常微分方程6.1 (2)
第六章微分方程
处的切线斜率等于2x的曲线方程.
解 设所求曲线的方程为 y f (x).
积分
dy 2x, dx
其中曲线过（3,5）点
y x2 C 求得C 4,
所求曲线方程为 y x2 4.
例 2 在直线轨道上，一个物体以 20m/s 的速度运动,
制动获得的加速度为 0.4m/s2,求开始制动后物体的运
g( y)
第二步
两边积分
1 g( y)
dy
f
(x)dx.
第三步 求出积分 G( y) F( 1 ，f (x)的原函数，C为任意常数. g( y)
分离变量，得 dy 2xdx y 0.
y
两边积分，得
1dy y
2
xdx,
即 y ex2 C1 eC1e ， x2
注意 如果不特别声明，也没有给出初始条件，解微 分方程就是求微分方程的通解.
例 3 、 验 证 : 函 数 x cos kt sin kt 是 微 分 方 程
d2 dt
x
2
k
2
x
0
的解.
解 求导，得 dx k sin kt k cos kt, dt
d2x dt 2
k 2
cos
kt
k2
sin
定义
如果微分方程的解中含有任意常数，且独立的任 意常数的个数与微分方程的阶数相同，则这样的 解叫做微分方程的通解.
例如 函数y x2 C C为任意常数是 dy =2x的通解.
dx
函数s
0.2t 2
C1t
C2(C1,C2为任意常数)是
d 2s dt 2
0.4的通解.
定义、如果微分方程的一个解不含任意常数，则称这个解 是微分方程的某一个特定条件下的解，简称为特解.
《高数》第6章
把 x t t 0 1, x t t 0 3 代入 x t c1 cos t c2 sin t 和
x t c1 sin t c2 cos t 得 c1 1, c2 3 ．故所求的解为： x t cos t 3sin t
得到通解
G ( y ) F ( x) c 1 其中G(y)与F(x)分别是 与f(x)的一个原函数， c是 g ( y) 任意常数，式(2)就是方程(1)的隐式通解. 第 三 步 ， 在 第 一 步 中 ， 用 g(y) 除 方 程 的 两 边 ， 而 g(y)=0 是 不 能 做 除 数 的 ， 所 以 对 g(y)=0 要 单 独 考 虑．由g(y)=0解出的y是常数，它显然满足原方程， 是原方程的特解，这种特解可能包含在所求出的通解 中，也可能不包含在所求出的通解中（此时要把它单 独列出）． 例1 分方程 y 2 xy 的通解．
例3(推广普通话问题) 在某地区推广普通话，该地 区的需要推普的人数为N，设t时刻已掌握普通话的 人数为p(t)，推普的速度与已推普的人数和还未推普 的人数之积成正比，比例常数为k＞0于是得到 dp kp ( N p ) dt
此方程称为logisitic方程，在生物学，经济学等学科 领域有着广泛应用． 定义1 含有未知函数的导数(或微分)的方程叫微分方 程．未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方 程．如 (1) y x dp kp ( N p ) (2) dt
y P ( x ) y Q ( x ) 的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)为Q(x)的已 知函数．当Q(x)不恒为0时，方程(5) 称为一阶线性非 齐次微分方程.当 Q( x) 0时，方程(5)变成 y P ( x ) y 0 该方程称为一阶线性齐次微分方程． 显然，一阶线性齐次微分方程是可分离变量的方 程．一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下： 第一步，先求解其对应的齐次方程： y P ( x ) y 0
常微分方程§6.1 自治系统与非自治系统6.1 自治系统与非自治系统
轨线只可能与奇点无限接近, 但不可能通过奇点, 否则与解的 唯一性相矛盾. 对于一给定的自治系统来说, 奇点或平衡位置是人 们关心的重要问题, 在奇点附近轨线的分布情况是多种多样的, 这 也是对自治系统进行研究的重要内容之一,本书对此不作进一步讨 论,有兴趣的同学可参考常微分方程教材,我们在此主要讨论奇点的 的稳定cos(t ), y sin(t ), 也是方程组的解,它的积分曲线是经过(,1, 0)的螺旋
线,但是它们与解x cos t, y sin t有同一条轨线 x2 y2 1.
同是,我们也可以看出, x cos(t ), y sin(t )
(6.1)称为非自治系统, (6.2)称为自治系统,
6.1.1 非自治系统与自治系统的主要区别
自治系统不论是在相空间还是增广相空间,轨线匀不相交. 而非自
治系统在增广相空间积分曲线不相交,但在相空间轨线可能相交.
定义6.1 若存在 x* D 使 f (x*) 0, 则点 x* 称为系统(6.2)
的积分曲线可以由x cost, y sin t的积分曲线向
下平移个单位而得到,由于的任意性,可知轨线
x2 y2 1对于着无数多条积分曲线.
为了画出方程组在相平 面上的相图,我们求得 方程组的通解为
x Acos(t )
y
A
sin(t
)
其中A,为任意常数.于是方程组的轨线就
下面通过一个例子来说明轨线与积分曲线的关系
dx dt
y
dy
dt
x
很明显方程(6.4)有一个特解x cost, y sin t, 它在三维空间(t, x, y)的积分曲线是一条螺旋 线如图(a),它经过(0,1,0),当t增大时, 螺旋线向 上盘旋. 上述积分曲线在xoy平面上的投影是 一个圆x2 y2 1,这个圆正是上述特解在xoy 上的相轨线.
第六章微分方程
第六章微分方程6.1微分方程的基本概念6.1.1微分方程的相关定义把联系自变量、未知函数、未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为常微分方程的阶任何代入常微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若常微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解.6.1.2微分方程的分类(1)未知函数(微分方程的解)是一元函数的微分方程称作常微分方程，是多元函数的叫做偏微分方程.(2)线性微分方程是指关于未知函数及其各阶导数都是一次方，否则称其为非线性微分方程。
如：x(y- yy' + x =0、y" + 7siny=0为非线性微分方程.6.2 一阶微分方程及方程的解一阶微分方程的一般形式为F(X, y, y 0或y' =F{x,y }.6.2.1可分离变量微分方程微分方程中的变量x，y可通过变形分列于等式两边，形如八亲I可化为g(ydy=f(xdx，对分离变量后的方程进行两边积分，则J g(y dy = J f (x dx，若设F(x )和G(x )分别是f(x )和g(x )的一个原函数，则有G(x)=F(x)+C，其中c 为任意常数.注：下文中的C、G、C2…C n都为任意常数，不再叙述.6.2.2 一阶线性微分方程形如y・+ P(x y =Q(x)的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)和Q(x)均为连续函数，若Q(x)=O则称为一阶线性齐次微分方程；否则称为一阶线性非齐次微分方程.(1) 一阶线性齐次微分方程y' + P(xly=o定理1如果函数y i与y是一阶线性齐次方程的两个特解,则Gy i +。
2丫2也是一阶线性齐次方程的解.注：可推广至更高阶的线性齐次微分方程定理2如果函数y i与y2是一阶线性齐次方程的两个线性无关的特解，则C i yi+C2y2是一阶线性齐次方程的通解.注：可推广至更高阶的线性齐次微分方程 y' + P(x y =0这是可分离变量方程，可解得y=Ce—J P(沖.⑵一阶线性非齐次微分方程y 7 P(X ” = Q(x ) 定理3设/是一阶线性非齐次方程的一个特解，丫是所对应的一阶线性齐次方程的通解,则丫中y *是一阶线性非齐次方程的通解.注：可推广至更高阶的线性非齐次微分方程定理4设一阶线性非齐次方程的右端f(X)= f i(x)+ f2(x)，而y1与y2分别是方程 y " + Py ' + qy = f i(x)与 y" + py' + qy = f2(x)的特解，那么 y：+ y；就是一阶线性非齐次方程的特解.注：可推广至更高阶的线性非齐次微分方程现在已经知道了一阶线性齐次线性微分方程的通解y =ce—H沖，可以将常数C 换成关于x的函数u(x )，即有假设的解为y = u(x e—H伸把 y = u(X e —H x dx代入 y'+p(x y 二 Q(x)，得 u Q(X』P(x dx两边积分有u(x)= j Q(xfe冋xdx+C i，则解为y=C i e—H沖+e T P(沖订Q(xe H沖dx，根据定理 3 得通解为 y=C2e —H xdx+e —FM .j Q a e FM dx.例6.1物体在重力的作用下受空气阻力下落，设阻力与物体下落的速度v=v(t )成 正比(比例系数为常数k )，物体的重量为m ，重力加速度为g ，请问下降速度 最大接近于多少？解：依据牛顿第二定律，得未知函数v(t )的微分方程为= mg - kv ，dt齐次线性微分方程 字+=v = g ，解得通解为v=Ce 益竺.dt m kf1-eI /很明显这是一增函数，当t T +oc 时，V T，即下降速度最大接近于 竺.kk623全微分方程(全微分详见8.2)如果一阶微分方程P (X, y dx + Q (x, ydy = 0，其中左边恰好是某个函数u (x, y 啲 全微分.显然 u(x"C、寻=Px,y h 斜Qx ,y、、二由皀=P (x,y )，两边对 x 积分得 u(x,y )= J P(x, y dx + B(y )， ex 再对 y 求导得 Qx, y J P (x,y dx +B '(y )， 先求出B'(y 再求出By )，即可得到通解.6.2.4通过变量代换得到以上三种基本类型的微分方程令U = y，即y = UX ，两边对x 求导得y '二U + xu'，化为可分离变量微分方程xf (u )=u +%业求出通解方程.dx(2) y'= f (ax +by +c X ab H 0)化为非由题意得t = 0时v =0，代入通解得C =-聖，故相应的特解v =聖 kk (1)八 f - Il x 丿令u=ax+by+c ，两边对x 求导得u'=a + by'，化为可分离变量微分方程dx=a +b f(u求通解.2必 + b,y+c,、 、a 2x + b 2y+C 2 丿① a i b 2 =a 2bibl= 令u =a i X+b i y ，两边对x 求导得『=a i +b i y ，，化为可分离变量微分方程d u =a i+b i f+ C 2丿求通解.② a 1b^a 2b 1若®邛为方程组a ：：：：y y ；2的解’令u= x -a V = y - P ，则原方程可化律山+biV ' ¥ +b 2V 丿，化为⑴类型的方程誥芒V ai 5 — U ,V a 2 + b2 — I u 丿⑷ 伯努利方程 y '+p (X A = q (x H 0,1) 令u -y 1^，两边对x 求导得u = (1-aH£y ， 化为一阶线性微分方程dux +H-bm-^x )求通解. 6.3二阶常系数线性微分方程 形如y" + py' + qy =f(x)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实 数，若f(X)=0则称为二阶常系数线性齐次微分方程； 否则称为二阶常系数线性 非齐次微分方程. 6.3.1二阶常系数线性齐次微分方程 y"+p y' + qy=0 由于指数函数y=e rx(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子，所以就用y =e rx来试着看能否选取适当的常数r ,使y =e rx满足二阶常系数线性齐次方(3)八 f若=^b a i b 2把y =e rx 代入二阶常系数线性齐次方程有：(r 2 + pr + q)e rx=0，因为e" H 0,所以只 r + pr +q =0. (1) p 2 -4q>0 由于 r 2 + pr+q=0 的两个解：r^~^^^~4q ，r 2 = 一 p 一“ p2 r i所以yi=e rix , y^e r2X 是二阶常系数线性齐次方程的两个特解 ，且 -二e2)xH 常数，即y i 与y 2线性无关, y 2 则根据定理2, 二阶常系数线性齐次方程的通解为 y = C i e rix + C 2e 护⑵ p 2-4q=0 r 2+ pr +q =0只有一个解：r i 二一：•这时只能得到二阶常系数线性齐次方程的 一个特解还需求出另一个解/且使弋’常数,设w=u(x ),即假设y 2 =e rix u(x),将y 2 =e rix u(x)代入二阶常系数线性齐次方程，得:e"" (ir+2ru' + r 2u) + p(U + ru) +qu] = 0 , 整理得：e^ U " + (2r + p)u ' + (r 2 + pr + q)u 】=0 . 由于 e " H0,所以 u“ + (2r + p)u' + (r 2+pr+ q)u=0，又因为 r 2 + pr+ q = 0， 2r + p=0，从而有昇=0，不妨取u = x,可得到二阶常系数线性齐次方程的另 一个解 y 2 -xJ. 根据定理2,二阶常系数线性齐次方程的通解为 y = (C i + C 2x)e rx. ⑶当 p 2 -4q <0 r 2+ pr +q =0有一对共轭复根 口 =a +i P ,r 2 =« -i P于是 y i =e (， y 2 =e (根据欧拉公式e^ =cosx±isinx，贝U有% = e^+P x =尹.e i妝=尹(cos P x + i sin P x)；y2 =e©丄p x =尹e」及=e^(cosPx -i sin Px)，为了去掉虚数，根据定理1,又得到两个解:1 _ 1y i =2(y i +y2) =e®cosPx; y2 =牙(丫1 -y?) =e農sin P x，e® sin P x逢=tan P x K常数，即-与y；线性无关,e cos nXy i根据定理2,二阶常系数线性齐次方程的通解为y = e疫(C i cosPx + C? sin Px).6.3.2二阶常系数非齐次线性微分方程/ + Py' + qy = f(x)⑴f(X)=“P m(X)(A为常数，P m(X)是关于X的一个m次多项式)二阶常系数线性非齐次方程右端f(X)是多项式P m(X)与指数函数/乘积，它导数仍为同一类型函数，因此二阶常系数线性非齐次方程的特解可能为尸=Q(x)e'X,其中Q(X)是某个多项式函数.把尸=Q(x)e^代入二阶常系数线性非齐次方程并消去e样,得Q"(x) + (2A+ p)Q '(X)+ (汇+ q)Q(x) = P m(X).①若入不是特征方程r2+ pr + q = 0的根即法+ p入+ qHO，要使上式等式两边相等，Q(x)必然为另一个m次多项式Q m(x)，则二阶常系数线性非齐次方程的特解形式为尸=Q m(x)e" 令Q m(X)=b o+b i X+b2X2+…+b m X m，再把特解代入原方程，并比较两端关于X同次幕的系数,就得到关于未知数b0,b i,…，b m的m+1个方程.联立解方程组可以确定出b(i =0,1,…，m).②若入是特征方程『+ pr + q = 0的单根即入+ q=o, 2A +P H O,要使上式成立，则Q'(x)必然是m次多项式函数，于是令Q(x)=xQ m (x)，则二阶常系数线性非齐次方程的特解形式为y =xQ m (x)e&同①用同样的方法来确定Q m (x)的系数. ③ 若几是特征方程r 2+ pr + q = 0的重根,即A + p h +q =0, 2A + P =0，要使上式成立,则Q"(x)必须是一个m 次多项式, 可令Q(x) =x 2Q m (x)，则二阶常系数线性非齐次方程的特解形式为 y =x 2Q m (x)e x. 同①用同样的方法来确定Q m (x)的系数. 最后根据定理3求出原方程的通解.例6.2求方程y " -2y' + y = (x -1®的通解. 解:先求对应齐次方程Y “ -2Y Q Y = 0的通解.特征方程为r 2-2r +1 =0,解得ri =1, 则齐次方程的通解为丫 = (C i +C 2X)e X . 由于1是特征方程的二重根，(x-1)是关于x 的一次多项式, 所以设非齐次方程特解形式为 y = X 2(ax +b)eX ，11 把它代入所给方程，并约去e x得6ax +2b=x-1，比较系数，得62于是非齐次方程的特解为 / = x 2(--1)e x，6 2所给方程的通解为y = Y + y * = (G +C 2X -丄X 2+丄x 3)e x.2 6⑵ f(x)=e^P m (x)s in P x + Qn (x )cos P x ] (A 为常数，P m (x)、 个m 次、n 次多项式)应用欧拉公式 e^ =cosx±i sin X，有 cosx = ------ ； sin x=2把三角函数表示为复变量指数函数的形式，有「 卩X + __B Xp x __B x ■f(X)=e ^ P m (x)si n P x +Q n (x )cos P x ]= e 'X|P m (X)e e +Q n (x )e eQn (X )是关于x 的一ix鸟 e - e2iL 2 2i J+ Qn(x)1e附X +[Pm(X)_Qn(X)le』x2i」L 2 2i」‘由于乎+学是］十如｝次多项式，根据⑴类型可知,y" + py' +qy =『'x〉+ 笃,)”(沸＞的特解为y, = 沸x，其中当几± P i为特征方程r2+ pr +q =0的根时，k =1 ；当几± P i不为特征方程2r +p r+q=O 的根时，k=0 ；空-2凹也是I =max｛m,n｝次多项式，根据(1)类型可知,又由于空2 2iy“ + Py'+qy = $2°- Qi*〉*'®x的特解为丫2审(x) = x k§(xe S® X其中当A ± P i为特征方程r2+ pr+q=0的根时，k = 1 ；当几± P i不为特征方程2r + pr + q = 0 的根时，k = 0 ,那么根据定理4,当f(x) =MP m(x)sinPx + Qn(x)cosPx］时的特解形式为y—x k R(xe pM 八x k S l(X=x k e'x Ri(X I cos P x +i sin P x)+ S (x I cos P x- i sin P x 9=x k e'x{R|(x)+ S l(X j cos P x + i R(X )-S|(X』sin P x〉=x k e赵T l(X JcosPx +U I(X )sin P x】其中T|(X)、U|(X都是l n｝次多项式，当几±丙为特征方程r2+ pr + q = 0的根时，k =1 ；当几± P i不为特征方程r2+ pr + q = 0的根时，k = 0 .同①用同样的方法来确定T i(x)、U i(x)的系数.最后根据定理3求出原方程的通解.例6.3 求 y " + y =cosxcos2x 的通解.解：先求出相应的齐次方程Y"+Y=O的通解，再求出原方程的特解.由于特征方程丫2 +1=0的根为±i , 所以相应的齐次方程通解为丫=C i C0Sx+C2Sinx.1由于 cosx COS2X = - (COSX + cos3x )2 ，1 1根据定理4,可以先分别求出宀r cosx 与宀y=2cos3x 的特解y ；与y r ，y r + y2审就是原方程的特解,由于±i 是特征方程y 2+1 =0的根,所以y " + y=-cosx 的特解形式为％* = Axcosx + Bxsi nx ,代入原方程，得出 1X A =0, B =-即特解为 y j =-sinx ；4 4 1 (1)同理 y " + y = —cos3x 的特解为 y 2 =- —cos3x .2 16 则原方程的特解为y M = y / + y / =-sin x —丄cos3x ,4 16X1又根据定理3,原方程的通解为y=C 1cosx+C 2sinx + 4sinX-16cos3x.6.4二阶变系数线性微分方程形如y “ + p （xy ' + q （x ）y=f （x ）的方程称为二阶变系数线性微分方程.其中P（x ）、q （X ）和f （X ）均为连续函数，若f （X ）= 0则称为二阶变系数线性齐次微分方程； 否 则称为二阶变系数线性非齐次微分方程6.4.1二阶变系数线性齐次微分方程 y "+ p （xy ' + q （x ）y = 0二阶变系数线性齐次微分方程没有固定解法，下面只对几种特殊情况下的方程列 出求通解的方法.（1）二阶欧拉齐次方程（多阶类似）形如x 2y" + pxy' + qy=0 （ p 和q 均为常数）称为二阶欧拉齐次方程，令 e t，即将变量由X 换成t ，则有鱼=业生=e 丄鱼=丄史,dx dt dx dt X dtf -^t d 2y dt dy _ 1 ©y dy ' I dt 丿 dt 2 dt X 2 [dt 2dt 丿 将这些关系代入原方程，化成了二阶常系数线性齐次方程d 2y d f dy 、dt - 2- = — — I —-t d =e 一 dty i两端积分得v (x 的—个解：y 「eT p汁 所以相应的u (x )= j(y 「e ， 则 y 2 = yi J(y 「e "。
高数应用数学 第6章 常微分方程
dV (200h h2 )dh,
(2)
比较(1)和(2)得: (200h h2 )dh 0.62 2gh dt,
100 cm
(200h h2 )dh 0.62 2gh dt,
即为未知函数的微分方程.
可分离变量
dt (200 h h3 )dh, 0.62 2g
t (400 h3 2 h5 ) C,
代入M t0 M0 得 M0 Ce0 C ,
M M0et
衰变规律
例4 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流
出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满 了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与 孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.
解 由力学知识得,水从孔口流出的 流量为
一、问题的提出
数学知 识
基本科 学原理
微分 方程
例 1 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶,当制动
时列车获得加速度 0.4米/秒 2,问开始制动后多少时间列
车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？
解： 设制动后 t 秒钟行驶 s 米, s s(t)
d 2s dt 2
0.4
t 0时, s 0,v ds 20, dt
2.微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数 的个数与微分方程的阶数相同.
例 y y,
通解 y Ce x;
y y 0, 通解 y C1 sin x C2 cos x;
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.
初始条件: 用来确定任意常数的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族.
《常微分方程》第六章 非线性微分方程
定理6.1 (稳定性的Liapunov判别法) 设有定义在 D Rn
上的定正(定负)函数 V (x), dV dt
(6.2)
表示 V (x) 沿系统(6.2)的轨线
的全导数
dV (1) 若 dt (6.2)
dV (2) 若 dt (6.2)
在 D 上是常负(常正)的,则 x 0 是稳定的; 在 D 上是定负(定正)的,则 x 0 是渐近稳定的;
称为 x 0 吸引域;如果吸引域是全空间,则称 x 0 是全局渐近
稳定的.
(3) 若 0 0, 0, 都 x0 与 t1 t0 , 使 x0 ,
但 x(t;t0, x0 , 则称 x 0 是不稳定的;
例如, 微分方程 dx ax
dt
满足初值条件 x(t0 ) x0 ,
(a)
(b)
又知,对任意常数,函数x cos(t ), y sin(t ), 也是方程组的解,它的积分曲线是经过(,1, 0)的螺旋
线,但是它们与解x cos t, y sin t有同一条轨线 x2 y2 1.
同是,我们也可以看出, x cos(t ), y sin(t )
(6.1)称为非自治系统, (6.2)称为自治系统,
6.1.1 非自治系统与自治系统的主要区别
自治系统不论是在相空间还是增广相空间,轨线匀不相交. 而非自
治系统在增广相空间积分曲线不相交,但在相空间轨线可能相交.
定义6.1 若存在 x* D 使 f (x*) 0, 则点 x* 称为系统(6.2)
的解为
x x0ea(tt0 ) .
6.3 判定稳定性的Liapunov函数法
定义6.3 设 D x x H Rn,V C(1) (D).
常微分方程数值解欧拉方法
yn1
yn
h 2
f (xn , yn ) f ( xn1, yn1)
y%n1 yn hf ( xn , yn )
yn1
yn
h 2
f (xn , yn ) f ( xn1, y%n1)
也叫预报-校正公式 改进的欧拉公式
例6.1 欧拉公式求解
f(0,0)的处理（也可以 理解为一种近似）
有精确解，一起比较 看教材
补例子：欧拉(Euler)方法
例 用欧拉法求初值问题
y
'
0.9 1 2x
y
y(x0 ) 1 x0 0
当h = 0.02时在区间[0, 0.10]上的数值解
f (x, y) 0.9 y 1 2x
yn1 yn hf ( xn , yn )
yn1
yn
h 0.9 1 2xn
h ba n
x0 x1 x2
xi
xi+1
xn
一. 欧拉方法
1. 差分方法
差分和差商
y(x0 )
y1 x1
y0 x0
y1
h
y0
f
(x0 , y0 )
y1 h
y0
y1 y0 hf (x0 , y0 )
yn1 yn hf (xn , yn )
用差商代替导数, 将微分方程离散化, 得到递推公式
已知初值y0,依据递推公式 yn1 yn hf (xn , yn ) 逐步算出y1,y2, …, yn,yn+1 , 递推公式又称为差分格式或 差分方程，它与常微方程的误差称为截断误差
几何意义：用折线近似曲线y=y(x), 欧拉法又称为折线法
2. 数值积分方法（也可导出欧拉公式）
微分方程及其应用
x 1 y 2
解 分离变量,得
两端积分, 得
1 1 1 ln 1 y 2 ln 1 x2 ln C 2 2 2
即原方程的通解为
由 y x 1 1得, C 4,
1 x 1 y C
2 2
因此, 满足初始条件的特解为
1 x 1 y 4.
t 0
பைடு நூலகம்
0
于是所给问题归结为求解初值问题
dv m mg kv dt v t 0 0
分离变量得,
dv dt mg kv m
两边积分得,
dv dt mg kv m
1 t ln mg kv C1 k m
k t mg 整理得, v Ce m k
1 2Cx2 2 Cx2 1 2Cx2 2Cx2 1 1 0 2
1 y Cx 2 是所给方程的解. 2
又 1 中含有一个任意常数C，而所给方程又是一阶微分方程， 2 1 y Cx2 是所给方程的通解. 2 y Cx 2
解
分离变量，得 ydy = -xdx ,
1 2 1 2 两边积分得 y x C1 2 2
即 x2 y 2 C
C 2C1 为所给方程的通解.
例4 求方程
dy 满足初始条件 y x 1 1 的特解. 2 dx y 1 x
y x dy dx 2 2 1 y 1 x
1 x C2ex x C1 C2ex C1x C2ex 0
y C1 x C2e x 是微分方程 1 x y xy y 0 的解
又
y C1 x C2 e x 中含有两个任意常数，而所给方程又是二阶的，
《高等数学》第6章常微分方程知识讲解
微分方程的通解
如果微分方程的解中含有任意常数,且相互独立的任意
常数的个数与微分方程的阶数相同,则这样的解称为微
分方程的通解.
例 函 S 数 0 .4 t2 ct c是微 d 2 S 分 0 .8 的 方 .通 程
12
d2 t
注 形y如 n fx的微分 ,只方 要程 通过 (n次 逐 ), 次积
方程的阶.
例dy 2x是一阶微 ,d2S分 0.8方 都程 是二阶 . 微
dx
d2t
注 通 n 阶 常微分方 为 F 程 (： x,y,y 的 ,y, 一 ,yn)般 0 .
微分方程的解
若把某个函数代入微分方程后,使该方程成为恒等式,则 这个函数称为微分方程的解.
例函数 yx2c和yx2都是微分方 . 程的解
德育目标
培养学生小心求证，大胆应用于实际的综 合能力.
6.1 微分方程的基本概念
通过实际例子；了解微分方程的 概念和微分方程的阶的概念；掌 握求微分方程通解的方法；能够 利用初始条件求微分方程的特解.
6.1.1 实例分析
想一想：
已知曲线上各 斜点 率的 等切 于线 该点 二横 倍 ,且 坐过 标的
0.8,
dt2
且满足条件:t 0时S 0,v dS 40(或写成S(0) 0,S(0) 40). dt
将d2S 0.8两端对x积分,得v dS 0.8t c .再积分一次,得
dt2
dt
1
S 0.4t2 ct c (其中c ,c 都是任意常数 ).将所满足的条件代入
1
2
12
上式,得:c 40,c 0.于是,路程S关于时间t的函数为:
10
时间的函数关系式.
6.2 一阶微分方程
微分方程及其应用的基础知识
6.2 一阶线性微分方程
6.2.1 一阶线性微分方程
1．定义： 形如
dy P x y Q x (1)
dx
的方程，称为一阶线性微分方程，其中P(x)、Q(x)是已知的连
续函数, Q(x)称为自由项．
特点： 方程中的未知函数y及导数 dy
2．分类
dx
若 Q(x)= 0, 即
dy P x y 0
程． 解 设鱼雷的航行曲线方程为 y = y(x)，
在时刻，鱼雷的坐标为P(x,y)，敌舰
的坐标为Q(1, v0t)． 因为鱼雷始终对准敌舰，所以
y v0t y 1 x
即
v0t y1 x y
又OP 的长度为
x 0
1 y2 dx 2v0t
23
从上面两式消去v0t得：
y1 x y 1
解 设任一时刻t的电流为i．
我们知道，电流在电阻R上产生一个电压降uR = Ri，
di
在电感L上产生的电压降是
uL
L dt
由回路电压定律知道，闭合电路中电动势等于电压降之和，即
亦即
uR uL E
Ri
L
di dt
E0
sin
wt
整理为
di R i E0 sin wt
①
dt L L
18
式①为一阶非齐次线性方程的标准形式，其中
x 1
解 P x 2 ， Q x x 13
x 1
由公式可得
y
e
2 dx x 1
x
1
3
e
2 dx
x1 dx
C
x
12
x
13
x
1
12
dx
第6章 常微分方程
下面求h(x), 对(1)求导, 得：
y h(x)eP(x)dx P(x)h(x)eP(x)dx
07:57
18
代入标准方程
h(
x)e
P(
x)dx
P( x)h( x)e P( x)dx
P(x)
y
Q(x)
h(x)eP(x)dx Q(x) h(x) Q(x)eP(x)dx
h(x)
Q(
x)e
07:57
17
2. 解非齐次方程 dy P(x) y Q(x) dx
改写为 dy Q(x) dx P(x)dx
yy
两边积分
ln
y
Q(x) y
dx
P(x)dx
令 Q(x) dx u(x) y eu(x)eP(x)dx y
令 h(x) eu(x) y h(x)eP(x)dx (1)
例6.2.9 (饮食与体重模型)某人每天从食物中获取 10500J热量,其中5040J用于基础代谢。他每天的活
动强度，相当于每千克体重消耗67.2J。此外,余下 的热量均以脂肪的形式储存起来,每42000J可转化 为1kg脂肪。问：这个人的体重是怎样随时间变化
的,会达到平衡吗?
解：设体重w是时间t的连续函数,依题意：
dx kx (k 0) dt
两边积分
dx x
kdt
C 0或C eC1
ln x kt C1 即 x Cekt (C为任意常数) 又因x(0) x0为已知,故特解为 x x0ekt
07:57
6
例6.2.2 (自然生长模型) yy(t)表示一种生物在时 间t时种群总数,开始时种群总数y(0)y0, n,m分别表 示该总群的出生率和死亡率,实践证明nmrky,其 中r>0, k>0,试求该总群自然生长规律。
方程求根与解常微分方程
第6章方程求根与解常微分方程6.1实验目的了解微分方程的通解、特解和近似解的概念。
熟悉方程求根和常微分方程解的概念，熟悉Mathematica软件的方程求根和求常微分方程解的命令，掌握用数学软件处理方程求根和常微分方程解的有关问题．6.2实验准备6.2.1数学概念1．微分方程2．微分方程的通解、特解6.2.2数学软件命令1. Solve[eqn, x]功能：求多项式方程eqn的所有根，当多项式方程的次数n≤4时，给出eqn所有根的准确形式, 当n>4时，不一定能求出所有的根, 此时，命令输出形式为{ToRules[Roots[eqn, x ]]}n次多项式方程的一般形式为:2 012nna a x a x a x++++="式中a0 ,a1, a2,…,a n为常数。
2.Solve[{eqn1, eqn2, …, eqnk}, {x1, x2,…, xk}]功能：求多项式方程组{eqn1, eqn2, …, eqnk}的所有根, 当其中每个多项式方程的次数n4 时, 给出所有根的准确形式, 否则，不一定能求出所有的根, 此时，命令输出形式为{ToRules[Roots[{eqn1, eqn2, …, eqnk}, {x1, x2,…, xk} ]]} 。
3. NSolve[eqn, x]功能：求多项式方程eqn的所有根的近似形式。
4. NSolve[{eqn1, eqn2, …, eqnk}, {x1, x2,…, xk}]功能：求多项式方程组{eqn1, eqn2, …, eqnk}所有根的近似形式。
5. FindRoot[eqn, {x, x0}]功能：求方程eqn的在初值x0附近的一个近似根。
6. FindRoot[{eqn1,eqn2, ... }, {x, x0}, {y, y0}, ... ]功能：求方程组{eqn1, eqn2, …}在初值(x0,y0,…)附近的一个近似根。
高等数学 第六章
(6-16)
式(6-16)就是通过常数变易法得到的式(6-12) 的通解. 我们不主 张读者在求解每一道阶线性微分方程的题目时都用该方法,而 是要求大家熟记并直接利用式(6-16)解题,前提是你首先需要把 所给的方程写成式(6-12)的形式或明确方程中哪些因子是p(x) 和q(x) . 公式中出现了三次不定积分的求解,结果都不需要带不 定常数,只需找一个原函数即可.
yn1 f (x)dx C1 F1 x C1
其中,假定F1(x) 为f(x) 的原函数. 现对yn-1 积分一次,则y(n-1) 可降一次阶,即
yn2 F1(x)dx C1x C2 F2 x C1x C2
6.1.4 高阶微分方程
其中,假定F2(x) 为F1(x)的原函数. 现对y(n-2) 积分一次,则n-2 可降一次阶,可得
解 方程两边同除以m 并整理得
dv k v g dt m 这是一阶线性微分方程,由式(6-16)得它的通解
v
e
k dt m
ge
k dt
m dt
C
e
k dt m
g
e
k m
dt
dt
C
kt
em
mg k
k gt
em
C
mg k
k gt
Ce m
例6.2.5 跳伞运动员降落过程的运动方程是
称
dy p(x) y 0 dx
(6-13)
为一阶齐次线性微分方程,简称为式(6-12)对应的齐次方程.
下面我们来求式(6-12)的通解. 为此,先求式(6-13)的通解. 分
离变量得 积分得
dy p(x)dx y
dy y
p( x)dx
即
第二节可分离变量的常微分方程
分离变量并积分得通解
r 2 2 g hC t 2 2R
将初始条件 h |t 0 h0 代入上式得 C
r 2 2 g h h0 t 2 2R
h0 ，所以特解为
在上式中令 h =0，即可得到水从罐中全部流出所需要的时间为 2 R 2 h0 t 2 r 2g
1 2 把题中数据 h0 6 米， r 米， 0.6 ，g 9.8 米/ 秒 12
第二节 可分离变量的常微分方程
定义 6.1 的连续函数.
dy 形如 dx f ( x ) g( y ) 的微分方程， 称为可
分离变量方程．其中 f ( x), g( y ) 在所考虑的范围内是已知
解法 1.分离变量:
2.两边积分
dy f ( x )dx g( y )
dy f ( x )dx g( y )
即
1 y 2 C(1 x 2 ) 是方程的通解
dy 2 y cos x 例 6.4 求微分方程 dx
解
满足 y x0 1 的特解．
dy 把方程分离变量，得 2 cos x dx y
两边积分，得
将y
x 0
1 sin x C y
1 代入上式可得
C = －1
所求的特解为
设函数G ( y ) 和 F ( x ) 是依次为 g(1y ) 和 f ( x ) 的原函数,
G( y ) F ( x ) C 为微分方程的解.
这种解法叫分离变量法
dy y 例1 求微分方程 的通解 dx x
解 分离变量
dy 1 dx y x
两端积分
dy 1 y xdx
令 C e 1 ，通解可化为
常微分方程§6.1 自治系统与非自治系统6.1 自治系统与非自治系统
轨线只可能与奇点无限接近, 但不可能通过奇点, 否则与解的 唯一性相矛盾. 对于一给定的自治系统来说, 奇点或平衡位置是人 们关心的重要问题, 在奇点附近轨线的分布情况是多种多样的, 这 也是对自治系统进行研究的重要内容之一,本书对此不作进一步讨 论,有兴趣的同学可参考常微分方程教材,我们在此主要讨论奇点的 的稳定性.
6.1.2 相平面、相轨线与相图
dx
dt dy
dt
P(x, Q(x,
y) y)
(6.3)
我们把平面xoy称为(6.3)的相平面,而把(6.3)的解在平面 上的轨迹称为(6.3)的轨线或相轨线.轨线族在相平面上 的图像称为(6.3)的相图.
容易看出,解x x(t), y y(t)在相平面中的轨线正是这 个解在(t, x, y)三维空间中的积分曲线在相平面上的投 影.由相轨线来研究方程(6.3)的通解比用积分曲线要方 便得多.
是圆族.如图(b)
特别,x=0,y=0也是方程组(6.3)的解,它的轨线 就是原点O(0,0).
下面通过一个例子来说明轨线与积分曲线的关系
dx dt
y
dy
dt
x
很明显方程(6.4)有一个特解x cost, y sin t, 它在三维空间(t, x, y)的积分曲线是一条螺旋 线如图(a),它经过(0,1,0),当t增大时, 螺旋线向 上盘旋. 上述积分曲线在xoy平面上的投影是 一个圆x2 y2 1,这个圆正是上述特解在xoy 上的相轨线.
的积分曲线可以由x cost, y sin t的积分曲线向
下平移个单位而得到,由于的任意性,可知轨线
第六章 常微分方程
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6.1 可分离变量的微分方程 6.2 一阶线性微分方程 6.3 二阶常系数齐次线性微 分方程
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高等数学-第6章-常微分方程【可编辑全文】
6.3.3 形如 的y 方f 程y, y
6.4 二阶线性微分方程解的结构
6.4.1 二阶线性微分方程的一般形式 6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构 6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.1 二阶线性微分方程的一般形式
6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构
6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构
6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构
6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.5.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解
6.5.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解
6.6 微分方程的简单应用
微分方程是利用一元微积分解决实际问题的重要数学工具．现实世 界中，能用微分方程建模研究的实际问题有很多，涉及的领域包括物理 学、化学、经济、生物、军事、资源等．下面举几个简单的例子，说明 如何运用微分方程解决实际问题．
6.3.1 形如 y'' f (x) 的方程 6.3.2 形如y'' f (x, y ') 的方程 6.3.3 形如y f y, y 的方程
6.3.1 形如 的y方'' 程f (x)
6.3.2 形如 的y''方f (程x, y ')
6.3.2 形如 的y''方f (程x, y ')
6.3.2 形如 的y''方f (程x, y ')
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n
n1
6.0
则6.0可用下列一阶方程 组代替：
y 1 z,y 2 z,,y n z n 1
dy1 dt y 2 dy 2 y 3 dt dy n 1 y n dt dy n g t, 1 ,y 2 , y n y dt
f (t , O) O
并有如下定义:
定义1 使当
对给定的 若对任意
x0 时有
t0 0 0
，存在 ( , t0 ) ，
x(t, t0 , x0 )
(6.4)
对所有的 t t0 成立，则称(6.1)的零解是稳定的. 反之是不稳定的. 定义2 若(6.1)的零解是稳定的，且存在δ1>0, 使当
连续，对 x 满足局部李普希兹条件. 设
方程(6.1)对初值 (t0 , x1 ) 存在唯一解
(t0 , x0 ) 的解记作 x x(t, t0 , x0 )现在的问题是：当 x0 x1 很小时，差 x(t, t0 , x0 ) (t, t0 , x1)
的变化是否也很小?
x ( xi2 )
,
A=1， =0 时，
相平面上的 所有轨线
（b） (a)
二维零解的稳定性：
（a）稳定
t t
t x( ) 解x( )= t 的轨线 t y( )
G G
（b）不稳定
t
o
δ
t
o
δ
0
点 代 表 零 解
δ
t
t
o
（c）渐进稳定
G
§6.1.3 按线性近似决定微分方程组的稳定性 考虑
它们共同的特点就是在不求出方程的 解的情况下,直接根据微分方程本身的 结构和特点,来研究其解的性质.由于这 种方法的有效性,近一百多年以来它们 已经成为常微分方程发展的主流. 本章对定性理论和稳定性理论的一些 基本概念和基本方法作一简单介绍.
注意：n阶微分方程可化为一阶微分方程方程组。如
z g t , z , z' ,z
例3 考察系统
的零解的稳定性. 解 方程组以 (0, x0 , y0 ) 为初值的解为
x (t ) x0 e t y (t ) y 0 e t 1
2 2 2
.
(t 0)
2 2t 0 1 2 2t 2 0
其中
2 0
2 2 x0 y0 0
[ x (t ) y (t )] ( x e y e ) ( x y ) e
, 它在区间 t-t
0
h上连续，
y
0
b 这里h min(a, ), M max g t , y (t,y)R M
解的延拓与连续性定理：
如果g t , y 在域G上连续且关于y满足局部利普希茨条件， 则（61）-(6. )唯一解y = t,t 0 , y 0 . 2 而 t,t 0 , y 0
G可以延拓,
或者延拓到 (或 )；或者使解曲线任意接近G的边界。
作为t,t , y
0
0
的函数在它的存在范围内是连续的。
考虑微分方程
6.1.2 李雅普诺夫稳定性
dx f (t , x) 6.1 dt n f (t , x) 对 x D R 其中函数 t (-∞,+∞)
第六章 非线性微分方程和稳定性
§6.1 引言
在19世纪中叶,通过刘维尔的工作,人们已经知道绝大多数 的微分方程不能用初等积分方法求解. 这个结果对于微分 方程理论的发展产生了极大影响, 使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着 不可克服的局限性, 那么是否可以不求微分方程的解,而是从微分方程本身来 推断其解的性质呢? 定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的. 前者由法国数学家庞加莱(Poincaré,1854-1912)在19世纪 80年代所创立， 后者由俄国数学家李雅普罗夫(Liapunov,1857-1918)在同 年代所创立.
有
x t x 0 δε
故该系的零解是稳定的.又因为
1 2 2 2 t 0 1 2 2 t 2 0
lim[ x (t ) y (t )] lim( x e y e ) 0
2 2 t t
可见该系统的零解是渐近稳定的.
dy F (t , y ) (6.3) dt 其中 F (t , y) f (t , (t ) y) f (t , (t )) 这样关于(6.1)的解 x (t )
.
的稳定性问题就化为(6.3)的零解y=O的稳定性问题了.因此， 我们可以在下文中只考虑(6.1)的零解x=O的稳定性，且假设
x0 1 时有
lim x(t , t0 , x 0 ) 0
t
则称(6.1)的零解是渐近稳定的.
如图
y
dy Ay By 2 考虑一阶方程 dt 其 中 A, B为 常 数 ， A B 0
y
o
y1=0
t o
y1=0
t
(a) A>0,B>0 (a) A<0,B<0
考虑一阶方程 dy Ay By 2 dt 其 中 A, B为 常 数 ， A B 0
t
则称(5.1)的解 x (t, t0 , x1 ) 是渐近稳定的.
为了简化讨论，通常把解
x (t , t0 , x1 )
的稳定性化成零解的稳定性问题.下面记 x(t ) x(t , t0 , x0 ) (t ) (t, t0 , x1 )
作如下变量代换: 令
自治系统（或驻定方程组）：右端不显含t
dx dt X x, y dy Y x, y dt
6 . 1 3
同 时 满 足 Xx ,y 0, Y x ,y 0的 点 x , y , 称 为6.13的 奇 点
显 然 x x , y y 是 方 程 的驻 定解。
A/B
A/B 1 y 0 1
y
0
对一切t 0， A/B 同理y 0时， 1 1, 0 y 0 A/B
1 A/B At e y 0
y
1
A/B A/B At 1 e 1 y0
对一切t t0成立，则称（6.1）的解x t,t0 ,x1 是稳定的。 否则是不稳定的。
假设
x (t , t0 , x1 )
是稳定的，而且存在
x0满足
1 (0 1 ) ，使得只要
x0 x1 1
就有 lim(x(t , t0 , x0 ) (t , t0 , x1 )) 0
因此以后仅考虑一阶方程组 dyi g i t, 1 ,y 2 ,y n , i 1,2,..., y n dt
向量形式为 其中
dy g t , y dt
y1 y 2 , y ... yn
g1 t , y1 , y 2 ,...,y n g t , y , y ,...,y n 2 1 2 g t , y ... g n t , y1 , y 2 ,...,y n
对一切t 0， A A/B 0 y 时， 1 0, 0 B y 0
A/B 1 y 0 1 eAt A/B 1 y 0 1
A/B y 0
y
A/B
A/B 1 y 0 1 e At
i 1 n 1 2
x (t, t0 , x1 )
如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间， 那么这是解对初值的连续依赖性,第2章的定理2.7已有结论. 现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间， 那么解对初值不一定有连续依赖性(见下面的例3)， 这就产生了李雅普诺夫意义下的稳定性概念.
如果对于任意给定的ε 0,都存在δ δ ,t0 ， ε 使得只要x 0满足 就有 x1 x 0 δ x t,t0 ,x 0 t,t0 ,x1 ε
y(t ) x(t ) (t )
则
(6.2)
f (t , (t ) y) f (t , (t ))
dy dt
dx(t ) d (t ) f (t , x(t )) f (t , (t )) dt dt
注：F t,0 0
F (t, y)
d
于是在变换(6.2)下，将方程(6.1)化成
dy g t , y (6.1) y (t 0 ) y 0 (6.2) dt 考虑（t,y 0 ）的某区域 R： t-t 0 a, y -y 0
解的存在唯一性定理：
b
如果g t , y 在域R上连续且关于y满足局部利普希茨条件， 则（61）存在唯一解y = t,t 0 , y 0 . 且 t 0 ,t 0 , y 0
0 ，不管
1 2 2 t 0
由于函数et 随t 的递增而无限地增大. 因此,2 2 0
取得怎样小，
只要t 取得适当大时，就不能保证 [ x2 (t ) y 2 (t )] 小于预先给定的正数
1 2
，所以该系统的零解是不稳的.
dx 例1 dt y dy x dt 方程组有特解 x cost, y sint .
A/B A/B 1 1 y0
y
0
A 所以ε 0,δ min ε , , y 0 B
δ时，
对一切t 0， y y