第三讲统筹与最优化

3、6、16、112、8、6、112、8、6、3、13、133、12、812、812、8、6、1312、8、6、3、112、8、6、3、1第三讲 统筹与最优化

最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，既要尽可能节省人力、物力和时间的前

提下，努力争取获得在允许范围内的最佳效益。因此，最优化问题成为现代应用数学的一个重要研究对象，它在生产、科学研究以及日常生活中都有广泛应用。作为数学爱好者，接触一些简单的实际问题，了解一些优化的思想是十分有益的。

一、例题讲解

例1、分析：此题是典型的过河问题，习题的特点是：两个不同时间的人一起过河时，快的要

就着慢的走，因此过河的时间以慢的为主。所以我们尽量选最快的两个人先过（即：

快的可以来回过桥传递油灯）。最慢的两个也要同时过河，不要分开。

具体操作如下图：

总时间：3+1+12+3+6+1+3=29分钟

拓展练习：（1）小强、小明、小红和小蓉4个小朋友郊游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，

要通过一座小木桥到西岸，但是他们4个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每

次只能过2人，因此必须先由2个人拿着手电筒过桥，并由1个人再将手电筒送回，

再由2个人拿着手电筒过桥.......直到4人都通过小木桥。已知，小强单独过桥要1分

钟，小明单独过桥要1.5分钟，小红单独过桥要2分钟，小蓉单独过桥要2.5分钟，

那么，4个人都通过小木桥，最少要多少分钟？

提示：与例题分析过程相同。

答案：1.5+1+2.5+1.5+1.5=8分钟

（2）小明骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁4头牛，甲过河要1分钟，乙过河要

2分钟，丙过河要5分钟，丁过河要6分钟，每次只能赶2头牛问：要把4头牛都赶

到对岸去，最少要几分钟？（小明回来赶牛过河，也得骑在牛上）

提示：与例题分析过程相同。

答案：2+1+6+2+2=13分钟

例2、分析：此题属于排队等待的问题。此题的特点是：最后求的总时间为所有人的等待时间

（即：第一个人打水若用5分钟的话，后面个人都要等待5分钟）。一次一定要把

打水时间最短的排在前面。

方案如下：甲水龙头：3分钟、5分钟、7分钟 总时间：3×3+5×2+7×1=26

乙水龙头：4分钟、6分钟、10分钟 总时间：4×3+6×2+10×1=34

26+34=60分钟

拓展练习：（1）水注满6个人的水桶需要的时间分别是5,4,3，10，7，6分钟，现在只有一个水龙头

可以用，应如何安排这六个人的打水顺序，使他们总的打水和等水的时间最少？

提示：同例2

答案：100分钟。

（2）5个人各拿一只水桶搭配水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分

别是1分钟，2分钟，3分钟，4分钟，5分钟。那么如何安排这5个人的节水顺序，

才能使他们等待的总时间最少？

提示：同例2

答案：100分钟。

（3）理发室有甲乙两位理发师,同时来了5位顾客，根据他们要理的发型，分别需要的时

间如下： 10分; 12分; 15分; 20分; 24分.怎样安排他们的理发顺序,才能使5个

人理发及等候所用的时间总和最少?最少要花多少时间?

提示：同例2

答案：128分钟。

例3、分析：此题属于集合点选取问题。解决此类问题规律如下：

1、若只有2栋楼的话，车站应该建立在何处呢？

如图：假设A、B两栋楼的居民都有a个人，车站建立在C点处。则所有居

民到达车站的总距离之和为：

a×AC+a×BC

=a×（AC+BC）

=a×AB

我们可以发现：最后距离的总和与C点建立在何处没有任何关系，

只跟AB 的总距离有关系，而这个总距离又是固定的，所以车站建在

AB之间任何一点（包括A、B）都可以。

2、若有3栋楼的话，车站应建立在何处呢？

如图：假设A、B、C三栋楼的居民都有a个人，车站建立在D点处。则所

有居民到达车站的总距离之和为：

a×AD+a×CD+ a×BD

=a×（AD+BD）+ a×CD

=a×AB+ a×CD

我们可以发现：最后每个人走的总距离和最小的话，a×AB是一个

固定的值，所以a×CD中，CD最小，走的总距离和最小。即：将D

点与C点重合。所以车站建在中间点。

总结: 总数点为奇数时，集合点选取在中间点；

总数点为偶数时，集合点选取在中间两点处都可。

此题：最后答案为：C、D点和CD之间任何一处均可。

E

D C A B 10吨30吨20吨10吨60吨

E D A C 40吨20吨+20吨35吨50吨

拓展练习：有1993名少先队员分散在一条公路上，他们应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各

自的地点沿公路走到集合地点的路程总和最小？

提示：同例3

答案：997处。

例4、分析：此题属于仓库选址的问题，此问题的解题特点是：“小往大处靠”原则。如图：

假设将货物集中到C 仓库，则总运费=10AC+15BC=10AC+10BC+5BC=10AB+5BC

所以总运费的大小取决于BC 的大小，即：将C 点移到B 点。这就是咱们说的

“小往大处靠”原则。

“小往大处靠”操作注意事项：（1）与另一边的所有货物总和比较大小。

（2）靠的时候，一个一个仓库靠。

如图：从左往右靠的话，操作如下：

（1）10＜30+20+10+60，则A 仓库移到B 仓库，此时B 仓库40吨货物。

（2）40＜20+10+60，则B 仓库移到C 仓库，此时C 仓库60吨货物。

（3）60＜10+60，则C 仓库移到D 仓库，此时D 仓库70吨货物。

（4）70＞60，则E 仓库移到D 仓库，此时D 仓库130吨货物。

得到运往D 仓库费用最省。

费用=（10×30+30×20+20×10+60×10）×0.9=1530元

拓展练习：（1）在一条公路上每隔100公里有一个仓库，共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，

二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在要

把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，

则最少需要运费多少元？

提示：小往大处靠

答案：5000

（2）一条直街上有5栋楼，从左到右编号为1，2，3，4，5，相邻两楼的距离都是50米。

第1号楼有1名职工在A 厂上班，第2号楼有2名职工在A 厂上班……第5号楼有

5名职工在A 厂上班。A 厂计划在直街上建一通勤车站接送这5栋楼的职工上下班，

为使这些职工到通勤车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼多少米处？

提示：小往大处靠

答案：150米

例5、分析：此题人属于仓库选址的问题，但不同的是有“支路”。只需要将支路合并到主路上

即可。原题合并后如图：

根据“小往大处靠”原则：40+20+20+35＞50，所以都移到D 点处。