及地面为零等位面的边界条件，我们需要用一系列的电荷去代替金属球和地面两个边界的影响。
若仅是孤立球体，则将电荷集中于球心来代替导体球的分部电荷，这样就满足了金属球面为等位面的边界条件。
但是有了地面影响，还应满足地面为零等位面的边界条件。
为满足这个条件，就要找出置于球心的镜像电荷，这就是，而且满足。
的出现虽然使地面的边界条件得到了满足，但球面的等位面条件却被破坏了。
我们需要再按照球面镜像的方法求出在球内的镜像电荷。
的出现，又出现了出现时所遇到的情况，我们又需要球它的地面镜像……这样就需要一系列的电荷去代替金属球和地面两个边界的影响。
求解镜像电荷的大小和位置：镜像电荷镜像离球心距离……………………式中求解电位、对地电容：球体的点电荷为(4.4.3.12) 金属球的电位应为所有电荷、、、…产生的，但和这对电荷、和这对电荷、…直至无穷的成对电荷都是维持金属球面为零电位的，唯独置于球心的电荷使金属球具有电位，其值为 (4.4.3.13)所以金属球的对地电容为(4.4.3.14)式中第一项为孤立金属球的电容圆柱面镜像1概念几何轴：物体的轴线。
电轴：电荷分布的轴线。
问题已知边界条件、原电荷、几何轴，求镜像电荷，即镜像电轴位置及电荷量。
已知给定电轴，求等位面、几何轴。
线电荷对导体圆柱的镜像半径为a的接地导体圆柱外有一条和它平行的线电荷，密度为，与圆柱轴相距为。
用位于导体圆柱内，距离圆柱轴线处的镜像线电荷代替导体圆柱上的感应电荷，边界条件维持不变，即导体圆柱面为零电位面。
去掉导体圆柱，用原图4.4.9 圆柱导体与线电荷的镜像线电荷和镜像线电荷求解导体圆柱外区域场，注意不能用原电荷和镜像电荷求解导体圆柱内区域场。
求解镜像电荷的大小和位置：我们用的关系进行试探求解。
同样在圆周上去两点（通过镜像电荷的直径的两端点），因为圆柱接地，它们的电位必须为零，即(4.4.4.1)(4.4.4.2)代入的关系后，上面两方程解得(4.4.4.3)求解电位：圆柱外任一点的电位为(4.4.4.4)其中、分别是、到场点的距离。
（1）线荷对不接地、净电荷为零的导体圆柱的镜像。
（2）线电荷对不接地、净电荷不为零的导体圆柱的镜像圆柱面镜像2给定电轴，确定几何轴位置和等位面两条互相平行的导线，其线电荷密度分别为和-。
视这两条极细的带电导线分别为两个电轴。
求解几何轴的位置可以直接写出P点的电位为由图可见，XOZ平面为零电位面，即时，。
图4.4.10 确定两个给定电轴的几何轴于是可知常数C 为零，则的表达式为，取（）为常数就可得到等位线，即取。
k为常数。
由图可知、。
所以可得(4.4.4.5)这是一个圆方程。
其参数为圆心位置：(4.4.4.6)半径： (4.4.4.7)即等位线为一簇圆，其圆心自然是位于等位圆的圆柱面的几何轴心上。
圆心和半径都是k的函数。
实际问题往往是这样：知道两条平行导线的半径及相互间的距离，而需要确定电轴的位置。
这就要找到图如图示的b.R.d之间的关系。
求两个导体圆柱间单位长度的电容两根无限长平行圆柱，半径均为a，轴线距离位D。
求两圆柱间单位长度上的电容。
例题图4.10把圆柱看成两平行线电荷及-的场中的两个等位面，只要求出两线电荷的位置，便可得到解。
这里和可由D和a定出。
即、解得、对于左边圆柱面上的点，有这样的关系，故左边圆柱的电位为对于右边圆柱上的点有，电位为两圆柱间电压为故两圆柱间单位长度的电容为如果，则。
掌握如何利用柱面镜像法求解典型传输设备的电容。