清华大学组合数学研究生考前复习精品PPT课件

• 母函数
求解组合问题
对于序列 a0 , a1, a2构,造,一函数：
G(x) a0 a1x a2 x2 ,
称函数G(x)是序列 a0 , a1, a的2 , 母函数
• 指数型母函数 求解排列问题
对于序列 a0 , a1, a2 , ，函数
Ge
(x)
a0
a1 1!
x
a2 2!
x2
a3 3!
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1 (k 1)(k 2)xk
k2 ( )
1
k0 2
k0 2
(1 x)3
ex 1 x x2 x3 , 2! 3!
• 递推关系
– Hanoi问题 – Fibonacci数列 – 铺砖 – N位序列中符合某些性质的排列数 – 放球问题 – ………..
线性常系数递推关系
定义 如果序列 an满足
个孩子至少有一个水果,问有多少种分法? • 解:设分给第i个孩子的水果数为xi, xi≥1
• x1+x2+x3=12 • 令y1=x1-1,y2=x2-1,y3=x3-1
• y1+y2+y3=9 yi≥0 • 非负整数解的个数为C(9+3-1,9)=55
• 排列的生成算法 • “原排列”→“原中介数”→“新中介
数”→“新排列” • 递增进位制和递减进位制数
– (A)字典序法 – (B)递增进位制数法 – (C)递减进位制数法 – (D)邻位对换法
• 递增进位制数4121，它的进制从右向左依次是2、3、4、
5
5432
• 如果将4121加上1的话得到结果是4200
• 序号:十进制数
• 递增进位制数（a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9）的序号为 a1*9! + a2*8! + ….+ a8*2! + a9*1!
–C(n,r)=P(n,r)/r!=n!/(r!(n-r)!)
• 允许重复的排列(多重集排列):
– 求r1个1，r2个2，…，rt个t的排列数，设r1+r2+…+rt=n,设此
排列数为P(n;r1,r2,…,rt),对1，2，…，t分别加下标，得到
P(n；r1,r2,…,rt)·r1!·r2!·…·rt! = n!
x3
ak xk k!
称为是序列 a0 , a1, a2 , 得指数型母函数
常用母函数
• 数列 {1}n ≥0 母函数1/(1- x)= 1+x+x2+… 指数型母函数ex
• 数列 {cn}n≥0 母函数1/(1- cx)= 1+cx+c2x2+… 指数型母函数ecx
1 3x 6x2 10x3
• 序号100的递减进位制数就是131，即 （1*8 + 3）*9 + 1 = 100
• 其加减法的进位需要小心；
• 序号和数字的转换
• 求839647521的下100个排列
– 字典序法 – 求839647521的中介数 7 2 6 4 2 3 2 1
1726432：：：28396475的的 的右右右边边边比比比28396475小小小的的的数数数的的的个个个数数数
an C1an1 C2an2 Ck ank 0, 2 5 1
a0 d0 , a1 d1,, ak1 dk1,
2 5 2
C1, C2 ,Ck 及 d0 , d1,dk1是常数，Ck 0 ，则
– 此中介数加上100的递增进位制数4020后得到 新中介数72652011,计算对应的排列
由72652011推算出
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9(不对？？）
_8 _3 _9 _7 _4 _1 _5 _2 _6
672++11==783 →→ PP12→==83 P3=9
3和8已经出现
• 序号100的递增进位制数就是4020，即4*4！+ 0*3！+ 2*2！ + 0*1！=100
• 递减进位制数（a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9）为：
• (((((((((a1 * 1 + a2) * 2 + a3) * 3 + …… + a7) * 8 + a8) * 9 + a9= 序号
• 允许重复的组合(多重集的组合)
– n个不同的元素中取r个做允许重复的组合,其组 合数为C(n+r-1,r)
– 线性方程非负整数解 x1+x2+…+xn=b的非负整数解的个数C(n+b-1,b)
• 不相邻的组合
– n个数中取r个作不相邻的组合,组合数为C(nr+1,b)
• 数学归纳法
• 多重集的组合 • 给三个孩子发水果,一共12个一样的苹果,每
• 排列
–从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排 列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成
的集合用P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当
r=n时称为全排列。
–P(n,r)=n(n-1)······(n-r+1) • 组合
–从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集， 而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组 合。组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数 用C(n,r)表示，
•
∴P(n；r1,r2,…,rt)=
——n—! — =(
r1!r2!…rt!
r1
n r2 …
rt)
• 圆周排列
– 从n个中取r个的圆排列的排列数为 P(n,r)/r , 2≤r≤n
• 项链排列 P(n,r)/2r , 3≤r≤n
– 在圆排列的基础上，正面向上和反面向上两种方式放置各 个数是同一个排列。
第一章 排列与组合
• 计数基本原理
– 加法法则:若 |A| = m , |B| = n , AB = , 则 |AB| = m + n
– 在加法法则中要注意事件 A B 的互斥 – 乘法法则:若 |A| = m , |B| = n ,
AB = {(a,b) | a A,b B}, 则 |A B| = m ·n – 在乘法法则中要注意事件 A B 的相互独立性
• 不考的内容
– 组合的生成 – Stirling公式
第二章 递推关系与母函数
• 二项式定理 – (x+y)n=∑C(n,k)xn-kyk k=0-n – (1+x)n= ∑C(n,k)xn-k k=0-n
• 多项式定理 – (x1+x2+…+xt)n=∑C(n;r1,r2,….rt)x1r1x2r2…xtrt r1+r2+…+rt=n 因式分解 一元二次方程求解 多项式长除法