周期问题

周期问题

知识点：周期问题

带循环的题目，典型代表：（1）星期问题；（2）生肖问题，如江苏省曾经考查；（3）人为创造的周期问题，如值班表，办公室有甲乙丙三人，按照三人的顺序轮流值班。

解题思路,（1）与余数相关，2013 年和 2016 年国考考查；（2）周期相遇问题，如甲三天去一次图书馆，乙四天去一次图书馆，丙五天去一次图书馆，某日相遇后再次相遇是几号。自 2008 年考查后仅在 2016 年国考中考查类似题目。

知识点：周期余数

星期问题，如今天是星期一，从今天开始，问第 15 天是星期几？正常做题思路，往后排，先排 7 天，再排 7 天，剩余 1 天。或者计算余数，15/7=2……1，商为 2 代表 15 天中有 2 个整周期，余数为 1 代表从开始往后数，所以要找准起点，此题从星期一开始，故第 15 天为星期一。

2.做题思路：（1）找准周期，一般周期在题干中都已给定或者依靠常识判断；（2）难点在于找准总数，总数与起点有关，不同的起点总数不同，余数也不同。余数从周期开始，哪一天为起点从哪天开始计算。如上题换成过 14 天，此时起点为明天开始计算，即以星期二为起点。14/7=2，余数为 0 说明刚好 2 个星期，最后一天为星期一。

3.注意：找准起点，不同起点对应不同总数，导致余数不同。

【例 1】文化广场上从左到右一共有 5 面旗子，分别代表中国、德国、美国、英国和韩国。如果将 5 面旗子从左到右分别记作 A、B、C、D、E，那么从中国的旗子开始，按照 ABCDEDCBABCDEDCBA......的顺序数，数到第 313个字母时，是代表（）的旗子。

A.英国

B.德国

C.中国

D.韩国

解析：判断题型：材料给定循环，属于周期找余数问题。总数/周期，看商找余数。根据“ABCDEDCB”的顺序，周期为 8。列式：313÷8=39…1，39 个整周期，从周期起点 A 开始，则余数 1 对应 A，A 代表中国。选 C。

注意：若问前 313 个字母中有几个中国。此时先看每个周期有几个中国，再数余数。每个周期只有 1 个 A，即 1 个周期中有 1 个中国。故总共有 39*1+1=40个中国。

【例 2】五名工人按甲—乙—丙—丁—戊的顺序轮流值夜班，每人值班 1 天休息 4 天。某日乙值夜班，问再过 789 天该谁值班？( )

A.甲

B.乙

C.丙

D.戊

解析：判断题型，材料给定循环，问某个结果，属于周期找余数问题。今天为乙值班，再过 789 天，则以丙为起点。五个人值班，以五天为循环。789/5=157…4，最后余下的四天，从丙开始数，丙—丁—戊—甲，即应该是甲值班。选 A。

注意：如果问从今天丙开始过 789 天，则总数为 790 天，790/5，余数为0，周期末尾数为甲。

【例 3】书架的某一层上有 136 本书，且是按照“3 本小说、4 本教材、5 本工具书、7 本科技书，3 本小说、4 本教材……”的顺序循环从左至右排列的。问该层最右边的一本是什么书？（）

A.小说

B.教材

C.工具书

D.科技书

解析：周期找余数问题。周期为 3+4+5+7=19，136/19=7…3，余

数为3，第一本、第二本、第三本都为小说，所以最右边的一本书是小说。选 A。

【例 4】某新建小区计划在小区主干道两侧种植银杏树和梧桐树绿化环境，一侧每隔 3 棵银杏树种一棵梧桐树，另一侧每隔 4 棵梧桐树种 1 棵银杏树，最终两侧各种植了 35 棵树，问最多栽种了多少棵银杏树?( )

A.33

B.34

C.36

D.37

解析：判断题型，周期循环问题，问其中某一类属于周期找余数。先看左侧，按照“银杏、银杏、银杏、梧桐”的顺序，要让银杏尽量多，起点从银杏开始，以 4 为周期，35/4=8…3，8 个周期中有 3*8=24 棵银杏树，剩余 3 棵树都为银杏树，故共有 24+3=27 棵银杏树。再看右侧，“梧、梧、梧、梧、银……”循环，以银杏为起点，周期为 5，35/5=7，有 7 个周期，每个周期有 1 棵银杏树，有 7*1=7 棵银杏树，共有 27+7=34 棵银杏树。选 B。

【例 5】某年的 3 月有 5 个星期一和 4 星期二，则该年的国庆节是（）。

A.星期二

B.星期三

C.星期四

D.星期五

解析：判断题型，出现星期一般为周期找余数问题。关键点：总天数；周期；起点。此题以 7 天为周期，根据“3 月有 5 个星期一和 4 星期二”，画图法，说明最后一天为星期一，即 3 月 31 日为星期一。

方法一：从 4 月 1 日（星期二）计算，以 4 月 2 日为起点，总天数为30+31+30+31+31+30+1（当天必算）=184 天，184/7=26…2，说明从星期二为起点往后数 2 天，即星期三。选 B。

方法二：以3月31日开始计算，总天数为1+30+31++30+31+31+30+1=185天，周期为 7，185/7=26…3，从星期一为起点往后数 3 天为星期三。选 B。

【答案汇总】1-5：CAABB

小结：

1.如今天为 2016 年 10 月 13 日，星期四，问 2017 年 10 月13 日星期几？

（1）假如以今天为起点，到明年的 10 月 13 日有 366 天，

366/7=52…2，以周四为起点往后数 2 天，即明年的 10 月 13 日为星期五。

（2）假如从明天开始计算，今天为周期，10 月 14 日为星期五，从 2016 年

10 月 14 日到 2017 年 10 月 13 日有 365 天，365/7=52…1，周五为起点，余数为1，从周五往后数 1 天，即明年的 10 月 13 日为周五。

（3）2016 年 10 月 13 日（星期四）到 2017 年 10 月 12 日有 365 天，365/7=52…1，所以明年的 10 月 13 日为周五。

2.结论：在星期问题中，过一个平年星期加一天，过一个闰年星期加两天。

知识点：周期相遇

1.指每个主体周期不同，起点在一起，要求终点在一起，即两头相遇。结论：最小公倍数。经过的时间为周期的最小公倍数。如甲 2 天去一次图书馆，乙 3 天去一次图书馆。甲去图书馆的天数为 2 的倍数，乙去图书馆的天数为 3 的倍数，所以时间既能被 2 整除又能被 3 整除，即 6 的倍数。

2.最小公倍数的求法：短除法。如 5、18、32，两两找公因子，最后两两互质，18 和 32 提 2，化为 5、9、16，最后的最小公倍数为 2*5*9*16。

3.在工程问题中只给定时间，给总量赋值同样会用到最小公倍数。