新课标版高考题库考点6 指数函数对数函数幂函数

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高三数学(文)黄金考点总动员：考点06 基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数、二次函数)(含解析)

2019届高三数学33个黄金考点总动员考点6 基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、二次函数）【考点剖析】1.最新考试说明：1.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，会解决与指数函数性质相关的问题.2.理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．3.理解对数函数的概念，能解决与对数函数性质相关的问题.4.结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x ，1y=x的图象，了解它们的变化情况． 2.命题方向预测：1.指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点．2.通过具体问题考查指数函数的图象与性质，或利用指数函数的图象与性质解决一些实际问题是重点，也是难点，同时考查分类讨论思想和数形结合思想．3.高考考查的热点是对数式的运算和对数函数的图象、性质的综合应用，同时考查分类讨论、数形结合、函数与方程思想．4.关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题．5.二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点．6.题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现. 3.课本结论总结：指数与指数函数 1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n=a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是am n-=(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝ar ＋s，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .2．指数函数的图象与性质对数与对数函数 1．对数的概念如果a x＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log aMN＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝nmlog a M . (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝a a log Nlog b(a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1b log a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与性质二次函数与幂函数1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质2.幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质比较4.名师二级结论：（1）根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式能够相互转化，通常利用分数指数幂实行根式的化简运算．（2）指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，所以解题时通常对底数a 按：0＜a ＜1和a ＞1实行分类讨论．（3）换元时注意换元后“新元”的范围．（4）对数源于指数，指数式和对数式能够互化，对数的性质和运算法则都能够通过对数式与指数式的互化实行证明．（5）解决与对数相关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．（6）对数值的大小比较方法化同底后利用函数的单调性、作差或作商法、利用中间量(0或1)、化同真数后利用图象比较．（7）函数y ＝f (x )对称轴的判断方法1、对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．2、对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．5.课本经典习题：(1)新课标A 版第 70 页，B 组第 2 题指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象如图所示，求二次函数2y ax bx =+的顶点的横坐标的取值范围．错误！未找到引用源。

【高考数学考点预测】指数函数对数函数幂函数二次函数思维方法总结及15类常考题型归纳(新高考)原卷版

1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.4.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.5.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.6.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.7.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.8.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.9.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.10.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.11.a b＝N⇔b＝log a N(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.12.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.13.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.14.比较对数值的大小与解形如log a f(x)>log a g(x)的不等式，主要是应用函数的单调性求解，如果a的取值不确定，需要分a>1与0<a<1两种情况讨论.15.与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.16.对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.17.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.18.在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.19.求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：20.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.21.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.22.闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.23.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.24.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离.其中分离参数的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.【查缺补漏】【考点一】指数幂的运算【典例1】已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)＝________.【典例2】已知常数a>0，函数f(x)＝2x2x＋ax的图象经过点P⎝⎛⎭⎪⎫p，65，Q⎝⎛⎭⎪⎫q，－15.若2p＋q＝36pq，则a＝________.【典例3】[(0.06415)－2.5]23－3338－π0＝________.【考点二】指数函数的图象及应用【典例1】(多选题)已知实数a ，b 满足等式2 020a ＝2 021b ，则下列关系式成立的是( ) A.0f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( ) A.a <0，b <0，c <0 B.a <0，b ≥0，c >0 C.2－a <2cD.2a ＋2c <2【典例3】函数y ＝a x －1a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )【考点三】比较指数式的大小【典例1】设a ＝30.7，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a ＜b ＜cB.b ＜a ＜cC.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b【典例2】已知f (x )＝2x－2－x ，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9715，则f (a )，f (b )的大小关系是________.【典例3】已知函数f (x )＝4x －12x ，a ＝f (20.3)，b ＝f (0.20.3)，c ＝f (log 0.32)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c <b <a B.b <a <c C.b <c <aD.c <a <b【考点四】解简单的指数方程或不等式【典例1】已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎨⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为______.【典例2】设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________.【典例3】已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A.a <b <c B.a <c <b C.c <a <bD.b <c <a【考点五】指数函数性质的综合应用【典例1】函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在区间[－3，2]上的值域是________.【典例2】已知定义域为R 的函数f (x )＝－12＋12x ＋1，则关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0的解集为________. 【典例3】若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2＋2x ＋3的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，19，则f (x )的单调递增区间是________.【考点六】对数的运算【典例1】若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝ .【典例2】2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1＝ . 【典例3】计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝ .【考点七】对数函数的图象及应用【典例1】已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1,0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1,0<c <1【典例2】当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A ．(0，22) B ．(22，1) C ．(1，2)D ．(2，2)【典例3】若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )【考点八】比较对数值大小【典例1】已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a【典例2】若a >b >0,0<c <1，则( ) A ．log a c <log b c B ．log c a <log c b C ．a c c b【典例3】若a ＝20.3，b ＝log π3，c ＝log 4cos 100，则( ) A ．b >c >a B ．b >a >c C ．a >b >cD ．c >a >b【考点九】解简单的对数不等式【典例1】若log a 23<1，则a 的取值范围是．【典例2】设函数212log ()()log ()(0),x x f x x x ⎧⎪⎨-⎪⎩＞0，＜若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)【典例3】设函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)【考点十】对数型函数性质的综合应用【典例1】已知函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋a .(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围.【典例2】已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a ＝b <cB.a ＝b >cC.a b >c【典例3】已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________. 【考点十一】幂函数的图象和性质【典例1】若幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的大致图象是( )【典例2】若幂函数f (x )＝(2b －1)x a2－10a ＋23(a ，b ∈Z )为偶函数，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，则a ，b 的值分别为( )A.2，1B.4，1C.5，1D.6，1【典例3】如图是①y＝x a；②y＝x b；③y＝x c在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为()A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b【考点十二】二次函数的解析式【典例1】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.【典例2】已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.【典例3】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.【考点十三】二次函数的图象【典例1】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示.则下列结论正确的是______(填序号).①b2>4ac；②c>0；③ac>0；④b<0；⑤a－b＋c<0.【典例2】设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则()A.f(m＋1)≥0B.f(m＋1)≤0C.f(m＋1)>0D.f(m＋1)<0【考点十四】二次函数的单调性与最值【典例1】函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是()A.[－3，0)B.(－∞，－3]C.[－2，0]D.[－3，0]【典例2】已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值.【考点十五】二次函数中的恒成立问题【典例1】已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，则实数a的取值范围是________.【典例2】函数f(x)＝a2x＋3a x－2(a>1)，若在区间[－1，1]上f(x)≤8恒成立，则实数a的最大值为________.【典例3】已知二次函数f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)，若f(x)在区间[3，＋∞)上单调递减，且f(m)≥f(0)恒成立，则实数m的取值范围是()A.(－∞，0]B.[0，6]C.[6，＋∞)D.(－∞，0]∪[6，＋∞)【真题训练】1.（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（）A ．y ＝﹣3xB ．y ＝x 3C ．y ＝log 3xD ．y ＝3x2. （2021•天津）设a ＝log 20.3，b ＝0.4，c ＝0.40.3，则三者大小关系为（） A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜b3. （2021•新高考Ⅱ）已知a ＝log 52，b ＝log 83，c ＝，则下列判断正确的是（） A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．a ＜c ＜bD ．a ＜b ＜c4. （2021•甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5+lgV ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）（≈1.259） A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.65. （2022•上海）下列函数定义域为R 的是（） A ．y ＝B ．y ＝x ﹣1C ．y ＝D ．y ＝6. （2022•浙江）已知2a ＝5，log 83＝b ，则4a ﹣3b ＝（） A ．25B ．5C ．D ．7. （2022•甲卷）已知9m ＝10，a ＝10m ﹣11，b ＝8m ﹣9，则（） A ．a ＞0＞bB ．a ＞b ＞0C ．b ＞a ＞0D ．b ＞0＞a8. （2022•新高考Ⅰ）设a ＝0.1e 0.1，b ＝，c ＝﹣ln 0.9，则（） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b D ．a ＜c ＜b【热点预测】【单选题】1. 函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( ) A ．－3 B ．13 C ．7 D ．52. 幂函数24m m y x －＝(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．33. 若函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象经过⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，则f (－1)＝( ) A.1 B.2 C. 3 D.34. 已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)5. 不论a 为何值，函数y ＝(a －1)2x －a 2恒过定点，则这个定点的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 6. 设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A.a ＋b <ab <0B.ab <a ＋b <0C.a ＋b <0<abD.ab <0<a ＋b7. 若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254，－4]，则m 的取值范围是( )A ．[0,4]B ．[32，4]C ．[32，＋∞)D ．[32，3]8. 函数y ＝a x －1a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )9. 已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋43x ＋m 的值域是全体实数，则实数m 的取值范围是( )A.(－4，＋∞)B.[－4，＋∞)C.(－∞，－4)D.(－∞，－4]10. 若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2 11. 设a ＝30.7，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＜b ＜cB.b ＜a ＜cC.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b12. (多选题)已知函数f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称，令h (x )＝f (1－|x |)，则关于函数h (x )有下列说法，其中正确的说法为( )A.h (x )的图象关于原点对称B.h (x )的图象关于y 轴对称C.h (x )的最大值为0D.h (x )在区间(－1，1)上单调递增13. (多选题)若10a ＝4，10b ＝25，则( )A.a ＋b ＝2B.b －a ＝1C.ab ＞8lg 22D.b －a ＞lg 614.已知二次函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)＝f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与a 值有关15. 当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(－2，1)B.(－4，3)C.(－3，4)D.(－1，2)16. 基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I (t )＝e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天17. (多选题)函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A.a ＞1B.0＜c ＜1C.0＜a ＜1D.c ＞118. (多选题)已知0＜a ＜b ＜1，下列不等式成立的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫13bB.a 12＞b 13C.log 12a ＞log 13bD.log a 12＞log b 13 19. (多选题)关于函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(3－x )，下列结论正确的是( )A.f (x )在(－1，3)上单调递增B.f (x )的图象关于直线x ＝1对称C.f (x )的图象关于点(1，0)对称D.f (x )的值域为R20. 当0<x <1时，函数f (x )＝x 1.1，g (x )＝x 0.9，h (x )＝x －2的大小关系是________________．21. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8，1]，则实数a 的取值范围是________.22. 已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)若a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．。

高中数学考点6指数函数、对数函数、幂函数(含近年年高考试题)新人教A版[1]

考点6 指数函数、对数函数、幂函数一、选择题1.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T8)若a〉b〉1，0〈c〈1，则（）A。

a c〈b c B。

ab c<ba cC.alog b c〈blog a cD.log a c〈log b c【解析】选C。

对A:由于0<c<1,所以函数y=x c在R上单调递增，因此a>b〉1⇔a c>b c,A错误.对B:由于—1〈c-1<0，所以函数y= 1c x-在（1,+∞)上单调递减，所以a>b>1⇔1c a-<1c b-⇔ba c〈ab c,B错误。

对C:要比较alog b c和blog a c，只需比较alnclnb 和blnclna,只需比较lncblnb和lncalna，只需比较blnb和alna，构造函数f（x)=xlnx(x>1),则f'(x）=lnx+1>1>0，f（x)在(1,+∞)上单调递增，因此f（a）〉f（b)>0⇔alna〉blnb>0⇔1alna <1 blnb.又由0<c〈1得lnc<0，所以lncalna >lncblnb⇔blog a c>alog b c,C正确。

对D：要比较log a c和log b c，只需比较lnclna 和lnclnb，而函数y=lnx在（1，+∞)上单调递增,故a>b〉1⇔lna>lnb>0⇔1lna <1lnb。

又由0〈c<1得lnc<0,所以lnclna 〉lnclnb⇔log a c>log b c,D错误.2。

（2016·全国卷Ⅰ高考文科·T8)若a>b 〉0,0<c 〈1,则 ( ) A.log a c<log b c B.log c a 〈log c bC 。

a cc b【解析】选B 。

2023年高考数学客观题专题六函数与导数

2.函数的奇偶性:
(1)奇函数、偶函数的定义:
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称
函数y=f(x)是偶函数;
如果对于函数则
称函数y=f(x)是奇函数.
(2)奇、偶函数的性质:
①偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
A∩B= (
)
A.(1,2)
B.[1,2]
C.[1,2)
D.(1,2]
【答案】D
【解析】由题意得x-1>0,解得x>1,则集合B={x|x>1}.
而集合A={x|-1≤x≤2},
于是A∩B={x|1<x≤2}.故选D.
6.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是( )
1
D.-4
)
3.若奇函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(3)=3,则f(-1)=
【答案】-3
【解析】y=f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(3)=f(1)=3.
y=f(x)为奇函数,则f(-1)=-f(1)=-3.
.
1
4.函数f(x)=ln(+1)+
4 − 2 的定义域为
(
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数
y=f(x)有零点.
2.定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一
条曲线,并且有:f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即
存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
指数、对数的运算性质:
(1)幂的运算性质:aman=am+n;

2015年-2019年高考数学分类考点6指数函数对数函数幂函数

考点6 指数函数、对数函数、幂函数一、选择题1. (2015·北京高考理科·T7)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log 2(x+1)的解集是 ( )A.{x|-1<x ≤0}B.{x|-1≤x ≤1}C.{x|-1<x ≤1}D.{x|-1<x ≤2}【解题指南】在同一坐标系内作出函数y=log 2(x+1)的图象,利用图象求解. 【解析】选C.函数y=log 2(x+1)的图象如图所示,所以不等式f(x)≥log 2(x+1)的解集为{x|-1<x ≤1}.2 .(2015·天津高考理科·T7) .(2015·天津高考文科·T7)已知定义在R 上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记a=f(log 0.53),b=f(log 25),c=f(2m),则a,b,c 的大小关系为 ( ) A.a<b<c B.a<ca>c.3(2015·新课标全国卷Ⅰ文科·T12)设函数y=f(x)的图象与y=2x+a 的图象关于直线y=-x 对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a= ( ) A.-1 B.1 C.2 D.4xx【解题指南】由函数y=f(x)的图象与y=2x+a 的图象关于直线y=-x 对称,得出-x=2-y+a ,从而确定y=f(x)的解析式,再利用f(-2)+f(-4)=1求出a 的值. 【解析】选C.因为函数y=f(x)的图象与y=2x+a 的图象关于直线y=-x 对称,所以-x=2-y+a ,解得f(x)=-log 2(-x)+a,又f(-2)+f(-4)=1, 所以-log 22-log 24+2a=1,解得a=2.4.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T5)设函数,( )A.3B.6C.9D.12 【解析】选C.由已知得，又，所以，故．5.(2015·山东高考文科·T3)设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =,则a,b,c 的大小关系是 ( ) A.a<b<c B.a<c，所以b<a<c.6.（2015·重庆高考文科·Ｔ3）函数的定义域是（） A. B. C. D.【解题指南】直接利用对数函数真数大于零进行计算即可.【解析】选D.对数函数的真数大于零可知，，解得或所以函数的定义域是211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩2(2)(log 12)f f -+=2(2)1log 43f -=+=2log 121>22log 121log 62(log 12)226f -===2(2)(log 12)9f f -+=22()log (23)f x x x =+-[]3,1-()3,1-(][),31,-∞-+∞(),3(1,)-∞-+∞2230x x +->3,x <-1x >22()log (23)f x x x =+-(),3(1,).-∞-+∞二、填空题7.(2015·浙江高考理科·T12)若a=log 43,则2a +2-a = . 【解题指南】根据指数与对数的运算性质计算. 【解析】因为a=log 43,所以4a =3⇒2a=,所以答案:8.(2015·浙江高考文科·T9)计算:log 2 = ,= .【解题指南】根据对数的运算性质计算. 【解析】12221log log 22-==-，2424log 3log 3log 3log 32223+=⨯== 答案: 12- 9. （2015·安徽高考文科·T11）=-+-1)21(2lg 225lg。

高考分类题库考点6 指数函数、对数函数、幂函数 Word版含解析

考点指数函数、对数函数、幂函数一、选择题.(·全国乙卷理科·)设为正数,且,则()<< <<<< <<【命题意图】主要考查指数与对数之间的相互转化,并结合实际问题考查比较大小的方法.【解析】选.令,分别可求得,分别对分母乘以可得,故而可得⇒>>⇒<<,故而选.【光速解题】选.取对数.>,所以>,则<,所以<,所以<<,故选..(·全国甲卷文科·)函数()()的单调递增区间是().(∞).(∞).(∞).(∞)【命题意图】对数的性质和函数的单调性,意在考查学生的转化与化归思想以及运算能力.【解析】选.函数有意义,则>,解得<或>,结合二次函数的单调性和复合函数同增异减的原则,可得函数的单调增区间为(∞)..(·北京高考文科·)同(·北京高考理科·)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限约为,而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是(参考数据≈)()【命题意图】本题主要考查对数运算.意在培养学生数学建模能力,及计算能力.【解析】选.因为,因为≈,所以≈,所以..(·天津高考理科·)已知奇函数()在上是增函数()().若()()(),则的大小关系为()<< <<<< <<【命题意图】本题综合考查函数的单调性与奇偶性和指数、对数运算,综合性较强.【解析】选.因为()是奇函数,且在上递增,所以>时()>,从而()()在上为偶函数,且在[∞)上是增函数()()<,又<<,所以<<,即<<<()<()<(),所以<<..(·天津高考文科·)已知奇函数()在上是增函数.若()()(),则的大小关系为()<< <<<< <<【命题意图】本题综合考查函数的单调性与奇偶性和指数、对数运算,综合性较强.【解析】选.由题意()(),且>><<,。

2023年高考分类题库考点6 指数函数、对数函数、幂函数

考点6指数函数、对数函数、幂函数10.(2023·新高考Ⅰ卷·T10)噪声污染问题越来越受重视,用声压级来度量声音的强弱,定义声压级L p =20×lg 0,其中常数不妨设p 0(p 0>0)是听觉下线阈值,p 是实际声压.下表为不同声源的声压级:声源与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为p 1,p 2,p 3,则()A .p 1≥p 2B .p 2>10p 3C .p 3=100p 0D .p 1≤100p 2【命题意图】本题考查对数的运算法则、对数与指数的转化、对数函数的性质、对数模型的应用,考查学生的逻辑推理能力、运算能力、数据分析能力、建模素养.【解析】选ACD .燃油汽车 1=20×lg 1 0∈[60,90],所以1 0=10 120, 1∈[60,90],①同理2 0=10 220, 2∈[50,60],②3 0=10320=102=100.③对于A ,由题表知 1≥ 2,所以A 正确;对于B ,②÷③得, 2 3=10 2- 320∈[1012,101],所以 2 3≤10,所以B 错误;对于C , 3 0=10 320=102=100,所以C 正确;对于D ,①÷②得, 1 2=10 1- 220∈[100,102],所以 1 2∈[1,100],p 1≤100p 2,所以D 正确.3.(2023·天津高考)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则()A .c>a>bB .c>b>aC .a>b>cD .b>a>c【解析】选D .y=1.01x ,在R 上单调递增,0.6>0.5,故1.010.6>1.010.5,所以b>a ;y=x 0.5,在[0,+∞)上单调递增,1.01>0.6,故1.010.5>0.60.5,即a>c ,所以b>a>c.。

2022年高考分类题库考点6 指数函数、对数函数、幂函数

考点6指数函数、对数函数、幂函数1.(2022·北京高考·T7)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献,如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是()A.当T=220,P=1026时,二氧化碳处于液态B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态C.当T=300,P=9987时,二氧化碳处于超临界状态D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态【命题意图】考查对数的计算,函数图像的应用,较难.【解析】选D.对于A选项,T=220,lg1026略大于lg1000=3,由题图知,处于固态;对于B选项,T=270,lg128略大于lg100=2,由题图知,处于液态;对于C选项,T=300,lg9987略小于lg10000=4,由题图知,处于固态;对于D选项,T=360,lg729大于2小于3,由题图知,处于超临界状态.2.(2022·浙江高考数学科·T7)(4分)已知2a=5,log83=b,则4a-3b=()A.25B.5C.259D.53【命题意图】本题主要考查指数式与对数式的互化及指数的运算性质,考查学生的运算能力.【解析】选C.由2a=5,所以4a=25,又log83=b,则8b=3,所以23b=3,所以43b=9,所以4 43 =259,所以4a-3b=259.3.(2022·全国甲卷文科)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则()A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a【命题意图】本题主要考查构造函数比较大小【解析】选A.由9m=10可得m=log910=lg10lg9>1,而lg9lg11<1=lg102,所以lg10lg9>lg11lg10,即m>lg11,所以a=10m-11>10lg11-11=0.又lg8lg10<lg92,所以lg9lg8>lg10lg9,即log89>m,所以b=8m-9<8log89-9=0.综上,a>0>b.。

2019年高考数学真题考点6 指数函数、对数函数、幂函数

考点6 指数函数、对数函数、幂函数一、选择题1.(2019·全国卷Ⅰ理科·T3同2019·全国卷Ⅰ文科·T3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a【命题意图】本题考查指数和对数大小的比较,渗透了直观想象和数学运算素养.采取中间变量法,利用转化与化归思想解题.【解题指南】运用中间量0比较a,c,运用中间量1比较b,c.【解析】选B.a=log20.2<log21=0,b=20.2>20=1,0<0.20.3<0.20=1,则0<c<1,所以a<c<b.故选B.2.(2019·北京高考文科·T3)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是()A.y=B.y=2-xC.y=lo xD.y=【命题意图】本题考查基本初等函数的单调性,考查考生应用数学解决问题的能力和运算能力等.【解析】选A.对A,y=是幂函数,且>0,所以y=在(0,+∞)上单调递增;对B,y=2-x即y=是指数函数,且0<<1,所以y=2-x在(0,+∞)上单调递减;对C,y=lo x是对数函数,且0<<1,所以y=lo x在(0,+∞)上单调递减;对D,y=即y=x-1是幂函数,且-1<0,所以y=在(0,+∞)上单调递减.3.(2019·天津高考理科·T6)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为()A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b【命题意图】本题考查考生对于对数的运算法则、指数函数、对数函数的性质的理解与掌握情况,考查考生对比较实数大小的方法的掌握情况.【解析】选A.0<log52<log5=,b=log0.50.2>log0.50.5=1,c=0.50.2>0.51=,所以a<c<b.【方法技巧】一般比较大小的题目,常用的方法有:先估算一下每个数值,看能否根据估算值直接比较大小;估算不行的话再找中间量,经常和0,1,-1比较;还可以构造函数,利用函数的单调性来比较大小.4.(2019·天津高考文科·T5)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为()A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b【命题意图】本题考查考生对于对数的运算法则、指数函数、对数函数的性质的理解与掌握情况,考查考生对比较实数大小的方法的掌握情况.【解题指南】利用0,1,2等中间值区分各个数值的大小.【解析】选A.c=0.30.2<0.30=1;log27>log24=2;1<log38<log39=2.故c<b<a.【方法技巧】一般比较大小的题目,常用的方法有:先估算一下每个数值,看能否根据估算值直接比大小;估算不行的话再找中间量,经常和0,1,-1比较;还可以构造函数,利用函数的单调性来比较大小.。

新高考高中数学核心知识点全透视：指数函数、对数函数与幂函数(精讲精析篇)(附答案及解析)

专题4.1 指数函数、对数函数与幂函数（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 指数幂的化简与求值指数幂运算的一般原则：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．【典例1】计算：．【典例2】已知则的值为__________．【特别提醒】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如，，，解题时要善于应用公式变形．热门考点02 指数函数的图象及应用常考题型及技法(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (4)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较．【典例3】（2019·华东师大二附中前滩学校高三月考）函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图象可能是（）． A ． B ．C ．D ．【典例4】(2019·天津河西区一模)已知f (x )＝|2x－1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( ) A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 C ．2－a＜2cD ．1＜2a＋2c＜2【典例5】（2019·安徽马鞍山二中高三月考（文））若函数3x my a n -=+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点(3,2)，则m n +=______．【总结提升】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较．3.识图的三种常用方法（1）抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象. (2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 4.过定点的图象(1)画指数函数y ＝ax(a ＞0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）； (2) xy a ＝与xy a-＝的图象关于y 轴对称；(3)当a ＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a ＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．热门考点03 指数函数的性质及应用有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．【典例6】（2016新课标全国III ）已知，，，则（）A. B. C.D.【典例7】（2017·北京高考真题（理））已知函数1()3()3x x f x =-，则()f x （）A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【典例8】（2015·江苏高考真题）不等式224xx-<的解集为________.【典例9】（2019·浙江学军中学高一期中）已知函数1()421x x f x a +=-⋅+．（1）若函数()f x 在[]0,2x ∈上有最大值8-，求实数a 的值；（2）若方程()0f x =在[]1,2x ∈-上有解，求实数a 的取值范围．【总结提升】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b. 规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．热门考点04 对数的化简、求值1.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．【典例10】()52016? 1.2b aa b a b log b log a a b 浙江卷已知＞＞若＋＝，＝，则a ＝，b ＝ . 【典例11】（2019·全国高考真题（理））已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________. 【易错提醒】(1)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)的错误．(2)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．热门考点05 对数函数的图象及应用应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【典例12】（2019·四川省眉山第一中学高三月考（文））函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【典例13】（2019·浙江高考真题）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（）A. B.C. D.【典例14】（2019·江西高三高考模拟（文））已知函数lg ,0()1lg ,0x x f x x x >⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，若()()f m f m >-，则实数m 的取值范围是（） A ．(1,0)(1,)-⋃+∞ B ．(,1)(1,)-∞-+∞U C ．(1,0)(0,1)-UD ．(,1)(0,1)-∞-U【总结提升】log a y x =的底数变化，其图象具有如下变化规律：（1）上下比较：在直线1x =的右侧，1a >时，底大图低（靠近x 轴）；01a <<时，底大图高（靠近x 轴）．（2）左右比较（比较图象与1y =的交点）：交点横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.热门考点06 对数函数的性质及应用1.比较对数式大小的类型及相应的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． (3)若底数与真数都不同，则常借助1,0,-1等中间量进行比较． 2. 解对数不等式的类型及方法（1）形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．（2）形如log a x ＞b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式．【典例15】（2018·全国高考真题（理））设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（） A ．0a b ab +<B ．304a <<或43a >C ．304a <<或1a > D ．1a >【典例17】（2018·上海市大同中学高一期末）函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是______．【易错提醒】利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．热门考点07 幂函数的图象和性质1.比较幂值大小的常见类型及解决方法2.幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0,1时，幂函数y ＝x α在第一象限的图象特征：【典例18】（2018·上海高考真题）已知112112322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，，，，，，，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在()0+∞，上递减，则a =____．【典例19】（2019·湖北高三高考模拟（理））幂函数的图象过点，且，，，则、、的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．【总结提升】1在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b. 规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．4.幂函数y ＝x α的形式特点是“幂指数坐在x 的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y 轴左侧的增减性即可．热门考点08 函数与方程1.判断函数零点所在区间有三种方法：①解方程，直接求出零点；②利用零点存在定理，判断零点所在区间；③图象法，观察交点所在区间.特别提醒：在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函数性质进行分析判断． 2.判断函数零点个数的方法：（1）直接法：即直接求零点，令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点；（2）定理法：利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点（3）图象法：即利用图象交点的个数，画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴交点的个数就是函数f (x )的零点个数；将函数f (x )拆成两个函数h (x )和g (x )的差，根据f (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数就是函数y ＝h (x )和y ＝g (x )的图象的交点个数.（4）性质法：即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数. 【典例20】（2019·山东高二期末）函数3()2xf x e x =--(e=2.71828…是自然对数的底数)一定存在零点的区间是（） A.(-1，0)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，e)【典例21】（2015·天津高考真题（文））已知函数,函数,则函数的零点的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【典例22】（2019·新疆高考模拟（文））关于x 的方程()00,1xa x a a a --=>≠且有两个解，则a 的取值范围是（）A ．()1+∞， B ．()01， C ．()0+∞，D ．ϕ【总结提升】1.在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函数性质进行分析判断．2. 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．巩固提升1.（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是( ) A.B.y =C.D.2．已知a ，b 均为不等于1的正数，且满足lg lg 0a b +=，则函数()xf x a =与函数()log b g x x =-的图象可能是（）A. B.C. D.3．（2010·全国高考真题（文））已知函数()lg f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则+a b 的取值范围是（） A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞4．（2018·全国高考真题（文））下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是( ) A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+5．（2019·河北高三月考（理））已知奇函数()f x 满足()(4)f x f x =+，当(0,1)x ∈时，()2x f x =，则()2log 12f =（）A.43- B.2332 C.34D.38-6．（2019·天津高三高考模拟）若，则函数的值域是（）A ．B ．C ．D ．7.（2019·北京高考真题（文））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10–10.1 8.（2019·天津高考真题（文））已知，，，则的大小关系为（）A. B. C.D.9.（2018·天津高考真题（文））已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>10. (2018届山东、湖北部分重点中学冲刺（二）)定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（）A. B. C. D.11.（2019·上海市高桥中学高一期末）式子()2log 3y x =-的定义域为_________. 12.函数log ()a y x k =+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点()0,0，则函数1log ()ay x k =-的图象恒过点______.13.（2019·上海市大同中学高三月考）幂函数ky x =的图象经过点(14,2)，则它的单调减区间为________14.（2019·上海市行知中学高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2xf x =，则()4log 9f 的值为______.15.（2015·湖南高考真题（理））已知函数32,(),x x m f x x x m ⎧≤=⎨>⎩，，若存在实数a ，使函数g(x)=f(x)-a 有两个零点，则实数m 的取值范围是________．16.（2019·上海市高桥中学高一期末）在下列命题中：①两个函数的对应法则和值域相同，则这两个是同一个函数；②()222xxf x -=在R 上单调递增，③若函数()1f x -的定义域为[]0,2，则函数()1f x +的定义域为[]2,0-；④若函数()f x 在其定义域内不是单调函数，则()f x 不存在反函数；⑤()42222xx f x =+++函数的最小值为4；⑥若关于x 的不等式1202xx m --<在[]0,1区间内恒成立，则实数m 的范围是()0,2其中真命题的序号有_________.专题4.1 指数函数、对数函数与幂函数（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 指数幂的化简与求值指数幂运算的一般原则：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．【典例1】计算：．【答案】12.【解析】．【典例2】已知则的值为__________．【答案】【解析】题意，∴，∴，故答案为．【特别提醒】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如，，，解题时要善于应用公式变形．热门考点02 指数函数的图象及应用常考题型及技法(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(4)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．【典例3】（2019·华东师大二附中前滩学校高三月考）函数1(0,1)xy a a aa=->≠的图象可能是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵0a >，∴10a>，∴函数x y a =需向下平移1a 个单位，不过（0,1）点，所以排除A ，当1a >时，∴101a <<，所以排除B ，当01a <<时，∴11a>，所以排除C ，故选D.【典例4】(2019·天津河西区一模)已知f (x )＝|2x－1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( ) A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 C ．2－a＜2cD ．1＜2a＋2c＜2【答案】D【解析】作出函数f (x )＝|2x－1|的图象，如图所示，因为a ＜b ＜c ，且有f (a )＞f (c )＞f (b )，所以必有a ＜0,0＜c ＜1，且|2a－1|＞|2c－1|，所以1－2a ＞2c －1，则2a ＋2c ＜2，且2a ＋2c＞1，故选D.【典例5】（2019·安徽马鞍山二中高三月考（文））若函数3x m y a n -=+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点(3,2)，则m n +=______．【答案】7【解析】∵函数3x my an -=+-（0a >且1a ≠）的图象恒过定点，令0x m -=，可得x m =，2y n =-，可得函数的图象经过定点(),2m n -.再根据函数的图象经过定点()3,2， ∴3m =，22n -=，解得3m =，4n =，则7m n +=，故答案为：7．【总结提升】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较．3.识图的三种常用方法（1）抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象. (2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题．（3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 4.过定点的图象(1)画指数函数y ＝ax(a ＞0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）； (2) xy a ＝与xy a-＝的图象关于y 轴对称；(3)当a ＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a ＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．热门考点03 指数函数的性质及应用有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．【典例6】（2016新课标全国III ）已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】因为，，所以，故选A ．【典例7】（2017·北京高考真题（理））已知函数1()3()3x x f x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】分析：讨论函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，可得答案. 详解：函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ，且()()111333,333xx xx x xf x f x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即函数()f x 是奇函数，又1y 3,3xxy ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在R 都是单调递增函数，故函数()f x 在R 上是增函数.故选A.【典例8】（2015·江苏高考真题）不等式224xx-<的解集为________.【答案】(1,2).- 【解析】,2222,xx-∴<是一个递增函数；故答案为：.【典例9】（2019·浙江学军中学高一期中）已知函数1()421x x f x a +=-⋅+．（1）若函数()f x 在[]0,2x ∈上有最大值8-，求实数a 的值；（2）若方程()0f x =在[]1,2x ∈-上有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）5；（2）1718a ≤≤【解析】（1）因为[]0,2x ∈，所以令[]21,4xt =∈，所以得到函数()221f t t at =-+，开口向上，对称轴为t a =，当52a ≤时，则在4t =时，()f t 取最大值，即()()max 48f t f ==-，所以16818a -+=-，解得258a =，不满足52a ≤，所以舍去，当52a >时，则1t =时，()f t 取最大值，即()()max 18f t f ==-，所以1218a -+=-，解得5a =，满足52a >，综上，a 的值为5.（2）因为[]1,2x ∈-，所以令12,42xm ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，所以得到函数()221f m m am =-+令()0f m =，得2210m am -+=，即12a m m=+，所以要使()0f m =有解，则函数2y a =与函数1y m m=+有交点，而函数1y m m =+，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,4上单调递增，故在1x =时，有min 2y =，在4x =时，有max 174y =，所以可得21724a ≤≤，所以a 的范围为1718a ≤≤.【总结提升】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b. 规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．热门考点04 对数的化简、求值1.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．【典例10】()52016? 1.2b aa b a b log b log a a b 浙江卷已知＞＞若＋＝，＝，则a ＝，b ＝ .【答案】4，2.【解析】设log ,1b a t t =>则，因为21522t t a b t +=⇒=⇒=，因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒==【典例11】（2019·全国高考真题（理））已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________. 【答案】-3【解析】因为()f x 是奇函数，且当0x >时0x ->，()()axf x f x e -=--=．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e -=，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-．【易错提醒】(1)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)的错误．(2)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．热门考点05 对数函数的图象及应用应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【典例12】（2019·四川省眉山第一中学高三月考（文））函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】对于A 、B 两图，，而ax 2+bx=0的两根为0和，且两根之和为，由图知0＜＜1得-1＜＜0，矛盾，对于C 、D 两图，0＜＜1，在C 图中两根之和＜-1，即＞1矛盾，C 错，D 正确．故选：D ．【典例13】（2019·浙江高考真题）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D 选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【典例14】（2019·江西高三高考模拟（文））已知函数lg ,0()1lg ,0x x f x x x >⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，若()()f m f m >-，则实数m 的取值范围是（） A ．(1,0)(1,)-⋃+∞ B ．(,1)(1,)-∞-+∞U C ．(1,0)(0,1)-U D ．(,1)(0,1)-∞-U【答案】A【解析】由函数的解析式可得函数为奇函数，绘制函数图像如图所示，则不等式()()f m f m >-即()()f m f m >-，即()0f m >，观察函数图像可得实数m 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞. 故选：A . 【总结提升】log a y x =的底数变化，其图象具有如下变化规律：（1）上下比较：在直线1x =的右侧，1a >时，底大图低（靠近x 轴）；01a <<时，底大图高（靠近x 轴）．（2）左右比较（比较图象与1y =的交点）：交点横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.热门考点06 对数函数的性质及应用1.比较对数式大小的类型及相应的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． (3)若底数与真数都不同，则常借助1,0,-1等中间量进行比较．2. 解对数不等式的类型及方法（1）形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．（2）形如log a x ＞b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式．【典例15】（2018·全国高考真题（理））设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（） A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<< D ．0ab a b <<+【答案】B 【解析】求出0.2211log0.3,0.3log a b ==，得到11a b+的范围，进而可得结果. 详解：.0.30.3log0.2,2a b log ==Q0.2211log0.3,0.3log a b ∴== 0.3110.4log a b ∴+= 1101a b ∴<+<,即01a b ab +<<又a 0,b 0><Qab 0∴<即ab a b 0<+<故选B.【典例16】（2019·山东高考模拟（文））已知1()44x f x x -=+-e ，若正实数a 满足3(log )14a f <，则a的取值范围为（） A ．34a >B ．304a <<或43a > C ．304a <<或1a > D ．1a >【答案】C【解析】因为1x y e-=与44y x =-都是R 上的增函数，所以1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数，又因为11(1)441f e -=+-=所以()3(log )114af f <=等价于3log 14a <，由1log a a =，知3log log 4a a a <,当01a <<时，log a y x =在()0,∞+上单调递减，故34a <，从而304a <<；当1a >时，log a y x =在()0,∞+上单调递增，故34a >，从而1a >，综上所述， a 的取值范围是304a <<或1a >，故选C. 【典例17】（2018·上海市大同中学高一期末）函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是______．【答案】()1,2【解析】函数()()log 2a f x ax =-，所以真数位置上的20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立，由一次函数保号性可知，2a <，当01a <<时，外层函数log a y t =为减函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为增函数，所以0a ->，即0a <，所以a ∈∅，当1a >时，外层函数log a y t =为增函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为减函数，所以0a -<，即0a >，所以1a >，综上可得a 的范围为()1,2. 故答案为：()1,2. 【易错提醒】利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．热门考点07 幂函数的图象和性质。

高中数学-幂函数、指数函数与对数函数(经典练习题)

高中数学精英讲解-----------------幂函数、指数函数、对数函数【第一部分】知识复习【第二部分】典例讲解考点一：幂函数例1、比较大小例2、幂函数，(m∈N)，且在(0，＋∞)上是减函数，又，则m= A．0B．1C．2D．3解析：函数在(0，＋∞)上是减函数，则有，又，故为偶函数，故m为1．例3、已知幂函数为偶函数，且在区间上是减函数．(1)求函数的解析式；(2)讨论的奇偶性．∵幂函数在区间上是减函数，∴，解得，∵，∴．又是偶数，∴，∴．(2)，．当且时，是非奇非偶函数；当且时，是奇函数；当且时，是偶函数；当且时，奇又是偶函数．例4、下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系(1)(A)，(2)(F)，(3)(E)，(4)(C)，(5)(D)，(6)(B).变式训练：1、下列函数是幂函数的是（）A．y=2x B．y=2x－1C．y=(x＋1)2D．y=2、下列说法正确的是（）A．y=x4是幂函数，也是偶函数B．y=－x3是幂函数，也是减函数C．是增函数，也是偶函数D．y=x0不是偶函数3、下列函数中，定义域为R的是（）A．y=B．y=C．y=D．y=x－14、函数的图象是（）A．B．C．D．5、下列函数中，不是偶函数的是（）A．y=－3x2B．y=3x2C．D．y=x2＋x－16、若f(x)在[－5，5]上是奇函数，且f(3)＜f(1)，则（）A．f(－1)＜f(－3)B．f(0)＞f(1)C．f(－1)＜f(1)D．f(－3)＞f(－5)7、若y=f(x) 是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是（）A．(a，－f(a))B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a))D．(a，f(－a ))8、已知，则下列正确的是（）A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数C．奇函数，在R上为减函数D．偶函数，在R上为减函数9、若函数f(x)=x2＋ax是偶函数，则实数a=（）A．－2B．－1C．0D．110、已知f(x)为奇函数，定义域为，又f(x)在区间上为增函数，且f(－1)=0，则满足f(x)>0的的取值范围是（）A．B．(0，1)C．D．11、若幂函数的图象过点，则_____________．12、函数的定义域是_____________．13、若，则实数a的取值范围是_____________．14、是偶函数，且在上是减函数，则整数a的值是_____________．DACAD ABACD9、，函数为偶函数，则有f(－x)=f(x)，即x2－ax=x2＋ax，所以有a=0．10、奇函数在对称区间上有相同的单调性，则有函数f(x)在上单调递增，则当x<－1时，f(x)<0，当－1<x<0时，f(x)>0，又f(1)=－f(－1)=0，故当0<x<1时，f(x)<0，当x>1时，f(x)>0．则满足f(x)>0的．11、解析：点代入得，所以．12、解：13、解析：，解得．14、解：则有，又为偶函数，代入验证可得整数a的值是5．考点二：指数函数例1、若函数y=a x＋m－1(a>0)的图像在第一、三、四象限内，则（）A.a>1B.a>1且m<0C.0<a<1且m>0D.0<a<1例2、若函数y=4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，试确定x的取值范围．例3、若关于x的方程有负实数解，XX数a的取值范围．例4、已知函数．(1)证明函数f(x)在其定义域内是增函数；(2)求函数f(x)的值域．例5、如果函数（a>0，且a≠1）在[－1，1]上的最大值是14，求a的值．例1、解析：y=a x的图像在第一、二象限内，欲使其图像在第一、三、四象限内，必须将y=a x向下移动．而当0<a<1时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限．只有当a>1时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限，故a>1．又图像向下移动不超过一个单位时，图像经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限．欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m－1<－1，∴m<0．故选B．答案：B例2、分析：在函数y=4x－3·2x＋3中，令t=2x，则y=t2－3t＋3是t的二次函数，由y ∈[1,7]可以求得对应的t的范围，但t只能取正的部分. 根据指数函数的单调性我们可以求出x的取值范围．解答：令t=2x,则y=t2－3t＋3，依题意有：∴x≤0或1≤x≤2，即x的范围是(－∞，0]∪[1,2]．小结：当遇到y=f(a x)类的函数时，用换元的思想将问题转化为较简单的函数来处理，再结合指数函数的性质得到原问题的解．例3、分析：求参数的取值范围题，关键在于由题设条件得出关于参数的不等式．解答：因为方程有负实数根，即x＜0，所以，解此不等式，所求a的取值范围是例4、分析：对于(1)，利用函数的单调性的定义去证明；对于(2)，可用反解法求得函数的值域．解答：(1)，设x1＜x2，则．因为x1＜x2，所以2x1＜2x2，所以,所以．又＋1＞0, ＋1＞0,所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，故函数f(x)在其定义域(－∞，＋∞)上是增函数．(2)设，则，因为102x＞0，所以，解得－1＜y＜1，所以函数f(x)的值域为(－1，1)．例5、分析：考虑换元法，通过换元将函数化成简单形式来求值域．解：设t=a x>0，则y=t2＋2t－1，对称轴方程为t=－1．若a>1，x∈[－1，1]，∴t=a x∈，∴当t=a时，y max=a2＋2a－1=14．解得a=3或a=－5(舍去)．若0<a<1，x∈[－1，1]，∴t=a x∈．∴当时，．解得（舍去）．∴所求的a值为3或．变式训练：1、函数在R上是减函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．2、函数是（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数3、函数的值域是（）A．B．C．D．4、已知,则函数的图像必定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5、函数的定义域为（）A．B．C．D．6、函数，满足f(x)>1的x的取值范围是（）A．B．C．D．7、函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．8、已知，则下列正确的是（）A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数C．奇函数，在R上为减函数D．偶函数，在R上为减函数9、函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．10、下列说法中，正确的是（）①任取x∈R都有；②当a>1时，任取x∈R都有；③是增函数；④的最小值为1；⑤在同一坐标系中，的图象对称于y轴．A．①②④B．④⑤C．②③④D．①⑤11、若直线y=2a与函数y=|a x－1|(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围__.12、函数的定义域是______________．13、不论a取怎样的大于零且不等于1的实数，函数y=a x－2＋1的图象恒过定点________．14、函数y=的递增区间是___________.15、已知9x－10·3x＋9≤0，求函数y=()x－1－4()x＋2的最大值和最小值．16、若关于x的方程25－|x＋1|－4·5－|x＋1|－m=0有实根，求m的取值范围．17、设a是实数，．(1)试证明对于a取任意实数，f(x)为增函数；(2)试确定a的值，使f(x)满足条件f(－x)＝－f(x)恒成立．18、已知f(x)＝（a>0且）．（1）求f(x)的定义域、值域．（2）讨论f(x)的奇偶性．（3）讨论f(x)的单调性．答案与提示：1-10 DADAD DDACB1、可得0<a2－1<1，解得.2、函数定义域为R，且，故函数为奇函数.3、可得2x>0，则有，解得y>0或y<－1.4、通过图像即可判断.5、.6、由，由，综合得x>1或x<－1.7、即为函数的单调减区间，由，可得，又，则函数在上为减函数，故所求区间为.8、函数定义域为R，且，故函数为奇函数，又，函数在R上都为增函数，故函数f(x)在R上为增函数.9、可得.10、①中当x=0时，两式相等，②式也一样，③式当x增大，y减小，故为减函数．11、0＜a＜提示：数形结合.由图象可知0＜2a＜1，0＜a＜.12、提示：由得2－3x＞2，所以－3x＞1，．13、(2,2) 提示：当x=2时，y=a0＋1=2．14、(－∞，1]提示：∵y=()x在(－∞，＋∞)上是减函数，而函数y=x2－2x＋2=(x－1)2＋1的递减区间是(－∞，1］，∴原函数的递增区间是(－∞，1］．15、解：由9x－10·3x＋9≤0得(3x－1)(3x－9)≤0，解得1≤3x≤9.∴0≤x≤2，令()x=t，则≤t≤1，y=4t2－4t＋2=4(t－)2＋1.当t=即x=1时，y min=1；当t=1即x=0时，y max=2.16、解法一：设y=5－|x＋1|，则0＜y≤1，问题转化为方程y2－4y－m=0在(0，1］内有实根.设f(y)=y2－4y－m，其对称轴y=2，∴f(0)＞0且f(1)≤0，得－3≤m＜0.解法二：∵m=y2－4y，其中y=5－|x＋1|∈(0，1]，∴m=(y－2)2－4∈［－3，0)．17、(1)设，即f(x1)＜f(x2)，所以对于a取任意实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．(2)由f(－x)=－f(x)得，解得a=1，即当a=1时，f(－x)=－f(x)．18、解：（1）定义域为R．．．∴值域为（－1，1）．（2），∴f(x)为奇函数．（3）设，则当a>1时，由，得，，∴当a>1时，f(x)在R上为增函数．同理可判断当0<a<1时，f(x)在R上为减函数．考点三：对数函数例1、求函数的定义域和值域，并确定函数的单调区间．例2、已知函数f(x)=lg(ax2＋2x＋1)（a∈R）.（1）若函数f(x)的定义域为R，XX数a的取值范围；（2）若函数f(x)的值域为R，XX数a的取值范围.例3、已知的最大值和最小值以与相应的x值. 例4、已知f(x)=log a(a x－1)（a＞0，a≠1）.（1）求f(x)的定义域；（2）讨论f(x)的单调性；（3）求函数y=f(2x)与y=f－1(x)的图象交点的横坐标.例1解：由－x2＋2x＋3＞0 ，得 x2－2x－3＜0，∴－1＜x＜3，定义域为 (－1，3)；又令 g(x)=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4，∴当 x∈(－1，3) 时， 0＜g(x)≤4. ∴ f(x)≥=－2 ，即函数 f(x) 的值域为[－2，＋∞）；∵ g(x)=－(x－1)2＋4 的对称轴为 x=1.∴当－1＜x≤1 时， g(x) 为增函数，∴为减函数.当 1≤x＜3 时， g(x)为减函数，∴ f(x)为增函数．即f(x) 在（－1，1] 上为减函数；在[1，3 ）上为增函数．例2、分析：令g(x)=ax2＋2x＋1，由f(x)的定义域为R，故g(x)＞0对任意x∈R均成立，问题转化为g(x)＞0恒成立，求a的取值范围问题；若f(x)的值域为R，则g(x)的值域为B必满足B（0，＋∞），通过对a的讨论即可．解答：（1）令g(x)=ax2＋2x＋1，因f(x)的定义域为R，∴ g(x)＞0恒成立．∴∴函数f(x)的定义域为R时，有a＞1.（2）因f(x)的值域为R，设g(x)=ax2＋2x＋1的值域为B，则B（0，＋∞）.若a＜0，则B=（－∞，1－]（0，＋∞）；若a=0，则B=R，满足B（0，＋∞）.若a＞0，则△=4－4a≥0，∴ a≤1.综上所述，当f(x)的值域为R时，有0≤a≤1.例3、分析：题中条件给出了后面函数的自变量的取值范围，而根据对数的运算性质，可将函数化成关于log2x的二次函数，再根据二次函数在闭区间上的最值问题来求解.解答：当t=3时，y有最大值2，此时，由log2x=3，得x=8.∴当x=2时，y有最小值－.当x=8时，y有最大值2.例4、分析：题设中既含有指数型的函数，也含有对数型的函数，在讨论定义域，讨论单调性时应注意对底数a进行讨论，而（3）中等价于求方程f(2x)=f－1(x)的解．解答：（1）a x－1＞0得a x＞1.∴当a＞1时，函数f(x)的定义域为（0，＋∞），当0＜a＜1时，函数f(x)的定义域为（－∞，0）.（2）令g(x)=a x－1，则当a＞1时，g(x)=a x－1在（0，＋∞）上是增函数.即对0＜x1＜x2，有0＜g(x1)＜g(x2)，而y=log a x在（0，＋∞）上是增函数，∴ log a g(x1) ＜log a g(x2)，即f(x1)＜f(x2)．∴ f(x)= log a(a x－1)在（0，＋∞）上是增函数；当0＜a＜1时，g(x)=a x－1在(－∞,0)上是减函数.即对x1＜x2＜0，有g(x1)＞g(x2)＞0．而y=log a x在（0，＋∞）上是减函数，∴ log a g(x1) ＜log a g(x2)，即f(x1)＜f(x2)．∴ f(x)=log a(a x－1)在（－∞，0）上是增函数.综上所述，f(x)在定义域上是增函数．（3）∵ f(2x)= log a(a2x－1)，令y=f(x)= log a(a x－1)，则a x－1=a y，∴ a x=a y＋1，∴ x= log a (a y＋1)(y∈R)．∴ f－1(x)= log a (a x＋1)（x∈R）．由f(2x)=f－1(x)，得log a(a2x－1)= log a(a x＋1)．∴ a2x－1= a x＋1，即(a x)2－a x－2=0.∴ a x=2或a x=－1（舍）．∴ x=log a2.即y=f(2x)与y= f－1(x)的图象交点的横坐标为x=log a2．变式训练：一、选择题1、当a>1时，在同一坐标系中，函数y=a－x与y=log a x的图象是（）A．B．C．D．2、将y=2x的图象（），再作关于直线y=x对称的图象，可得函数y=log2(x＋1)和图象．A．先向左平行移动1个单位B．先向右平行移动1个单位C．先向上平行移动1个单位D．先向下平行移动1个单位3、函数的定义域是（）A．（1，＋∞）B．（2，＋∞）C．（－∞，2）D．（1，2]4、函数y=lg(x－1)＋3的反函数f－1(x)=（）A．10x＋3＋1B．10x－3－1C．10x＋3－1D．10x－3＋15、函数的递增区间是（）A．（－∞，1）B．（2，＋∞）C．（－∞，）D．（，＋∞）6、已知f(x)=|log a x|，其中0<a<1，则下列各式中正确的是（）A．B．C．D．7、是（）A．奇函数而非偶函数B．偶函数而非奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既非奇函数也非偶函数8、已知0<a<1,b>1，且ab>1，则下列不等式中正确的是（）A．B．C．D．9、函数f(x)的图象如图所示，则y=log0.2f(x)的图象示意图为（）A．B．C．D．10、关于x的方程（a＞0，a≠1），则（）A．仅当a＞1时有唯一解B．仅当0＜a＜1时有唯一解C．必有唯一解D．必无解二、填空题11、函数的单调递增区间是___________.12、函数在2≤x≤4范围内的最大值和最小值分别是___________.13、若关于x的方程至少有一个实数根，则a的取值范围是___________.14、已知（a＞0，b＞0），求使f(x)＜0的x的取值范围.15、设函数f(x)=x2－x＋b，已知log2f(a)=2，且f(log2a)=b(a>0且a≠1)，(1)求a，b的值；(2)试在f(log2x)>f(1)且log2f(x)<f(1)的条件下，求x的取值范围．16、已知函数f(x)=log a(x－3a)（a＞0且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f(x)图象上的点时，点Q（x－2a，－y）是y=g(x)图象上的点.（1）写出y=g(x)的解析式；（2）若当x∈[a＋2，a＋3]时，恒有|f(x)－g(x)|≤1，试求a的取值范围.答案与提示：1-10 DDDDA BBBCC1、当a>1时，y=log a x是单调递增函数，是单调递减函数，对照图象可知D正确. ∴应选D.2、解法1：与函数y=log2(x＋1)的图象关于直线y=x对称的曲线是反函数y=2x－1的图象，为了得到它，只需将y=2x的图象向下平移1个单位.解法2：在同一坐标系内分别作出y=2x与y=log2(x＋1)的图象，直接观察，即可得D.3、由≥0，得 0<x－1≤1，∴ 1<x≤2.5、应注意定义域为（－∞，1）∪（2，＋∞），答案选A.6、不妨取，可得选项B正确．7、由f(－x)=f(x)知f(x)为偶函数，答案为B.8、由ab>1，知，故且，故答案选B. 10、当a＞1时，0＜＜1，当0＜a＜1时，＞1，作出y=a x与y=的图象知，两图象必有一个交点.11、答案：（－∞，－6）提示： x2＋4x－12＞0 ，则 x＞2 或 x＜－6.当 x＜－6 时， g(x)=x2＋4x－12 是减函数，∴在（－∞，－6）上是增函数 .12、答案：11，7 ：∵ 2≤x≤4，∴.则函数，∴当时，y最大为11；当时，y最小为7.13、答案：（－∞，] 提示：原方程等价于由③得. ∴当x＞0时，9a≤，即a≤.又∵ x≠3，∴ a≠2，但a=2时，有x=6或x=3（舍）.∴ a≤.14、解：要使f(x)＜0，即.当a＞b＞0时，有x＞；当a=b＞0时，有x∈R；当0＜a＜b时，有x＜.15、解：(1)∵f(log2a)=b,f(x)=x2－x＋b,∴(log2a)2－log2a＋b=b，解得a=1(舍去)，a=2，又log2f(a)=2，∴log2(a2－a＋b)=2，将a=2代入，有log2(2＋b)=2, ∴b=2；(2)由log2f(x)<f(1)得log2(x2－x＋2)<2,∴x2－x－2<0，解得－1<x<2，由f(log2x)>f(1)得(log2x)2－log2x＋2>0，解得0<x<1或x>2，∴x∈(0，1)．16、解：（1）设Q（x′，y′），则，∵点P（x，y）在y=f(x)的图象上，∴．（2）当x∈[a＋2，a＋3]时，有x－3a＞0且＞0成立.而x－3a≥a＋2－3a=2－2a＞0，∴ 0＜a＜1，且恒成立.∴ 0＜a＜1.由 |f(x)－g(x)|≤1，即∴ r(x)=x2－4ax＋3a2在[a＋2，a＋3]上是增函数.∴ h(x)=log a(x2－4ax＋3a2)在[a＋2，a＋3]上是减函数. ∴当x=a＋2时，h(x)max=h(a＋2)=log a(4－4a)，当x=a＋3时，h(x)min=h(a＋3)=log a(9－6a).。

考点06指数函数、对数函数、幂函数、二次函数(教师版) 新课标

2013年新课标数学40个考点总动员考点06 指数函数、对数函数、幂函数、二次函数（教师版）热点一指数函数、对数函数2.（2012年高考（安徽文））设集合{3213}A x x =-≤-≤,集合B 是函数lg(1)y x =-的定义域;则A B =（）A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[,)12D ．(,]12【答案】D【解析】{3213}[1,2]A x x =-≤-≤=-,(1,)(1,2]B A B =+∞⇒= 3.（2012年高考（新课标理））设点P 在曲线12xy e =上,点Q 在曲线ln(2)y x =上,则PQ 最小值为（）A ．1ln 2-B ln 2)-C ．1ln 2+D ln 2)+4.（2012年高考（山东文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m ,且函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数,则a =____.5.（2012年高考（北京文））已知函数()lg f x x =,若()1f ab =,22()()f a f b +=_________.【答案】2【解析】()lg ,()1f x x f ab == ,lg()1ab ∴=，2222()()lg lg 2lg()2f a f b a b ab ∴+=+==.6.（2012年高考（上海理））已知函数||)(a x e x f -=(a 为常数).若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是_________ .7.（2012年高考（上海文））已知函数)1lg()(+=x x f . (1)若1)()21(0<--<x f x f ,求x 的取值范围;(2)若)(x g 是以2为周期的偶函数,且当10≤≤x 时,有)()(x f x g =,求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.【解析】（1）由22010x x ->⎧⎨+>⎩，得11x -<<，由220lg(22)lg(1)lg11x x x x -<--+=<+，得221101xx -<<+……….3分因为10x +>，所以2112210(1),33x x x x +<-<+∴-<<，由112133x x -<<⎧⎪⎨-<<⎪⎩，得2133x -<<……………………………………….6分【方法总结】热点二幂函数、二次函数7.（2012年高考（福建文））已知关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立,则实数a 的取值范围是_________. 【答案】(0,8)【解析】因为不等式恒成立,所以0∆<,即 2420a a -⋅<,所以08a <<.8.（2012年高考（北京文））已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22xg x =-.若,()0x R f x ∀∈<或()0g x <,则m 的取值范围是________.【答案】(4,0)-9.（2012年高考（山东理））设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠,若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是（）A ．当0a <时,12120,0x x y y +<+>B ．当0a <时,12120,0x x y y +>+<C ．当0a >时,12120,0x x y y +<+<D ．当0a >时,12120,0x x y y +>+>10.（2012年高考（福建理））对于实数a 和b ,定义运算“﹡”:22,*,a ab a b b ab ⎧-⎪=⎨⎪-⎩a ba b≤>,设()(21)*(1)f x x x =--,且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ,则123x x x 的取值范围是_________________.11.（2012年高考（北京理））已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22xg x =-.若同时满足条件:①,()0x R f x ∀∈<或()0g x <;②(,4)x ∃∈-∞- ,()()0f x g x <. 则m 的取值范围是________.40m -<<,又由于条件2的限制,可分析得出(,4),()x f x ∃∈-∞-恒负,因此就需要在这个范围内()g x 有取得正数的可能,即4-应该比12,x x 两个根中较小的大,当(1,0)m ∈-时,34m --<-,解得交集为空,舍去.当1m =-时,两个根同为24->-,也舍去,当(4,1)m ∈--时,242m m <-⇒<-,综上所述(4,2)m ∈--.【方法总结】【考点剖析】一．明确要求二．命题方向1.指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点．2.通过具体问题考查指数函数的图象与性质，或利用指数函数的图象与性质解决一些实际问题是重点，也是难点，同时考查分类讨论思想和数形结合思想．3.高考考查的热点是对数式的运算和对数函数的图象、性质的综合应用，同时考查分类讨论、数形结合、函数与方程思想．4.关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题．5.二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点．6.题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现. 三．规律总结 1.指数规律总结两个防范(1)指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按：0＜a ＜1和a ＞1进行分类讨论．(2)换元时注意换元后“新元”的范围．三个关键点画指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .2.对数函数规律总结三个关键点画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1.四种方法对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)．(4)化同真数后利用图象比较． 3.幂函数的规律总结五个代表函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1可做为研究和学习幂函数图象和性质的代表．两种方法【基础练习】1.(教材习题改编)已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．c ＜a ＜b【答案】 C【解析】将三个数都和中间量1相比较：0＜a ＝log 0.70.8＜1，b ＝log 1.10.9＜0，c ＝1.10.9＞1.2.（经典习题）若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )．A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值3.(教材例题改编)如图中曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象．已知n 取±2，±124．(经典习题)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________. 答案－2x 2＋4解析 f (x )＝bx 2＋(ab ＋2a )x ＋2a 2由已知条件ab ＋2a ＝0，又f (x )的值域为(－∞，4]，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，b ＝－2，2a 2＝4.因此f (x )＝－2x 2＋4.5.(经典习题)已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则( )．A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b【名校模拟】一．基础扎实1. (北京市西城区2012届高三4月第一次模拟考试试题理)若2log 3a =，3log 2b =，4log 6c =，则下列结论正确的是（）（A ）b a c <<（B ）a b c << （C ）c b a <<（D ）b c a << 【答案】D【解析】32log (1,)a =∈+∞，23log (0,1)b =∈，26664221log log log (1,)2c ====∈+∞ 而3622log log >，∴a>c>b ∴故选D2. (浙江省杭州学军中学2012届高三第二次月考理）设()()13.0log ,3.0,2223.0>+===x x c b a x ，则c b a ,,的大小关系是（）A ．c b a <C. ln a ＞ln bD. 0.30.3a b<【解析】A 根据指数幂函数、对数函数、指数函数性质可知选项B 、C 、D 中的表达式成立，不成立即为选项A 中的表达式。

新教材苏教版高中数学必修第一册第6章幂函数、指数函数和对数函数知识点考点重点难点归纳总结

第六章幂函数、指数函数和对数函数6.1幂函数 (1)6.2指数函数 (6)第1课时指数函数的概念、图象与性质 (6)第2课时指数函数的图象与性质的应用 (11)6.3对数函数 (16)第1课时对数函数的概念、图象与性质 (16)第2课时对数函数的图象与性质的应用 (20)6.1幂函数知识点1幂函数的概念一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．知识点2幂函数的图象和性质1．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：2．幂函数的性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非奇函数偶函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在[0，＋∞) 上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减定点(1,1)，(0,0)(1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0)(1,1)考点类型1 幂函数的概念【例1】 (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知y ＝(m 2＋2m －2)x m2－2＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．(1)B [幂函数有①⑥两个．] (2)[解] 由题意得⎩⎨⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝32.所以m ＝－3或1，n ＝32.1．幂函数y ＝x α满足的三个特征 (1)幂x α前系数为1；(2)底数只能是自变量x ，指数是常数； (3)项数只有一项．2．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f (x )＝x α，根据条件求出α.类型2 比较大小【例2】比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13与⎝ ⎛⎭⎪⎫14；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1； (3)0.25与6.25；(4)1.20.6与0.30.4；(5)(－3)与(－2).[思路点拨] 可以借助幂函数y ＝x 2的单调性或化为同指数或借助于中间量进行比较．[解] (1)∵y ＝x 是[0，＋∞)上的增函数，且13>14， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13>⎝ ⎛⎭⎪⎫14. (2)∵y ＝x －1是(－∞，0)上的减函数，且－23<－35，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1>⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1. (3)0.25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2，6．25＝2.5.∵y ＝x 是[0，＋∞)上的增函数，且2<2.5， ∴2<2.5，即0.25<6.25.(4)由幂函数的单调性，知1.20.6>10.6＝1,0.30.4<10.4＝1，从而0.30.4<1.20.6. (5)由幂函数的奇偶性，(－3)＝3>0，(－2)＝－2<0，所以(－3)>(－2).比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数(1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数；若指数相同、底数不在同一单调区间，则用奇偶性；(2)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数化为相同，是否可以引入中间量．类型3 幂函数的图象及应用【例3】点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )． [解] 设f (x )＝x α，g (x )＝x β. ∵(2)α＝2，(－2)β＝－12， ∴α＝2，β＝－1，∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，(1)当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1时，f (x )＝g (x )； (3)当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．1．解决幂函数图象问题应把握研究一般的方法 (1)求幂函数的定义域，再判定奇偶性；(2)先研究第一象限的图象与性质，再根据奇偶性(对称性)研究其它象限的图象．2．幂函数在第一象限的图象与性质(1)α>0，幂函数的图象恒经过(0,0)，(1,1)，在[0，＋∞)是增函数． (2)α<0，幂函数的图象恒经过(1,1)，在(0，＋∞)上是减函数． 3．幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律(1)在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；(2)在第一象限内直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．类型4 幂函数性质的综合应用【例4】已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋1)<(3－2a )的a 的取值范围．1．函数图象关于y 轴对称，函数有怎样的奇偶性？ [提示] 偶函数． 2．x>y时，x 、y 与0的大小关系有多少种？[提示] 0<x <y ，x <y <0，x >0>y .[解] ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴3m －9<0，解得m <3. 又m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数图象关于y 轴对称，∴3m －9为偶数，故m ＝1. ∴有(a ＋1)<(3－2a ).∵y ＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a ，或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1. 所以a 的取值范围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32.1．本题在解答过程中易出现忽略对底数的分类讨论而产生漏解． 2．求解此类题目的关键是弄清幂函数的概念及幂函数的性质．解决此类问题可分为两大步：第一步，研究幂函数的奇偶性(图象对称性)、第一象限的图象的单调性求出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围．6.2指数函数第1课时指数函数的概念、图象与性质知识点1指数函数的概念一般地，函数y＝a x(a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R.知识点2指数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域R值域(0，＋∞)定点图象过点(0,1)，图象在x轴的上方函数值的变化x>0时，y>1；x<0时，0<y<1x>0时，0<y<1；x<0时，y>1单调性在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数奇偶性非奇非偶函数1.指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？[提示]指数函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0<a<1时，图象具有下降趋势．2.为什么底数应满足a>0且a≠1?[提示]①当a≤0时，a x可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，a x＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝a x中a>0，且a≠1.考点类型1指数函数的概念【例1】(1)下列函数中，是指数函数的个数是()①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝a x；④y＝2·3x.A ．1B ．2C ．3D ．0(2)已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝39，则f (－2)＝________.(1)D (2)19 [(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数； ②中指数不是自变量x ，而是x 的函数，所以不是指数函数；③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数； ④中3x 前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.(2)设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2，所以f (－2)＝3－2＝19.]1．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住3点 (1)底数是大于0且不等于1的常数；(2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x 的系数必须为1.2．求指数函数的解析式常用待定系数法．类型2 利用单调性比较大小【例2】比较下列各组数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1.8与⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2.6；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫58与1； (3)0.6－2与⎝ ⎛⎭⎪⎫43；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3与3－0.2；(5)0.20.6与0.30.4；(6) ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，⎝ ⎛⎭⎪⎫23，⎝ ⎛⎭⎪⎫25.[思路点拨] 观察底数是否相同(或能化成底数相同)，若相同用单调性，否则结合图象或中间值来比较大小．[解] (1)∵0<34<1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x在定义域R 内是减函数，－1.8>－2.6， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1.8<⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2.6.(2)∵0<58<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫58x在定义域R 内是减函数．又∵－23<0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫58>⎝ ⎛⎭⎪⎫580＝1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫58>1.(3)∵0.6－2>0.60＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫43<⎝ ⎛⎭⎪⎫430＝1， ∴0.6－2>⎝ ⎛⎭⎪⎫43.(4)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3＝3－0.3，y ＝3x 在定义域R 内是增函数，又∵－0.3<－0.2， ∴3－0.3<3－0.2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3<3－0.2.(5)由幂函数的单调性，知0.20.6<0.30.6，又y ＝0.3x 是减函数，∴0.30.4>0.30.6，从而0.20.6<0.30.4.(6)∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 在R 上为减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23<⎝ ⎛⎭⎪⎫23， ∵f (x )＝x 在(0，＋∞)上为增函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫25，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫23>⎝ ⎛⎭⎪⎫25.在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下3类 (1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决． (2)底数不同、指数同：利用幂函数的单调性解决．(3)底数不同、指数也不同：采用介值法．以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数．比如a c 与b d ，可取a d ，前者利用单调性，后者利用图象．类型3 利用指数函数的单调性解不等式【例3】 (1)解不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤2；(2)已知ax 2－3x ＋1<a x ＋6(a >0，且a ≠1)． [解] (1)∵2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1，∴原不等式可以转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1. ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上是减函数，∴3x －1≥－1，∴x ≥0，故原不等式的解集为{x |x ≥0}． (2)分情况讨论①当0<a <1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上为减函数， ∴x 2－3x ＋1>x ＋6， ∴x 2－4x －5>0，根据相应二次函数的图象可得x <－1或x >5.②当a >1时，函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在R 上是增函数． ∴x 2－3x ＋1<x ＋6，∴x 2－4x －5<0. 根据相应二次函数的图象可得－1<x <5，综上所述当0<a <1时，x <－1或x >5，当a >1时，－1<x <5.1．形如a x >a y 的不等式，借助y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．2．形如a x ＞b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解．类型4 图象变换及其应用【例4】 (1)函数y ＝3－x 的图象是________．(填序号)(2)已知0＜a ＜1，b ＜－1，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过第________象限．(3)函数f (x )＝2a x ＋1－3(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点________． [思路点拨] 题(1)中可将y ＝3－x转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.题(2)中，函数y ＝a x ＋b 的图象过点(0,1＋b )，因为b ＜－1，所以点(0,1＋b )在y 轴负半轴上．题(3)应该根据指数函数经过定点求解．(1)② (2)一 (3)(－1，－1) [(1)y ＝3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 为单调递减的指数函数，其图象为②.(2)函数y ＝a x (0＜a ＜1)在R 上单调递减，图象过定点(0,1)，所以函数y ＝a x ＋b 的图象在R 上单调递减，且过点(0,1＋b )．因为b ＜－1，所以点(0,1＋b )在y 轴负半轴上，故图象不经过第一象限．(3)令x ＋1＝0，得x ＝－1，此时y ＝2a 0－3＝－1，故图象恒过定点(－1，－1)．]1．处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 2．指数型函数图象过定点问题的处理方法求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y 的值，即可得函数图象所过的定点．第2课时指数函数的图象与性质的应用知识点指数型函数形如y ＝ka x (k ∈R ，且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．设原有量为N ，每次的增长率为p ，经过x 次增长，该量增长到y ，则y ＝N (1＋p )x (x ∈N )．考点类型1 求函数的定义域、值域【例1】求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝2；(2)y ＝1－2x；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3；(4)y ＝4x ＋2x ＋2－3.[解] (1)由x －4≠0，得x ≠4，故y ＝2的定义域为{x |x ≠4}．又1x －4≠0，即2≠1，故y ＝2的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(2)由1－2x ≥0，得2x ≤1，∴x ≤0， ∴y ＝1－2x 的定义域为(－∞，0]．由0<2x ≤1，得－1≤－2x <0， ∴0≤1－2x <1，∴y ＝1－2x 的值域为[0,1)． (3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 2－2x －3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16. 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3>0，故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]．(4)函数 y ＝4x ＋2x ＋2－3的定义域为R .设t ＝2x ，则t >0.所以y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7，t >0. 因为函数y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7在(0，＋∞)为增函数，所以y >－3，即函数的值域为(－3，＋∞)．1．若将本例(2)中函数换为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1，求其定义域． [解] 由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1≥0得⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫130，∴x ≤0即函数的定义域为(－∞，0]．2．若将本例(4)增加条件“0≤x ≤2”再求函数的值域．[解] 由于x ∈[0,2]则2x ＝t ∈[1,4]，所以y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7.t ∈[1,4]，∵函数y ＝t 2＋4t －3＝(t ＋2)2－7在[1,4]为增函数．故y ∈[2,29]．1．对于y ＝a f (x )这类函数(1)定义域是指使f (x )有意义的x 的取值范围． (2)值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出u ＝f (x )的值域；②利用指数函数y ＝a u 的单调性或利用图象求得函数的值域．2．对于y ＝m (a x )2＋n (a x )＋p (m ≠0)这类函数值域问题，利用换元法，借助二次函数求解．类型2 指数型函数的应用题【例2】某市现有人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答下列问题：(1)试写出x 年后该城市人口总数y (万人)与年份x (年)之间的函数关系式； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人)．(参考数据：1.01210≈1.127) [思路点拨] 本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N ，年平均增长率为p ，则对于x 年后的人口总数y ，可以用y ＝N (1＋p )x 表示．[解] (1)1年后城市人口总数为： y ＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)．2年后城市人口总数为：y ＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100(1＋1.2%)2，同理3年后城市人口总数为y ＝100(1＋1.2%)3， …故x 年后的城市人口总数为y ＝100(1＋1.2%)x . (2)10年后该城市人口总数为：y ＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈100×1.127 ≈113(万人)．故10年后该城市人口总数约为113万人．解决实际应用题的步骤(1)领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言；(2)根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括；(3)对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；(4)检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答．类型3 指数函数性质的综合应用【例3】已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围； (3)求f (x )在[－1,2]上的值域．[思路点拨] (1)根据奇函数的定义，求出a ，b .(2)利用单调性和奇偶性去掉“f ”解不等式求k 的范围．(3)利用(2)中单调性求f (x )的值域．[解] (1)∵函数y ＝f (x )是定义域R 上的奇函数， ∴⎩⎨⎧f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋b 2＋a ＝0，－2－1＋b 20＋a ＝－－21＋b 22＋a ，∴b ＝1，a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝1－2x 2(2x ＋1)＝－12＋12x ＋1，设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝12x 2＋1－12x 1＋1＝2x 1－2x 2(2x 2＋1)(2x 1＋1)<0， ∴f (x )在定义域R 上为减函数，由f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，可得f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)， ∴t 2－2t >k －2t 2， ∴3t 2－2t －k >0恒成立，∴Δ＝(－2)2＋12k <0，解得k <－13， ∴k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13.(3)由(2)知f (x )在R 上单调递减， ∴f (x )在[－1,2]上单调递减，∴f (x )max ＝f (－1)＝－12＋11＋12＝16，f (x )min ＝f (2)＝－12＋14＋1＝－310，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－310，16.与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值(值域)等问题，求解时可充分借助已学的知识逐项求解．类型4 复合函数的单调性【例4】判断f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x的单调性，并求其值域．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝x 2－2x 的单调性分别如何？ [提示] y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x单调递减．y ＝x 2－2x 在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．[解] 令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在(－∞，＋∞)上递减，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2x 在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u，u ∈[－1，＋∞)，∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫13u ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．1．关于指数型函数y ＝a f (x )(a >0，且a ≠1)，它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成．其单调性由两点决定，一是底数a >1还是0<a <1；二是f (x )的单调性．2．求这种指数型函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f (φ(x ))的单调性，其规则是“同增异减”．6.3对数函数第1课时对数函数的概念、图象与性质知识点1对数函数的概念一般地，函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫作对数函数，它的定义域是(0，＋∞)．1.函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？[提示]不是，其不符合对数函数的形式．知识点2对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)在(0，＋∞)上是增函数当0<x<1时，y<0；当x>1时，y>0在(0，＋∞)上是减函数当0<x<1时，y>0；当x>1时，y<02.对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？[提示]底数a与1的关系决定了对数函数的升降．当a>1时，对数函数的图象“上升”，当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．知识点3反函数(1)对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)和指数函数y＝a x(a>0，a≠1)互为反函数，它们的图象关于y＝x对称．(2)一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x)．(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．(4)原函数y＝f(x)的定义域是它的反函数y＝f－1(x)的值域；原函数y＝f(x)的值域是它的反函数y＝f－1(x)的定义域．考点类型1对数函数的概念【例1】判断下列函数是否是对数函数？并说明理由．(1)y＝log a x2(a＞0，且a≠1)；(2)y＝log2x－1；(3)y＝2log8x；(4)y＝log x a(x＞0，且x≠1)．[思路点拨]依据对数函数的定义来判断．[解](1)中真数不是自变量x，∴不是对数函数；(2)中对数式后减1，∴不是对数函数；(3)中log8x前的系数是2，而不是1，∴不是对数函数；(4)中底数是自变量x，而不是常数a，∴不是对数函数．一个函数是对数函数，必须是形如y＝log a x(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数；(3)对数的真数仅有自变量x.类型2对数函数的定义域【例2】求下列函数的定义域．(1)f(x)＝1log12x＋1；(2)f(x)＝12－x＋ln(x＋1)；(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)；(4)f (x )＝x ln(1－2x )．[解] (1)要使函数f (x )有意义，则log 12 x ＋1>0，即log 12 x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)要使函数式有意义需满足⎩⎨⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎨⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)．(3)由题意得⎩⎨⎧－4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >12，x ≠1，故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，且x ≠1. (4)由题意知⎩⎨⎧x ≥0，1－2x >0，解得0≤x <12，∴定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x <12.求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式．类型3 比较对数式的大小【例3】比较下列各组值的大小： (1)log 534与log 543； (2)log 13 2与log 15 2；(3)log 23与log 54.[解] (1)法一(单调性法)：对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.法二(中间值法)：因为log 534<0，log 543>0，所以log534<log543.(2)法一(单调性法)：由于log132＝1log213，log152＝1log215，又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且13>15，所以0>log213>log215，所以1log213<1log215，所以log132<log152.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝log13x及y＝log15x的图象，由图易知：log132<log152.(3)取中间值1，因为log23>log22＝1＝log55>log54，所以log23>log54.比较对数值大小的常用方法(1)同底数的利用对数函数的单调性．(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3)底数和真数都不同，找中间量．提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小．第2课时对数函数的图象与性质的应用知识点图象变换(1)平移变换当b＞0时，将y＝log a x的图象向左平移b个单位，得到y＝log a(x＋b)的图象；向右平移b个单位，得到y＝log a(x－b)的图象．当b＞0时，将y＝log a x的图象向上平移b个单位，得到y＝log a x＋b的图象，将y＝log a x的图象向下平移b个单位，得到y＝log a x－b的图象．(2)对称变换要得到y＝log a 1x的图象，应将y＝log a x的图象关于x轴对称．考点类型1与对数函数相关的图象【例1】作出函数y＝|log2 (x＋2)|＋4的图象，并指出其单调增区间．[解]步骤如下：(1)作出y＝log2x的图象，如图(1)．(2)将y＝log2x的图象沿x轴向左平移2个单位得到y＝log2 (x＋2)的图象，如图(2)．(3)将y＝log2(x＋2)的图象在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方，得到y＝|log2 (x＋2)|的图象，如图(3)．(4)将y＝|log2(x＋2)|的图象沿y轴方向向上平移4个单位，得到y＝|log2(x ＋2)|＋4的图象，如图(4)．由图可知，函数的单调增区间为[－1，＋∞)．1．已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)|＋b的图象步骤如下：y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝|f(x＋a)|→y＝|f(x＋a)|＋b.2．已知y＝f(x)的图象，求y＝|f(x＋a)＋b|的图象，步骤如下：y＝f(x)→y＝f(x＋a)→y＝f(x＋a)＋b→y＝|f(x＋a)＋b|.以上可以看出，作含有绝对值号的函数图象时，先将绝对值号内部的图象作出来，再进行翻折，内部变换的顺序是先变换x，再变换y.类型2值域问题x的定义域为[2,4]，则函数f(x)的值域是【例2】(1)已知函数f(x)＝2log12________．(2)求函数f(x)＝log2(－x2－4x＋12)的值域．x在定义域[2,4]上为减函数求解．[思路点拨](1)中利用f(x)＝2log12(2)中注意考虑真数－x2－4x＋12的范围．x在[2,4]上为减函数，(1)[－4，－2][∵f(x)＝2log122＝－2；∴x＝2时，f(x)max＝2log124＝－4.x＝4时，f(x)min＝2log12∴f(x)的值域为[－4，－2]．](2)[解]∵－x2－4x＋12＞0，又∵－x2－4x＋12＝－(x＋2)2＋16≤16，∴0＜－x2－4x＋12≤16，故log2(－x2－4x＋12)≤log216＝4，∴函数的值域为(－∞，4]．求函数值域或最大(小)值的常用方法(1)直接法根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数值域．(2)配方法当所给的函数是二次函数或可化为二次函数形式的(形如y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c )，求函数值域问题时，可以用配方法．(3)单调性法根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域．(4)换元法求形如y ＝log a f (x )型函数值域的步骤：①换元，令u ＝f (x )，利用函数图象和性质求出u 的范围；②利用y ＝log a u 的单调性、图象，求出y 的取值范围．类型3 对数函数的综合问题【例3】已知函数f (x )＝lg (2－x )－lg (2＋x )．(1)求值：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 021＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 021； (2)判断f (x )的奇偶性；(3)判断函数的单调性并用定义证明．[思路点拨] (1)利用代入法求解，(2)(3)用定义法判断奇偶性和单调性．[解] (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 021＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 021＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12 021－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12 021＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12 021－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12 021＝0. (2)由题知⎩⎨⎧2－x >0，2＋x >0⇒－2<x <2，又f (－x )＝lg (2＋x )－lg (2－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(3)设－2<x 1<x 2<2，f (x 1)－f (x 2)＝lg 2－x 12＋x 1－lg 2－x 22＋x 2＝lg (2－x 1)(2＋x 2)(2＋x 1)(2－x 2)， ∵(2－x 1)(2＋x 2)－(2＋x 1)(2－x 2)＝4(x 2－x 1)>0.又(2－x 1)(2＋x 2)>0，(2＋x 1)(2－x 2)>0，∴(2－x 1)(2＋x 2)(2＋x 1)(2－x 2)>1，∴lg (2－x 1)(2＋x 2)(2＋x 1)(2－x 2)>0.从而f (x 1)>f (x 2)，故f (x )在(－2,2)上为减函数．对数函数性质的综合应用(1)常见的命题方式对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最大(小)值以及不等式等问题综合命题，求解中通常会涉及对数运算．(2)解此类问题的基本思路首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路．类型4 解对数不等式【例4】解下列关于x 的不等式： (1)log 17 x >log 17(4－x )； (2)log a (2x －5)>log a (x －1)．[解] (1)由题意可得⎩⎨⎧ x >0，4－x >0，x <4－x ，解得0<x <2.所以原不等式的解集为{x |0<x <2}．(2)当a >1时，原不等式等价于⎩⎨⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5>x －1.解得x >4. 当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎨⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5<x －1，解得52<x <4. 综上所述，当a >1时，原不等式的解集为{x |x >4}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 52<x <4.对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如log a x>log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论．(2)形如log a x>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝log a a b)，再借助y＝log a x的单调性求解．(3)形如log f(x)a>log g(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．。

2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块06-幂函数、指数函数对数函数

模块六：幂函数、指数函数与对数函数1、幂函数（1）函数y x α=（α为常数）叫做幂函数，其中x 是自变量．幂函数特征（1）系数为；（2）x α中底数自变量，指数是常数；（3）后面不加任何项，如3y x =，2x y x +=，22y x =+都不是幂函数（2）五个常见幂函数的图象（3）五个常见幂函数的性质（3）幂函数y x α=（α为常数）的性质1）幂函数y x α=（α为常数）在()0,+∞上都有定义，并且图象都过点()1,1；2）0α>时，幂函数的图象过原点，并且在区间[)0,+∞上是增函数； 3）0α<时，幂函数在区间()0,+∞上是减函数； 4）幂函数y x α=（α为常数）的图象都不过第四象限 2、指数与指数幂的运算（1）指数幂mna = （0a >，,m n N *∈且1n >）； m na −= ；（0a >，,m n N *∈且1n >） n= ；当n = ；当n = ；（2）指数幂运算（3）指数幂运算3、指数函数（1）指数函数的概念:（2）指数函数的图象与性质特别说明：指数函数x y a =（0a >且1a ≠）的图象与函数1xy a⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称．（3）底数对指数函数图象的影响（4）指数函数的图象变换（翻折变换）→4、对数及对数运算（1）对数式与指数式的互化：．（2）对数恒等式：log 1a = ；log a a = ；log b a a = ；lg 2lg5+= ； ln e = ；（3）对数的运算性质如果0a >且1a ≠，0M >，0N >，则（1）()log a MN = ；（2）log aMN= ；（3）log n a M = ；（4）恒等式：log ab a = ；log mn a b = ；（5）换底公式：log a b = ．（6）其他变形5、对数函数（1）对数函数的概念：（2）对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）的图象与性质特别说明：（1）函数log a y x =（0a >且1a ≠）的图象与函数1log ay x =的图象关于x 轴对称．（3）底数对对数函数log a y x =（0a >且1a ≠）的图象的影响 1）当1a >时，对数函数的图象“上升”；当01a <<时，对数函数的图象“下降”；2）底数的大小决定了图象相对位置的高低（4）对数函数的图象变换6、反函数注：互为反函数的两个函数的图象关于直线y x=对称．7、指数不等式与对数不等式8、指数方程与对数方程【课本优质习题汇总】新人教A版必修一110新人教A版必修一119新人教A版必修一120新人教A版必修一127新人教A版必修一127新人教A版必修一160新人教A版必修一160新人教A版必修一161新人教A版必修一161新人教B版必修二14新人教B版必修二30新人教B版必修二30新人教B版必修二38新人教B版必修二54。

高三数学专题复习之：指数函数、对数函数和幂函数

高三数学专题复习之：指数函数、对数函数和幂函数考点一：指数与指数幂的运算一．【基础知识回顾】1.方根的定义：如果一个数的n 次方等于a （*∈>N n n 且,1）,那么这个数叫做，即如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时，a 的n 次方根表示为，当n 是偶数时，正数的n 次方根有个，这时正数a 的正的n 次方根表示为，负的n 次方根表示为，0的方根都是0；根式n a 中n 叫做，a 叫做.2.根式的性质：⑴=n n a )(⑵当n 是奇数时，n n a =，当n 是偶数时，n n a =，(3)负数没有偶次方根；0的任何次方根都是. 3.幂的有关概念：（1）正整数指数幂：n a 表示；（2）零指数幂0a =，（0≠a ）；（3）负整数指数幂：=-p a （*∈≠N p a ,0）;(4)正分数指数幂：=nm a （*∈>N n m a ,,0，且1>n ）；（5）负分数指数幂：=-nm a （*∈>N n m a ,,0，且1>n ）；（6）0的正分数指数幂等于；0的负分数指数幂.注意：分数指数幂不能随便约分化简，如42a 不能写成21a ，必须认真考查a 的取值才能确定.4.幂的运算法则：R s r b a ∈>>,,0,0；⑴=⋅s r a a ；⑵=s r a )(；⑶=⋅r b a )(二．【范例分析】例1化简：（1）()338-=（2）()()b a b a <-2=变式:化简1.=+-+-+--4)(4)(233233e e e e 例2化简：（1）12100-=（2）341681-⎛⎫⎪⎝⎭= 例3化简：529323210)10()8(÷⨯-=例4已知13x x-+=，求下列各式的值：（1）1122x x-+；（2）3322x x-+.考点二：指数函数及其性质一．【基础知识回顾】1.指数函数的定义：一般地，函数叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为.2.指数函数的图象和性质：3.指数函数和指数方程、指数不等式之间的关系：⇔=)()(x g x f a a ； 10<<a 时⇔>)()(x g x f a a ；1>a 时⇔>)()(x g x f a a ；二．【范例分析】例1：说明下列函数的图象与x y 2=的图象的关系，并画出它们的示意图： ⑴12+=x y ⑵2-2x y =例3：比较大小：①5.27.137.1②1.0-8.02.0-8.0③3.07.11.39.0 例4：求下列函数的定义域和值域：⑴412-=x y ⑵22)21(x x y -=⑶1212+-=x x y例5：函数14-+=x a y （0>a ，且1≠a ）的图象一定恒过定点例6：已知222)(+=x x x f ，则=+++)109()102()101(f f f例7：已知对任意R x ∈，不等式4222)21(21++-+>m mx x xx 恒成立，求实数m 的取值范围例8.已知函数xx xx x f --+-=10101010)( (1) 证明：)(x f 在定义域内是增函数；（2）求函数)(x f 的值域。

高考数学专题指数函数、对数函数、幂函数精彩试题及其问题详解

指数函数、对数函数、幂函数专题1．函数()3(02)xf x x =<≤值域为（）A ．(0)+∞，B ．(19]，C ．(01)，D ．[9)+∞，2．给出下列三个等式：()()()()()()f xy f x f y f x y f x f y =++=，，()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A ．()3xf x =B ．()sin f x x =C ．2()log f x x =D ．()tan f x x =3．以下四个数中的最大者是（）A ．（ln2）2B ．ln （ln2）C ．ln 2D ．ln24．若A=}822|{2<≤∈-xZ x ，B=}1|log ||{2>∈x R x ，则)(C R B A 的元素个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 5．设2()lg()1f x a x=+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞6．对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数；命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（）A ．①③B ．①②C ．③D ．②7．函数y=1212+-x x 是（）（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）既奇又偶函数（D ）非奇非偶函数8．设,,a b c 均为正数，且11222112log ,log ,log ,22b caa b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则（）A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b a c <<9．已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则M N （） A ．{}1>x x B ．{}1<x x C ．{}11<<-x x D ．∅ 10．设a ∈{－1，1，21，3}，则使函数y=x a的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为（） A ．1，3 B ．－1，1 C ．－1，3 D ．－1，1，311．设函数)(x f 定义在实数集上，它的图象关于直线x =1对称，且当1≥x 时，)(x f =13-x，则有（）A ．)31(f <)23(f <)32(fB ．)32(f <)23(f <)31(f C ．)32(f <)31(f <)23(f D ． )23(f <)32(f <)31(f12．函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1 13．函数)(x f =x 2log 1+与)(x g =12+-x 在同一直角坐标系下的图象大致是（）14．设1>a ，函数)(x f =x a log 在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为21，则a =（） A ．2 B ．2 C ．22 D ．4 15．若1>a ，且y a x aa y a xlog log -<---，则x 与y 之间的大小关系是（）A ．0>>y xB ．0>=y xC ．0>>x yD ．无法确定 16．函数|1|||ln --=x ey x 的图象大致是（）17．函数()y f x =的图象与函数3log (0)y xx =>的图象关于直线y x =对称，则()f x =____________。

高考数学易错点第6讲：指数函数、对数函数、幂函数、二次函数

高考数学易错点第6讲：指数函数、对数函数、幂函数、二次函数易错知识1．对数函数、指数函数中容易忽略底数的取值范围；2．在对数式中，要注意真数是大于零的；3．函数的单调区间与在区间上单调是两个不同的概念；4.对于最高项系数含有参数的函数，要注意对参数的讨论；易错分析一、对数函数中忽视对底数的讨论致错1．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．【错解】已知f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，知f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，且8－2a >0，解得1<a <83.故实数a【错因】没有对底数a 进行分情况讨论，【正解】二、忽视对数式中真数大于零致错2．函数y ＝log 5(x 2＋2x －3)的单调递增区间是______．【错解】令g (x )＝x 2＋2x －3，则函数g (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，再根据复合函数的单调性，可得函数y ＝log 5(x 2＋2x －3)的单调递增区间是(－1，＋∞)．【错因】没有保证对数式中真数大于零，【正解】3．已知函数f (x )＝log a (ax 2－2x ＋5)(a >0，且a≠1)a 的取值范围为()忽视对高次项系数的讨论致错使用换元法忽视新变量范围致错A.310(，∪[2，＋∞)B.13，(1,2]C.19，13∪[2，＋∞)D ．19，13∪(1,2]【错解】选A当0<a <1时，由复合函数单调性知函数u ＝ax 2－2x ＋5且u >0恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≥<<3110aa ，解得0<a ≤13；当a >1时，由复合函数单调性知函数u ＝ax 2－2x ＋5u >0恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>2111a a ，解得a ≥2.综上，a 的取值范围为]310(，∪[2，＋∞)．【错因】没有保证对数式中真数大于零，【正解】三、忽视高次项系数的讨论致错4．函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的值为()A ．－14B ．0 C.14D ．0或－14【错解】选A若f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则方程ax 2－x －1=0有且仅有一个根，则Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.【错因】没有对二次项系数a 分情况讨论，【正解】5．若函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是()－14，＋∞ B.－14，＋∞C.－14，D ．－14，0【错解】选C函数f (x )的对称轴为直线x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.故选C.【错因】没有对二次项系数a 分情况讨论，【正解】四、指数函数中忽视对底数的讨论致错6．若函数f (x )＝a22-+1x ax (a >0且a ≠1)在区间(1,3)上单调递增，则实数a 的取值范围为()A ．(1,2)B ．(0,1)C ．(1,4]D ．(－∞，4]【错解】选D221y x ax =-+∞根据复合函数的单调性可知，f (x )∞f (x )在(1,3)上单调递增，所以14≤a，解得a ≤4.所以a 的取值范围为(－∞，4]．【错因】没有对底数a 进行分情况讨论，【正解】五、幂函数中忽视定义域致错7．已知幂函数f (x )＝x-12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围为________．【错解】∵f (x )＝x -12＝1x(x ＞0)，且在(0，＋∞)上是减函数，∴aa 2101->+，解得3＜a .答案：(3,＋∞)．【错因】没有考虑函数的定义域，【正解】六、使用换元法时没有注意注意新元的取值范围致错8．(注意新元的取值范围)已知函数y ＝4x －3·2x ＋3，若其值域为[1,7]，则x 可能的取值范围是()A ．[2,4]B ．(－∞，0]C ．(0,1]∪[2,4]D ．(－∞，0]∪[1,2]【错解】选D令t ＝2x ，则y ＝t 2－3t ＋3＋34，其图象的对称轴为直线t ＝32.当x ∈[2,4]时，t ∈[4,16]，此时y ∈[7,211]，不满足题意；当x ∈(－∞，0]时，t ∈(－∞,1]，此时y ∈[1,3)，不满足题意；当x ∈(0,1]∪[2,4]时，t ∈(－∞,2]∪[4,16]，此时y ∈34，1∪[7,211]，不满足题意；当x ∈(－∞，0]∪[1,2]时，t ∈(－∞,1]∪[2,4]，此时y ∈[1,7]，满足题意．故选D.【错因】没有考虑新元t 的取值范围，因为2x >0，所以t >0。

新高考数学复习知识点讲解与练习46---幂函数、指数函数、对数函数

新高考数学复习知识点讲解与练习幂函数、指数函数、对数函数知识梳理1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质2.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝a x(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.1.幂函数满足三个条件：(1)幂底是单自变量；(2)指数为常数；(3)系数为1.类似地指数函数、对数函数也分别满足三个条件.2.(1)幂函数图象的分布规律：作一直线x＝t>1，与幂函数交点在上面的幂函数的指数大；(2)指数函数图象的分布规律：作一直线x＝t>0，与指数函数交点在上面的指数函数的底数大；(3)对数函数图象的分布规律：作一直线y＝k>0，与对数函数交点在右边的对数函数的底数大.诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)幂函数y＝x0与常值函数y＝1图象相同.()(2)函数y＝2x 13是幂函数.()(3)y＝2x－1是指数函数，y＝log a(x2＋1)(a>0，且a≠1)是对数函数.()(4)函数y＝ln x＋1x－1与y＝ln(x＋1)－ln(x－1)的定义域相同.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析 (1)错误，y ＝1的图象去掉点(0，1)才是y ＝x 0的图象； (2)错误，因为x 13的系数不是1； (3)错误，y ＝2x －1＝12·2x ，2x 前面的系数不为1，y ＝log a (x 2＋1)(a >0且a ≠1)，真数为x 2＋1而不是单自变量x . (4)错误，y ＝lnx ＋1x －1的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，而y ＝ln(x ＋1)－ln(x －1)的定义域为(1，＋∞)，故函数的定义域不同.2.(2019·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象可能是()答案D解析当0<a <1时，函数y ＝a x 的图象过定点(0，1)，在R 上单调递减，于是函数y ＝1a x 的图象过定点(0，1)，在R 上单调递增，函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递减.因此，选项D 中的两个图象符合.当a >1时，函数y ＝a x 的图象过定点(0，1)，在R 上单调递增，于是函数y ＝1a x 的图象过定点(0，1)，在R 上单调递减，函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增. 显然A ，B ，C ，D 四个选项都不符合. 故选D.3.(一题多解)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是() A.a >1，c >1 B.a >1，0<c <1 C.0<a <1，c >1 D.0<a <1，0<c <1 答案D解析法一由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1.法二由图可知，y ＝log a (x ＋c )的图象是由y ＝log a x 的图象向左平移c (c ＞0)个单位而得到的，其中0＜c ＜1，再根据单调性易知0＜a ＜1.4.已知幂函数f (x )＝x α(α是实数)的图象经过点(2，2)，则f (4)的值为________. 答案2解析幂函数f (x )＝x α的图象过点(2，2)，所以f (2)＝2α＝2，解得α＝12，所以f (x )＝x 12，则f (4)＝4＝2.5.若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图象不经过原点，则实数m 的值为________.答案1或2解析由⎩⎨⎧m 2－3m ＋3＝1，m 2－m －2≤0，解得m ＝1或2.经检验m ＝1或2都适合.6.当a >0，且a ≠1时，函数f (x )＝a x －3－2必过定点________，其值域为________. 答案(3，－1)(－2，＋∞)解析函数f (x )＝a x －3－2的图象是将函数y ＝a x 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的.故函数f (x )＝a x －3－2必过定点(3，－1)，其值域为(－2，＋∞).考点一幂函数【1】 (1)已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，【2】＋∞)上递减，则α＝________.(2)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为() A.－3 B.1 C.2 D.1或2 答案(1)－1(2)B解析 (1)由f (x )为奇函数，所以α＝－1，1，3，又在(0，＋∞)上为递减可知α＝－1. (2)∵幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n 在(0，＋∞)上是减函数， ∴⎩⎨⎧n 2＋2n －2＝1，n 2－3n <0，∴n ＝1，又n ＝1时，f (x )＝x－2的图象关于y 轴对称，故n ＝1.感悟升华(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.【训练1】 (1)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝()A.12B.1C.32 D.2(2)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则() A.b <a <c B.a (m 2＋m －1)12，则实数m 的取值范围是() A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞ C.(－1，2) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2答案(1)C(2)A(3)D解析 (1)由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.(2)因为a ＝243＝423，b ＝323，c ＝523，又y ＝x 23在(0，＋∞)上是增函数，所以c >a >b . (3)因为函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎨⎧2m＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12，m ≤－5－12或m ≥5－12，－1＜m ＜2，即5－12≤m <2.考点二指数函数【例2】已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2).(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h （x ），由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.(3)由f (x )的值域是(0，＋∞)知，ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0.感悟升华(1)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.(2)比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；③当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.【训练2】 (1)(2021·杭州二中检测)已知0<a (1－a )b B.(1－a )b >(1－a )b 2 C.(1＋a )a >(1＋b )b D.(1－a )a >(1－b )b(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 13，x ≥8，2e x －8，x <8，则使得f (x )≤3成立的x 的取值范围是________.(3)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________. 答案(1)D(2)(－∞，27](3)[－1，1]解析 (1)因为0<a (1－a )b >(1－b )b ，故选D. (2)当x ≥8时，f (x )＝x 13≤3，∴x ≤27，即8≤x ≤27；当x <8时，f (x )＝2e x －8≤3恒成立，故x <8. 综上，x ∈(－∞，27].(3)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1].考点三对数函数【例3】已知函数f (x )＝log a (ax 2－x ). (1)若a ＝12，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在区间[2，4]上是增函数，求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝12时，f (x )＝log 12⎝⎛⎭⎪⎫12x 2－x ，由12x 2－x >0，得x 2－2x >0，解得x <0或x >2，所以函数的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，结合图象可得函数的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，0). (2)令g (x )＝ax 2－x ，则函数g (x )的图象为开口向上、对称轴为x ＝12a 的抛物线， ①当0<a <1时，要使函数f (x )在区间[2，4]上是增函数，则g (x )＝ax 2－x 在[2，4]上单调递减，且g (x )min >0，即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≥4，g （4）＝16a －4>0，此不等式组无解. ②当a >1时，要使函数f (x )在区间[2，4]上是增函数，则g (x )＝ax 2－x 在[2，4]上单调递增，且g (x )min >0，即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2，g （2）＝4a －2>0，解得a >12，又a >1，所以a >1，综上可得a >1.实数a 的取值范围为(1，＋∞).感悟升华(1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.(2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【训练3】 (1)(2019·天津卷)已知a ＝log 52，b ＝log 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <c <bB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b(2)(一题多解)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C.(1，2) D.(2，2)(3)(2021·浙江名校冲刺卷)已知实数x 1，x 2分别满足x 1＝e 11＋x 1，(x 2＋e)ln x 2＝e ，则x 1x 2＝________. 答案(1)A(2)B(3)e解析(1)因为y ＝log 5x 是增函数，所以a ＝log 52<log 55＝0.5.因为y ＝log 0.5x 是减函数，所以b ＝log 0.50.2>log 0.50.5＝1.因为y ＝0.5x 是减函数，所以0.5＝0.51<c ＝0.50.2<0.50＝1，即0.5<c <1.所以a <c <b .故选A.(2)法一由题意得，当0<a <1时，要使得4x<log a x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x ≤12，即当0<x ≤12时，函数y ＝4x的图象在函数y ＝log a x 图象的下方.如图所示，又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1. 当a >1时，不符合题意，舍去. 所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.法二∵当0＜x ≤12时，1＜4x ≤2，要使4x ＜log a x ，必须2＜log a x ，∴⎩⎨⎧0＜a ＜1，log a a 2＜log a x ，即⎩⎨⎧0＜a ＜1，a 2＞x 对0＜x ≤12恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，a 2＞12，解得22＜a ＜1. (3)由x 1＝e 11＋x 1>0，两边同时取对数得ln x 1＝1x 1＋1，又由(x 2＋e)ln x 2＝e ，得ln x 2＝ee ＋x 2＝1－x 2e ＋x 2，即1－ln x 2＝x 2e ＋x 2，故ln e x 2＝1e x 2＋1.因为函数y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，而y ＝1x ＋1在(0，＋∞)上单调递减，故ln x ＝1x ＋1只有唯一实根，因此，x 1＝ex 2，所以x 1x 2＝e.基础巩固题组一、选择题1.(2020·上海嘉定区调研)“函数f (x )(x ∈R )存在反函数”是“函数f (x )在R 上为增函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析函数f(x)(x∈R)存在反函数，至少还有可能函数f(x)在R上为减函数，充分性不成立；根据反函数的定义可知必要性显然成立，“函数f(x)(x∈R)存在反函数”是“函数f(x)在R上为增函数”的必要不充分条件，故选B.2.已知x，y∈R，且x＞y＞0，若a＞b＞1，则一定有()A.log a x＞log b yB.sin a x＞sin b yC.ay＞bxD.a x＞b y答案D解析当x＞y＞0，a＞b＞1时，由指数函数的性质易得a x＞a y＞b y，故选D.3.(一题多解)(2019·全国Ⅱ卷)若a>b，则()A.ln(a－b)>0B.3a<3bC.a3－b3>0D.|a|>|b|答案C解析法一由函数y＝ln x的图象(图略)知，当0<a－b<1时，ln(a－b)<0，故A不正确；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a>b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C正确；当b<a<0时，|a|<|b|，故D不正确.故选C.法二当a＝0.3，b＝－0.4时，ln(a－b)<0，3a>3b，|a|<|b|，故排除A，B，D.故选C. 4.(2021·诸暨期末)若a－2>a2(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝log a(x－1)的图象大致是()答案 C解析因为a －2>a 2(a >0且a ≠1)，所以0<a <1，则函数f (x )＝log a (x －1)的图象可以看作是由函数y ＝log a x 的图象向右平移一个单位长度得到的，观察各选项，只有C 选项符合，故选C.5.若函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)在[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为() A.14 B.22 C.24 D.12 答案C解析因为0＜a ＜1，所以f (x )在[a ，2a ]上是减函数.所以f (x )max ＝f (a )＝log a a ＝1，f (x )min ＝f (2a )＝log a (2a )＝1＋log a 2，由题意知1＝3(1＋log a 2)，即log a 2＝－23，所以a ＝24.6.(2020·温州适考)定义在R 上的函数y ＝f (x )满足|f (x )|≤2|x －1|，且y ＝f (x ＋1)为奇函数，则y ＝f (x )的图象可能是()答案D解析因为y＝f(x＋1)为奇函数，所以f(x＋1)＝－f(－x＋1)，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)成中心对称，排除A，B；又因为|f(1.5)|≤2|1.5－1|＝20.5＝2，所以排除C，故选D.7.已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a答案C解析因为f(x)是奇函数且在R上是增函数，所以当x>0时，f(x)>0，从而g(x)＝xf(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，20.8<2，又4<5.1<8，则2<log25.1<3，所以0<20.8<log25.1<3，g(20.8)<g(log25.1)<g(3)，所以b<a<c，故选C.8.(一题多解)(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是()A.y＝ln(1－x)B.y＝ln(2－x)C.y＝ln(1＋x)D.y＝ln(2＋x)答案B解析法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x).故选B.法二由题意知，对称轴上的点(1，0)在函数y＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.9.下列命题正确的是()A.若ln a－ln b＝a－3b，则a>b>0B.若ln a－ln b＝a－3b，则0<a<bC.若ln a－ln b＝3b－a，则a>b>0D.若ln a－ln b＝3b－a，则0<a<b答案C解析若ln a－ln b＝3b－a，则a>0，b>0，所以ln a＋a＝ln b＋3b>ln b＋b，设f(x)＝ln x ＋x，则易得函数f(x)＝ln x＋x在(0，＋∞)上单调递增，所以a>b>0，C正确.二、填空题10.函数f(x)＝lg(4x－2x＋1＋11)的最小值是________.答案1解析令2x＝t，t>0，则4x－2x＋1＋11＝t2－2t＋11＝(t－1)2＋10≥10.所以lg(4x－2x＋1＋11)≥1，即所求函数的最小值为1.11.方程2x＝2－x的解的个数是________.答案1解析方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图).由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.12.函数f (x )＝log a (ax －3)在[1，3]上单调递增，则a 的取值范围是________. 答案(3，＋∞)解析由于a >0，且a ≠1， ∴u ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则y ＝log a u 必为增函数， ∴a >1.又u ＝ax －3在[1，3]上恒为正， ∴a －3>0，∴a >3.13.设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________.答案(－1，0)解析由f (x )是奇函数可得a ＝－1， ∴f (x )＝lg1＋x1－x，定义域为(－1，1). 由f (x )<0，可得0<1＋x1－x<1，∴－1<x <0.14.(2021·浙江三校三联)函数f (x )＝log 2(3－2x －x 2)，则f (x )的单调递增区间为________，值域为________.答案(－3，－1)(－∞，2]解析令3－2x －x 2＞0得－3＜x ＜1，所以函数f (x )＝log 2(3－2x －x 2)的定义域为(－3，1).因为函数f (u )＝log 2u 在(0，＋∞)上单调递增，函数u (x )＝3－2x －x 2在(－3，－1)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，所以函数f (x )＝log 2(3－2x －x 2)的单调递增区间为(－3，－1).由x ∈(－3，1)得u (x )∈(0，4]，所以f (u )＝log 2u ∈(－∞，2]，故f (x )的值域为(－∞，2].能力提升题组15.(2020·全国Ⅰ卷)若2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ，则() A.a >2b B.a <2b C.a >b 2 D.a <b 2 答案B解析由指数和对数的运算性质可得 2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ＝22b ＋log 2b .令f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 又∵22b ＋log 2b <22b ＋log 2b ＋1＝22b ＋log 2(2b )，∴2a ＋log 2a <22b ＋log 2(2b )，即f (a )<f (2b )，∴a <2b .故选B.16.函数f (x )＝⎩⎨⎧|2x －1|，x ≤2，－x ＋5，x >2.若互不相等的实数a ，b ，c 满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则2a ＋2b＋2c 的取值范围是()A.(16，32)B.(18，34)C.(17，35)D.(6，7) 答案B解析画出函数f (x )的图象如图所示.不妨设a 0.由f (a )＝f (b )，得1－2a ＝2b －1，则2a ＋2b ＝2. 又f (a )＝f (b )＝f (c )，结合图象，得0<5－c <1，则4<c <5. ∴16<2c <32.故18<2a ＋2b ＋2c <34.17.(2021·嵊州适考)已知函数f (x )＝|ln x |＋x ，若f (x 1)＝f (x 2)，其中x 1≠x 2，则() A.x 1＋x 2<2 B.x 1＋x 2>2 C.1x 1＋1x 2<2 D.1x 1＋1x 2>2 答案D解析根据题意不妨设0<x 1<1<x 2，则由f (x 1)＝f (x 2)，得－ln x 1＋x 1＝ln x 2＋x 2，即ln x 2＋ln x 1＝ln(x 1x 2)＝x 1－x 2<0，所以0<x 1x 2<1.因为x 1＋x 2>2x 1x 2，所以1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2>2x 1x 2>2，故选D.18.已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________. 答案⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83解析当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1，解之得1<a <83.若0<a <1时，f (x )在[1，2]上是增函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )>1，且8－2a >0. ∴a >4，且a <4，故a 不存在. 综上可知实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83.19.(2018·上海卷)已知常数a ＞0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax 的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65、Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ，－15，若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝________. 答案6解析由题意知2p 2p ＋ap ＋2q2q ＋aq＝1，∴2p ＋q ＝a 2pq ＝36pq ，∴a ＝6.20.若f (x )＝a （2x ＋1）－22x ＋1是R 上的奇函数，则实数a 的值为________，f (x )的值域为________. 答案1(－1，1)解析 ∵函数f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0， ∴2a －22＝0，解得a ＝1，f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1.∵2x ＋1>1，∴0<22x ＋1<2，∴－1<1－22x ＋1<1，∴f (x )的值域为(－1，1).。

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考点6 指数函数、对数函数、幂函数
一、选择题
1．（2011·安徽高考文科·Ｔ5）若点(),a b 在lg y x =图象上，1a ≠，则下列点也在此图象上的是（）
（A ）1,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
（B ）()10,1a b - （C ）10,1b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （D ）)2,(2b a 【思路点拨】利用对数的运算性质，代入验证.
【精讲精析】选D.由题意2lg lg 22,lg a a b a b === ，即)2,(2b a 也在函数x y lg =图象上.
2.（2011·山东高考理科·Ｔ3）若点（a,9）在函数3x y =的图象上，则tan 6
a π的值为（）（A ）0 （B
（C ）1 （D
【思路点拨】根据点在函数图象上求出a ，再代入求值.
【精讲精析】选D.因为点（a,9）在函数3x y =的图象上，所以2,93==a a ，所以36
2tan =π. 3.（2011·辽宁高考理科·Ｔ9）设函数f （x ）=⎩
⎨⎧≤，＞，，，1x x log -11x 22x -1则满足f （x ）≤2的x 的取值范围是（）（A ）[-1，2] （B ）[0，2] （C ）[1，+∞）（D ）[0，+∞）
【思路点拨】可分1≤x 和1>x 两种情况分别求解，再把结果并起来．
【精讲精析】选D.若1≤x ，则x -122≤，解得10≤≤x ;若1>x ，则2x log -12≤，解得1>x ，综上， 0≥x .故选D.
4.（2011·北京高考文科·T3）如果1122
log log 0x y <<，那么（）
()1A y x << ()1B x y << ()1C x y << ()1D y x <<
【思路点拨】利用对数函数的单调性求解.
【精讲精析】选D.因为12
log y x =为(0,)+∞上的减函数，所以1x y >>.
5.（2011.天津高考理科.T7）已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,,5⎛⎫=== ⎪⎝⎭a b c 则（）
(A)a b c (B)b a c (C)a c b (D)c a b
【思路点拨】化简c 为同底，画图观察比较大小.
【精讲精析】选C. 3log 0.31c=5
（）可化为310log 3c=5，如图所示，结合指数函数的单调性可知选项C 正确.
6．（2011·天津高考文科·Ｔ5）已知244log 3.6,log 3.2,log 3.6a b c ，则（）
(A)>>a b c (B)a c b (C)>>b a c (D)>>c a b
【思路点拨】先分别与1比较，再看真数或底数，b 与c 的底数相同，分别比较.
【精讲精析】选B.因为24log 3.61log 3.61a
c ，0<，441log 3.6log 3.2c b ，所以选B. 二、填空题
7.（2011·江苏高考理科·Ｔ2）函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________.
【思路点拨】本题考查的是对数函数的单调性问题，解题的关键是找出定义域和增区间的交集.
【精讲精析】根据对数函数的底数大于1，函数在定义域内是增函数，210x +>，解得12x >-
，所以函数的单调增区间为1(,)2-+∞.
【答案】1(,)2-+∞
8．（2011·陕西高考文科·T11）设lg ,0()10,0x x x f x x >⎧=⎨⎩，则((2))f f -=______.
【思路点拨】由2x =-算起，先判断x 的范围，是大于0，还是不大于0,再判断(2)f -作为自变量的值时的范围，最后即可计算出结果．
【精讲精析】∵20x =-<，∴21(2)10
0100
f --==>，所以22(10)lg102f --==-，即((2))2f f -=-．【答案】2- 关闭Word 文档返回原板块。