2-3 动量定理与动量守恒定律
质点系的动量定理和动量守恒定律
质点系的动量定理和动量守恒定律
动量定理和动量守恒定律是力学学科中最重要的定律，其定义了显式或隐式的实体响应，有助于我们对物体性质，如形状及运动特性的深入理解。
在物理学中，力学在研究质点系统中被广泛应用，而动量定理与动量守恒定律可以被认为是这一课程的基本元素。
动量定理是从第一定律出发，它引申出了物体的动量保持不变的现象，是物体的运动规律的基本思想。
物体的动量（动量）是指物体的质量和其在空间的运动量的乘积。
具体而言，动量定理指的是物体的外力（外力）与其总变化率的乘积（变化数）之和等于0。
此外，动量守恒定律要求一个物体动量的变化率等于该物体所受的外力之和。
物体运动过程中，动量守恒定律比动量定理更容易证明。
动量定理和动量守恒定律在物理学研究中起着重要作用，并且在研究质点系统中被广泛应用。
它们不仅有助于研究物体的运动特性，而且能够为有关力学问题提供有用的信息，使得我们能够更深入地理解物体的性质。
它们的应用可以追溯到古代物理学家如亚里士多德，而今天也是物理学中研究质点系统不可或缺的重要元素。
动量定理及动量守恒定律
20
动量定理及动量守恒定律
oy N1 − m1g = 0 又f1max = N1μ1
以 m2 为隔离体，m2 受重力W = m2 g ;桌面的支持力 N2 ; m1 的压力 N1′ （大小与 N1 相等）; m1 作用在 m2 上的最大静摩擦力 f1max′（大小与 f1max 相等） ;桌面作用在 m2 上的
oA y A W3 − TA′ − TB′ = m3a3
(7)
因为不计滑轮及绳的质量，不计轴承摩擦. 且已知绳不可伸长.
∴ TA = TB = TA′ = TB′ = T
f A ,绳的拉力 TA , A 的动力学方程为
动量定理及动量守恒定律
W1 + N A + f A + TA = m1a1 建立如图 3.5.7（1）所示的坐标系 oA − xA y A .
oA xA TA − f A = m1a1
(1)
oA y A W1 − N A = 0
(2)
且 fA = NAμ
动量定理及动量守恒定律
第三章 动量定理及动量守恒定律
(Momentum and Conservation Law of Momentum)
一、内容简介（Abstract） 1．牛顿第一定律（Newton’s first law)
孤立质点静止或作等速直线运动，即质点在不受力或所受力的合力为零时，将保持静 止或匀速直线运动状态不变.（惯性定律） 2．牛顿第三定律（Newton’s third law）
g
y
x o
N
2
α m2
a2
W2
N1′
图3.5.（5 3）
y′
N1 f∗
m1
动量矩定理,角动量守恒定律
定理。它与质点的动量定理存在类比关系：
t2
t1
Fdt
mv2
mv1
(2）定理说明了对定轴转动，角动量的改变要 靠施以角冲量。
对角动量大的物体则要施以大的角冲量，如是 人们对不同的转动物体，持有不同的态度。
三、定轴转动的角动量守恒
t2
动量矩定理
M Z dt J2 J1
银河系最初可能是球状的， 由于某种原因（如先期与 其他星系相互作用）而具 有一定的角速度，正是这 个角动量的存在，使球状 银河系不会在引力作用下
凝聚（坍缩）成一团，而只能成具有一定半径的盘状。因为 在凝聚过程中，角动量守恒要求转速增大，从而使离心力增 大，它往往比引力增大得更快些。从能量角度看，角动量守 恒要求转速增大将使动能增大，虽然这时引力势能减小，但 当半径小到某一值后，动能的增大量比引力势能的减小大， 但角动量守恒却并不妨碍沿着转轴方向的坍缩，因为这种坍 缩，角动量守恒不要求增加转速，这就是说，角动量守恒限 制了星系在垂直于转轴方向的进一步坍缩，但并不沿转轴方 向方向的坍缩，因而星系最终坍缩成盘状。
OO
M+
LLZZ12
M
L1 mlv
系统在子弹射入之后的角动量：
L2
J
(1 3
Ml 2
ml2 )
依角动量守恒定理：
高中物理选必一第一章动量守恒定律(1动量2动量定理)
第一章动量守恒定律第1节动量知识点一、动量(1)定义：物体质量和速度的乘积，用字母p 表示，p ＝m v .(2)动量的矢量性：动量既有大小，又有方向，是矢量．动量的方向与速度的方向一致，运算遵循矢量运算法则．(3)单位：国际单位是千克·米每秒，符号是kg·m/s.(4)动量具有相对性：选取不同的参考系，同一物体的速度可能不同，物体的动量也就不同，即动量具有相对性．通常在不说明参考系的情况下，物体的动量是指相对地面的动量．知识点二、动量与速度、动能的区别和联系动量与速度动量与动能区别①动量在描述物体运动方面更进一步，更能体现运动物体的作用效果②速度描述物体运动的快慢和方向①动量是矢量，从运动物体的作用效果方面描述物体的状态②动能是标量，从能量的角度描述物体的状态联系①动量和速度都是描述物体运动状态的物理量，都是矢量，动量的方向与速度方向相同，且p ＝mv ②动量和动能都是描述物体运动状态的物理量，且p ＝2mE k 或E k ＝p 22m知识点三、动量的变化量(1)定义：物体在某段时间内末动量与初动量的矢量差，即Δp ＝p ′－p(2)动量的变化量Δp 也是矢量，其方向与速度的改变量Δv 相同．(3)因为p ＝m v 是矢量，只要m 的大小、v 的大小和v 的方向三者中任何一个发生了变化，动量p 就发生变化．(4)动量变化量Δp 的计算①当物体做直线运动时，只需选定正方向，与正方向相同的动量取正，反之取负．若Δp 是正值，就说明Δp 的方向与所选正方向相同；若Δp 是负值，则说明Δp 的方向与所选正方向相反．②当初、末状态动量不在一条直线上时，可按平行四边形定则求Δp 的大小和方向．典例分析一、对动量和动量增量的理解例1关于动量变化，下列说法正确的是()A ．做直线运动的物体速度增大时，动量的增量Δp 的方向与运动方向相同B ．做直线运动的物体，速度减小时，动量增量Δp 的方向与运动方向相反C ．物体的速度大小不变时，动量的增量Δp 为零D ．物体做平抛运动时，动量的增量一定不为零二、动量变化量的计算例2羽毛球是速度最快的球类运动之一，林丹扣杀羽毛球的速度可达到342km/h，假设球飞来的速度为90km/h，林丹将球以342km/h的速度反向击回．设羽毛球质量为5g,试求：(1)林丹击球过程中羽毛球的动量变化量．(2)在林丹的这次扣杀中，羽毛球的速度变化、动能变化各是多少？专题一对动量及动量变化的理解例3关于动量的变化，下列说法正确的是()A．做直线运动的物体速度增大时，动量的增量Δp的方向与运动方向相同B．做直线运动的物体速度减小时，动量的增量Δp的方向与运动方向相反C．物体的速度大小不变时，动量的增量Δp为零D．物体做曲线运动时，动量的增量一定不为零专题二对动量及动量变化的计算例4羽毛球是速度较快的球类运动之一，运动员扣杀羽毛球的速度可达到342km/h，假设球飞来的速度为90km/h，运动员将球以342km/h的速度反向击回．设羽毛球的质量为5g，试求(1)运动员击球过程中羽毛球的动量变化量．(2)在运动员的这次扣杀中，羽毛球的速度变化、动能变化各是多少？专题三碰撞中的动量变化例5质量为0.1kg的小球从1.25m高处自由落下，与地面碰撞后反弹回0.8m高处．取竖直向下为正方向，且g ＝10m/s2.求：(1)小球与地面碰前瞬间的动量；(2)球与地面碰撞过程中动量的变化．第2节动量定理知识点一、冲量(1)概念：力与力的作用时间的乘积叫做力的冲量．(2)定义式：I＝Ft.(3)物理意义：冲量是反映力的作用对时间的累积效应的物理量，力越大，作用时间越长，冲量就越大．(4)单位：在国际单位制中，冲量的单位是牛·秒，符号为N·s.知识点二、冲量的理解(1)冲量的绝对性．由于力和时间均与参考系无关，所以力的冲量也与参考系的选择无关．(2)冲量是矢量．冲量的运算服从平行四边形定则，合冲量等于各外力的冲量的矢量和，若整个过程中，不同阶段受力不同，则合冲量为各阶段冲量的矢量和．(3)冲量是过程量，它是力在一段时间内的积累，它取决于力和时间这两个因素．所以求冲量时一定要明确所求的是哪一个力在哪一段时间内的冲量．知识点三、冲量的计算(1)恒力的冲量：公式I＝Ft适用于计算某个恒力的冲量，这时冲量的数值等于力与作用时间的乘积，冲量的方向与恒力方向一致．若力为同一方向均匀变化的力，该力的冲量可以用平均力计算，若力为一般变力则不能直接计算冲量．(2)变力的冲量①变力的冲量通常可利用动量定理I＝Δp求解．②可用图象法计算如图所示变力冲量，若某一力方向恒定不变，那么在F－t图象中，图中阴影部分的面积就表示力在时间Δt＝t2－t1内的冲量．知识点四、冲量与功(1)联系：冲量和功都是力作用过程的积累，是过程量．(2)区别：冲量是矢量，是力在时间上的积累，具有绝对性；功是标量，是力在位移上的积累，有相对性．知识点四、动量定理1．内容：物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量．这个关系叫做动量定理．2．表达式：I＝Δp或Ft＝m v′－m v.3．对动量定理的理解(1)动量定理反映了合外力的冲量是动量变化的原因．(2)动量定理的表达式是矢量式，它说明合外力的冲量跟物体动量变化量不仅大小相等，而且方向相同．(3)动量的变化率和动量的变化量由动量定理可得出F＝p′－pt，它说明动量的变化率决定于物体所受的合外力．而由动量定理I＝Δp可知动量的变化量取决于合外力的冲量，它不仅与物体的受力有关，还与力的作用时间有关．(4)动量定理具有普遍性，即不论物体的运动轨迹是直线还是曲线，不论作用力是恒力还是变力，不论几个力的作用时间是相同还是不同都适用．4．动量定理的应用(1)定性分析有关现象由F＝Δpt可知：①Δp一定时，t越小，F越大；t越大，F越小．②Δp越大，而t越小，F越大．③Δp越小，而t越大，F越小．(2)应用动量定理解决问题的一般步骤①审题，确定研究对象：对谁、对哪一个过程．②对物体进行受力分析，分析力在过程中的冲量，或合力在过程中的冲量．③抓住过程的初、末状态，选定参考方向，对初、末状态的动量大小、方向进行描述．④根据动量定理，列出动量定理的数学表达式．⑤写清各物理量之间关系的补充表达式．⑥求解方程组，并分析作答．典例分析一、冲量的理解例1如图所示，质量为m的小球由高为H的光滑固定斜面顶端无初速滑到底端过程中，重力、弹力的冲量各是多大？二、平均冲量的计算例2如图所示，质量为m＝1kg的小球由高h1＝0.45m处自由下落，落到水平地面后，反弹的最大高度为h2＝0.2m，从小球下落到反弹到最高点经历的时间为Δt＝0.6s，g取10m/s2.求：小球撞击地面过程中，球对地面的平均压力F的大小．三、合力冲量的计算例3质量为1.0kg的小球从20m高处自由下落到软垫上，反弹后上升的最大高度为5.0m，小球与软垫接触时2)()间为1.0s，在接触时间内小球受到的合力的冲量大小为(空气阻力不计，g＝10m/sA．10N·s B．20N·s C．30N·s D．40N·s四、冲量的综合应用例4用0．5kg的铁锤把钉子钉进木头里，打击时铁锤的速度v＝4.0m/s，如果打击后铁锤的速度变为0，打击的作用时间是0.01s，那么：(1)不计铁锤受的重力，铁锤钉钉子的平均作用力是多大？(2)考虑铁锤受的重力，铁锤钉钉子的平均作用力又是多大？(g取10m/s2)(3)比较(1)和(2)，讨论是否要计铁锤的重力。
动量定理和动量守恒
二、实验演示
三、实验注意事项
1、实验前应先调节斜槽，使其末端切线沿水平方 向，以保证小球碰撞前时速度沿水平方向。 2、重复实验时，每次都应使小球由斜面的同一位 置滚下。 3、为保证碰后两球速度方向相同，入射小球的质 量应大于被碰小球。 4、在本实验中，我们采用以各球的水平射程代替 程度，所以测量记录时一定要明白各线段代表的是物体 哪个时刻的速度。
③
随 堂 练 习
1、甲乙两船自身质量为120 kg，都静止在静水 中，当一个质量为 30 kg的小孩以相对于地面 6 m/s的水平速度从甲船跳上乙船时，不计阻力， 甲、乙两船速度大小之比v甲∶v乙= .
2、如图所示，A、B两质量相等的物体，原来静止在平板 小车C上，A和B间夹一被压缩了的轻弹簧，A、B与平板车 上表面动摩擦因数之比为3∶2，地面光滑。当弹簧突然 释放后，A、B相对C滑动的过程中 ①A、B系统动量守恒 ②A、B、C系统动量守恒 ③小车向左运动 ④小车向右运动 以上说法中正确的是( ) A．①② B．②③ C．③① D．①④
课 堂 小 结
概念
动量
动 量
动量变化: P=P2-P1 动量定理：Ft=P2-P1 规 律
成立条件：系统 所 受和外力为零 碰撞 应用 返冲运动
动量守恒定律
课 后 习 题
1、两球A、B在光滑水平面上沿同一直线，同一方 向运动， m A =1 kg ， m B =2 kg ， v A =6 m/s ， v B =2 m/s。当A追上B并发生碰撞后，两球A、B速度的 可能值是（ ） A.vA′=5 m/s,vB′=2.5 m/
矢量性：动量不仅有大小还有方向。 且其方向与速度方向一致。
动量的变化量：若一运动物体在某一过程中的初、末动量分 别为p、p′，则称∆p=p′−p为物体在该过程的变化。
同济第2章3角动量守恒定律
如果质点绕参考点O作圆周运动 如果质点绕参考点 作圆周运动
v p
o
v r
L = r p = mvr
2．力对参考点的力矩 ．
v v v M0 = r ×F
力矩的大小： 力矩的大小：
N⋅ m
z
v M
M0 = rF sin α
力矩的方向： 力矩的方向： 由右手螺旋法则确定，垂 右手螺旋法则确定， 法则确定 v 和 v 确定的平面。 直于 r F 确定的平面。
v n v n v v L = ∑L = ∑(r × pi ) i i
i= 1 i= 1
2.质点系对参考点的力矩：
v v v 设作用于质点系的作用力分别为： 1 2 设作用于质点系的作用力分别为： F , F , L, F n
作用点相对于参考点O的位矢分别为： 作用点相对于参考点 的位矢分别为： 的位矢分别为
v F
O
v r
α
y
x
3. 质点的角动量定理 角动量守恒定律 v 质点的角动量 L 随时间的变化率为
质点的角动量定理： 质点的角动量定理： 质点对某一参考点的角动量随时间的变化率 等于质点所受的合外力对同一参考点的力矩。 等于质点所受的合外力对同一参考点的力矩。
v v v v v dL d(r × p) dr v v dp = = × p +r × dt dt dt dt v v v dp dr v v v =F × p = v× p = 0 dt v dt v v dL v v dL = r ×F M0 = dt dt
Ｔ mg
c a = 2 + ρ v ∞
1 2
2-3-2 质点系对参考点的角动量定理 与角动量守恒定律
动量定理与动量守恒定律
动量定理与动量守恒定律动量是物体运动的重要物理量，揭示了物体运动的性质以及相互作用过程中的变化规律。
动量定理和动量守恒定律是描述物体运动中动量变化和守恒的重要原理。
一、动量定理动量定理又称牛顿第二定律，它指出：当外力作用于物体时，物体的动量变化率等于外力的合力。
在公式表示上，动量定理可以表达为：F = ma其中，F为物体所受到的合外力，m为物体的质量，a为物体的加速度。
根据动量定理，可以得出以下结论：1. 外力对物体的作用时间越长，物体的动量变化越大。
2. 给定外力作用时间不变的情况下，物体的质量越大，其动量的变化越小。
3. 给定物体质量不变的情况下，外力的大小越大，物体的动量变化越大。
二、动量守恒定律动量守恒定律是描述封闭系统中动量守恒的原理。
在封闭系统中，物体之间发生相互作用，它们的动量之和保持不变。
根据动量守恒定律，可以得出以下结论：1. 在没有外力作用的封闭系统中，物体的总动量保持不变。
2. 当物体发生碰撞或相互作用时，只要没有外力干扰，物体的动量总和保持不变。
3. 动量的守恒还适用于多个物体之间的相互作用，无论是弹性碰撞还是非弹性碰撞。
应用动量守恒定律，可以对各种现象进行解释，例如：1. 汽车碰撞：当两辆车发生碰撞时，它们的合动量在碰撞前后保持不变，因此可以用动量守恒定律来分析和解释碰撞过程。
2. 运动员跳远：运动员在起跳瞬间通过腿部发力，推动自己前进。
由于系统是封闭的，跳远过程中动量守恒，从而产生更大的跳远距离。
3. 火箭喷气推进：火箭通过排出高速喷射的气体，产生反冲力推动自身前进。
根据动量守恒，喷气气体的动量变化与火箭的动量变化相互抵消，从而实现火箭的推进。
综上所述，动量定理和动量守恒定律是物理学中对物体运动和相互作用过程进行描述的重要原则。
了解和应用这些定律，可以更好地理解和解释物体的运动行为，对各种物理现象进行分析和解决问题。
第三章 动量定理和动量守恒定律.
量守恒：
p
pi
mvi
恒矢量
i
i
（5）
注意：动量守恒定律是自然界最基本的定律之一。 适用于：经典力学，相对论力学，场，宏观物体和微观粒子组成的物
体系。
应用：动量守恒定律可以预测新粒子的存在。 原子核的β衰变可写为AB+e，但实验显示B核和e电子的 径迹不在一条直线上，违背动量守恒定律。为此泡利（W.Pauli） 于1930年提出中微子假说来维护动量守恒定律。1956年终于在 实验中发现了中微子。 在电磁学中研究两个运动带电粒子，人们发现两者动量的 矢量和似乎不守恒，后来考虑了电磁场的动量，总动量又守恒了。
1
§3.1 牛顿第一定律和惯性参考系
一、牛顿第一定律
孤立质点静止或作等速直线运动（每个物体继续保持其静止或作 等速直线运动的状态，除非有力加于其上迫使它改变这种状态）。
使用范围：质点和惯性参考系。
对牛顿第一定律的理解：
（1）定性的说明了运动和力的关系：物体的运动并不需要力去维持，只有 当物体的运动状态（速度）发生变化即产生加速度时，才需要力的作用。
d
F 21 k dt
m1 v1
d
, F12 k dt
m2 v2
式中k为常数。在SI中k=1，力的量纲为LMT-2，于是
F21 d dt
m1 v1
, F12 d dt
m2 v2
或一般的可写作 F d mv dt
2) 力的独立作用原理
若在一质点上同时作用几个力，则这些力各自产生自己
是没有任何物理意义的。
3
§3.2 惯性质量 • 动量和动量守恒定律
动量及动量守恒定律
ex
m2
O
m 1 g yg
由质点系动量定理得：
F
ex
m1
y
dt dp
p vy
y
d p d( y v )
m2
O
yg d t d( y v )
则
dt 两边同乘以 y d y 则
y gdy ydy
牛顿运动定律: F合
dP
ma
dt 意义:已知质点在任意时刻的力，可解出质点在各个时刻的 加速度。若知道初始条件，可确定质点在任一时刻的速度、 位置和质点的运动轨迹。 困难：
(1)牛顿定律需要知道力随时间变化的细节；
在碰撞打击(宏观)、基本粒子的产生和湮灭(微观)一类问题中，力的作用时间 很短，力随时间变化很快，无法知道其中的细节；
二、质点系的动量定理
1、基本概念： （1）质点系
N个质点组成的系统-- 研究对象 （2）内力 系统内部各质点间的相互作用力
质点系
特点：成对出现、大小相等、方向相反。 结论：质点系的内力之和为零 i （3）外力 系统外部对质点系内部质点的作用力
Fi 0
质点系 F
2、由两个质点所组成的质点系的动量定理 质点系 t
F1
F12
m1
F 21
F2
m2
物理意义：作用于系统的合外力的冲量等于系统 动量的增量。
质点系的总动量的变化只与质点系所受的外力的矢量和有 关，与内力的冲量无关。 质点系内力的冲量不能影响质点系的总动量，而只能改变 质点系总动量在质点系内各质点间的分配
初始速度 v g 0 v b 0 0 m b 2 m g 则 p 0 0 推开后速度 v g 2 v b 且方向相反，则 p 0
动量定理及动量守恒定律第三章
在直角坐标系中： ， ，
在自然坐标系中： ，
其中 是 、 在坐标轴上的投影，均为代数量，其正负由矢量和坐标轴方向间的夹角小于或大于 来定。方程的数目等于未知数的数目，有时要根据题目中的物理条件列出数字方程。
5解方程，对所得结果进行必要的讨论。
例题讲解：
1如图所示，在光滑的水平地面上放一质量为M的契块，契块底角为 ，斜边光滑，今在其斜边上放一质量为m的物体，求物体沿契块下滑时对契块和对地面的加速度。
解：参考系：地面
研究对象：契块和物体
m
mg
Nm
θ
受力分析： 契块 物体且N‘=-Nm
X
Y
θ
M
m
M
Mg
N
N’
一 章节小结
（一）． 惯性定律
1．惯性定律：自由粒子永远保持静止或匀速直线运动状态。
2．惯性参考系 对某一特定物体惯性定律成立的参考系。
其特性：（1）在惯性系中所有物体遵从惯性定律。
（2）一切相对惯性系作匀速直线运动的参考系都是惯性系。
3．相对性原理 对于牛顿动力学规律，一切惯性系都是等价的。
θ
坐标系：如图所示
β
设物体相对地面的加速度为 ，和水平面的夹角为 向下
物体相对契块的加速度为 ，沿斜面，和地面成角
契块相对地面的加速度为 ，沿水平方向后。
根据相对性： ，
例如，对阿特武德机，只能分别选两个物体为研究对象，而不能把两个物体作为一个研究对象来应用牛顿运动定律。
2分析研究对象的受力情况，画出受力图。
3建立坐标系：有了坐标系，才便于把力、加速度等矢量向坐标轴投影，使矢量运算化为标量运算，在动力学中坐标原点的位置可以任意。
动量定理与动量守恒定律的比较
动量定理与动量守恒定律的比较
动量定理和动量守恒定律都是描述物体运动状态的基本定律。
动量定理指出，当一个物体受到外力作用时，它的动量会发生变化，变化量等于外力作用时间内的动量变化率。
动量守恒定律则指出，当物体间只有内力作用时，它们的总动量保持不变。
两个定律都是基于牛顿第二定律推导而来的。
动量定理适用于描述瞬时的动量变化，比如撞击、碰撞等过程。
它可以用来计算物体在受力作用下的运动状态变化，如速度、位移等。
而动量守恒定律适用于描述长时间内的物体运动，比如行星绕太阳的运动、宇宙中物体的演化等。
它可以用来预测物体间的相对位置和速度等运动状态。
动量定理和动量守恒定律之间的关系是密切的，它们可以互相验证。
动量定理的推导基于牛顿第二定律，而牛顿第二定律的推导又基于动量守恒定律。
因此，这两个定律是相互支撑、相互补充的。
总之，动量定理和动量守恒定律是描述物体运动状态的基本定律，它们分别适用于不同的物理过程和时间尺度。
它们的相互关系是相当重要的，可以用来解释和预测物理现象。
- 1 -。
第五讲：2-3冲量 动量守恒定律
d ( p1 p2 pn ) F1 F2 Fn dt
d ( p1 p2 pn ) F1 F2 Fn dt
t P ( F1 F2 Fn )dt dP t0 P0
P52例2-9 一根长为l，质量均匀分布的链条平直放 在光滑桌面上，开始时链条静止地搭在桌边，其中 一端下垂，下垂部分长度为a，释放后链条开始下 落，求链条下落到任意位置处的速度.
解:
设链条线密度为λ，质量为M，有
λ＝M/l
若t时刻下落长度为x，则下落部分质量为m＝λx， 其所受重力为
F mg gx
I x Fx dt mv x mv x0
t0
t
t
分量表示式
I y Fy dt mv y mv y0
t0
I z Fz dt mv z mv z0
t0
t
平均冲力： 定义：在相同时间内，若有一恒力的冲量与一变力 的冲量相等。则这一个恒力称为这一变力的平均冲 力。即当恒力与变力满足：
桌上部分为l－x，这部分受的重力和支承力相互抵 消，因此，整个链条在下落部分所受重力的作用下 运动，按动量定理
Fdt dp d ( Mv)
gxdt Mdv
两边同乘以dx，有
gx Mdv / dt
dx gxdx Mdv Mvdv dt
t＝0时，x0＝a，v0＝0，落下x长度时速度为v，所以 有 x v gxdx Mvdv
注意1）使用时要注意定理的条件：
Fi外 0
0
0 0
惯性系
2）常用分量式：
F
第章动量守恒定律-资料
（3）
Imv0
mI0.60.00 k2 g 2g v 300
例 3 一柔软链条长为l,单位长度的质量为.链条放 在桌上,桌上有一小孔,链条一端由小孔稍伸下,其余部分 堆在小孔周围.由于某种扰动,链条因自身重量开始落下 . 求链条下落速度与落下距离之间的关系 . 设链与各处的 摩擦均略去不计,且认为链条软得可以自由伸开 .
2．质点系的动量定理
设 有n个质点构成一个系统
第i个质点：
质量 m
内力 fi
初速度 末速度
i
外力
vvioi
Fi
由质点动量定理：
Fi
i
fi
t
to
F ifi dtm iv i m iv io
t
to
F i
f id tm iv im iv io
d t
1gy3 1yv2
32
g y y2dy yvyvdyv
0
0
v2gy
1 2
3
2-2-3 动量守恒定律
质点系的动量定：
t
t0 FidtPP0
当 Fi 0 时，
有 PP0
动量守恒定律：
系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。
其中：
fi 0
系统总末动量： P
miv i
系统总初动量： P 0
m iv io
F1
F2
f12 m1
f21 m2
t
合外力的冲量：
t0
Fidt
t
t0
FidtPP0P
质点系的动量定理：
质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。
简述动量定理和动量守恒定律的含义
简述动量定理和动量守恒定律的含义动量是系统总能量和总动能的度量。
动量守恒定律可以表述为：总动量不变，总能量等于系统内各分子动能之和。
1，动量与速度的关系1，动量与速度的关系所以，对于相同速度的运动物体来说，它们所受到的合外力是相等的。
此时动量就与速度有关了，因此速度与动量成正比例关系，即当速度一定时，质量越大，动量越大，反之亦然。
2，动量与加速度的关系加速度是描述速度变化快慢的物理量，实际上只要求加速度的大小或方向与速度变化的快慢有关就可以了。
一般地，质点的初始加速度为零，而加速度方向随着速度增加而发生变化。
因此，只要我们知道了物体的加速度和加速度的大小就可以得出物体的速度。
物体的速度通常用字母V表示，并记为c。
由于V为矢量，其方向由a（矢量）决定。
3，牛顿第二定律动量定理与动量守恒定律的区别动量定理是牛顿运动定律的重要结论之一。
动量守恒定律可以表述为：总动量不变，总能量等于系统内各分子动能之和。
这里的“总”、“总动量”都是动量定理中的专业术语。
动量定理不仅在动量守恒定律中起重要作用，在动量守恒定律中也占据十分重要的位置。
下面我们以动量守恒定律为基础来介绍动量定理。
动量守恒定律又称能量守恒定律，是自然界普遍存在的规律之一。
它最早由法国数学家库仑提出，后来德国物理学家克劳修斯和开尔文根据实验推导出来。
后人在此基础上总结出质量守恒定律、能量守恒定律。
1，动量定理：不受外力作用的系统的总动量保持不变。
2，动量守恒定律：不受外力作用的系统的总动量等于系统内各部分的动能之和。
3，牛顿第二定律动量守恒定律的证明第一步，先将全系统分成大小不变的系统，再把这些系统的总动量看做总动量的一部分，将一个物体放在一个系统中，然后取一小球代替被测量的物体，最后研究这两个系统中总动量的变化。
将两个系统所组成的系统进行受力分析，求出系统的总动量。
把小球重新安放回原处。
注意：如果总动量变化，则力和动量都必须变化。
4，动量定理及动量守恒定律对牛顿第二定律的应用可以使用动量定理证明，同时也可以使用动量守恒定律证明，但二者的应用条件不同，请注意！。
动量定理及动量守恒定律
4、一枚在空中飞行的导弹，质量为m，在某点的速度为 ，方向水平。 、一枚在空中飞行的导弹，质量为 ，在某点的速度为v，方向水平。 导弹在该点突然炸裂成两块，其中质量为 的一块沿着与v相反的 导弹在该点突然炸裂成两块，其中质量为m1的一块沿着与 相反的 方向飞去，速度为v1。求炸裂后另一块的速度 2。 求炸裂后另一块的速度v 方向飞去，速度为
动量守恒定律的理解及应用要点
矢量性：动量守恒定律方程是一个矢量方程。 矢量性：动量守恒定律方程是一个矢量方程。对于作用前后物体的运动方向 都在同一直线上的问题，应选取统一的正方向。若方向未知， 都在同一直线上的问题，应选取统一的正方向。若方向未知，可以 设的正方向为标准列动量守恒方程，通过所得结果的正负， 设的正方向为标准列动量守恒方程，通过所得结果的正负，判定未 知量的方向 瞬时性：动量是一个瞬时量，动量守恒指的是系统任一瞬时的动量和恒定， 瞬时性：动量是一个瞬时量，动量守恒指的是系统任一瞬时的动量和恒定， 不是同一时刻的动量不能相加 相对性： 相对性：应用动量守恒定律时各物体的速度必须是相对同一惯性系的速度 普适性：只要系统所受的合外力为零， 普适性：只要系统所受的合外力为零，不论系统内部物体之间的相互作用力 性质如何，不论系统内各物体是否具有相同运动方向， 性质如何，不论系统内各物体是否具有相同运动方向，不论物体相 互作用时是否直接接触， 互作用时是否直接接触，也不论相互作用后粘合在一起还是分裂成 碎片，动量守恒定律均适用。 碎片，动量守恒定律均适用。动量守恒定律不仅适用于低速宏观物 体，而且适用于接近光速运动的微观粒子。 而且适用于接近光速运动的微观粒子。
A
等于碰撞前的总动能 ③ 碰撞后同向运动时后一
A、 PA=6kg.m/s， PB=6kg.m/s 、 ， B、 PA=3kg.m/s， PB=9kg.m/s 、 ， C、 PA=－2kg.m/s， PB=14kg.m/s 、 － ， D、 PA=－5kg.m/s， PB=17kg.m/s 、 － ， 物体速度不大于前一物 体速度
高中物理 第十六章 动量守恒定律 2 动量和动量定理 3 动量守恒定律 动量定理与动量守恒定律的区别
高中物理第十六章动量守恒定律2 动量和动量定理3 动量守恒定律动量定理与动量守恒定律的区别素材新人教版选修3-5
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2动量和动量定理
动量定理与动量守恒定律的区别。
大学物理动量定理
子弹穿过两木块所用的时间分别为t1和t2，木块对子 弹的阻力为恒力F，则子弹穿出后，木块A的速度大小
为
，木块B的速度大小为
.
解：
F t1 m1vA m2vA
vA
F m1
t1 m2
F t2 m2vB m2vA
vB
F t2 m2
vA
F t2 m2
F m1
t1 m2
2-8. 一质量为m的质点在xoy平面上运动，其位置矢量
机械能守恒：
1 2
m2 v02
1 2
(m1
m2 )v2
1 2
kxm2 ax
1 xmax 2 x0
下次课内容：
§3-1 刚体运动的描述 §3-2-1 力矩 §3-2-2 刚体绕定轴转动定律
j
t
i
v bs
a in t
sin j]
t
i
b cost Fx m 2 x
j
dt
m2[x i y j ]
Fy m2 y
A(a,0) B(0, b)
Wx
0
a Fxdx m2
0 xdx 1 ma22
a
2
Wy
b
0 Fydy m 2
bydy 1 mb2 2
0
2
质点动能定理
W
为
r
a
cos
t
i b sin t j
(SI).
式中a，b， 是正值常
数, 且a > b.
(1)求质点在A点(a，0)和B 点(0，b)的动能; (2)求质点所 受的作用力 F 以及质点从A点运动到B点 的过程中 F 的分力Fx和Fy分别做的功.
解：
第3节 动量、动量守恒定律
则系统无论沿那个方向的动量都守恒；
若
，但若某一方向的合外力零， Fi 0
则该方向上
动量守恒；
(3)必须把系统内各量统一到同一惯性系中； (4)若作用时间极短，而系统又只受重力作用，则可略去重力， 运用动量守恒。
9
例2.5 一弹性球，质量m＝0.20 kg，速度v＝5 m/s，与墙碰撞后弹回.设弹回时速 度大小不变，碰撞前后的运动方向和墙的法线所夹的角都是α(图2.12)，设球和墙碰 撞的时间Δt＝0.05 s，α＝60 °，求在碰撞时间内，球和墙的平均相互作用力.
t
t2 n
1
t2 Fi外 dt t1 i 1
因为内力成对出现
n n f ji dt mivi 2 miv i1 i 1 j 1 i 1 i 1
n n1
n n1
i 1 j 1
f ji 0
t2
t1
Fdt mv2 mv11１）式中源自 mv P mv
叫做动量，是物体运动量的量度。
指两个物体相互作用持续一段时间的过程中，在物体间传递着的物理量。
２）动量
是矢量，方向与
同； v
动量是相对量，与参照系的选择有关。 ２、冲量的概念 １） 恒力的冲量 作用力F＝恒量，作用时间t1t2，力对质点的冲量，
S Vdt
0 t
m R M+m
12
* 2.3.4
质心和质心运动定理
1.问题的提出
2.质心运动定理
3.质心的含义及其计算
13
１）峰值冲力的估算 ２）当动量的变化是常量时，有
f 0 t t
1 F t
动量守恒与动量定理
动量守恒与动量定理动量是一个物体的运动状态的量度，它是由物体的质量和速度决定的。
在物理学中，动量守恒是指在一个封闭系统中，当没有外力作用时，系统的总动量保持不变。
动量定理是指当有外力作用时，物体的动量变化率等于外力的大小乘以作用时间。
1. 动量守恒动量守恒定律是描述封闭系统中动量守恒的基本原理。
当一个封闭系统内没有外力作用时，系统的总动量保持不变。
例如，考虑一个封闭系统，由两个物体组成。
初始时，物体1的质量为m1，速度为v1；物体2的质量为m2，速度为v2。
根据动量的定义，物体1的动量为p1 = m1v1，物体2的动量为p2 = m2v2。
根据动量守恒定律，系统的总动量为p = p1 + p2 = m1v1 + m2v2。
当没有外力作用时，系统的总动量保持不变，即p = m1v1 + m2v2 = 常量。
动量守恒定律在物理学中有广泛的应用。
例如，在碰撞问题中，我们可以利用动量守恒定律来求解物体碰撞后的速度或方向的变化。
2. 动量定理动量定理是描述物体在外力作用下动量变化的基本原理。
动量定理表明，物体的动量变化率等于外力的大小乘以作用时间。
设物体质量为m，速度为v。
根据动量的定义，物体的动量为p = mv。
当物体受到外力F作用时，根据牛顿第二定律F = ma，可以得到物体的加速度为a = F/m。
将加速度代入动量定义式中，可得物体的动量变化率为dp/dt = m(dv/dt) = m(a) = F。
动量定理表明，物体的动量变化率等于外力的大小。
动量定理在解决物体的运动问题中非常有用。
通过计算外力对物体的作用时间，我们可以确定物体动量的变化情况。
例如，在推动物体的问题中，我们可以利用动量定理来计算所需的外力大小和作用时间。
3. 动量守恒与动量定理的关系动量守恒定律和动量定理是相互关联的。
当没有外力作用时，系统的总动量保持不变，即动量守恒成立。
当有外力作用时，根据动量定理，物体的动量会发生变化。
在一个封闭系统中，如果没有外力作用，根据动量守恒定律，系统的总动量保持不变。
动量、动量守恒定律知识点总结
动量、动量守恒定律知识点总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII龙文教育动量知识点总结一、对冲量的理解1、I =Ft ：适用于计算恒力或平均力F 的冲量，变力的冲量常用动量定理求。
2、I 合 的求法：A 、若物体受到的各个力作用的时间相同，且都为恒力，则I 合=F 合.tB 、若不同阶段受力不同，则I 合为各个阶段冲量的矢量和。
1、意义：冲量反映力对物体在一段时间上的积累作用，动量反映了物体的运动状态。
2、矢量性：ΔP 的方向由v ∆决定，与1p 、2p 无必然的联系，计算时先规定正方向。
三、对动量守恒定律的理解：1、研究对象：相互作用的物体所组成的系统2、条件： A 、理想条件：系统不受外力或所受外力有合力为零。
B 、近似条件：系统内力远大于外力，则系统动量近似守恒。
C 、单方向守恒：系统单方向满足上述条件，则该方向系统动量守恒。
四、碰撞类型及其遵循的规律：结论：等质量 弹性正碰 时，两者速度交换。
依据：动量守恒、动能守恒五、判断碰撞结果是否可能的方法：碰撞前后系统动量守恒；系统的动能不增加；速度符合物理情景。
动能和动量的关系：mp E K 22= K mE p 2=六、反冲运动：1、定义：静止或运动的物体通过分离出一部分物体，使另一部分向反方向运动的现象叫反冲运动。
2、规律：系统动量守恒3、人船模型：条件：当组成系统的2个物体相互作用前静止，相互作用过程中满足动量守恒。
七、临界条件：“最”字类临界条件如压缩到最短、相距最近、上升到最高点等的处理关键是——系统各组成部分具有共同的速度v 。
八、动力学规律的选择依据：1、题目涉及时间t ，优先选择动量定理；2、题目涉及物体间相互作用，则将发生相互作用的物体看成系统，优先考虑动量守恒；3、题目涉及位移s ，优先考虑动能定理、机械能守恒定律、能量转化和守恒定律；4、题目涉及运动的细节、加速度a ，则选择牛顿运动定律+运动学规律；九、表达规范：说明清楚研究对象、研究过程、规律、规定正方向。
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由 v10 v20 v2 v1 , v2 v10 v20 v1 2v10 v20
若
v20 0 ,
则
v2 2v10
2. 完全非弹性碰撞 如果
e 0 由恢复系数定义有
v2 v1 v
称完全非弹性碰撞
碰撞后两球一起运动的速度大小为
动能损失
m1 v10 m2 v20 v m1 m2
1 1 1 2 2 2 E m1 v10 m2 v20 (m1 m2 ) v 2 2 2 m1m2 ( v10 v20 )2 2(m1 m2 )
3. 非完全弹性碰撞
1 e 0 由实验方法测定，称非完全弹性碰撞
v10 v1 v2 v20
(2)
由 (1)、(2) 可解得：
(m1 m2 ) v10 2m2 v20 v1 m1 m2
(m2 m1 ) v20 2m1 v10 v2 m1 m2
讨论
（1）若m1 m2
(m1 m2 ) v10 2m2 v20 v1 m1 m2
dp
dm0
dm
dm0 4 tg dm 3
dI Fdt dp dm dm0
例、将一空盒放在秤盘上，并将秤的读数调整到零，然后从高 出盒底h=5m处将小石子流以每秒n=100个的速率注入盒中，假 设每个小石子的质量为m=0.02kg，都从同一高度下落且落到盒 内后就停止运动，求从石子开始注入到t=10秒是秤的读数。 取g=10m/s2
m1v10 m2 v20 m1v1 m2 v2
碰撞前后小球的速度均在连心线上，上式 可以写为标量形式
m1v10 +m2 v20 m1v1 +m2 v2
即 m1 (v10 v1 ) m2 (v2 v20 ) (1) 对于完全弹性碰撞
e 1 由恢复系数定义有
例 一质量为0.05 kg、 速率为10 m· s-1的刚球，以与 钢板法线呈45º 角的方向撞击 在钢板上，并以相同的速率 和角度弹回来．设碰撞时间 为0.05 s．求在此时间内钢板 所受到的平均冲力．
x
mv1
O
mv2
y
解
由动量定理得：
Fx t mv2 x mv1x x mv cos (mv cos ) mv2 2mv cos Fy t mv2 y mv1 y y mv sin mv sin 0 2mv cos F Fx 14.1 N t 方向与 Ox 轴正向相同． F' F
i
b 非完全弹性碰撞 动量守恒，机械能不守恒 c 完全非弹性碰撞 动量守恒，机械能不守恒
设 v10和v20分别表示两球在碰撞前的速度，v1和 v2 分别表示两球在碰撞后的速度， m1和 m2 分别为两球
的质量。
v10
v1 f1
v20
f2
v2
m2
m1
碰撞前
m2
m1
m2
m1
碰撞时
碰撞后
牛顿的碰撞定律：碰撞后两球的分离速 度 (v2 v1 )，与碰撞前两球的接近速度(v10 v20 )成正比， 比值由两球的材料性质决定。
恢复 系数
e 0,碰撞后两球以同一速度运动，并不分开，
称为完全非弹性碰撞。 ,分离速度等于接近速度，称为完全弹性碰撞。 e 1
v2 v1 e v10 v20
dm 100 mdt
Fdt 0 100mdt 2gh
F 100m 2 gh
N Mg F 1000 mg 100m 2gh
补充例题（选讲） 一质量均匀分布的柔软细绳铅直 地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌 面上，如果把绳的上端放开，绳将落 在桌面上。试证明：在绳下落的过程 中，任意时刻作用于桌面的压力，等 于已落到桌面上的绳重量的三倍。 证明：取如图坐标，设绳长为 l .
ex ex 若质点系所受的合外力 F Fi 0
i
则系统的总动量不变 ——动量守恒定律
ex dp ex F , F 0, dt
pC
注意
区分外力和内力 内力仅能改变系统内某个物体的 动量，但不能改变系统的总动量.
讨论 (1) 系统的总动量不变，但系统内任一 物体的动量是可变的． (2) 守恒条件：合外力为零．
F 1.9 104 N F 1.7 105 N
t 0.01s
例题、如图所示，沙子从h=0.8m高处下落到以3m/s的速率水平 向右运动的传送带上，取g=10m/s2，则传送带给予沙子的作用 力的方向为：： （A）与水平夹角530向下；（B）与水平夹角530向上； （C）与水平夹角370向下；（D）与水平夹角370向上。
2-3 动量定理与动量守恒定律
力的瞬时效应 力的累积效应
加速度 a
F 对 r 积累 W , E F 对 t 积累 I , p
动能、功、动能定理、机械能守恒
动量、冲量 、动量定理、动量守恒
一、质点的动量定理
m
定义：该质点的动量为
p m
注意：动量是矢量，其方向与速度方向一致。
mv1
O
例、质量为m=300kg的重锤从高度为h=1.5m处自由下落到 受锻压的锻件上，如图所示，工件发生变形。如果作用时 间（1）t=0.1s；（2）t=0.01s，求锤对工件的平均冲力。
(F mg)t 0 (m) m 2gh
m 2 gh F mg t
t 0.1s
(m2 m1 ) v20 2m1 v10 v2 m1 m2
则 v1 v20 , v2 v10
（2）若 m1 m2
v2 v20
(m1 m2 ) v10 2m2 v20 v1 m1 m2 (m2 m1 ) v20 2m1 v10 v2 m1 m2
柔绳对桌面的作用力
N 3 xg
N N
即：
而已落到桌面上的柔绳的重量为
xg mg
所以作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳
重量的三倍。 N 3mg
证明二：
o x
取如图坐标，设 t 时刻已有x长的 柔绳落至桌面，随后的dt 时间内将有 质量为 dx 的柔绳以 v 的速率碰到 桌面而停止，它的动量变化为：
i
p y mi viy C y
pz mi viz Cz
i
F 0,
ex z
(4) 动量守恒定律是物理学最普遍、最基 本的定律之一．
五、 碰撞 弹性和非弹性碰撞
ex in 一般情况碰撞 F F pi C
a 完全弹性碰撞 动量和机械能均守恒
dp 可得： 由F dt
t2 冲量（矢量） I Fdt
t1
dp d (mv) 微分形式 F dt dt t2 I Fdt mv2 mv1 积分形式
t1
动量定理 在给定的时间间隔内，外力 作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内 动量的增量．
t 时刻，系统总动量 o x
x
p ( l x ) v
dp 2 v ( l x ) g dt
t 时刻，系统受合外力
根据动量定理:
N l g
N (v xg ) 3 xg (v2 2 xg )
2
dp 2 v ( l x ) g N l g dt
二、动量定理的应用：
F
m1
1
m2 2
F
t1
t2
t2 t1
t
F
t2
t1
Fdt
t 2 t1
注意
p2 p1 p F t 2 t1 t
在 p 一定时
t 越小，则 F 越大
三、质点系的动量定理
质点系内部质点之间的 相互作用力，称为内力。内 力必定是成对出现的，每对 内力都是一对作用力和反作 用力。 质点系之外的物体对质 点系内部质点所施加的作用 力，称为外力。 对两质点分别应用 质点动量定理： 质点系
t2 I Fdt mv2 mv1
t1
I x Fx dt mv2 x mv1x
分量表示
t2
I y Fy dt mv2 y mv1 y I z Fz dt mv2 z mv1z
t1 t1 t2
t1 t2
说明
某方向受到冲量，该方向上动量就增加．
由 v10 v20 v2 v1 , v1 v2 v20 v10 2v20 v10
若 则
v20 0 , v1 v10
(m1 m2 ) v10 2m2 v20 v1 m1 m2
(m2 m1 ) v20 2m1 v10 v2 m1 m2
例、初速度为 0 (5iˆ 4 ˆ j ) m/s、质量为 m=0.05kg的质点，受到冲量 I (2.5iˆ 2 ˆ j ) N.s的
作用，则质点的末速度为_______。
ˆ (SI)作用在质量m=2kg的物体 例题、力 F 12ti
上，使物体由静止开始运动，则该物体在3s末 的速度为__________。
ex F F1 F2 FN I p p0
四、动量守恒定律
三大 守恒定律
动量守恒定律 能量转换与守恒定律
角动量守恒定律
物理学大厦 的基石
质点系动量定理
t I
t0
ex Fi dt pi pi 0