时间序列计量模型剖析
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2 2 t
• 如果一个时间序列是不平稳的，就称它为 非平稳时间序列。也就是说，时间序列的 统计规律随时间的推动而发生变化。此时， 要通过回归分析研究某个变量在跨时间区 域的对一个或多变量的依赖关系就是困难 的，也就是说当时间序列为非平稳时，就 无法知道一个变量的变化如何影响另一个 变量。
• 在时间序列计量分析实践中，时间序列的 平稳性是根本性前提，因此，在进经济计 量分析前，必须对时间序列数据进行平稳 性检验。
（1.13）
• （2）包含常数项的模型
• （1.14）
• （3）包含常数项和时间趋势项的模型
• （1.15）
• DF检验常用的表达式为如下的差分表达式，即
• DF检验常用的表达式为如下的差分表达式，
即
Yt ( 1)Yt 1 vt
（1.16） （1.17） （1.18） （1.19）
平稳性的特征就是要求所有时间相 邻项之间的相关关系具有相同的性质。 判断一个时间序列数据是否产生于一个 平稳过程是很困难的。通常而言，时间 序列数据是弱平稳的就足够了。因此， 弱平稳是时间序列分析中的常用平稳性 概念。
• 弱平稳也称为协方差平稳过程。 • 弱平稳是指随机过程{Yt}的均值和方差不 随时间的推移而变化，并且任何两时期之 间的协方差仅依赖于该两时期的间隔，而 与t无关。即随机过程{Yt}满足
• 如果式（1.1）中ρ=1，则 • （1.2） Yt Yt 1 vt • 式（1.2）中Yt称为随机游走序列。随机 游走序列的特征为: Yt以前一期的Yt-1为基 础，加上一个均值为零且独立于Yt-1的随 机变量。随机游走的名字正是来源于它的 这个特征。
• 对式（1.2）进行反复迭代，可得 • Yt vt vt 1 v1 Y0 （1.3） • 对式（1.3）取期望可得 • E(Yt ) E(vt ) E(vt 1 ) E(v1 ) E(Y0 ) （1.4）
为{Yt}～I(0)。
• 在现实经济系统中，多数经济变量的时间 序列是非平稳的，如GDP、财政收入、居 民收入等。只有少数时间序列是平稳的， 如利率、通货膨胀率等。多数非平稳的时 间序列经过一次或多次差分可变为平稳的。 也有少数时间序列不能通过差分变为平稳 的，称这类序列为非单整时间序列。
【例8.2】检验例8.1中居民家庭人均实际消费 支出Y与实际可支配收入X的单整性。使用ADF 检验，结果如表8.3所示。 表8.3 时间序列单整性检验表
• 3.ADF检验 • 进行DF检验时，假定误差项为经典误差项，不存 在自相关，即时间序列是一阶自相关过程AR （1）。但多数时间序列经济计量模型均不能满足 这一条件，使用OLS法进行参数估计通常表现为 随机误差项为自相关，导致DF检验无效。为了保 证单位根检验的有效性，Dickey和Fuller对DF检 验进行扩充，形成了ADF（augment DickeyFuller test）。
表8.2
变量 X Y
时间序列平稳性检验表
ADF检 显著性 临界值 检验结 验值 水平 果 0.079 0.251 5% 5% -3.675 不平稳 -3.675 不平稳
• 由检验结果可以看出，ADF检验的τ统 计量均为正值，大于临界值，因此不
能拒绝原假设，序列X,Y均存在单位根，
居民家庭人均实际消费支出Y与实际
• 对于AR（1）过程。 Yt Yt 1 vt • （1.9） • vt为经典误差项，如果ρ＝1，则Yt有一个 单位根，称Yt为单位根过程，序列Yt是非 平稳的。因此，要判断某时间序列是否平 稳可通过判断它是否存在单位根，这就是 时间序列平稳性的单位根检验。
• 检验一个时间序列Yt的平稳性，可通过检 验一阶自回归模型中的参数ρ是否小于1。 或者检验另一种表达形式 Yt ( 1)Yt 1 vt （1.10）
• 1.1.2平稳性的单位根检验 • 时间序列的平稳性可通过图形和自相关函 数进行检验。在现代，单位根检验方法为 时间序列平稳性检验的最常用方法。 • 1.单位根检验（unit root test）
• 时间序列中往往存在滞后效应，即前后变 量彼此相关。对于时间序列Yt而言，最典型 的状况就是一阶自回归形式AR（1），即Yt 与Yt-1 相关，而与Yt-2 , Yt-3 ，…无关。其表 达式为 Yt Yt 1 vt • （1.1） • 其中，vt为经典误差项，也称之为白噪声。
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Y1
18547.9
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Y7
Y8
74462.6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ21617.8 26638.1 34634.4
46759.4 58478.1 67884.6
一个平稳的时间序列过程的概率分布 与时间的位移无关。如果从序列中任意 取一组随机变量并把这个序列向前移动h 个时间，其联合概率分布保持不变。这 就是严格平稳的含义，其严格定义如下: 平稳随机过程：对一个随过程 {Yt:t=1,2,…}, h为整数，如 Yt1 , Yt 2 ,, Ytm 的联合分布与 Yt1h ,Yt 2h ,,Ytmh 的联合分布 相同，那么随机过程{Yt}就是平稳的。
i 1
m
• 模型（3）中t是时间变量。原假设都是 H0 : 0 ，即存在单位根。ADF检验的 原理与DF检验相同，模型不同时，检验 临界值亦不同。实际检验时，首先对模型 （3）进行单位根检验，然后模型（2）、 模型（1）。在此过程中，只要“不存在 单位根”的结论出现，检验就结束。否则 就一直检验到模型（1）。
• 表达时间序列前后期关系的最一般模型为m 阶自回归模型AR（m）。 • • 引入滞后算子L，
•
Yt 1Yt 1 2Yt 2 mYt m vt
(1.6)
LYt Yt 1 , L2Yt Yt 2 ,, LmYt Yt m
（1.7）
• • • •
• ADF检验是通过如下三个模型完成的
• (1)
Yt Yt 1 i Yt i vt
i 1 m
（1.20）
• (2)
• (3)
Yt Yt 1 i Yt i vt
i 1
m
（1.21）
（1.22）
Yt t Yt 1 i Yt i vt
(1)均值 E(Yt ) ，μ 为与时间t 无关的常数。 (2)方差 Var(Y ) , 为与时间t无关的常数。 (3)协方差 Cov(Yt , Yt h ) h ，只与时间间隔h有 关，与时间t无关。 则称{Yt}为弱平稳过程。在时间序列计量分 析中，平稳过程通常指的是弱平稳。
可支配收入X均为不平稳时间序列。
• 1.2 单整、趋势平稳与差分平稳随机过程
• 1.2.1单整
• 对于随机游走序列，其一阶差分为 •
Yt Yt Yt 1 vt
（1.23）
• 由于是一个白噪声序列，因此差分后时间 序列{ Yt }是平稳的。
• 如果一个时间序列经过一次差分后变为 平稳的序列，则称该时间序列是一阶单 整序列，记为{Yt}～I(1)。一般地，如果 序列{Yt}经过d次差分后平稳，则称该序 列是d阶单整，记为{Yt}～I(d)，如果时序 列本身是平稳的，称为0阶单整序列，记
则式(1.6) 变换为
（1.8） (1 1L 2 L2 m Lm )Yt vt 记为 (L) (1 1 L 2 L2 m Lm ) 则称多项式方程
(Z ) (1 1Z 2 Z 2 m Z m ) 0
为AR（m）的特征方程。可以证明，如果 该特征方程的所有根在单位圆外（根的模 大于1），则AR（m）模型是平稳的。
Yt -1 v t
中参数γ是否小于0。 式（1.9）中的参数ρ =1时，时间序列Yt是 非平稳的。式（1.10）中，γ =0时，时间 序列Yt是非平稳的。
2.DF检验 要检验时间序列的平稳性，可通过t检验 完成假设检验。即对于下式 Yt Yt 1 vt （1.11） 要检验该序列是否含有单位根。设定原假 设为:ρ=1，则 t 统计量为 ˆ 1 （1.12） t ˆ) Se(
E (Y0 ), t1
• 随机游走时间序列的期望值与t无关。
• 假定Y0非随机，则 Var(Y0 ) 0，因此 • Var(Yt ) Var(vt ) Var(vt 1 ) Var(v1 ) • （1.5） 2
vt
• 式（1.5）表明随机游走序列的方差是时 间 t 的线性函数，说明随机游走过程是非 平稳的。
• 但是，在原假设下（序列非平稳），t 不服从传统的 t 分布，因此 t 检验方法 就不再适用。Dickey和Fuller于1976年 提出了这一情况下 t 统计量服从的分布 （此时表示为ז统计量），即DF分布， 因此该检验方法称为DF检验。
• 该方法采用OLS法估计式（1.11），计 算 t 统计量的值，与DF分布表中给定显 著性水平下的临界值比较。如果 t 统计量 的值小于临界值（左尾单侧检验），就 意味着ρ足够小，拒绝原假设:ρ=1，判别 时间序列Yt不存在单位根，是平稳的。
• 【例8.1】检验中国1985-2005年城镇居民 家庭人均实际消费支出与实际可支配收入 的平稳性。 • 表8.1 中国1985-2005年城镇居民家庭人均 实际消费支出与实际可支配收入 单位：元
• 由于城镇居民家庭人均实际消费支出与实 际可支配收入均为有长期趋势的时间序列， 因此应选用模型（3）进行ADF检验。检验 结果如表8.2所示。设X为居民家庭人均实 际可支配收入，Y为居民家庭人均实际消费 支出。
• Dickey和Fuller研究认为DF检验的临 界值与数据序列的生成过程以及回归 模型的类型有关。因此，他们针对以 下三种模型编制了DF分布表。
• (1)一阶自回归模型 •
Yt Yt 1 vt
Yt Yt 1 vt
Yt t Yt 1 vt
第1章
时间序列模型
1.1 时间序列的基本概念
1.1.1.时间序列数据的平稳性 随机变量是刻画随机现象的有力工具。 随机变量的动态变化过程称为随机过程。 一般地，对于每一特定的t（t∈T），Yt为 一随机变量，称这一族随机变量{Yt}为一个 随机过程。若T为一连续区间，则{Yt}为连 续型随机过程。
若T为离散集合，则{Yt}为离散型随 机过程。 离散型时间指标集的随机过程通常 称为随机型时间序列，简称为时间序 列。 经济分析中常用的时间序列数据都 是经济变量随机序列的一个实现。
时间序列的平稳性（stationary process）是时间序列经济计量分析中 的非常重要问题。时间序列的平稳性是 指时间序列的统计规律不会随着时间的 推移而发生变化。就是说产生变量时间 序列数据的随机过程的特征不随时间变 化而变化。 用平稳时间序列进行计量分析，估 计方法和假设检验才有效。
GDP的时间序列
变量 ADF检 验值 显著性 水平 临界值 检验结 果
X二次差分 -4.902 Y二次差分 -4.305
5% 5%
-3.712 -3.712
平稳 平稳
• 由表8.3的检验结果可以看出ADF检验
的τ统计量均小于临界值，因此拒绝原
• 令γ＝ρ－1，则
Yt Yt 1 vt
• 同理，可得另外两种模型为
Yt Yt 1 vt
•
Yt t Yt 1 vt
• 对于式（1.17）、（1.18）、（1.19）而 言，对应的原假设和备择假设为 H0 : 0 （非平稳） H0 : 0 （平稳） • DF检验的判别规则是：DF≥临界值，则Yt 非平稳，D<临界值，Yt则是平稳的。
• 如果一个时间序列是不平稳的，就称它为 非平稳时间序列。也就是说，时间序列的 统计规律随时间的推动而发生变化。此时， 要通过回归分析研究某个变量在跨时间区 域的对一个或多变量的依赖关系就是困难 的，也就是说当时间序列为非平稳时，就 无法知道一个变量的变化如何影响另一个 变量。
• 在时间序列计量分析实践中，时间序列的 平稳性是根本性前提，因此，在进经济计 量分析前，必须对时间序列数据进行平稳 性检验。
（1.13）
• （2）包含常数项的模型
• （1.14）
• （3）包含常数项和时间趋势项的模型
• （1.15）
• DF检验常用的表达式为如下的差分表达式，即
• DF检验常用的表达式为如下的差分表达式，
即
Yt ( 1)Yt 1 vt
（1.16） （1.17） （1.18） （1.19）
平稳性的特征就是要求所有时间相 邻项之间的相关关系具有相同的性质。 判断一个时间序列数据是否产生于一个 平稳过程是很困难的。通常而言，时间 序列数据是弱平稳的就足够了。因此， 弱平稳是时间序列分析中的常用平稳性 概念。
• 弱平稳也称为协方差平稳过程。 • 弱平稳是指随机过程{Yt}的均值和方差不 随时间的推移而变化，并且任何两时期之 间的协方差仅依赖于该两时期的间隔，而 与t无关。即随机过程{Yt}满足
• 如果式（1.1）中ρ=1，则 • （1.2） Yt Yt 1 vt • 式（1.2）中Yt称为随机游走序列。随机 游走序列的特征为: Yt以前一期的Yt-1为基 础，加上一个均值为零且独立于Yt-1的随 机变量。随机游走的名字正是来源于它的 这个特征。
• 对式（1.2）进行反复迭代，可得 • Yt vt vt 1 v1 Y0 （1.3） • 对式（1.3）取期望可得 • E(Yt ) E(vt ) E(vt 1 ) E(v1 ) E(Y0 ) （1.4）
为{Yt}～I(0)。
• 在现实经济系统中，多数经济变量的时间 序列是非平稳的，如GDP、财政收入、居 民收入等。只有少数时间序列是平稳的， 如利率、通货膨胀率等。多数非平稳的时 间序列经过一次或多次差分可变为平稳的。 也有少数时间序列不能通过差分变为平稳 的，称这类序列为非单整时间序列。
【例8.2】检验例8.1中居民家庭人均实际消费 支出Y与实际可支配收入X的单整性。使用ADF 检验，结果如表8.3所示。 表8.3 时间序列单整性检验表
• 3.ADF检验 • 进行DF检验时，假定误差项为经典误差项，不存 在自相关，即时间序列是一阶自相关过程AR （1）。但多数时间序列经济计量模型均不能满足 这一条件，使用OLS法进行参数估计通常表现为 随机误差项为自相关，导致DF检验无效。为了保 证单位根检验的有效性，Dickey和Fuller对DF检 验进行扩充，形成了ADF（augment DickeyFuller test）。
表8.2
变量 X Y
时间序列平稳性检验表
ADF检 显著性 临界值 检验结 验值 水平 果 0.079 0.251 5% 5% -3.675 不平稳 -3.675 不平稳
• 由检验结果可以看出，ADF检验的τ统 计量均为正值，大于临界值，因此不
能拒绝原假设，序列X,Y均存在单位根，
居民家庭人均实际消费支出Y与实际
• 对于AR（1）过程。 Yt Yt 1 vt • （1.9） • vt为经典误差项，如果ρ＝1，则Yt有一个 单位根，称Yt为单位根过程，序列Yt是非 平稳的。因此，要判断某时间序列是否平 稳可通过判断它是否存在单位根，这就是 时间序列平稳性的单位根检验。
• 检验一个时间序列Yt的平稳性，可通过检 验一阶自回归模型中的参数ρ是否小于1。 或者检验另一种表达形式 Yt ( 1)Yt 1 vt （1.10）
• 1.1.2平稳性的单位根检验 • 时间序列的平稳性可通过图形和自相关函 数进行检验。在现代，单位根检验方法为 时间序列平稳性检验的最常用方法。 • 1.单位根检验（unit root test）
• 时间序列中往往存在滞后效应，即前后变 量彼此相关。对于时间序列Yt而言，最典型 的状况就是一阶自回归形式AR（1），即Yt 与Yt-1 相关，而与Yt-2 , Yt-3 ，…无关。其表 达式为 Yt Yt 1 vt • （1.1） • 其中，vt为经典误差项，也称之为白噪声。
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Y1
18547.9
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Y7
Y8
74462.6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ21617.8 26638.1 34634.4
46759.4 58478.1 67884.6
一个平稳的时间序列过程的概率分布 与时间的位移无关。如果从序列中任意 取一组随机变量并把这个序列向前移动h 个时间，其联合概率分布保持不变。这 就是严格平稳的含义，其严格定义如下: 平稳随机过程：对一个随过程 {Yt:t=1,2,…}, h为整数，如 Yt1 , Yt 2 ,, Ytm 的联合分布与 Yt1h ,Yt 2h ,,Ytmh 的联合分布 相同，那么随机过程{Yt}就是平稳的。
i 1
m
• 模型（3）中t是时间变量。原假设都是 H0 : 0 ，即存在单位根。ADF检验的 原理与DF检验相同，模型不同时，检验 临界值亦不同。实际检验时，首先对模型 （3）进行单位根检验，然后模型（2）、 模型（1）。在此过程中，只要“不存在 单位根”的结论出现，检验就结束。否则 就一直检验到模型（1）。
• 表达时间序列前后期关系的最一般模型为m 阶自回归模型AR（m）。 • • 引入滞后算子L，
•
Yt 1Yt 1 2Yt 2 mYt m vt
(1.6)
LYt Yt 1 , L2Yt Yt 2 ,, LmYt Yt m
（1.7）
• • • •
• ADF检验是通过如下三个模型完成的
• (1)
Yt Yt 1 i Yt i vt
i 1 m
（1.20）
• (2)
• (3)
Yt Yt 1 i Yt i vt
i 1
m
（1.21）
（1.22）
Yt t Yt 1 i Yt i vt
(1)均值 E(Yt ) ，μ 为与时间t 无关的常数。 (2)方差 Var(Y ) , 为与时间t无关的常数。 (3)协方差 Cov(Yt , Yt h ) h ，只与时间间隔h有 关，与时间t无关。 则称{Yt}为弱平稳过程。在时间序列计量分 析中，平稳过程通常指的是弱平稳。
可支配收入X均为不平稳时间序列。
• 1.2 单整、趋势平稳与差分平稳随机过程
• 1.2.1单整
• 对于随机游走序列，其一阶差分为 •
Yt Yt Yt 1 vt
（1.23）
• 由于是一个白噪声序列，因此差分后时间 序列{ Yt }是平稳的。
• 如果一个时间序列经过一次差分后变为 平稳的序列，则称该时间序列是一阶单 整序列，记为{Yt}～I(1)。一般地，如果 序列{Yt}经过d次差分后平稳，则称该序 列是d阶单整，记为{Yt}～I(d)，如果时序 列本身是平稳的，称为0阶单整序列，记
则式(1.6) 变换为
（1.8） (1 1L 2 L2 m Lm )Yt vt 记为 (L) (1 1 L 2 L2 m Lm ) 则称多项式方程
(Z ) (1 1Z 2 Z 2 m Z m ) 0
为AR（m）的特征方程。可以证明，如果 该特征方程的所有根在单位圆外（根的模 大于1），则AR（m）模型是平稳的。
Yt -1 v t
中参数γ是否小于0。 式（1.9）中的参数ρ =1时，时间序列Yt是 非平稳的。式（1.10）中，γ =0时，时间 序列Yt是非平稳的。
2.DF检验 要检验时间序列的平稳性，可通过t检验 完成假设检验。即对于下式 Yt Yt 1 vt （1.11） 要检验该序列是否含有单位根。设定原假 设为:ρ=1，则 t 统计量为 ˆ 1 （1.12） t ˆ) Se(
E (Y0 ), t1
• 随机游走时间序列的期望值与t无关。
• 假定Y0非随机，则 Var(Y0 ) 0，因此 • Var(Yt ) Var(vt ) Var(vt 1 ) Var(v1 ) • （1.5） 2
vt
• 式（1.5）表明随机游走序列的方差是时 间 t 的线性函数，说明随机游走过程是非 平稳的。
• 但是，在原假设下（序列非平稳），t 不服从传统的 t 分布，因此 t 检验方法 就不再适用。Dickey和Fuller于1976年 提出了这一情况下 t 统计量服从的分布 （此时表示为ז统计量），即DF分布， 因此该检验方法称为DF检验。
• 该方法采用OLS法估计式（1.11），计 算 t 统计量的值，与DF分布表中给定显 著性水平下的临界值比较。如果 t 统计量 的值小于临界值（左尾单侧检验），就 意味着ρ足够小，拒绝原假设:ρ=1，判别 时间序列Yt不存在单位根，是平稳的。
• 【例8.1】检验中国1985-2005年城镇居民 家庭人均实际消费支出与实际可支配收入 的平稳性。 • 表8.1 中国1985-2005年城镇居民家庭人均 实际消费支出与实际可支配收入 单位：元
• 由于城镇居民家庭人均实际消费支出与实 际可支配收入均为有长期趋势的时间序列， 因此应选用模型（3）进行ADF检验。检验 结果如表8.2所示。设X为居民家庭人均实 际可支配收入，Y为居民家庭人均实际消费 支出。
• Dickey和Fuller研究认为DF检验的临 界值与数据序列的生成过程以及回归 模型的类型有关。因此，他们针对以 下三种模型编制了DF分布表。
• (1)一阶自回归模型 •
Yt Yt 1 vt
Yt Yt 1 vt
Yt t Yt 1 vt
第1章
时间序列模型
1.1 时间序列的基本概念
1.1.1.时间序列数据的平稳性 随机变量是刻画随机现象的有力工具。 随机变量的动态变化过程称为随机过程。 一般地，对于每一特定的t（t∈T），Yt为 一随机变量，称这一族随机变量{Yt}为一个 随机过程。若T为一连续区间，则{Yt}为连 续型随机过程。
若T为离散集合，则{Yt}为离散型随 机过程。 离散型时间指标集的随机过程通常 称为随机型时间序列，简称为时间序 列。 经济分析中常用的时间序列数据都 是经济变量随机序列的一个实现。
时间序列的平稳性（stationary process）是时间序列经济计量分析中 的非常重要问题。时间序列的平稳性是 指时间序列的统计规律不会随着时间的 推移而发生变化。就是说产生变量时间 序列数据的随机过程的特征不随时间变 化而变化。 用平稳时间序列进行计量分析，估 计方法和假设检验才有效。
GDP的时间序列
变量 ADF检 验值 显著性 水平 临界值 检验结 果
X二次差分 -4.902 Y二次差分 -4.305
5% 5%
-3.712 -3.712
平稳 平稳
• 由表8.3的检验结果可以看出ADF检验
的τ统计量均小于临界值，因此拒绝原
• 令γ＝ρ－1，则
Yt Yt 1 vt
• 同理，可得另外两种模型为
Yt Yt 1 vt
•
Yt t Yt 1 vt
• 对于式（1.17）、（1.18）、（1.19）而 言，对应的原假设和备择假设为 H0 : 0 （非平稳） H0 : 0 （平稳） • DF检验的判别规则是：DF≥临界值，则Yt 非平稳，D<临界值，Yt则是平稳的。