结构力学 第10章结构动力计算基础
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结构力学第十章习题集
第十章 结构动力计算基础 【练习题】10-1 判断题：1、结构计算中，大小、方向随时间变化的荷载必须按动荷载考虑。
2、忽略直杆的轴向变形，图示结构的动力自由度为4个。
3、仅在恢复力作用下的振动称为自由振动。
4、单自由度体系其它参数不变，只有刚度EI 增大到原来的2倍，则周期比原来的周期减小1/2。
5、图 a 体 系 的 自 振 频 率 比 图 b 的 小 。
l /2l /2l /2l /2(a)(b)6、单 自 由 度 体 系 如 图 ，W =98.kN ，欲 使 顶 端 产 生 水平位 移 ∆=001.m ，需 加 水 平 力 P =16kN ，则 体 系 的自 振 频 率 ω=-40s 1。
∆7、结构在动力荷载作用下，其动内力与动位移仅与动力荷载的变化规律有关。
8、由于阻尼的存在，任何振动都不会长期继续下去。
9、桁架ABC 在C 结点处有重物W ，杆重不计，EA 为常数，在C 点的竖向初位移干扰下，W 将作竖向自由振动。
AC10、不 计 阻 尼 时 ，图 示 体 系 的 运 动 方 程 为 ：m m X X h EI EI EI EI X X P t 00148242424012312⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎧⎨⎩⎫⎬⎭+--⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎧⎨⎩⎫⎬⎭=⎧⎨⎩⎫⎬⎭ ()lh10-2 选择题：1、图 示 体 系 ，质 点 的 运 动 方 程 为 ： A ．()()()y l Ps i n m y EI =-77683θ t /； B ．()()m y EIy l Ps i n /+=19273θ t ； C ．()()m y EIy l Ps i n /+=38473θ t ； D ．()()()y l Ps i n m yEI =-7963θ t/ 。
ll0.50.52、在 图 示 结 构 中 ，若 要 使 其 自 振 频 率 ω增 大 ，可 以 A ．增 大 P ； B ．增 大m ； C ．增 大 E I ； D ．增 大 l 。
结构力学——结构的动力计算
11
11[ P(t ) m(t )] y
P (t )
y(t ) 11[ P(t ) m(t )] y
l
l3 柔度系数 m(t ) 11 y 3EI 3EI (t ) 3 y (t ) P(t ) my l
二、刚度法
P (t )
l
EI
m m(t ) y y (t )
简谐荷载 周期 非简谐荷载 确定 冲击荷载 非周期 突加荷载 动荷载 其他确定规律的动荷载 风荷载 地震荷载 不确定 其他无法确定变化规律的荷载
§1.2
结构动力学的研究内容和任务
结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。 一.结构动力学的研究内容 当前结构动力学的研究内容为: 第一类问题：结构动力荷载的确定
结构力学
傅向荣
第十章 结构的动力 计算
§1. 绪论
§1.1 动荷载及其分类
一.动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，结构上的惯性力 与外荷比不可忽视的荷载。
自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作 静荷载。 静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。
二.动荷载的分类
P (t )
EI
m
EI1
EI
l
1
24 EI k 3 l
11
1
k
EI1
1 11 k
12 EI / l 3 12 EI / l 3
l l
EI EI
k2
EI1
EI EI
k1 ?
k1
k2 ?
24 EI k1 k 2 3 l
层间侧移刚度 对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架), 当两层之间发生相对单位水平位移时,两 层之间的所有柱子中的剪力之和称作该 层的层间侧移刚度. l l
结构力学第10章 结构的动力计算
F k
1
2 1 2
yst sin t
A yst
F F yst F 2 m k
动荷载幅值当作静载 作用时质体的位移
1
2 1 2
A yst
动力系数
§10-3
单自由度体系的强迫振动
动力系数的讨论
0， 1
荷载变化比较慢，可按静载处理。
解
对于竖向振动，柔度系数为
l3 48 EI
ml 3 T 2 m 2 48 EI
1 48 EI ml 3 m
§10-2
单自由度体系的自由振动
例题10-2 求图示悬臂杆的水平和竖向振动时的自振周期
解 （1）水平振动
当杆顶作用水平力W时，杆 顶的水平位移为
Wl 3 st 3EI
杜哈梅积分(Duhamel)
1 t y (t ) 0 FP sin t d m
零初始条件下，单自由度体系在任意荷载下的动位移公式
若 则
y0 0
v0 0 v0
1 y y0 cos t sin t m
t
0
FP ( ) sin t d
y t C1 sin t C2 cos t
F y t y t y * t C1 sin t C2 cos t sin t 2 2 m
§10-3
单自由度体系的强迫振动
代入初始条件
y 0 0 C2 0; F y 0 0 C1 m 2 2
（2）竖向振动
Wl 3 T 2 3EIg
当杆顶作用竖向力W时，杆顶的 竖向位移为
结构力学课后答案第10章结构动力学
对于CD杆件，相当于在中点作用一集中力
10-34试说明用振型分解法求解多自由度体系动力响应的基本思想，这一方法是利用了振动体系的何种特性
10-35试用振型分解法计算题10-32。
解：
刚度矩阵 质量矩阵
其中
由刚度矩阵和质量矩阵可得：
则 应满足方程
其稳态响应为：
同理：
显然最大位移
10-36试用振型分解法计算题10-31结构作有阻尼强迫振动时，质量处的最大位移响应。已知阻尼比ξ1＝ξ2＝。
得振型方程：
)
，令
，由频率方程D=0
解得： ，
，
(c)
解：
图 图
（1） ， ，
（2）振型方程
。
令 ，频率方程为：
（3）当 时，设
当 时，设
绘出振型图如下：
第一振型 第二振型
(d)
解：
#
图 图
频率方程为：
取 代入整理得：
其中
~
振型方程为：
将 代入（a）式中的第一个方程中，得：
绘出振型图如下：
第一振型 第二振型
\
解：
若 为静力荷载，弹簧中反力为 。
已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角 为坐标。建立动力方程：
则弹簧支座的最大动反力为 。
10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106Nm2，t1＝，FP0＝8×104N。
(a)
设 ，
；
使 ，则
（2）
设
如果使速度响应最大，则 最大，设 ，显然要求 最小。使： 得 。
（3）
令 显然要求 最小。
则 解的：
10-34试说明用振型分解法求解多自由度体系动力响应的基本思想，这一方法是利用了振动体系的何种特性
10-35试用振型分解法计算题10-32。
解：
刚度矩阵 质量矩阵
其中
由刚度矩阵和质量矩阵可得：
则 应满足方程
其稳态响应为：
同理：
显然最大位移
10-36试用振型分解法计算题10-31结构作有阻尼强迫振动时，质量处的最大位移响应。已知阻尼比ξ1＝ξ2＝。
得振型方程：
)
，令
，由频率方程D=0
解得： ，
，
(c)
解：
图 图
（1） ， ，
（2）振型方程
。
令 ，频率方程为：
（3）当 时，设
当 时，设
绘出振型图如下：
第一振型 第二振型
(d)
解：
#
图 图
频率方程为：
取 代入整理得：
其中
~
振型方程为：
将 代入（a）式中的第一个方程中，得：
绘出振型图如下：
第一振型 第二振型
\
解：
若 为静力荷载，弹簧中反力为 。
已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角 为坐标。建立动力方程：
则弹簧支座的最大动反力为 。
10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106Nm2，t1＝，FP0＝8×104N。
(a)
设 ，
；
使 ，则
（2）
设
如果使速度响应最大，则 最大，设 ，显然要求 最小。使： 得 。
（3）
令 显然要求 最小。
则 解的：
结构力学专题十三(多自由度体系的动力计算)
FP1
m1
l
EI
l
FP 2
m2
l
二、任意荷载作用*
运动方程： M y(t) Ky(t) FP (t) (a)
1、主振型矩阵
1 2 n
2、广义质量、广义刚度
} M * T M 对角阵
K* T K
3、正则坐标
y(t) (t)
(b)
M y(t) Ky(t) FP(t) (a)
４、振型迭加法分析强迫振动
例1：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
k1 k，k2 2k，
m1
m1 m，m2 2m；
P0 sin t
EI1
k1 m2
h
已知：
2
k m
EI1
k2
h
A
P0 k
1 0
1
1
I
F
0P0
P0
P0
P0 k
动位移幅值图
动荷载图（虚拟）
例2：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
已知：
i
(t
)
i
(0)
cos
it
i (0) i
sin
it
(i 1, 2)
l
0E.I041
P0 L3 EI
sinP0 stin
m
t
EI
从以上例题的计算中可看出，一般情况下 １l 〉２ 〉l〉ｎ
故在振型迭加法中,一般是前几阶振型起主要作用。
思考：用振型叠加法求例1所示结构的位移幅值。
2
k m
2
1 3
k m
2 5 k 3m
2
k m
P0 sin t
P0 sin t
结构力学课后答案第10章结构动力学
题10-39图题10-40图
10-40用有限单元法计算图示具有分布质量刚架的第一和第二自振频率及其相应的主振型。已知弹性模量E=2500kN/cm2，材料密度 ＝0.0025kg/cm3；柱子的横截面面积A1=100cm2，惯性矩I1=833.33cm4；梁的横截面面积A2=150cm2，惯性矩I2=2812.50cm4。
解：
若 为静力荷载，弹簧中反力为 。
已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角 为坐标。建立动力方程：
则弹簧支座的最大动反力为 。
10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106N·m2，t1＝0.1s，FP0＝8×104N。
则同样有： 。
10-9图示结构AD和DF杆具有无限刚性和均布质量 ，A处转动弹簧铰的刚度系数为kθ，C、E处弹簧的刚度系数为k，B处阻尼器的阻尼系数为c，试建立体系自由振动时的运动方程。
解：
取DF隔离体， ：
取AE隔离体：
将R代入，整理得：
10-10试建立图示各体系的运动方程。
(a)
解：（1）以支座B处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。图中惯性力为三角形分布，方向与运动方向相反。
解：
图 图
（1）求结构运动方程
如所示弯矩图，图乘后，
其中 ，稳态解：
所示结构的运动方程为 ，C点最大动位移幅值为
（2）求B点的动位移反应
，
B点的动位移幅值为
（3）绘制最大动力弯矩图
图 图
最大动力弯矩图
10-20试求图示集中质量体系在均布简谐荷载作用下弹簧支座的最大动反力。设杆件为无限刚性，弹簧的刚度系数为k。
解：
10-40用有限单元法计算图示具有分布质量刚架的第一和第二自振频率及其相应的主振型。已知弹性模量E=2500kN/cm2，材料密度 ＝0.0025kg/cm3；柱子的横截面面积A1=100cm2，惯性矩I1=833.33cm4；梁的横截面面积A2=150cm2，惯性矩I2=2812.50cm4。
解：
若 为静力荷载，弹簧中反力为 。
已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角 为坐标。建立动力方程：
则弹簧支座的最大动反力为 。
10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106N·m2，t1＝0.1s，FP0＝8×104N。
则同样有： 。
10-9图示结构AD和DF杆具有无限刚性和均布质量 ，A处转动弹簧铰的刚度系数为kθ，C、E处弹簧的刚度系数为k，B处阻尼器的阻尼系数为c，试建立体系自由振动时的运动方程。
解：
取DF隔离体， ：
取AE隔离体：
将R代入，整理得：
10-10试建立图示各体系的运动方程。
(a)
解：（1）以支座B处转角作为坐标，绘出梁的位移和受力图如下所示。图中惯性力为三角形分布，方向与运动方向相反。
解：
图 图
（1）求结构运动方程
如所示弯矩图，图乘后，
其中 ，稳态解：
所示结构的运动方程为 ，C点最大动位移幅值为
（2）求B点的动位移反应
，
B点的动位移幅值为
（3）绘制最大动力弯矩图
图 图
最大动力弯矩图
10-20试求图示集中质量体系在均布简谐荷载作用下弹簧支座的最大动反力。设杆件为无限刚性，弹簧的刚度系数为k。
解：
结构力学：第十章结构动力学1
y( x, t )
n k 1
ak (t) sin
kx
l
x
用几条函数曲线来描述体系的振动曲线
就称它是几个自由度体系，其中
sin kx
l
—— 是根据边界约束条件选取
的函数，称为形状函数。
ak(t) ——称广义座标，为一组待定
参数，其个数即为自由度数，用此法可将 无限自由度体系简化为有限自由度体系。
x
y(x,t)
是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，结果把微分方
程转化为代数方程了，使计算得以简化。
17
例 计算图示体系的自振频率。
解：单自由度体系，
m1 m B
A l /2
.. m1
A1
B
I1
EI= C
k
m2
1 3
m
D
l
l /2
C
k
..m2 A2
kl
I
2
以表示位移参数的幅值, 各质点上所受的力为：
应用条件：微幅振动（线性微分方程）
1、 刚度法：研究作用于被隔离的质量上的
力，建立平衡方程。
静平衡位置
力学模型
k
...
yj yd
m
m
质量m在任一时刻的位移 y(t)=yj+yd
重力 W
S(t)
. m
yd
W +
I(t)
弹性力 S(t) ky(t) k( y j yd ) 恒与位移反向
惯性力 I (t) my(t) m( yj yd )
my(t) I (t) I(t)－惯性力，与加速度成正比，方向相反
虚功原理（拉格朗日方程） 都要用到抽象的虚位移概念
结构力学 结构的动力计算
小结
4. 两个自由度体系的自由振动有两个自振频率，数值较小的称为基本频率； 相应地有两个主振型。关键是如何计算结构的柔度系数或刚度系数，并验 证主振型的正交性。 5. 两个自由度体系的受迫振动，各质点的振幅、动力幅值没有一个统一的 动力系数，这是和单自由度体系受迫振动不同的。 6. 振型分析法将无限自由度体系的自由振动问题转化为单自由度体系的计 算问题。它将复杂的问题分解为简单的问题，使我们看出复杂运动与主振 型之间关系的规律。
子项目 结构的动力计算 知识链接
（2）冲击荷载 这类荷载在很短时间内，荷载值急剧增大（图 5 – 2a）或急剧减小（图 5 – 2b）。各种爆炸荷载都属于这一类。当升载时间趋于零时，就是突加荷载 （图 5 – 2c）。
子项目 结构的动力计算 知识链接
（3）随机荷载 这类荷载的特点是荷载随时间变化的规律很不规则，荷载在任一时刻 t 的数值无法事先确定，要通过记录和统计得到其规律和计算数值。如地 震作用的地面运动加速度（图 5 – 3）。
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3．动力计算的自由度 在进行动力计算时，也需选取一个合理的计算简图，但考虑惯性力的作用，需要 确定质量在运动中的状态。因此，体系的自由度是指为了确定运动过程中任一时 刻全部质量的位置所需要的独立几何参数的数目。 实际结构的质量都是连续分布的，在计算中常把连续分布的无限自由度问题简化 为有限自由度问题。
子项目 结构的动力计算
知识链接
概括起来，动力计算的基本特点： ① 动力响应与时间有关，即荷载、位移、内力等随时间急剧变化。 ② 建立平衡方程时要包括质量的惯性力。 2．动力荷载的分类 工程中常见的动力荷载有以下几种分类： （1）周期荷载 这类荷载随时间作周期性的变化。简谐荷载是周期荷载中最简单也是最 重要的一种，它随时间 t 的变化规律可用正弦或余弦函数表示，如图 5 – 1b 所示。具有偏心质量的机器（图 5 – 1a）运转时，传到结构上的 偏心力 P(t) 随时间 t 的变化规律可用Psinθt和Pcosθt表示。
结构力学 第10章 (四川大学)讲解
（3）采用集中质量法和广义坐标法都可使无限 自由度体系简化为有限自由度体系，它们所采用 的手法是不同的。 集中质量法：将结构的分布质量按一定规则集 中到结构的某个或某些位置上，认为其他地方没 有质量。质量集中后，结构杆件仍具有可变形性 质，称为“无重杆”。
10.2 单自由度体系运动方程的建立
研究单自由度的目的： 单自由度体系的动力分析虽然比较简单，但 非常重要。这是因为： （1） 很多实际的动力问题常可按单自由度 体系进行计算，或进行初步的估算。 （2）单自由度体系的动力分析是多自由度 体系动力分析的基础。
Fb cy
式中，c为体系的粘滞阻尼系数
（ 3 ）惯性力 FI ：根据达朗伯原理，惯性 力是质量与加速度的乘积，但与加速度方 向相反。即 F m y
I
建立振动微分方程有两种基本方法： （ 1 ） 根据达朗伯原理 ( 动静法、惯性力 法）列出瞬时动力平衡方程，又称为刚度法 （列平衡方程）。 （2）另一种方程是列位移方程，又称为柔 度法。
cy ky 0 m y
研究单自由度体系自由振动的目的在于： 研究体系振动运动的基本特性，确定其固有特 性，以便进行结构的动力设计时加以控制及改 进结构的动力特性。
产生自由振动的原因只是由于在初始时刻的 干扰。初始的干扰有两种情况： （1）一种是由于体系具有初始位移； （2）另一种则是由于体系具有初始速度；或者 这两种初始干扰同时存在。
无限个自由度体系
图示为一块形基础，计算时可简化为一刚性块。 当考虑基础在平面内的振动时，体系共有三个自由度， 包括水平位移x、竖向位移y和角位移。当仅考虑基础 在竖直方向的振动时，则只有一个自由度。 自由度数与集中质量的个数并不一定彼此相等
自由度的数目不完全取决于质点的数 目，也与结构是否静定或超静定无关。
结构力学 第10章结构动力计算基础
结构力学
10.3 单自由度体系的强迫振动
结构在动力荷载作用下的振动称为强迫振动或受迫振动。
1.简谐荷载
设体系承受如下的简谐荷载： 式中θ是简谐荷载的圆频率，F是荷载的最大值，称为幅值。
2.一般动荷载
一般动荷载FP(t)作用下所引起的动力反应分两步讨论：首 先讨论瞬时冲量的动力反应，然后在此基础上讨论一般动荷载的 动力反应。
1.自由振动微分方程的建立
这就是从力系平衡角度建立的自由振动微分方程。这种推 导方法称为刚度法。 用F1表示惯性力，用δ表示弹簧的柔度系数，即在单位力作用下 所产生的位移，其值与刚度系数k互为倒数：
从位移协调的角度建立自由振动微分方程的推导方法称为柔度法。
结构力学 2. 自由振动微分方程的解
单自由度体系自由振动微分方程式的通解为
3. 主振型的正交 性 主振型的位移幅值就是体系在此主振型惯性力幅值作
结构力学
对多自由度体系的每一个自振频率ω i，可得到相应的主振 型Y(i)，利用虚功原理可以证明不同的主振型是相互正交的。 第一正交性：任意两个不同的主振型Y(l)和Y(k)对于质量矩阵M正 交，即
第二正交性：任意两个不同的主振型Y(l)和Y(k)对于刚度矩阵K正 交，即
(1) 突加荷载:当t>0时，
(2) 简谐荷载
其中两个常数C1和C2，由初始条件确定。
结构力学
10.5 多自由度体系的自由振动
按建立运动方程的方法，多自由度体系自由振动的求 解方法有两种：刚度法和柔度法。刚度法通过建立力的平 衡方程求解，柔度法通过建立位移协调方程求解，二者各 有其适用范围。
1. 刚度法
结构力学
将动力荷载的幅值q=2kN/m作为静力荷载作用在结构上，求在其 作用下柱顶的水平位移(先作出由它引起的弯矩图，如图10.3 (b)，再选做力法一基本结构在单位力作用下的弯矩，图如图 10.3(c)，两图图乘即得)
结构力学第10章-结构动力计算基础
k yt ()，其中k11为结构刚度系数，FS与 其受力情况为：弹性恢复力 F s 1 1
t m y y ( t ) 的方 质点位移y(t)的方向相反；惯性力F ，它与质点加速度 I=
向相反。若将质点位移的计算始点取在质点静力平衡位置上，则质点
重量的影响不必考虑。
对于无阻尼自由振动，质点在惯性力FI和弹性恢复力FS作用下处于
(a)二质点三自由度结构
(b)三质点二自由度结构
§10-1 概述
3）结构的振动自由度
由以上几个例子可以看出：
① 结构振动自由度的数目不一定等于体系集中质量的数目；
② 结构振动自由度的数目与体系是静定或超静定无关；
③ 结构振动自由度的数目与计算精度有关。
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1）运动微分方程的建立
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
2）简谐荷载
第三项是纯受迫振动的质点位移，其最大动位移(即振幅)为
F 1 F A 2 2 2 2 m m ( ) 1 2
由于
1 11 m 2
，代入上式，有
1 1 F A F y 1 1 2 2 st 1 2 1 2
m y ( t ) + ky t ) = 0 动力平衡状态，则有 F ，此式可改写为 F 1 1( I+ s =0,即
(t)+ y k 1 1 y(t) =0 m
此式为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，这种由力系平 衡条件建立运动微分方程的方法称为刚度法。
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1 1 2 1
1 3 E I m 11 4 m
当静荷载撤除后，梁的运动为单自由度体系的无阻尼自由
t m y y ( t ) 的方 质点位移y(t)的方向相反；惯性力F ，它与质点加速度 I=
向相反。若将质点位移的计算始点取在质点静力平衡位置上，则质点
重量的影响不必考虑。
对于无阻尼自由振动，质点在惯性力FI和弹性恢复力FS作用下处于
(a)二质点三自由度结构
(b)三质点二自由度结构
§10-1 概述
3）结构的振动自由度
由以上几个例子可以看出：
① 结构振动自由度的数目不一定等于体系集中质量的数目；
② 结构振动自由度的数目与体系是静定或超静定无关；
③ 结构振动自由度的数目与计算精度有关。
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1）运动微分方程的建立
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
2）简谐荷载
第三项是纯受迫振动的质点位移，其最大动位移(即振幅)为
F 1 F A 2 2 2 2 m m ( ) 1 2
由于
1 11 m 2
，代入上式，有
1 1 F A F y 1 1 2 2 st 1 2 1 2
m y ( t ) + ky t ) = 0 动力平衡状态，则有 F ，此式可改写为 F 1 1( I+ s =0,即
(t)+ y k 1 1 y(t) =0 m
此式为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，这种由力系平 衡条件建立运动微分方程的方法称为刚度法。
§10-2 单自由度体系无阻尼自由振动
1 1 2 1
1 3 E I m 11 4 m
当静荷载撤除后，梁的运动为单自由度体系的无阻尼自由
结构力学 结构动力计算
Y st yt mg yt
⑶质点沿水平方向振动时，水平总线位移 Y yt
§10—2
运动方程为：
单自由度体系的自由振1 动
k
m
mY kY W 0
st
y(t)
Y(t)
因为 Y (t) st y(t) Y (t) y(t) -kY -mY
所以 my k[ y(t) st ] W
⑵阻尼力与质点速度平方成正比，固体在流体中运动受到的阻力。
⑶阻尼力与质点的速度无关，摩擦力属于此类。
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
关于阻尼力的理论很多，为计算方便我们选用粘滞阻尼理论。
理论假定：阻尼力的大小与质点的运动速度成正比，方向与质 点的 运动速度方向相反。即：
R
cv
c
dy dt
w
又 k st kW W
my ky(t) W W
my ky(t) 0
§10—2 单自由度体系的自由振动
可见，重力对动位移y (t ) 的运动方程无影响。 质量围绕静力平衡位置进行振动。
aa
a a
W mymax
l m
ymax st a (W mymax)
st
a
ymax
Mmax (W mymax)l
§10—2 单自由度体系的自由振动
单自由度体系的动力分析虽简单但很重要体现在两个方面：
⑴很多实际动力学问题，可按单自由度体系进行分析和计算，而所 得结果基本上能反映其实际的动力特点。
⑵单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力分析的基础。
一、振动模型的建立
对于各种单自由度体系的振动，都可以用一个弹簧质块模型的振动来描述， 因为它们有相同的运动规律和运动微分方程。
⑶质点沿水平方向振动时，水平总线位移 Y yt
§10—2
运动方程为：
单自由度体系的自由振1 动
k
m
mY kY W 0
st
y(t)
Y(t)
因为 Y (t) st y(t) Y (t) y(t) -kY -mY
所以 my k[ y(t) st ] W
⑵阻尼力与质点速度平方成正比，固体在流体中运动受到的阻力。
⑶阻尼力与质点的速度无关，摩擦力属于此类。
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
关于阻尼力的理论很多，为计算方便我们选用粘滞阻尼理论。
理论假定：阻尼力的大小与质点的运动速度成正比，方向与质 点的 运动速度方向相反。即：
R
cv
c
dy dt
w
又 k st kW W
my ky(t) W W
my ky(t) 0
§10—2 单自由度体系的自由振动
可见，重力对动位移y (t ) 的运动方程无影响。 质量围绕静力平衡位置进行振动。
aa
a a
W mymax
l m
ymax st a (W mymax)
st
a
ymax
Mmax (W mymax)l
§10—2 单自由度体系的自由振动
单自由度体系的动力分析虽简单但很重要体现在两个方面：
⑴很多实际动力学问题，可按单自由度体系进行分析和计算，而所 得结果基本上能反映其实际的动力特点。
⑵单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力分析的基础。
一、振动模型的建立
对于各种单自由度体系的振动，都可以用一个弹簧质块模型的振动来描述， 因为它们有相同的运动规律和运动微分方程。
10结构动力学概论
当 FP (t)为简谐荷载时，其解的形式为
第十章 结构动力学简介
y(t)
y0
cos ωt
ν0 ω
sin ωt
F
θ sin ωt
F
sin θt
m(ω2 θ 2 ) ω
m(ω2 θ 2 )
前两项为初始条件引起的自由振动;第三项为荷载（干扰力）引起的自由振 动，称为伴生自由振动。实际上，由于阻尼的存在，自由振动部分都很快 衰减掉。自由振动消失前的振动阶段称为过渡阶段。第四项为按荷载频率 进行的振动，此阶段为振动的平稳阶段，称为纯受迫振动或稳态振动。
2、平衡方程的建立
平衡方程的建立有两种方法：一是刚度法；一是柔度法。
my
y k
k
m
刚度法：根据达兰贝尔原理，沿位移正向，在质点上加上惯性力，列动态平 衡方程
ky my
k y ——总是与位移方向相反，指向平衡位置
平m衡y 方—程—与加速m度y方向相k反y 0
第十章 结构动力学简介
柔度法：在惯性力作用下，质点的位移等于实际位移
结构力学
STRUCTURAL MECHANICS
第十章 结构动力学简介
§10-1 概述
一、动力计算的内容
动力计算的内容：研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。 涉及到内外两方面的因素： 1）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）； 2）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、振型和 阻尼等等），类似静力学中的I、S等； 计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。
纯受迫振动解的讨论请同学们课下自学完成！
第十章 结构动力学简介
三、阻尼对振动的影响
§10-3 单自由度体系的振动分析
结构力学动力计算
浙大宁波理工学院土建学院
确定单自由度体系的自振方程的四个基本物理量
刚度或柔度: k或
初始位移：y0
质量: m
初始速度：v0
与内在因素有关的物理量 自振圆频率: （自振频率）
k 1 m m
(2个单位时间内的振动次 数，或每秒振动次数*2)
m 自振周期: T 2 2 m k
1
y0 v0
y(t ) A sin cos t A cos sin t A sin(t )
单自由度体系的无阻尼自由振动是由初位移和初速度 引起的简谐振动。
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
简谐自由振动的特性
如果一个质点在某方向的位移与所受弹性力成正比， 则质点在该方向上可发生简谐自由振动
结构力学（2）
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计算方法的简化
常用的三种简化方法 1.集中质量法: 将连续分布的质量集中为质点，以质点位移（线位移） 为基本未知量。（本章主要讨论集中质量法）
2.广义坐标法： 用级数表示度曲线方程，以广义坐标（级数的项系数） 为基本未知量。 3.有限单元法： 将结构分割为若干个单元，用结点位移（线位移与角 位移）表示各单元挠曲线方程。将无限自由度问题化为有 限自由度问题。
(某一时刻的位移等于隔一段时间T之后的位移，T为自振周期)
2
频率
1 f (每秒振动次数，周期的倒数) T
结构力学（2）
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确定单自由度体系的自振方程的四个基本物理量 内因素 外因素
刚度或柔度: k或
初始位移：y0
质量: m
初始速度：v0
与外因素有关的物理量 自振方程 y(t ) A sin(t ) 代入初始条件得
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其中的系数C1和C2可由初始条件确定。设在初始t=0时刻，质点有 初始位移y0和初始速度v0，即
由上式看出，振动是由两部分所组成：一部分是单独由初始位移 y0(没有初始速度)引起的，质点按 的规律振动，另 一部分是单独由初始速度v0(没有初始位移)引起的，质点按 的规律振动。 上式还可改写为
结构力学 3.结构的自振周期
(2)自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，则周期越大(频 率f越小)；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，则周期 越小(频率f越大)；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的 质量或刚度着手。 (3)自振周期T是结构动力性能的一个很重要的数量标志。两个 外表相似的结构，如果周期相差很大，则动力性能相差很大； 反之，两个外表看来并不相同的结构，如果其自振周期相近， 则在动荷载作用下其动力性能基本一致。
右边是一个周期函数，其周期为
在自由振动过程中，质点每隔一段时间T，又回到原来的状态， 因此T称为结构的自振周期。 自振周期的倒数称为频率，记作
圆频率的计算公式如下
结构力学
结构自振周期T的一些重要性质: (1)自振周期与结构的质量和结构的刚度有关，而且只与这二者 有关，与外界的干扰因素无关。干扰力的大小只能影响振幅a的 大小，而不能影响结构自振周期T的大小。
4. 结构动力计算中体系的自由度
在动力计算中，一个体系的自由度是指为了确定运动过程中 任一时刻全部质量的位臵所需确定的独立几何参数的数目。 由于实际结构的质量都是连续分布的，因此任何一个实际结构 都可以说具有无限个自由度。 常用的简化方法有集中质量法、广义坐标法和有限单元法。
结构力学
10.2 单自由度体系的自由振动
结构力学 2. 动荷载的分类
工程实际中经常遇到的动荷载主要有下面几类： 第一类是周期荷载。这类荷载随时间作周期性的变化。 第二类是冲击荷载。这类荷载在很短的时间内，荷载值急剧增 大(图10.1(a))或急剧减小(图10.1(b))。 第三类是随机荷载。前面两类荷载都属于确定性荷载，任一时 刻的荷载值都是事先确定的。如果荷载在将来任一时刻的数值 无法事先确定，则称为非确定性荷载，或称为随机荷载。
3.动力荷载不作用在集中质量上时的等效动力荷载
动力荷载不直接作用在集中质量上，求解这种情况下的强迫 振动的特解时，可以根据质量m处位移相等的原则，把这些荷载 换算成作用于集中质量m处的等效动力荷载 ，然后按 求强迫振动的特解。
结构力学
【例10.6】图10.2所示排架横梁的EA=∞，屋盖及柱子等集中在横梁处 的总质量为m，即结构为单自由度体系。受均布动力荷载 的作 用，已知 。试求初始条件为零时结构的最大动力弯矩图和柱顶的 最大动力位移。 解：用结构静力学方法 ，先求得在柱顶水平单 位力作用下结构的弯矩 图，如图10.3(a)所示， 并由它求得柱顶的水平 位移即柔度系数 δ=130/(3EI)。因而结 构的自振频率为 图10.2
结构力学
多自由度体系能够按某个主振型自由振动的条件是：初始 位移和初始速度应当与此主振型相对应。在一般情形下，两个 自由度体系的自由振动可看作是两种频率及其主振型的组合振 动，即
2. 柔度法
按柔度法建立自由振动微分方程的思路是：在自由振动过 程中的任一时刻t，质量m1,m2,…,mn的位移 y1(t),y2(t),…,yn(t)应当等于体系在当时惯性力作用下所产 生的静力位移。 用下所引起的静力位移。
结构力学
10.3 单自由度体系的强迫振动
结构在动力荷载作用下的振动称为强迫振动或受迫振动。
1.简谐荷载
设体系承受如下的简谐荷载： 式中θ是简谐荷载的圆频率，F是荷载的最大值，称为幅值。
2.一般动荷载
一般动荷载FP(t)作用下所引起的动力反应分两步讨论：首 先讨论瞬时冲量的动力反应，然后在此基础上讨论一般动荷载的 动力反应。
3. 主振型的正交 性 主振型的位移幅值就是体系在此主振型惯性力幅值作
结构力学
对多自由度体系的每一个自振频率ω i，可得到相应的主振 型Y(i)，利用虚功原理可以证明不同的主振型是相互正交的。 第一正交性：任意两个不同的主振型Y(l)和Y(k)对于质量矩阵M正 交，即
第二正交性：任意两个不同的主振型Y(l)和Y(k)对于刚度矩阵K正 交，即
(1) 突加荷载:当t>0时，
(2) 简谐荷载
其中两个常数C1和C2，由初始条件确定。
结构力学
10.5 多自由度体系的自由振动
按建立运动方程的方法，多自由度体系自由振动的求 解方法有两种：刚度法和柔度法。刚度法通过建立力的平 衡方程求解，柔度法通过建立位移协调方程求解，二者各 有其适用范围。
1. 刚度法
结构力学
图10.3
将图10.3(a)乘以6.534得由最大惯性 力产生的弯矩图，再叠加10.3(b)的 静力弯矩图，即得最大动力弯矩图， 如图10.4所示。
将弯矩图10.4与图10.3(c)相乘，即 得柱顶最大动位移 图10.4
结构力学
10.4 阻尼对振动的影响
振动中的阻尼力有多种来源，例如振动过程中结构与 支承之间的摩擦，材料之间的内摩擦，周围介质的阻力， 等等。阻尼力对质点运动起阻碍作用。从方向上看，它总 是与质点的速度方向相反。从数值上看，它与质点速度有 如下的关系： (1)阻尼力与质点速度成正比，这种阻尼力比较常用，称为 黏滞阻尼力。 (2)阻尼力与质点速度的平方成正比，固体在流体中运动受 到的阻力属于这一类。 (3)阻尼力的大小与质点速度无关，摩擦力属于这一类。
至于 的情形振动现象。由于实际问题中很
少遇到这种情况，故不作进一步讨论。
2. 有阻尼的强迫振动
开始处于静止状态的单自由度体系在任意荷载FP(t)作用下所 引起的有阻尼的强迫振动的位移公式。
结构力学
如果还有初始位移y0和初始速度v0，则总位移为
分突加荷载和简谐荷载两种情形:
(1)多自由度体系自由振动的问题，主要是确定体系的全部 自振频率及其相应的主振型。 (2)多自由度体系自振频率不止一个，其个数与自由度的个 数相等。 (3)每个自振频率有自己相应的主振型。主振型就是多自 由度体系能够按单自由度振动时所具有的特定形式。 (3)与单自由度体系相同，多自由度体系的自振频率和主 振型也是体系本身的固有性质。自振频率只与体系本身的 刚度系数及其质量的分布情形有关，而与外部荷载无关。
结构力学
10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6
结构动力计算的特点和动力自由度 单自由度体系的自由振动 单自由度体系的强迫振动 阻尼对振动的影响 多自由度体系的自由振动 多自由度体系的强迫振动
结构力学
10.1 结构动力计算的特点和动力自由度
1. 结构动力计算的特点
首先，说明动荷载与静荷载的区别。动荷载的特征是荷 载(大小、方向、作用位臵)随时间而变化。如果从荷载对结 构所产生的影响这个角度来看，则可分为两种情况。一种情 况是：荷载虽然随时间变化，但是变得很慢，荷载的变化对 结构所产生的影响与静荷载相比相差甚微。 另一种情况是：荷载不仅随时间在变，而且变得较快， 荷载的变化对结构所产生的影响与静荷载相比相差甚大。 其次，说明结构的动力计算与静力计算的区别。在动力 计算中，虽然形式上仍是在列平衡方程要注意两个特点：第 一，在所考虑的力系中要包括惯性力；第二，这里考虑的是 瞬间的平衡，荷载、内力等都是时间的函数。
1.自由振动微分方程的建立
这就是从力系平衡角度建立的自由振动微分方程。这种推 导方法称为刚度法。 用F1表示惯性力，用δ表示弹簧的柔度系数，即在单位力作用下 所产生的位移，其值与刚度系数k互为倒数：
从位移协调的角度建立自由振动微分方程的推导方法称为柔度法。
结构力学 2. 自由振动微分方程的解
单自由度体系自由振动微分方程式的通解为
结构力学
将动力荷载的幅值q=2kN/m作为静力荷载作用在结构上，求在其 作用下柱顶的水平位移(先作出由它引起的弯矩图，如图10.3 (b)，再选做力法一基本结构在单位力作用下的弯矩，图如图 10.3(c)，两图图乘即得)
于是得到等效动力荷载
代入式(10-15)得 其中动力系数 平稳阶段的加速度为
则最大惯性力为
图10.1
结构力学 3. 结构动力计算的任务
结构在动力荷载作用下产生的内力和位移，称为结构的动内 力和动位移，统称结构的动力反应。因为动力荷载随时间而变化 ，所以结构产生的动力反应也随时间变化。结构动力计算的主要 任务就是研究结构动力反应的计算原理和方法，确定结构动力反 应随时间变化的规律，从而进行强度和刚度等方面的力学讨论， 以作为结构设计、校核等的依据。
利用主振型的正交性可以判断主振型的形状特点。第一主振型 的特点是各点位移位于结构的同一侧；第二主振型的特点是位 移图分两区，各居结构一侧；第三主振型的位移图分三区，交 替位于结构不同侧。这样才能保证三个主振型间的正交性。
结构力学
10.6 多自由度体系的强迫振动
在自由振动微分方程
的右端增加动力荷载项FPi(t)，即可得到刚度法、柔度法描述 多自由度体系强迫振动的运动微分方程。
结构力学 1. 有阻尼的自由振动
根据 述如下。 (1)考虑 的情况(即低阻尼情况)。 、 、 三种情况，可得出三种运动形态，分别表
低阻尼体系自由振动时 的 曲线，如图10.5所 示。这是一条逐渐衰减的波
动曲线。
图10.5
结构力学
(2)考虑 的情况。
其y-t曲线如图10.6所示。这 条曲线仍然具有衰减性质，但不 具有图10.5那样的波动性质。