齿廓啮合基本定律与齿轮的齿廓曲线

7.2 齿廓啮合基本定律与齿轮的齿廓曲线

7.2.1 平均传动比和瞬时传动比的概念

一对齿轮的啮合传动是通过主动齿轮1的齿面依次推动从动齿轮2的齿面而实现的，在一段时间内两轮转过的周数1n 、2n 之比称为平均传动比，用i 或12i 表示，若两轮的齿数分别为1z 、2z ，则

121221

n z i n z == (7-1) 由此可见，两齿轮的平均传动比与其齿数成反比，当一对齿轮的齿数确定后，其平均传动比是一个常数。但这并不能保证在一对齿廓的啮合过程中，其任一瞬时的传动比（即瞬时传动比）也是常数，因为，这取决于齿面的齿廓形状。

7.2.2 齿廓啮合基本定律

如图7-2所示，设主动轮1和从动轮2分别绕O 1、

O 2轴转动，角速度分别为ω1、ω2，方向相反，两齿廓在K

点接触。

为保证二齿廓既不分离又不相互嵌入地连续转动，要

求沿齿廓接触点K 的公法线n -n 方向上，齿廓间不能有相

对运动，即二齿廓接触点公法线方向上的分速度要相等，

12n n n v v v ==

显然，在切线方向上二齿廓接触点的速度不相等，即

齿廓沿切线方向存在相对滑动。 根据三心定理，两齿轮的相对速度瞬心在过接触点的公法线n -n 与连心线O 1O 2的交点C 上，其速度为：

11

22c v OC O C ωω== 由此可得齿轮机构的瞬时传动比：

1221O C i O C

ωω== (7-2) 从上面的分析可看出，相互啮合传动的一对齿轮，在任一位置时的传动比都与其连心线被齿廓接触点处公法线所分隔的两线段长度成反比。这一规律称为齿廓啮合基本定律。该定律表明齿轮的瞬时传动比与齿廓曲线之间的关系。

齿廓啮合基本定律既适用于定传动比齿轮机构，也适用于变传动比齿轮机构。对于定传动比机构，齿廓啮合基本定律可表达为：两齿廓在任一位置啮合时，过啮合点所作两齿廓的公法线与两轮的连心线相交于一定点。

图7-2 齿廓啮合过程

齿廓啮合基本定律表明：

1、不同的齿廓曲线，其啮合接触点的公法线与连心线的交点不同，因此其瞬时传动比也就不同。这个交点称为齿轮啮合节点，简称节点。

2、对于给定的一对齿廓曲线，啮合接触点不同，节点C 的位置也可能不同，各个瞬时传动比也就不同。

3、齿轮机构实现定传动比的条件是：一对齿廓曲线不论在何处接触，过接触点所作的公法线与两轮的连心线相交于同一点，即节点C 为连心线上的一个固定点。

7.2.3 共轭齿廓曲线与节圆

1、共轭齿廓曲线

齿轮机构的传动比取决于齿廓曲线的形状，能够实现预定传动比规律(即满足齿廓啮合基本定律)的一对相啮合的齿廓称为共轭齿廓。

从理论上讲，只要给出一条齿廓曲线，就可以根据齿廓啮合的基本定律求出与其共轭的另一条齿廓曲线。

但在生产实际中，结合设计、制造、安装和使用方面的诸多要求(如强度、效率、磨损、寿命、互换性、加工性)，通常选用的定传动比齿廓曲线有渐开线、摆线和圆弧。由于渐开线齿廓具有制造容易、便于安装、互换性好等多方面优点，所以目前大部分齿轮采用渐开线齿廓。

2、节圆

如图7-2所示，两齿轮啮合传动时，节点C 在两轮各自运动平面内的轨迹称为相对瞬心线，它们分别是以O 1、O 2为圆心，以O 1C 、O 2C 为半径的圆C 1和C 2，称为齿轮的节圆。故节圆就是齿轮的相对瞬心线，齿轮的啮合传动相当于其两节圆作无滑动的纯滚动。设两齿轮的节圆半径分别为'1r 、'2r ，则齿轮的传动比可表示为一对节圆半径的反比:

122211''

O C r i r O C ωω=== (7-3)