对流体力学欧拉运动方程式的修正

第9节 对流体力学欧拉运动方程式的修正（探讨）

内容提要：本文是探讨性的论文。观念正确如否有待学界审视及实践的检验。流体力学的欧拉运动方程式有修正的必要吗？首先，欧拉运动方程式是在《场论》只具有散度和旋度的数学基础为背景的产物；其次，人们注意到，航天器在飞行运动中存在一未知的莫铭的力。这个莫铭的力应该是欧拉方程尚未虑及的因素造成的。作者在研究《超变函数论》过程中揭示了在三维向量场中除了散度、旋度外尚存在一个为目前所未知的副冲量度【见文献3】。 我们所提出的修正意见就是从这里切入的，即在考虑存在副冲量度这一因素后，欧拉运动方程式应该发生怎样的变化。

关键词：理想流体，时变加速度,位变加速度，欧拉运动方程式，副冲量度，冲量力，压扁的四维空间. 分类号：

一,现在的欧拉运动方程式[见文献4,第77页]

在理想流体场中取出一微小六面体流体微团。微团中心的压力为P ,速度为,,x y z ωωω。微团所受的力有表面力(压力)和体积力(质量力)。六面体各面所受的表面力如下图所示。体积力为,,x y z F F F 。设单位质量的的体积力为X,Y,Z ，则在x 轴方向微团所受的力为

()()22

()∂∂+-+∂∂∂=-∂dx dx

X dxdydz dydz dydz x x X dxdydz

x

P P ρP -

P P

ρ

在x 轴方向微团产生加速度的运动力为

x

d dxdydz

dt

ωρ 【注：其中，总加速度

∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂y x x x z y x x z

x y z d x y z

dt t x t y t z t

t x y z

ωωωωωωωωωωωω 该式右侧第一项称为时变加速度；第二、三、四项总称为位变加速度。】

根据牛顿第二运动定律，二者应相等，即

()∂-

=∂x d p

X dxdydz dxdydz

x dt

ωρρ 同理可推导y z 、轴方向力的平衡，于是得到下式

111∂-

=∂∂-=

∂∂-=

∂x

y z d p X x dt d p Y y dt d p Z z dt

ωρωρωρ

（1） 用向量表示，则为

1

-

s =

D gradp Dt ρ

ω

（2） 其中

s =i +j +k X Y Z

这就是理想流体的运动方程式，又称欧拉运动方程式.

二,副冲量度的概念

本文将用三维向量场的副冲量度来重新审视欧拉运动方程式.因而，在此简要介绍副冲量度的概念.

现考查流速场(,,)(,,)(,,)P x y z Q x y z R x y z P Q R =+A i j +k =i +j +k 的积分：

A Ω

⎰⎰⎰dv β

β为副法线方向的单位向量。 β与切线方向的单位向量τ与法线

方向单位向量n 的关系是以右手法则（按附图）确定的：

τ为空间曲线L 某点处的切线方向的单位向量；∑是张在曲线L 上的光滑的有向曲面，∑的外侧法线单位向量为n 。令

1n =⨯βτ

但因τ与n 不一定垂直，所以1β不是单位向量，故取

1111||||

n ==

⨯1ββββτ 从而使β为副法线方向的单位向量。 我们首先来说明上面所给积分的物理意义。

当()M A 表空间的流速场时，设流体密度1γ=，则体元dV dm =（dm 代表体元dV 中的流体质量元）。

现设(1,2,

)i V i n ∆=是空间Ω的一个任意分割，则()i i i M V ∆βA 就表示质量为

()i i V m ∆=∆的流体在i β方向的冲量，记为

()i i i i H M V ∆=∆A β (1,2,

)i n =

总冲量

1

=≈∆∑n

i

i H H

若该极限存在，则记为0

1

lim

∆→==∆∑i n

i

V i H H

于是可知，对流速场而言，

A Ω

∙⎰⎰⎰dv

β表Ω中的流体在副法线β方向上的冲量。

定理：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，又设L 为分段光滑的空间区域Ω的界面∑上的一条闭曲线，L 的正向与∑的侧符合右手法则，其中(,,)P x y z 、

(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在包含曲面∑在内的空间区域Ω内具有一阶连续偏导数，则对Ω内

的向量场A =i +j +k P Q R 有(3)式

()()cos ()()cos ()()cos A ⎧⎡⎤∂∂∂∂⎡⎤

=-+-+-+-⎨⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣

⎦⎩⎫⎡⎤∂∂

+-+-⎬⎢⎥∂∂⎣⎦⎭

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰R dv Q P R P R Q P Q y Z z x P R Q R d x y ωωωωαβγω

β （3）

其中

d ω——四维空间的“体元”

cos ωαd ω——d ω在yoz 平面上的投影 cos ωβd ω——d ω在zox 平面上的投影 cos ωγd ω——d ω在xoy 平面上的投影

并且

111cos 2||cos 2||cos 2||dydz dV d KdL dzdx dV

d KdL dxdy dV d KdL ωω

ω

αωββωβγωβ⎧⋅⋅=⎪

⎪

⎪⋅⋅=⎨⎪

⎪⋅⋅=⎪⎩

记1

ω

∑

∑=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，则

()()cos A dV Q P R P y z ωωαΩ⎧⎡⎤∂∂

∙=-+-⎨⎢⎥∂∂⎣

⎦⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰β