东南大学信号与系统试题及答案

q' ' ' x3 ' ，于是，由此微分方程立即可以写出如下方程
x1 ' x 2 x 2 ' x3 x ' x x 2 x e(t ) 1 2 3 状态方程： 3 2 x1 4 x2 6 x3 x1 3x2 4 x3 e(t ) y x3 输出方程：
H ( s)
s 3 6s 2 4s 2 s3 2s 2 s 1 。试给出该系统
的状态方程。
解：系统的微分方程为
y (t ) 2 y (t ) y (t ) y(t ) e(t ) 6e(t ) 4e(t ) 2e(t ) 取原来的辅助变量 q 及其各阶导数为状态变量并分别表示为 q x1 、 q' x2 、 q' ' x3 、
F ( j )
n
e

jn
。
e(t)
h(t)
y(t)
f (t )
图(a)
e(t) 2
h(t) 1
4 图(b)
4
t
0 图(c)
1
t
试：1） 分别画出 f (t ) 的频谱图和时域波形； 2） 求输出响应 y(t)并画出时域波形。 3） 子系统 h(t)是否是物理可实现的？为什么？请叙述理由；
出该系统的状态方程。
6、 求出下面框图所示离散时间系统的系统函数。
e( k )

z 1
-0.3
2

z 1
-0.2
r (k )
二、 （12 分）已知系统框图如图（a） ，输入信号 e(t)的时域波形如图（b） ， 子 系 统 h(t) 的 冲 激 响 应 波 形 如 图 (c) 所 示 ， 信 号 f (t ) 的 频 谱 为
k h(k ) cos (k ) 2 五（12 分） 、已知某离散时间系统的单位函数响应 。
1） 求其系统函数 H ( z ) ； 2） 粗略绘出该系统的幅频特性； 3） 画出该系统的框图。
六、 （10 分）请叙述并证明 z 变换的卷积定理。
答案
1 2 j 3 ，按照取样间隔 1、 已知某连续信号 f (t ) 的傅里叶变换为 T 1 对其进行取样得到离散时间序列 f (k ) ，序列 f (k ) 的 Z 变换。 F ( j )
三（12 分） 、已知电路如下图所示，激励信号为 e(t ) (t ) ，在 t=0 和 t=1 时测得系统的输出为 y(0) 1 ， y(1) e
0.5
。分别求系统的零输入响应、零状
态响应、全响应、以及自然响应和受迫响应。
L=2H R1=2 e(t) R2=1 C=1F
``
e( k )

z 1
-0.3
2

z 1
-0.2
r (k )
解：
H ( z ) (1
2 1 z 2.3 ) 2 z 0.3 z 0.2 z 0.5 z 0.06
二、 （12 分）已知系统框图如图（a） ，输入信号 e(t)的时域波形如图（b） ， 子 系 统 h(t) 的 冲 激 响 应 波 形 如 图 (c) 所 示 ， 信 号 f (t ) 的 频 谱 为
f1 (k ) 1 ,2,1


f 2 (k ) 1 cos k (k ) 2 和 的卷积和。
3、 已知某双边序列的 Z 变换为
F ( z)
1 10 z 9 z 2 ， 求该序列的时域表达式 f (k ) 。
2
解： 当收敛域为|z|>0.5 时，f(k)=(( 0.4)k1( 0.5)k1)(k1) 当收敛域为 0.4<|z|<0.5 时，f(k)= ( 0.4)k1(k1)+( 0.5)k1( k) 当收敛域为|z|<0.4 时，f(k)= ( 0.4)k1(k)+( 0.5)k1( k) 点评：此题应对收敛域分别讨论，很多学生只写出第一步答案，即只考虑单边序列。 4、已知某连续系统的特征多项式为：
或者写成矩阵形式，上式即为
1 x1 0 x1 ' 0 0 x ' Ax Be 0 1 0 2 x 2 0 e x 3 ' 1 1 2 x3 1 x1 y Cx De 1 3 4 x 2 e(t ) x3 6、求出下面框图所示离散时间系统的系统函数。
2 y(k 2) 3 y(k 1) y(k ) e(k 1) 其初始状态为 y zi (1) 2, y zi (2) 6 ，激励 e(k ) (k ) ；
求：1） 零输入响应 y zi (k ) 、零状态响应 y zs (k ) 及全响应 y (k ) ； 2） 指出其中的自由响应分量和受迫响应分量； 3） 判断该系统的稳定性。
2
样间隔 T 1 对其进行取样得到离散Байду номын сангаас间序列 f (k ) ，序列 f (k ) 的 Z 变换。
2、 求序列
f1 (k ) 1 ,2,1
k 0


f 2 (k ) 1 cos k (k ) 2 和 的卷积和。
3、 已知某双边序列的 Z 变换为 达式 f (k ) 。
F ( z)
1 1 z 0.4 z 0.5 ，两个单阶极点为0.4、0.5
D(s) s 7 3s 6 6s 5 10s 4 11s 3 9s 2 6s 2 试判断该系统的稳定情况， 并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几 个？
解 构作罗斯-霍维茨阵列
L=2H R1=2 e(t) R2=1 C=1F
+ y(t) _
解：1）电路满足 KVL：得
y (t ) 1.5 y (t ) 0.5 y(t ) 0.5e(t ) 0.5s H ( s) 2 s 1.5s 0.5 ，特征根为 1=0.5，2=1 2）系统函数为：
F ( z)
1 10 z 9 z 2 ， 求该序列的时域表
2
4、 已知某连续系统的特征多项式为：
D(s) s 7 3s 6 6s 5 10s 4 11s 3 9s 2 6s 2
试判断该系统的稳定情况，并指出系统含有负实部、零实部和正实部的 根各有几个？
s 3 6s 2 4s 2 H ( s) 3 s 2s 2 s 1 。试给 5、 已知某连续时间系统的系统函数为：
解：1）根据傅立叶变换的性质得：
f (t )
n
(t 2n)
f(t) (1)

-4
-2
2
4
t
F ( j )
n
( n)
F(jw)




2
w
2）y(t)=[e(t)f(t)]h(t)=[(t+2)+2(t)+ (t2)] h(t)= h(t+2)+2h(t)+ h(t2)
s 4 3s 2 2 0
令 s x 则有
2
可解得 相应地有
x2 3 x 2 0 x 1, 2
s1, 2 1
j j 2
s 3 ,4 2
这说明该系统的系统函数在虚轴上有四个单极点分别为土 j 及土 j 2 ，系统为临界稳定。 所以系统含有三个负实部的根、四个零实部的根，无正实部的根。 点评：此题得分率很低。很多学生对全零行不知如何处理。 5、已知某连续时间系统的系统函数为：
H ( z) z 2 z 3z 1 ，特征根为 1=0.5，2=1
2
解：
1） yzi(k)=(C10.5k+C2)(k)； 代入初始条件得 C1=2，C2=2 零输入响应：yzi(k)= (220.5k)(k)
z z z z z 1 1 2 Yzs(z)=H(z)E(z)= 2 z 3z 1 z 1 z 0.5 z 1 ( z 1) = s 0.5 s 1
0.5s 1 1 1 Yzs(s)=H(s)E(s)= s 1.5s 0.5 s = s 0.5 s 1
2
零状态响应：yzs(t)=(e0.5t et)(t) yzs(0)=0，yzs(1)=(e0.5 e1)； yzi(0)= y(0) yzs(0)=1，yzi(1)= y(1) yzs(1)= e1 ；
+ y(t) _
四(12 分)、已知某离散系统的差分方程为
2 y(k 2) 3 y(k 1) y(k ) e(k 1)
其初始状态为 y zi (1) 2,
y zi (2) 6 ，激励 e(k ) (k ) ；
求：1） 零输入响应 y zi (k ) 、零状态响应 y zs (k ) 及全响应 y (k ) ； 2） 指出其中的自由响应分量和受迫响应分量； 3） 判断该系统的稳定性。
f(k)= (ek e2k )(k)= ((e ) (e ) ) (k )
z z 1 z e 2 F(z)=Z[f(k)]= z e
k 0 2、 求序列 解：f1(k)={1,2,1}=(k)+2(k1)+ (k2) f1(k)* f2(k)= f2(k)+ 2f2(k1)+ f2(k2)
y(t) 2
-2
-1
1
2
3
t
3）因 h(t)是有始因果信号，所以子系统 h(t)是物理可实现的。 点评：此题做对的非常少，大多数写不出 f(t)的表达方式。