2-3 动量定理与动量守恒定律
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通过求解方程组 m1 v10 m2 v20 m1 v1 m2 v2
v2 v1 e v10 v20
得碰撞后两球一起运动的速度大小为
(m 1 em 2 ) v10 (m 2 em 2 ) v20 v1 m1 m 2
(m 2 em 1 ) v20 (m 1 em 1 ) v10 v2 m1 m 2
0 e 1 ,机械能有损失的碰撞叫做非弹性碰撞。
设有两个质量分别为 m1和 m2 ，速度分别 为 v10 和 v20 的弹性小球作对心碰撞，两球的速 度方向相同．若碰撞是完全弹性的，求碰撞后 的速度 v1 和 v2 ．
取速度方向为正向。 由动量守恒定律得
m1v10 m2 v20 m1v1 m2 v2
dp
dm0
dm
dm0 4 tg dm 3
dI Fdt dp dm dm0
例、将一空盒放在秤盘上，并将秤的读数调整到零，然后从高 出盒底h=5m处将小石子流以每秒n=100个的速率注入盒中，假 设每个小石子的质量为m=0.02kg，都从同一高度下落且落到盒 内后就停止运动，求从石子开始注入到t=10秒是秤的读数。 取g=10m/s2
t 时刻，系统总动量 o x
x
p ( l x ) v
dp 2 v ( l x ) g dt
t 时刻，系统受合外力
根据动量定理:
N l g
N (v xg ) 3 xg (v2 2 xg )
2
dp 2 v ( l x ) g N l g dt
由 v10 v20 v2 v1 , v1 v2 v20 v10 2v20 v10
若 则
v20 0 , v1 v10
(m1 m2 ) v10 2m2 v20 v1 m1 m2
(m2 m1 ) v20 2m1 v10 v2 m1 m2
i
b 非完全弹性碰撞 动量守恒，机械能不守恒 c 完全非弹性碰撞 动量守恒，机械能不守恒
设 v10和v20分别表示两球在碰撞前的速度，v1和 v2 分别表示两球在碰撞后的速度， m1和 m2 分别为两球
的质量。
v10
v1 f1
v20
f2
v2
m2
m1
碰撞前
m2
m1
m2
m1
碰撞时
碰撞后
二、动量定理的应用：
F
m1
1
m2 2
F
t1
t2
t2 t1
t
F
t2
t1
Fdt
t 2 t1
注意
p2 p1 p F t 2 t1 t
在 p 一定时
t 越小，则 F 越大
三、质点系的动量定理
质点系内部质点之间的 相互作用力，称为内力。内 力必定是成对出现的，每对 内力都是一对作用力和反作 用力。 质点系之外的物体对质 点系内部质点所施加的作用 力，称为外力。 对两质点分别应用 质点动量定理： 质点系
F 1.9 104 N F 1.7 105 N
t 0.01s
例题、如图所示，沙子从h=0.8m高处下落到以3m/s的速率水平 向右运动的传送带上，取g=10m/s2，则传送带给予沙子的作用 力的方向为：： （A）与水平夹角530向下；（B）与水平夹角530向上； （C）与水平夹角370向下；（D）与水平夹角370向上。
ex ex F Fi 0
i
ex in 当 F F 时，可近似地认为
系统总动量守恒．
ex ex ex (3) 若 F Fi 0 ，但满足 Fx 0
有 px
m v
i i
i
ix
Cx
i
F
F
ex x
ex y
0,
0,
px mi vix Cx
ex ex 若质点系所受的合外力 F Fi 0
i
则系统的总动量不变 ——动量守恒定律
ex dp ex F , F 0, dt
pC
注意
Fra Baidu bibliotek
区分外力和内力 内力仅能改变系统内某个物体的 动量，但不能改变系统的总动量.
讨论 (1) 系统的总动量不变，但系统内任一 物体的动量是可变的． (2) 守恒条件：合外力为零．
dp v dm v dx
根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：
例、初速度为 0 (5iˆ 4 ˆ j ) m/s、质量为 m=0.05kg的质点，受到冲量 I (2.5iˆ 2 ˆ j ) N.s的
作用，则质点的末速度为_______。
ˆ (SI)作用在质量m=2kg的物体 例题、力 F 12ti
上，使物体由静止开始运动，则该物体在3s末 的速度为__________。
2-3 动量定理与动量守恒定律
力的瞬时效应 力的累积效应
加速度 a
F 对 r 积累 W , E F 对 t 积累 I , p
动能、功、动能定理、机械能守恒
动量、冲量 、动量定理、动量守恒
一、质点的动量定理
m
定义：该质点的动量为
p m
注意：动量是矢量，其方向与速度方向一致。
i
p y mi viy C y
pz mi viz Cz
i
F 0,
ex z
(4) 动量守恒定律是物理学最普遍、最基 本的定律之一．
五、 碰撞 弹性和非弹性碰撞
ex in 一般情况碰撞 F F pi C
a 完全弹性碰撞 动量和机械能均守恒
t2
t1
t2
t1
n n ex F dt mi vi mi vi 0 i 1 i 1
t2
t1
n n ex F dt mi vi mi vi 0 p p0 i 1 i 1
作用于系统的合外力的冲量等于系统 动量的增量——质点系动量定理
F1
F21 F12
m1
F2
m2
t2
t1
t2
t1
( F1 F12 )dt m1v1 m1v10 ( F2 F21 )dt m2 v2 m2 v20
t1 (F1 F12 )dt m1v1 m1v10 t2 t1 (F2 F21 )dt m2 v2 m2 v20 因内力 F12 F21 0， 故将两式相加后得： t2 ( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )
例 一质量为0.05 kg、 速率为10 m· s-1的刚球，以与 钢板法线呈45º 角的方向撞击 在钢板上，并以相同的速率 和角度弹回来．设碰撞时间 为0.05 s．求在此时间内钢板 所受到的平均冲力．
x
mv1
O
mv2
y
解
由动量定理得：
Fx t mv2 x mv1x x mv cos (mv cos ) mv2 2mv cos Fy t mv2 y mv1 y y mv sin mv sin 0 2mv cos F Fx 14.1 N t 方向与 Ox 轴正向相同． F' F
dm 100 mdt
Fdt 0 100mdt 2gh
F 100m 2 gh
N Mg F 1000 mg 100m 2gh
补充例题（选讲） 一质量均匀分布的柔软细绳铅直 地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌 面上，如果把绳的上端放开，绳将落 在桌面上。试证明：在绳下落的过程 中，任意时刻作用于桌面的压力，等 于已落到桌面上的绳重量的三倍。 证明：取如图坐标，设绳长为 l .
t2 I Fdt mv2 mv1
t1
I x Fx dt mv2 x mv1x
分量表示
t2
I y Fy dt mv2 y mv1 y I z Fz dt mv2 z mv1z
t1 t1 t2
t1 t2
说明
某方向受到冲量，该方向上动量就增加．
（3）若 m1 m2 ,则 v1 v10
由 v10 v20 v2 v1 , v2 v10 v20 v1 2v10 v20
若
v20 0 ,
则
v2 2v10
2. 完全非弹性碰撞 如果
e 0 由恢复系数定义有
v2 v1 v
称完全非弹性碰撞
碰撞后两球一起运动的速度大小为
ex F F1 F2 FN I p p0
四、动量守恒定律
三大 守恒定律
动量守恒定律 能量转换与守恒定律
角动量守恒定律
物理学大厦 的基石
质点系动量定理
t I
t0
ex Fi dt pi pi 0
i i i
dp 可得： 由F dt
t2 冲量（矢量） I Fdt
t1
dp d (mv) 微分形式 F dt dt t2 I Fdt mv2 mv1 积分形式
t1
动量定理 在给定的时间间隔内，外力 作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内 动量的增量．
v10 v1 v2 v20
(2)
由 (1)、(2) 可解得：
(m1 m2 ) v10 2m2 v20 v1 m1 m2
(m2 m1 ) v20 2m1 v10 v2 m1 m2
讨论
（1）若m1 m2
(m1 m2 ) v10 2m2 v20 v1 m1 m2
m1v10 m2 v20 m1v1 m2 v2
碰撞前后小球的速度均在连心线上，上式 可以写为标量形式
m1v10 +m2 v20 m1v1 +m2 v2
即 m1 (v10 v1 ) m2 (v2 v20 ) (1) 对于完全弹性碰撞
e 1 由恢复系数定义有
柔绳对桌面的作用力
N 3 xg
N N
即：
而已落到桌面上的柔绳的重量为
xg mg
所以作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳
重量的三倍。 N 3mg
证明二：
o x
取如图坐标，设 t 时刻已有x长的 柔绳落至桌面，随后的dt 时间内将有 质量为 dx 的柔绳以 v 的速率碰到 桌面而停止，它的动量变化为：
牛顿的碰撞定律：碰撞后两球的分离速 度 (v2 v1 )，与碰撞前两球的接近速度(v10 v20 )成正比， 比值由两球的材料性质决定。
恢复 系数
e 0,碰撞后两球以同一速度运动，并不分开，
称为完全非弹性碰撞。 ,分离速度等于接近速度，称为完全弹性碰撞。 e 1
v2 v1 e v10 v20
动能损失
m1 v10 m2 v20 v m1 m2
1 1 1 2 2 2 E m1 v10 m2 v20 (m1 m2 ) v 2 2 2 m1m2 ( v10 v20 )2 2(m1 m2 )
3. 非完全弹性碰撞
1 e 0 由实验方法测定，称非完全弹性碰撞
mv1
O
例、质量为m=300kg的重锤从高度为h=1.5m处自由下落到 受锻压的锻件上，如图所示，工件发生变形。如果作用时 间（1）t=0.1s；（2）t=0.01s，求锤对工件的平均冲力。
(F mg)t 0 (m) m 2gh
m 2 gh F mg t
t 0.1s
(m2 m1 ) v20 2m1 v10 v2 m1 m2
则 v1 v20 , v2 v10
（2）若 m1 m2
v2 v20
(m1 m2 ) v10 2m2 v20 v1 m1 m2 (m2 m1 ) v20 2m1 v10 v2 m1 m2
v2 v1 e v10 v20
得碰撞后两球一起运动的速度大小为
(m 1 em 2 ) v10 (m 2 em 2 ) v20 v1 m1 m 2
(m 2 em 1 ) v20 (m 1 em 1 ) v10 v2 m1 m 2
0 e 1 ,机械能有损失的碰撞叫做非弹性碰撞。
设有两个质量分别为 m1和 m2 ，速度分别 为 v10 和 v20 的弹性小球作对心碰撞，两球的速 度方向相同．若碰撞是完全弹性的，求碰撞后 的速度 v1 和 v2 ．
取速度方向为正向。 由动量守恒定律得
m1v10 m2 v20 m1v1 m2 v2
dp
dm0
dm
dm0 4 tg dm 3
dI Fdt dp dm dm0
例、将一空盒放在秤盘上，并将秤的读数调整到零，然后从高 出盒底h=5m处将小石子流以每秒n=100个的速率注入盒中，假 设每个小石子的质量为m=0.02kg，都从同一高度下落且落到盒 内后就停止运动，求从石子开始注入到t=10秒是秤的读数。 取g=10m/s2
t 时刻，系统总动量 o x
x
p ( l x ) v
dp 2 v ( l x ) g dt
t 时刻，系统受合外力
根据动量定理:
N l g
N (v xg ) 3 xg (v2 2 xg )
2
dp 2 v ( l x ) g N l g dt
由 v10 v20 v2 v1 , v1 v2 v20 v10 2v20 v10
若 则
v20 0 , v1 v10
(m1 m2 ) v10 2m2 v20 v1 m1 m2
(m2 m1 ) v20 2m1 v10 v2 m1 m2
i
b 非完全弹性碰撞 动量守恒，机械能不守恒 c 完全非弹性碰撞 动量守恒，机械能不守恒
设 v10和v20分别表示两球在碰撞前的速度，v1和 v2 分别表示两球在碰撞后的速度， m1和 m2 分别为两球
的质量。
v10
v1 f1
v20
f2
v2
m2
m1
碰撞前
m2
m1
m2
m1
碰撞时
碰撞后
二、动量定理的应用：
F
m1
1
m2 2
F
t1
t2
t2 t1
t
F
t2
t1
Fdt
t 2 t1
注意
p2 p1 p F t 2 t1 t
在 p 一定时
t 越小，则 F 越大
三、质点系的动量定理
质点系内部质点之间的 相互作用力，称为内力。内 力必定是成对出现的，每对 内力都是一对作用力和反作 用力。 质点系之外的物体对质 点系内部质点所施加的作用 力，称为外力。 对两质点分别应用 质点动量定理： 质点系
F 1.9 104 N F 1.7 105 N
t 0.01s
例题、如图所示，沙子从h=0.8m高处下落到以3m/s的速率水平 向右运动的传送带上，取g=10m/s2，则传送带给予沙子的作用 力的方向为：： （A）与水平夹角530向下；（B）与水平夹角530向上； （C）与水平夹角370向下；（D）与水平夹角370向上。
ex ex F Fi 0
i
ex in 当 F F 时，可近似地认为
系统总动量守恒．
ex ex ex (3) 若 F Fi 0 ，但满足 Fx 0
有 px
m v
i i
i
ix
Cx
i
F
F
ex x
ex y
0,
0,
px mi vix Cx
ex ex 若质点系所受的合外力 F Fi 0
i
则系统的总动量不变 ——动量守恒定律
ex dp ex F , F 0, dt
pC
注意
Fra Baidu bibliotek
区分外力和内力 内力仅能改变系统内某个物体的 动量，但不能改变系统的总动量.
讨论 (1) 系统的总动量不变，但系统内任一 物体的动量是可变的． (2) 守恒条件：合外力为零．
dp v dm v dx
根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：
例、初速度为 0 (5iˆ 4 ˆ j ) m/s、质量为 m=0.05kg的质点，受到冲量 I (2.5iˆ 2 ˆ j ) N.s的
作用，则质点的末速度为_______。
ˆ (SI)作用在质量m=2kg的物体 例题、力 F 12ti
上，使物体由静止开始运动，则该物体在3s末 的速度为__________。
2-3 动量定理与动量守恒定律
力的瞬时效应 力的累积效应
加速度 a
F 对 r 积累 W , E F 对 t 积累 I , p
动能、功、动能定理、机械能守恒
动量、冲量 、动量定理、动量守恒
一、质点的动量定理
m
定义：该质点的动量为
p m
注意：动量是矢量，其方向与速度方向一致。
i
p y mi viy C y
pz mi viz Cz
i
F 0,
ex z
(4) 动量守恒定律是物理学最普遍、最基 本的定律之一．
五、 碰撞 弹性和非弹性碰撞
ex in 一般情况碰撞 F F pi C
a 完全弹性碰撞 动量和机械能均守恒
t2
t1
t2
t1
n n ex F dt mi vi mi vi 0 i 1 i 1
t2
t1
n n ex F dt mi vi mi vi 0 p p0 i 1 i 1
作用于系统的合外力的冲量等于系统 动量的增量——质点系动量定理
F1
F21 F12
m1
F2
m2
t2
t1
t2
t1
( F1 F12 )dt m1v1 m1v10 ( F2 F21 )dt m2 v2 m2 v20
t1 (F1 F12 )dt m1v1 m1v10 t2 t1 (F2 F21 )dt m2 v2 m2 v20 因内力 F12 F21 0， 故将两式相加后得： t2 ( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )
例 一质量为0.05 kg、 速率为10 m· s-1的刚球，以与 钢板法线呈45º 角的方向撞击 在钢板上，并以相同的速率 和角度弹回来．设碰撞时间 为0.05 s．求在此时间内钢板 所受到的平均冲力．
x
mv1
O
mv2
y
解
由动量定理得：
Fx t mv2 x mv1x x mv cos (mv cos ) mv2 2mv cos Fy t mv2 y mv1 y y mv sin mv sin 0 2mv cos F Fx 14.1 N t 方向与 Ox 轴正向相同． F' F
dm 100 mdt
Fdt 0 100mdt 2gh
F 100m 2 gh
N Mg F 1000 mg 100m 2gh
补充例题（选讲） 一质量均匀分布的柔软细绳铅直 地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌 面上，如果把绳的上端放开，绳将落 在桌面上。试证明：在绳下落的过程 中，任意时刻作用于桌面的压力，等 于已落到桌面上的绳重量的三倍。 证明：取如图坐标，设绳长为 l .
t2 I Fdt mv2 mv1
t1
I x Fx dt mv2 x mv1x
分量表示
t2
I y Fy dt mv2 y mv1 y I z Fz dt mv2 z mv1z
t1 t1 t2
t1 t2
说明
某方向受到冲量，该方向上动量就增加．
（3）若 m1 m2 ,则 v1 v10
由 v10 v20 v2 v1 , v2 v10 v20 v1 2v10 v20
若
v20 0 ,
则
v2 2v10
2. 完全非弹性碰撞 如果
e 0 由恢复系数定义有
v2 v1 v
称完全非弹性碰撞
碰撞后两球一起运动的速度大小为
ex F F1 F2 FN I p p0
四、动量守恒定律
三大 守恒定律
动量守恒定律 能量转换与守恒定律
角动量守恒定律
物理学大厦 的基石
质点系动量定理
t I
t0
ex Fi dt pi pi 0
i i i
dp 可得： 由F dt
t2 冲量（矢量） I Fdt
t1
dp d (mv) 微分形式 F dt dt t2 I Fdt mv2 mv1 积分形式
t1
动量定理 在给定的时间间隔内，外力 作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内 动量的增量．
v10 v1 v2 v20
(2)
由 (1)、(2) 可解得：
(m1 m2 ) v10 2m2 v20 v1 m1 m2
(m2 m1 ) v20 2m1 v10 v2 m1 m2
讨论
（1）若m1 m2
(m1 m2 ) v10 2m2 v20 v1 m1 m2
m1v10 m2 v20 m1v1 m2 v2
碰撞前后小球的速度均在连心线上，上式 可以写为标量形式
m1v10 +m2 v20 m1v1 +m2 v2
即 m1 (v10 v1 ) m2 (v2 v20 ) (1) 对于完全弹性碰撞
e 1 由恢复系数定义有
柔绳对桌面的作用力
N 3 xg
N N
即：
而已落到桌面上的柔绳的重量为
xg mg
所以作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳
重量的三倍。 N 3mg
证明二：
o x
取如图坐标，设 t 时刻已有x长的 柔绳落至桌面，随后的dt 时间内将有 质量为 dx 的柔绳以 v 的速率碰到 桌面而停止，它的动量变化为：
牛顿的碰撞定律：碰撞后两球的分离速 度 (v2 v1 )，与碰撞前两球的接近速度(v10 v20 )成正比， 比值由两球的材料性质决定。
恢复 系数
e 0,碰撞后两球以同一速度运动，并不分开，
称为完全非弹性碰撞。 ,分离速度等于接近速度，称为完全弹性碰撞。 e 1
v2 v1 e v10 v20
动能损失
m1 v10 m2 v20 v m1 m2
1 1 1 2 2 2 E m1 v10 m2 v20 (m1 m2 ) v 2 2 2 m1m2 ( v10 v20 )2 2(m1 m2 )
3. 非完全弹性碰撞
1 e 0 由实验方法测定，称非完全弹性碰撞
mv1
O
例、质量为m=300kg的重锤从高度为h=1.5m处自由下落到 受锻压的锻件上，如图所示，工件发生变形。如果作用时 间（1）t=0.1s；（2）t=0.01s，求锤对工件的平均冲力。
(F mg)t 0 (m) m 2gh
m 2 gh F mg t
t 0.1s
(m2 m1 ) v20 2m1 v10 v2 m1 m2
则 v1 v20 , v2 v10
（2）若 m1 m2
v2 v20
(m1 m2 ) v10 2m2 v20 v1 m1 m2 (m2 m1 ) v20 2m1 v10 v2 m1 m2