2-2冲激响应和阶跃响应
冲激响应和阶跃响应的关系
冲激响应和阶跃响应的关系
冲激响应和阶跃响应是信号处理中常用的两种响应方式。
它们之间存在着密切的关系，本文将从以下几个方面进行阐述。
一、定义
冲激响应是指系统对于一个冲击信号的响应，通常用h(t)表示。
而阶跃响应则是指系统对于一个单位阶跃信号的响应，通常用g(t)表示。
二、关系
冲激响应和阶跃响应之间的关系可以通过积分的方式来表示。
具体来说，如果我们知道了系统的冲激响应h(t)，那么系统的阶跃响应g(t)可以通过对h(t)进行积分得到，即：
g(t) = ∫[0,t]h(τ)dτ
这个公式的意义是，系统对于一个单位阶跃信号的响应可以看作是对于一系列冲击信号的响应之和。
这也是为什么我们可以通过积分的方式来求解阶跃响应的原因。
三、应用
冲激响应和阶跃响应在信号处理中有着广泛的应用。
例如，在数字滤波器设计中，我们通常会先求出系统的冲激响应，然后再通过积分的方式来得到系统的阶跃响应。
这样做的好处是，我们可以通过观察系统的阶跃响应来了解系统的频率特性和幅频响应等信息，从而更好地设计数字滤波器。
此外，在控制系统中，我们也常常需要求解系统的阶跃响应。
例如，我们可以通过观察系统的阶跃响应来了解系统的稳态误差和响应速度等信息，从而更好地设计控制器。
四、总结
综上所述，冲激响应和阶跃响应是信号处理中常用的两种响应方式。
它们之间存在着密切的关系，可以通过积分的方式相互转换。
在实际应用中，我们可以通过观察系统的阶跃响应来了解系统的频率特性和稳态误差等信息，从而更好地设计数字滤波器和控制系统。
阶跃响应与冲激响应
实验一 阶跃响应与冲激响应一、实验目的1、观察和测量RLC 串联电路的阶跃响应与冲激响应的波形和有关参数，并研究其电路元件参数变化对响应状态的影响；2、掌握有关信号时域的测量分析方法。
二、实验仪器1、信号源及频率计模块S2 1块2、模块一S5 1块3、数字万用表 1台4、双踪示波器 1台三、实验原理以单位冲激信号()t δ作为激励，LTI 连续系统产生的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为()h t 。
冲激响应示意图如图2-1：图2-1冲激响应示意图以单位阶跃信号()u t 作为激励，LTI 连续系统产生的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为()g t 。
阶跃响应示意图如图2-2：tt)(t u )(tg图2-2阶跃响应示意图阶跃激励与阶跃响应的关系简单地表示为：t)(t δ)(t h[])()(t u H t g = 或者 )()(t g t u →如图2-3所示为RLC 串联电路的阶跃响应与冲激响应实验电路图，其响应有以下三种状态：1、当电阻R ＞2 LC时，称过阻尼状态； 2、当电阻R = 2 LC时，称临界状态； 3、当电阻R ＜2LC时，称欠阻尼状态。
图2-3(a) 阶跃响应电路连接示意图图2-3(b) 冲激响应电路连接示意图冲激信号是阶跃信号的导数，即⎰-=td h t g 0ττ)()(，所以对线性时不变电路冲激响应也是阶跃响应的导数。
为了便于用示波器观察响应波形，实验中用周期方波代替阶跃信号。
而用周期方波通过微分电路后得到的尖顶脉冲代替冲激信号。
四、实验内容1、阶跃响应实验波形观察与参数测量 设激励信号为方波，频率为500Hz 。
实验电路连接图如图2-3（a ）所示。
① 调整激励信号源为方波（即从S2模块中的P2端口引出方波信号）；调节频率调节旋钮ROL1，使频率计示数f=500Hz 。
②连接S2模块的方波信号输出端P2至S5模块中的P12。
③示波器CH1接于TP14，调整W1，使电路分别工作于欠阻尼、临界和过阻尼三种状态，观察各种状态下的输出波形，用万用表测量与波形对应的P12和P13两点间的电阻值（测量时应断开电源），并将实验数据填入表格2-1中。
信号与系统2-2冲激响应与阶跃响应课件
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举例
已知线性非时变系统的冲激响应 h(t) et (t)，激励信号为
f (t) (t) 。试求系统的零状态响应。
解：系统零状态响应为：yzs (t) h(t) f (t) et (t) (t)
h( )
f ( )
1
0
t
0
将f(t)反折，再扫描可
yzs (t)
t e d
0
e
t 0
1
3t f1( ) f2 (t )d
1 1 1d 1 (4 t)
3t 2
2
即为重叠部分的面积。
当 3 t 1 即 t 4时：
f2 (t ) 和 f1( )没有公共的重叠部分， 故卷积 f (t) f1(t) f2 (t) 0
7
例 2.7
f1( )
A
2t 0 t1 f1( )
A
2 t0 1 t f1( )
(1 et ) (t)
确定积分上下限。
9
课堂练习题
自测题2.3 自测题2.4 自测题2.5
10
几条结论
f (t) f1(t) f2 (t)
f(t)的开始时间等于f1(t)和f2(t)的开始时间之和； f(t)的结束 时间等于f1(t)和f2(t)的结束时间之和。 f(t)的持续时间等于 f1(t)和f2(t)的持续时间之和。
h(t) 2e2t (t) (t)
计算机例题C2.3
已知系统的冲激响应为h(t) 3 (t) e2t (t)，求阶跃响应。
h=sym('3*Dirac(t)-exp(-2*t)*Heaviside(t)'); g=int(h); g=simple(g)
g=1/2*Heaviside(t)*(5+exp(-2*t)) 阶跃响应为
说明系统零状态响应、冲激响应、阶跃响应的定义及三者之间的联系
说明系统零状态响应、冲激响应、阶跃响应的定义及三者之间的联系：
1.零状态响应：
零状态响应是系统在没有初始储能（即系统处于零状态）下，由外部激励引起的系统响应。
它可以通过系统的传递函数或冲激响应来描述。
在零状态响应中，系统的储能不随时间变化，只与外部激励有关。
2.冲激响应：
冲激响应是系统在单位冲激函数激励下的响应，它是系统的传递函数的冲激函数形式。
冲激响应描述了系统对单位冲激函数的响应，可以看作是时间域上的积分运算的结果。
冲激响应是系统固有的特性，与外部激励无关。
3.阶跃响应：
阶跃响应是系统在单位阶跃函数激励下的响应。
阶跃响应描述了系统在阶跃信号作用下随时间变化的动态过程，包括上升、稳定和下降等阶段。
阶跃响应可以通过系统的传递函数或冲激响应来求解。
三者之间的联系：
零状态响应、冲激响应和阶跃响应之间存在密切的联系。
对于线性时不变系统，零状态响应可以通过冲激响应和阶跃响应来描述。
具体来说，系统的零状态响应等于冲激响应和阶跃响应的卷积，即y(t)=h(t)*u(t)，其中y(t)表示零状态响应，h(t)表示冲激响应，u(t)表示阶跃响应。
这个公式表明，系统的零状态响应可以通过冲激响应和阶跃响应的卷积运算来获得。
阶跃响应和冲激响应之间的关系
阶跃响应和冲激响应之间的关系阶跃响应和冲激响应是信号处理中常用的概念，它们之间存在着密切的关系。
阶跃响应描述了系统对于单位阶跃信号的输出响应，而冲激响应则描述了系统对于单位冲激信号的输出响应。
本文将从阶跃响应和冲激响应的定义、性质以及它们之间的关系进行详细介绍。
我们来看一下阶跃响应的定义。
阶跃响应是指系统对于单位阶跃信号的输出响应。
单位阶跃信号是一种在时间t=0时从0跳变到1的信号，它在t>0时始终保持为1。
阶跃响应描述了系统对于这种信号的输出情况。
接下来，我们来看一下冲激响应的定义。
冲激响应是指系统对于单位冲激信号的输出响应。
单位冲激信号是一种在时间t=0时瞬时出现，幅度为无穷大的信号，持续时间极短，但面积为1。
冲激响应描述了系统对于这种信号的输出情况。
阶跃响应和冲激响应之间存在着紧密的联系。
事实上，在很多情况下，我们可以通过冲激响应来求得阶跃响应。
这是因为单位阶跃信号可以看作是单位冲激信号的积分。
具体来说，我们可以将单位阶跃信号表示为单位冲激信号的积分形式。
假设单位阶跃信号为u(t)，单位冲激信号为δ(t)，那么单位阶跃信号可以表示为u(t)=∫δ(τ)dτ。
根据线性系统的性质，系统对于单位阶跃信号的输出可以表示为系统对于单位冲激信号的输出的积分形式。
换句话说，我们可以通过对系统的冲激响应进行积分，得到系统的阶跃响应。
这是因为阶跃信号是冲激信号的积分，而系统对于冲激信号的输出又可以通过冲激响应来描述。
阶跃响应和冲激响应之间的关系还可以通过频域的方法来理解。
在频域中，系统的阶跃响应和冲激响应之间存在着简单的关系。
阶跃响应可以通过冲激响应进行傅里叶变换得到，而冲激响应可以通过阶跃响应进行傅里叶变换得到。
总结起来，阶跃响应和冲激响应之间存在着密切的关系。
阶跃响应描述了系统对于单位阶跃信号的输出响应，而冲激响应描述了系统对于单位冲激信号的输出响应。
通过对冲激响应进行积分可以得到阶跃响应，而通过对阶跃响应进行傅里叶变换可以得到冲激响应。
阶跃响应与冲激响应
实验一阶跃响应与冲激响应一、实验目的1、 观察和测量 RLC 串联电路的阶跃响应与冲激响应的波形和有关参数，并研究其电路元件参数变化对响应状态的影响；2、 掌握有关信号时域的测量分析方法。
、实验仪器1、信号源及频率计模块 S22、模块一 S53、数字万用表4、双踪示波器三、实验原理、：(t)作为激励，LTI 连续系统产生的零状态响应称为单位冲激响图2-1冲激响应示意图以单位阶跃信号u(t)作为激励，LTI 连续系统产生的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为 g(t)。
阶跃响应示意图如图2-2 :图2-2阶跃响应示意图阶跃激励与阶跃响应的关系简单地表示为:以单位冲激信号应，简称冲激响应，记为h(t)。
冲激响应示意图如图2-1:和(t)u(t)图2-3(b)冲激响应电路连接示意图tg (t ) =〕o_hk )dj 所以对线性时不变电路冲激响应也是阶跃响应的导数。
为了便于用示波器观察响应波形，实验中用周期方波代 替阶跃信号。
而用周期方波通过微分电路后得到的尖顶脉冲代替冲激信号。
四、实验内容1、阶跃响应实验波形观察与参数测量设激励信号为方波，频率为 500Hz 。
实验电路连接图如图 2-3 ( a )所示。
①调整激励信号源为方波(即从S2模块中的P2端口引出方波信号)；调节频率调节旋钮 ROL1,使频率计示数 f=500Hz 。
g (t )= H U (t )1或者u (t )- g (t )如图2-3所示为RLC 串联电路的阶跃响应与冲激响应实验电路图,其响应有以下三种状态: 1、当电阻 时，称过阻尼状态;2、当电阻3、当电阻 时，称临界状态;时，称欠阻尼状态。
5阶跃响应电路连接示意图图 2-3(a)ri4C3Tl ]l I a.： (4)Tn©PL2:L 讥I-L2lOmH冲激信号是阶跃信号的导数，即②连接S2模块的方波信号输出端P2至S5模块中的P12。
③示波器CH1接于TP14，调整W1使电路分别工作于欠阻尼、临界和过阻尼三种状态，观察各种状态下的输出波形，用万用表测量与波形对应的P12和P13两点间的电阻值（测量时应断开电源），并将实验数据填入表格2-1中。
冲激响应和阶跃响应的关系和意义
冲激响应和阶跃响应的关系和意义冲激响应和阶跃响应，这两个词听上去可能有点儿高大上，但实际上它们跟我们的生活有着千丝万缕的联系，简直就像是老朋友一样。
想象一下，你在街上走，突然有人从后面推了你一把。
这一下子，就是一个冲击，这个冲击就是冲激响应。
你一瞬间的反应，身体的感觉，那种“哎呀”瞬间传遍全身，反应速度极快。
这就是冲激响应的魅力。
它告诉我们，系统在瞬间受到刺激后是怎么反应的，像一根劲爆的鞭子，啪啪作响，充满力量。
然后，我们再来聊聊阶跃响应。
你可以把它想象成你收到了一份意外的快递。
快递一到，你打开箱子，里面是你期待已久的东西。
那种惊喜、兴奋，这种感受慢慢升温，就像是在烤箱里慢慢加热的蛋糕。
阶跃响应就是在这个快递到来后，系统如何逐步适应这个变化的过程。
最开始的震惊，逐渐转变为开心，再到最后的满足。
这是一种逐步稳定的状态，系统从一个阶段慢慢走向另一个阶段，仿佛是人们在生活中的成长。
有趣的是，冲激响应和阶跃响应之间有一种奇妙的联系，就像一对好搭档。
冲激响应是瞬时的，而阶跃响应则是持续的。
就像一个瞬间的灵感可以引发长久的创作灵感，冲击的那一瞬间会让你进入一种新的状态，阶跃响应就是你在这个新状态中慢慢适应和变化。
很多时候，冲激响应就像是生活中的一次小波动，而阶跃响应则是这波动引发的长远影响。
想想看，当你接到一个突如其来的好消息时，你的内心波澜起伏，之后的日子里，你的生活也因为这个消息而逐渐发生改变，这就是二者之间的关系。
而这两者的意义，简单来说就是帮助我们理解系统的行为。
无论是物理系统还是人类的心理状态，它们都在不同的情境下反映出一种反应模式。
就像我们的生活，总有突发状况，像雷阵雨一样来袭。
冲击过后，生活也许会变得不一样，经过一段时间的调整，慢慢适应新的环境，找回平静。
这就是冲激响应和阶跃响应的双重角色，既有瞬间的冲击，也有持续的变化。
再说说它们在工程和科学中的应用。
比如说，工程师在设计桥梁的时候，他们需要考虑冲激响应，因为桥梁可能会受到突然的风压、车辆的冲击等。
阶跃响应和冲激响应实验报告总结
阶跃响应和冲激响应实验报告总结一、实验目的本次实验的主要目的是通过对阶跃响应和冲激响应的测试，来了解系统的动态特性和时域响应特性，并掌握信号处理中常用的阶跃响应和冲激响应测试方法。
二、实验原理1. 阶跃响应阶跃响应是指在输入信号为单位阶跃函数时，系统输出的时间响应。
单位阶跃函数是一种特殊的信号，其表达式为：u(t) = {0, t<0; 1, t≥0}在实际测试中，可以通过将电压源接入被测系统后，使其输出一个单位阶跃信号，然后记录系统输出信号随时间变化的过程，并绘制出相应的阶跃响应曲线。
2. 冲激响应冲激响应是指在输入信号为单位冲击函数时，系统输出的时间响应。
单位冲击函数是一种特殊的信号，其表达式为：δ(t) = {0, t≠0; ∞, t=0}在实际测试中，可以通过将电压源接入被测系统后，使其输出一个单位冲击信号，然后记录系统输出信号随时间变化的过程，并绘制出相应的冲激响应曲线。
三、实验步骤1. 阶跃响应测试（1）将电压源连接到被测系统的输入端口。
（2）调节电压源输出为一个单位阶跃信号。
（3）记录系统输出信号随时间变化的过程，并绘制出相应的阶跃响应曲线。
2. 冲激响应测试（1）将电压源连接到被测系统的输入端口。
（2）调节电压源输出为一个单位冲击信号。
（3）记录系统输出信号随时间变化的过程，并绘制出相应的冲激响应曲线。
四、实验结果与分析1. 阶跃响应测试结果通过实验测试，我们得到了被测系统的阶跃响应曲线，如下图所示：图1：被测系统的阶跃响应曲线从图中可以看出，在输入信号为单位阶跃函数时，被测系统输出了一个典型的阶跃响应。
可以看到，在初始状态下，输出信号为0；当输入信号达到0时刻后，输出信号迅速上升并逐渐趋于稳定状态。
这种现象说明了被测系统具有较好的动态特性和稳态特性。
2. 冲激响应测试结果通过实验测试，我们得到了被测系统的冲激响应曲线，如下图所示：图2：被测系统的冲激响应曲线从图中可以看出，在输入信号为单位冲击函数时，被测系统输出了一个典型的冲激响应。
系统的冲激响应和阶跃响应的关系
系统的冲激响应和阶跃响应的关系系统的冲激响应和阶跃响应的关系冲激响应和阶跃响应的定义•冲激响应（Impulse Response）是指系统对单位冲激信号的响应。
单位冲激信号是一个幅度为1、宽度为0的信号，其面积为1。
•阶跃响应（Step Response）是指系统对单位阶跃信号的响应。
单位阶跃信号是一个幅度从0突变到1的信号，其面积为1。
冲激响应和阶跃响应的关系•冲激响应和阶跃响应是系统响应的两种特殊形式。
•冲激响应是系统对单位冲激信号的响应，而阶跃响应是系统对单位阶跃信号的响应。
•冲激响应和阶跃响应之间存在一定的数学关系。
•对于线性时不变系统，可以通过积分的方式来获得阶跃响应。
冲激响应和阶跃响应的解释•冲激响应可以看作是系统对瞬时激励的响应。
通过对冲激响应进行积分，可以得到系统对任意激励的响应。
•阶跃响应可以看作是系统对持续激励的响应。
通过对阶跃响应进行微分，可以得到系统对瞬时激励的响应。
总结•冲激响应和阶跃响应是系统响应的两种特殊形式。
•冲激响应是系统对单位冲激信号的响应，阶跃响应是系统对单位阶跃信号的响应。
•冲激响应和阶跃响应之间存在数学关系，可以通过积分和微分来相互转换。
•通过研究冲激响应和阶跃响应，可以了解系统对不同类型激励的响应特性。
•系统的冲激响应和阶跃响应是系统描述和分析的重要内容。
•冲激响应可以提供系统的频率特性信息，通过对冲激响应进行傅里叶变换，可以得到系统的频率响应函数，从而了解系统的频率选择性。
•阶跃响应可以提供系统的时域特性信息，通过观察阶跃响应的形态，可以得到系统的时间稳定性和响应速度等信息。
•通过对比冲激响应和阶跃响应，可以判断系统的稳定性和动态特性。
•冲激响应和阶跃响应对系统设计和故障诊断也具有重要意义。
•在实际应用中，通过对系统的冲激响应和阶跃响应进行测量和分析，可以优化系统的性能，改善系统的稳定性和响应速度。
补充说明•系统的冲激响应和阶跃响应在信号处理、控制系统、电子电路等领域都是重要的概念和工具。
冲激响应和阶跃响应的关系
冲激响应和阶跃响应的关系冲激响应和阶跃响应是信号处理中常用的两种响应方式。
它们在时域和频域的特性不同，但在某些情况下存在一定的联系和关系。
冲激响应是指当输入信号为冲激函数（即单位脉冲函数）时，系统的输出响应。
冲激响应可以用于分析系统的频率响应特性，例如计算系统的频率响应函数、幅频特性和相频特性等。
冲激响应通常被表示为系统的单位脉冲响应函数。
阶跃响应是指当输入信号为阶跃函数（即单位阶跃函数）时，系统的输出响应。
阶跃响应可以用于分析系统的时域特性，例如计算系统的单位阶跃响应函数、过渡时间、稳态误差和阶跃响应曲线等。
阶跃响应通常被表示为系统的单位阶跃响应函数。
冲激响应和阶跃响应之间的关系可以通过拉普拉斯变换进行推导。
拉普拉斯变换是一种常用的信号处理工具，可以将时域的信号转换为复频域的函数。
通过拉普拉斯变换，我们可以将冲激响应和阶跃响应之间建立起联系。
对于一个线性时不变系统，假设其冲激响应为h(t)，阶跃响应为s(t)。
根据定义，阶跃响应可以表示为冲激响应的积分。
具体地，s(t)等于h(t)的积分，即s(t) = ∫h(τ)dτ，其中积分的上限是从0到t。
通过拉普拉斯变换，我们可以将上述关系表示为复频域的函数。
假设冲激响应的拉普拉斯变换为H(s)，阶跃响应的拉普拉斯变换为S(s)。
根据拉普拉斯变换的性质，阶跃响应的拉普拉斯变换可以表示为冲激响应的拉普拉斯变换除以s，即S(s) = H(s)/s。
从上述关系可以看出，冲激响应和阶跃响应之间存在一定的联系。
阶跃响应可以通过冲激响应的积分得到，而冲激响应可以通过阶跃响应的导数得到。
它们之间的关系可以帮助我们在信号处理中进行相互转换和分析。
除此之外，冲激响应和阶跃响应还可以用于系统的稳定性分析和系统参数估计。
通过对冲激响应和阶跃响应的分析，我们可以了解系统对不同类型输入信号的响应情况，进而判断系统的稳定性和性能。
冲激响应和阶跃响应在信号处理中扮演着重要的角色。
它们具有不同的时域和频域特性，但又存在一定的联系和关系。
阶跃响应与冲激响应实验报告
阶跃响应与冲激响应实验报告阶跃响应与冲激响应实验报告引言：在探索信号响应特性时，阶跃响应和冲激响应是两个重要的实验方法。
本实验旨在通过测量阶跃响应和冲激响应的方式，研究信号的时域特性与系统的频域特性，并进一步了解系统的稳定性和动态响应。
实验目的：1. 通过测量阶跃响应，了解系统的时域特性，如超调量、峰值时间和上升时间等。
2. 通过测量冲激响应，了解系统的频域特性，如幅频特性和相频特性等。
3. 分析实验结果，探讨系统的稳定性和动态响应。
实验装置：本实验使用了一个简单的二阶惯性系统，包括一个电压源、一个二阶低通滤波器和一个示波器。
电压源用于提供输入信号，二阶低通滤波器用于模拟系统的传递函数，示波器用于测量输出信号。
实验步骤：1. 连接实验装置，确保电路连接正确并稳定。
2. 设置示波器参数，选择适当的时间和电压刻度，以便观察信号的变化。
3. 调节电压源输出，使其产生一个阶跃信号。
记录输出信号的变化，并测量超调量、峰值时间和上升时间等参数。
4. 调节电压源输出，使其产生一个冲激信号。
记录输出信号的变化，并测量幅频特性和相频特性等参数。
5. 重复实验步骤3和4，分别改变系统的参数，如阻尼比和共振频率等，观察其对响应特性的影响。
实验结果与分析：通过实验测量得到的阶跃响应和冲激响应数据，可以绘制出相应的图表。
在阶跃响应图中，可以观察到系统的超调量、峰值时间和上升时间等参数。
在冲激响应图中，可以观察到系统的幅频特性和相频特性。
根据实验结果，我们可以分析系统的稳定性和动态响应。
当超调量较小、峰值时间较短、上升时间较快时，系统的动态响应较好，稳定性较高。
而当超调量较大、峰值时间较长、上升时间较慢时，系统的动态响应较差，稳定性较低。
此外，通过观察冲激响应图，我们可以了解系统的频域特性。
幅频特性可以告诉我们系统对不同频率信号的衰减程度，相频特性可以告诉我们系统对不同频率信号的相位差。
这些信息对于进一步分析系统的频域特性和设计滤波器等都具有重要意义。
2-2冲激响应和阶跃响应
d 3t 3t [ Ae ( t )] 3 Ae ( t ) 2y(0t )) y(0 ) ( 、 dt 3t 3t 3t Ae ( t ) 3 Ae ( t ) 3 Ae ( t ) 2 ( t )
A ( t ) 2 ( t )
b0 (t ) a0
上的特征根λi(i=1，2，…，n)均为单根，则系统的阶跃 响应的一般形式(n≥m)为
g( t ) ( ci e
i 1
n
i t
b0 ) ( t ) a0
信号的时域分解
一、信号分解为冲激信号的叠加： 在信号分析与系统分析时，常常需要将信号分 解为基本信号的形式。这样，对信号与系统的 分析就变为对基本信号的分析，从而将复杂问 题简单化，且可以使信号与系统分析的物理过 程更加清晰。号分解为冲激信号序列就是其中 的一个实例。
y(t ) 5 y(t ) 6 y(t ) f (t ) 2 f (t ) 3 f (t )
h(t ) (3e
2t
6e ) (t ) (t )
3t
2.2.2
阶跃响应
一线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入 为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应， 简称阶跃响应，用g(t)表示。阶跃响应是激励为单 位阶跃函数u(t)时，系统的零状态响应，如图2.17 所示。
y x (0 ) y(0 ) yx (0 ) y(0 )
零状态响应：令初始状态为零，即
y(0 ) y(0 ) 0
零状态响应 = 齐次解+特解
由系数匹配法定
y(0 )、y(0 )
§２.2 冲激响应和阶跃响应
主要内容： 一、冲激响应的概念及求解 二、阶跃响应的概念及求解 重点：
阶跃响应和冲激响应的关系
阶跃响应和冲激响应的关系阶跃响应和冲激响应，这两个名词听起来就像是那些复杂的数学公式，咱们普通人一听就感觉头大。
不过，别急，今天就来聊聊这两个家伙，保证让你听得轻松有趣，心里明白透彻。
阶跃响应就像是你早上起床时的第一杯咖啡，突然的提神，让你瞬间清醒过来。
你可以想象一下，早上赖床的你，突然听到闹钟响起，那一瞬间，你的身体就像被电击了一样，瞬间进入了“工作状态”。
这种反应其实就是阶跃响应，系统对一个突如其来的输入（比如你闹钟的响声）作出的反应。
而冲激响应呢，简单来说，就是系统对一个瞬间信号的反应。
想象一下，朋友们一起聚会，突然有人拍了一下桌子，整个房间的注意力瞬间都被吸引过去。
这一拍就是冲激信号，大家的反应就是冲激响应。
看，原来这两个概念在生活中随处可见，不管是喝咖啡的清醒还是拍桌子的注意力，都在告诉我们，反应其实是很有趣的事情。
这两者之间的关系就像是亲兄弟。
阶跃响应可以说是冲激响应的积累。
想象一下，你喝了第一口咖啡，然后喝第二口、第三口，直到你感觉整个人都充满了能量。
每一口咖啡就是一次小小的冲击，而最终的清醒状态就是阶跃响应的结果。
学术上说，阶跃响应是冲激响应在时间上的积分，听起来复杂，但其实就是一个简单的累积过程，没啥好担心的。
有趣的是，这种关系在信号处理和控制系统中非常重要。
比如说，你设计一个自动驾驶的系统。
它需要在感知到障碍物时快速反应。
这个时候，系统的冲激响应决定了它的灵敏度，而阶跃响应则决定了它的最终反应时间。
换句话说，如果你的系统冲击响应不够好，可能就会导致“撞车”事件。
哈哈，是不是听起来有点吓人，但这就是技术的魅力所在，能把抽象的概念变得生动起来。
在日常生活中，咱们也可以用简单的例子来理解这些概念。
比如说，看一部电影，突然有一个惊悚的情节出现，你的心脏会猛跳一下，这就是冲激响应。
而电影的节奏随着情节的推进而变得紧张，这个过程就是阶跃响应的体现。
换句话说，冲激和阶跃就像是电影中的快节奏和慢节奏交替，制造着情感的高兴与低谷，让人欲罢不能。
阶跃响应与冲激响应的关系
阶跃响应与冲激响应的关系1. 引言嘿，大家好！今天咱们来聊聊“阶跃响应”和“冲激响应”这两位老兄。
这两个概念在信号处理和系统分析里可是风头正劲的角色。
可能你听过它们，却不知道它们之间到底有什么关系。
别急，咱们慢慢来，保证让你听得津津有味。
2. 什么是冲激响应？2.1 冲激响应的定义首先，咱得了解一下“冲激响应”。
可以把它想象成一个超级短暂的信号，就像是你在派对上对朋友大喊“嗨！”然后瞬间安静下来了。
这种瞬间的信号就叫做冲激信号，而系统对这个信号的响应就是冲激响应。
听起来是不是很简单？2.2 冲激响应的特性而且，冲激响应的一个特性就是它能完全描述一个线性时不变系统的行为。
也就是说，只要你知道了冲激响应，你就能推导出系统对任何输入信号的响应，简直是信号处理界的万金油！所以，冲激响应就像是一张藏宝图，指引我们找到信号处理的宝藏。
3. 阶跃响应的魅力3.1 阶跃响应的定义接下来，咱们来看看“阶跃响应”。
它是系统对一个阶跃信号的响应，就像你突然把一个开关打开，整个房间立刻亮起来。
阶跃信号的特点就是它在某一时刻突然变得不一样，从0到1的变化就好比一瞬间的蜕变。
3.2 阶跃响应的重要性阶跃响应在很多实际应用中可是大显身手的，尤其是在控制系统中。
比如说，想象一下你在开车，突然踩下油门，车辆的加速反应就是阶跃响应在起作用。
通过阶跃响应，你可以了解系统的稳定性和动态特性，简直是开车必备的“老司机技巧”。
4. 冲激响应与阶跃响应的关系4.1 从冲激响应到阶跃响应那么，冲激响应和阶跃响应之间又是怎样的关系呢？简单来说，阶跃响应可以通过冲激响应“推导”出来。
你可以把冲激响应看作是一种基本的“调味料”，而阶跃响应就是这道菜的成品。
通过数学上的卷积操作，我们能把冲激响应变成阶跃响应，没错，就像把原料变成美味佳肴！4.2 直观的理解想象一下，你在做蛋糕。
冲激响应就像是准备蛋糕的面糊，而阶跃响应就是烤好的蛋糕，香喷喷的出炉了！当然，不同的配方会让蛋糕的味道有所不同，但最终都是通过面糊这个基础材料变成的。
冲激响应和阶跃响应实验报告
冲激响应和阶跃响应实验报告一、实验目的通过实验，了解冲激响应和阶跃响应的基本概念和特性，进一步掌握信号与系统的应用和分析方法。
二、实验原理1. 冲激响应冲激响应是指系统对冲激信号的响应。
冲激信号是一种具有瞬时高幅度，持续时间极短的信号。
在实际中通常使用一段宽度很小的方波代替，即取宽度很小的矩形脉冲。
2. 阶跃响应阶跃响应是指系统对阶跃信号的响应。
阶跃信号是一种瞬时跃变的信号，从零到某一定值的跃变称为正跃变，实际上是由一个比较窄的方波组成。
从某一定值到零的跃变称为负跃变。
三、实验内容1. 冲激响应实验（1）将信号发生器输出相干的正弦波信号，并接入可变数字延时器。
（2）在延时器的输出端连接一个手动开关，按下手动开关，可以在延时时间内给信号发生器输出一个矩形脉冲，瞬间充当冲激信号。
（3）观察接收信号的波形，并记录数据。
2. 阶跃响应实验（1）将信号发生器输出一个幅度为零的正弦波信号，并接入比例调节器。
（2）比例调节器将幅度非线性放大，形成一个输入阶跃信号。
（3）接收信号并观察波形，记录数据。
四、实验结果1. 冲激响应实验结果（1）观察到响应信号最大幅值为4.5V。
（2）响应时间为0.375ms。
（3）计算得到冲激响应函数为H(t) = 12.0^4.5 e^(-18.75t)u(t)。
2. 阶跃响应实验结果（1）观察到阶跃信号到达峰值的时间为5.5ms。
（2）观察到响应信号最大幅值为6.3V。
（3）根据观察数据计算得到阶跃响应函数为H(t) = 1.8e^(-5.5t)u(t)。
五、实验结论在冲激响应实验中，得到了系统的冲激响应函数，该函数表明系统在接收到一个冲激信号时，系统输出的响应。
而在阶跃响应实验中，得到了系统的阶跃响应函数，该函数表明系统在接收到一个阶跃信号时输出的响应。
这两个函数是系统的重要性质，也是深入探究系统响应特性的基础。
六、实验注意事项（1）实验中需要小心操作，避免短路或电流过大等故障。
信号与系统2-2
电路如图所示，C=0.1F, 电路如图所示，C=0.1F, L=1H, R=2Ω t=0时，电路处于零状态， R=2Ω, 在t=0时，电路处于零状态， δ(t) 则：iC(0+)=______A, )=______A, -5
iR
R
iL(0+)=______A, iR(0+)=______A。 )=______A, )=______A。 0 5
阶跃响应为： ε (t) = ∫ h(τ )dτ = 1 − 1 e−0.5τ r 2 2
第二章第2讲
= (1− 1 e−0.5t )ε (t) 2
10
例
3
电路如图所示，电容C原已充电到3 电路如图所示，电容C原已充电到3V，现通过强度为 8δ(t) 的冲激电流, 的冲激电流, 则在冲激电流作用时刻，电容电压的跃变量 为______。 ______。 B + 8δ(t) (A) 7V (B) 4V 2F uC (C) 3V (D) -4V −
b0 特解为 rp = ε(t)，齐次解的确定与冲激响应类似。 a0 n b0 λi t 当 n≥m 时： rε (t) = (∑Ci e + )ε (t) a0 i=1
= bme(m) (t) + bm−1e(m−1) (t) +⋯+ b e′(t) + b0e(t) 1
当 n<m 时： rε (t)中含有δ(t)，确定方法与冲激响应类似。 中含有δ(t 阶跃响应与冲激响应的关系： 阶跃响应与冲激响应的关系： t d rε (t) rε (t) = ∫ h(τ )dτ h(t) = −∞ dt 第二章第2讲
∴ 利用线性时不变特性求h(t)。 h0 (t) = (e−t − e−2t )ε (t) • 利用线性时不变特性求h(t)。
2-2零输入、零状态、冲激、阶跃响应
Azs1 Azs 2 0 故 Azs1 2 Azs 2 1
所以 rzs (t )
Azs1 1 Azs 2 1
2 t
(e e
t
)u(t )
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统—signals and systems
4．稳态响应：t→∞ 时留下的响应分量 瞬态响应：t→∞ 时 趋于零的那部分响应 5．线性时不变系统概念的扩展 ①常系数线性微分方程，起始状态不为0，即 r ( k ) (0 ) 0 ， 则系统 i)不满足线性 {x(0-)} ≠0
求 rzi ( t ) 解： rzi (t ) A1e t A2 e 2t ，待定系数由r (0 )与r (0 ) 确定 将e(t)代入右端，得自由项= (t ) 目测法得： r (0 ) r (0 ) 1, r (0) - r (0-) 0 故 r (0 ) 1, r (0 ) 1
e1 (t ) r1 (t ) rzs1 (t ) rzi (t ) e2 (t ) r2 (t ) rzs 2 (t ) rzi (t )
e(t )
r (t ) rzs (t ) rzi (t )
e3 (t ) e1 (t ) e2 (t ) r3 (t ) rzs1 (t ) rzs 2 (t ) rzi (t ) r1 (t ) r2 (t )
d 2i di i 0 当t≥0+时， e(t ) 20 V ，故 2 dt dt
2 d ③当-∞<t<+∞ 时， e(t ) 10 10u(t ) 故 2i di i 10 (t ) dt dt
冲激函数匹配法：i(0 ) i(0 ) 0, i(0 ) i(0 ) 10
SLTI2-2冲激响应和阶跃响应
因此：
h( t ) ( t ) (3e 2t 6e 3t ) ( t )
一般而言：对LTI系统求冲激响应也可根据LTI的线性 性质，分为以下两个步骤： 1、选取新变量h1(t)，并且求得它的冲激响应h1(t)。 2、根据LTI系统的线性性质，很容易求得系统的 冲激响应h(t)。
对t>0时，有
h ” ( t) + 6 h ’ ( t) + 5 h ( t) = 0
微分方程的特征根为– 2， – 3。故系统的冲激响应为 h(t)= C1e–2t + C2e–3t ， t>0 代入初始条件h(0+) = – 3， h’(0+) =12 求得C1=3，C2= – 6, 所以 h(t)= 3e–2t – 6e–3t , t > 0 结合式(2)得 h(t)= δ(t) + (3e–2t – 6e–3t) ε(t)
令 f(t)=(t) 则 y(t)=h(t)
( m) ( m1)
激励及其各阶 导数(最高阶 为m次)
h (t) an1h (t ) ... a0h(t ) bm (t ) bm1
( n)
( n1)
(t ) ... b0(t )
(2)h(t)解答的形式
由于 t 及其导数在 t 0 时都为零，因而方程式右端的自由 项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。 ①与特征根有关 设特征根为简单根（无重根的单根）
1 a0 为微分方程的
⑵如果等号右端含有f(t)及其各阶导数，则根据LTI系统的线性 性质和微分特性求得
2．阶跃响应与冲激响应的关系
线性时不变系统满足微、积分特性
(t ) ()d
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6e ) (t ) (t )
3.冲激响应的一般形式： 左边为n阶，右边为m阶的微分方程： 当n >m时： h(t)具有自由响应（齐次解）的形式。
y(t ) 5 y(t ) 6 y(t ) f (t )
h(t ) (e
2t
e ) (t )
3t
当n =m时： h(t)有自然响应的形式并含有冲激 (t)。
f(t)
…… 0
t
……
t
f (0) (t ) f ( ) (t ) f (2 ) (t 2 ) f (k ) (t k )
f (0) (t ) f ( ) (t ) f (2 ) (t 2 ) f (k ) (t k )
b0 (t ) a0
上的特征根λi(i=1，2，…，n)均为单根，则系统的阶跃 响应的一般形式(n≥m)为
g( t ) ( ci e
i 1
n
i t
b0 ) ( t ) a0
信号的时域分解
一、信号分解为冲激信号的叠加： 在信号分析与系统分析时，常常需要将信号分 解为基本信号的形式。这样，对信号与系统的 分析就变为对基本信号的分析，从而将复杂问 题简单化，且可以使信号与系统分析的物理过 程更加清晰。号分解为冲激信号序列就是其中 的一个实例。
y′(t)+3y(t)=2f(t)，t≥0
试求系统的冲激响应h(t)。
解:冲激响应h(t)满足动态方程式
h′(t)+3h(t)=2δ(t)，t≥0
由于动态方程式右边最高次为δ(t)，故方程左 边的最高次h′(t)中必含有δ(t)，故设 ' h ( t ) A ( t ) B ( t ) 因而有 t ) A ( t ) h( 将h′(t)与h(t)分别代入原动态方程有 A ( t ) B ( t ) 3 A ( t ) 2 ( t ) A ( t ) ( B 3 A) ( t ) 2 ( t )
(1) {×(0 )}＝{0 } 线性非时 变系统 h(t) h(t)
0
t
0
t
冲激响应示意图
一、冲激响应 1.定义：当激励f(t)=(t)时LTI系统的零状态响应 冲激响应用h(t)表示。
激励f(t)=(t)； 系统的零状态响应。
2.求解：
思路：
将冲激信号的作用转换为系统的初始条件， 然后求冲激响应。
dgt ht dt
g t h d
t
3. 阶跃响应的求法： 1）经典法； 2）从冲激响应求阶跃响应。
如果描述系统的微分方程式是 y(n)(t)+an-1 y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f (m1)(t)+…+b f(1)(t)+b f(t) ， 1 0 将 f ( t ) ( t )代入，可求得其特解
f (t )
k
f (k )
(t k )
0
f (t ) f ( ) (t ) d
任意f(t)可用无穷多个冲激函数之和（积分）表示。
二、信号分解为阶跃信号的叠加：
f(t)
t
[ f 2t f (t )] t 2t ...
解得A=2，因此，系统的冲激响应为
h(t ) 2e (t )
3 t
2.等效初始条件法
系统冲激响应h(t)的求解还有另一种方法，称为 等效初始条件法。冲激响应h(t)是系统在零状态 条件下，受单位冲激信号δ(t)激励所产生的响应， 它属于零状态响应。
例:已知某线性非时变(LTI)系统的动态方程式为
u(t) g(t) 1 {× (0)}＝{0} u(t) 线性非时 变系统 g(t)
0
t
0
t
阶跃响应示意图
二、阶跃响应 1.定义：当激励f(t)=(t)时LTI系统的零状态响应 阶跃响应用g(t)表示。
激励f(t)=(t)； 系统的零状态响应。
2.阶跃响应和冲激响应的关系： 对于同一个LTI系统
卷积法的原理
冲激响应和阶跃响应
2.2.1 冲激响应 一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入 为单位冲激信号δ(t)所引起的响应称为单位冲激响 应，简称冲激响应，用h(t)表示。亦即，冲激响应 是激励为单位冲激信号δ(t)时，系统的零状态响应。 其示意图如下图所示。
(t) (t)
复习： 一、经典解法：微分方程的求解 二、系统解法：零输入响应和零状态响应 零输入响应：为齐次解，初始条件不跃变，即
y x (0 ) y(0 ) yx (0 ) y(0 )
零状态响应：令初始状态为零，即
y(0 ) y(0 ) 0
零状态响应 = 齐次解+特解
由系数匹配法定
y(t ) 5 y(t ) 6 y(t ) f (t ) 2 f (t ) 3 f (t )
h(t ) (3e
2t
6e ) (t ) (t )
3t
2.2.2
阶跃响应
一线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入 为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应， 简称阶跃响应，用g(t)表示。阶跃响应是激励为单 位阶跃函数u(t)时，系统的零状态响应，如图2.17 所示。
0 0 t
t
1 f ( t ) [ f ( t ) f ( t ) f ( t ) f ( t )] 2 1 1 [ f ( t ) f ( t )] [ f ( t ) f ( t )] 2 2 f e (t ) f o (t ) 1 f e ( t ) [ f ( t ) f ( t )] 2 1 f o ( t ) [ f ( t ) f ( t )] 2
f (t ) ... [ f 0 f (t )] t [ f t f 0] t t f [kt f (k 1t )] t kt ...
0
t
f (t ) ... [ f 0 f (t )] t [ f t f 0] t t [ f 2t f (t )] t 2t ... f [kt f (k 1t )] t kt ...
h1(t ) 5h1 (t ) 6h1 (t ) (t )
h1 (0 ) h1 (0 ) 0
h1(t ) A (t ) B (t ) h1 (t ) A (t ) h1 (t ) 0
A 1 B 5
h1 (t ) (e
解得 A=2，B=-6
h( t ) 2 ( t )
3.其它方法 系统的冲激响应h(t)反映的是系统的特性，只与 系统的内部结构和元件参数有关，而与系统的 外部激励无关。但系统的冲激响应h(t)可以由冲 激信号δ(t)作用于系统而求得。在以上两种求解 系统冲激响应h(t)的过程中，都是已知系统的动 态方程。
步骤：
（1）写出系统微分方程。 （2）写出微分方程的齐次解。 （3）在微分方程中利用 (t)匹配的方法定初
始条件，即：{h(0+)} （4）将初始条件代入，确定待定系数，得到
冲激响应。
1.冲激平衡法
冲激平衡法是指为保持系统对应的动态方程式的 恒等，方程式两边所具有的冲激信号函数及其各 阶导数必须相等。根据此规则即可求得系统的冲 激响应h(t)。
h(0 ) h(0 ) 0
h(t ) (e
2t
e ) (t )
3t
例2.2-2 求二阶LTI系统的冲激响应。
y(t ) 5 y(t ) 6 y(t ) f (t ) 2 f (t ) 3 f (t )
解：利用系统的线性和微分性质求解
设
则
h1(t ) 5h1(t ) 6h1 (t ) (t ) h(t ) h1(t ) 2h1(t ) 3h1 (t )
2t 2t
3e 3e
3t
) (t ) (e ) (t )
2t
e
3t
) (t )
(t ) (4e 2t 9e 3t ) (t ) (2e 2t 3e 3t ) (t ) h1 9e
2t
) (t ) (t )
3t
h(t ) (3e
例:已知某线性时不变系统的动态方程式为
试求系统的冲激响应h(t)。
dy (t ) 3 y (t ) 2 f (t ) (t 0) dt
解:根据系统冲激响应h(t)的定义，当f(t)=δ(t)时， 即为h(t)，即原动态方程式为
dh(t ) 3h(t ) 2 (t ) (t 0) dt
y(0 )、y(0 )§２. 冲激响应和阶跃响应主要内容： 一、冲激响应的概念及求解 二、阶跃响应的概念及求解 重点：
冲激响应和阶跃响应的求解
学习 冲激响应和阶跃响应的原因：
1. 冲激函数和阶跃函数代表了两种典型信号， 求它们引起的零状态响应是线性系统分析中 常见的典型问题；
2. 信号分解为许多冲激信号的基本单元之和或 阶跃信号之和，当要计算某种激励信号对于 系统产生的零状态响应时，可先分别计算冲 激信号或阶跃信号引起的零状态响应，然后 叠加即得所需之结果。
k
f [kt f [k 1t ]] t kt
t
n
当t 0时, f t f t d
三、偶分量与奇分量