2 多元函数的极限和连续性定理

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§2. 多元函数的极限和连续性
x3 y 例4 证明 lim 6 不存在． 2 x 0 x y y 0
证
3 y kx , 取
x3 y x 3 kx 3 k lim 6 lim 6 , 2 2 2 6 x 0 x y x 0 x k x 1 k 3 y0
(1)定义中M M0的方式是任意的； 说明：
（2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x , y );
x x0 y y0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§2. 多元函数的极限和连续性
M M0
lim f M A M以任何点列继任何方式
§2. 多元函数的极限和连续性
回忆一元函数的极限. 设 y f x .
所谓 lim f ( x ) A, 表示 x x
0
y A f ( x) 0
x0
当 x 不论是从 x0的左边
还是从x0的右边无限接 近于 x0 时 , 对应的函数 值无限接近于数 A. 如图
x x0
y = f ( x)
趋于M 0时，f ( M )的极限都是A.
sin( x 2 y ) . 例3 求极限 lim 2 2 x 0 x y y0
解
sin( x 2 y ) lim 2 x0 x y 2 y0
sin( x 2 y) x 2 y lim 2 , 2 2 x 0 x y x y y0
2 2
解: 要使函数有定义,必须
2 2 3 x y 1 2 x y 0
2 x 2 y 2 4 2 x y
所求定义域为 D {( x, y ) | 2 x 2 y 2 4, x y 2 }.
二、二元函数的极限
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x x0 y y0
但两者不相等，此时也可断言 f ( x , y ) 在点
P0 ( x0 , y0 ) 处极限不存在．
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§2. 多元函数的极限和连续性
三、二元函数的连续性 定义 : 设f ( M )在M 0有定义，并且 lim f ( M ) f ( M 0 ),
§2. 多元函数的极限和连续性
一、平面点集
定义: 设E是平面点集, R是实数集, f 是一个规律, 如果
对E中的每一点 x , y , 通过规律f , 在R中存在唯一 一个实数u和此对应, 我们就称f 是定义在E 上的 一个二元函数, 它在 x , y 的函数值是u, 并记此值为 f x , y , 即u f x , y .
y kx
其值随k的不同而变化， 故极限不存在．
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§2. 多元函数的极限和连续性
确定极限不存在的方法：
（1） 令 P ( x , y ) 沿 y kx 趋向于 P0 ( x0 , y0 ) ， 若
极限值与 k 有关，则可断言极限不存在；
（2） 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x , y )存在，
M M0
则称f ( M )在M 0点连续.
f 在M 0点连续 如果 >0, >0,当r ( M , M 0 ) 时, 恒有 f (M ) f (M0 )
x3 y3 , ( x , y ) (0,0) 2 2 例5 讨论函数 f ( x , y ) x y 0, ( x , y ) (0,0)
x x0 y y0
2
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0时，恒有 f x , y A .
§2. 多元函数的极限和连续性
对A的任意 邻域O A, , 总存在M 0点的 领域 O M 0 , ,当M O M 0 , \ M 0 时， 恒有f M O A, .
在M 0是否有定义无关紧要）.如果 >0, >0, 当0 r ( M , M 0 ) 时, 恒有 f (M ) A
0, 0,当0
x x 0 y y0
2
2
时，
恒有 f x , y A . 0, 0,当 x x0 , y y0 时且
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§2. 多元函数的极限和连续性
其中
2 u x y lim sin u 1, sin( x y ) lim u0 2
2 x0 y0
x y
u
x2 y 1 0 x x 0, 2 2 x y 2
sin( x 2 y ) lim 2 0. 2 x 0 x y y 0
点集 E ---定义域， x、y ---自变量，u ---因变量.
W {u u f ( x, y ),( x, y ) E } --- 值域.
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例1 z x y ,
2 2
f ( x, y) x 5 y 4都是二元函数.
2
与一元函数相类似，对于定义域约定： 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.
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§2. 多元函数的极限和连续性
二元函数的图形通常是一张曲面.
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arcsin( 3 x y ) 例2 求 f ( x , y ) 的定义域． 2 x y
f ( x) x
x0 x0 x x0
lim f ( x ) A用 语言表示. 就是 >0, >0.
当0<|x – x0|< 时, 有|f (x) – A |< .
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§2. 多元函数的极限和连续性
定义： 设f (M ) f ( x , y )在点M 0 ( x0 , y0 )附近有定义（而