第三讲统筹与最优化

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第三讲统筹与最优化

3、6、16、112、8、6、112、8、6、3、13、133、12、812、812、8、6、1312、8、6、3、112、8、6、3、1第三讲统筹与最优化最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，既要尽可能节省人力、物力和时间的前提下，努力争取获得在允许范围内的最佳效益。

因此，最优化问题成为现代应用数学的一个重要研究对象，它在生产、科学研究以及日常生活中都有广泛应用。

作为数学爱好者，接触一些简单的实际问题，了解一些优化的思想是十分有益的。

一、例题讲解例1、分析：此题是典型的过河问题，习题的特点是：两个不同时间的人一起过河时，快的要就着慢的走，因此过河的时间以慢的为主。

所以我们尽量选最快的两个人先过（即：快的可以来回过桥传递油灯）。

最慢的两个也要同时过河，不要分开。

具体操作如下图：总时间：3+1+12+3+6+1+3=29分钟拓展练习：（1）小强、小明、小红和小蓉4个小朋友郊游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只能过2人，因此必须先由2个人拿着手电筒过桥，并由1个人再将手电筒送回，再由2个人拿着手电筒过桥.......直到4人都通过小木桥。

已知，小强单独过桥要1分钟，小明单独过桥要1.5分钟，小红单独过桥要2分钟，小蓉单独过桥要2.5分钟，那么，4个人都通过小木桥，最少要多少分钟？提示：与例题分析过程相同。

答案：1.5+1+2.5+1.5+1.5=8分钟（2）小明骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁4头牛，甲过河要1分钟，乙过河要2分钟，丙过河要5分钟，丁过河要6分钟，每次只能赶2头牛问：要把4头牛都赶到对岸去，最少要几分钟？（小明回来赶牛过河，也得骑在牛上）提示：与例题分析过程相同。

答案：2+1+6+2+2=13分钟例2、分析：此题属于排队等待的问题。

此题的特点是：最后求的总时间为所有人的等待时间（即：第一个人打水若用5分钟的话，后面个人都要等待5分钟）。

四年级数学统筹与最优化知识点分析与例题解析

四年级数学统筹与最优化主要内容及解题思路一、时间统筹1、排队问题：等候最短，先快后慢2、过河问题：1）快的来回走；2）接近的一起走二、地点统筹1、人数相同1）奇数点，中间点2）偶数点，中间段2、人数不同两头相比较，小的往大靠三、调运问题1、无冲突，直接运2、有冲突，比较差值例题：1、车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18,30,17,25,20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。

1）现有一名工作效率相同的修理工，问怎样安排才能使得经济损失最少，最少为多少元？2）现有两名工作效率相同的修理工，问怎样安排才能使得经济损失最少，最少为多少元？解题思路：本题是排队问题，应采用先快后慢的方式，才能使等候时间最短。

1）第一步：排序，17,18,20,25,30第二步：采用由快到慢的方式修理机器，并且计算其它机器的等待时间（包括自身等待）。

17×5+18×4+20×3+25×2+30×1=85+72+60+50+30=297（分钟）第三步：计算损失297×5=1485（元）2）第一步：排序，17,18,20,25,30第二步：采用由快到慢的方式修理机器，并且计算其它机器的等待时间（包括自身等待）。

甲17,乙18,甲20,乙25,甲30，即甲：17,20,30乙：18,25甲修机器等待时间17×3+20×2+30甲修机器等待时间18×2+25即：17×3+（20+18）×2+25+30=51+76+25+30=182（分钟）第三步：计算损失182×5=910（元）2、小明骑在牛背上赶牛过河。

共有甲乙丙丁4头牛，甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟。

每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最少要用多少分钟？解题思路：本题是过河问题，应采用1）快的来回走；2）接近的一起走。

统筹与优化数学小往大移枝干往主干移

统筹与优化数学小往大移枝干往主干移
（原创实用版）
目录
一、引言
二、统筹与优化的含义和重要性
三、数学小往大移枝干往主干移的具体方法
四、数学小往大移枝干往主干移的实际应用
五、结论
正文
一、引言
随着科技的发展，数学的应用越来越广泛，对于数学知识的掌握也变得越来越重要。

然而，数学的学习并不容易，对于很多人来说，数学是一座难以逾越的高山。

因此，如何有效地学习和掌握数学知识，成为了人们关注的焦点。

统筹与优化，就是解决这一问题的关键。

二、统筹与优化的含义和重要性
统筹，指的是对数学知识进行全面、系统的安排和规划，从而使数学学习变得更加有条理和有效率。

优化，指的是通过对数学知识的深入理解和掌握，使得数学学习更加深入和精准。

三、数学小往大移枝干往主干移的具体方法
数学小往大移，指的是从简单的数学问题入手，逐步过渡到复杂的数学问题，从而使得数学学习更加有层次感和深度。

枝干往主干移，指的是从数学的细节和枝节问题，逐步过渡到数学的主干和核心问题，从而使得数学学习更加有针对性和效率。

四、数学小往大移枝干往主干移的实际应用
在实际的学习中，我们可以通过统筹与优化的方法，使得数学学习变得更加有效率和有成果。

例如，我们可以通过先解决简单的数学问题，然后再逐步过渡到复杂的数学问题，从而使得数学学习更加有层次感和深度。

同时，我们也可以通过深入理解和掌握数学的细节和枝节问题，然后再逐步过渡到数学的主干和核心问题，从而使得数学学习更加有针对性和效率。

五、结论
总的来说，统筹与优化是解决数学学习难题的有效方法。

四年级数学统筹与最优化知识点分析与例题解析

1）现有一名工作效率相同的修理工，问怎样安排才能使得经济损失最少，最少为多少元2）现有两名工作效率相同的修理工，问怎样安排才能使得经济损失最少，最少为多少元解题思路：本题是排队问题，应采用先快后慢的方式，才能使等候时间最短。

1）第一步：排序，17,18,20,25,30第二步：采用由快到慢的方式修理机器，并且计算其它机器的等待时间（包括自身等待）。

共有甲乙丙丁4头牛，甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟。

每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最少要用多少分钟解题思路：本题是过河问题，应采用1）快的来回走；2）接近的一起走。

统筹与最优化

庄有 500 人，B 村庄有 50 人，C 村庄有 500 人 ④ A，B，C 顺次三个村庄，A 村庄距 B 村庄的距离等于 B 村庄距离 C 村庄的距离，且 A 村
庄有 50 人，B 村庄有 500 人，C 村庄有 5000 人
（E 度论坛）
四年级春季知识点精讲
3、（第四届希望杯六年级二试第 12 题）如图，正方形 ABCD 和正方形 ECGF 并排放置，BF 与 EC 相交于 H，已知 AB=6 厘米，则阴影部分面积是多少平方厘米？
（E 度论坛）
四年级春季知识点精讲
王艳杰老师
1
杭州学而思培优王艳杰老师
第三讲统筹与最优化
想想练练 2
① A 村或 B 村都一样 ② B村 ③ B村 ④ C村
（E 度论坛）
四年级春季知识点精讲
王艳杰老师
3
学习目标
1、体会合理安排，可以节约时间，提高效率。希望大家逐渐养成合理安排时间的良好习惯 2、从解决问题的不同方案中找到最佳方案，理解优化思想，逐步培养解决实际问题的能力 3、体会解决问题途径的多样性以及方案策略的最优性
想想练练
1、逗逗是个懂事的孩子，每天早上起来给妈妈蒸鸡蛋糕，过程为 ① 打鸡蛋，花 1 分钟 ② 切葱花，花 2 分钟 ③ 搅蛋，花 1 分钟 ④ 洗锅，花 2 分钟 ⑤ 烧热水，花 6 分钟 ⑥ 蒸鸡蛋，花 11 分钟。每天完成这个过程需要 1+2+1+2+6+11=23 分钟。聪明的同学，你能不能想出办法帮助逗逗更快地完成这 6 个步骤？如何完成？
杭州学而思培优王艳杰老师
能量补充
1、如图，在长方形 ABCD 中，Y 是 BD 的中点，Z 是 DY 的中点，如果 AB=24 厘米，BC=8 厘米，求三角形 ZCY 的面积。

统筹与优化教案

统筹与优化教案一、教学目标：1. 让学生理解统筹与优化的概念，并能够运用到实际问题中。

2. 培养学生分析问题、解决问题的能力，提高他们的逻辑思维能力。

3. 培养学生团队合作精神，提高他们的沟通表达能力。

二、教学内容：1. 统筹与优化的定义与意义2. 统筹与优化的方法与技巧3. 统筹与优化在实际问题中的应用案例三、教学过程：1. 导入：通过一个简单的实际问题，引发学生对统筹与优化的思考。

2. 讲解：详细讲解统筹与优化的定义、意义、方法与技巧。

3. 案例分析：分析几个典型的统筹与优化案例，让学生深入理解统筹与优化的应用。

4. 小组讨论：让学生分组讨论，分享各自对统筹与优化的理解，并选取一个实际问题进行优化。

四、教学评价：1. 学生对统筹与优化的理解程度。

2. 学生运用统筹与优化方法解决问题的能力。

3. 学生在团队合作中的表现，包括沟通表达和协作能力。

五、教学资源：1. 教学PPT：包含统筹与优化的定义、意义、方法与技巧等内容。

2. 实际问题案例：用于引导学生进行思考和讨论。

3. 小组讨论工具：如白板、便签纸等，方便学生进行讨论和展示。

4. 反馈表格：用于对学生的表现进行评价和反馈。

六、教学活动：1. 案例研究：选择一个跨学科的案例，让学生了解如何在不同领域中应用统筹与优化方法。

2. 角色扮演：学生分组，每组扮演不同的角色，模拟解决一个实际问题，运用统筹与优化技巧。

3. 小组竞赛：设计一个竞赛活动，让学生在限定时间内展示他们的统筹与优化方案，以激发学生的学习兴趣和竞争意识。

4. 专家讲座：邀请行业专家或学者进行讲座，分享统筹与优化在实际工作中的应用和实践经验。

七、教学策略：1. 互动式教学：通过提问、讨论和小组活动，鼓励学生积极参与课堂，提高他们的思考和分析能力。

2. 实践导向：强调实际案例的分析，让学生通过实践活动来掌握统筹与优化的方法和技巧。

3. 反思性学习：鼓励学生在学习过程中进行自我反思，思考如何改进自己的统筹与优化策略。

四年级数学统筹与最优化知识点分析与例题解析

第一步：排序，17,18,20,25,30第二步：采用由快到慢的方式修理机器，并且计算其它机器的等待时间（包括自身等待）。

17×5+18×4+20×3+25×2+30×1=85+72+60+50+30=297（分钟）第三步：计算损失297×5=1485（元）第一步：排序，17,18,20,25,30第二步：采用由快到慢的方式修理机器，并且计算其它机器的等待时间（包括自身等待）。

共有甲乙丙丁4头牛，甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟。

第三单元最优化问题(统筹)

第三单元最优化问题在日常生活中，我们经常会遇到这样的问题：完成某件事情，怎样规划安排，才能用最短的时间、最小的投入、最少的人力、最快的速度，取得最好的效果？我们称之为统筹或优化问题。

在碰到优化问题时,通常要注意场地的选择、物资的调运、最佳路线的安排、合理地安排时间等，力求在许多方案中，寻求一个最合理、最节约、最省事的方案。

例1 一只平底锅上只能煎两只饼。

用它煎1只饼需要2分钟（正、反面各1分钟），问煎3只饼需几分钟？怎样煎？拓展一妈妈让小明给客人烧水沏茶，洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶用1分钟，洗茶杯要用1分钟，放茶叶要用2分钟。

小明估算一下，完成这些工作要花20分钟。

为了使客人尽快喝上茶，你认为最合理安排，多少分钟就能沏茶了？拓展二甲、乙两人各拿一个水桶到水龙头前接水。

水龙头注满甲的水桶要5分钟，注满乙的水桶要4分钟。

现在只有一个水龙头，怎样安排两个人接水的顺序，使他们所花的总时间最少？最少是多少分钟？拓展三电车公司维修站有7辆电车需要维修，修复时间分别为12、17、8、18、23、30、14分钟，每辆电车停开1分钟经济损失11元，现在由3名工作效率相同的维修工各自单独工作，要使经济损失减少到最少程度，最少损失多少元？拓展四两辆卡车到河边运沙子，河边有10个工人装车，卡车装满后，30分钟可以跑一个来回，有人说：“5个人负责一辆卡车的沙子，两辆车同时装，30分钟就能装完，这样速度快。

”有人说：“10个人同时装一辆车的沙子，20分钟装一车，装完一车再装一车，这样速度快。

”你认为哪种办法效率高？例2在公路上，每隔100千米有一个仓库，共有5个仓库。

1号仓库存有10吨货物，2号仓库存有20吨货物，5号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。

现在想把所有的货物集中放在一个仓库中，若每吨货物运输一千米要0.5元运输费，那么最少要花费多少元运费才行？拓展一沿铁路有5个工厂A、B、C、D、E（如下图），各厂每天都有10吨货物向外运。

统筹与优化策略

1、道路成一线，比较各端点。
2、小往大靠。（算平均数）
3、小半进一站，大半就设点。
a
34
• 完成12、15题
a
35
统筹法之赶牛过河问题
小明骑在牛背上赶牛过河，共有甲、
• 总数点为奇数时，集合点选取在中间点
• 总数点为偶数时，集合点选取在中间两点处都可。
a
29
• 完成5
a
30
统筹法之仓库选址
• 在一条公路上有四个工厂，每个工厂之间的距离都相等。每个工厂的工人数如图所示，现要在这条公路上设一个车站，使得这四个工厂的所有工人步行到车站总路程最少，这个车站应设在几号工厂门口？
3
3
3
3×4=12（分钟）
a
3
11
1
2
3
正反正反正反
3
3
3
3×3=9（分钟）
a
12
1
2
3
正反正反正反 33 33 3 3
3×6=18（分钟）
1
2
3
1
2
3
正反正反正反
3
3
33
3×4=12（分钟）
正反正反正反
3
3
3
3×3=9（分钟）
a
13
饼数（张）
1 2 3
最省时的烙饼方法
以车站建在AB 之间任何一点（包括 A、 B）都可以。
a
27

• 若有 3个工厂的话，邮局应建立在何处呢？
我们可以发现：最后每个人走的总距离和最
小的话，a×AB 是一个固定的值，所以 a×CD中，CD 最小，走的总距离和最小。即：将 D 点与C 点重合。所以车站建在中间点。

统筹与优化数学小往大移枝干往主干移

统筹与优化数学小往大移枝干往主干移（实用版）目录一、引言二、统筹与优化的含义三、数学小往大移枝干往主干移的意义四、统筹与优化在数学小往大移枝干往主干移中的应用五、结论正文【引言】随着科技的发展，各行各业都在追求效率与质量的提升，而统筹与优化的思想已经成为了推动这一进程的重要工具。

在数学教学领域，如何将繁多的数学知识进行整合与优化，提高学生的学习效果，成为了教育者们关注的焦点。

本文将从统筹与优化的角度，探讨数学小往大移枝干往主干移的方法及其意义。

【统筹与优化的含义】统筹，是指对某一问题或事物进行全面、系统的分析，从而找出最优解决方案。

优化，是指在现有条件下，通过调整和改进，使某一问题或事物达到最佳状态。

统筹与优化相结合，旨在通过对问题的全面分析，寻找到最优解决方案，提高工作效率和质量。

【数学小往大移枝干往主干移的意义】数学小往大移枝干往主干移，是指将数学知识按照逻辑体系进行整理，由浅入深、由易到难，逐步引导学生从基础知识向高级知识过渡。

这一方法可以帮助学生建立起完整的数学知识体系，提高学习效果。

【统筹与优化在数学小往大移枝干往主干移中的应用】1.全面分析学生需求。

在实施数学小往大移枝干往主干移的过程中，教师需要全面了解学生的学习需求、兴趣和能力，从而制定出符合学生实际的教学计划。

2.系统整合数学知识。

教师需要对数学知识进行系统梳理，将知识点按照逻辑关系进行整合，确保学生在学习过程中能够顺利地从一个知识点过渡到另一个知识点。

3.优化教学方法。

在教学过程中，教师需要根据学生的认知特点，采用适当的教学方法，如启发式教学、探究式教学等，激发学生的学习兴趣，提高学习效果。

4.适时进行巩固与拓展。

教师需要密切关注学生的学习进度，适时进行知识点的巩固与拓展，确保学生能够扎实掌握所学知识。

【结论】数学小往大移枝干往主干移是提高数学教学质量和学生学习效果的有效方法。

统筹与优化策略

D仓库 130吨货物。得到运往 D仓库费用最省。费用
（10×30+30×20+20×10+60×10） ×0.9=1530元
精品课件
最近距离问题的小结：
1、道路成一线，比较各端点。
2、小往大靠。（算平均数）
3、小半进一站，大半就设点。
精品课件
• 完成12、15题
精品课件
统筹法之赶牛过河问题
精品课件
完成11
精品课件
16、
1、从哪个村开始用（）（粗、细）管好？为什么？ 2、请你和同桌说说你的设计方案？并说明设计理由。
还可以怎么设计？
精品课件
10、修复时间分别为12、17、8、 18、23、30、14分钟。每辆电车停开1分钟经济损失11元。
应该怎么分组？为什么这样分？有其他更节省的分法吗？
小明骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁4头牛，甲牛过河需1 分钟，乙牛需2分钟，丙牛需5分钟，丁牛需6分钟，每次只能骑一头牛，赶一头牛过河。问：要把4头牛都赶到对岸去，最少需要多长时间？
先选（
）和（
），为什么？
精品课件
• 完成13
精品课件
如果你是过河人，你会怎么选择？
选最快的两个人先过。选最慢的要同时过，不能分开。
精品课件
你知道吗？
华罗庚爷爷是我国最早把数学理论研究和生产实践紧密结合的数学家。从上个世纪五十年代开始，他就把数学方法创造性地应用于生产建设中，研究出了以改进工艺和提高质量为内容的 “优选法”和处理生产组织和管理问题为内容的“统筹法”，为节约能源，增加产量，降低消耗，缩短工期做出了巨大的贡献。
• 通过比较，应该尽量让饼同时烙。

统筹与最优化

统筹与最优化例15个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别为1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟。

如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，才能使每个人排队和打水时间的总和最小？并求出最小值。

例2有甲、乙两个水龙头，6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。

怎么安排这6个人打水，才能使他们等候和打水时间最短，最短的时间是多少？在一条公路上每隔100千米有一个仓库(如图)，共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。

现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？⑴如图，在街道上有A 、B 、C 、D 、E 五栋居民楼，现在设立一个公交站，为使这五栋楼到车站的距离之和最短，车站应立于何处？⑵如图，在街道上有A 、B 、C 、D 、E 、F 六栋居民楼，现在设立一个公交站，要想每栋楼到达车站的距离之和最短，车站应该设在何处？⑶有1993名少先队员分散在一条公路上执勤宣传交通法规，问完成任务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？例3例4某乡共有六块甘蔗地，每块地的产量如下图所示。

现在准备建设一座糖厂，问糖厂建于何处总运费最省？下图是A ，B ，C ，D ，E 五个村之间的道路示意图，○中数字是各村要上学的学生人数，道路上的数表示两村之间的距离(单位：千米)。

现在要在五村之中选一个村建立一所小学。

为使所有学生到学校的总距离最短，试确定最合理的方案。

例5例6。

统筹与优化数学小往大移枝干往主干移

统筹与优化数学小往大移枝干往主干移
摘要：
1.统筹与优化的定义与重要性
2.数学中小往大移的含义与方法
3.数学中枝干往主干移的含义与方法
4.统筹与优化在数学小往大移和枝干往主干移中的应用
5.结论
正文：
一、统筹与优化的定义与重要性
统筹与优化是数学中常见的思维方法，它要求我们对问题进行全面分析，从整体上把握问题的特点，从而找到解决问题的最优方案。

这种方法在解决复杂问题时，能够帮助我们简化思路，提高解题效率。

二、数学中小往大移的含义与方法
数学中的小往大移，指的是将一个较小的数学问题，通过一定的方法转化为一个较大的数学问题。

这种方法可以使问题变得更为直观，便于我们理解和解决。

具体的方法包括：放大问题中的某些因素，将问题转化为一个更容易理解的形式。

三、数学中枝干往主干移的含义与方法
数学中的枝干往主干移，是指将一个复杂的问题，通过提取其主要矛盾，转化为一个简单的问题。

这种方法可以帮助我们抓住问题的主要矛盾，从而简化问题，提高解题效率。

具体的方法包括：找出问题的主要矛盾，将问题转化为一个更容易解决的形式。

四、统筹与优化在数学小往大移和枝干往主干移中的应用
在数学小往大移和枝干往主干移的过程中，统筹与优化的思想贯穿始终。

通过全面分析问题，我们可以找到问题的关键所在，从而更好地进行问题的转化。

同时，通过对问题的优化，我们可以使问题变得更为简单，更容易解决。

五、结论
总的来说，统筹与优化是一种重要的数学思维方法，它能帮助我们更好地理解和解决数学问题。

数量关系之统筹优化问题

数量关系之统筹优化问题统筹方法，是一种安排工作进程的数学方法。

简单来说，统筹优化是指通过安排工作进程而使效率最大化，时间最优化，费用最少化等。

统筹优化问题一直是国考、省考考试中的重点题型。

题型多样，规律较为统一，其中包括货物集中问题、空瓶换水问题、天平问题、过河问题、分配运输问题等。

下面我们重点讲解一下分配运输问题的解题思路。

此类问题一般有2个特点，1、已知条件为：不同地点的总货物要运输到不同的目的地，不同目的地需要的货物数量不同，且因运输距离不同运输到不同目的地产生的费用不同;2、提问方式为费用总和最低。

下面我们来看一道试题。

【例】甲公司的一分厂制造了10台机床，二分厂制造了8台。

乙公司向甲公司购买了6台机床;丙公司向向甲公司购买了12台机床。

每台机床的运费因运输距离不同而有差异，具体情况如下表所示。

乙、丙两公司购买机床的运费总和最低为( )元。

(2012–广东-10)乙公司丙公司一分厂1200元900元二分厂800元600元A. 12000B. 13500C. 15000D. 16000【解题思路】方程法设乙公司向一分厂购买X台，则有下表：乙公司丙公司一分厂X台（10-X）台二分厂（6-X）台8-（6-X）=2+X台因此总费用为1200X+800(6-X)+900(10-X)+600(2+X)=100X+15000，取最小值，明显当X=0时，总费用最少，为15000。

因此，答案选择C选项。

下面我们再用一道例题来巩固一下。

【例】A、B两地分别有10台和6台型号相同的机器，准备配送到E、F两地，其中E地11台，F地5台，若每台机器从A到E和F的物流费用分别为350元和550元，从B到E和F的物流费用分别为600元和900元，则配送这16台机器的总物流费用最少为( )(2015-江苏C卷-31)A. 7850元B. 8100元C. 8400元D. 8700元【解题思路】方程法。

设E地向A购买X台，则有下表：E地11台F地5台A10台X台（10-X）台B6台（11-X）台6-（11-X）= X-5台350X+600(11-X)+550(10-X)+900(X-5)=100X+7600，X取最小值，X-5≥0，X≥5，即总费用=100×5+7600=8100元。

3.统筹方法与优选法

工序代号 a b c d e 工序内容产品设计与工艺设计外购配套零件外购生产原料自制主件主配可靠性试验所需时间（天) 60 15 13 38 8 紧前工序 a a c b,d
2
解:用网络图表示上述的工序进度表网络图中的点表示一个事件,是一个或若干个工序的开始或结束,是相邻工序在时间上的分界点,点用圆圈表示,圆圈里的数字表示点的编号。弧表示一个工序（或活动），弧的方向是从工序开始指向工序的结束，弧上是各工序的代号，下面标以完成此工序所需的时间（或资源）等数据，即为对此弧所赋的权数．１ a 60 ２ c 13 ３ b 15 ４ d 38 e 8 ５
9
解：据上表绘制网络图如图： b 45 c a 1 60 3
2
10 d
20 e 40
f 18
6 i 25 7 j 35 8
4
g 30 5
h 15
如图12-8 ,①-②-③-⑦-⑧就是一条关键路线，我们要干完所有的工序就必须走完所有这样的路线，由于很多工序可以同时进行，所以网络中最长的路线就决定了完成整个工程所需的最少时间，这条路线称为关键路线。 10
下面我们给出找关键路线的办法。首先，从网络的发点开始，按顺序计算出每个工序的最早开始时间 (ES)和最早结束时间(EF)，设一个工序所需的时间为t，这对于同一个工序来说，有 EF = ES + t.
工序a的最早开始时间
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
工序a的最早完成时间 a[0，60] 2
1
60
11
3 1 a[0,60] 2 60 10 d[60.80] 20
8
工序代号
工序内容
所需时间（天）
紧前工序
a b c d e f g h i j

精讲试题39：统筹与最优化

统筹与最优化练习题一．夯实基础：1.一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟(正面、反面各1分钟)．问：煎2009张饼需几分钟？2.小强、小明、小红和小蓉4个小朋友效游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只能过2人，因此必须先由2个人拿着手电筒过桥，并由1个人再将手电筒送回，再由2个人拿着手电筒过桥……直到4人都通过小木桥．已知，小强单独过桥要1分钟；小明单独过桥要1.5分钟；小红单独过桥要2分钟；小蓉单独过桥要2.5分钟．那么，4个人都通过小木桥，最少要多少分钟？3.6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟．现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6人的打水次序，可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？4.理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10、12、15、20和24分钟，怎样安排他们理发的顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少时间为多少？5.有一家五口人要在夜晚过一座独木桥．他们家里的老爷爷行动非常不便，过桥需要12分钟；孩子们的父亲贪吃且不爱运动，体重严重超标，过河需要时间也较长，8分钟；母亲则一直坚持劳作，动作还算敏捷，过桥要6分钟；两个孩子中姐姐需要3分钟，弟弟只要1分钟．当时正是初一夜晚又是阴天，不要说月亮，连一点星光都没有，真所谓伸手不见五指．所幸的是他们有一盏油灯，同时可以有两个人借助灯光过桥．但要命的灯油将尽，这盏灯只能再维持30分钟了！他们焦急万分，该怎样过桥呢？6. 5所学校A,B,C,D,E 之间有公路相通，图中标出了各段公路的千米数，现在想在某所学校召开一次学生代表会议，应出席会议的A,B,C,D,E 校分别有6人，4人，8人，7人，10人，为使参加会议的代表所走的路程总和最小，会议应选在哪个学校召开？22234A B DEC二．拓展提高：7. 在一条公路上，每隔100千米有一座仓库，共有8座，图中数字表示各仓库库存货物的重量(单位：吨)，其中C 、G 为空仓库．现在要把所有的货物集中存入一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要0.5元，那么集中到那个仓库中运费最少，需要多少元运费？8. 一支勘探队在五个山头A 、B 、C 、D 、E 设立了基地，人数如下图所示.为调整使各基地人数相同，如何调动最方便？（调动时不考虑路程远近）17416149ABCDE60102030H G F E D C B A9. 下图是一张道路示意图，每段路上的数字表示小明走这段路所需要的时间（单位：分）．小明从A 到B 最快要几分钟？10. 新建的自来水厂要给沿公路的十个村庄供应自来水(如下图，距离单位为千米)，要安装水管有粗细两种选择，粗管足够供应所有村庄使用，细管只能供一个村用水，粗管每千米要用8000元，细管每千米要2000元，如果粗细管适当搭配，互相连接，可以降低费用，怎样安排才能使这项工程费用最低？费用是多少元？11. 某工地A 有20辆卡车，要把60车渣土从A 运到B ，把40车砖从C 运到D （工地道路图如下所示）.问如何调运最省汽油？三. 超常挑战12. 北京和上海同时制成了电子计算机若干台，除了供应本地外，北京可以支援外地10台，H GFE D CB A 75650464633412JIH G F ED C B A自来水厂上海可以支持外地4台．现决定给重庆8台，汉口6台，若每台计算机的运费如右表，上海和北京制造的机器完全相同，应该怎样调运，才能使总的运费最省？最省的运费是多少？13. 设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟，注满第二个人的桶需要2分钟，……．如此下去，当只有两个水龙头时，如何巧妙安排这十个人打水，使他们总的费时时间最少？最少的时间是多少？14. 有十个村庄，座落在从县城出发的一条公路上，现要安装水管，从县城供各村自来水．可以用粗、细两种水管，粗管每千米7000元，细管每千米2000元．粗管足够供应所有各村用水，细管只能供应一个村用水，各村与县城间距离如下图所示(图中单位是千米)，现要求按最节约的方法铺设，总费用是多少？5834上海北京重庆汉口发站运费/元到站A 10A9A 8A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 152223242530县城四．杯赛演练：15. (三帆中学分班考试题)有七个村庄1A ，2A ，，7A 分布在公路两侧(见右图)，由一些小路与公路相连，要在公路上设一个汽车站，要使汽车站到各村庄的距离和最小，车站应设在哪里？公路A 6A 5A 7A 4A 3A 2A 1F EDBC答案：1.在不浪费时间的情况下：两张饼可同时煎完，三张饼也可以：首先A,B的正面，然后拿走A，煎B的反面和C的正面，然后拿走B，煎A,C的反面.2009210033=⨯+，完全可以不浪费时间煎完，从而所需时间为：2009222009⨯÷=分钟.2.方法一：要想用最少的时间，4人都通过小木桥，可采用让过桥最快的小强往返走，将手电筒送回，这样就能保证时间最短了．第一步：小强与小明一起过桥，并由小强带手电筒返回，共用：1.51 2.5+=(分钟)；第二步：返回原地的小强与小红过桥后再返回，共用了213+=(分钟)；第三步：最后小强与小蓉一起过桥用了2.5分钟；所以，4个人都通过小木桥，最少用2.53 2.58++=(分钟)．方法二：要想用最少的时间，4人都能过桥，保证时间最短还可以：第一步：小强与小明一起过桥，并由小强带手电筒返回，共用：1.51 2.5+=(分钟)；第二步：返回原地的小红与小蓉过桥后再由小明带手电返回，共用了2.5 1.54+= (分钟)；第三步：最后小强与小小明一起过桥用了1.5分钟；所以，4个人都通过小木桥，最少用2.54 1.58++=(分钟)．3.第一个人接水时，包括他本人在内，共有6个人等候，第二个人接水时，有5个人等候；第6个人接水时，只有他1个人等候．可见，等候的人越多(一开始时)，接水时间应当越短，这样总的等候时间才会最少，因此，应当把接水时间按从少到多顺序排列等候接水，这个最短时间是364554637210100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=(分)．4.一人理发时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让理发所需时间少的人先理．甲先给需10分钟的人理发，然后15分钟的，最后24分钟的；乙先给需12分钟的人理发，然后20分钟的，甲给需10分钟的人理发时，有2人等待，占用三人的时间和为(103⨯)分；然后，甲给需 15分钟的人理发，有1人等待，占用两人的时间和为(152⨯)分；最后，甲给需 24分钟的人理发，无人等待．甲理发的三个人，共用(10315224⨯+⨯+)分，乙理发的两个人，共用(12220⨯+)分．总的占用时间为（）（）(分)．⨯+⨯++⨯+=10315224122201285.首先姐姐跟弟弟一起过，用时3分钟，姐姐再回去送油灯，用时3分钟，老爷爷跟爸爸一起过河，用时12分钟，弟弟将灯送回去，用时1分钟，弟弟和母亲一起过，用时6分钟，弟弟送灯过河，用时1分钟，最后与姐姐一起过河，用时3分钟．一共用时：++++++=(分钟)．最后能够安全全部过河．33121613296.根据小往大靠的原则，A处的人数相对BCDE的总人数要小很多，因此首先排除A地，而B,C,D,E不能简单比较出.枚举结果如下：B地集合：共行走62837210(32)100⨯+⨯+⨯+⨯+=千米.C地集合：共行走6(23)437(23)10297⨯++⨯+⨯++⨯=千米.D地集合：共行走6(22)428(32)104112⨯++⨯+⨯++⨯=千米.E地集合：共行走6(232)4(32)8274106⨯+++⨯++⨯+⨯=千米.其中C地集合的路程总和最小，所以集合地应选在C地.7.根据这道题可以用“小往大处靠”的原则来解决．H点60吨，存的货物最多，那么先处理小势力，A 往H 那个方向集中，集中到B ，B 变成40吨，判断仍是H 的势力最大，所以继续向H 方向集中，B 点集中到D 点，D 点变成60吨．此时D 点和H 点都是60吨，那么D 、H 谁看成大势力都可以．例如把H 点集中到F 点，F 点是70吨．把D 点集中到E 点，E 点是65吨所以E 点也要集中到F 点．确定了集中地点为F 点，运输费用也就容易求了．运费最少为：1050030400202005100602000.516750⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（）(元)．8. 五个基地人员总数为1741614960++++=(人).依题意，调整后每个基地应各有60512÷=（人）.因此，需要从多于12人的基地,,A C D 向不足12人的基地,B E 调人.为了避免对流，经试验容易得到调整方案如下：先从D 调2人到E ，这样E 尚缺1人；再由A 调1人给E ，则E 达到要求.此时，A 尚多余4人，C 也多余4人，总共8人全部调到B ，则B 亦符合要求.调动示意图如下所示，这样的图形叫做物资流向图.用流向图代替调运方案，能直观地看出调运状况及有无对流现象，又可避免列表和计算的麻烦.图中箭头表示流向，箭杆上的数字表示流量.17416149A BCDE 4142说明：发生对流的调运方案不可能是最优方案，这个原则可以证明：如上图，设A 1B 2=a 千米，B 2B 1=b 千米，B 1A 2=c 千米.如果从A 1运1吨货物到B 1，同时又从A 2运1吨货物到B 2，那么在B 1B 2之间A 1的物资从西向东运输，A 2的货物从东向西运输，两者发生对流，于是这样调动的总吨千米数为：()()2a b b c a c b +++=++.而如果从A 1运1吨货物到B 2，同时从A 2运1吨货物到B 1，则运输总吨千米数为a c +，显然2a c a c b +<++.9. 我们采用分析排除法，将道路图逐步简化．从A 到O 有两条路，A →C →O 用6分钟，A →F →O 用7分钟，排除后者，可将FO 抹去，但AF 不能抹去，因为从A 到B 还有其它路线经过AF ，简化为图⑴．从A 到E 还剩两条路，A →C →G →E 用12分钟，A →C →O →E 用10分钟，排除前者，可将CG ，GE 抹去，简化为图⑵．从A 到D 还剩两条路，A →C →O →D 用12分钟，A →H →D 用13分钟，排除后者，可将AH ，HD 抹去，简化为图⑶．从A 到B 还剩两条路，A →C →O →E →B 用17分钟，A →C →O →D →B 用16分钟，排除前者，可将OE ，EB 抹去，简化为图⑷．小明按A →C →O →D →B 走最快，用16分钟．（4）（3）（2）（1）55DC B A O 6411464O7A B C DEH FEDC B A 7O 464671176464O 5657A B C DE F G H⑴ ⑵ ⑶ ⑷10. 由于细管相对于粗管来讲，价钱要少一些，因此先假设都用细管．那么从自来水厂到J村要铺设10根细管，自来水厂到I 村要铺设9根细管，依次下去，我们用图表示铺细管的情况．因为粗管是细管价格的4倍，如果用细管代替粗管重叠数超过4条费用更大，仅在3条或3条以下才会节约，而细管只能供应一村用水，所以粗管从水厂一直接到G 村为止，再用三条细管连接H 、I 、J 三个村，这样费用最低，总费用：800030524232200023225414000⨯+++++++⨯⨯+⨯+=（）（）(元)．11. 如果各派10辆车分别运渣土和砖，那么每运一车渣土要空车跑回300米，每运一车砖则要空车跑回360米，这样到完成任务总共空车跑了：300603604032400⨯+⨯=（米）.如果一辆从从A →B →C →D →A 跑一圈，那么每运一车渣土，运一车砖要空车跑：24090330+= （米）；因此，先派20辆车都从A 开始运渣土到B ，再空车开往C 运砖到D 后空车返回A ，这样每辆车跑两圈就完成了运砖任务.然后再派这20辆车都从A 运渣土到B 再空车返回A ，则运渣土任务也完成了.这时总共空车跑了：330403002019200⨯+⨯=（米）后一种调运方案比前一种减少跑空车13200米，这是最佳节油的调运方案.12. 方法一：本题中虽然上海到汉口的运费最少，只有3百元，但是上海到汉口比北京到汉口只节省(43-=)1百元，相比之下，上海到重庆比北京到重庆要节省(85-=)3百元．所以重庆所需台数应由上海尽量满足，即上海的4台全部调运重庆，北京再补给重庆4台，汉口的6台从北京调运．总运费为：54844676⨯+⨯+⨯=(百元)．方法二：本题也可以采用下面的代数方法解决，设北京调运汉口x 台，调运重庆(10x -)台，则上海应调运汉口(6x -)台，调运重庆462x x --=-（）(台)，总运费4810W x x =+-（） 36524808183510882x x x x x x x +-+-=+-+-+-=-（）（），因为要使总运费882x -最小，需要2x 最大．由于x 是北京调运汉口的台数，且6x ≤，所以当6x =时，总运费882676W =-⨯=(百元)最小．由6x =可知，北京调运汉口6台，调运重庆4台，上海调运汉口0台，调运重庆4台．13.3次，7、8计算了2次，9、10计算了1次．所以有最短时间为：1253445637829101125+⨯++⨯++⨯++⨯++⨯=（）（）（）（）（）分钟．14. 由于细管相对于粗管来讲，价钱要少一些，因此先假设都用细管．那么从县城到1A 村要铺设10根细管，1A 村到2A 村要铺设9根细管，依次下去，我们用图表示铺细管的情况．因为粗管每千米7000元，细管每千米2000元，所以4根细管的价钱将大于1根粗管的价钱．这样一来，凡是超过3根细管的路段，都应改铺粗管．因此，从县城到7A 村铺1根粗管，7A 村到8A 村铺3根细管，8A 村到9A 村铺2根细管，9A 村到10A 村铺1根细管．总费用为：700030524232200023225136600⨯+++++++⨯⨯+⨯+⨯=（）（）(元)．15. B ，C ，F 都是1个村的出口，而D,E 是2个村的出口，如下图示：112令F 处的1左移到E ，则E 处12112+<++，则还需继续左移到D ，此时12211++>+，因此车站应设在D 处.。

第三讲统筹与最优化