清华大学组合数学研究生考前复习精品PPT课件
清华大学 概率考研复习讲义-3
第三讲随机向量及其分布§3.1 随机向量及其分布随机向量及其分布函数的定义 / 两个重要的多元分布条件分布及随机变量的独立性§3.2 随机向量的函数的分布随机变量的函数的分布 / 随机向量的函数的分布§3.3 独立性总结§3.1随机向量及其分布随机向量及随机向量函数(含rv函数)的分布计算和研究, 又一次大大扩展对随机规律的认识和研究能力. 而rv之间的独立性, 成为关注的焦点之一.把握rv分布和事件发生的概率之间的关系, 更一般地, 把握rv联合分布和事件同时发生的概率之间的关系, 既可理解变量(向量)规律的研究本质, 又可时刻理解rv间的独立性, 还可发现并容易掌握条件分布几个公式.3.1.1 随机向量及其分布函数的定义1. 定义定义3.1.1 设X i，i=1,2,…,n是定义在同一个概率空间 (Ω,ℱ,P) 上的rv，则称X:= (X1, X2, …,X n )为n维随机向量（记r ）. 而称n元函数为n维v rF X(x1, x2, …,x n ):=P(X1≤x1, X2≤x2,…, X1≤x n ),(x1, x2, …,x n )∈R n为rvX i，i=1,2,…,n的联合分布函数，或n元df，也称为随机向量X 的分布函数.令x=(x1, x2, …,x n )，则定义式子的右方也可写为向量形式F X (x ).1. 联合df 的性质由联合df 定义，可仿照一元情形立即得到下述性质： F1). 非降性. F (x 1, x 2, …,x n )对每一变元为非降； F2). 右连续性. F (x 1, x 2, …,x n )对每一变元为右连续； F3). 边界极端性. 下述极限存在且有值n j x x x F n x j ,,2,1,0),,,(lim 21K K =∀=∞→；1),,,(lim21,,1=∞→∞→n x x x x x F n K K .F4). 多维特别性质. 以df F (x,y )为例，对任意的x 1< x 2 , y 1<y 2, 必有F(x 2, y 2)− F(x 2, y 1)− F(x 1, y 2)+ F(x 1, y 1) ≥ 0.可定义离散型v r v 和连续型v r v . 此时分别有离散分布n 21i i i p L = P ),,,(21n 21i X i X i X n ===K ,及n 维pdf f X (x )，它满足 F X (x ) =∫∫∫∞−∞−∞−12212121),,,(),,,(x x n xn X X X dx dx dx x x x f nn L L L L 这里X =(X 1, X 2, …,X n ), x =(x 1, x 2, …,x n ).注意: ① 一个分量的边际分布不再与其它分量有任何关系. ② f (x,y ) dxdy 是(X ,Y )在(x,y )点微分邻域的概率. 于是，rv r(X,Y )取值于二维区域D 的概率，∫∫=∈D Y X dxdy y x f D Y X P ),()),((),(.(3.1.1)③ . 当f (x,y )在(x,y )点连续，∫∫∞−∞−=xydudv v u f y x F ),(),(则 yx y x F y x f ∂∂∂),(),(2=.3.1.2 两个重要的多元分布 1. 多元均匀分布U A定义3.1.2 设A 和R n 都是n 维L-可测区域(即有n 维体积)，A⊂R n ，0 < L(A ) <∞. 如 (Ω,ℱ,P )上定义的n 个rv X i , i =1,2, ...,n所组成v r rX 的pdf 为)(x f X = ⎩⎨⎧∈,其它0)(/1Ax A L则称X 遵从A上均匀分布. 记为 X ∼ U A .2. 多元正态分布N( a , ∑) (1) 概念定义3.1.3 设二维v r r(X,Y )的pdf 为：对任意 (x,y ) ∈ R 2),,,,;,(222121ρσσμμφy x ,))((2)1(21exp 12122221212112221⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−=σμσσμμρσμρρσπσy y x x 其中 12121)0(),0(,,R ∈>>σσμμ, |ρ| <1, 称X 遵从参数为 , 的二元正态分布，也记为 (X,Y )～N(μρσσμμ,,,,2221211, μ2, σ12, σ22, ρ).特别地，称 N(0,0,1,1,ρ) 为二元标准正态分布, 其pdf 简记为),,(ρφy x .设(X,Y )∼N(μ1, μ2, σ12, σ22, ρ), 则其分量的标准化变量X *=(X −μ1)/σ1和Y *= (Y −μ2)/σ2有联合分布 (X *,Y *)~N(0,0,1,1,ρ). 记住, 标准化和配方, 是正态分布计算和证明中常用的基本技术.(2) 二元正态分布与边际分布的关系1) 如(X,Y )∼N(μ1, μ2, σ12, σ22, ρ)，则X ∼N(μ1, σ 12)和Y∼N(μ2, σ 22)，且(X *,Y *) ~N(0,0,1,1,ρ)，从而X *∼N(0, 1)，Y *∼N(0, 1).2) (X,Y )和(X *,Y *)两者分布中的参数ρ都是不变的. 实际上我们有更一般的结果：一个二维v r r各分量的任意线性函数,0,,≠+=+=ab d cY V b aX U , 则得到新的二维rvr ),(V U ，且|ρ |不变的.3) 联合分布决定边际分布，反之则不然：此时我们无法决定参数ρ，事实上我们更有甚者：由两个一维正态df , 可以组织一个不是正态分布的二维联合分布!4) 联合分布里的参数ρ是用来刻画X 与Y 之间的联系的. 如果 (X,Y )有二元正态分布, 则其两个分量独立的充要条件是ρ =0, (X *,Y *)的结论相同. 但在一般分布中, 上述结论一般不正确; 两个rv 不相关的充要条件见下一讲.(3) 二元正态分布密度的函数性态由二元正态pdf 容易得到二元正态分布的性质： 1) pdf >0 且任意阶导函数为连续的；2) 关于平面),,,,;,(222121ρσσμμφy x 1μ=x 和平面2μ=y 对称，在点 (μ1, μ2) 取得最大值1221)12(−−ρσπσ, 故1σ和2σ越小、ρ越接近于1，则此最大值越大.3.1.3 条件分布及rv 的独立性 1. 条件分布对某固定的x ∈, P(X = x ) >0时，条件概率1R P(Y ≤ y | X = x ) = P(X = x , Y ≤ y ) / P(X = x )称为X =x 条件下Y 的条件df ，简记为F Y|X (y |x ), −∞ <y < ∞.当X 是连续型rv 时，用 (x − Δx <X ≤ x )代替(X = x )， 定义3.1.4 设X 和Y 为rv ，当下述极限存在时F Y|X (y |x ):=0lim →Δx {P(x −Δx <X ≤x , Y ≤y ) / P( x −Δx <X ≤x ) }, y ∈R 1.称为X = x 条件下Y 的条件分布函数.当(X , Y )的pdf f (x , y )在(x , y )点连续，固定y ∈，并在该x 点f R 1X (x ) >0. 则由H 'ospital 法则，上式中的极限式= / f dv v x f y),(∫∞−X (x ) =f /),([v x f y∫∞−X (x )] d v .可见令 f Y|X (y |x ): = f (x , y ) / f X (x )， f X (x )>0. 有 .∫∞−=yX Y X Y dv x v f x y F )|()|(||仿上可定义 F X|Y (x |y)及 f X|Y (x |y)，且可证，条件df [或条件pdf ]确为df [或pdf ].2. rv 的独立性定义3.1.5 设F X (x 1, x 2, …,x n )及 F j (x j ) 分别是(X 1, X 2, …,X n )及X j 的df ，j =1, 2, ...,n ，如F X (x 1, x 2, …,x n ) =∏1n F j (x j ), ∀ (x 1, x 2, …,x n ) ∈R n ,则称 X 1, X 2, …,X n 为相互独立的.[ 典型例题 ]z二元df 基本性质例3.1.1 设二元函数 ⎩⎨⎧<+≥+=120121),(y x y x y x F 它是二元df 吗?z联合分布与边际分布例3.1.2 于只有3个红球4个黑球的袋中逐次随机取一球，令 =, i =1, 2.i X ⎩⎨⎧次取出黑球如第次取出红球如第i i 01试在有放回和不放回两种取球方式下，求X 1和X 2的联合分布. X 1和X 2独立吗? 为什么?【 有放回：有放回时X 1和X 2独立; 不放回时X 1和X 2不独立. 】例3.1. 3 设rvX 与Y 相互独立，下表列出了v r （X ,Y ）分布律和关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分已知数值，试将其余数值填入表中的空白处.例3.1. 4 已知rv X 1和X 2的概率分布 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−4121411101~X ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡11210~X ，而且.1)0(21==X X P 求X 1和X 2的联合分布；问X 1和X 2是否独立？为什么？ 【X 1和X 2不独立】例3.1.5 设有n 个袋子, 各装红球r 只, 黑球h 只及白球w只. 今从第1个袋子随机取一球, 放入第2个袋子, 再从第2个袋子再随机取一球, 放入第3个袋子, 如此继续. 令⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=nk k W k R k k ...,2,1.,0,,1,.,0,1反之次取出白球当第反之次取出红球当第试求 1). R k 的分布; 2). (R 1, W 1 )的分布; 3).P (W 1=1| R 2 =1). 【1)w b r w b R P wb r rR P k k +++==++==)0(,)1(2). p 00 =b /(r+b+w ), p 11= 0, p 01 =w /(r+b+w ), p 10=r /(r+b+w ). 3). ⋅+++)1/(w b r w 】例3.1.6 设(X ,Y )的pdf 为)}(exp{),(y x n c y x f +−⋅=)+<<<0(∞y x I ,其中n 为已知正整数，c 为待定常数. 1). 求常数c ；2). 求条件密度f Y|X (y |1);3). X 与Y 是否独立，为什么？解 1)由二维pdf 性质，.2,21)}(exp{12202n c nc dxe n e c dy edx ec dxdyy x n c dxdy y x f nx nx xnynxyx R ==×==+−⋅==−∞−∞∞−−<<∫∫∫∫∫∫∫ ),(2) 求边际pdf ,,22),()(2)(2>===−∞+−∞∞−∫∫x ne dy e n dyy x f x f nx x y x n X故.2/2)1(/),1()1|()1(2)1(21−−−+−>=====y n n y n y X X Y ne ne e n f y f y f |而对其余y, 为0.)1|(y f X Y |3) 仿2) 求Y 的边际pdf),1(22),()(0)(2>−===−−+−∞∞−∫∫y e ne dx e n dx y x f y f ny ny yy x n Y .易见，y x y f x f y x f <<≠0),()(),(Y X .故X 和Y 不独立.zrv 的独立性例3.1.7 设 ⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它10,08 ),(),(y y x xyy x f Y X ，问X 与Y 是否独立？解 固定 ]1,0[∈x,)1(48),()(12∫∫−===∞∞−x X x x xydy dyy x f x f于是 )10()1(4)(2≤≤−=x I x x x f X 仿上 )10I(4)(3≤≤=y y y f Y X 与Y 不独立.例3.1.8 试证如 v r r(X ,Y )的 pdf f (x ,y )有如下分离变量乘积形式，则 X 和Y 一定独立.⎩⎨⎧<<<<=其它0,)()( ),(dy c b x a y h x g y x f ，其中实数 a < b , c < d , 并允许取无穷.§ 3.2 随机向量函数的分布通过随机向量函数的分布计算和研究, 将已经把握的rv 和随机向量的概率规律, 扩展到对它们的函数――变化更多的、新的rv 和随机向量的随机规律的认识和把握.rv 之间的独立性, 成为关注的焦点之一. 3.2.1 随机变量的函数的分布 通用公式⎪⎩⎪⎨⎧==≤=∫∑∫≤≤≤为连续型当为离散型当X dx x f X X p x dF y X g P y F y x g x Xy x g j j y x g x X Y j )(:)(:)(:)()()())(()( 1. 离散型rv 函数的分布例3.2.1 设 X ~ P(λ)，试求 Y = 2X −1的分布. 【 解P (Y =k ) = P (X =(k +1)/2) =λλ−++e k k )!(2121, k =0，1, 2, ... ?解 P (Y =2k −1) = P (X =k ) =λλ−e k k!k =0，1, 2, ...，Y 的分布列 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−−L LL L λλλλλλλe k e e e k k!21231122. 连续型rv 函数的分布 (1) 直接法――利用通用公式：(2) 连续型的公式法)(x g y =是分段严格单调且连续可微:定理2.4.1 设X 有连续的pdf f X (x )，函数y =g (x )是严格单调且连续可微，其唯一反函数x =h (y )连续可微. 则Y =g (X )是连续型的，其pdf 为)())(()('y h y h f y f X Y =线性函数情形:推论 设X 有连续的pdf f X (x ),0≠a ，则b aX Y +=仍是连续型的，其pdf 为3.2.2 随机向量的函数的分布离散型v r v函数的情形；连续型v r v函数的情形:1. 连续型的通用公式(直接法)∫∫≤=≤=z y x g Y X g dxdy y x f z Y X g P z F ),(),(),()),(()(2. 公式法 (1) 一般函数变换基于多元微积分中变量替换知识，对连续型v r v函数的分布也可建立像上面一维情形的定理(略). 由此及上节结论：pdf 为分离变量乘积的形式时分量是相互独立的，可得下面推论.推论1 设连续型 X 与Y 独立，两个一元函数u , v 都有各自唯一的反函数x , y ,u u x v v y ==⎧⎨⎩()()及，x x u y y v ==⎧⎨⎩()()且上述四个函数的导函数连续，则 U ＝u (X ) 和 V ＝v (Y )仍然独立.推论2 设 rv X 与Y 独立，u (x )和v (y )是两个Borel 函数(常见常用的、在高等数学里遇到的函数都是Borel 函数)，则rv U ＝u (X )和V ＝v (Y ) 仍然独立. 对两个以上独立的rv 的各自Borel 函数, 也仍然是独立的.作为推论2的一个应用，当X *与Y * iid , ~ N (0,1) 时，可由推论2得到和也是独立的. 进一步当X 、Y 和Z 独立时, X +Y 和Z 1*1μσ+=X X 2*2μσ+=Y Y 2也是独立的.(2) 几个重要函数的密度公式 1) rv 的和差积商公式)(.)()(),(),()(独立与当Y X dx x f x z f dxx z x f dx x x z f z f Y X Y X ∫∫∫∞∞−∞∞−∞∞−+−=−=−= 2) 最大值与最小值的分布设 F X (x 1, x 2, …, x n )是X =(X 1, X 2, …, X n )的df , 而F j 和f j 分别为X j 的df 和pdf . 令X (n) = max{X 1, X 2, …, X n }， X (1) = min{X 1, X 2, …, X n }下面求X (n)与X (1)的分布.由df 定义,),,,(),,,()(:)(),,,(21)()(21z z z F z X z X z X P z X P z F n X X X n n n L L L =≤≤≤=≤=)()]([)()()(1)(iid X z F X z F z F j n j n j n 当诸独立当诸==∏1 (又当F 111)()]()[()(−=n n z F z nf z f j 连续可微). 对最小值函数, 转而考虑),,,()(21)1(z X z X z X P z X P n >>>=>L .由于 ，故)(1)()1()1(z X P z F >−=)()](1[1)()](1[1),,,(1)(121)1(iid X z F X z F z X X z X P z F j n j nj n 当诸独立当诸−−=−−=>>>−=∏=1j L 111)1()](1)[()(−−=n z F z nf z f (又当F j 连续可微).[ 典型例题 ]z 连续型rv 函数的分布例3.2.1 设 求 Y =,~)1,0(U X 22+−X 的pdf .例3.2.2 设rv X 有连续的pdf ，求 Y = X )(x f X 2 的pdf ; 当 X ～N (0, 1)时，证明Y = X 2 的pdf 为)0(21)(221>=−−y I e y y f yY π【0,)(>±=y y y h j ，[])0()()(21)(>−+=y I y f y f y y f X X Y . 代入X pdf 即得】例3.2.3 在单位圆周上随机取一点D,求点D 横坐标X 的分布.【.)1|(|)1(/1)(2<−=x I x x f X π】 323z rv 和的分布例3.2.4 (离散卷积)设rv X , Y 相互独立, 分布律分别为P (X = k ) = p (k ), k = 0,1,2,…；P (Y = r ) = q (r ), r = 0,1,2,… 证明rvZ =X +Y 的分布律为P (Z =i )=.∑==−i k i k i q k p 0,...2,1,0),()(例3.2.5 设X 、Y iid , ~ U(0,1) . 试求X +Y 的分布.【当0 ≤ z <1, ;2)(2z z F Y X =+ 当1 ≤ z <2，12)(221−−=+z z z F Y X ，又)(z F Y X +＝0，z <0；＝1，z ≥2 ； ⎩⎨⎧<≤−<<=+21,210,)(z z z z z f Y X ，而在其余的点处，pdf 为0. 】z 随机向量函数的分布例3.2.6 设rv 是iid 的, 且n 1,,X X L ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−p r q 101~, 其中0 < p <1, 0 < q <1, r ≥ 0, p + q + r = 1. 试求下列函数的分布: 、及21X X +21X X k n k X X ≤≤=1)1(min :【⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−+2222122221012~p pr r pq qr qX X ，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++−−22221)(12101~q p q p pq X X ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−≡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−++−−n n n n n n n n p p q q p p p r p r X )1()1(1101)()(1101~)1(.】例3.2.7 设随机向量（X , Y ）的分布律为1) 求).0|3(),2|2(X ====Y P Y X P2) 求 .},max{的分布律Y X U =3) 求.},min{的分布律Y X V =4) 求的分布律.V U W +=U0 1 2 3 4 5 p 0. 28 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28kV 0 1 2 3p 0.28 0.30 0.25 0.17 kW 0 1 2 3 4 5 6 7 8p 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05 k（X ，Y ）在矩形例3.2.8 设二维v r }10,20),{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布，试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的pdf .)(s f 【设0<s<2，曲线 xy = s 与矩形G 的上边交于点（s,1）；位于曲线 x y = s 上方的点满足xy >s ，位于下方的点满足xy <s ，于是由几何概型).ln 2ln 1(2212}{}{)(2s s dx s s XY P s S P s F s x s −+=+=≤=≤=∫ )20()ln 2(ln )(21<<−=s I s s f 】 z 应用例3.2.9 用两个独立的同类设备和如图示分别组成串联、并联及备用（也即冷储备）系统. 如此类设备的寿命为参数是λ的指数分布，试求系统的寿命分布.1S 2S 【2λexp{−λ u }exp{−λu }，u >0 ；2λexp{−λu }[1−exp{−λu }]，u >0 ； Γ(2,λ)】例3.2.9不同结构的系统§3.3 独立性总结方法1. 由定义及等价定义判断.方法2. 由条件分布判断.方法3. 由联合分布的等效形式判断.方法4. 联合密度有分离变量形式, 则分量一定独立 方法5. 联合密度不为0的区域不是可分离的, 即X 和Y 有‘纠缠’, 一般不独立.方法6. 关于二元正态, 分量独立⇔ρ = 0, 即分量不相关. 方法7. 关于rv 的函数的情况, 有如下结论: 1) 如果X 和Y 独立, 则g (X )和h (Y )仍然独立; 2) 如果X 和Y 独立, 且其函数U = u (X , Y ) 和 V = v (X , Y ) 都是rv , 则U 和V 可能独立, 也可能不独立.3) 随机向量的函数变换应该慎重.。
18010_清华大学运筹学课件(完整课件)
存储论的应用举例
要点一
物资库存管理
在制造业、零售业等领域中，物资库 存管理是一个重要环节。通过应用存 储论的相关模型和策略，可以制定合 理的库存计划和控制策略，降低库存 成本并提高客户服务水平。
要点二
供应链优化
在供应链管理中，存储论可以帮助企 业优化供应链的运作效率。通过协调 供应链各个环节的库存水平和运输计 划，可以减少资源浪费并提高整体供 应链的竞争力。
20
05
图与网络分析
2024/1/25
21
图与网络的基本概念
图与网络定义
由节点和边构成的数学结构， 用于描述对象之间的关系。
有向图与无向图
根据边的方向性分类的图。
2024/1/25
连通性
图中任意两点间都存在路径的 性质。
子图与生成子图
部分节点和边构成的图，及其 与原图的关系。
22
最短路问题
最短路问题的定义
Edmonds-Karp算法
在容量网络中寻找从源点到汇 点的最大可行流。
存在增广路是流非最大的充分 必要条件。
通过不断寻找增广路来增大流 的值，直至达到最大流。
对Ford-Fulkerson算法的改进 ，使用BFS寻找增广路，保证 时间复杂度为多项式级。
2024/1/25
24
最小费用流问题
2024/1/25
清华大学运筹学课件(完整课件)
2024/1/25
1
目 录
2024/1/25
• 绪论 • 线性规划 • 整数规划 • 动态规划 • 图与网络分析 • 存储论 • 排队论 • 对策论基础
2
01
绪论
2024/1/25
3
运筹学的定义与发展
复变函数-清华大学精品课件
复变函数与积分变换（B）
3
3
即0
1, 1
1 2
3 2
i, 2
1 2
3 i.
2
40
§4 区 域
1. 区域的概念 2. 简单曲线（或Jordan曲线) 3. 单连通域与多连通域
41
1. 区域的概念
•邻域 复平面上以 z 0为中心，任意δ> 0为半径的 圆 | z -z 0|<δ(或 0 <| z –z 0|<δ) 内部的点
弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)
y
(z)
模：| z || OP | r x 2 y2 ,
记作
辐角 : Argz
z 0 OP 0
y
P(x,y)
z r
o
x
x
15
z 0时，tan( Argz) y / x
辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z，
把其中满足 0 的θ0称为辐角Argz的主值，
平面 — 复平面或z平面
点的表示：z x iy 复平面上的点P( x，y)
数z与点z同义.
14
2. 向量表示法
z x iy 点P( x，y) OP { x, y}
可用向量OP表示z x iy .
称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；
以正实轴 为始边, 以向量OP为终边的角的
组合数学课件--第一章第三节组合意义的解释(共27张PPT)
：应用举例
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
如果存在a与a的距离小于r,那么a与b的距离大于r。 解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看作是002，这样从000到999。
试求从1到1000的整数中，0出现的次数。 求方程的非负整数的解的个数. 因此不合法的0的个数为 码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1. 9 *Stirling公式 35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
6
1.6.3 线性方程的整数解的个数问题:
x1+x2+…+xn=b,n和b都是非负整数;
求方程的非负整数的解的个数. 允许重复的组合模型是r个无标志的球放进n个有 区别的盒子的情况:
方程的非负整数的个数与b个无标志的球放进n个 有区别的盒子的情况一一对应.
C(n+b-1,b)
7
1.7 组合的解释
m[C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,r)]≤2n
m
2n
C(n,0)C(n,1)...C(n,r)
***
23
1.9 司特林（Stirling公式）
n!~ 2n(n)n
e
2n (n)n
lim n
e 1 n!
***
24
1.9 例题
例：求小于10000的正整数中含有数字1的数的个数。
解：小于10000的正整数是1到9999，如果我们 把不到4位的数前面补零，
{1，2}，{1，3}， {2，3}，
如果允许重复，多了
{1，1}， {2，2}， {3，3}。
组合模型:
清华大学微积分高等数学课件第12讲泰勒公式的应用演示课件
09.10.2020
7
1
1 1 x x 2 x 3 ( 1 )n x n o (x n ) 1 x
1 2
1 x 1 1 x n( 1 ) k 1 ( 2 k 3 )! !x k o (x n )
2 k 2
( 2 k )! !
1 2
1 1 1 x n( 1 )k(2 k 1 )! !x k o (x n )
f(n(n1)1()!)(xx0)n1 (在x0与x之间 )
x0
0
f(x)f(0)f(0)xf(0)x2
2!
f(n)(0)xnf(n1)()xn1 (在0与x之 )间
n! 09.10.2020
(n1)!
4
五个常用函数的泰勒公式（麦克劳林公式）
ex 1 x 1x 2 1x n e x n 1
问公式的使 ? 用范围
[解] 仍然从误差估计入手
R 4co 5 !x s)(x55 1!x5112 x0 50.000
解得 x0.4129
即, 利用四阶近似公式 sinx
x
x3 6
计s算 ix n 时 ,限制 x0 角 .41度 2.5 3 9
误
09.10.2020
差0.0 可 0 .
小 01于
1 x 2 k 2
(2 k )! !
09.10.2020
8
二、泰勒公式应用举例
▼ 局部应用 皮亚诺型余项
求未定型极限 确定无穷小量的阶
▼ 区间应用 拉格朗日型余项
近似计算：近似值、近似公式
利用导数研究函数的性质
09.10.2020
9
（一）近似公式 弃去余项，得近似公式
f(x ) f(x 0 ) f(x 0 )x ( x 0 ) f2 (! x 0 )(x x 0 )2
清华大学概率论与数理统计复习ppt
i 1
令
d
ln L( ) d
n
n i 1
ln
xi
0
解得的极大似然估计量为ˆ n n
ln Xi
i 1
（3）当 2时，X的概率密度函数为：
f
(
x)
2 2
x3
,
0,
似然函数为：
x x
L( )
n
f
(
xi
)
(
2n 2n
x 1
,
0,
x 1, 其中未知参数 1,
x 1.
X1,L , Xn为来自X的简单随机样本，
求（1）的矩估计量；
（2）的最大似然估计量。
解：1，由于E( X )
x f ( x; )d x
1
x
x 1d x
, 1
令 X，解得参数的矩估计量ˆ X .
考题（3 2008级 48学时）
三、(本题10分)设总体X 在[0, ]上服从均匀分布， 其中 ( 0)未知，(X1,L , Xn)为来自总体X的样本， 求的矩估计量。（见教材P127-128的例6.2)
考题（4 2008级 48学时）
七、(10分)设某种元件的使用寿命X的概率密度为
f
ln L() N ln (n N ) ln(1 )
令 d ln L = N n N 0, 解得：ˆ N
d 1
n
所以的极大似然估计为ˆ N n
考题（7 2006级 32学时）
三、(本题14分)设总体X的概率密度为：
学高数一定要看的-清华大学高等数学教材PPT资料20页
要 q 2 (3 x 4 ) x整 (x 除 1 )2 ,dq e 2 g 1 , 设 q 2 (a x b )( ,3 x 4 )a ( x b ) x 3 a (x 1 )2 .
第三讲 唯一析因定理； C[X]与R[X]； 多项式的根—有理根；线性空间
1
P 633
GA03
f(x)(x3m 1 )(x3n 1 )x(x3p 1 )x2 1xx2
1 .f 2 ( x ) q 1 ( x 1 ) 2 2 x q 2 ( x 2 ) 3 3 x
pmax(ni ,mi ) i
i1
称为最小公倍式 .
c F
6
§2-2 C[X]上的因式分解
古典代数学基本定理: 任一非常数复系数多项 式在复数域中总有一根.
若degf n, f (X)有根 aC由零点定
f (Xa)f1(X) 其中 degf1 n1, 以此续行f， (X)知 恰有 n个复数. 根
定理.3.3的证明
出现。若是其,根则也是根。
设f(x)anxn a1xa0
f()ann a1a00
则f()ann a1a0 ann a1a00.
8
又 (X)x()x2()x R [X]
在 R 上不 可 有约，
定理2：实系数多项 f (X式 )(degf 1)
定理6：F[X]是唯一析因整. 环
即任一非常数多项f 式F[X] 均可表为一些
不可约的多项式的乘f积p1 p2ps. 且若不计常数倍pi及的次序，是唯一的。
proo:f(i)先证分解（析因） 在的 性存 。
若f 不可约，则f 取 p1 即可。
排列组合问题17种方法ppt课件
C
6 9
一
二
三
四
五
六
七
班
班
班
班
班
班
班
30
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素 排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
C m 1 n 1
31
练习题
1. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一 有多少装法？
C4 9
2 .x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解 的组数
A
5 5
A A A
2 4
1 4
5 5
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.
前排
后排
20
练习题
有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并 且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是______
346
21
重排问题求幂策略
把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 到车间有 种分法.
7
把第二名实习生分配
到车间也有7种分法，
依此类推,由分步计
7 6 数原理共有 种不同的排法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排 各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限 制地安排在m个位置上的排列数为 种
一个盒子装1个 （6）每个盒子至少1个
25
练习题 一个班有6名战士,其中正副班长各1人 现从中选4人完成四种不同的任务,每人 完成一种任务,且正副班长有且只有1人 参加,则不同的选法有________ 种 192
清华大学数电4组合课件
G1门是 非门, 强调低 电平有 效
YS ' ( I 0 ' I1 ' I 2 ' I 3 ' I 4 ' I 5 ' I 6 ' I 7 ' S )'
YEX ' (YS ' S )'
S’是“使能”信号 低电平有效 代表无输入信号 11
代表“有输入信号”
Y2' [( I 7 I 6 I 5 I 4 ) S ]'
一、编码器(Encodor)
编码： 用二值代码表示具体事物(变量）。 如：用0101表示十进制数5。 编码器分为普通编码器和 优先编码器。 （一）普通编码器 普通编码器任何时刻只允许 一个输入有效。 以3位二进制编码器的设计 为例:
注意这个名称
8
1.真 值表
2.函数式
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' Y2 I 7 I 6 I 5 I 4 I 3 I 2 I1' I 0 I 7 I 6 I 5 I 4 I 3 I 2 I1' I 0
Z 3 m ( 2,3,5) ( m m m )
' 0 ' 2
' ' 5 ' 4 ' ' 7
Z 4 m (0,2,4,7 ) ( m m m m )
由于译码器输出 低电平有效，故 选用与非门
25
（四）显示译码器 1.七段字符显示器 这种显示器可用多种发光器件构 成。例如半导体发光二极管、液晶等。 这里以发光二极管为例进行说明。 半导体数码管BS201A的外形图、 等效电路： 驱动电路 共阴极接法 VCC T R 共阳极接法 VCC D
组合数学课件--第一章：排列与组合
1.3：排列与组合
1、排列的定义：设A={a1,a2,…,an}是n个不 同的元素的集合，任取A中r个元素按顺序排成一 列，称为从A中取r个的一个排列，r满足0≤r≤n。
(1) (2) (3) (…) (r)
从n个不同的球中取一个球放在第一个盒子中， 从余下的n-1个球中取一个球放在第二个盒子中， ………………………………… 从余下的n-(r-1)个球中取一个放在第r个盒子中。 根据乘法法则： 19 P(n,r)=n(n-1)…(n-r+1)=n!／(n-r)!
p2
2 a2
... pm
2 am
C (2a1 1,1) C (2a2 1,1) ... C (2am 1,1)
34
练习题
1.13、有n个不同的整数，从中取出两组来， 要求第1组的最小数大于另一组的最大数。 设取的第一组数有a个,第二组有b个,
要求第一组数中最小数大于第二组中最大的， 即只要取出一组m个数(设m=a+b),从大到小 取a个作为第一组,剩余的为第二组。 此时方案数为C(n,m)。 从m个数中取第一组数共有m-1中取法。 (m-1)C(n,m)
17
1.2 一一对应 1 2 5 任给一个序列B{b1,b2,b3,…,bn-2} 1、从A找到最小的不属于B的元素,设为a1,与b1连 接，从A中去掉a1，从B中去掉b1. 2、重复以上过程只到B为空，A中剩余两个 3、连接剩余的两个顶点。
*
18
树的顶点集合为12345
3 4
这棵树对应序列（2，3，2）
****
2
(4)哪些最优？
选用教材
组合数学
(第四版) 卢开澄 卢华明 著
清华大学出版社
组合数学第二章1母函数PPT课件
__ __ _ __ _ _ )x 2:c2a 0b 2a 1 b 1a 2b 0,
C x a 0 a 1 b x 0 b 0 b 1 x b 1 x b 2 x b 2 2 x 2 a 2 x 2 b 0 b 1 x b 2 x 2
a 0 a 1 x a 2 x 2 b 0 b 1 x b 2 x 2
C (n ,1 )22C (n ,2 )32C (n,3 ) n2C (n ,n)
n(n 1 )2n 2
(-2 1-7)
14
2.1 母函数
还可以类似地推出一些等式，但通过上面一些例子
已可见函数 (1 x)n 在研究序列 C ( n , 0 ) C ( , n , 1 ) ,C ( n ,n )
2.1 母函数
母函数方法是一套非常有用的方法，应用极广。 这套方法的系统叙述，最早见于Laplace在1812年 的名著—概率解析理论。
我们来看如下的例子 两个色子掷出6点，有多少种选法？
1
方法的引入
注意到，出现1，5有两种选法，出现2，4也有两 种选法，而出现3，3只有一种选法，这些选法互 斥且穷尽了出现6点的一切可能的选法，按加法 法则，共有2+2+1=5种不同选法。
类似可得：
C(x) (1 2x 3x2 4x3 )
(1 x x2 x3 )
1 3x 6x2 10x3
k0
1 (k 2
1)(k
2)xk
1 (1 x)3
28
2.2 母函数的性质
性质4
若 ak 收敛,bk aj
k0
jk
则
B(x)A(1)xA (x) 1x
29
2.2 母函数的性质
10
[C(n,0)C(n,1)xC(n,n)xn] [C(m,0)C(m,1)x1C(m,m)xm]
清华大学组合数学课件
Combinatorics第章排列与组合第一章马昱春MA Yuchunmyc@1内容回顾•全排列生成算法(A)字典序法(B)递增进位制数法(C)递减进位制数法(D)邻位对换法•全排列：P是[1,n]的一个全排列。
P=P 1P 2…P n •序号：先于此排列的排列的个数。
–字典序中将先于此排列的排列按前缀分类，得到排列的序号n-1(n-i)!小的数的个数i=1,2,,n-1∑k i (n i)! k i ：P i 的右边比P i 小的数的个数i 1,2,…,n 1i=1•中介数：每个排列对应的中介数即k 1k 2…k n-1–递增/递减进位制数–记录排列的结构全排列序号中介数对应2–全排列，序号，中介数一一对应字典序下的对应关系n-1排列：P=P 1P 2…P n序号：∑k i (n-i)! i=1中介数：k 1k 2…k n-11230(00)()↑1321(01)↑ (321)n!-1=5 (21)………………()↑=2*2!+1*1!=5共有n!个排列0到(n!-1)0到(n!-1)个中介数3中介数的特点：记录当前数字右边比当前数字小的数字的个数•给定一个排列求后面或者前面的某个排列给定个排列求后面或者前面的某个排列–“原排列”→“原中介数”→“新中介数”“新排列”→新排列递增/递减进位制数加减法序号(A)字典序法(B)递增进位制数法(C)递减进位制数法(D)邻位对换法0 123 (00)↑ 123 (00)↑ 123 (00)↓ 123 (00)↓1 132 (01)↑ 213 (01)↑ 132 (01)↓ 132 (01)↓2213(10)132(10)312(02)312(02)2 213 (10)↑ 132 (10)↑ 312 (02)↓ 312 (02)↓3 231 (11)↑ 231 (11)↑ 213 (10)↓ 321 (10)↓4 312 (20)↑ 312 (20)↑ 231 (11)↓ 231 (11)↓5321(21)321(21)321(12)213(12)5 321 (21)↑ 321 (21)↑ 321 (12)↓ 213 (12)↓对中介数的不同解释算法构成了不同的排列顺序4常用排列生成工具_p,•C++标准程序库中有两个函数next permutation, prev_permutation，可以生成字典序排列#include algorithm•#include<algorithm>bool next_permutation( iterator start, iterator end ); bool prev_permutation( iterator start, iterator end ); bool prev permutation(iterator start iterator end);–The next_permutation() function attempts to transform thegiven range of elements [start,end) into the nextgiven range of elements[start end)into the nextlexicographically greater permutation of elements. If itsucceeds, it returns true, otherwise, it returns false.•/blog/stl_next_permutation.html5•Matlab中也支持排列的生成–用命令perms得到排列,用法：perms(vector) 给出向量vector的所有排列，例如perms([2 3 5]) 运行结果：5 3 2，5 2 3，3 5 2，3 2 5结果532523352325，2 3 5，2 5 3–此函数值只能适用于n < 15的情况下。
图论及其应用ppt课件
可编辑课件
28
名人名言
智者，善假于物也 学贵有恒，人贵有志 贵我、通今：横尽虚空，山河大地无一
可恃，可恃惟我；数尽来劫，前后左右 无一可据，可据惟今！ 生当作人杰，死亦为鬼雄！
可编辑课件
29
一副对联、一句勉励
上联： 做人做事做第一 下联： 创新创业创世界 横批： 众志成城 千里之行，始于足下， 兴趣是最好的老
A Friendly Introduction to Graph Theory, Fred Buckley,Marty Lewinter.
可编辑课件
21
学习方法
目的明确 态度端正 理论和实践相结合 充分利用资源 逐步实现从知识到能力到素质的深化和
升华
可编辑课件
22
课程考核
平时成绩 （10%） 图论应用的小论文 （60%） 开卷考试 （30%）
图论及其应用 Graph Theory and Its Applications
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1
主要内容
图论前言 数学预备知识
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2
前言
课程目标 学时和学分 教学大纲 教材和主要参考资料 课程考核
可编辑课件
3
图论学科简介 （1）
哥尼斯堡七桥问题 欧拉（1707~1782）：根据几何位置的解
满足
x, y,zS
a) 自反性 (x,x)R b) 对称性 c) 传递性 ((x ,y ) R ) ((y ,x ) R )
(x ,y ) R 且 (y ,z ) R (x ,z ) R
可编辑课件
41
等价关系与同余 （2）
xymodn
对于“模n同余”是等价关系，其等 价类成为模n的余数类或者同余类， 所有的同余类构成的集合
清华大学运筹学完整ppt课件2024新版
分支定界法的优缺点
优点是可以求解较大规模的整数规划 问题，缺点是计算量较大，需要多次 迭代和比较。
割平面法
割平面法的基本思想
通过添加割平面来切割掉原问题中不满足整数约束条件的部分，从而得到新的可行域，并 在新的可行域上继续求解。
割平面法的步骤
构造一个割平面，将原问题的可行域切割为两部分；求解切割后的问题，若得到的最优解 满足整数约束条件，则停止迭代；否则继续添加割平面进行切割，直到得到满足整数约束 条件的最优解或确定原问题无解。
线性规划问题的对偶理论与灵敏度分析
对偶问题
每一个线性规划问题都有一个与 之对应的对偶问题，对偶问题的 目标函数和约束条件与原问题密 切相关。
对偶性质
原问题和对偶问题之间存在一系 列重要的性质，如弱对偶性、强 对偶性等。
灵敏度分析
灵敏度分析用于研究当原问题的 参数发生变化时，最优解和最优 值会如何变化。这对于实际问题 中的决策制定具有重要意义。
THANK YOU
感谢聆听
最优解
03
目标函数等值线与可行域的交点中，使目标函数达到最优（最
大或最小）的点称为最优解。
单纯形法
初始基可行解
单纯形法从一个初始基可行解开始，该解通常是通过添加人工变 量构造的。
迭代过程
单纯形法通过一系列迭代过程，不断改进当前解，直到找到最优 解或确定问题无解。
旋转操作
在每次迭代中，单纯形法通过旋转操作将当前非基变量替换为基 变量，同数规划问题的数学模型
01
整数规划问题的定 义
整数规划是一类要求部分或全部 决策变量取整数值的数学规划问 题。
02
整数规划问题的分 类
根据整数变量的取值范围，可分 为纯整数规划、混合整数规划和 0-1整数规划。
复变函数-清华大学精品PPT课件
.
10
3.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.
•共轭复数的性质
(conjugate)
(1) (z1z2)z1z2 (2) z z
拉斯变换等
.
3
学习方法 复变函数中许多概念、理论、和
方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似 之处. 但又有不同之处，在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的性质与结果
.
4
背景
•十六世纪,在解代数方程时引进复数 •为使负数开方有意义，需要扩大数系，使实数域扩 大到复数域
计算
argz(z≠0) 的公式
arg
z
arctan y x
2
arctan
y x
x 0, y R
x 0, y 0
x 0, y 0 x 0, y 0
.
16
当z落于一,四象限时，不变.
当z落于第二象限时，加 . 当z落于第三象限时，减 .
arctayn
2
x2
.
17
.
.
27
.
28
.
29
.
30
§3 复数的乘幂与方根
1. 复数的乘积与商 2. 复数的乘幂 3.复数的方根
.
31
1. 乘积与商
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加.
《走向清华北大》高考总复习 数列的概念与简单表示法课件
解析:解法一:由已知a1•a2•a3•…•an=n2得
an=
n2 ,n≥2,n∈N*,
a1 a2
a n 1
将a1·a2·…·an-1=(n-1)2,n≥3,n∈N*,
代入an得an=
n 2 (n≥3). (n 1)2
当n=2时适合此式,当n=1时不适合此式.
∴an=
1(n 1),
(n
n2 1)2
A.61
B.62
C.63
D.64
解析:依题意,得
a1=1,a2=2,a3=2,a4=4,a5=8,a6=2,a7=6,a8=2,a9=2,a10=4,a11 =8,a12=2,a13=6,…,数列{an}除第一项外,其余的项形成以6 为周期的数列,且从a2到a7这六项的和等于24.注意到 243=1+24×10+2,因此k=1+6×10+1=62.故选B. 答案:B
2.数列的通项公式
一个数列{an}的第n项an与序号n之间的关系,如果可以用一个 式子an=f(n)来表示,我们就把这个公式叫做这个数列的通 项公式.
数列的通项公式是研究数列的最佳载体,因此确定一个数列 是否有通项公式,以及如何求出这个通项公式,是解决数列 问题的关键.求通项公式的常用方法有:观察分析法､累差法 ､累商法和公式法等.
a作差法;
b作商法;
c利用数列或函数的单调性等方法.
【典例3】已知数列{an}的通项an=(n+1)( 1 0 )n(n∈N+).试问 该数列{an}有没有最大项?若有,求出最大1 1 项和最大项的项 数;若没有,说明理由.
[分析]因an是n的函数,难点在于an是一个一次函数(n+1)与一 个指数函数( 1 0 )n的积.所以从一次函数或指数函数增减性
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• 允许重复的排列(多重集排列):
– 求r1个1，r2个2，…，rt个t的排列数，设r1+r2+…+rt=n,设此
排列数为P(n;r1,r2,…,rt),对1，2，…，t分别加下标，得到
P(n；r1,r2,…,rt)·r1!·r2!·…·rt! = n!
an C1an1 C2an2 Ck ank 0, 2 5 1
a0 d0 , a1 d1,, ak1 dk1,
2 5 2
C1, C2 ,Ck 及 d0 , d1,dk1是常数，Ck 0 ，则
• 序号100的递减进位制数就是131，即 （1*8 + 3）*9 + 1 = 100
• 其加减法的进位需要小心；
• 序号和数字的转换
• 求839647521的下100个排列
– 字典序法 – 求839647521的中介数 7 2 6 4 2 3 2 1
1726432：：：28396475的的 的右右右边边边比比比28396475小小小的的的数数数的的的个个个数数数
x3
ak xk k!
称为是序列 a0 , a1, a2 , 得指数型母函数
常用母函数
• 数列 {1}n ≥0 母函数1/(1- x)= 1+x+x2+… 指数型母函数ex
• 数列 {cn}n≥0 母函数1/(1- cx)= 1+cx+c2x2+… 指数型母函数ecx
1 3x 6x2 10x3
第一章 排列与组合
• 计数基本原理
– 加法法则:若 |A| = m , |B| = n , AB = , 则 |AB| = m + n
– 在加法法则中要注意事件 A B 的互斥 – 乘法法则:若 |A| = m , |B| = n ,
AB = {(a,b) | a A,b B}, 则 |A B| = m ·n – 在乘法法则中要注意事件 A B 的相互独立性
• 允许重复的组合(多重集的组合)
– n个不同的元素中取r个做允许重复的组合,其组 合数为C(n+r-1,r)
– 线性方程非负整数解 x1+x2+…+xn=b的非负整数解的个数C(n+b-1,b)
• 不相邻的组合
– n个数中取r个作不相邻的组合,组合数为C(nr+1,b)
• 数学归纳法
• 多重集的组合 • 给三个孩子发水果,一共12个一样的苹果,每
• 母函数
求解组合问题
对于序列 a0 , a1, a2构,造,一函数：
G(x) a0 a1x a2 x2 ,
称函数G(x)是序列 a0 , a1, a的2 , 母函数
• 指数型母函数 求解排列问题
对于序列 a0 , a1, a2 , ，函数
Ge
(x)
a0
a1 1!
x
a2 2!
x2
a3 3!
•
∴P(n；r1,r2,…,rt)=
——n—! — =(
r1!r2!…rt!
r1
n r2 …
rt)
• 圆周排列
– 从n个中取r个的圆排列的排列数为 P(n,r)/r , 2≤r≤n
• 项链排列 P(n,r)/2r , 3≤r≤n
– 在圆排列的基础上，正面向上和反面向上两种方式放置各 个数是同一个排列。
• 序号100的递增进位制数就是4020，即4*4！+ 0*3！+ 2*2！ + 0*1！=100
• 递减进位制数（a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9）为：
• (((((((((a1 * 1 + a2) * 2 + a3) * 3 + …… + a7) * 8 + a8) * 9 + a9= 序号
• 不考的内容
– 组合的生成 – Stirling公式
第二章 递推关系与母函数
• 二项式定理 – (x+y)n=∑C(n,k)xn-kyk k=0-n – (1+x)n= ∑C(n,k)xn-k k=0-n
• 多项式定理 – (x1+x2+…+xt)n=∑C(n;r1,r2,….rt)x1r1x2r2…xtrt r1+r2+…+rt=n 因式分解 一元二次方程求解 多项式长除法
– 此中介数加上100的递增进位制数4020后得到 新中介数72652011,计算对应的排列
由72652011推算出
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9(不对？？）
_8 _3 _9 _7 _4 _1 _5 _2 _6
672++11==783 →→ PP12→==83 P3=9
3和8已经出现
1 (k 1)(k 2)xk
k2 ( )
1
k0 2
k0 2
(1 x)3
ex 1 x x2 x3 , 2! 3!
• 递推关系
– Hanoi问题 – Fibonacci数列 – 铺砖 – N位序列中符合某些性质的排列数 – 放球问题 – ………..
线性常系数递推关系
定义 如果序列 an满足
个孩子至少有一个水果,问有多少种分法? • 解:设分给第i个孩子的水果数为xi, xi≥1
• x1+x2+x3=12 • 令y1=x1-1,y2=x2-1,y3=x3-1
• y1+y2+y3=• 排列的生成算法 • “原排列”→“原中介数”→“新中介
• 排列
–从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排 列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成
的集合用P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当
r=n时称为全排列。
–P(n,r)=n(n-1)······(n-r+1) • 组合
–从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集， 而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组 合。组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数 用C(n,r)表示，
数”→“新排列” • 递增进位制和递减进位制数
– (A)字典序法 – (B)递增进位制数法 – (C)递减进位制数法 – (D)邻位对换法
• 递增进位制数4121，它的进制从右向左依次是2、3、4、
5
5432
• 如果将4121加上1的话得到结果是4200
• 序号:十进制数
• 递增进位制数（a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9）的序号为 a1*9! + a2*8! + ….+ a8*2! + a9*1!