结构力学 第10章结构动力计算基础

3. 主振型的正交 性 主振型的位移幅值就是体系在此主振型惯性力幅值作
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对多自由度体系的每一个自振频率ω i，可得到相应的主振 型Y(i)，利用虚功原理可以证明不同的主振型是相互正交的。 第一正交性：任意两个不同的主振型Y(l)和Y(k)对于质量矩阵M正 交，即
第二正交性：任意两个不同的主振型Y(l)和Y(k)对于刚度矩阵K正 交，即
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图10.3
将图10.3(a)乘以6.534得由最大惯性 力产生的弯矩图，再叠加10.3(b)的 静力弯矩图，即得最大动力弯矩图， 如图10.4所示。
将弯矩图10.4与图10.3(c)相乘，即 得柱顶最大动位移 图10.4
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10.4 阻尼对振动的影响
振动中的阻尼力有多种来源，例如振动过程中结构与 支承之间的摩擦，材料之间的内摩擦，周围介质的阻力， 等等。阻尼力对质点运动起阻碍作用。从方向上看，它总 是与质点的速度方向相反。从数值上看，它与质点速度有 如下的关系： (1)阻尼力与质点速度成正比，这种阻尼力比较常用，称为 黏滞阻尼力。 (2)阻尼力与质点速度的平方成正比，固体在流体中运动受 到的阻力属于这一类。 (3)阻尼力的大小与质点速度无关，摩擦力属于这一类。
(2)自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，则周期越大(频 率f越小)；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，则周期 越小(频率f越大)；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的 质量或刚度着手。 (3)自振周期T是结构动力性能的一个很重要的数量标志。两个 外表相似的结构，如果周期相差很大，则动力性能相差很大； 反之，两个外表看来并不相同的结构，如果其自振周期相近， 则在动荷载作用下其动力性能基本一致。
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10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6
结构动力计算的特点和动力自由度 单自由度体系的自由振动 单自由度体系的强迫振动 阻尼对振动的影响 多自由度体系的自由振动 多自由度体系的强迫振动
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10.1 结构动力计算的特点和动力自由度
1. 结构动力计算的特点
首先，说明动荷载与静荷载的区别。动荷载的特征是荷 载(大小、方向、作用位臵)随时间而变化。如果从荷载对结 构所产生的影响这个角度来看，则可分为两种情况。一种情 况是：荷载虽然随时间变化，但是变得很慢，荷载的变化对 结构所产生的影响与静荷载相比相差甚微。 另一种情况是：荷载不仅随时间在变，而且变得较快， 荷载的变化对结构所产生的影响与静荷载相比相差甚大。 其次，说明结构的动力计算与静力计算的区别。在动力 计算中，虽然形式上仍是在列平衡方程要注意两个特点：第 一，在所考虑的力系中要包括惯性力；第二，这里考虑的是 瞬间的平衡，荷载、内力等都是时间的函数。
至于 的情形，体系在自由反应中 图10.6
仍不出现振动现象。由于实际问题中很
少遇到这种情况，故不作进一步讨论。
2. 有阻尼的强迫振动
开始处于静止状态的单自由度体系在任意荷载FP(t)作用下所 引起的有阻尼的强迫振动的位移公式。
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如果还有初始位移y0和初始速度v0，则总位移为
分突加荷载和简谐荷载两种情形:
图10.1
结构力学 3. 结构动力计算的任务
结构在动力荷载作用下产生的内力和位移，称为结构的动内 力和动位移，统称结构的动力反应。因为动力荷载随时间而变化 ，所以结构产生的动力反应也随时间变化。结构动力计算的主要 任务就是研究结构动力反应的计算原理和方法，确定结构动力反 应随时间变化的规律，从而进行强度和刚度等方面的力学讨论， 以作为结构设计、校核等的依据。
结构力学 2. 动荷载的分类
工程实际中经常遇到的动荷载主要有下面几类： 第一类是周期荷载。这类荷载随时间作周期性的变化。 第二类是冲击荷载。这类荷载在很短的时间内，荷载值急剧增 大(图10.1(a))或急剧减小(图10.1(b))。 第三类是随机荷载。前面两类荷载都属于确定性荷载，任一时 刻的荷载值都是事先确定的。如果荷载在将来任一时刻的数值 无法事先确定，则称为非确定性荷载，或称为随机荷载。
(1)多自由度体系自由振动的问题，主要是确定体系的全部 自振频率及其相应的主振型。 (2)多自由度体系自振频率不止一个，其个数与自由度的个 数相等。 (3)每个自振频率有自己相应的主振型。主振型就是多自 由度体系能够按单自由度振动时所具有的特定形式。 (3)与单自由度体系相同，多自由度体系的自振频率和主 振型也是体系本身的固有性质。自振频率只与体系本身的 刚度系数及其质量的分布情形有关，而与外部荷载无关。
3.动力荷载不作用在集中质量上时的等效动力荷载
动力荷载不直接作用在集中质量上，求解这种情况下的强迫 振动的特解时，可以根据质量m处位移相等的原则，把这些荷载 换算成作用于集中质量m处的等效动力荷载 ，然后按 求强迫振动的特解。
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【例10.6】图10.2所示排架横梁的EA=∞，屋盖及柱子等集中在横梁处 的总质量为m，即结构为单自由度体系。受均布动力荷载 的作 用，已知 。试求初始条件为零时结构的最大动力弯矩图和柱顶的 最大动力位移。 解：用结构静力学方法 ，先求得在柱顶水平单 位力作用下结构的弯矩 图，如图10.3(a)所示， 并由它求得柱顶的水平 位移即柔度系数 δ=130/(3EI)。因而结 构的自振频率为 图10.2
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10.3 单自由度体系的强迫振动
结构在动力荷载作用下的振动称为强迫振动或受迫振动。
1.简谐荷载
设体系承受如下的简谐荷载： 式中θ是简谐荷载的圆频率，F是荷载的最大值，称为幅值。
2.一般动荷载
一般动荷载FP(t)作用下所引起的动力反应分两步讨论：首 先讨论瞬时冲量的动力反应，然后在此基础上讨论一般动荷载的 动力反应。
右边是一个周期函数，其周期为
在自由振动过程中，质点每隔一段时间T，又回到原来的状态， 因此T称为结构的自振周期。 自振周期的倒数称为频率，记作
圆频率的计算公式如下
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结构自振周期T的一些重要性质: (1)自振周期与结构的质量和结构的刚度有关，而且只与这二者 有关，与外界的干扰因素无关。干扰力的大小只能影响振幅a的 大小，而不能影响结构自振周期T的大小。
利用主振型的正交性可以判断主振型的形状特点。第一主振型 的特点是各点位移位于结构的同一侧；第二主振型的特点是位 移图分两区，各居结构一侧；第三主振型的位移图分三区，交 替位于结构不同侧。这样才能保证三个主振型间的正交性。
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10.6 多自由度体系的强迫振动
在自由振动微分方程
的右端增加动力荷载项FPi(t)，即可得到刚度法、柔度法描述 多自由度体系强迫振动的运动微分方程。
1.自由振动微分方程的建立
这就是从力系平衡角度建立的自由振动微分方程。这种推 导方法称为刚度法。 用F1表示惯性力，用δ表示弹簧的柔度系数，即在单位力作用下 所产生的位移，其值与刚度系数k互为倒数：
从位移协调的角度建立自由振动微分方程的推导方法称为柔度法。
结构力学 2. 自由振动微分方程的解
单自由度体系自由振动微分方程式的通解为
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多自由度体系能够按某个主振型自由振动的条件是：初始 位移和初始速度应当与此主振型相对应。在一般情形下，两个 自由度体系的自由振动可看作是两种频率及其主振型的组合振 动，即
2. 柔度法
按柔度法建立自由振动微分方程的思路是：在自由振动过 程中的任一时刻t，质量m1,m2,…,mn的位移 y1(t),y2(t),…,yn(t)应当等于体系在当时惯性力作用下所产 生的静力位移。 用下所引起的静力位移。
4. 结构动力计算中体系的自由度
在动力计算中，一个体系的自由度是指为了确定运动过程中 任一时刻全部质量的位臵所需确定的独立几何参数的数目。 由于实际结构的质量都是连续分布的，因此任何一个实际结构 都可以说具有无限个自由度。 常用的简化方法有集中质量法、广义坐标法和有限单元法。
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10.2 单自由度体系的自由振动
其中的系数C1和C2可由初始条件确定。设在初始t=0时刻，质点有 初始位移y0和初始速度v0，即
由上式看出，振动是由两部分所组成：一部分是单独由初始位移 y0(没有初始速度)引起的，质点按 的规律振动，另 一部分是单独由初始速度v0(没有初始位移)引起的，质点按 的规律振动。 上式还可改写为
结构力学 3.结构的自振周期
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将动力荷载的幅值q=2kN/m作为静力荷载作用在结构上，求在其 作用下柱顶的水平位移(先作出由它引起的弯矩图，如图10.3 (b)，再选做力法一基本结构在单位力作用下的弯矩，图如图 10.3(c)，两图图乘即得)
于是得到等效动力荷载
代入式(10-15)得 其中动力系数 平稳阶段的加速度为
则最大惯性力为
结构力学 1. 有阻尼的自由振动
根据 述如下。 (1)考虑 的情况(即低阻尼情况)。 、 、 三种情况，可得出三种运动形态，分别表
低阻尼体系自由振动时 的 曲线，如图10.5所 示。这是一条逐渐衰减的波
动曲线。
图10.5
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(2)考虑 的情况。
其y-t曲线如图10.6所示。这 条曲线仍然具有衰减性质，但不 具有图10.5那样的波动性质。
(1) 突加荷载:当t>0时，
(2) 简谐荷载
其中两个常数C1和C2，由初始条件确定。
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10.5 多自由度体系的自由wenku.baidu.com动
按建立运动方程的方法，多自由度体系自由振动的求 解方法有两种：刚度法和柔度法。刚度法通过建立力的平 衡方程求解，柔度法通过建立位移协调方程求解，二者各 有其适用范围。
1. 刚度法