常微分方程6.1 (2)

x0 1 时有
lim x(t , t0 , x 0 ) 0
t
则称(6.1)的零解是渐近稳定的.
如图
y
dy Ay By 2 考虑一阶方程 dt 其 中 A, B为 常 数 ， A B 0
y
o
y1=0
t o
y1=0
t
(a) A>0,B>0 (a) A<0,B<0
考虑一阶方程 dy Ay By 2 dt 其 中 A, B为 常 数 ， A B 0
自治系统（或驻定方程组）：右端不显含t
dx dt X x, y dy Y x, y dt
6 . 1 3
同 时 满 足 Xx ,y 0, Y x ,y 0的 点 x , y , 称 为6.13的 奇 点
显 然 x x , y y 是 方 程 的驻 定解。
第六章 非线性微分方程和稳定性
§6.1 引言
在19世纪中叶,通过刘维尔的工作,人们已经知道绝大多数 的微分方程不能用初等积分方法求解. 这个结果对于微分 方程理论的发展产生了极大影响, 使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着 不可克服的局限性, 那么是否可以不求微分方程的解,而是从微分方程本身来 推断其解的性质呢? 定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的. 前者由法国数学家庞加莱(Poincaré,1854-1912)在19世纪 80年代所创立， 后者由俄国数学家李雅普罗夫(Liapunov,1857-1918)在同 年代所创立.
对一切t 0， A A/B 0 y 时， 1 0, 0 B y 0
A/B 1 y 0 1 eAt A/B 1 y 0 1
A/B y 0
y
A/B
A/B 1 y 0 1 e At
易见，方程有两个常数 解 A y1 0, y2 B
可求得满足初始条件y0 y 的解为： 0 A/B y A / B A t 1 1e y 0
如图
y
y
o
y1=0
t o
y1=0
t
(a) A>0,B>0 (a) A<0,B<0
用定义证明 A 0, B 0时, y 0 0是稳定的。
G可以延拓,
或者延拓到 (或 )；或者使解曲线任意接近G的边界。
作为t,t , y
0
0
的函数在它的存在范围内是连续的。
考虑微分方程
6.1.2 李雅普诺夫稳定性
dx f (t , x) 6.1 dt n f (t , x) 对 x D R 其中函数 t (-∞,+∞)
2 2 2
的解为：
因为 x(t) [ x (t ) y (t )]
对任一 0 ，取
即 x0 δ
2 2 2 ( x0 e2t y0 e2t ) 2 ( x0 y )
1 2 2 0
(t 0)
，则当 ( x2 y ) 0
1 2 2 0
,
A=1， =0 时，
相平面上的 所有轨线
（b） (a)
二维零解的稳定性：
（a）稳定
t t
t x( ) 解x( )= t 的轨线 t y( )
G G
（b）不稳定
t

o
δ
t
o
δ

0
点 代 表 零 解
δ
t
t
o

（c）渐进稳定
G
§6.1.3 按线性近似决定微分方程组的稳定性 考虑


6.1.1 常微分方程组解的存在唯一性定理
本章向量y (y1 , y 2 , y n )范数定义为 y
y
i 1
n
2 i
g t , y 在于G上关于y满足利普希茨条件定义： 存在常数L 0, 使得 g t , y1 g t , y 2 y1 y 2 对于任意 t,y1 , t,y 2 R G成立。
i 1 n 1 2
x (t, t0 , x1 )
如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间， 那么这是解对初值的连续依赖性,第2章的定理2.7已有结论. 现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间， 那么解对初值不一定有连续依赖性(见下面的例3)， 这就产生了李雅普诺夫意义下的稳定性概念.
如果对于任意给定的ε 0,都存在δ δ ,t0 ， ε 使得只要x 0满足 就有 x1 x 0 δ x t,t0 ,x 0 t,t0 ,x1 ε
dy g t , y (6.1) y (t 0 ) y 0 (6.2) dt 考虑（t,y 0 ）的某区域 R： t-t 0 a, y -y 0
解的存在唯一性定理：
b
如果g t , y 在域R上连续且关于y满足局部利普希茨条件， 则（61）存在唯一解y = t,t 0 , y 0 . 且 t 0 ,t 0 , y 0
取变换
n

n1
6.0
则6.0可用下列一阶方程 组代替：
y 1 z,y 2 z,,y n z n 1
dy1 dt y 2 dy 2 y 3 dt dy n 1 y n dt dy n g t, 1 ,y 2 , y n y dt
不含自变量、仅含有未知函数组成的空间称为相空间。 积分曲线在相空间的投影称为轨线。
它在 (t, x, y) 三维空间中 的积分曲线是一条螺旋线(如图 (a)),
为了画出方程组在相平面上的相图,我们求出方程组通解
x Acos(t α) y Asin(t α)
其中 A,
为任意常数.于是, 方程组的轨线就是圆族(图 (b)).
t
则称(5.1)的解 x (t, t0 , x1 ) 是渐近稳定的.
为了简化讨论，通常把解
x (t , t0 , x1 )
的稳定性化成零解的稳定性问题.下面记 x(t ) x(t , t0 , x0 ) (t ) (t, t0 , x1 )
作如下变量代换: 令
y(t ) x(t ) (t )
则
(6.2)
f (t , (t ) y) f (t , (t ))
dy dt

dx(t ) d (t ) f (t , x(t )) f (t , (t )) dt dt
注：F t,0 0
F (t, y)
d
于是在变换(6.2)下，将方程(6.1)化成

A/B
A/B 1 y 0 1
y
0
对一切t 0， A/B 同理y 0时， 1 1, 0 y 0 A/B
1 A/B At e y 0
y

1
A/B A/B At 1 e 1 y0
f (t , O) O
并有如下定义:
定义1 使当
对给定的 若对任意
x0 时有
t0 0 0
，存在 ( , t0 ) ，
x(t, t0 , x0 )
(6.4)
对所有的 t t0 成立，则称(6.1)的零解是稳定的. 反之是不稳定的. 定义2 若(6.1)的零解是稳定的，且存在δ1>0, 使当
对一切t t0成立，则称（6.1）的解x t,t0 ,x1 是稳定的。 否则是不稳定的。
假设
x (t , t0 , x1 )
是稳定的，而且存在
x0满足
1 (0 1 ) ，使得只要
x0 x1 1
就有 lim(x(t , t0 , x0 ) (t , t0 , x1 )) 0
连续，对 x 满足局部李普希兹条件. 设
方程(6.1)对初值 (t0 , x1 ) 存在唯一解
(t0 , x0 ) 的解记作 x x(t, t0 , x0 )现在的问题是：当 x0 x1 很小时，差 x(t, t0 , x0 ) (t, t0 , x1)
的变化是否也很小?
x ( xi2 )
, 它在区间 t-t
0
h上连续，
y
0
b 这里h min(a, ), M max g t , y (t,y)R M
解的延拓与连续性定理：
如果g t , y 在域G上连续且关于y满足局部利普希茨条件， 则（61）-(6. )唯一解y = t,t 0 , y 0 . 2 而 t,t 0 , y 0
因此以后仅考虑一阶方程组 dyi g i t, 1 ,y 2 ,y n , i 1,2,..., y n dt
向量形式为 其中
dy g t , y dt
y1 y 2 , y ... yn
g1 t , y1 , y 2 ,...,y n g t , y , y ,...,y n 2 1 2 g t , y ... g n t , y1 , y 2 ,...,y n
dx Ax, dt
k
(6.10)
由第五章知，它的任一解可表为形如
t (t ) e { ( A j E ) }v j , (5.52) i! j 1 i 0
它们共同的特点就是在不求出方程的 解的情况下,直接根据微分方程本身的 结构和特点,来研究其解的性质.由于这 种方法的有效性,近一百多年以来它们 已经成为常微分方程发展的主流. 本章对定性理论和稳定性理论的一些 基本概念和基本方法作一简单介绍.
注意：n阶微分方程可化为一阶微分方程方程组。如
z g t , z , z' ,z
A/B A/B 1 1 y0
y
0
A 所以ε 0,δ min ε , , y 0 B
δ时，
对一切t 0， y y
0
ε.
例2 考察系统
的零解的稳定性. 解 在 t 0 上，取初值为 (0, x0 , y0 ) x(t ) x0 et 2 2 其中 t x0 y0 0 y(t ) y0 e 1 1
有
x t x 0 δε

故该系的零解是稳定的.又因为
1 2 2 2 t 0 1 2 2 t 2 0
lim[ x (t ) y (t )] lim( x e y e ) 0
2 2 t t
可见该系统的零解是渐近稳定的.
dy F (t , y ) (6.3) dt 其中 F (t , y) f (t , (t ) y) f (t , (t )) 这样关于(6.1)的解 x (t )
.
的稳定性问题就化为(6.3)的零解y=O的稳定性问题了.因此， 我们可以在下文中只考虑(6.1)的零解x=O的稳定性，且假设
0 ，不管
1 2 2 t 0
由于函数et 随t 的递增而无限地增大. 因此,对于任意
(x y )
2 0
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1 2 2 0
取得怎样小，
只要t 取得适当大时，就不能保证 [ x2 (t ) y 2 (t )] 小于预先给定的正数
1 2
，所以该系统的零解是不稳的.
dx 例1 dt y dy x dt 方程组有特解 x cost, y sint .
例3 考察系统
的零解的稳定性. 解 方程组以 (0, x0 , y0 ) 为初值的解为
x (t ) x0 e t y (t ) y 0 e t 1
2 2 2
.
(t 0)
2 2t 0 1 2 2t 2 0
其中
2 0
2 2 x0 y0 0
[ x (t ) y (t )] ( x e y e ) ( x y ) e